Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления

Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления

Розроблено нові методи аналізу робастної стабілізації та оптимізації дискретних систем керування зі зворотним зв’язком. Для сім’ї нелінійних систем із невизначеними матрицями коефіцієнтів і зворотним зв’язком за вимірюваним виходом формулюються достатні умови стійкості нульового стану зі спільною кв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Проблемы управления и информатики
Datum:2013
Hauptverfasser: Мазко, А.Г., Богданович, Л.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schlagworte:
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207618
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления / А.Г. Мазко, Л.В. Богданович // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 92–101. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207618
record_format dspace
spelling Мазко, А.Г.
Богданович, Л.В.
2025-10-10T14:17:20Z
2013
Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления / А.Г. Мазко, Л.В. Богданович // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 92–101. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207618
517.935; 519.718
10.1615/JAutomatInfScien.v45.i5.50
Розроблено нові методи аналізу робастної стабілізації та оптимізації дискретних систем керування зі зворотним зв’язком. Для сім’ї нелінійних систем із невизначеними матрицями коефіцієнтів і зворотним зв’язком за вимірюваним виходом формулюються достатні умови стійкості нульового стану зі спільною квадратичною функцією Ляпунова. Запропоновано розв’язання загальної задачі робастної стабілізації та оцінки квадратичного критерію якості сім’ї нелінійних дискретних систем. Застосування результатів зводиться до розв’язання систем лінійних матричних нерівностей.
New methods for analysis of robust stability and optimization of discrete output feedback control systems are developed. Sufficient stability conditions of the zero state are formulated with the joint quadratic Lyapunov function for a family of nonlinear systems with uncertain coefficient matrices and a measured output feedback. The solution of the general problem of robust stabilization and evaluation of the quadratic performance criterion for a family of nonlinear discrete systems is proposed. Applying the results reduces to solving the systems of linear matrix inequalities.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
Робастна стабілізація та оцінка функціонала якості нелінійних дискретних систем керування
Robust Stabilization and Evaluation of the Performance Index of Nonlinear Discrete Control Systems
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
spellingShingle Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
Мазко, А.Г.
Богданович, Л.В.
Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
title_short Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
title_full Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
title_fullStr Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
title_full_unstemmed Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
title_sort робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления
author Мазко, А.Г.
Богданович, Л.В.
author_facet Мазко, А.Г.
Богданович, Л.В.
topic Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
topic_facet Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
publishDate 2013
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Робастна стабілізація та оцінка функціонала якості нелінійних дискретних систем керування
Robust Stabilization and Evaluation of the Performance Index of Nonlinear Discrete Control Systems
