Задача оптимального синтеза относительно эволюции области
Розглянуто задачу оптимального синтезу, пов’язану зі змінами форми області. Стан системи описується системою диференціальних рівнянь відносно пари областей. Показано, що умови існування мінімуму функціонала, що розглядається, і обчислення оптимального керування за вхідними даними пов’язані з розв’яз...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207587 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача оптимального синтеза относительно эволюции области / Ф.А. Алиев, А.А. Нифтиев, Дж.И. Зейналов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 10 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207587 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Алиев, Ф.А. Нифтиев, А.А. Зейналов, Дж.И. 2025-10-10T08:47:31Z 2013 Задача оптимального синтеза относительно эволюции области / Ф.А. Алиев, А.А. Нифтиев, Дж.И. Зейналов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 10 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207587 517.97 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i2.60 Розглянуто задачу оптимального синтезу, пов’язану зі змінами форми області. Стан системи описується системою диференціальних рівнянь відносно пари областей. Показано, що умови існування мінімуму функціонала, що розглядається, і обчислення оптимального керування за вхідними даними пов’язані з розв’язанням рівняння Ріккаті. The optimal synthesis problem related to the variation of the domain form is considered. The system state is described by the system of differential equations with respect to a pair of domains. It is shown that the conditions for the existence of the minimum of the considered functional and the calculation of the optimal control based on input data are connected with the solution of the Riccati matrix differential equation. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Задача оптимального синтеза относительно эволюции области Задача оптимального синтезу відносно еволюції області Optimal Synthesis Problem Relative to Domain Evolution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| spellingShingle |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области Алиев, Ф.А. Нифтиев, А.А. Зейналов, Дж.И. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title_short |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| title_full |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| title_fullStr |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| title_full_unstemmed |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| title_sort |
задача оптимального синтеза относительно эволюции области |
| author |
Алиев, Ф.А. Нифтиев, А.А. Зейналов, Дж.И. |
| author_facet |
Алиев, Ф.А. Нифтиев, А.А. Зейналов, Дж.И. |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача оптимального синтезу відносно еволюції області Optimal Synthesis Problem Relative to Domain Evolution |
| description |
Розглянуто задачу оптимального синтезу, пов’язану зі змінами форми області. Стан системи описується системою диференціальних рівнянь відносно пари областей. Показано, що умови існування мінімуму функціонала, що розглядається, і обчислення оптимального керування за вхідними даними пов’язані з розв’язанням рівняння Ріккаті.
The optimal synthesis problem related to the variation of the domain form is considered. The system state is described by the system of differential equations with respect to a pair of domains. It is shown that the conditions for the existence of the minimum of the considered functional and the calculation of the optimal control based on input data are connected with the solution of the Riccati matrix differential equation.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207587 |
| citation_txt |
Задача оптимального синтеза относительно эволюции области / Ф.А. Алиев, А.А. Нифтиев, Дж.И. Зейналов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 10 назв. - рос. |
| work_keys_str_mv |
AT alievfa zadačaoptimalʹnogosintezaotnositelʹnoévolûciioblasti AT niftievaa zadačaoptimalʹnogosintezaotnositelʹnoévolûciioblasti AT zeinalovdži zadačaoptimalʹnogosintezaotnositelʹnoévolûciioblasti AT alievfa zadačaoptimalʹnogosintezuvídnosnoevolûcííoblastí AT niftievaa zadačaoptimalʹnogosintezuvídnosnoevolûcííoblastí AT zeinalovdži zadačaoptimalʹnogosintezuvídnosnoevolûcííoblastí AT alievfa optimalsynthesisproblemrelativetodomainevolution AT niftievaa optimalsynthesisproblemrelativetodomainevolution AT zeinalovdži optimalsynthesisproblemrelativetodomainevolution |
| first_indexed |
2025-11-25T22:29:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:29:42Z |
| _version_ |
1850564314871627776 |
| fulltext |
© Ф.А. АЛИЕВ, А.А. НИФТИЕВ, ДЖ.И. ЗЕЙНАЛОВ, 2013
50 ISSN 0572-2691
УДК 517.97
Ф.А. Алиев, А.А. Нифтиев, Дж.И. Зейналов
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭВОЛЮЦИИ ОБЛАСТИ
Введение
Широкий класс практических задач приводит к изучению изменения формы
рассматриваемого объекта или тела относительно времени [1, 2]. Примерами та-
ких задач являются диффузионные процессы, задачи расширения или распрямления
тела за счет тепла, задачи теории упругости, экологические задачи, задача распро-
странения нефтяного пятна на поверхности моря, биологические процессы и т.д.
