Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях

Представлено новий алгоритм синтезу оптимальних систем стохастичної стабілізації у частотній області. Він дозволяє визначити структуру та параметри матриці передавальних функцій або системи рівнянь регулятора, призначеного для роботи у колі зворотного зв’язку до багатовимірного, можливо, нестійкого...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Authors:	Осадчий, С.И., Зозуля, В.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207613
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях / С.И. Осадчий, В.А. Зозуля // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207613
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2076132025-10-12T00:08:28Z Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях Комбінований метод синтезу оптимальних систем стабілізації багатовимірних рухомих об’єктів при стаціонарних випадкових впливах Combined Method for a Synthesis of the Optimum Multidimensional Moving Objects Stabilization Systems under Stationary Random Effects Осадчий, С.И. Зозуля, В.А. Оптимальное управление и методы оптимизации Представлено новий алгоритм синтезу оптимальних систем стохастичної стабілізації у частотній області. Він дозволяє визначити структуру та параметри матриці передавальних функцій або системи рівнянь регулятора, призначеного для роботи у колі зворотного зв’язку до багатовимірного, можливо, нестійкого об’єкта керування. Порівняно з відомими алгоритмами обґрунтований у статті алгоритм відрізняється значним зменшенням кількості обчислювальних операцій. Це досягнуто завдяки виконанню спеціального типу факторизації поліноміальної матриці. The new algorithm of the optimum stochastic stabilization systems synthesis in a frequency region is represented. It allows to define a structure and parameters of the regulator transmission functions matrix or the regulator equations system. The regulator is intended for work in chain of feedback to a multidimensional, possibly unsteady controlled object. In comparison with the known algorithms, the algorithm grounded in the article differs by the considerable diminishing of the calculating operations number. It is attained due to the special type factorization of a polynomial matrix implementation. 2013 Article Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях / С.И. Осадчий, В.А. Зозуля // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207613 681.513; 62.505; 621.9.04 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i6.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Осадчий, С.И. Зозуля, В.А. Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях Проблемы управления и информатики
description	Представлено новий алгоритм синтезу оптимальних систем стохастичної стабілізації у частотній області. Він дозволяє визначити структуру та параметри матриці передавальних функцій або системи рівнянь регулятора, призначеного для роботи у колі зворотного зв’язку до багатовимірного, можливо, нестійкого об’єкта керування. Порівняно з відомими алгоритмами обґрунтований у статті алгоритм відрізняється значним зменшенням кількості обчислювальних операцій. Це досягнуто завдяки виконанню спеціального типу факторизації поліноміальної матриці.
format	Article
author	Осадчий, С.И. Зозуля, В.А.
author_facet	Осадчий, С.И. Зозуля, В.А.
author_sort	Осадчий, С.И.
title	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
title_short	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
title_full	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
title_fullStr	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
title_full_unstemmed	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
title_sort	комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207613
