Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии

Отримано необхідні та достатні умови існування рівноваги у моделі обміну. Знайдено достатні умови галуження строго додатних розв’язків системи рівнянь рівноваги. На цій основі проведено класифікацію станів рівноваги та розглянуто застосування поняття критичності стану рівноваги до пояснення явища ре...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Гончар, Н.С., Жохин, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Экономические и управленческие системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207593
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 126–134. — Бібліогр.: 3 назви. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207593
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2075932025-10-12T00:02:11Z Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии Критичні стани в динамічній моделі обміну та явище рецесії Critical States in Dynamical Exchange Model and Recession Phenomenon Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Экономические и управленческие системы Отримано необхідні та достатні умови існування рівноваги у моделі обміну. Знайдено достатні умови галуження строго додатних розв’язків системи рівнянь рівноваги. На цій основі проведено класифікацію станів рівноваги та розглянуто застосування поняття критичності стану рівноваги до пояснення явища рецесії. Запропоновано методику виявлення наближення економічної системи до стану економічного спаду. The necessary and sufficient conditions of the existence of economy equilibrium are obtained in exchange economy model. The sufficient conditions of branching of strictly positive solutions of the system of equilibrium equations are found. On this basis, classification of equilibrium states is given, and application of the notion of criticality of equilibrium state to the explanation of recession phenomenon is considered. The technique is proposed to detect approaching of an economy system to the state of recession. 2013 Article Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 126–134. — Бібліогр.: 3 назви. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207593 519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i1.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии Проблемы управления и информатики
description	Отримано необхідні та достатні умови існування рівноваги у моделі обміну. Знайдено достатні умови галуження строго додатних розв’язків системи рівнянь рівноваги. На цій основі проведено класифікацію станів рівноваги та розглянуто застосування поняття критичності стану рівноваги до пояснення явища рецесії. Запропоновано методику виявлення наближення економічної системи до стану економічного спаду.
format	Article
author	Гончар, Н.С. Жохин, А.С.
author_facet	Гончар, Н.С. Жохин, А.С.
author_sort	Гончар, Н.С.
title	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
title_short	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
title_full	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
title_fullStr	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
title_full_unstemmed	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
title_sort	критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207593
citation_txt	Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 126–134. — Бібліогр.: 3 назви. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gončarns kritičeskiesostoâniâvdinamičeskojmodeliobmenaiâvlenierecessii AT žohinas kritičeskiesostoâniâvdinamičeskojmodeliobmenaiâvlenierecessii AT gončarns kritičnístanivdinamíčníjmodelíobmínutaâviŝerecesíí AT žohinas kritičnístanivdinamíčníjmodelíobmínutaâviŝerecesíí AT gončarns criticalstatesindynamicalexchangemodelandrecessionphenomenon AT žohinas criticalstatesindynamicalexchangemodelandrecessionphenomenon
first_indexed	2025-11-25T13:32:45Z
last_indexed	2025-11-25T13:32:45Z
_version_	1849769398394421248
