Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения
Для приростів часового ряду запропоновано метод апроксимації степеневою функцією від приростів фрактального броунівського руху (fBm). Для апроксимуючого fBm проведено оцінювання параметрів за допомогою алгоритму, запропонованого автором. The method of approximation is proposed of power function of t...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207620 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 113–116. — Бібліогр.: 4 назви. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859784591336800256 |
|---|---|
| author | Бондаренко, В.В. |
| author_facet | Бондаренко, В.В. |
| citation_txt | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 113–116. — Бібліогр.: 4 назви. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Для приростів часового ряду запропоновано метод апроксимації степеневою функцією від приростів фрактального броунівського руху (fBm). Для апроксимуючого fBm проведено оцінювання параметрів за допомогою алгоритму, запропонованого автором.
The method of approximation is proposed of power function of the increments of fractional Brownian motion (fBm) for increments of time series. Also, for approximating fBm parameter estimation is conducted using the algorithm proposed by the author.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:57:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. БОНДАРЕНКО, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 113
УДК 519.246;519.254
В.В. Бондаренко
АППРОКСИМАЦИЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА
СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ ФРАКТАЛЬНОГО
БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Предварительные сведения. Одной из основных задач статистики временно-
го ряда ,,,, 21 nxxx где ),/( nkXxk ,,,0 nk )(tX — случайный процесс,
является проверка различных гипотез о распределениях )(tX и оценка его парамет-
ров. Так, для модели ),()( tBtX H где )(tBH — фрактальное броуновское дви-
жение, разработаны методы оценки параметра Харста H и коэффициента [1–4].
При этом объектами исследования являются приращения ,1 kkk xxy образую-
щие стационарную гауссову последовательность. Независящим от является кри-
терий знаков, связанный со статистиками
,
1
1
),sgn(
1
1 1
1
1
1
1
k
n
k
nkk
n
k
n u
n
Qyy
n
S
где
.0если,0
,0если,1
1
1
kk
kk
k yy
yy
u При этом nQ — состоятельная оценка [1]: с веро-
ятностью 1 при n
,0,arcsin
1
2
1
,0,arccos
1
BQn
где — коэффициент корреляции между ky и ,1ky ,12 12 H .15,0
Замечание. Доказательство сходимости ,arcsin
2
E
nn SAS где E —
символ математического ожидания, в известных автору источниках отсутствует.
Результаты вычислительного эксперимента, выполненного с помощью ими-
тационного моделирования fBm (fractional Brownian motion) с использованием его
представления стохастическим интегралом [1, 2], приведены в табл. 1.
Таблица содержит значения введенных статистик nQ и nS и их предельных
значений A и B. Как следует из таблицы, сходимость nQ достаточно медленная,
а сходимость nS не имеет места.
Таблица 1
H A B
nS nQ
n 256 n 1024 n 256 n 1024
0,1 0,28 0,64 0,03 0,015 0,34 0,28
0,2 0,22 0,61 0,03 0,015 0,36 0,31
0,3 0,16 0,58 0,04 0,02 0,36 0,26
0,4 0,08 0,54 0,04 0,02 0,4 0,30
0,6 0,1 0,45 0,04 0,03 0,45 0,42
0,7 0,21 0,4 0,04 0,03 0,48 0,46
0,8 0,34 0,33 0,04 0,04 0,53 0,59
0,9 0,43 0,23 0,05 0,05 0,6 0,72
114 ISSN 0572-2691
2. Алгоритм аппроксимации. Для реально наблюдаемого (а не генерируе-
мого) временного ряда прежде всего надо выбрать адекватную модель соответ-
ствующего случайного процесса )(tX . Предложен эмпирический метод проверки
гипотезы о нормальности )(tX с помощью аппроксимации временного ряда функци-
ей от fBm, если эта гипотеза отвергается.
Пусть .,,1,,0 10 nkxxyx kkk Рассмотрим статистики
.