citation_txt	Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях / С.И. Осадчий, В.А. Зозуля // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT osadčiisi kombinirovannyimetodsintezaoptimalʹnyhsistemstabilizaciimnogomernyhpodvižnyhobʺektovpristacionarnyhslučainyhvozdeistviâh AT zozulâva kombinirovannyimetodsintezaoptimalʹnyhsistemstabilizaciimnogomernyhpodvižnyhobʺektovpristacionarnyhslučainyhvozdeistviâh AT osadčiisi kombínovaniimetodsintezuoptimalʹnihsistemstabílízacííbagatovimírnihruhomihobêktívpristacíonarnihvipadkovihvplivah AT zozulâva kombínovaniimetodsintezuoptimalʹnihsistemstabílízacííbagatovimírnihruhomihobêktívpristacíonarnihvipadkovihvplivah AT osadčiisi combinedmethodforasynthesisoftheoptimummultidimensionalmovingobjectsstabilizationsystemsunderstationaryrandomeffects AT zozulâva combinedmethodforasynthesisoftheoptimummultidimensionalmovingobjectsstabilizationsystemsunderstationaryrandomeffects
first_indexed	2025-11-30T16:19:01Z
last_indexed	2025-11-30T16:19:01Z
_version_	1850232846093910016
fulltext	© С.И. ОСАДЧИЙ, В.А. ЗОЗУЛЯ, 2013 40 ISSN 0572-2691 УДК 681.513;62.505;621.9.04 С.И. Осадчий, В.А. Зозуля КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Введение Создание гарантированно конкурентоспособных систем стабилизации движе- ния сложных многомерных подвижных объектов, в том числе неустойчивых, кото- рые функционируют в условиях случайных неконтролируемых возмущений, с ми- нимальными затратами на проектирование, является одним из главных требований достижения успеха на рынке данного класса устройств. Как отмечено в [1], при со- здании авиационной и космической техники выполнение такого условия — одно из наиболее эффективных и проверенных при применении экспериментально-анали- тического подхода к проектированию оптимальных систем стохастической стаби- лизации. Данный подход предусматривает реализацию нескольких взаимосвязанных этапов проектировочных работ:  экспериментальное исследование динамики векторов сигналов «вход–вы- ход» прототипа объекта управления в реальных условиях функционирования;  выполнение структурной или параметрической идентификации моделей динамики прототипа или опытного образца подвижного объекта на основе полу- ченных неслучайных характеристик векторов сигналов «вход–выход»;  определение оптимальной структуры и параметров многомерного регуля- тора на основе применения современных методов синтеза оптимальных много- мерных систем стабилизации к результатам идентификации;  анализ качества стабилизации прототипа объекта, включенного в опти- мальную систему стабилизации, в реальных условиях функционирования;  разработка технического предложения по созданию новой или модерниза- цию имеющейся системы стабилизации многомерного подвижного объекта уп- равления. Успех применения такого подхода определяется, с одной стороны, соответ- ствием алгоритмов идентификации, синтеза и анализа реальным условиям функ- ционирования объектов управления и особенностями их динамики, а с другой, — наличием системы компьютерной математики, позволяющей применить отмечен- ные выше алгоритмы для автоматизированного проектирования оптимальных си- стем автоматического управления. Существует достаточно большое количество алгоритмов синтеза оптималь- ных систем стабилизации многомерных линейных динамических объектов во временной области, реализованных в САПР на основе решения матричных алгеб- раических уравнений Риккати. Они гарантируют получение прозрачных и кор- ректных результатов в условиях, когда динамика объекта управления характери- зуется матрицей передаточных функций, порядок числителя которых меньше или равен порядку знаменателя, а на его входах действуют векторы возмущений и по- мех в виде  — коррелированных белых шумов [2, 3]. В то же время динамика достаточно широкого круга подвижных объектов (летательные аппараты, морские суда, автомобили, роботы-манипуляторы) [1, 4–6] с учетом приводов рулей не отвечает указанным условиям. В такой ситуации, как Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 41 следует из работ [1, 3, 7–9], одним из наиболее эффективных путей синтеза опти- мальных структуры и параметров многомерных систем стабилизации является применение частотных методов, особенно при неустойчивых или неминимально фазовых объектах управления. Однако использование известных частотных методов синтеза оптимальных