fulltext	© Н.С. ГОНЧАР, А.С. ЖОХИН, 2013 126 ISSN 0572-2691 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 519.86 Н.С. Гончар, А.С. Жохин КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБМЕНА И ЯВЛЕНИЕ РЕЦЕССИИ* Введение Что является причиной кризисных явлений и как их можно объяснить на ос- новании теории экономического равновесия и динамики? Поскольку такие явле- ния повторяемы во времени, то они должны возникать на основании лежащих на поверхности причин. Такими причинами, возможно, являются: инерционность предложения и снижение спроса на определяющую для данной экономики группу товаров. Однако до сих пор эти простые идеи не реализованы на какой-то модели экономической динамики. Если бы удалось показать, что в некоторой математи- ческой модели экономической системы постоянство предложения товаров и сни- жение спроса на них ведут к явлению финансовой нестабильности, естественной для такого состояния экономики, то были бы найдены механизмы обнаружения явления рецессии. Оказывается, что столь простая и распространенная точка зре- ния — только полуправда. На наш взгляд, явление рецессии значительно сложнее и глубже. Конечно же, само явление рецессии возникает не мгновенно, поэтому пра- вомерен вопрос: как следует характеризовать математически механизм, который мог бы описать зарождение и динамику экономической системы, приближающу- юся к состоянию рецессии. Понятно, что это состояние появляется через эконо- мическую динамику, состоящую из последовательных состояний экономического равновесия. Поэтому причину, по-видимому, следует искать в качестве равновес- ных состояний, в которых пребывает экономическая система. Если бы удалось показать, что каждое из таких равновесных состояний является вырожденным и найти необходимые и достаточные условия их вырожденности, то это означало бы, что найден механизм обнаружения явления рецессии. Точнее, если заданным структурам предложения и спроса в экономической системе отвечает не одно равновесное состояние, а целая совокупность, то это означает, что такое состоя- ние экономики нестабильно, поскольку ему нельзя приписать один равновесный ценовой вектор, при котором спрос не превышает предложения. В классическом подходе к описанию общего равновесия Ж. Дебре [1] ввел понятие регулярной экономики, определив ее как таковую, в которой имеется ко- нечное число равновесных состояний. (Для более полного ознакомления с состоя- нием этой проблемы см. [2].) В рамках информационной модели экономики вырож- денность состояний экономического равновесия математически доказана в [3] (см. теорему 3.1.6). Тем не менее ранее не было установлено, какого же качества * Работа частично поддерживалась программой фундаментальных исследований Отделения физики и астрономии НАН Украины. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 127 равновесные состояния, т.е. не была найдена приемлемая формулировка степени вырожденности состояния равновесия в терминах распределения благ в экономи- ческой системе и его соответствия платежеспособному спросу потребителей. В данной работе рассматривается математическая модель, в которой удается точно описать соответствие между структурой спроса каждого экономического агента и предложением, которое он делает в экономическую систему, и состояни- ем экономического равновесия. Под состоянием экономического равновесия по- нимают неотрицательный ненулевой вектор цен, при котором спрос не превышает предложения. Рассматривается модель обмена товарами ненасыщаемыми потребителями. Если в состоянии равновесия в такой модели спрос строго не превышает предло- жения на некоторые товары, то это приводит к равновесным ценовым векторам с нулевыми компонентами на эти товары [3]. Последнее означает, что имеет место перепроизводство данного типа товаров, а следовательно, фирмы, которые произ- водят эти товары, станут убыточными. И если таких фирм достаточно много и они определяют структуру экономики, то такое ее состояние следует называть кризисным или перепроизводством. Мы исследуем не только такие состояния равновесия. В работе получены необходимые и достаточные условия существования эко- номического равновесия, дана классификация состояний экономического равно- весия и на этой основе классификация распределения благ в экономической си- стеме. В рассматриваемой экономической системе существует одно стабильное состояние равновесия и найдены условия для структур спроса и предложения, при которых это состояние единственное с точностью до постоянного множителя. Та- кое состояние стабильно, а остальные состояния равновесия названы r-крити- ческими в соответствии с кратностью вырождения состояния равновесия. С воз- растанием r от двух до 1−n финансовая стабильность в экономической системе ухудшается. Число r характеризует и степень справедливого распределения благ в экономической системе. Так как число разных типов товаров в экономической системе порядка ,109 то можно считать, что невысокая критичность состояния экономики не вызывает беспокойства. И, конечно, основной вопрос заключается в том, когда количество переходит в качество. Таким индикатором может служить стоимость денег, т.