При исследовании этих задач, как правило, изучаются изменения местополо-
жения точек тела относительно времени. Однако часто представляет интерес не
изменение положения точек тела, а изменение его формы. Изучение задачи в та-
кой постановке связано с некоторыми математическими трудностями; это, в
первую очередь, определение скорости изменения области, характеризирующей
форму тела.
В настоящей работе рассматривается задача оптимального синтеза, относи-
тельно эволюции области. Получена формула для решения задачи синтеза опти-
мальной системы с обратной связью.
Для исследования этих задач в работе определяется скорость изменения
формы области в линейном пространстве пар выпуклых множеств. Данное опре-
деление изменения области дает возможность исследовать широкий класс таких
практических задач, как задачи оптимального управления.
Пространство выпуклых множеств
Пусть M — совокупность выпуклых замкнутых ограниченных множеств в .rR
Функция
),,(sup)( xlxP
Dl
D
∈
= ,Dx∈ (1)
называется опорной функцией множества ,MD∈ где )(xPD — непрерывно-выпукла
и положительно однородна [3]. Последнее означает, что ),()( xPxP DD λ=λ 0>λ (от-
метим, что ).0)0( =DP Формула (1) сопоставляет каждому выпуклому замкнуто-
му ограниченному MD∈ выпуклую, непрерывную, положительно однородную
функцию ).(xPD Верно и обратное: для каждой непрерывно выпуклой, положи-
тельно однородной функции )(xP существует единственное замкнутое выпуклое
ограниченное множество MD∈ такое, что ).()( xPxP D= Множество D совпада-
ет с субдифференциалом функции )(xP в точке nR∈0 [3].
Рассмотрим прямое произведение ,MM × т.е. совокупность пар ),,( BA где
., MBA ∈ Определим в MM × операции сложения и умножения на веществен-
ное число:
),,(),(),( DBCADCBA ++=+
),,(),( BABA λλ=λ если ,0≥λ
),,(),( ABBA λλ=λ если .0<λ
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 51
Введем в MM × отношение эквивалентности: пары ),( BA и ),( DC эквива-
лентны, если .CBDA +=+ Обозначим это как ),(),( DCBA ≈ или
).,(),( DCBA = В [3] показано, что множество MM × вместе с определенными
выше алгебраическими операциями является линейным пространством.
Пусть ),,( 21 AAa = ),,( 21 BBb = ,, MBA ii ∈ ,2,1=i B — единичный шар,
BSB ∂= — единичная сфера. Скалярное произведение ba ⋅ в MM × определим
следующим образом:
.)()( dsxqxpba
BS
∫=⋅ (2)
Здесь ),()()(
21
xPxPxp AA −= ),()()(
21
xPxPxq BB −= )(),( xPxP
ii BA — опорные
функции множеств ,, ii BA ,2,1=i соответственно.
