Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями
Досліджено задачі оптимального керування з нерозділеними багатоточковими та інтегральними умовами. Для числового розв’язання задачі запропоновано використання методів оптимізації першого порядку з застосуванням отриманих в роботі формул градієнта функціонала. Для розв’язання прямої і спряженої крайо...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207601 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 61–77. — Бібліогр.: 23 назви. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207601 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2076012025-10-12T00:05:10Z Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями Задача управління з нерозділеними багатоточковими та інтегральними умовами Control Problem with Nonseparated Multipoint and Integral Conditions Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Оптимальное управление и методы оптимизации Досліджено задачі оптимального керування з нерозділеними багатоточковими та інтегральними умовами. Для числового розв’язання задачі запропоновано використання методів оптимізації першого порядку з застосуванням отриманих в роботі формул градієнта функціонала. Для розв’язання прямої і спряженої крайових задач запропоновано підхід, що ґрунтується на операції згортання інтегральних умов у нероздільні локальні і послідовного їх зсуву, що є аналогом переносу умов. Цей підхід дозволив звести розв’язання вихідних крайових задач до розв’язання допоміжної задачі Коші і системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Наведено результати експериментів. We investigate optimal control problems involving non-separated multipoint and integral conditions. For numerical solution to these problems, we propose to use first order optimization methods with the application of the formulae obtained in the work for the gradient of the functional. For numerical solution to both direct and conjugate boundary problems, we propose an approach based on the operation of convolution of integral conditions into non-separated local ones, as well as on their sequential shift, which is an analog of the operation of transfer of conditions. This approach allows reducing the initial boundary value problems solution to the solution to supplementary initial-value problem and to system of linear algebraic equations. Some results of numerical experiments are given. 2013 Article Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 61–77. — Бібліогр.: 23 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207601 519.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i3.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации |
| spellingShingle |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями Проблемы управления и информатики |
| description |
Досліджено задачі оптимального керування з нерозділеними багатоточковими та інтегральними умовами. Для числового розв’язання задачі запропоновано використання методів оптимізації першого порядку з застосуванням отриманих в роботі формул градієнта функціонала. Для розв’язання прямої і спряженої крайових задач запропоновано підхід, що ґрунтується на операції згортання інтегральних умов у нероздільні локальні і послідовного їх зсуву, що є аналогом переносу умов. Цей підхід дозволив звести розв’язання вихідних крайових задач до розв’язання допоміжної задачі Коші і системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Наведено результати експериментів. |
| format |
Article |
| author |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_facet |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_sort |
Айда-заде, К.Р. |
| title |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| title_short |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| title_full |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| title_fullStr |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| title_full_unstemmed |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| title_sort |
задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207601 |
| citation_txt |
Задача управления с неразделенными многоточечными и интегральными условиями / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 61–77. — Бібліогр.: 23 назви. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT ajdazadekr zadačaupravleniâsnerazdelennymimnogotočečnymiiintegralʹnymiusloviâmi AT abdullaevvm zadačaupravleniâsnerazdelennymimnogotočečnymiiintegralʹnymiusloviâmi AT ajdazadekr zadačaupravlínnâznerozdílenimibagatotočkovimitaíntegralʹnimiumovami AT abdullaevvm zadačaupravlínnâznerozdílenimibagatotočkovimitaíntegralʹnimiumovami AT ajdazadekr controlproblemwithnonseparatedmultipointandintegralconditions AT abdullaevvm controlproblemwithnonseparatedmultipointandintegralconditions |
| first_indexed |
2025-11-27T15:00:41Z |
| last_indexed |
2025-11-27T15:00:41Z |
| _version_ |
1849956128343982080 |
| fulltext |
© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, В.М. АБДУЛЛАЕВ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 61
УДК 517.977.58
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев
ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ
МНОГОТОЧЕЧНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
Введение
В последние годы возросло внимание исследователей к краевым задачам
с нелокальными многоточечными и интегральными условиями и к соответствую-
щим задачам оптимального управления. Это связано со спецификой функциони-
рования средств измерительный техники. А именно, измерения проводятся не
мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, причем замеры в от-
дельной точке в действительности характеризуют состояние объекта в целом в
некоторый области, содержащей точку измерения. Эти же проблемы возникают
при управлении из-за невозможности воздействовать на объект мгновенно во
времени и локально в его отдельных точках.
Исследования краевых задач с нелокальными условиями проводились уже
в начале 20-го века [1–3] и активизировались работами многих авторов как для
уравнений с обыкновенными, так и с частными производными [4–6]. В ра-
ботах [7–13] исследовалось оптимальное управление краевыми задачами с нело-
кальными многоточечными, интегральными условиями, получены необходимые
условия оптимальности.
Для линейных краевых задач с многоточечными условиями разработаны эф-
фективные численные методы прогонки, сдвига условий [14–16]. Для краевых за-
дач с интегральными условиями подразумевалась возможность их приведения к
задачам с многоточечными условиями за счет введения новых переменных и уве-
личения числа дифференциальных уравнений. Поэтому какие-либо специальные
численные методы для этих задач почти не разрабатывались.
В данной работе предлагается подход к численному решению краевых задач
с неразделенными многоточечными и интегральными условиями, являющийся
аналогом метода прогонки, и его использование в решении соответствующих за-
дач оптимального управления. Для задач оптимального управления получены
формулы для градиента функционала, представлен алгоритм численного решения,
основанный на методах оптимизации первого порядка.
1. Постановка задачи
Рассматривается следующая задача оптимального управления процессом, опи-
сываемым линейной по фазовой переменной системой обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:
),,()(),()( utBtxutAtx ],,( 0 Ttt (1)
где
nEtx )( — фазовая переменная;
rEUtu )( — управляющая вектор-
функция из класса кусочно-непрерывных функций, допустимые значения которой
принадлежат заданному компактному множеству U; матричная функции
const),( utA размерности )( nn и n-мерная вектор-функция ),( utB непрерыв-
ны по t и непрерывно-дифференцируемы по u.
Заданы неразделенные многоточечные и интегральные условия
,)
~
(
~
)()( 0
11
22
12
1
CtxDdxD jj
l
j
i
t
t
l
i
i
i
(2)
62 ISSN 0572-2691
где непрерывная матричная функция )(iD и скалярная матрица jD
~
имеют раз-
мерность );( nn 0C — n-мерный вектор; ,it jt
~
— моменты времени из ];,[ 0 Tt
,1 ii tt ,
~~
1 jj tt ,12...,,1 1 li ;1...,,1 2 lj 21, ll заданы.