многомерных систем стабилизации в САПР ограничено повышенной вычисли- тельной сложностью, которая возникает при выполнении математических опера- ций с полиномиальными и дробно-рациональными матрицами комплексного ар- гумента и проявляется в уменьшении надежности получения результата. Следова- тельно, представляется актуальным выполнение исследования, направленного на обоснование нового алгоритма синтеза оптимальных систем стохастической ста- билизации движения многомерных объектов управления как устойчивых, так и неустойчивых, в условиях стационарных случайных внешних возмущений с по- вышенной надежностью получения результатов вычислений. Анализ исследований и публикаций по вопросам синтеза оптимальных ли- нейных многомерных инвариантных во времени систем управления в частотной области [1, 7–10] показал, что базовым методом создания таких систем можно считать метод, изложенный в [7]. Он основан на использовании формулы Фробе- ниуса для обращения полиномиальных матриц и достаточно сложных вычисле- ний при формировании служебных полиномиальных матриц специального вида. Все это ограничивает успешность использования в САПР алгоритмов из рабо- ты [7] для решения задачи синтеза при увеличении порядка и размерности объек- та управления. В то же время в этой монографии доказано, что структура и пара- метры данных служебных матриц не влияют на выбор оптимального регулятора и эффективность его использования в системе, а определяют лишь ход и слож- ность вычислительных процессов синтеза. В [8] обоснована новая процедура определения служебных матриц, огово- ренных выше, на основе факторизации соответствующим образом построенной блочной полиномиальной матрицы. Это дало возможность автору значительно упростить базовый алгоритм синтеза. В то же время полученные в работе [8] со- отношения позволяют синтезировать оптимальную многомерную систему стаби- лизации, предназначенную для функционирования в условиях действия случай- ных возмущений в виде вектора белого шума и при идеальном измерении выход- ных координат объекта. В [1] обоснован новый метод синтеза оптимальных многомерных систем ста- билизации динамических объектов, в том числе неустойчивых, предназначенных для работы в условиях стационарных случайных внешних возмущений при «не- идеальных» измерениях выходных координат объекта. Алгоритмы, построенные на основе этого метода, предусматривают выбор служебных полиномиальных матриц специального вида из физических соображений, что значительно упроща- ет процедуру их формирования. В то же время многократное применение данного метода для решения задач создания систем стабилизации показало, что с ростом размерности объекта управления возникают проблемы катастрофической потери точности вычислений при выполнении компьютерных расчетов с разрядной сет- кой, ограниченной длиной. Цель данной работы заключается в обосновании нового комбинированного ме- тода синтеза оптимальных многомерных систем стабилизации, который бы подтвер- дил простоту вычислительного алгоритма из [8], а также возможности и физическую прозрачность алгоритмов из монографии [1]. Постановка задачи синтеза В терминах работы [1] задача синтеза формулируется следующим образом. Допустим, что задан n-мерный линейный объект управления, движение которого 42 ISSN 0572-2691 описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных при нулевых начальных условиях в преобразованном по Лапласу виде ,0000  uMxP (1) где 0x — n-мерный вектор выходных координат объекта; 0P — полиномиальная матрица размерности ,nn которая характеризует динамику объекта управления и может иметь полином-определитель )(0 sP с нулями, расположенными в пра- вой полуплоскости комплексного переменного  js (ППП); u — m-мерный вектор сигналов управления; М0 — полиномиальная матрица размерности ,mn которая определяет чувствительность объекта к изменению сигналов управления; 0 — n-мерный вектор стационарных случайных возмущений с нулевым мате- матическим ожиданием и дробно-рациональной матрицей спектральных плотно- стей . 