description Розроблено нові методи аналізу робастної стабілізації та оптимізації дискретних систем керування зі зворотним зв’язком. Для сім’ї нелінійних систем із невизначеними матрицями коефіцієнтів і зворотним зв’язком за вимірюваним виходом формулюються достатні умови стійкості нульового стану зі спільною квадратичною функцією Ляпунова. Запропоновано розв’язання загальної задачі робастної стабілізації та оцінки квадратичного критерію якості сім’ї нелінійних дискретних систем. Застосування результатів зводиться до розв’язання систем лінійних матричних нерівностей. New methods for analysis of robust stability and optimization of discrete output feedback control systems are developed. Sufficient stability conditions of the zero state are formulated with the joint quadratic Lyapunov function for a family of nonlinear systems with uncertain coefficient matrices and a measured output feedback. The solution of the general problem of robust stabilization and evaluation of the quadratic performance criterion for a family of nonlinear discrete systems is proposed. Applying the results reduces to solving the systems of linear matrix inequalities.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207618
citation_txt Робастная стабилизация и оценка функционала качества нелинейных дискретных систем управления / А.Г. Мазко, Л.В. Богданович // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 92–101. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT mazkoag robastnaâstabilizaciâiocenkafunkcionalakačestvanelineinyhdiskretnyhsistemupravleniâ
AT bogdanovičlv robastnaâstabilizaciâiocenkafunkcionalakačestvanelineinyhdiskretnyhsistemupravleniâ
AT mazkoag robastnastabílízacíâtaocínkafunkcíonalaâkostínelíníinihdiskretnihsistemkeruvannâ
AT bogdanovičlv robastnastabílízacíâtaocínkafunkcíonalaâkostínelíníinihdiskretnihsistemkeruvannâ
AT mazkoag robuststabilizationandevaluationoftheperformanceindexofnonlineardiscretecontrolsystems
AT bogdanovičlv robuststabilizationandevaluationoftheperformanceindexofnonlineardiscretecontrolsystems
first_indexed 2025-11-26T05:35:01Z
last_indexed 2025-11-26T05:35:01Z
_version_ 1850613853306486784
fulltext © А.Г. МАЗКО, Л.В. БОГДАНОВИЧ, 2013 92 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДК 517.935;519.718 А.Г. Мазко, Л.В. Богданович РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ И ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Введение В прикладных исследованиях возникают задачи анализа и синтеза систем управления, математические модели которых содержат неопределенные элементы (параметры, функции, случайные возмущения и т.п.). Методы изучения и дости- жения показателей качества таких систем и, прежде всего, устойчивости состоя- ний равновесия позволяют с высокой надежностью использовать теоретические выводы о динамике реальных управляемых объектов (см., например, [1–5]). Нулевое состояние нелинейной системы управления с дискретным временем ,),,(),,(1 tttt uptxBptxfx  ,n tx R ,m tt Kxu R ,...1,0t , (1) называется робастно устойчивым относительно заданных множеств параметров rRP и коэффициентов матрицы усиления обратной связи nmRΚ , если оно устойчиво по Ляпунову при любых фиксированных Pp и .ΚK Здесь )(f и )(B — соответственно векторная и матричная функции, причем .0),,0( tpf Ес- ли ,),,(),,( xptxAtpxf  где )(A — матричная функция, то при решении задач робастной устойчивости и стабилизации систем типа (1) удобно использовать мето- ды квадратичных функций Ляпунова xXxtxv t T),(  с матрицами .0T  tt XX В качестве множеств неопределенности P и Κ системы (1) обычно использу- ются интервалы, политопы, аффинные и эллипсоидальные множества матриц и др. Причем интервальные и аффинные множества матриц могут быть описаны в виде матричных политопов. При описании неопределенностей и условий робастной устой- чивости систем управления в полуупорядоченных пространствах можно использовать