1
,
1 2
1
2
1
1 k
n
k
nk
n
k
n y
n
Ry
n
R
Пусть последовательность }{ ky удовлетворяет следующему условию: с вероят-
ностью 1
.2,1,1
E
lim
j
R
R
jn
jn
n
Для гауссовой последовательности }{ ky имеем ,
2
E
)E(
2
2
1
n
n
R
R
т.е. значимое от-
личие «коэффициента эксцесса»
n
n
n
R
R
c
2
2
1 от
2
может означать негауссовость
распределения приращений.
Пусть .
1
),()(
n
k
n
k
ztBt k
H
Для последовательности }{ kz
имеет место следующее утверждение [3]: при n с вероятностью 1
.
2
1
1
2
1
2
1
k
n
k
k
n
k
z
n
z
n
Аппроксимируем каждое из исходных приращений ky степенной функцией
от ,kz полагая ,0,sgn
kkk zyy тогда
2
1
2
1
11
/ k
n
k
k
n
k
n z
n
z
n
c
и n
n
cc
lim равен отношению соответствующих математических ожиданий. Так
как для );0(~ 2 N
,
2
12
E
2/
то .
2
1
2
1
1
2
c
Приравняв правую часть к ,nc найдем соответствующее (единственное, в силу
убывания c как функции ). Таким образом, предложенная аппроксимация приво-
дит к следующей модели исходного временного ряда:
n
j
B
n
j
Byzyx HH
j
k
j
jj
k
j
k
1
sgnsgn
11
и позволяет исследовать данный временной ряд методами, разработанными для fBm.
В качестве примера рассмотрим финансовые данные — 1678 значений бан-
ковской процентной ставки, разбитых на девять временных окон (официальный
сайт Национального банка Украины: http://www.bank.gov.ua/control/uk/publish/
category?cat_id=44580). В каждом временном окне ставка S(t) задается формулой
http://www.bank.gov.ua/control/uk/publish/%20category?cat_id=44580
http://www.bank.gov.ua/control/uk/publish/%20category?cat_id=44580
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 115
)},(exp{)( tXbatS где a — процентная ставка НБУ (постоянная в пределах
окна), т.е. atS )( (значение atS )( в данные не входит), коэффициент b вы-
бран так, чтобы ,0)0( X т.е. ,)0( bSb так что
aS
atS
tX
)0(
)(
ln)( или для
дискретного времени ,ln
1 aS
aS
x k
k
.01 x
Информация о структуре данных приведена в табл. 2 (n — количество дан-
ных в окне).
Таблица 2
№ окна n a nR1
nR2
nc
1 110 0,09 0,631 0,897 0,444 1,55
2 160 0,095 0,694 1,098 0,439 1,58
3 337 0,085 0,425 0,541 0,334 2
4 207 0,08 0,264 0,195 0,357 1,9
5 91 0,1 0,547 0,788 0,380 1,8
6 250 0,12 0,345 0,384 0,310 2,1
7 57 0,11 0,238 0,142 0,390 1,85
8 295 0,103 0,277 0,248 0,309 2,1
9 171 0,078 0,137 0,097 0,193 2,8
3. Результаты вычислений. Для приведенных выше данных nyy 1 в каж-
дом временном окне вычислим параметр , решив уравнение
.
)2/1(
)2/)1((1 2
nc
Рассмотрим преобразованные данные ),,,( 33621 zzz из третьего временного
окна, полагая
,
1
sgn
n
k
B
n
k
Byyz HH
kkk
и оценим параметры и H, используя алгоритм, предложенный в [2]. Суть алго-
ритма состоит в следующем. Пусть
.
1
n
k
B
n
k
Bz HH
k
Для статистики k
n
k
n z
n
r
1
1
имеет место предельное соотношение
,)1(1
)(E
lim
P
r
r
n
n
n
откуда n
H
n rn
2
ˆ 1
является состоятельной оценкой параметра при извест-
ном значении параметра Харста H. C другой стороны, в [2] доказана состоятель-
ность оценки ,
),(
ˆ
1
2
n
zzA
nH
n
где jkaA — корреляционная матрица
приращений
,
2
11
)(
2
222
H
HH
kj
H
jk jk
jkjk
zzE
n
a
откуда .
),(8,0
ˆ
ˆ 1
1
2
n
zzA
rnn
n
Перебирая значения H с некоторым шагом, объяв-
ляем оценкой то его значение, при котором
116 ISSN 0572-2691
.