е. постепенная потеря ими покупательной способности. Классификация состояний равновесия Цель работы — объяснить явление рецессии с точки зрения критических со- стояний экономического равновесия и динамики. Под критическим состоянием по- нимаем точки ветвления равновесных состояний. Эти состояния являются точками нестабильности экономической системы. В первом разделе данной работы иссле- дуются условия, при которых равновесные состояния критические. Для иллюстра- ции рассматривается модель обмена, в которой имеются l потребителей. Каждый i-й потребитель владеет некоторым ненулевым набором товаров ,}{ 1 n kkii bb == ,0≥kib .,1 nk = Всех различных товаров в экономической системе есть n типов. Если ка- кая-то компонента j вектора ib равна нулю, то i-й потребитель не обладает j-м типом товаров. Если i-й потребитель — физическое лицо, то он обладает таким товаром, как рабочая сила. Среди потребителей имеются фирмы, предлагающие набор товаров, которые они производят. Для функционирования такой экономической системы необхо- дим обмен товарами между потребителями: фирмам — чтобы приобрести ресур- 128 ISSN 0572-2691 сы у физических лиц для производства товаров, физическим лицам — для удовле- творения своих нужд. Будем полагать, что происходит обмен набора товаров ,ib которым владеет i-й потребитель, на некий набор товаров, пропорциональный за- данному вектору .}{ 1 n kkii CC == Такая модель обмена исследовалась в [3 гл. 5], где даны необходимые и достаточные условия существования равновесия и по- строены алгоритмы их нахождения. В данной работе исследование этой модели продолжено в целях обнаружения явления рецессии. Полагаем, что совокупное предложение в рассматриваемой модели обозначается вектором ,}{ 1 n kk =ψ=ψ ,0 1 >=ψ ∑ = ki l i k b .,1 nk = Первая компонента каждого вектора ib является пред- ложением денег, а первая компонента вектора iC — спросом на деньги. Определение 1. Будем говорить, что в модели обмена экономическая система находится в состоянии экономического равновесия [3], если существует ненуле- вой неотрицательный вектор 0p такой, что справедливы неравенства , , , 0 0 1 k i i ki l i pC pbC ψ≤ 〉〈 〉〈∑ = .,1 nk = (1) Теорема 1. Пусть выполняются условия ,0 1 >∑ = ki n k C ,,1 li = ,0 1 >∑ = ki l i C .,1 ni = Необходимым и достаточным условием существования равновесия в мо- дели обмена является следующее: существуют ненулевой неотрицательный век- тор l iiyy 1}{ == и ненулевой неотрицательный вектор n k 1k}{ =ψ=ψ такие, что , 1 ii l i Cy∑ = =ψ (2) а для векторов ib имеет место представление ,iii dbb += , , , 0 0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii ,,1 li = ,0 1 =∑ = i l i d ,0,0 =〉〈 idp ,,1 li = (3) где 0p — ненулевой неотрицательный вектор, удовлетворяющий условиям ,,, 00 〉ψ〈=〉ψ〈 pp ,0, 0 >〉〈 pCi ,,1 li = .ψ≤ψ (4) Доказательство. Необходимость. Пусть существует состояние экономическо- го равновесия ,0p удовлетворяющее системе неравенств (1). Введем обозначения: , , , 0 0 1 k i i ki l i pC pb C ψ= 〉〈 〉〈 ∑ = ,,1 nk = , , , 0 0 i i i y pC pb = 〉〈 〉〈 .,1 li = Тогда 0≥iy и имеет место равенство (2). Определим совокупность векторов ,iii bbd −= положив , , , 0 0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii .,1 li = Тогда ,iii dbb += ,0 1 =∑ = i l i d ,0,0 =〉〈 idp .,1 li = (5) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 129 Кроме того, ,,, 00 〉ψ〈=〉ψ〈 pp ,,,, 000 〉〈=〉〈=〉〈 pCypbpb iiii . 11 ψ== ∑∑ == i l i i l i bb Необходимость доказана. Достаточность. Пусть справедливы условия теоремы. Тогда из (2)–(4) вы- текает, что ,,, 00 〉〈=〉〈 pCypb iii , , , 0 0 1 kk i i ki l i pC pb C ψ≤ψ= 〉〈 〉〈 ∑ = ,,1 nk = а следовательно, 0p является равновесным ценовым вектором. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть 0p — строго положительное решение системы уравнений , , , 0 0 1 k i i ki l i pC pb C ψ= 〉〈 〉〈 ∑ = ,,1 nk = (6) а система векторов ,iii Cyb − li ,1= , имеет ранг ,1−< nr где . , , 0 0 〉〈 〉〈 = pC pb y i i i Тогда существует rn − параметрическая семья неотрицательных решений системы уравнений (6). Доказательство. При условии существования строго положительного решения системы уравнений (6) по теореме 5.1.6 [3] для любой подсистемы r линейно незави- симых векторов , kkk iii Cyb − ,,1 rk = система векторов ,}{ 1 r ksiisis kkk Cybd =−= ,,1 ns = такая, что вектор r kiii kkk Cybd 1111 }{ =+−=− принадлежит внутренности конуса, образованного векторами ,sd .1≠s Без потери общности считаем, что ранг векторов 12 ,, +rdd  равен r; если же это не так, то этого можно достичь (поскольку )1−< nr перестановкой векторов и их перенумерацией. Тогда по теореме 6.1.4 [3] существует rn − параметрическая семья строго положительных решений системы уравнений относительно вектора :},,{ 2 nαα  , 2 1 ii n i dd α=− ∑ = .0>αi Если положить },,,,1{ 2 np αα=  то получим, что вектор p удовлетворяет системе уравнений ,0, =〉−〈 kkk iii Cybp ,,1 rk = а следовательно, будет строго положительным решением системы уравнений (6). Вследствие того, что r — ранг системы векторов ,iii cyb − получим ,0, =〉−〈 iii Cybp .,1 li = Из того, что ,0, >〉〈 iCp ,,1 li = и p — строго положительный вектор, а ,0 1 >∑ = ki l i C ,,1 lk = то p — решение системы уравнений (6). Общая cитуация такова, что вектор 1d− принадлежит внутренности конуса, образованного r линейно независимыми векторами .,, 12 +rdd  В этом случае среди rn − параметрической семьи решений есть такие, что некоторые компо- ненты могут быть равными нулю. И если для такого вектора ,0p ,0, 0 >〉〈 pCi 130 ISSN 0572-2691 ,,1 li = то это означает, что в экономической системе есть группа товаров, кото- рая определяется спросом r потребителей с векторами спроса .,, 1 rii CC  Цена этих товаров положительная, а цена остальных товаров в экономической системе нулевая. Из закона Вальраса ,,),( 000 〉ψ〈=〉φ〈 ppp где ,)}({)( 1 n kk pp =φ=φ , , , )( 1 〉〈 〉〈 =φ ∑ = pC pb Cp i i ki l i k .,1 nk = Поэтому все средства тратятся на приобретение группы тех товаров, которые определяются потребителями с векторами спроса .,, 1 rii CC  Определение 2. Будем говорить, что экономическая система с распределени- ем благ ,ib ,,1 li = и заданной структурой спроса, определяемой векторами ,iC ,,1 li = вектором степеней удовлетворения потребностей потребителей ,}{ 1 l iiyy == ,0>iy ,,1 li = «попала в ловушку», если для векторов ,ib ,,1 li = справедливо представление ,iii dbb += , , , 0 0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii ,,1 li = ,0 1 =∑ = i l i d ,0,0 =〉〈 idp ,,1 li = (7) где 0p — ненулевой неотрицательный вектор, индексы нулевых компонент кото- рого попали в непустое подмножество I множества Nn =}...,,2,1{ и является та- ковым, что ,0,0 >〉〈 iCp ,,1 li = а у системы уравнений ,0, =〉−〈 pCyb iii ,,1 li = не существует строго положительного решения относительно вектора p. Теорема 3. Если распределение благ в экономической системе таково, что она «попала в ловушку», то не существует состояния равновесия у такой системы, равновесный ценовой вектор которого имел бы все строго положительные компо- ненты. Доказательство. От противоположного. Пусть распределение благ в эконо- мической системе таково, что она «попала в ловушку», и тем не менее существует состояние равновесия, равновесный ценовой вектор которого имеет строго поло- жительные компоненты и который удовлетворяет системе уравнений (6). По тео- реме о необходимом и достаточном условии существования экономического рав- новесия для векторов ib справедливо представление ,00 iii dbb += , , ,0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii ,,1 li = ,00 1 =∑ = i l i d ,0, 0 0 =〉〈 idp .,1 li = Так как ,,, 00 〉α〈=〉α〈 pCypb iii ,,, 〉〈=〉〈 pCypb iii ,,1 li = то, вычитая одну систему равенств из другой, получаем систему равенств ,0, 0 =〉α−−〈 ppCyb iii .,1 li = Если теперь выбрать число α достаточно малым, таким, чтобы имело место неравенство ,00 >α− pp что возможно, то придем к противоречию. Теорема доказана Определение 3. Распределение благ ,ib ,,1 li = в экономической системе бу- дем называть r-критическим при заданной структуре спроса, определяемой векто- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 131 рами спроса ,iC ,,1 li = вектором степеней удовлетворения потребностей потре- бителей ,}{ 1 l iiyy == если для векторов ,ib ,,1 li = справедливо представление ,iii dbb += , , , 0 0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii ,,1 li = ,0 1 =∑ = i l i d ,0,0 =〉〈 idp ,,1 li = (8) где 0p — строго положительный вектор, а ранг системы векторов ,iii Cyb − ,,1 li = (9) равен .rn − Из теоремы 1 следует, что в точке равновесия 0p происходит ветвление ре- шений, т.