Для конкретности, не умаляя общности, предположим, что, во-первых,
,)
~
,(min 011 ttt ,)
~
,(max
212 Ttt ll (3)
во-вторых, для всех ,...,,1 1li 2...,,1 lj выполняется вполне естественное
условие
].,[
~
212 iij ttt (4)
Целевой функционал имеет вид
,min),,())ˆ(()(
)(
0
0
Utu
T
t
dttuxftxuJ
(5)
где функция непрерывна по своим аргументам вместе с частными производны-
ми, а ),,(0 tuxf непрерывно-дифференцируемы по ),,( ux непрерывна по t;
)ˆ...,,ˆ,ˆ(ˆ
21221 lltttt — упорядоченное объединение точек множеств )
~
...,,
~
,
~
(
~
221 ltttt
и )...,,,(
1221 ltttt , т.е. ,ˆˆ
1 jj tt .12...,,1 21 llj
Основное различие постановки задачи (1)–(5) от задач оптимального управ-
ления, рассмотренных, например, в работах [10–12], заключается в неразделенных
нелокальных интегральных и многоточечных условиях (1), (2). Введением новых
фазовых переменных задачу (1)–(5) можно свести к задаче с многоточечными
условиями. Действительно, введем новый фазовый вектор
)),(...,),(()(
11 1 txtxtX
l
),()(1 txtx являющийся решением системы дифферен-
циальный уравнений
),,()(),()( 11 utBtxutAtx ),()()( 11 txtDtx i
i ], ,( 212 ii ttt ,2...,,1 1li (6)
с начальными условиями
,0)( 12
1
i
i tx .2...,,1 1li (7)
Тогда условия (2) примут вид
.)
~
(
~
)( 0
1
1
2
1
1
21
CtxDtx jj
l
j
i
i
l
i
(8)
Система (6)–(8) эквивалентна (1), (2). В системе (6), (7) содержится nl )1( 1
дифференциальных уравнений относительно фазового вектора )(tX и столько же
условий в (7), (8). Недостаток краевой задачи (6), (7) — большая размерность. Это
существенно для численных методов решения краевых задач, основанных, как пра-
вило, на методах типа прогонки или сдвига краевых условий [13–16]. Увеличение
размерности фазового вектора усложняет также решение самой задачи оптималь-
ного управления из-за увеличения размерности сопряженной задачи.
Отметим, что, пользуясь подходом, предложенным в работе [15], за счет до-
полнительного увеличения размерности вектора фазовых переменных до
,)1)(1(2 121 nlll задачу (6)–(8) можно привести к двухточечной задаче с раз-
деленными краевыми условиями.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 63
Пользуясь методикой работ [17–20], можно получить условия существования
и единственности решения задачи (1), (2) при каждом допустимом управлении
Uu без сведения ее к задаче с многоточечными условиями (8). Но проведение
таких исследований не является целью данной публикации.
В настоящей работе предлагается подход к численному решению как краевой
задачи (1), (2), так и задачи оптимального управления, не требующий увеличения
порядка системы дифференциальных уравнений и фазового вектора.
Предположим, что при каждом допустимом управлении Utu )( имеется
единственное решение задачи (1), (2). Для этого будем считать, что параметры за-
дачи (1), (2), после приведения ее к виду (6)–(8) удовлетворяют условиям, пред-
положенным в работах, посвященных системам дифференциальных уравнений
с многоточечными и двухточечными условиями.
2. Формула для градиента функционала задачи (1)–(5)
Для численного решения задачи оптимального управления (1)–(5) с примене-
нием методов оптимизации первого порядка [21, 22] получим формулы градиента
функционала.
Относительно произвольного допустимого базового процесса ));(),(( utxtu
определим задачу (1), (2) в приращениях, соответствующую допустимому управ-
лению :~ uuu
),,()(),()(),()( utBtxutAtxutAtx uu ],,( 0 Ttt (9)
.0)
~
(
~
)()(
22
12
1
11
jj
l
j
i
t
t
l
i
txDdxD
i
i
(10)
Здесь использованы обозначения ),,()~,()( utxutxtx ),,()~,(),( utAutAutAu
).,()~,(),( utButButBu
Пусть
nRt )( — почти всюду непрерывно-дифференцируемая вектор-
функция — и числовой вектор nR пока произвольны. Учитывая, что )(tx и
)()( txtx являются решением задачи (1), (2) при соответствующих значениях
управлений, можно записать:
dtutBtxutAtxtdttuxftxuJ
T
t
T
t
),()(),()()(),,())ˆ(()( *0
00
,)
~
(
~
)()( 0
11
*
22
12
1
CtxDdxD jj
l
j
i
t
t
l
i
i
i
dttuuxxftxtxuuJ
T
t
),,())ˆ()ˆ(()( 0
0
dtuutBxxuutAxxt
T
t
)],())(,())[((*
0
.))
~
()
~
((
~
))()()(( 0
11
*
22
12
1
CtxtxDdxxD jjj
l
j
i
t
t
l
i
i
i
Тогда для приращения функционала с точностью до членов первого порядка ма-
лости имеем
)ˆ(
)ˆ(
))ˆ((
)(
)(
),,(
)(
)(
),,(
)(
21
0
2
1
00
k
k
ll
k
T
t
tx
tx
tx
dttu
tu
tuxf
tx
tx
tuxf
uJ
64 ISSN 0572-2691
dttu
tu
utB
txtu
tu
utA
txutAtxt
k
k
t
t
ll
k
)(
)(
),(
)()(
)(
),(
)(),()()(*
ˆ
ˆ
12
1
121
)
~
(
~
)()(
22
12
1
1
*
1
*
jj
l
j
i
t
t
l
i
txDdxD
i
i
).)ˆ(())(())(( 321
00
txodttuodttxo
T
t
T
t
(11)
Используя интегрирование по частям, несложно получить
)ˆ(])ˆ()ˆ([)()()()( **
12
2
00
**
21
kkk
ll
k
txtttxtTxT
dttxtDttutAtt iii
l
i
T
t
)()(])()([),()()( 122
1
**
1
0
).
~
(
~
)(
)(
),(
)(
)(
),(
)(
2
0
1
*
jj
l
j
T
t
txDdttu
tu
utB
tx
tu
utA
t
(12)
Здесь использованы обозначения: * — знак транспонирования, ),0ˆ()ˆ(
kk tt
),0ˆ()ˆ(
kk tt ),2(...,,1 21 llk )(t — функция Хевисайда.