Показано, что ba ⋅ удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
Пространство MM × со скалярным произведением (2) обозначим .2ML Расстоя-
ние в этом пространстве между множествами MA∈ и MB∈ определяется как
норма элемента ),,()0,()0,( BABAa =−=
.)]()([
2/1
2
2
−
=⋅= ∫ dsxPxPaaa BA
S
ML
B
(3)
Пусть ],...,,,[ 21 nzzzz = ]...,,,[ 21 nyyyy = — векторы, где ., MMyz ii ×∈
В этом случае скалярное произведение и норма определяются следующим образом:
,...2211 nn yzyzyzyz ⋅++⋅+⋅=⋅
.... 2
2
2
2
2
1
2 zzzz +++=
Для простоты вместо )(
2
nMLz∈ запишем .2MLz∈
Пусть в момент времени ],0[ Tt ∈ изучаемая область имеет форму ).(tD При
изменении t область )(tD также меняется. Скорость изменения области )(tD ха-
рактеризируется величиной
,
)()(
lim
)( )()(
0
)(
t
xPxP
t
xP tDttD
t
tD
∆
−
=
∂
∂ ∆+
→∆
.BSx∈ (4)
Если существуют области ,)(),( 21 MtVtV ∈ ],,0[ Tt∈ такие, что
),()(
)(
)(
)(
2)(1
xPxP
t
xP
tVV
tD
t
−=
∂
∂
то величину MMtVtVtz ×∈= ))(),(()( 21 будем называть скоростью изменения
области ).(tD Например, если tBtD =)( является шаром с радиусом t, с центром
в начале координат, то .)()( rRtD xtxP ⋅= Тогда ).0,()( 1Btz =
Если )(tD — прямоугольник
},0,20:),{()( 2121 txtxxxtD ≤≤≤≤=
то ).0),1(()( Dtz =
Для любого t рассмотрим пару .))(),(()( 21 MMtDtDtz ×∈= Записывая
)0),()0),(()()()( 2121 tDtDtztztz −=−=
и предполагая, что ,)(),( 21 MMtztz ×∈ аналогично определим ∈−= )()()( 21 tztztz
.MM ×∈
52 ISSN 0572-2691
Можно показать, что для любых ,)(,)( MMttz ×∈η в которых ∈)(tz
),,( 02 TtL∈ ),,()( 02 TtLt ∈η верно соотношение
).()()()()()()()()(
00
00 tdttzttzTTzdtttz
T
t
T
t
η⋅+η⋅−η⋅=η⋅ ∫∫ (5)
Постановка задачи и основные результаты
Пусть движение объекта описывается системой дифференциальных уравнений
),()()()()( tutBtztAtz += ,0 Tt ≤< (6)
с начальными условиями
.)0( 0zz = (7)
Нужно найти такой регулятор цепи обратной связи ),()()( tztKtu = который ми-
нимизировал бы функционал
).()()]()()()()()([
0
TQzTzdttutRtutztLtzJ
T
⋅′+⋅′+⋅′= ∫ (8)
Здесь )(tz — n-мерный вектор фазовых координат объекта, )(tu — m-мерный
вектор управляющих воздействий )(tA — ,nn× )(tB — ,mn× 0)()( ≥′= tLtL
,nn× 0)()( >′= tRtR — mm× -мерные матрицы функции.
Если
)],(...,),(),([)( 21 tztztztz n= )](....,),(),([)( 21 tutututu m=
и ,))(),(()( )2()1( MMtZtZtz iii ×∈= ,))(),(()( )2()1( MMtUtUtu iii ×∈= то уравне-
ния (6), (7) можно записать в эквивалентной форме:
),()()()(
)(
)()(
)( xPtBxPtA
t
xP
tutz
tz +=
∂
∂
,BSx∈ (9)
где ],...,,,[
21 nzzzz PPPP = ],...,,,[
21 muuuu PPPP = ),()()( )()()( )2()1( xPxPxP tZtZtz
iii
−=
).()()( )()()( )2()1( xPxPxP tUtUtu
iii
−=
Предположим, что все эти матрицы непрерывны на ].,0[ T Для простоты из-
ложения рассмотрим случай .)( ItR = Из дальнейшего изложения будет видно,
что полученный результат можно обобщать для любой положительно-определен-
ной матрицы ).(tR Обозначим через U класс функции ,)( MMtu ×∈ ,0 Tt ≤≤
удовлетворяющей условию ).,0()( 2 TLtu ∈
Теорема 1. Пусть .0 MMz ×∈ Тогда для любого Utu ∈)( существует един-
ственное решение задачи (6), (7) из .MM ×
Доказательство. Пусть )(tWW = — фундаментальная матрица уравнений
).()()( tWtAtW = (10)
Полагая, что ),()(),( 1 sWtWstH −⋅= рассмотрим
.)(),()()0,();( )(
0
0
dsxPstHxPtHtxP su
t
z ∫+= (11)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 53
Заметим, что );( txP удовлетворяет уравнению
)()();()();( )( xPtBtxPtAtxP tu+= (12)
и начальному условию
).()0;(
0
xPxP z= (13)
Из вида функции (11) видно, что );( txP положительно однородна по ,Rx∈ т.е.