конусные неравенства и конусные интервалы [6, 7]. В многочисленных работах в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН) получены достаточные условия устойчивости линейных систем управле- ния с неопределенными матрицами коэффициентов и обратной связи по измеряе- мому выходу. С обзором задач и известных методов анализа робастной устойчи- вости и стабилизации систем управления можно ознакомиться в работах [8, 9]. Следует отметить, что многие задачи стабилизации и оптимизации с динамиче- ской обратной связью (ДОС) сводятся к аналогичным задачам со статической об- ратной связью (СОС). Данная публикация посвящена разработке новых методов анализа робастной устойчивости, стабилизации и оптимизации нелинейных разностных систем управления с обратной связью по измеряемому выходу, содержащему компонен- ты как фазовых переменных, так и управления. Используя и развивая результаты Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 93 работ [4, 10, 11], формулируются достаточные условия асимптотической устойчи- вости нулевого состояния семейства систем управления с неопределенными мат- рицами коэффициентов и СОС по измеряемому выходу. Определяются также об- щая функция Ляпунова и верхняя оценка квадратичного функционала качества. В результате предлагаются новые методы оптимизации данного семейства си- стем. Применение полученных результатов сводится к решению систем ЛМН. Для решения ЛМН с постоянными матрицами может применяться достаточно эффективная процедура в системе MATLAB. Используем следующие обозначения: nI — единичная nn -матрица; mn0 — нулевая mn -матрица; )0(0T  XX — положительно (неотрицательно)-опре- деленная симметричная матрица; )(max X ))(( min X — максимальное (минималь- ное) собственное число эрмитовой матрицы; )(A ))(( A — спектр (спектральный радиус) матрицы A; x — евклидова норма вектора x; },...,{Co 1 rAA — выпуклый многогранник (политоп) с вершинами rAA ,...,1 в пространстве матриц вида .1,,1,0:},...,{Co 1 1 1              r i r i iiiir riAAAA 1. Робастная стабилизация нелинейных систем Рассмотрим динамическую систему управления с дискретным временем, описываемую разностными уравнениями вида ,),(),(1 ttttt utxBxtxAx  ,),(),( ttttt utxDxtxCy  (2) где ,n tx R ,m tu R l ty R — векторы соответственно состояния, управления и измеряемого выхода объекта, ,...2,1,0t . Управление системой осуществляется в виде СОС по выходу: ,),( ttt ytxKu  ),,( ~ ),(),( * txKtxKtxK  ,),( ~ ΚtxK t (3) где Κ — эллипсоидальное множество матриц в пространстве lmR вида },:{ T QPKKK Κ (4) которое определяют симметричные положительно-определенные матрицы P и Q соответствующих размеров mm и .ll В силу эквивалентности матричных не- равенств [12] имеем ,T QPKK  ,0 T 1           QK KP ,1T1   PKKQ множество (4) можно описать также в виде }.:{ 11   PKKQK TΚ При этом в случае 1m данный эллипсоид описывается скалярным неравенством. Зависимость от tx и t матриц *,,,, KDCBA и K ~ будем считать непрерыв- ной и для простоты не указывать. Матрицы P и Q постоянные, хотя в дальнейших выкладках они также могут быть функциями tx и t. Согласно (2)–(4) должно выполняться неравенство ,0 )( )()( ],[ * TT * T * T * T TT                 t t tt u x CPKGQD PGKQDCCPKKQC ux где ,*DKIG m  .TT PGGQDD  Предположим, что ,0),(  tx ,0Sx ,Τt (5) где }:{0 hxRx n S — окрестность точки ,0x ,...}.2,1,0{Τ Тогда 0tx влечет 0tu и 0tx является состоянием равновесия системы. В даль- 94 ISSN 0572-2691 нейшем предполагаем, что данное состояние равновесия изолированное, т.