2
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ
ˆmin,1
ˆ
ˆ 21
1
2 HH nn
n
n
Для исследуемого временного ряда
).483,0(
11
336
11
ry
n
z
n
r k
n
k
k
n
k
n
Выбираем шаг .05,0H При H 0,25: ;99,0ˆ/ˆ,6,117),( 12
1 zzA при
H 0,3: .007,1ˆ/ˆ,7,121),( 12
1 zzA
Дальнейший перебор H дает значения ,ˆ/ˆ 12 существенно отличающиеся
от 1. Таким образом, ,3,0ˆ H .42,3ˆ
В работе используется новый метод аппроксимации наблюдаемого временно-
го ряда степенной функцией от приращений фрактального броуновского движе-
ния, что позволяет идентифицировать данные алгоритмом fBm оценивания пара-
метров, предложенным автором.
В.В. Бондаренко
АПРОКСИМАЦІЯ ЧАСОВОГО РЯДУ
СТЕПЕНЕВОЮ ФУНКЦІЄЮ
ФРАКТАЛЬНОГО БРОУНІВСЬКОГО РУХУ
Для приростів часового ряду запропоновано метод апроксимації степеневою
функцією від приростів фрактального броунівського руху (fBm). Для апрокси-
муючого fBm проведено оцінювання параметрів за допомогою алгоритму, за-
пропонованого автором.
V.V. Bondarenko
THE APPROXIMATION OF THE TIME
SERIES BY POWER FUNCTION
OF THE FRACTAL BROWNIAN MOTION
The method of approximation is proposed of power function of the increments of
fractional Brownian motion (fBm) for increments of time series. Also, for approxi-
mating fBm parameter estimation is conducted using the algorithm proposed by the
author.
1. Coeurjolly J.-F. Simulation and identification of the fractional Brownian motion: A bibliogra-
phical and comparative study // J. Stat. Software. — 2000. — 5, N 7. — P. 1–52.
2. Бондаренко В.В. Итерационный алгоритм оценивания параметров фрактального броунов-
ского движения // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». — 2012. — № 3. — С. 28–33.
3. Peltier R.F., Levy Vehel J. A new method for estimating the parameter of fractional Brownian
motion // Rap. de recherché de l’INRIA, 1994. — N 2396. — 27 p.
4. Coeurjolly J.-F. Hurst exponent estimation of locally self-similar Gaussian processes using sam-
ple quantiles // The Annals of Stat. — 2008. — 36, N 3. — P. 1404–1434.
Получено 20.03.2012
После доработки 20.06.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207620 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:57:30Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, В.В. 2025-10-10T14:25:45Z 2013 Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 113–116. — Бібліогр.: 4 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207620 519.246; 519.254 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i6.80 Для приростів часового ряду запропоновано метод апроксимації степеневою функцією від приростів фрактального броунівського руху (fBm). Для апроксимуючого fBm проведено оцінювання параметрів за допомогою алгоритму, запропонованого автором. The method of approximation is proposed of power function of the increments of fractional Brownian motion (fBm) for increments of time series. Also, for approximating fBm parameter estimation is conducted using the algorithm proposed by the author. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения Апроксимація часового ряду степеневою функцією фрактального броунівського руху Approximation of the Time Series by Power Function of the Fractal Brownian Motion Article published earlier |
| spellingShingle | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения Бондаренко, В.В. Методы обработки информации |
| title | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| title_alt | Апроксимація часового ряду степеневою функцією фрактального броунівського руху Approximation of the Time Series by Power Function of the Fractal Brownian Motion |
| title_full | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| title_fullStr | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| title_full_unstemmed | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| title_short | Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| title_sort | аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального броуновского движения |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207620 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovv approksimaciâvremennogorâdastepennoifunkcieifraktalʹnogobrounovskogodviženiâ AT bondarenkovv aproksimacíâčasovogorâdustepenevoûfunkcíêûfraktalʹnogobrounívsʹkogoruhu AT bondarenkovv approximationofthetimeseriesbypowerfunctionofthefractalbrownianmotion |