Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования
Розглянуто резервовану систему, що містить відновлювані, невідновлювані та періодично контрольовані елементи. Жоден з розподілів не є експоненціальним. Запропоновано метод зваженого моделювання, який дозволяє будувати незміщені оцінки небезпеки відмови системи одночасно у декількох точках. На прикла...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207614 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 50–62. — Бібліогр.: 32 назви. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859751255064182784 |
|---|---|
| author | Кузнецов, Н.Ю. Шумская, А.А. |
| author_facet | Кузнецов, Н.Ю. Шумская, А.А. |
| citation_txt | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 50–62. — Бібліогр.: 32 назви. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто резервовану систему, що містить відновлювані, невідновлювані та періодично контрольовані елементи. Жоден з розподілів не є експоненціальним. Запропоновано метод зваженого моделювання, який дозволяє будувати незміщені оцінки небезпеки відмови системи одночасно у декількох точках. На прикладі енергетичної системи ілюструється висока точність оцінок.
A redundant system consisting of repairable, unrepairable and periodically tested components is considered. None of distributions involved is supposed to be of exponential type. A method of weighted simulation enabling to construct unbiased estimates for the hazard of failure of the system simultaneously in several points is proposed. High accuracy of estimates is demonstrated on the example of power supply system.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:59:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.Ю. КУЗНЕЦОВ, А.А. ШУМСКАЯ, 2013
50 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.873
Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская
ОЦЕНКА ОПАСНОСТИ ОТКАЗА
РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ
УСКОРЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Введение
Если на начальном этапе становления математической теории надежности
для марковских моделей удавалось получать явные аналитические формулы (на
худой конец преобразования Лапласа исследуемых характеристик), то по мере
развития вычислительной техники и с повышением требований к адекватности
моделей акцент в исследованиях сместился в область приближенных численных
методов, среди которых особое место занимают асимптотические методы и мето-
ды статистического моделирования. Первые результаты по асимптотическому
анализу дублированных систем были получены Б.В. Гнеденко [1, 2]. Существен-
ного обобщения на случай схемы «серий» удалось добиться А.Д. Соловьеву [3, 4].
Эти результаты породили ряд статей, в которых для различных классов систем
доказывалась асимптотическая экспоненциальность распределения времени до
первого отказа. В некоторых случаях удавалось найти асимптотическую оценку
параметра этого распределения [5]. В то же время вопрос о точности такой ап-
проксимации до сих пор остается открытым. Полученные же двухсторонние
оценки малопригодны для практических расчетов ввиду их низкой точности. Сре-
ди последних публикаций, оказавших существенное влияние на развитие теории
асимптотических методов анализа, отметим работы [6–11].
Долгое время метод Монте-Карло рассматривался едва ли не единственным
инструментом анализа и моделирования сложных процессов, протекающих в си-
стемах. В то же время еще в середине 60-х годов прошлого столетия пришло пони-
мание того, что в некоторых наиболее важных для практики случаях непосред-
ственное моделирование может оказаться малоэффективным. В частности, с воз-
растанием надежности элементов системы существенно увеличивается количество
реализаций, требуемых для достижения необходимой точности расчета. Это при-
вело к бурному развитию так называемых методов ускоренного моделирования
(методов уменьшения дисперсии оценок). Среди подходов, получивших
наибольшее распространение, отметим аналитико-статистический метод [12–14],
метод существенной выборки [15–17] и метод расслоенной выборки [18–20]. Но-
вые подходы к ускорению моделирования и их применение к расчету надежности
реальных систем см. в [21–26].
К показателям надежности, которым уделяется повышенное внимание, в
первую очередь относятся вероятность безотказной работы, коэффициент готов-
ности и коэффициент оперативной готовности. В то же время вниманием иссле-
дователей обойден такой важнейший показатель, как )(t — опасность отказа
системы в момент t, т.е. dtt)( — вероятность отказа системы в интервале
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 51
),( dttt при условии, что до момента t система не отказала. Если )(tQ — веро-
ятность отказа системы в промежутке ],,0[ t то
.0,)(exp1)(
0
tduutQ
t
Цель исследований, проведенных в настоящей статье, — разработка метода
ускоренного моделирования, позволяющего строить несмещенные оценки для
)(t в заданном наборе точек }.{ it В основе этого метода лежит идея взвешенно-
го моделирования, предложенная в [27]. Метод ускоренного моделирования фор-
мулируется для модели [28, 29], описывающей функционирование систем атом-
ных электростанций с точки зрения надежности. В отличие от указанных работ ни
одно из распределений не предполагается экспоненциальным, т.е. модель описы-
вает функционирование систем немарковского типа. Весьма эффективным может
оказаться совместное использование предлагаемого метода и асимптотических
результатов. В частности, можно установить момент, начиная с которого опас-
ность отказа практически перестает зависеть от времени, т.е. остаточное время бе-
зотказной работы системы оказывается экспоненциально распределенным с
известным параметром (очевидно, что это не так, если система в своем составе
имеет невосстанавливаемые элементы). Эффективность использования предло-
женного метода для исследования надежности конкретной энергетической сис-
темы демонстрирует численный пример.
Постановка задачи
Рассматривается система, состоящая из m элементов. Каждый элемент может
принадлежать одному из трех классов.
.1C Восстанавливаемые элементы с мгновенно обнаруживаемыми отказами
(восстановление элемента начинается в момент его отказа); элементы этого типа
характеризуются функциями распределения (ф.р.) )(uFi и )(uGi длительностей
безотказной работы и восстановления соответственно.