Из (11) и (12) после группировки соответствующих членов получим следую-
щее выражение для приращения функционала:
dttx
tx
tuxf
tDttutAttuJ iii
l
i
T
t
)(
)(
),,(
)()]()([),()()()(
0
122
1
***
1
0
dttu
tu
utB
tx
tu
utA
t
tu
tuxf
T
t
)(
)(
),(
)(
)(
),(
)(
)(
),,( *
0
0
)
~
(
~
)ˆ(
)ˆ(
))ˆ((
)ˆ()ˆ( *
1
**
12
2
221
jj
l
j
k
k
kk
ll
k
txDtx
tx
tx
tt
).)ˆ(())(())(()()()()( 32100
**
00
k
T
t
T
t
txodttuodttxotxtTxT (13)
Пусть )(t — решение системы уравнений
)(
),,(
)(])()([)(),()(
*0
*
122
1
*
1
tx
tuxf
tDtttutAt ii
l
i
(14)
с граничными условиями
,если,
)(
))ˆ((
,
~
если,
~
)
~
(
))ˆ((
)(
10
*
1
10
*
1
*
1
0
tt
tx
tx
ttD
tx
tx
t (15)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 65
,если,
)(
))ˆ((
,
~
если,
~
)
~
(
))ˆ((
)(
1
1
22
2
2
*
2
*
*
Tt
tx
tx
TtD
tx
tx
T
l
l
ll
l
(16)
условиями скачка в промежуточных точках ,
~
jt для которых ,
~
0 Ttt j
,
~
)
~
(
))ˆ((
)
~
()
~
( *
*
j
j
jj D
tx
tx
tt ,...,,1 2lj (17)
и в точках ,it ,2...,,1 1li для которых ,0 Ttt i
,
)(
))ˆ((
)()(
*
i
ii
tx
tx
tt .2...,,1 1li (18)
Вместо (14), (17), (18) можно использовать систему дифференциальных
уравнений с импульсными воздействиями:
)(])()([)(),()( *
122
1
*
1
tDtttutAt ii
l
i
.
)(
),,(
)(
)(
))ˆ((
)
~
(
~
)
~
(
))ˆ(( *0*
1
*
*
1
1
1
2
tx
tuxf
tt
tx
tx
ttD
tx
tx
i
i
l
i
jj
l
j
(19)
Здесь )( — функция Дирака. Задачи (14)–(18) и (19),(15),(16) эквиваленты, при-
чем численные схемы их аппроксимации и используемые алгоритмы решения
совпадают.
Учитывая (16)–(18) в (13), для приращения функционала имеем
,)(
)(
),(
)(
)(
),(
)(
)(
),,(
)( *
0
0
dttu
tu
utB
tx
tu
utA
t
tu
tuxf
uJ
T
t
где ).)ˆ(())(())(( 321
00
txodttuodttxo
T
t
T
t
Относительно оценки величин ))((1 txo и ))ˆ((3 txo отметим следую-
щее. Как вытекает из разд. 1, рассматриваемую краевую задачу (1), (2) можно
привести к нелокальной краевой задаче как с многоточечными, так и с двухточеч-
ными условиями. Подобные задачи достаточно хорошо исследованы во многих
работах при различных условиях на функции, параметры, участвующие в поста-
новке, в том числе и для нелинейных задач. В этих работах для разных вариантов
условий получена оценка
,)()( tuctx (20)
где 0const c не зависит от выбора допустимого управления.
Использовав методику этих работ, можно получить аналогичную оценку и
для краевой задачи (1), (2). Но поскольку цель данной работы — численное реше-
ние задачи, то получение оценки (20) непосредственно для задачи (1)–(5) мы не
приводим.
Таким образом, градиент целевого функционала при допустимом управлении
)(tu в задаче (1)–(3) определяется выражением
66 ISSN 0572-2691
),(
)(
),(
)(
)(
),(
)(
),,(
)(grad
**0
t
tu
utB
tx
tu
utA
tu
tuxf
uJ
(21)
где )(tx и )(t — соответствующие этому управлению решения системы (1), (2)
и сопряженной задачи (14), (15).
Если имеется конструктивный алгоритм вычисления значения градиента
функционала (21), несложно реализовать итерационные методы минимизации
первого порядка, в частности метод проекции градиента [21, 22]:
))),((grad)(()(1 tuJtuPtu k
k
k
U
k ...,,1,0k (22)
)))),((grad)(((minarg
0
tuJtuPJ kk
Uk
где )(UP — оператор проектирования элемента rE на допустимое множе-
ство U, k — шаг одномерной минимизации.
На каждой итерации (22) вычисление градиента функционала при заданном
управлении сопряжено с двумя наиболее существенными трудностями, связан-
ными со спецификой задачи, а именно с проблемой решения неавтономной си-
стемы дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и инте-
гральными условиями (1), (2) и проблемой решения сопряженной краевой зада-
чи (14)–(18), в нелокальных условиях которой участвует неизвестный n-мерный
вектор параметров . В целом система соотношений (1), (2), (14)–(18) для опреде-
ления градиента функционала при заданном управлении )(tu замкнута: для неиз-
вестных n2 функций )(),( ttx и их n2 начальных значений, n-мерного
вектора имеется 2n-мерная система дифференциальных уравнений, n условий в
(2) и n2 условий в (15), (16).
Ниже для преодоления этих проблем предлагается алгоритм, основанный на
использовании разработанной в [16] операции сдвига условий для решения си-
стем уравнений с неразделенными промежуточными условиями и краевыми усло-
виями, включающими неизвестные параметры [23]. Понятие сдвига промежуточ-
ных условий обобщает известную операцию переноса краевых условий и основа-
но на развитии результатов работы [16] на данный класс задач.
3. Численная схема решения задачи
Одним из подходов к численному решению задачи (1), (2) могло бы служить
ее сведение к задаче c точечными неразделенными условиями (6)–(8) с помощью
введения новых переменных.
Как указывалось в разд. 1, очевидным недостатком такого подхода является
необходимость увеличения порядка системы, что усложняет проведение операций
прогонки и сдвига функциональных матриц соответствующего порядка [16].
Ниже предложена и исследована схема метода сведения условий (2) к начальным
условиям Коши, не требующая увеличения размерности системы дифференциальных
уравнений. Для этого сначала приведем условие (2) к интегральному виду.
Введем следующую матричную функцию размерности :)( nn
),
~
(δ
~
)()(
21
11
jj
l
j
i
l
i
ttDtDtD
(23)
где )(tx — функция Хевисайда:
,0,1
,0,0
)(
t
t
tx
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 67
)(t — обобщенная функция Дирака, функция )(tDi есть
. ],[,0
, ],[),(
)(
212
212
ii
iii
i
ttt
ttttD
tD
Из (23) следует, что 0)( tD при .