),;();( txPtxP λ=λ .0≥λ
Ясно, что при налагаемых условиях ].,[,),( 0 TtstNstH ∈∀≤ Соотношение (11)
напишем в эквивалентной форме
.)()()(]),([)(])0,([);( )(
0
)(
0
00
dsxPNxNPdsxPNstHxPNtHtxP su
t
zsu
t
z ∫∫ −−+++=
Учитывая, что ,0 MMz ×∈ ,)( MMtu ×∈ т.е. ),( )2(
0
)1(
00 ZZz = и ),,()( 21 UUtu =
можно записать ),()()( )2(
0
)1(
00
xPxPxP ZZz −= ).()()(
21
xPxPxP UUu −= Тогда
dsxPxPNstHxPxPNtHtxP sUsU
t
ZZ )]()(][),([)]()(][)0,([);( )()(
0
21)2(
0
)1(
0
−++−+= ∫
),;();()]()([)]()([ 21)()(
0
21)2(
0
)1(
0
txPtxPdsxPxPNxPxPN sUsU
t
ZZ −=−−−− ∫
где
,)()()(]),([)(])0,([);( )(
0
)(
0
1 2)2(
01)1(
0
dsxPNxNPdsxPNstHxPNtHtxP sU
t
ZsU
t
Z ∫∫ +++++=
.)()()(]),([)(])0,([);( )(
0
)(
0
2 1)1(
02)2(
0
dsxPNxNPdsxPNstHxPNtHtxP sU
t
ZsU
t
Z ∫∫ +++++=
Учитывая, что ,0)0,( ≥+ NtH ,0),( ≥+ NstH нетрудно показать выпуклость и
положительную однородность ),;( txPi .2,1=i Тогда для любого ],[ 0 Ttt ∈ суще-
ствуют MtZtZ ∈)(),( 21 такие, что ),();( )( xPtxP tZi i
= .2,1=i Значит,
).()();( )()( 21
xPxPtxP tZtZ −=
Так как ),( txP — решение задачи (12), (13), MMtZtZz ×∈= ))(),(( 21 — реше-
ние задачи (6), (7).
Теорема доказана.
Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение Риккати:
).()()()()()()()()()( tLtStBtBtStAtStStAtS −′+−′−= (14)
Поскольку это уравнение нелинейное, неясно, может ли при заданном начальном
условии 0)0( SS = существовать решение. Оказывается, что определение условий
существования минимума функционала (8) и вычисление оптимального управле-
ния связано с решением уравнения Риккати (14).
Теорема 2. Пусть на отрезке ],0[ T существует решение уравнения Рикка-
ти (10) с начальным условием .)( QTS = Тогда существует управление ),(tu кото-
54 ISSN 0572-2691
рое дает минимум критерию качества (8) для системы (6), (7). Минимальное зна-
чение функционала (8) равно .)0( 00 zSz ⋅′ Минимизирующее управление в виде
обратной связи имеет вид
).()()()( tztStBtu ′−= (15)
Доказательство. Ясно, что
,)()()()]()()([ 0
0
T
T
tztStzdttztStz
dt
d
⋅=⋅∫
или подробнее
.0)()()()]()()()()()()()()()([ 0
0
=⋅′−⋅′+⋅′+′⋅′∫
T
T
tztStzdttztStztztStztztztStz
Учитывая уравнения (6), имеем
−+⋅′+⋅′′+′′+⋅′∫ dttutBtztAtStztztStBtutAtztztStz
T
))]()()()()(()()()())()()()(()()()([
0
.0)()()( 0 =⋅′− TtztStz (16)
Добавив тождество (16) к функционалу (8) (так как правая сторона равна нулю),
получим
+⋅′′+′′+⋅′+⋅′+⋅′= ∫ )()())()()()(()()()()()()()()([
0
tztStBtutAtztztStztututztLtzJ
T
).0()0()0()()()()()()]()()()()(()( xSzTzTSTzTQzTzdttutBtztAtStz ⋅′+⋅′−⋅′++⋅′+ (17)
Принимая во внимание, что )(tS является решением уравнения (14) с начальным
условием ,)( QTS = получим
+⋅′+⋅′′+⋅′= ∫ dttututztStBtututBtStzJ
T
)[()()()()()()()()()([
0
.)0())()()()()()( 00 zSztztStBtBtStz ⋅/ ′+′⋅′+
Отсюда видно, что
.)0()()()()( 00
2
0
zSzdttztStBtuJ
T
⋅′+′+= ∫ (18)
Минимум функционала J равен 00 )0( zSz ⋅′ и достигается он в том и только в том
случае, когда интеграл равен нулю. Поэтому оптимальное управление запишем
),()()()( tztStBtu ′−= т.е. ).()()( tStBtK ′−=
Теорема доказана.