.2C Периодически контролируемые элементы с детерминированным интерва-
лом между последовательными моментами контроля (отказ остается необнаружен-
ным до следующего момента контроля, когда начинается восстановление); в допол-
нение к ф.р. )(uFi и )(uGi задаются постоянный период контроля iA и время до
первого момента контроля .
)0(
iA Предполагается, что длительность самого кон-
троля является пренебрежимо малой величиной.
.3C Невосстанавливаемые элементы (в случае отказа элемент остается неис-
правным до окончания рассматриваемого промежутка времени); элементы этого
типа характеризуются лишь ф.р. )}.({ uFi
Предполагается, что элементы являются статистически независимыми, т.е. дли-
тельности безотказной работы и восстановления — независимые случайные величи-
ны (сл.в.). Пусть ф.р. )}({ uFi абсолютно непрерывные, т.е. существуют плотности
)}.({ ufi Надежностная структура системы задается множеством )},,;{( 1 kiikM
минимальных отказовых сечений, где k — число элементов в сечении, а kii ,,1 —
их номера. Система функционирует на протяжении промежутка времени ].,0[ T
В момент 0t все элементы являются исправными. Предположим, что в промежут-
ке ],0[ T фиксированы n моментов времени: .0 1210 Tttttt nn
Целью исследования является разработка метода ускоренного моделирования, позво-
ляющего строить несмещенные оценки для ),( ii t .1 ni
52 ISSN 0572-2691
Построение марковского процесса, описывающего поведение системы
Введем непрерывный справа марковский процесс, описывающий поведение
системы с точки зрения надежности. Пусть
,0)),(...,),();(...,),(())();(()( 11 tttttttt mm
с начальным состоянием ),0...,,0;0...,,0()0( где
;,,1,моментвотказасостояниивнаходитсяэлементй-если,1
,момент висправенэлементй-если,0
)(
miti
ti
ti
0)(:sup{)( sut ii для любого )},,( tuts если 0)( ti
( )(ti — время непрерывного пребывания элемента в исправном состоянии к мо-
менту t); )(ti задает первый после t момент окончания восстановления i-го эле-
мента, если 1)( ti и 21 CCi ; ,)( Tti если 1)( ti и .3Ci Поскольку
система функционирует в фиксированном промежутке времени ],,0[ T то полага-
ем Tti )( в случае, когда восстановление i-го элемента оканчивается после мо-
мента T.
Переменная )(t описывает «качественное» состояние системы. Пусть S —
множество всех векторов ),...,,( 1 m где }.1,0{i Подмножество E состояний
неисправности системы зададим таким образом: :)...,,{( 1 SE m существует
сечение Miik k ),,;( 1 такое, что }.,,1,1 kj
ji
Моделирование функции (t), 0 t T, методом Монте-Карло
Пусть );())();(()( ttt и .E Введем множество элементов, непо-
средственный отказ которых ведет к отказу системы: ,0:{)( iiJ },Eei
где ).0,,0,1,0,,0(
i
ie Если ,)( J то состояние системы называется
предотказовым. Наложим запрет на отказ элементов из множества ))(( tJ (по-
добный прием предложен в [13] для построения аналитико-статистических оце-
нок вероятности отказа восстанавливаемых систем ранговой структуры). Иначе
говоря, если )),(( tJi то )(ti линейно возрастает, а отказ i-го элемента про-
изойти не может. Таким образом, вместо процесса ,0),( Ttt будем рассмат-
ривать процесс )),();(()( )0()0()0( ttt ,0 Tt для которого Et )()0(
с ве-
роятностью 1. Тогда
,0)),(()(
)0(
))(( )0(
Tttt i
tJi
i
M (1)
где .0)),(1/()()( iii Ff Метод Монте-Карло основывается на форму-
ле (1): в промежутке ],0[ T моделируем траекторию процесса )()0( t и по пре-
дотказовым состояниям (см (1)) строим оценки для )(t в точках }.{ it Основное
преимущество данного подхода — простота его реализации, а недостаток — низкая
эффективность в случае элементов высокой надежности. Действительно, высокая
надежность элементов приводит к тому, что процесс )()0( t крайне редко попа-
дает во множество предотказовых состояний, что требует огромного числа реали-
заций алгоритма для достижения необходимой точности. Еще одной проблемой
является наличие в системе элементов с существенно отличающимися характери-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 53
стиками надежности, что значительно усложняет использование стандартных
приемов ускорения моделирования и требует разработки нового оригинального
подхода. Именно такой метод ускоренного моделирования предложен в последу-
ющих разделах статьи. Этот метод зависит от целочисленного параметра, выбо-
ром которого можно добиться максимальной эффективности метода.
Моделирование последовательности {(k)} моментов отказа элементов
Пусть }0,{ )( kk — последовательность моментов отказа элементов, ,0)0(
),0,,0;0,,0()( )0()0(
0 0K — некоторое фиксированное число, ко-
торое в дальнейшем интерпретируем как число форсированных отказов элементов
в промежутке ].,0[ T Справедливо следующее соотношение:
1
0
)1()()0(
))((
));(()(
)0(
K
k
kk
ii
tJi
Ttt M
.0,));(( )()0(
))(( )0(
TtTt K
ii
tJi
M+ (2)
Случай 0K (отсутствие форсированных отказов) соответствует непосред-
ственному моделированию с использованием предотказовых состояний (см. (1)).