е. окрестность 0S не содержит других состояний равновесия системы. Задача состоит в построении условий, при которых нулевое состояние за- мкнутой системы управления (2), (3) асимптотически устойчиво по Ляпунову для любой матрицы . ~ ΚK Матрица *K выбирается для стабилизации, например, в том случае, когда нулевое состояние системы без управления )0( tu неустой- чиво. Для ее нахождения так же, как и в случае непрерывных систем, необходимо разрабатывать специальные методы. Введем на множестве матриц }0)(det:{  KDIK mDK при каждом Τt нелинейный оператор ,: lmlm  RRD .)()()( 11   DKIKKKDIK lmD (6) Можно установить следующие свойства данного оператора: 1) если ,DK Κ то )]([)( KDIKK l DD  и ;)()( 1 DKIKDI ll D 2) если ,, 21 DKK K то Dm KDKIK K  2 1 13 )( и )];()[()()( 13121 KDIKKKK l DDDD  (7) 3) если ,DK Κ то DKK ΚD  )(* и .))(( KK DD (8) Покажем, что при условии (5) замкнутая система управления (2), (3) в окрест- ности нулевого состояния представляется в виде ,),(1 ttt xtxMx  .)(),( CKBAtxM t D (9) Из (5) следует, что матрица G невырожденная и при любых 0Sx и Τt определены значения )( *KD оператора (6). Если , ~ ΚK то определены также зна- чения )(KD и ),(K  D где . ~1KGK   Действительно, при условиях (3) и (5) имеем , ~~ TTTT GPGQDDDKPKD  ,T PFPF  где .0, ~ 1   PDGKF Поэтому 1)(  F и матрица FIm  невырожденная, а вмес- те с ней матрицы GFIKDI mm )(  и )(1 KDIGDKI mm    также невы- рожденные. Исключая вектор управления из соотношений (2) и (3), получаем си- стему (9). В частности, при *KK  имеем систему ),,(*1 txMx tt  CKBAtxM t )(),( ** D , (10) нулевое состояние которой должно быть асимптотически устойчивым. Согласно свойству (8) оператора D для достижения желаемых свойств и, в частности, устойчивости нулевого состояния системы (10) достаточно обеспечить эти свой- ства системе с матрицей .* BKCAM  Получим решение поставленной задачи методом квадратичных функций Ля- пунова, используя следующее утверждение. Лемма 1 [11]. Пусть выполняются матричные неравенства ,0T  PRDQD )0(0 1 T TT              QDV DPRU VUW , Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 95 где ,0,0,0,0 TTTT  WWRRQQPP VU , и D — матрицы подходящих размеров. Тогда )0(0)()()()( TTTTT  VKRKVUKVVKUW DDDD для любой матрицы }.:{ T QPKKKK Κ Данное утверждение является обобщением аналогичного результата, полу- ченного в [13] при некоторых дополнительных ограничениях относительно мат- риц D, R, P и Q. Теорема 1. Пусть для некоторых )2,1,0(0  ii при 0tx и Τt выпол- няется система матричных неравенств ,21 ntn IXI  (11) ,TT 1 T PGGQDDBXB t  (12) ,0 1 * TT 1*1 T T *1 T *0*1 T *                  QDC DPGGBXBMXB CBXMIXMXM t T t tntt (13) где ,)( ** CKBAM D .)( ** CKDCC D Тогда любое управление (3) обеспе- чивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния системы (2) и общую функцию Ляпунова .),( T xXxtxv t Доказательство. Функция v при условиях (11) удовлетворяет оценке .),( 2 2 2 1 xtxvx t  Для того чтобы первая разность данной функции в си- лу системы (9) в окрестности 0S точки 0x удовлетворяла оценке ,),()1,( 2 1 ttt xtxvtxv  ,0 ,Τt достаточно выполнения матричного неравенства ,0),(),( 1 T  ntt IXtxMXtxM ,0Sx .Τt (14) При этом согласно дискретному аналогу второй теоремы Ляпунова состояние 0tx данной системы равномерно асимптотически устойчиво. Условие (14) означает, что ,),(sup ,0   tx tx ΤS ).),(),((),( 1 T max tt XtxMXtxMtx   Наряду с (14) рассмотрим условие ,),0(sup 0  t t Τ т.е. ,0001 T 0  ntt IXMXM ,Τt (15) где ),,0(0 tMM  .0  Из соображений непрерывности ясно, что существует окрестность 0S точки ,0x для которой (14) следует из (15). Используя свой- ство (7) оператора D при ,0tx перепишем матричное неравенство (15) в виде ,0)()()()( TTTTT  VKRKVUKVVKUW  DDDD 0tx ,Τt где ,0*1 T * ntt IXMXMW   ,*1 T MXBU t ,*CV  .1 T BXBR t При этом },:{ ~~ T1 QKPKKKGKK    KK 96 ISSN 0572-2691 где PGP T  и (5) является следствием (11), (12). Используя лемму 1, получаем условия (11)–(13), при которых выполняется матричное неравенство (15) и нуле- вое состояние замкнутой системы (9) асимптотически устойчиво при любом