00S Будем считать также, что вектор выходных координат х0 измеряется полно- стью с помощью системы неидеальных датчиков, динамика которой определяется матрицей передаточных функций K. На выходе измерителей действует n-мерный вектор центрированных стационарных случайных шумов  с дробно-рацио- нальной матрицей спектральных плотностей S. По известным полиномиальным и дробно-рациональным матрицам М0, Р0 , K, 00S и Sφφ необходимо найти структуру и параметры матрицы передаточных функций регулятора W, включение которого в обратную связь к объекту управле- ния обеспечивает устойчивость системы стабилизации (рис. 1) и доставляет ми- нимум следующему критерию качества: ,00  CuuRxxe (2) где  — знак математического ожидания; R — положительно-определенная по- линомиальная весовая матрица размерности nn, которая определяет влияние дисперсии ошибки стабилизации на значение критерия е; С — неотрицательно- определенная полиномиальная весовая матрица размерности mm, которая огра- ничивает дисперсию сигнала управления u;  — знак транспонирования. u Объект  Регулятор Датчик  W K y x М0 1 0 P Рис. 1 Обоснование алгоритма синтеза Для решения поставленной задачи осуществлена поэтапная перестройка структурной схемы рис. 1 к стандартному виду [1]. На первом этапе преобразова- ний структурная схема (см. рис. 1) приведена к выходу х датчиков K (рис. 2) и по- лучена эквивалентная с соотношениями (1) система дифференциальных уравнений , MuPx (3) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 43 в которой приняты следующие обозначения: ;1 010  KPKP ;010MKM  ;0Kxx  .010 K (4) Для определения полиномиальной матрицы K10 с минимальным возможным порядком элементов предлагается совместное использование алгоритмов лево- стороннего удаления полюсов [11] и MFD-разложения [9] дробно-рациональной матрицы K1 и произведения матриц P0K1 . При этом матрица K10 может быть найдена в результате MFD-разложения [9] следующего произведения: ,1 2001 1 10   KPPK (5) где K20 — результат левостороннего удаления полюсов матрицы передаточных функций датчиков [11] ,2 1 20 KKK  (6) а между определителями полиномиальных матриц 10K и 20K существует тождество ,2010 KK  которое является следствием MFD-разложения дроб- но-рациональных матриц. На втором этапе структурная схема (см. рис. 2) приведена к стандартному виду (рис. 3), когда на входе системы стабилизации действует расширенный век- тор возмущений : ,),( 0 PEn (7) где вектор 0 является результатом вертикальной конкатенации векторов  и : ;0        (8) Еn — единичная матрица размерности ;nn а на выходе системы действует век- тор y. По аналогии с работой [1] связь между векторами 0 и х0 определяется как ,)],(),([ 0 1 0   nnny EOPEFKx (9) где  yF — матричная передаточная функция замкнутой системы «объект  регу- лятор» от возмущения  к вектору y; Оn — нулевая матрица размерности n×n. Вектор сигналов управления u в замкнутой системе также зависит от расширен- ного возмущения : ,),( 0  PEFu nu (10) где  uF — матричная передаточная функция системы «объект  регулятор» от возмущения  к вектору u. W M  P 1 u y Рис. 3 W M y x  P 1 u  x Рис. 2 44 ISSN 0572-2691 В работах [1, 7] на основе уравнения (3) доказано, что между матрицами  uF и  yF существует взаимосвязь, которая характеризуется соотношением .nuy EMFPF   (11) Кроме этого, показано, что структура и параметры данных матриц зависят от мат- рицы передаточных функций регулятора W: ,)( 1  MWPWFu (12) .)( 1  MWPFy (13) Таким образом, структурные преобразования (см. рис. 1–3) и уравнения (9), (10) сводят задачу синтеза оптимальной системы стабилизации к задаче миними- зации функционала (2), представленного в виде . CuuRxxe (14) Для решения этой задачи перепишем функционал (14) в частотной области ,)(tr 1     j j xxxx dsCSRS j e (15) где j — комплексная единица; tr — след матрицы; xxS — транспонированная дробно-рациональная матрица спектральных плотностей отклонений выходных координат объекта управления; uuS — транспонированная матрица спектральных плотностей отклонений сигналов управления, R — положительно-определенная дробно-рациональная весовая матрица, которая при