Подставляя (15) в уравнение (6), получаем уравнение для оптимальной тра-
ектории
).()]()()()([)( tztStBtBtAtz ′−= (19)
Следствие. Если ),( stH — импульсная матрица этого уравнения, то опти-
мальное управление выражается равенством
.)0,()()()( 0ztHtStBtu ′−= (20)
Полученная формула (15) или формула (20) дает решение задачи синтеза оп-
тимальной системы с обратной связью.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 55
Пример. Рассмотрим следующие задачи:
),()( tutz −= ,0 Tt ≤< ,)0( 0zz =
.min)()( 22
0
→+= ∫ TxdttuJ
T
Пусть MD ∈0 — некоторая выпуклая область и ).0,( 00 Dz = Уравнение Риккати
),()( 2 tStS = 1)( =TS имеет решение ).1/(1)( tTtS −+= Тогда для )(tzz = полу-
чаем уравнение ,
1
)()(
tT
tztz
−+
= .)0( 0zz = Отсюда имеем ).0,(
1
1)( 0D
T
tTtz
+
−+
=
Для оптимального управления получим выражение ).0,(
1
1)( 0D
T
tu
+
=
Ф.А. Алієв, А.А. Ніфтієв, Дж.І. Зейналов
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗУ
ВІДНОСНО ЕВОЛЮЦІЇ ОБЛАСТІ
Розглянуто задачу оптимального синтезу, пов’язану зі змінами форми області.
Стан системи описується системою диференціальних рівнянь відносно пари
областей. Показано, що умови існування мінімуму функціонала, що розгляда-
ється, і обчислення оптимального керування за вхідними даними пов’язані
з розв’язанням рівняння Ріккаті.
F.A. Aliev, A.A. Niftiyev, G.I. Zeynalov
OPTIMAL SYNTHESIS PROBLEM
RELATIVE TO DOMAIN EVOLUTION
Optimal synthesis problem related to variation of the domain form is considered. The
system state is described by the system of differential equations with respect to the
pair of domains. It is shown that conditions of the existence of the considered func-
tional minimum and calculation of the optimal control by the output data is connect-
ed with the solution of Riccati matrix differential equation.
1. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. — М. : Наука, 1982. —
432 с.
2. Муравей Л.А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вест. Москов.
ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика. и киберн. — 1998. — № 3. — С. 7–13.
3. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциального ис-
числения. — М. : Наука, 1990. — 400 с.
4. Нифтиев А.А., Гасымов Ю.С. Управление границами и задачи на собственные значения с
переменной областью. — Баку : Изд-во БГУ, 2004. — 185 с.
5. Нифтиев А.А., Ахмедов Э.Р. Вариационная постановка обратной задачи относительно об-
ласти // Диф. уравнения. — 2007. — 43, № 10. — C. 1410–1416.
6. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control system. — London : Gordon and Breach,
1998. — 270 p.
7. Андреев Ю.Н. Управление конечномерным и линейными объектами. — М. : Наука, 1976,
— 424 с.
8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1981. — 400 с.
9. Aliev F.A., Cengiz C.A., Larin V.B., Safarova N.A. Synthesis problem for periodic systems by
static output feedback // Appl. and Comput. Mathemat. — 2005. — 4, N 2. — P. 102–113.
10. Aliev F.A., Velieva N.I., Safarova N.A., Niftili A.A. Methods for solving of stabilization problem
of the discrete periodic system with respect to output variable // Ibid. — 2007. — 6, N 1. —
P. 27–38.
Получено 18.04.2011
Введение
Пространство выпуклых множеств
Постановка задачи и основные результаты
|