~
],[
21
1
212
1
l
j
jii
l
i
tttt
Условие (2), учитывая (3), (4), можно записать в эквивалентном матричном виде
,)()( 0
0
CdxD
T
t
(24)
или каждое из n условий (24) в отдельности:
,)()( 0
0
CdxD
T
t
,...,,1 n (25)
где )(D — -я n-мерная строка матричной функции ).(D
Теперь для замены интегральных условий (24) локальными (точечными)
начальными условиями Коши используем операцию, являющуюся аналогом опе-
рации переноса (прогонки) условий, которую назовем операцией свертывания.
Введем n-мерные вектор-функции
,)()()(
0
dxDtC
t
t
dxDtC
T
t
)()()( , (26)
для которых имеет место
,0)()( 0 TCtC .)()( 00 CtCTC (27)
Определение. Матричные функции ),(t )(t размерности nn и n-мерные
вектор-функции )(),( tt сворачивают интегральные условия (24) в точечные соот-
ветственно в правом и левом концах, если для любого решения системы (1) )(tx вы-
полняются условия
),()()()()(
0
ttxtdxD
t
t
],,[ 0 Ttt (28)
),()()()()( ttxtdxD
T
t
].,[ 0 Ttt (29)
Из (28), (29), учитывая (26), (27), следует
,)()()()( 0CTCTTxT (30)
.)()()()( 00000 CtCttxt (31)
Каждoe из условий (30), (31) представляет собой локальное краевое условие.
Пары функций )(),( tt и ),(t )(t назовем функциями, сворачивающими инте-
гральные условия (24) в точечные соответственно слева направо и справа налево.
Пусть nnO — матрица с нулевыми элементами размерности ),( nn nO —
n-мерный вектор с нулевыми элементами. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если функции )(),( tt — решение следующих задач Коши:
),()()()( tDtAtt ,)( 0 nnOt (32)
),()()( tBtt
,)( 0 nOt (33)
то они сворачивают слева направо интегральные условия (24) в точечные условия (30).
68 ISSN 0572-2691
Доказательство. Предположим наличие зависимости
),()()()( ttxttC ].,[ 0 Ttt (34)
От )(β),( tt — пока произвольных матричной и векторной функций размера
nn и n соответственно, потребуем выполнения условий (33). Тогда очевидно
имеет место
,)( 0 nnOt .)( 0 nOt
Дифференцируя (34) и учитывая (1), (25), имеем
.0)]()()([)()]()()()([ tBtttxtDtAtt (35)
Учитывая произвольность функций ),(t ),(t а также то, что (35) должно
выполняться для всех )(tx -решений системы (1), необходимо, чтобы каждое из
выражений в двух квадратных скобках (35) обращалось в ноль, т.е. удовлетворя-
лись условия (32), (33).
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если функции )(β),( tt являются решением следующих задач Коши:
),()()()( tDtAtt ,)( nnOT (36)
),()()( tBtt ,)( nOT (37)
то они сворачивают справа налево интегральные условия (24) в точечные условия (31).
Таким образом, для решения задачи (1), (2), решив задачу Коши (32), (33) или
(36), (37), нужно получить соответственно линейную алгебраическую систе-
му (30) или (31) n-го порядка, из которой определяется )(Tx или ).( 0tx Их можно
использовать как начальные условия для решения задачи Коши относительно ос-
новной системы (1).
Выбор схемы сворачивания условия (2) справа налево или наоборот зависит
от свойств матрицы ),(tA а именно от ее собственных значений. Если они все по-
ложительны, то устойчива система (32), (33), если же все собственные значения
)(tA отрицательны, то устойчива система (36), (37). Если же часть собственных
значений матрицы )(tA положительна, а часть отрицательна, причем по модулю
они принимают большие значения, то обе системы имеют быстрорастущие реше-
ния, а следовательно, неустойчивы и их численное решение может приводить к
большим погрешностям. В этом случае рекомендуется воспользоваться предлага-
емыми в следующей теореме сворачивающими функциями, имеющими линейный
рост во времени.
Теорема 3. Если n-мерная вектор-функция )(1 tg и скалярные функции
),(2 tg
)(tm
являются решением следующих нелинейных задач Коши:
),()()()()()()( *
1
*
11 tDtmtgtAtgtStg ,0)( 01 ntg
(38)
),()()()()( 122 tgtBtgtStg ,0)( 02 tg (39)
),()()( tmtStm ,1)( 0 tm (40)
,
]))(()()([
)()()()()()()()()(
)(2
1
)(
2
211
21111
0
tgtgtg
tgtgtBtgtDtmtgtAtg
tT
tS
(41)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 69
то функции )(),( 21 tgtg — сворачивают -е интегральное условие (25) слева
направо, причем имеет место
),(/)())(()()( 00
2
21
*
1 tTtttgtgtg
].,[ 0 Ttt (42)
Доказательство. Умножая -е равенство из (34) на пока произвольную
функцию ),(tm удовлетворяющую условию
,1)( 0 tm (43)
получим ).()()()()()()( ttmtxttmtCtm
Обозначим
),()()(1 ttmtg
),()()(2 ttmtg
(44)
причем ясно, что ,0)( 01 ntg
.0)( 02 tg
От выбора функции )(tm
потребуем обеспечения условия (42), т.е. линей-
ного роста суммы квадратов сворачивающих функций.
Дифференцируя (42), получим
)./(1)()(2))(),((2 02211 tTtgtgtgtg (45)
Продифференцировав (44) и учтя (32), несложно получить
),()()()()(
)(
)(
)( *
1
*
11 tDtmtgtAtg
tm
tm
tg
(46)
).()()(
)(
)(
)( 1
*
22 tgtBtg
tm
tm
tg
(47)
Подставляя полученные производные в (45), имеем
)(),()()()()(
)(
)(
1
*
1
*
1 tgtDtmtgtAtg
tm
tm
.
)(2
1
)()()())((
)(
)(
0
21
*2
2
tT
tgtgtBtg
tm
tm
Отсюда, использовав обозначение (41), несложно получить уравнение (40).
Подставляя (40) в (47), (48), получим уравнения (38), (39).