известных матрицах R0 и K равняется ;1 0 1 *   KRKR s — комплексная переменная (s  j). Определим матрицу варьируемых передаточных функций Ф в виде ,Ф 2122 zzFu  (16) где 2122, zz — дробно-рациональные матрицы ;)( 11 22  MAPBz ;1 2221  APzz (17) А, В — полиномиальные матрицы, найденные в результате представления вспо- могательной блочной матрицы Н:               COM ORP MPO H nm mn n * * (18) в виде произведения двух факторов (блочных полиномиальных матриц) V и : , * VVH  (19) где ;             BAO MPO NSE V nm n n ,              mnmnm mnnn mnnn EOO OOE OEO (20) при условии, что определитель V — полином Гурвица. Алгоритм факторизации матрицы (19) впервые предложен и детально описан в работе [8]. Подстановка выражений (18) и (20) в уравнение (9) доказывает су- ществование следующих соотношений: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 45 . , , , * * * * CBBMNNM OBAMSNP OABPNSM RAAPSSP mn nm       (21) В таком случае критерий качества (5) с учетом уравнений (7)–(10) и (16) пре- вращается в функционал                              00 1 * * 1 **21 tr 1 SRGP P E RGPMz P E j e n j j n                0000 * 1 **22Ф SRG E O P E SRGPMz n nn ,),](ФФФФ[ * 2222212222212121 00 ds P E SPECzzCzzCzzCzz n n            (22) где G — дробно-рациональная матрица, которая равняется );,(),(),(Ф),( 1 22 1 21 1 nnnnn EOPEPPEMzPPEMzPG   00S — транспонированная матрица спектральных плотностей расширенного вектора возмущений ;0 * — знак эрмитового сопряжения матрицы [12]. Матрица 00S определяется в результате применения теоремы Винера– Хинчина к вектору (8) в виде , 00             SS SS S (23) где S — транспонированная матрица спектральных плотностей вектора экви- валентных возмущений, которая с учетом выражения (4) равняется ;1010 00 KSKS   (24) S — транспонированная матрица взаимных спектральных плотностей между векторами  и : . 010   SKS (25) Поиск алгоритма определения структуры и параметров матрицы передаточ- ных функций W, как и в работах [1, 7, 8], можно осуществить в результате мини- мизации функционала (22) на классе устойчивых и физически реализуемых варьи- руемых матриц Ф с помощью процедуры Винера–Колмогорова. В соответствии с этой процедурой найдена первая вариация функционала (22): ,Ф()tr Ф ()tr Ф Фtr 1 * * ds j e j j                 (26) где Ф — аналитическая в ППП вариация     Ф)(()tr Ф 22 11 *22 zCMRPPMz          )(),( 21 11 21 11 22 00 CzRPPMMzRPPMz P E SPE n n .),(),( * 1 **22 0000                 P E SEORPMz P E SPE n nn n n (27) 46 ISSN 0572-2691 Обозначим ,)(ГГ 22 11 **22 zCMRPPMz   (28) где Г — результат правосторонней факторизации [10] произведения матриц в правой части уравнения (28). Если выполняются соотношения (21), то выражение (28) легко приводится к виду .))((ГГ 22 1 * 1 ***22 zMAPBAPMBz   (29) Учет обозначений (17) позволяет доказать, что .ГГ* mE (30) Определим матрицу D как результат левосторонней факторизации [10] транспонированной матрицы спектральных плотностей обобщенных возмущений .),( * * 00         P E SPEDD n n (31) Примем, что дробно-рациональная матрица Т равняется ,)( 21 11 21 11 22 DCzRPPMMzRPPMzT   (32) а матрица G — .)( 1 * 1 *22     DPSSRPMzG (33) Поскольку выполняются соотношения (21), то выражение (32) приводится к виду ,)( 1 **22 DNSPMzT   (34) а частная производная (27) упрощается и представляется как .Ф()tr Ф *** * GDTDDD    Таким образом, первая вариация функционала качества (26) становится равной .Ф])Ф()Ф(Ф[tr 1 ******** dsDGDTDDGDTDDD j e j j     (35) Как видно из работы [1], матрица варьируемых функций Ф, которая отвечает условиям устойчивости и физической реализуемости, а также доставляет мини- мум функционалу (22), учитывая выражение (35), должна определяться на основе соотношения ,)(Ф 1 00    DGGTT (36) где TT0 — дробно-рациональная матрица, которая является устойчивой частью результата сепарации (расщепления) [10] матрицы Т; GG0 — устойчивая часть результата сепарации матрицы G. Подстановка результата (36) в выражение (16) и решение уравнения (12) от- носительно матрицы передаточных функций регулятора с учетом соотношения (17) позволяет определить, что ).