управлении (3). Теорема доказана. Отметим, что в [4] на основе так называемого свойства неущербности S-про- цедуры получено аналогичное утверждение с постоянной матрицей X в случае ,mIP  ,lIQ  где  — радиус устойчивости матриц обратной связи K для ли- нейных автономных систем (2). Заметим, что матрицы P и 1 1  QQ входят ли- нейно в соотношения (12) и (13), причем (12) является следствием строгого нера- венства (13). Поэтому эти матрицы наряду с tX можно считать неизвестными и определять с помощью эффективной процедуры системы MATLAB. Это расши- ряет возможности методики квадратичной стабилизации [4] как для линейных, так и для нелинейных систем. Предположим, что система (2) при 0tx и Τt имеет неопределенные ко- эффициенты. Будем использовать, например, следующие условия: },,...,{Co 11 rAAA },,...,{Co 21 rBBB },,...,{Co 31 rCCC (16) ,0* K },,...,{Co 41 rDDD (17) где ,0tx ,Τt а заданные наборы постоянных матриц kji CBA ,, и sD являют- ся вершинами некоторых политопов в пространствах nlmnnn  RRR ,, и mlR соответственно. Лемма 2. Для любых наборов неотрицательных чисел ,i j и ,k в сумме равных 1, и любых матриц 0T  XX и K соответствующих размеров выполня- ется неравенство ,)()()()( 1 2 3 1 1 1 TT        r i r j r k kjikjikji KCBAXKCBABKCAXBKCA где , 1 1    r i ii AA , 2 1    r j jj BB , 3 1    r k kkCC .1 321 111    r k k r j j r i i Данное утверждение устанавливается путем умножения очевидных неравенств ,0)()( T  pqsijkpqsijk MMXMM ,,1, 1rpi  ,,1, 2rqj  ,,1, 3rsk  где ,kjiijk KCBAM  sqppqs KCBAM  , последовательно на ,i ,j k , ,p ,q s и их суммирования. Пусть выполняются условия неопределенности (16). Тогда согласно лемме 2 для любой матрицы K матричное неравенство (15) вытекает из системы неравенств ,001 T  ntijktijk IXMXM ,,1 1ri  ,,1 2rj  ,,1 3rk  ,Τt где .)( kjiijk CKBAM D Следовательно (см. доказательство теоремы 1), для выполнения условий (12) и (13) теоремы 1 достаточно выполнения соотношений ,TT 1 T PGGQDDBXB jtj  (18) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 97 ,0 1 * TT 1 T 1 T T *1 T 01 T                    QDC DPGGBXBMXB CBXMIXMXM jtjijktj jtijkntijktijk (19) где ,)( * kjiijk CKBAM D ,,1 1ri  ,,1 2rj  ,,1 3rk  ,0tx .Τt Сформули- руем аналогичное утверждение при более сильных предположениях. Следствие. Пусть совместна система ЛМН с постоянными матрицами ,0 1 TTT TTT                 QDC DPXBBXAB CXBAXXAA sk sjjij kjiii ,0X (20) где .,1,,1,,1,,1 4321 rsrkrjri  Тогда любое управление (3) при 0* K обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния системы (2) с неопределенностями (16) и (17). Замечание. Системы матричных неравенств (18)–(20) можно использовать при решении обратных задач робастной стабилизации. Например, для заданной матрицы 0T  XX при условиях следствия, сформулированного выше, по- строить семейство систем стабилизации, отвечающее политопам матричных ко- эффициентов (16), (17) и эллипсоиду матриц обратной связи (4). В данной задаче неизвестными будут вершины политопов kji CBA ,, и ,sD а также положитель- но-определенные матрицы P и Q, описывающие искомый эллипсоид. 2. Оценка квадратичного критерия качества семейства систем Рассмотрим систему управления (2), (3) с квадратичным функционалом качества ,)( 0 0     t tu xJ ,][ TT        t t tttt u x ux ,T        RN NS t ,Τt (21) где 0x — вектор начальных условий, а блоки симметричной матрицы t (воз- можно зависящие от t) удовлетворяют соотношениям ,T1 nINNRS   ,0R ,0 .Τt (22) Требуется описать множество управлений (3), обеспечивающих асимптоти- ческую устойчивость состояния 0tx системы (2) и оценку ,)( 0 xJu (23) где 0 — некоторое максимально допустимое значение функционала (21). Решение данной задачи будем проводить методом квадратичной функции Ляпунова ,),( T xXxtxv t матрица которой удовлетворяет требованиям ,00 T 0 xXx ,21 ntn IXI  ,0, 21  .