Если же ,0K то моделируется K последовательных отказов элементов, в интер-
валах между которыми строятся оценки интенсивности )(t в соответствующих
точках },{ it а затем в промежутке ],[ )( TK траектория процесса )()0( t строится
методом непосредственного моделирования.
Опишем алгоритм моделирования момента )1( k и состояния )( )1()0(
1
k
k
при известном состоянии
,\),,,;,,();()( 11
)()0( ESmm
k
k (3)
где .0 Kk
Предположим, что в промежутке ],[ )( Tk отказы элементов не происходят
(налагается запрет на отказы). Тогда поведение процесса )()0( t в ],[ )( Tk опи-
сывается детерминированной траекторией ),,;( )(
k
kuz ],,[ )( Tu k однозначно
определяемой состоянием k в момент .)(k Структура этой траектории задается
моментами окончаний восстановлений (для упрощения обозначений зависимость
от k указывать не будем). Пусть
Ti ii
r
,1:
1 — число элементов, восстанов-
ление которых оканчивается в ),,( )( Tk а Tsss r
k 21
)(
— последо-
вательность моментов окончаний восстановлений элементов ,,,1 rjj ,)(
0
ks
Tsr 1 . Далее находим состояния процесса )()0( t в моменты :}{ ls
.,,1,0),,,;,,();(),;( )()(
1
)()(
1
)()()()( rlzsz l
m
ll
m
llll
k
k
l (4)
Начальным состоянием является )0()0( , (см. (3)).
При фиксированных )(k и k опасность отказа системы в момент t опреде-
ляется согласно следующему соотношению: если ),0(1 rlsts ll то
54 ISSN 0572-2691
.));(()()( )1()0(
)(\))((
)(
)( )()0()(
Ttstt k
i
JtJi
il
l
i
Ji
i
ll
M (5)
Первое слагаемое в формуле (5) определяет опасность отказа системы в момент t,
если в момент ls система находится в предотказовом состоянии (отказ любого
элемента из множества )( )(lJ приводит к ее отказу); данное слагаемое не зависит
от дальнейших отказов элементов. Второе же слагаемое учитывает возрастание
опасности отказа за счет отказа одного из элементов до момента T; при этом из эле-
ментов множества ))(( )0( tJ исключаются элементы множества ),( )(lJ интен-
сивность отказа которых была учтена ранее. Соотношение (5) можно переписать
в виде:
)()(
)(
)( )(
l
l
i
Ji
i stt
l
r
l Jii
ss l
u Jdd
u
dd
uu
u
dd
ll
i
ll
uu
d
F
ssF
0 )(,0: 0
1
0 )(,0:
)(
1
)(
)()(
1
)()( )(1
)(1
idJdd
lill
dd
li
l
dd
ll
d
tzsI
F
zF
),(,0:
)(
)(
)()(
)(
)(1
)(1
.
)(1
)(
)()())((
)(
)(
)(\))((
*)0()0(
)()0(
lil
ii
li
l
ii
JtJd
lililildd dz
F
zf
zzst
l
M (6)
Несмотря на свою громоздкость, формула (6) имеет достаточно простую ин-
терпретацию. Как уже отмечалось, первое слагаемое относится к случаю, когда
опасность отказа системы в момент t определяется интенсивностями отказа эле-
ментов из предотказового состояния системы. Второе слагаемое описывает слу-
чай, когда первый после момента )(k отказ произошел в одном из интервалов
)}.,{( 1ll ss А именно, для этого необходимо, чтобы ни в одном из интервалов
,1,,0),,( 1 luss uu не было отказов исправных )0(
)(
u
d элементов, не при-
водящих к отказу системы ))(( )(uJd . При этом считаем, что ,1
1
0
l
u
если
.0l Далее, в момент lil zs произойдет отказ i-го элемента (вероятность чего
равна lil
ii
li
l
ii dz
F
zf
)(1
)(
)(
)(
), причем до этого момента не откажет ни один из осталь-
ных исправных элементов ),,0(
)(
id
l
d
не приводящих к отказу системы
)).(( )(lJd Если ,tzs lil то данный отказ не может повлиять на оценку
опасности отказа в момент t (множитель ),( tzsI lil где )(I — индикатор со-
ответствующего события). Математическое ожидание в правой части формулы (6)
оценивает опасность отказа системы в момент t, если известно, что в момент
lil zs произошел отказ i-го элемента и при этом процесс )()0( перешел в со-
стояние ).(*
lili z
Оценка опасности отказа (t) методом взвешенного моделирования
Формула (6) может использоваться для создания рекуррентного алгоритма
моделирования значений функции )(t в точках }.{ it Однако этот алгоритм ма-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 55
лоэффективный (т.е. дисперсия оценок будет несущественно отличаться от дис-
персии при непосредственном моделировании) в случае, когда система состоит из
элементов с существенно отличающимися характеристиками надежности (типич-
ный случай для реальных систем). Для повышения эффективности алгоритма при
моделировании моментов отказа и номеров отказавших элементов следует учесть,
насколько отказ того или иного элемента в том или ином интервале «приближает»
систему к отказу: чем более вероятным становится отказ системы, тем с большей
вероятностью должен произойти отказ данного элемента в данном интервале.
Стандартным приемом, позволяющим учесть «последствия» отказа элементов,
является взвешенное моделирование, позволяющее за счет введения весовых
множителей «перераспределить» вероятности отказа.