Теперь займемся решением сопряженной краевой задачи (14)–(17) при усло-
вии, что при заданном )(tu фазовая переменная )(tx — решение задачи (1), (2)
с применением описанной выше процедуры, уже определена. Для уменьшения
громоздкости записи формул и описания предлагаемой ниже численной схемы
решения предположим, что 01
~
tt и ,
~
2
Ttl а сопряженную задачу (14)–(17) за-
пишем в виде
)()()]()([)()()( 122
1
1
1
tCtDttttAt iii
l
i
(48)
с граничными условиями
,
~~
)(
~
1101 DKtG (49)
,
~~
)(
22
ll DKT (50)
70 ISSN 0572-2691
условиями скачка в промежуточных точках ,
~
jt для которых :
~
0 Ttt j
,
~~
)
~
()
~
(
jjjj DKtt ,1...,,3,2 2 lj (51)
и в точках ,it для которых ,0 Ttt i :2...,,1 1li
,)()( iii Ktt .2...,,1 1li (52)
Здесь nIG 1 — единичная n-мерная матрица и введены следующие обозначения
для уже вычисленных при решении прямой задачи матриц и векторов:
),,()(1 utAtA ,/),,()( 0 xtuxftC ),
~
(/))ˆ((
~
jj txtxK ,
~~*
jj DD ,...,,1 2lj
),()(* tDtD ii ,2....,,2,1 1li ),(/))ˆ(( ii txtxK .2...,,1 1li
В задаче (48)–(51), определяемой системой n дифференциальных уравне-
ний (26), в общем случае заданы n2 краевых условий, включающих неизвестный
n-мерный вектор . Таким образом, условия задачи (48)–(51) замкнуты, но имеет-
ся специфика, заключающаяся в наличии разрывов у функции ),(t определяе-
мых скачками по формуле (51).
Условие (49) будем считать сдвинутым вправо на полуинтервале )
~
,
~
[ 21 ttt
матричными и векторными функциями ),(1 tG nnRtD )(1 ,
nRtK )(1 такими, что
,
~
)
~
()( 11101 GtGtG ,
~
)
~
()( 11101 KtKtK ,
~
)
~
(
~
)(
~
11101 DtDtD (53)
если для решения (48)–(51) имеет место
,)()()()( 111 tDtKttG ).
~
,
~
[ 21 ttt (54)
Далее, используя результаты работы [23], приведем способы получения
функций сдвига ),(),( 11 tDtG )(1 tK . С помощью формулы (54) сдвигаем началь-
ные условия (52) в точку 0
~
2 tt и, учитывая условие скачка (51) в точке
,0
~
2 tt получим
.]
~
)
~
()
~
([]
~
)
~
()
~
([)0
~
()
~
( 221212221221 DtGtDKtGtKttG
Введем обозначения
,0
~~
22 tt ),
~
(
~
21
1
1 tGG ,
~
)
~
()
~
(
~
2221
1
1 KtGtKK .
~
)
~
()
~
(
~
22121
1
1 DtGtDD
В результате получим эквивалентные (49) условия, определенные в точке 2
~
t :
.
~~
)
~
(
~ 1
1
1
12
1
1 DKtG
Повторяя 12 l раз процедуру сдвига условия (49), в конце, учитывая (53),
получим линейную систему n2 алгебраических уравнений относительно
)()
~
(
2
Ttl и . После решения этой системы из задачи Коши относительно (48)
справа налево определяется вектор-функция ).(t
Поясним этапы процесса сдвига условия (49). Для конкретности предполо-
жим, что ),
~
,
~
[ ],[ 2121 tttt .
~
01 tt Операция сдвига условия проводится последо-
вательно на интервалах ),,
~
[ 11 tt ),,[ 21 tt )
~
,[ 22 tt с помощью формулы (54).
1. Для ),
~
[ 11 ttt сдвигаем начальные условия (49) в точку 01 tt и, учиты-
вая условие скачка (52) в точке ,1tt получаем
.)(])()([)0()( 1111111111 tDKtGtKttG
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 71
Считая ,011 tt введем обозначения ),(
~
11
1
1 tGG ,)()(
~
11111
1
1 KtGtKK
),(
~
11
1
1 tDD в итоге получим эквивалентные (49) начальные условия, определен-
ные в точке :1t
.
~~
)(
~ 1
1
1
11
1
1 DKtG (55)
2. Для ),[ 21 ttt сдвигаем условия (55) в точку 02 tt и, учитывая усло-
вие скачка (52) в точке ,2tt получаем
.)(])()([)0()( 2122121221 tDKtGtKttG
Считая ,022 tt введем обозначения ),(
~
21
2
1 tGG ,)()(
~
22121
2
1 KtGtKK
),(
~
21
2
1 tDD в результате получим эквивалентные (55) условия, определенные в
точке :2t
.
~~
)(
~ 2
1
2
12
2
1 DKtG (56)
3. Для )
~
,[ 22 ttt сдвигаем условия (56) в точку 0
~
2 tt и, учитывая усло-
вие скачка (51) в точке ,
~
2tt получаем
.]
~
)
~
()
~
([])
~
()
~
([)0
~
()
~
( 2212122121221 DtGtDKtGtKttG
Считая ,0
~~
22 tt введем обозначения ),
~
(
~
21
3
1 tGG ,)
~
()
~
(
~
22121
3
1 KtGtKK
,
~
)
~
()
~
(
~
22121
3
1 DtGtDD в итоге получим эквивалентные (56) условия, определен-
ные в точке ,
~
2t
.
~~
)
~
(
~ 3
1
3
12
3
1 DKtG (57)
Функции ),(),(),( tDtKtG jjj ,...,,1 2lj осуществляющие последователь-
ный сдвиг условий (49) вправо, т.е. удовлетворяющие (53), (54), определены не
единственным образом. Например, могут использоваться функции, предлагаемые
в следующей теореме.
Теорема 4. Пусть функции )(),(),( 111 tDtKtG являются решениями следую-
щих задач Коши при ]
~
,
~
( 21 ttt :
,)
~
(),()()(
,
~
)
~
(),()()()()(
,
~
)
~
(),(])()([)()()()(
,
~
)
~
(),()()()()(
1
0
11111
0
1
111122
1
11
0
1
111111
0
1
1
nn
iii
l
i
ItQtQtQtQ
KtKtCtGtKtQtK
DtDtDtttGtDtQtD
GtGtAtGtGtQtG
(58)
)()()()()(])()([)()()()()( *
11
*
1122
1
1111
0
1
tKtCtGtDtDtttGtGtAtGtQ iii
l
i
.)]()()()()()([ 1
111111
tKtKtDtDtGtG
Тогда эти функции на полуинтервале )
~
,
~
[ 21 ttt осуществляют сдвиг
условия (49) вправо и для них справедливо соотношение (54). Также удовлетворя-
ется условие
),
~
,
~
[
,const
~~~
)()()(
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ttt
KDGtKtDtG nnnnnnnnnn RRRRRR
(59)
которое обеспечивает устойчивость решения задачи Коши (58).