Τt (24) При условиях (3) и (5) определены значения )(),( *KK DD и ),(K  D где , ~1KGK   DKIG m * (см. разд. 1). При этом замкнутая система представля- ется в виде (9), а первая разность функции v в силу данной системы и суммируе- мая функция t имеют вид ,)(),()1,( 1 TT 1 tttttt xXMXMxtxvtxv   ,TT tttt LxLx  где .])([ TTT KCIL n D Потребуем, чтобы наряду с (5) и (24) выполнялись нера- венства ,),()1,( 2 1 tttt xtxvtxv  ,0Stx ,Τt (25) 98 ISSN 0572-2691 где 0S — окрестность точки ,0x содержащая .0x Для этого достаточно вы- полнения матричных неравенств (22) и ,00 T 001 T 0 nttt ILLXMXM  (26) где ),,0(0 tMM  ,),0(0 tLL  .00  Тогда состояние 0tx системы (9) асимп- тотически устойчиво и с учетом (24), (25) получаем верхнюю оценку функциона- ла (21): .)]1,(),([)( 00 T 0 0 10      xXxtxvtxvxJ t ttu (27) Используя свойство (7) оператора ,D приведем неравенство (26) к виду ,0)()()()( TTTTT  VKRKVUKVVKUW  DDDD (28) где ,0**1 T * ntt IXMXMW   ,)( * T *1 T CKRDNMXBU t    *CV ,)( * CKDC D ,* T ** LL t ,])([ * TTT * KCIL n D .1 T BXBRR t  При этом выполняется критерий, приведенный в доказательстве теоремы 1. Применяя лемму 1 и соотношения (24)–(28), получаем следующий результат. Теорема 2. Пусть для некоторых )2,1,0(0  ii при 0tx и Τt выпол- няется система соотношений (24) и ,TT 1 T PGGRQDDBXB t  (29) .0)( )( 1 * TT 1 T * T *1 T T ** TT 1 T *0**1 T *                    QDC DRPGGBXBCKRNMXB CRKCNBXMIXMXM tt tntt D D (30) Тогда любое управление (3) обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния системы (2), общую функцию Ляпунова xXxtxv t T),(  и оценку функци- онала качества (23). Предположим, что система (2) имеет неопределенности типа (16). Тогда для выполнения условий (29) и (30) теоремы 2 достаточно выполнения системы соот- ношений (см. разд. 1) ,TT 1 T PGGRDQDBXB jtj  (31) ,0)( )( 1 * TT 1 T * T 1 T T ** TT 1 T 0*1 T                    QDC DRPGGBXBCKRNMXB CRKCNBXMIXMXM jtjijktj jtijkntijktijk D D (32) где ,)( * kjiijk CKBAM D ,,1 1ri  ,,1 2rj  ,,1 3rk  ,0tx .Τt Сформу- лируем следствие теоремы 2 при более сильных предположениях. Следствие. Пусть совместна система ЛМН с постоянными матрицами ,TT PRQDDXBB ssjj  ,0 1 TTTT TTT                 QDC DRPXBBNXAB CNXBASXXAA sk sjjij kjiii ,0X (33) где .,1,,1,,1,,1 4321 rsrkrjri  Тогда любое управление (3) при 0* K обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния системы (2) с неопределенностями (16), (17) , общую функцию Ляпунова xXxxv T)(  и оцен- ку функционала качества (23). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 99 На основе теоремы 2 и ее следствий можно сформулировать задачи оптими- зации системы (2) и семейств систем (2), (16) и (2), (16), (17): Задача 1. Минимизировать 0 при ограничениях (24), (29) и (30). Задача 2. Минимизировать 0 при ограничениях (24), (31) и (32). Задача 3. Минимизировать 0 при ограничениях (33). Для решения данных задач в случае постоянных матриц могут использоваться различные методы математического программирования. В качестве параметров оп- тимизации могут быть положительно-определенные матрицы квадратичной функ- ции Ляпунова (X), эллипсоида коэффициентов обратной связи (P и Q), а также функционала качества (). При этом результаты расчетов зависят от вектора .0x 3. Численный эксперимент Рассмотрим систему управления однозвенного робота-манипулятора, круговое движение звена которого вокруг одного из концов осуществляется с помощью гибкого соединения звена и исполня- ющего механизма (рис. 1). Между исполняющим механизмом и концом звена расположена линейная торсионная пружина. Данная система описывается в виде двух нелинейных дифференциальных урав- нений второго порядка, вытекающих из механиче- ского баланса исполняющего механизма (вала электродвигателя) и звена (руки робота-манипу- лятора) без учета сил трения и внешних возмуще- ний или в векторно-матричной форме [14]: ,)( uBxxAx cc  (34) где , //0/ 1000 0/0 sin1 0010 222 1 1 1 1                          JdJkJk Jkk x x gh JAc , /1 0 0 0 2              J Bc . 