Пусть ),(,0:,,,0),,( )()( ll
i Jiirlil — некоторый набор положи-
тельных чисел. Величина ),( il служит оценкой вероятности отказа системы, ес-
ли известно, что в интервале ),( 1ll ss произошел отказ i-го элемента. При выборе
набора )},({ il существенную роль играет принцип монотонных отказов, пред-
ложенный в работе И.Н.Коваленко [30]. Сформулированный в настоящем разделе
алгоритм взвешенного моделирования позволяет строить несмещенные оценки
для )}({ it при любом наборе )}.,({ il Формулы для вычисления )},({ il в слу-
чае высоконадежных элементов приведены в следующем разделе.
Соотношение (6) можно переписать так:
)()(
)(
)( )(
l
l
i
Ji
i stt
l
01 01
)0()0(0 0 )(,0:
0)0(
01
)0(
0
)0(
)()(
)(
ss ss
Jii
i
iiii
iii
i
dz
FssF
zf
rr rr
rr
i
ss ss
Jii
rir
iirr
r
ii
ri
r
ii
dz
FssF
zf1 1
)()(0 0 )(,0:
)(
1
)(
)(
)()(
)(
r
l Jii
lili
ll
i
ilzA
zA
zA
0 )(,0: )()( ),(
1
)(
)(
)(
,)()())(( *)0()0(
)(\))(( )()0(
lililildd
JtJd
zzst
l
M (7)
где
)(1
)()(
)(),()(
)(
)(
1
)(
l
ii
l
iill
l
ii
lillili
F
FssF
tzsIilzA
1
0 )(,0:
)(
1
)(
)()( )(1
)(1l
u Jdd
u
dd
uu
u
dd
uu
d
F
ssF
,
)(1
)(1
),(,0:
)(
)(
)()(
idJdd
l
dd
li
l
dd
ll
d
F
zF
(8)
}.{,)()(
0 )(,0: )()(
li
r
l Jii
lili zzzAzA
ll
i
(9)
Действительно, каждое слагаемое двухмерной суммы (по l и i) в правой части
формулы (7) зависит лишь от одной переменной интегрирования .liz Поэтому ес-
56 ISSN 0572-2691
ли интегралы и сумму поменять местами, то останется всего один интеграл
по .liz Учитывая обозначения (8) и (9), приходим к выводу, что формула (7) есть
лишь иной формой записи соотношения (6).
Формула (7) лежит в основе алгоритма взвешенного моделирования опасно-
сти отказа )(t в точках }.{ jt Оценки ,,,1,ˆ )1(
njj в одной реализации для
)}({ jt строятся следующим образом (алгоритм сформулирован для произволь-
ных весовых множителей )};,({ il формулы для вычисления )},({ il в случае
высоконадежных элементов приведены в следующем разделе).
1. Задаем начальные значения:
— 1)0( p (весовой множитель);
— njmijiI ,,1,,,1,1),( (индикаторная функция ),( jiI принимает
значение 0, если был учтен вклад интенсивности отказа i-го элемента в оценку
опасности отказа системы в момент );jt
— )0,,0;0,,0()(,0 )0()0(
0
)0( (начальный момент времени и со-
стояние процесса )()0( в этот момент);
— njj ,,1,0ˆ )1( (начальные значения оценок).
2. Предположим, что для некоторого }1,,0{ Kk построен момент ,)( Tk
известно состояние ),( )()0( k
k определяемое согласно (3), и найдено значе-
ние весового множителя .)(kp
Налагая запрет на отказы элементов в промежутке ],[ )( Tk , строим детерми-
нированную траекторию ],[),,;( )()( Tuuz k
k
k , процесса ).()0( t Пусть, как и
ранее,
Ti ii
r
,1:
1 — число элементов, восстановление которых оканчивается
в ),,( )( Tk а Tsss r
k 21
)(
— последовательность моментов оконча-
ний восстановлений, ., 1
)(
0 Tss r
k Далее находим состояния процесса )()0( t
в моменты }{ ls (см. (4)).
3. Строим множества элементов, отказ которых приводит к отказу
системы: ),( )(lJ rl ,,0 .
4. Если 1 ljl sts для некоторых },,1{ nj и ,,,0 rl причем
,)( )( lJ то полагаем ).(),(ˆ:ˆ )(
)(
)()1()1(
)(
lj
l
i
Ji
i
k
jj stjiIp
l
Здесь и в
дальнейшем запись )(: aha означает, что величине a присваивается функция от
ее предыдущего значения. При этом для всех )( )(lJi полагаем .0),( jiI
5. Для каждого rl ,,0 и каждого i такого, что ),(,0 )()( ll
i Ji строим
реализацию сл.в. ),;( 1
)(
ll
l
ili ss с ф.р. ,
)()(
)()(
)(
1
)(
)()(
l
iill
l
ii
l
ii
l
ii
FssF
FxF
].,0[ 1 ll ssx
Пусть .),;( 1
)(
lill
l
ili zss
6. Вычисляем весовые множители )(,0,,,0),,( )()( ll
i Jirlil .
7. По формулам (8) и (9) вычисляем )}({ lili zA и ).(zA
8. Строим реализацию двухмерной сл.в. ),,( принимающей значение ),( il
с вероятностью ).(/)( zAzA lili Пусть ).,(),( il
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 57
9. Пересчитываем нормирующий множитель: ).,(/)()()1( ilzApp kk
10. Полагаем lil
k zs )1( и находим состояние ),( )1()0(
1
k
k если
известно, что в момент )1( k отказал i-й элемент.
11. Если ,1 Kk то увеличиваем k на единицу и переходим на шаг 2 алго-
ритма.