е. существует r параметрическое семейство решений, являющееся се- мейством равновесных состояний. Проведем классификацию этих состояний. Для этого введем в рассмотрение понятие стоимости денег. В данной модели считаем, что первая компонента 0 1p равновесного ценового вектора 0p в экономической системе — это стоимость такого специфического товара, как деньги, а первая компонента 1ψ вектора предложения ψ — предложение денег в экономической системе. Если ,1=r то можно определить однозначно стоимость денег, например, по- ложив , 1 0 20 1 ψ ψ = ∑ = ii n i p p (10) поскольку равновесный ценовой вектор при этом определяется с точностью до положительной константы. Здесь деньги будут как средством обмена, так и сред- ством, сохраняющим стоимость. Поскольку при 1>r заданному распределению благ в экономической системе отвечает семейство равновесных состояний, то в этом случае деньги будут иметь размытую стоимость, поскольку формула (10) будет давать целое семейство значений. Если колебание стоимости денег незна- чительное при заданном значении r, то и в этом случае деньги будут выполнять как функцию обмена, так и приблизительно функцию стоимости. В противопо- ложной ситуации, т.е. когда критичность станет такой, что деньги частично поте- ряют свою функцию стоимости, в экономической системе произойдет девальва- ция национальной валюты, и, как мы видим, причиной этого является несоот- ветствие структуры предложения в экономической системе структуре спроса. В такой экономической системе необходимы реформы структуры распределения благ, т.е. структурная перестройка экономики. В следующей теореме даны достаточные условия ветвления строго положи- тельных решений непосредственно через структуру распределения благ. Теорема 4. Пусть справедливы неравенства ,0 1 >∑ = ki n k C 0 1 >∑ = ki l i C (11) и существует строго положительный вектор ,}{ 1 l iiyy == 0>iy , матрица ,, 11 1 1 nl ikki ==τ=τ ,11 1 =τ∑ = ki n i ,,1 lk = такие, что: 1) имеет место равенство ; 1 ii l i yC∑ = =ψ 132 ISSN 0572-2691 2) матрица ,, 11 nl ikki ==τ=τ i kik ki y ψ τ =τ 1 удовлетворяет условиям: cτ — неот- рицательная и неразложимая, а 0≥ττc и не содержит ненулевых строк, ,}{ 1 n kkii bb == ,1 1 jikj l j ki bCb ∑ = = . 1 1 iski n i sks Cyb τ= ∑ = Если ранг системы векторов ,iii Cyb − ,,1 li = равен ,1−< nr то в точке 0p существует rn − параметрическая семья строго положительных решений систе- мы уравнений , , , 1 k i i ki l i pC pb C ψ= 〉〈 〉〈 ∑ = .,1 nk = (12) Доказательство. Существует вектор 0p [3], который является строго поло- жительным решением системы уравнений (12). В соответствии с теоремой 2 су- ществует rn − параметрическая семья строго положительных решений. Теорема доказана. Теорема 5. Пусть 0p — строго положительный вектор, а , , , 0 0 ψ 〉ψ〈 〉〈 = p pC yb i ii .,1 ni = (13) Если ранг совокупности векторов ,iii Cyb − ,,1 li = равен r, то точка 0p яв- ляется точкой ветвления решений системы уравнений , , , 1 k i i ki l i pC pb C ψ= 〉〈 〉〈 ∑ = ,,1 nk = (14) размерности .rn − Доказательство. Согласно теореме 4 0p — решение системы уравне- ний (14). Из теоремы 2 вытекает, что 0p — точка ветвления размерности .rn − Теорема доказана. Определение явления рецессии Полученные результаты используются для объяснения и детектирования яв- ления рецессии. Будем рассматривать эволюцию экономической системы в последовательные моменты времени ....,,2,1 Mm = Полагаем, что в момент времени Ms ,1∈ в эко- номической системе имеется sl потребителей и производится sn типов товаров. Каждый i-й потребитель в этом периоде функционирования экономики обладает вектором собственности ,}{ 1 sn k s ki s i bb == ,,1 sli = ,,1 Ms = который он желает об- менять на вектор, пропорциональный вектору ,}{ 1 sn k s ki s i CC == ,,1 sli = .,1 Ms = Далее полагаем, что выполнены условия: ,0 1 >∑ = s ki n k C s ,,1 sli = ,0 1 >∑ = s ki l i C s .,1 snk = (15) Пусть + sK — некоторый положительный конус, являющийся подмножеством неотрицательного конуса },1,0,}{,{ 1 si n ii nn nipppRpR sss =≥=∈= =+ , и такой, что для каждого вектора +∈ sKp каждая фирма, функционирующая в s-м перио- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 133 де, является неубыточной. Достаточные условия этого найдены в [3, гл. 4]. Будем