72 ISSN 0572-2691
Доказтельство. Продифференцируем выражение (54):
,)()()()()()( 1111 tDtKttGttG
и учитывая (48), получаем равенство
.)()()()(])()([)()()()()( 11122
1
111
1
tDtKtCtDttttAtGttG iii
l
i
После группировки получим уравнение
)(])()([)()()()]()()([ 122
1
11111
1
tDtttGtDttAtGtG iii
l
i
.0)]()()([ 11 tCtGtK
Приравняв нулю выражения в квадратных скобках, имеем
),()()( 111 tAtGtG ),()]()([)()( 122
1
11
1
tDtttGtD iii
l
i
).()()( 11 tCtGtK (60)
Функции ),(),(),( 111 tDtKtG являющиеся решением задач Коши (60), (53),
удовлетворяют условию (54), т.е. сдвигают условия (49) из точки 01
~
tt в
точку .
~
2t Но численное решение задач Коши (60), (53), как известно, сопряжено
с неустойчивостью из-за наличия быстрорастущих компонент. Это связано с тем,
что часто матрица )(tA имеет положительные и отрицательные собственные зна-
чения. Поэтому займемся нахождением функций сдвига, удовлетворяющих усло-
вию (59).
Умножим обе части (54) на произвольную матричную функцию )(tQ такую, что
,)
~
( 1 nnItQ ,)(rang ntQ ),
~
,
~
[ 21 ttt
и обозначим
),()()( 1 tGtQtg ),()()( 1 tDtQtq ).()()( 1 tKtQtr (61)
Из (54) имеем
.)()()()( tqtrttg (62)
Продифференцировав (61) и, учитывая (60), получим
),()()()()()()()()()( 1
1
11 tAtgtgtQtQtGtQtGtQtg (63)
),(])()([)()()()()()()()()( 122
1
1
11
1
tDtttgtqtQtQtDtQtDtQtq iii
l
i
(64)
).()()()()()()()()()( 1
11 tCtgtrtQtQtKtQtKtQtr (65)
Транспонируя соотношения (63)–(65), имеем
),()())()()(()( **
1
*1** tgtAtQtQtgtg (66)
),()()]()([))()()(()( **
122
1
*1**
1
tgtDtttQtQtqtq iii
l
i
(67)
).()())()()(()( ***1** tgtCtQtQtrtr (68)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 73
Выберем матричные функции )(tQ так, чтобы удовлетворялось соотношение
const.)()()()()()( trtrtqtqtgtg
Дифференцируя его, получаем
.0)()()()()()()()()()()()( trtrtrtrtqtqtqtqtgtgtgtg (69)
Подставляя (63)–(68) в (69), после группировки получаем
))()()()()()()(()([ 1 trtrtqtqtgtgtQtQ
)()()()()(])()([)()()()( **
122
1
*
1
1
trtCtgtqtDtttgtgtAtg iii
l
i
))()()()()()()(()([ 1 trtrtqtqtgtgtQtQ
.0)()()()()(])()([)()()()(
*
**
122
1
*
1
1
trtCtgtqtDtttgtgtAtg iii
l
i
От )(tQ потребуем равенства нулю выражений в обеих больших скобках, откуда
следует
))()()()()()()(()([ 1 trtrtqtqtgtgtQtQ
.0)()()()()()]()([)()()()( **
122
1
*
1
1
trtCtgtqtDtttgtgtAtg iii
l
i
Отсюда имеем
),()()( 01 tQtQtQ
(70)
где
)()()()()(])()([)()()()()( **
122
1
*
1
0
1
trtCtgtqtDtttgtgtAtgtQ iii
l
i
.)]()()()()()([ 1*** trtrtqtqtgtg
Подставив (70) в (63)–(65) и переобозначив функции )(tg в )(),(1 tqtG —
в )(),(1 trtD — в ),(1 tK получим утверждение теоремы.
Несложно провести аналогичные рассуждения и получить формулы для осу-
ществления последовательного сдвига условия (50) влево.
Таким образом, для реализации итерационной процедуры (22) на каждой ее
итерации при заданном ),()( tutu k ],,[ 0 Ttt ...,,1,0k необходимо выполне-
ние следующих этапов:
1) решить задачу (1), (2) с использованием решения вспомогательных задач
Коши (38)–(42) и определить фазовую траекторию ),(tx ];,[ 0 Ttt
2) решить задачу (48)–(53) с использованием процедуры (54) сдвига краевых
условий и определить сопряженную вектор-функцию ),(t ],,[ 0 Ttt и вектор
двойственных переменных ;
3) подставляя найденные значения ),(),( ttx ],,[ 0 Ttt в формулу (21),
определить значения градиента функционала.
Вместо процедуры метода проекции градиента (22) могут использоваться
другие эффективные численные методы оптимизации первого порядка [21, 22].
74 ISSN 0572-2691
Приведенная выше схема численного решения может применяться и к нели-
нейным задачам оптимального управления:
),),(),(()( ttutxftx ],,[ 0 Ttt (71)
.)
~
(...,),
~
(),
~
((),(
2
22
12
1
21
11
Ctxtxtxdxh lj
l
j
i
t
t
l
i
i
i
(72)
Здесь имеем n-мерные вектор-функции: ),,( tuxf непрерывно-дифференцируема по
первым двум аргументам: ),,( xhi ),
~
(...,),
~
(),
~
((
221 lj txtxtx ,2...,,1 1li ,...,,1 2lj
непрерывно-дифференцируема по всем своим аргументам: ,)
~
,(min 011 ttt
Ttt ll )
~
,(max
212 ; для всех ,2...,,1 1li ,...,,1 2lj выполняется вполне есте-
ственное условие ].,[
~
212 iij ttt
В этом случае алгоритм решения задачи будет отличаться лишь первым эта-
пом, так как сопряженная задача (48)–(53) линейна по )(t независимо от харак-
тера прямой задачи. Для решения (71), (72) при текущем управлении )()( tutu k
можно использовать метод последовательной линеаризации по фазовой переменной:
),),(()),(()( 11 ttuBxttuAtx ksskss (73)
.