12. Если ,1 Kk то это означает, что в промежутке ],0[ T построено K мо-
ментов отказа. В этом случае в промежутке ],[ )( TK прямым методом Монте-
Карло строим траекторию процесса )()0( t и на этой траектории оцениваем опас-
ность отказа в соответствующих точках (см. (1)). При построении этих оценок в
качестве нормирующего множителя используется .)(Kp
Из сформулированного алгоритма и соотношений (7)–(9) вытекает следую-
щее утверждение.
Теорема. Оценки }ˆ{
)1(
j являются несмещенными, т.е. ),(ˆ )1(
jj tM
.,,1 nj
Построение весовых множителей {(l, i)}
Современные высокоответственные системы (в частности, системы атомных
электростанций) состоят из элементов высокой надежности. Более того, весьма
типичным является случай, когда длительности безотказной работы элементов
являются величинами разного порядка. Данную особенность реальных систем
формализуем следующим образом. Предположим, что 0 — некоторый малый
параметр, а ф.р. )(uFi могут быть представлены в виде ),()(
)0(
uFuF i
ii
где
)(
)0(
uFi — некоторая ф.р., а 0i — параметр, определяющий «порядок» вре-
мени безотказной работы i-го элемента. На функции )}({
)0(
uFi наложим дополни-
тельное условие, введенное в [19] при доказательстве ограниченности относи-
тельной среднеквадратической погрешности (ОСКП) оценок для нестационарного
коэффициента готовности.
Предположим, что ф.р. )}({
)0(
uFi являются абсолютно непрерывными с плот-
ностями )}({
)0(
ufi и выполнено условие: существуют ,0,00 i )2/,0( T
и функции )(),(
)2()1(
uu ii такие, что соотношение
)()()(
)2(1)0()1(1
uufu iii
ii
(10)
выполнено для любых Tu 0 и ),,0( 0 причем
z
z
i
Tzmi
dvv ,0)(infmin
)1(
01
)1(
.)(max
0
)2(
1
)2(
T
i
mi
dvv (11)
Условия (10), (11) не являются ограничительными; в частности, распределе-
ния Вейбулла, Эрланга и гамма-распределение удовлетворяют им.
Еще в работе [30] И.Н. Коваленко заметил, что в большинстве случаев отказы
высоконадежных систем носят монотонный характер, т.е. если известно, что на
данном интервале занятости (интервал, когда неисправен хотя бы один элемент)
произошел отказ системы, то с вероятностью, близкой к единице, этот отказ про-
изошел по монотонной траектории (с начала интервала занятости и до отказа си-
стемы не было восстановлено ни одного элемента системы). В [14] для конкретного
класса систем удалось установить необходимое и достаточное условие, когда вы-
полняется указанное свойство. В этой же работе построен пример системы, когда
преимущественный вклад в отказ системы вносят немонотонные траектории.
58 ISSN 0572-2691
Данная идея монотонности траекторий, ведущих к отказу системы, лежит
в основе выбора весовых множителей )}.,({ il Предположим, что в момент ls си-
стема перешла в состояние );( )()()( lllz (см. (4)). Оценим «последствия» отказа
i-го элемента. Положим ).,,(),( 1
)(
mi
l eil Весовой множитель ),( il
служит оценкой вероятности отказа системы в интервале ),( 1ll ss , если предполо-
жить, что начальным состоянием системы в момент ls является ),,( il и восста-
новление отказавших элементов не проводится. Согласно общему алгоритму в со-
стоянии ),( il система работоспособна. Пусть Miik k ),,;( 1 — произволь-
ное минимальное отказовое сечение. Если )( )(l
j Ji для некоторого j, то такие
сечения не рассматриваем, поскольку согласно алгоритму элементы из множества
)( )(lJ отказать не могут. Поэтому рассматриваем лишь сечения для которых
.,,1),( )( kjJi l
j Пусть
.
)(1
)()(
);,(
1,0:
)(
)(
1
)(
kjj
l
ii
l
iill
l
ii
ji jj
jjjj
F
FssF
ilg
В качестве весового множителя ),( il выбираем
.)];,(1[1),(
1),(:),,;( )(
1
kjJiMiik l
jk
ilgil
Из соотношений (10), (11) следует, что
),();,( );,( ilrOilg
где ,);,(
1,0:
kjj
ii
ji
jj
ilr а
),(),( ),( ilrOil
где ).;,(min),(
1),(:),,;( )(
1
ilrilr
kjJiMiik l
jk
Именно при таком выборе весо-
вых множителей в работе [27] было доказано, что алгоритм, подобный изложен-
ному выше, гарантирует построение оценок вероятности отказа системы, облада-
ющих свойством ограниченности ОСКП.
Численный пример
Рассмотрим пример, иллюстрирующий преимущества и недостатки предло-
женного метода ускоренного моделирования. В качестве тестовой выберем кора-
бельную энергетическую систему [32].