2 2 1 1                    x Здесь 1 и 2 — угловые координаты звена манипулятора и вала электродвига- теля соответственно, u — управляющий момент, производимый электродвигате- лем, 1J и 2J — моменты инерции соответственно звена манипулятора и элект- родвигателя, k — жесткость передаточного механизма, d — коэффициент демп- фирования,  — масса звена манипулятора, h — длина звена манипулятора, g — ускорение свободного падения, 1singh — момент силы тяжести, действующей на звено манипулятора. Проведем дискретизацию системы (34) в виде ,)(1 tttt BuxxAx  ),()( 4 tct xAIxA  ,cBB  ,...2,1,0t , (35) где ),(  txxt ),(  tuut  — шаг дискретизации. Пусть ,0005,0 ,5gh ,1,0d ,100k а моменты инерции 1J и 2J являются неопределенными пара- метрами и принимают значения на интервалах ,2,18,0 1  J .4,02,0 2  J (36) Предположим, что измерению доступен вектор выхода , 1,0 2 1          t tt ttt u DuCxy  , 1000 0001       C , 0 1,0       D 2 1 J2 J1 k u  h Рис. 1 100 ISSN 0572-2691 а управление ищется в виде СОС tt Kyu  , где . ~ ][ *21 KKkkK  При 11 J и 3,02 J найден вектор ],7213,97295,0[* K для которого линейная систе- ма ,*1 tt xMx  CKBAM )()0( ** D асимптотически устойчива и ее спектр }9997,0;0059,09963,0;9925,0{)( * iM  размещен внутри единичного круга [15]. Поведение решений исходной нелинейной системы (35), отвечающее управлению tt yKu * и вектору начальных условий ,]2021[ T 0 x изображено на рис. 2. Для иллюстрации теоремы 2 зададим матрицу функционала (21): ,1,0 4IS  ,01,0R .]01,00001,0[T N Система соотношений (32) состоит из четырех матричных неравенств, что соответствуют возможным значениям пары ),( 21 JJ на концах интервалов (36): ),2,0;8,0( ),2,0;2,1( )4,0;8,0( и ).4,0;2,1( С помощью системы MATLAB найдены положительно-определенные матрицы ,9501,7P        1554,00039,0 0039,01556,0 Q , , 0142,01132,00038,00981,0 1132,08678,31304,03185,3 0038,01304,00345,00740,0 0981,03185,30740,04285,3 104                 X удовлетворяющие данной системе строгих неравенств при .00  Таким образом, для всех значений моментов инерции (36) и вектора коэффи- циентов усиления обратной связи KKK ~ *  из замкнутой области, ограничен- ной эллипсом }:{ 1T1   PKKQKΚ (рис. 3), движение робота-манипулятора в окрестности нулевого состояния равновесия асимптотически устойчиво. При этом xXxxv T)(  — общая функция Ляпунова, а значение данного функционала качества не превосходит .34973)( 0 xv 1 0,9 0,8 k1 k2 10 9,9 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 0,7 0,6 0,5 0,4 K* Рис. 3 Заключение В данной работе получены новые методы робастной стабилизации и оптими- зации нелинейных дискретных систем со статической обратной связью по изме- ряемому выходу, содержащему компоненты как состояния системы, так и управ- ления. При этом значения неопределенных матричных коэффициентов могут принадлежать заданным политопам, в частности матричным интервалам или аф- финным множествам, а возможные значения матрицы коэффициентов усиления обратной связи образуют эллипсоидальное множество. Практическая реализация предложенных методов так же, как и в случае не- прерывных систем [15], связана с решением линейных алгебраических матричных неравенств. Для этого может использоваться достаточно эффективная процедура в системе MATLAB. Отличительной особенностью полученных ЛМН от извест- ных является возможность построения эллипсоида стабилизирующих матриц об- ратной связи, общей квадратичной функции Ляпунова, а также оценки квадратич- ного функционала качества для нелинейной системы управления с рассматривае- мыми неопределенностями. 