полагать, что в рассматриваемом периоде эволюции экономической системы предложение денег неизменно. Определение 4. Под экономической динамикой в модели обмена понимаем последовательность состояний равновесия, определяемых последовательностью равновесных ценовых векторов ,0 sp ,,1 Ms = удовлетворяющих системе нера- венств , , , 0 0 1 s kss i ss is ki l i pC pb C ψ≤ 〉〈 〉〈 ∑ = ,,1 snk = ,,1 Ms = (16) и таких, что sp0 принадлежит множеству ,+sK .,1 Ms = Теорема 6. Пусть выполнены условия (15). Необходимым и достаточным условием существования экономической динамики в модели обмена, каждая из фирм в которой неубыточна, являются следующие условия: • существуют строго положительные векторы ,}{ 1 sl i s i s yy == ,,1 Ms = такие, что ; 1 s i s i l i s Cy∑ = =ψ (17) • для векторов s ib справедливо представление ,s i s i s i dbb += , , , 0 0 s ss ss is i s i v vC yb ψ 〉ψ〈 〉〈 = ,0 1 =∑ = s i l i d ,0,0 =〉〈 s i s dv ,,1 sli = ,,1 Ms = (18) где sv0 принадлежит множеству ,+sK .,1 Ms = Эта теорема является следствием теоремы 1. Определение 5. Пусть последовательность состояний экономического равно- весия, задаваемая последовательностью равновесных ценовых векторов ,0 sp ,,1 Ms = удовлетворяет системе неравенств (16). Будем говорить, что экономиче- ская система движется к состоянию рецессии, если ранг )(sr системы векторов ,s i s i s i Cyb − ,,1 sli = является убывающей функцией s, где . , , 0 0 〉〈 〉〈 = ss i ss is i pC pb y Из определения 5 вытекает алгоритм проверки того, движется экономическая система к состоянию рецессии или нет. Заключение В настоящей работе впервые получены необходимые и достаточные условия существования равновесия в модели обмена и дана классификация состояний равновесия. Существуют состояния равновесия, в которых экономическая система будет пребывать довольно долго, если ее не реформировать. В этом случае экономическая система «попала в ловушку», т.е. распределение благ в обществе неэффективно. Доказана теорема, в которой установлены достаточные условия существования ветвления решений состояний равновесия, дающих континуальное множество состояний равновесия в отличие от регулярной экономики, в которой может быть лишь конечное число состояний равновесия с заданной структурой распределения благ в обществе и структурой спроса. Такие состояни названы r-критическими. При 1=r состояние равновесия невы- рожденное и стоимость денег стабильна. При увеличении критичности состояния 134 ISSN 0572-2691 равновесия вырожденность состояния равновесия увеличивается, что приводит к обесцениванию денег. Построена экономическая динамика и предложен алгоритм выявления рецессии на ранней стадии. М.С. Гончар, А.С. Жохін КРИТИЧНІ СТАНИ В ДИНАМІЧНІЙ МОДЕЛІ ОБМІНУ ТА ЯВИЩЕ РЕЦЕСІЇ Отримано необхідні та достатні умови існування рівноваги у моделі обміну. Знайдено достатні умови галуження строго додатних розв’язків системи рів- нянь рівноваги. На цій основі проведено класифікацію станів рівноваги та розглянуто застосування поняття критичності стану рівноваги до пояснення явища рецесії. Запропоновано методику виявлення наближення економічної системи до стану економічного спаду. N.S. Gonchar, A.S. Zhokhin CRITICAL STATES IN DYNAMICAL EXCHANGE MODEL AND RECESSION PHENOMENON The necessary and sufficient conditions of the existence of economy equilibrium are obtained in exchange economy model. The sufficient conditions of branching of strictly positive solutions of the system of equilibrium equations are found. On this basis classification of equilibrium states is given and application of the notion of criticality of equilibrium state to the explanation of recession phenomenon is considered. The technique is proposed to detect approaching of an economy system to the state of recession. 1. Debreu G. Economies with a finite set of equilibria // Econometrica. — 1970. — 38. — P. 387–392. 2. Kehoe T.J. Computation and multiplicity of equilibria / W. Hildenbrand, H. Sonnenschein (eds.) // Handbook of Mathematical Economics. — Amsterdam : Elsevier Scie. Publ. B.V., 1991. — P. 2049–2144. 3. Gonchar N.S. Mathematical foundations of information economics. — Kiev : In-t of Theoretical Physics, 2008. — 468 p. Получено 13.04.2012 Введение Классификация состояний равновесия Определение явления рецессии Заключение

Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии

Institution

Ähnliche Einträge