Система состоит из 15m элементов, среди которых три генератора одина-
ковой мощности (элементы 1, 2, 3), три главных распределительных щита (эле-
менты 4, 6, 9), вспомогательные элементы 5, 7, 8 и шесть вторичных распредели-
тельных щитов (элементы 10–15). Надежностная структура системы задается
множеством M, содержащим 31 минимальное сечение. Для усложнения задачи от-
бросим все минимальные сечения, содержащие два элемента. В результате оста-
нется 19 сечений: ,9) ,5 ,1 ;3(,6) ,3 ,1 ;3(,9) ,2 ,1 ;3(,3) ,2 ,1 ;3{(M 8), ,6 ,1 ;(3 ,4) ,3 ,2 ;3(
,8) ,6 ,3 ;3(,7) ,4 ,3 ;3(,9) ,5 ,2 ;3(,7) ,4 ,2 ;3( )8,7 ,2 ,1 ;4( ),7 ,5 ,3 ,1 ;4( 12), ,8 ,5 ,1 ;(4 ,5,1 ;4(
,14),8 ),01 ,7 ,5 ,2 ;4(,8) ,5 ,3 ,2 ;4( ,13)} ,8 ,7 ,3 ;4( ,11) ,8 ,7 ,3 ;4( ,15) 7, 5, ,2 ;4( где первое
число указывает количество элементов, а последующие — их номера.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 59
Предположим, что элементы 1–3 являются восстанавливаемыми с мгновенно
обнаруживаемыми отказами (первый класс), элементы 5, 7 и 8 — невосстанавли-
ваемые (третий класс), а все остальные — периодически контролируемые элемен-
ты (второй класс). Пусть длительности безотказной работы и восстановления эле-
ментов имеют распределение Вейбулла, т.е.
,,,1},)({exp1)(},)({exp1)( miuauGuuF iii
iii
где 0 — некоторый малый параметр. Параметры },{ i },{ i }{ iaa
и }{ i определим следующим образом:
},5,5,5,5,5,5,4,6,6,4,6,4,3,3,3{
},2,2,2,2,2,2,5.0,1,1,5.0,1,5.0,2,2,2{
},1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,05,0,0,0,05,0,0,05,0,02,0,02,0,02,0{a
}.2,2,2,2,2,2,1,0,0,1,0,1,2,2,2{
Для периодически контролируемых элементов дополнительно зададим время
до первого контроля
)0(
iA и время между последующими контролями :iA
,240,9,6,4,240,240,160,80
)0(
11
)0(
10
)0(
9
)0(
6
)0(
4 AAiAAAA i
.15,,10,720,720,480
)0(
15
)0(
14
)0(
13
)0(
12 iAAAAA i
Каждая из приведенных ниже оценок строится по 610 реализациям. При
этом используются обозначения: î — оценка для );( it iii VZ ˆ/ˆˆ — оценка
относительной среднеквадратической погрешности, где iV̂ — выборочная дис-
персия; )ˆˆ/(1ˆ 2
iii ZwE — оценка эффективности алгоритма iŵ( — среднее время
одной реализации).
Положим ,4,3,2 rr
.Таким образом, параметрами, влияющими на
оценки, являются r, K и набор моментов }.{ it Исследуем эффективность предло-
женного метода при изменении указанных параметров.
В табл. 1 исследуется, при каком значении K достигается максимальная эффек-
тивность алгоритма в зависимости от надежности элементов системы
r 2( ). По-
ложим .10000,1 1 Ttn
Прочерки в табл. 1 означают, что при указанных значениях K проведенное
количество реализаций оказалось недостаточным для получения достоверных
данных. Обращает на себя внимание близость оценок для )(T при различных K
и фиксированном . Если ,2 4 то метод наиболее эффективен при 0K
(непосредственное моделирование). При 52 максимальная эффективность
достигается при ,4K а при 62 и 72 оптимальными значениями явля-
ются 2K и 3K соответственно.
Таблица 1
r
K 0 K 1 K 2 K 3 K 4
1̂
1Ê 1̂
1Ê 1̂
1Ê 1̂
1Ê 1̂
1Ê
3 9,95 105 31,95 9,95 105 19,06 9,93 105 2,37 9,71105 0,77 11,73 105 0,01
4 1,99 107 4,43 1,86 107 1,16 1,87 107 0,48 1,93 107 0,21 2,09 107 0,13
5 — 1,49 1010 0,05 1,26 1010 0,09 1,06 1010 1,24 1,10 1010 2,32
6 — — 4,74 1015 2,65 5,311015 1,74 5,37 1015 1,00
7 — — 3,25 1019 1,33 3,111019 1,56 3,20 1019 0,32
60 ISSN 0572-2691
Таблица 2
T t1 2000 t2 4000 t3 6000 t4 8000 t5 10000
1̂
1Ẑ
2̂
2Ẑ
3̂
3Ẑ
4̂
4Ẑ
5̂
5Ẑ
10000 — — — — 5,97 1011 234,4 7,52 1011 94,9 1,10 1010 17.3
8000 — — 1,76 1011 299,1 4,29 1011 104,8 7,47 1011 15,2 — —
6000 8,15 1012 307,1 2,90 1011 124,6 4,64 1011 14,9 — — — —
4000 7,69 1012 98,8 2,411011 12,3 — — — — — —
2000 7,97 1012 9,4 — — — — — — — —
Точность оценок для )}({ it су-
щественно зависит от длины интерва-
ла, на котором моделируется поведе-
ние системы. Естественно ожидать, что
по мере удаления it от T точность оце-
нок падает. В табл. 2 исследуется зави-
симость ОСКП оценки для )( it при
различных значениях T. Оценки стро-
ятся при 52 и .4K
Прочерки в столбцах табл. 2, со-
ответствующих 1t и ,2t означают, что
проведенное количество реализаций оказалось недостаточным для получения до-
стоверных данных. Наиболее точные оценки получены в точках .Ttn По мере
продвижения к началу рассматриваемого интервала точность оценок заметно
снижается.