~
)
~
(
~
)( 1
1
1
1
22
12
1
s
j
ss
j
l
j
ss
i
t
t
l
i
CtxDdxD
i
i
(74)
Здесь ...,,1,0s )(0 tx — произвольное начальное приближение фазовой траек-
тории, которое не обязано удовлетворять ни (71), ни (72):
,
)),(),((
)),((
x
ttutxf
ttuA
ks
ks
),()),(()),(),(()),(( txttuAttutxfttuB sksksks
,
)(
)),((
i
s
is
i
tx
xh
D
,2...,,1 1li ,
)
~
(
))
~
(...,),
~
(),
~
((~ 221
j
l
sss
is
j
tx
txtxtx
D
,...,,1 2lj
.)
~
(
~
))
~
(...,),
~
(),
~
(()]()),(([
~ 2
2
2
12
1
1
21
1
j
ss
j
l
j
l
sss
j
ss
i
s
i
t
t
l
i
s txDtxtxtxdxDxhCC
i
i
Последовательная линеаризация и решение (73), (74) ведется до тех пор, пока
не выполнится условие
,)()( 1
1 txtx ss
где 01 — величина, определяемая необходимой точностью решения системы
дифференциальных уравнений с неразделенными условиями.
4. Численные эксперименты
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления при ],1;0[t ,2n
:1r
,59)()(5)(
,53)(3)(2)(
3
212
2
211
ttttxtxtx
tttutxttxtx
(75)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 75
,
2377,6
16335,1
)(
3
21
)5,0(
4
1
3
2
)(
1
3
2
1
7,0
2,0
0
dxxdx (76)
,
1
3
2
)(1
t
t
tD ,
3
21
)(2
t
t
tD ,
4
1
3
2~
1
D
.]2)1([]1)1([]25,1)5,0([)5,0(]2)()([)( 2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
0
xxxxdttutxuJ (77)
Точное решение задачи определяется следующими функциями: ,12)(* ttu )(*
1 tx
,12 t ,1)( 2*
2 ttx при этом минимальное значение функционала .0)( * uJ
Согласно формулам (14)–(17) сопряженная задача имеет следующий вид:
)2))(0()2,0(()(5)(2)( 21211 ttttt
),2)()((2)))(7,0()1(( 121 tutxt
),32))(7,0()1(())1(3))(0()2,0(()()(3)( 2121212 tttttt
,0)0(1 ,0)0(2
],1)1([2)1( 11 x ],1)1([2)1( 22 x
,32)5,0(2)5,0()5,0( 21111 x
.4]25,1)5,0([2)5,0()5,0( 21222 x
Градиент функционала определяется формулой ).(]2)()([)(grad 11 tttutxuJ
Численные эксперименты проводились при разных начальных управлениях
),(0 tu разных значений N — числа разбиений временного интервала при исполь-
зовании метода Рунге-Кутта четвертого порядка и метода сопряженного градиен-
та. В табл. 1 приведены результаты решения системы (75), (76), соответствующей
сопряженной системы и значения компонент нормированных градиентов, вычис-
ленных по предложенным формулам (21) )( Jnorm
anal и конечноразностной аппрок-
симации функционала )( Jnorm
appr по формуле
,/))()((/)( uJeuJuuJ jj (78)
где ju — значение управления )...,,,( 21 Nuuuu в j-й момент дискретизации,
je — N-мерный вектор, состоящий из нулей, кроме j-й компоненты, равной еди-
нице. Величина выбиралась равной 0,1 и 0,001.
Таблица 1
t )()0( tu )(
)0(
1 tx )(
)0(
2 tx )(
)0(
1 t )(
)0(
2 t Jnorm
anal
Jnorm
appr
1,0 001,0
0 1,0000 1,5886 1,2034 – 9,2836 – 6,3653 – 0,0180 – 0,0138 – 0,0161
20 2,0000 1,5641 2,4702 – 0,5626 3,2122 – 0,0107 – 0,0104 – 0,0107
40 3,0000 1,2382 3,5937 2,9294 14,8639 – 0,0037 – 0,0049 – 0,0052
60 4,0000 0,6657 4,4538 – 4,5081 14,2492 0,0140 0,0147 0,0145
80 5,0000 – 0,0781 4,9528 – 10,9008 11,4433 0,0367 0,0411 0,0410
100 6,0000 – 0,8973 5,0218 – 15,1806 7,0519 0,0606 0,0688 0,0667
120 7,0000 – 1,6767 4,6295 – 21,2792 9,1844 0,0911 0,0994 0,0994
140 8,0000 – 2,2835 3,7919 – 22,7128 2,1275 0,1132 0,1167 0,1168
160 9,0000 – 2,5710 2,5845 – 14,7216 – 0,0383 0,1078 0,1037 0,1038
180 10,0000 – 2,3853 1,1544 – 6,8798 – 0,6530 0,0940 0,0827 0,0826
200 11,0000 – 1,5759 – 0,2660 0,0000 – 0,0000 0,0737 0,0800 0,0800
76 ISSN 0572-2691
Таблица 2
t
Полученное решение Точное решение
)()6( tu )(
)6(
1 tx )(
)6(
2 tx )(
)6(
1 t )(
)6(
2 t )(* tu )(*
1 tx )(*
2 tx
0 0,9999 – 1,0000 1,0011 0,0059 – 0,0040 1,0000 – 1,0000 1,0000
20 1,2000 – 0,8003 1,0111 0,0095 0,0027 1,2000 – 0,8000 1,0100
40 1,4002 – 0,6005 1,0409 0,0089 0,0098 1,4000 – 0,6000 1,0400
60 1,6001 – 0,4006 1,0906 0,0038 0,0114 1,6000 – 0,4000 1,0900
80 1,7999 – 0,2007 1,1603 – 0,0012 0,0114 1,8000 – 0,2000 1,1600
100 1,9997 – 0,0005 1,2500 – 0,0049 0,0099 2,0000 0,0000 1,2500
120 2,1995 0,1997 1,3598 – 0,0055 0,0044 2,2000 0,2000 1,3600
140 2,3998 0,4000 1,4897 – 0,0053 0,0025 2,4000 0,4000 1,4900
160 2,6010 0,6006 1,6398 – 0,0026 0,0014 2,6000 0,6000 1,6400
180 2,8024 0,8013 1,8103 – 0,0008 0,0006 2,8000 0,8000 1,8100
200 3,0041 1,0022 2,0012 0,0000 – 0,0000 3,0000 1,0000 2,0000
Начальное значение функционала равно ,28717,56)( 0 uJ ,2387,01
.1781,02 Полученные значения функционала на итерациях были равны:
,93187,1)( 1 uJ ,10445,0)( 2 uJ ,00868,0)( 3 uJ ,00023,0)( 4 uJ .00004,0)( 5 uJ
На шестой итерации метода сопряженного градиента получены результаты, при-
веденные в табл. 2, при этом минимальное достигнутое значение функционала
равно .10)( 66 uJ
Заключение
В работе предложен метод численного решения задач оптимального управ-
ления системами обыкновенных дифференциальных уравнений с неразделенными
точечными и интегральными условиями. Отметим, что численное решение самих
дифференциальных систем представляет сложность. Специфику имеет и сопря-
женная задача, заключающаяся как в самом уравнении, так и участии в условиях
неизвестного вектора множителей Лагранжа.