Ф()Ф( 1 PAMBW   (37) Таким образом, получен новый комбинированный метод синтеза оптималь- ных многомерных систем стабилизации. Его отличительная черта — уменьшение количества вычислений при выполнении этапов синтеза по отношению к базовым алгоритмам [1, 7]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 47 Пример применения комбинированного метода синтеза Для иллюстрации эффективности нового комбинированного алгоритма син- теза рассмотрим пример создания системы стабилизации двумерного неустойчи- вого динамического объекта, приведенный в [1]. Допустим, что динамика объекта управления (см. рис. 1) описывается матрицами ; 30 11 0        s ss P . 10 02 0       s M (38) Матрица передаточных функций измерителей K  E2 (Е2 — единичная матрица размерности 2×2); шумы измерения  отсутствуют; на объект действует вектор возмущений 0 с нулевыми математическими ожиданиями и транспонированной матрицей спектральных плотностей : 00S , 10 01 200 ES       а весовые матрицы R  C  E2. Нужно определить матрицу передаточных функ- ций оптимального регулятора W. Поскольку измерение вектора выходных координат х0 осуществляется иде- ально по условиям задачи, то выполняются следующие уравнения: ,22010 EKK  ,221 EKKK  ,0PP  ,0MM  ,0xx  .0 (39) Подстановка матриц (38), (39) в выражение (18) позволяет определить вспо- могательную полиномиальную матрицу Н, подлежащую факторизации специаль- ного вида: . 100010 010002 001030 000111 103000 021100                        s s ss s sss H Факторизация (19) этой матрицы на основе алгоритма из [8] позволила опре- делить блоки матрицы V, необходимые для последующего выполнения синтеза: ; 139,60874,0 0256,0763,0      A ; 10874,0 06506,0      B (40) ; 139,60874,0 0725,01599,0      S . 00874,0 01599,0     N (41) После подстановки матриц (38) и (40) в выражение (17) найдена дробно- рациональная матрица :22z . )3)(54,1()3(0618,0 )1(5218,0)1)(226,3(70711,0 )253,3)(513,1( 1 22         sss sss ss z (42) Результат левосторонней факторизации транспонированной матрицы возму- щений ,S которая равна , 00S имеет вид . 10 01     D (43) 48 ISSN 0572-2691 Учитывая полученные результаты (40)–(43), а также отсутствие помех из- мерения, сформируем дробно-рациональные матрицы Т и G, которые подле- жат сепарации, на основе алгоритмов (32), (33): , )533,1(226,6)586,0(0874,0 )3(0618,0)178,3(113,0 )253,3)(513,1( 1         ss ss ss T (44) ,2OG  где О2 — нулевая матрица размерности 2×2. Рассмотрение выражения (44) позволяет сделать вывод, что результат сепа- рации матрицы Т имеет вид ,20 OTT   поскольку элементы матрицы Т — правильные дроби, полюса которых располо- жены в ППП. В свою очередь матрица GG0 также нулевая. Таким образом, ва- рьируемая матрица Ф (36) является матрицей размерности 2×2, все элементы кото- рой равны нулю. В результате применения алгоритма (37) к матрицам (40) нахо- дим матрицу передаточных функций оптимального регулятора в виде . 135,6189,0 0394,0174,1       W (45) В таком случае матрицы передаточных функций оптимальной многомерной системы стабилизации по сигналам управления  uF и по выходным координатам, определенные из уравнений (12), (13), имеют следующий вид: , )533,1(226,6)3(0874,0 )1(522,0)142,3(54,0 )253,3)(513,1( 1         ss ss ss Fu (46) . )54,1(0874,0 )038,1(478,0)135,3(46,0 )253,3)(513,1( 1         s ss ss Fy (47) Сравнение результатов (45)–(47) с соответствующими матрицами, представ- ленными в [1], указывает на их полную аналогию с точностью до ошибок округ- ления. В то же время, как и ожидалось, значительно упрощается процедура сепа- рации (32), (33) за счет уменьшения количества операндов в отмеченных выраже- ниях по отношению к соответствующим алгоритмам, приведенным в [1, 7]. Заключение Комплексное применение процедуры определения служебных матриц в ре- зультате специального класса факторизации вспомогательной матрицы и базового метода минимизации квадратичного функционала в частотной области позволило обосновать новый метод синтеза оптимальных структуры и параметров системы стохастической стабилизации линейного многомерного объекта управления, воз- можно, неустойчивого. Его характерной особенностью является уменьшение вы- числительной сложности выполнения оптимального синтеза в частотной области за счет уменьшения количества операндов, полиномиальных и дробно-рацио- нальных матриц, а также снижения порядков полиномов у них. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 49 С.І. Осадчий, В.А. Зозуля КОМБІНОВАНИЙ МЕТОД СИНТЕЗУ ОПТИМАЛЬНИХ СИСТЕМ СТАБІЛІЗАЦІЇ БАГАТОВИМІРНИХ РУХОМИХ ОБ’ЄКТІВ ПРИ СТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ВПЛИВАХ Представлено новий алгоритм синтезу оптимальних систем стохастичної стабі- лізації у частотній області. Він дозволяє визначити структуру та параметри мат- риці передавальних функцій або системи рівнянь регулятора, призначеного для роботи у колі зворотного зв’язку до багатовимірного, можливо, нестійкого об’єкта керування. Порівняно з відомими алгоритмами обґрунтований у статті алгоритм відрізняється значним зменшенням кількості обчислювальних опера- цій. Це досягнуто завдяки виконанню спеціального типу факторизації поліно- міальної матриці. S.I. Osadchiy, V.A. Zozulya COMBINED METHOD FOR A SYNTHESIS OF THE OPTIMUM MULTIDIMENSIONAL MOVING OBJECTS STABILIZATION SYSTEMS UNDER STATIONARY RANDOM EFFECTS The new algorithm of the optimum stochastic stabilization systems synthesis in a fre- quency region is represented. It allows to define a structure and parameters of the regulator transmission functions matrix or the regulator equations system. The regu- lator is intended for work in chain of feedback to a multidimensional, possibly un- steady controlled object. In comparison with the known algorithms the algorithm which is grounded in the article differs by the considerable diminishing of a calculat- ing operations number. It is attained due to the special type factorization of a poly- nomial matrix implementation. 1. Азарсков В.Н. Блохин Л.Н., Житецкий Л.С. Методология конструирования оптимальных систем стохастической стабилизации. — Киев : Изд-во НАУ, 2006. — 440 с. 2. Квакернаак Х., Сиван P. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир, 1977. 650 с. 3. Kwakernaak H., Sebek M. Polynomial J-spectral factorization // IEEE Transact. on Automat. Contr. — 1994. — 39, N 2. — P. 315–328. 4. Осадчий С.И., Блохин Л.Б., Жесан Р.В. Структурная идентификация математических моде- лей многомерного объекта с произвольной динамикой по неполным данным // Материалы междунар. конф. «Интеллектуальные системы принятия решений и проблемы вычисли- тельного интеллекта». Т. 2. — Херсон : ХНТУ, 2009. — С.30–33. 5. Блохин Л.М., Осадчий С.И., Гаврилюк Б.О. Оценка динамических характеристик продоль- ного канала сверхлегкого летательного аппарата на малых высотах полета // Научные тру- ды академии. — 2004. — Вып. 8. — С. 198–204. 6. Осадчий С.И., Шаповалова И.А., Коропалов С.А. Идентификация динамики двухприводной системы управления деревообрабатывающего станка // Модернизация и управление состо- янием экологоэкономических систем региона. Математическое обеспечение интеллекту- альных систем моделирования. — 2006. — Вып. 3. — С. 225–231. 7. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления / Ф.А. Алиев, В.Б. Ларин, К.И. Науменко и др. — Киев : Наук. думка, 1978. — 327 с. 8. Науменко К.И. Наблюдение и управление движением динамических систем. — Киев : Наук. думка, 1984. — 208 с. 9. Kuchera V. Discrete line control: the polynomial equation approach. — Praha : Akademia, 1979. — 206 p. 10. Алиев Ф.А., Бордюр В.А., Ларин В.Б. Н2-оптимизация и методы пространства состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов. — Баку : ЭЛМ, 1991. — 326 с. 11. Davis M.C. Factoring the spectral matrix // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1963. — AC-8, N 4. — P. 296–305. 12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1988. — 552 с. Получено 28.05.2012

Комбинированный метод синтеза оптимальных систем стабилизации многомерных подвижных объектов при стационарных случайных воздействиях

Institution

Similar Items