Исследуем теперь изменение ОСКП оценок по мере убывания 0 ), т.е.
с ростом надежности элементов системы. Оценки строим для интенсивности отказа в
момент .00010T Результаты расчетов представлены в табл. 3.
Представленные в табл. 3 численные данные показывают, что с ростом
надежности элементов системы не происходит сколько-нибудь заметного роста
ОСКП, что свидетельствует об устойчивости метода в широком диапазоне изме-
нения характеристик надежности элементов.
Построим оценки функции )(t в точках ;4,3,2,1,500{ ii ),2(1000 i
}12,,5i при 52 и методом наименьших квадратов построим аппрокси-
мирующую кривую вида .bat Результаты представлены на рисунке.
Сплошной ломанной показан
график функции )(ˆ t , построенной по
оценкам в указанных выше точках }{ it .
Аппроксимирующая функция bat
,101579,1( 17a )74,1b обозначена
пунктирной линией. Приведенный
график дает наглядное представление
о росте опасности отказа системы и
позволяет строить прогнозные оценки
роста опасности отказа для суще-
ственно более широкого интервала.
Таблица 3
Значения
пареметров
Оценки интенсивности
отказа
1̂
1Ẑ
32 K 0 9,95105 6,4
42 K 0 1,99107 46,7
52 K 4 1,101010 17,3
62 K 2 4,741015 24,1
72 K 3 3,111019 24,1
82 K 2 1,961023 27,3
2000 4000 6000 8000 1000
2
0
4
6
8
10
(t)10
11
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 61
Заключение
Предложенный в настоящей статье метод ускоренного моделирования явля-
ется действенным инструментом для оценки опасности отказа сложной резерви-
рованной системы при самых общих предположениях относительно законов рас-
пределения длительностей безотказной работы и восстановления элементов.
М.Ю. Кузнєцов, А.А. Шумська
ОЦІНКА НЕБЕЗПЕКИ ВІДМОВИ
РЕЗЕРВОВАНОЇ СИСТЕМИ МЕТОДОМ
ПРИСКОРЕНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Розглянуто резервовану систему, що містить відновлювані, невідновлювані та
періодично контрольовані елементи. Жоден з розподілів не є експоненціаль-
ним. Запропоновано метод зваженого моделювання, який дозволяє будувати
незміщені оцінки небезпеки відмови системи одночасно у декількох точках. На
прикладі енергетичної системи ілюструється висока точність оцінок.
N.Yu. Kuznetsov, А.А. Shumskaya
EVALUATION OF THE HAZARD
OF FAILURE OF THE REPAIRABLE SYSTEM
BY FAST SIMULATION METHOD
A redundant system consisting of repairable, unrepairable and periodically tested
components is considered. None of distributions involved is supposed to be of expo-
nential type. A method of weighted simulation enabling to construct unbiased esti-
mates for the hazard of failure of the system simultaneously in several points is
proposed. High accuracy of estimates is demonstrated on the example of power sup-
ply system.
1. Гнеденко Б.В. О ненагруженном дублировании // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. —
1964. — № 4. — С. 3–12.
2. Гнеденко Б.В. О дублировании с восстановлением // Там же. — 1964. — № 5. —
С. 111–118.
3. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением // Там же. — 1970. — № 1. —
С. 56–71.
4. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступления редкого события
в регенерирующем процессе // Там же. — 1971. — № 6. — С. 79–89.
5. Вопросы математической теории надежности / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Кашта-
нов, И.Н. Коваленко и др. — М. : Радио и связь, 1983. — 376 с.
6. Kovalenko І.N., Atkinson J.B., Mikhalevich K.V. Three cases of light-traffic insensitivity of the
loss probability in a GI / G / m / 0 loss system to the shape of the service time distribution //
Queueing Systems. — 2003. — 45, N 3. — P. 245–271.
7. Baccelli F., McDonald D.R. Rare events for stationary processes // Stochast. Proc. and Appl. —
2000. — 89, N 1. — P. 141–173.
8. Baccelli F., Borovkov A., Mairesse J. Asymptotic results on infinite tandem queueing networks //
Probab. Theory and Rel. Fields. — 2000. — 118, N 3. — P. 365–405.
9. Miyazawa M., Rolski T. Tail asymptotics for a Lévy-driven tandem queue with an intermediate
input // Queueing Systems. — 2009. — 63, N 1. — P. 323–353.
10. Asmussen S., Fiorini P., Lipsky L. et al. Asymptotic behavior of total times for jobs that must start
over if a failure occurs // Math. Operat. Res. — 2008. — 33, N 4. — P. 932–944.
11. Цициашвили Г.Ш., Лосев А.С. Применение алгоритма Флойда к асимптотическому анализу
сетей с ненадежными ребрами // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 7. —
С. 181–184.
62 ISSN 0572-2691
12. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.
— М. : Сов. радио, 1980. — 209 с.
13. Коваленко И.H. К расчету характеристик высоконадежных систем аналитико-статистичес-
ким методом // Электронное моделирование. — 1980. — 2, № 4. — С. 5–8.
14. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Yu., Pegg Ph.A. Mathematical theory of reliability of time depen-
dent systems with practical applications. — Chichester : Wiley, 1997. — 303 p.
15. Heidelberger P. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models // ACM Trans.
Modeling Comput. Simul. — 1995. — 5, N 1. — P. 43–85.