Предложенные в работе формулы, схемы проведения вычислений позволяют
учесть все особенности, которые встречаются при вычислении градиента функци-
онала. В целом же предложенный подход способствует использованию для реше-
ния рассматриваемых задач оптимального управления богатый арсенал числен-
ных методов оптимизации первого порядка и соответствующих стандартных про-
граммных средств.
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаєв
ЗАДАЧА КЕРУВАННЯ
З НЕРОЗДІЛЕНИМИ БАГАТОТОЧКОВИМИ
ТА ІНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ
Досліджено задачі оптимального керування з нерозділеними багатоточковими
та інтегральними умовами. Для числового розв’язання задачі запропоновано
використання методів оптимізації першого порядку з застосуванням отриманих
в роботі формул градієнта функціонала. Для розв’язання прямої і спряженої
крайових задач запропоновано підхід, що ґрунтується на операції згортання ін-
тегральних умов у нероздільні локальні і послідовного їх зсуву, що є аналогом
переносу умов. Цей підхід дозволив звести розв’язання вихідних крайових
задач до розв’язання допоміжної задачі Коші і системи лінійних алгебраїчних
рівнянь. Наведено результати експериментів.
K.R. Aida-zade, V.M. Abdullaev
CONTROL PROBLEM WITH NON-SEPARATED
MULTIPOINT AND INTEGRAL CONDITIONS
We investigate optimal control problems involving non-separated multipoint and in-
tegral conditions. For numerical solution to these problems, we propose to use first
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 77
order optimization methods with the application of the formulae obtained in the work
for the gradient of the functional. For numerical solution to both direct and conjugate
boundary problems, we propose an approach based on the operation of convolution
of integral conditions into non-separated local ones, as well as on their sequential
shift, which is an analog of the operation of transfer of conditions. This approach al-
lows reducing the initial boundary value problems solution to the solution to supple-
mentary initial-value problem and to system of linear algebraic equations. Some re-
sults of numerical experiments are given.
1. Nicoletti О. Sulle condizioni iniziali che determiniano gli integrali della diffenziali ordinazie. —
Att della R. Acc. Sc. Torino, 1898. — Р. 748–759.
2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных
уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. — Петроград, 1917. — 308 с.
3. Vallee-Poussin Ch.J. Sur l’equation differentielle lineaire de second ordre. Détermination d’une
integrale par deux valeurs assignées. Extension aux équations d’ordre n // Journ. Math. Pura et
Appl. — 1929. — N 9. — Р. 125–144.
4. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического
уравнения // Диф. уравнения. — 2004. — 40, № 7. — С. 887891.
5. Bouziani A. On the solvability of parabolic and hyperbolic problems with a boundary integral
condition // Intern. J. Math. Sci. — 2002. — 31, N 4. — P. 202–213.
6. Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. О задаче регулирования процесса нагрева // Международ-
ный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 2.
— С. 33–45.
7. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями // Прикл.
математика и механика. — 1981. — 45, вып. 2. — С. 215–222.
8. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей // Тр. Математи-
ческого ин-та им. В.А. Стеклова РАН. — 1995. — 211. — С. 121–130.
9. Васильева О.О., Мизуками К. Динамические процессы, описываемые краевой задачей: не-
обходимые условия оптимальности и методы решения // Изв. АН. Теория и системы
управления. — 2000. — № 1. — С. 95–100.
10. Айда-заде К.Р. О решении задач оптимального управления с промежуточными условиями
// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2005. — 45, № 6. — С. 1031–1041.
11. Ayda-zade K.R., Abdullaev V.M. Numerical solution of optimal control problems with unseparat-
ed conditions on phase state // Appl. and Comput. Math. An Intern. Journ. — 2005. — 4, N 2. —
P. 165–177.
12. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Численные решение задач оптимального управления
нагруженными сосредоточенными системами // Журн. вычисл. математики и мат. физики.
— 2006. — 46, № 9. — C. 1566–1581.
13. Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. О применение методов первого порядка для решения задач
оптимального управления с промежуточными условиями // Изв. НАН Азербайджана.
Сер. ФТМН. — 2004. — 24, № 2. — C. 48–52.
14. Абрамов А.А., Бураго Н.Г. и др. Пакет прикладных программ для решения линейных двух-
точечных краевых задач // Cообщения по программному обеспечению ЭВМ. — М. :
ВЦ АН СССР, 1982. — 63 с.
15. Moszynski K. A method of solving the boundary value problem for a system of linear ordinary
differential equation // Algorytmy. Varshava. — 1964. — 11, N 3. — P. 25–43.
16. Айда-заде К.Р. О решении систем дифференциальных уравнений с нелокальными услови-
ями // Вычисл. технологии. — 2004. — 1, № 9. — С. 11–25.
17. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений //
Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Нов. достижения. — 1987. — 30. —
С. 3–103.
18. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н., Кенжебаев К.К. Конструктивные методы исследова-
ния периодических и многоточечных краевых задач // Праці Ін-ту математики НАН Украї-
ни. Сер. Математика та її застосування. — 1999. — 29.— 220 с.
19. Бондарев А.Н., Лаптинский В.Н. Многоточечная краевая задача для уравнения Ляпунова в
случае сильного вырождения краевых условий // Диф. уравнения. — 2011. — 47, № 6. —
C. 776–784.
20. Джумабаев Д.С., Иманчиев А.Е. Корректная разрешимость линейной многоточечной крае-
вой задачи // Математический журнал. — 2005. — 5, № 1(15). — С. 30–38.
21. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах опти-
мизации. — М. : Наука,1982. — 432 с.
22. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М. : Факториал, 2002. — 824 c.
23. Айда-заде К.Р. Численный метод восстановления параметров динамической системы // Ки-
бернетика и системный анализ. — 2004. — № 1. — C. 101–108.
Получено 03.02.2012
|