0 500 1000 1500 2000 t xt 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Рис. 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 101 О.Г. Мазко, Л.В. Богданович РОБАСТНА СТАБІЛІЗАЦІЯ ТА ОЦІНКА ФУНКЦІОНАЛА ЯКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ Розроблено нові методи аналізу робастної стабілізації та оптимізації дискрет- них систем керування зі зворотним зв’язком. Для сім’ї нелінійних систем з не- визначеними матрицями коефіцієнтів і зворотним зв’язком за вимірюваним ви- ходом формулюються достатні умови стійкості нульового стану зі спільною квадратичною функцією Ляпунова. Запропоновано розв’язання загальної задачі робастної стабілізації та оцінки квадратичного критерію якості сім’ї нелінійних дискретних систем. Застосування результатів зводиться до розв’язання систем лінійних матричних нерівностей. A.G. Mazko, L.V. Bogdanovich ROBUST STABILIZATION AND EVALUATION OF THE PERFORMANCE INDEX OF NONLINEAR DISCRETE CONTROL SYSTEMS New methods for analysis of robust stability and optimization of discrete output feedback control systems are developed. Sufficient stability conditions of the zero state are formulated with the joint quadratic Lyapunov function for a family of non- linear systems with uncertain coefficient matrices and a measured output feedback. The solution of general problem of robust stabilization and evaluation of the quadrat- ic performance criterion for a family of nonlinear discrete systems are proposed. Ap- plying the results reduces to solving the systems of linear matrix inequalities. 1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М. : Наука, 2002. — 303 c. 2. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. — Englewood : Prentice Hall, 1996. — 596 p. 3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 4. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных не- равенств. — М. : Физматлит, 2007. — 280 c. 5. Кунцевич В.М., Кунцевич А.В. Синтез робастно устойчивых дискретных систем управления нелинейными объектами // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 12. — С. 105–118. 6. Mazko A.G. Matrix equations, spectral problems and stability of dynamic systems // An interna- tional book series «Stability, Oscillations and Optimization of Systems» / A.A. Martynyuk, P. Borne and C. Cruz Hernandez, eds. V. 2. — Cambridge: Cambridge Sci. Publ. Ltd, 2008. — 270 p. 7. Mazko A.G. Cone inequalities and stability of dynamical systems // Nonlinear Dynamics and Sys- tems Theory. — 2011. — 11, N 3. — P. 303–318. 8. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые под- ходы к решению // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 7–46. 9. Алиев Ф.А., Ларин В.Б. Задачи стабилизации системы с обратной связью по выходной пе- ременной (обзор) // Прикладная механика. — 2011. — 47, № 3. — С. 3–49. 10. Мазко А.Г., Шрам В.В. Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных диффе- ренциальных систем // Нелинейные колебания. — 2011. — 14, № 2. — C. 227–237. 11. Мазко А.Г. Робастная устойчивость и оценка качества семейства нелинейных систем управления // Проблеми динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем. — 2011. — 8, № 2. — С. 174–186. 12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1988. — 552 c. 13. Petersen I. A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems // Systems Control Lett. — 1987. — 8, N 4. — P. 351–357. 14. Ghorbel F., Hung J.Y., Spong M.W. Adaptive control of flexible-joint manipulators // IEEE Con- trol Systems Mag. — 1989. — N 9. — P. 9–13. 15. Мазко О.Г., Богданович Л.В. Системи стабiлiзацiї з невизначеними коефiцiєнтами і статич- ним зворотним зв’язком // Аналітична механіка та її застосування. — 2012. — 9, № 1. — С. 204–222. Получено 21.08.2012

Ähnliche Einträge