16. Juneja S., Shahabuddin P., Zajic T. Splitting-based importance-sampling algorithm for fast simu-
lation of Markov reliability models with general repair-policies // IEEE Transact. on Reliab. —
2001. — 50, N 3. — P. 235–245.
17. Ермаков С.М. Метод существенной выборки для моделирования вероятностей умеренных
и больших уклонений оценок и критериев // Теория вероятностей и ее применения. —
2006. — 51, № 2. — С. 319–332.
18. Плакс Б.И. Расчет надежности систем со сложной структурой ускоренным методом Монте-
Карло // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1983. — № 6. — С. 158–162.
19. Шумская А.А. Ускоренное моделирование коэффициента неготовности восстанавливаемой
системы с ограниченной относительной погрешностью оценки // Кибернетика и системный
анализ. — 2003. — № 3. — С. 45–58.
20. Fox B.L., Glynn P.W. Discrete-time conversion for simulating finite-horizon Markov processes //
SIAM J. Appl. Math. — 1990. — 50, N 5. — P. 1457–1473.
21. Glasserman P., Heіdelberger Ph., Shahabuddіn P., Zajіc T. Multilevel splitting for estimating ra-
re event probabilities // Oper. Res. — 1999. — 47, N 4. — P. 585–600.
22. Lagnoux A. Rare event simulation // Probab. Eng. and Inf. Sci. — 2006. — 20, N 1. — P. 45–66.
23. Iyer S.M., Nakayama M.K., Gerbessiotis A.V. A Markovian dependability model with cascading
failures // IEEE Transact. on Comput. — 2009. — 58, N 9. — P. 1238–1249.
24. Blanchet J., Lam H. Rare event simulation techniques / Proc. of the 2011 Winter Simulation Con-
ference. — 2011. — P. 217–231.
25. Li J., Mosleh A., Kang R. Likelihood ratio gradient estimation for dynamic reliability applications
// Reliab. Engin. and System Safety. — 2011. — 96, N 12 — P. 1667–1679.
26. Gong X., Zhang G. Reliability analysis based on efficient simulation // Appl. Mechanics and
Materials. — 2012. — 141, N 1. — P. 594–600.
27. Kuznetsov N.Yu. Fast simulation technique in reliability evaluation of Markovian and non-
Markovian systems // Simulation and Optimization Methods in Risk and Reliability Theory. —
New York : Nova Sci. Publ., 2009. — P. 69–112.
28. Caldarola L., Wickenhäuser A. The Karlsruhe computer program for the evaluation of the availa-
bility and reliability of complex repairable systems // Nuclear Engin. and Design. — 1977. — 43.
— P. 463–470.
29. Hennings W., Kuznetsov N. FAMOCUTN & CUTQN: programs for fast analysis of large fault
trees with replicated & negated gates // IEEE Trans. Reliab. — 1995. — 44, N 3 — P. 368–376.
30. Коваленко И.Н. Об оценке надежности сложных систем // Вопросы радиоэлектроники. —
1965. — 12, № 9 — С. 50–68.
31. Коваленко И.Н., Кузнецов И.Н. Оценка вклада немонотонных траекторий в отказ системы
обслуживания на периоде занятости // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 4.
— С. 8–17.
32. Рябинин И.А., Черкесов Г.H. Логико-вероятностные методы исследования надежности
структурно сложных систем. — М. : Радио и связь, 1981. — 264 с.
Получено 22.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207614 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T23:59:27Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузнецов, Н.Ю. Шумская, А.А. 2025-10-10T13:57:54Z 2013 Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 50–62. — Бібліогр.: 32 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207614 519.873 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i5.40 Розглянуто резервовану систему, що містить відновлювані, невідновлювані та періодично контрольовані елементи. Жоден з розподілів не є експоненціальним. Запропоновано метод зваженого моделювання, який дозволяє будувати незміщені оцінки небезпеки відмови системи одночасно у декількох точках. На прикладі енергетичної системи ілюструється висока точність оцінок. A redundant system consisting of repairable, unrepairable and periodically tested components is considered. None of distributions involved is supposed to be of exponential type. A method of weighted simulation enabling to construct unbiased estimates for the hazard of failure of the system simultaneously in several points is proposed. High accuracy of estimates is demonstrated on the example of power supply system. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования Оцінка небезпеки відмови резервованої системи методом прискореного моделювання Evaluation of the Hazard of Failure of the Repairable System by Fast Simulation Method Article published earlier |
| spellingShingle | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования Кузнецов, Н.Ю. Шумская, А.А. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| title_alt | Оцінка небезпеки відмови резервованої системи методом прискореного моделювання Evaluation of the Hazard of Failure of the Repairable System by Fast Simulation Method |
| title_full | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| title_fullStr | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| title_full_unstemmed | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| title_short | Оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| title_sort | оценка опасности отказа резервированной системы методом ускоренного моделирования |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207614 |
| work_keys_str_mv | AT kuznecovnû ocenkaopasnostiotkazarezervirovannoisistemymetodomuskorennogomodelirovaniâ AT šumskaâaa ocenkaopasnostiotkazarezervirovannoisistemymetodomuskorennogomodelirovaniâ AT kuznecovnû ocínkanebezpekivídmovirezervovanoísistemimetodompriskorenogomodelûvannâ AT šumskaâaa ocínkanebezpekivídmovirezervovanoísistemimetodompriskorenogomodelûvannâ AT kuznecovnû evaluationofthehazardoffailureoftherepairablesystembyfastsimulationmethod AT šumskaâaa evaluationofthehazardoffailureoftherepairablesystembyfastsimulationmethod |