Анализ и оценка альтернатив
Показано, що при векторному підході задача прийняття рішень шляхом декомпозиції властивостей альтернатив репрезентується ієрархічною системою критеріїв. На нижчому рівні ієрархії здійснюється оцінка альтернативи за окремими властивостями за допомогою вектора критеріїв, а на верхньому рівні застосува...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207622 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ и оценка альтернатив / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 128–137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592704709623808 |
|---|---|
| author | Воронин, А.Н. |
| author_facet | Воронин, А.Н. |
| citation_txt | Анализ и оценка альтернатив / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 128–137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Показано, що при векторному підході задача прийняття рішень шляхом декомпозиції властивостей альтернатив репрезентується ієрархічною системою критеріїв. На нижчому рівні ієрархії здійснюється оцінка альтернативи за окремими властивостями за допомогою вектора критеріїв, а на верхньому рівні застосуванням механізму композиції отримуємо оцінку альтернативи у цілому. Задача розв’язується методом вкладених скалярних згорток. Методологія розв’язання задачі ґрунтується на принципі додатковості Бора та теоремі про неповноту Геделя.
It is shown, that under vector approach a decision-making problem through the alternatives properties decomposition is presented by a hierarchical system of criteria. At the bottom level of hierarchy the estimation of the alternative by separate properties is carried out by means of a vector of criteria, and at the top level by means of the mechanism of the composition the estimation of the alternative as a whole is obtained. The problem is solved by the method of nested scalar convolutions of vector-valued criteria. The methodology of the problem solving is based on N. Bohr complementarity principle and K. Gödel theorem of incompleteness.
|
| first_indexed | 2025-11-27T17:37:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Н. ВОРОНИН, 2013
128 ISSN 0572-2691
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УДК 519.9
А.Н. Воронин
АНАЛИЗ И ОЦЕНКА АЛЬТЕРНАТИВ
Введение. Задачу принятия решений в общем виде [1] представим схемой
,*}},{{ xYx
где }{x — множество объектов (альтернатив); Y — функция выбора (правило,
уcтанавливающее предпочтительность на множестве альтернатив); *x — вы-
бранные альтернативы (одна или больше).
Множество }{x может быть дискретным (например, несколько проектов са-
молета, из которых надо выбрать лучшие) или континуальным (диапазон положе-
ний регулятора настройки радиоприемника, из которого выбирается настройка на
нужный канал).
Функция Y служит для решения задачи анализа и оценки альтернатив. По ре-
зультатам оценки следует выбор одной или нескольких лучших альтернатив из
заданного множества. В теории принятия решений различают два подхода к оцен-
ке объектов (альтернатив), подлежащих выбору. Один из них — оценка объекта в
целом и выбор альтернативы по непосредственному сравнению объектов как
гештальтов (гештальт — целостный образ объекта без детализации свойств). По-
нятно, что целостный подход является откровенно субъективным, основан на ин-
дивидуальных предпочтениях лица, принимающего решение (ЛПР) и совершенно
не поддается формализации. Имеет место дихотомия при выборе альтернатив:
«нравится» — «не нравится». Если же возникает вопрос — почему нравится (или
не нравится), то следует воспользоваться вторым подходом к анализу и оценке
альтернатив.
Второй подход — детализация и оценка тех или иных векторов свойств объ-
ектов и принятие решений по результатам сравнения этих свойств.
Если целостный подход предусматривает выбор *x непосредственно по
функции выбора Y, то механизм векторного подхода требует осуществления де-
композиции (разложение) функции Y на совокупность (вектор) из функций у. Под
декомпозицией функции выбора Y понимается ее эквивалентное представление с
помощью определенной совокупности других функций выбора у, композицией
которых является исходная функция выбора Y.
Современная тенденция теории принятия решений — использование вектор-
ного подхода. Это объясняется его объективностью, а также принципиальной
возможностью применения формализованных методов. Учитывается также кон-
кретность и четкость подхода.
Предполагается, что относительно отдельного свойства существенно проще
сказать, какая из альтернатив предпочтительней для ЛПР. Так, в задаче выбора
наилучшего проекта самолета гораздо уверенней можно говорить о том, что про-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 129
ект А лучше проекта В по комфортности, надежности, грузоподъемности, нежели
о том, что проект А лучше проекта В в целом. Выделение свойств альтернатив на
основе анализа является декомпозицией, которая ведет к иерархической структу-
ре свойств. Свойства первого иерархического уровня могут делиться на следую-
щие наборы свойств и т.д. Глубина деления определяется стремлением дойти до
тех свойств, которые удобно сравнивать между собой.
Действительно, в примере с самолетом судить о комфортности, конечно, лег-
че, чем о самолете в целом, но такое качественное свойство для сравнения не со-
всем удобно и требует дальнейшей декомпозиции для удобства и объективности
сопоставления свойств. Поэтому свойство комфортности, в свою очередь, подвер-
гается декомпозиции на: а) уровень шума в салоне; б) уровень вибрации пола;
в) расстояние между креслами и др. Эти характеристики выражаются в числах и
объективны.
Свойства, для которых существуют объективные численные характеристики,
принято называть критериями. Более строго: критериями называются количе-
ственные показатели свойств объекта, числовые значения которых являются ме-
рой качества оцениваемого объекта относительно данного свойства. Получение
набора критериев — конечный итог иерархической декомпозиции. Количество
уровней зависит от требуемой глубины декомпозиции. Сложность заключается в
том, что для каждого из начальных свойств глубина декомпозиции может быть
различной, а на каждом уровне иерархии необходимо нормировать разнородные
множества критериев.
Подход сравнения по отдельным свойствам, при всей своей привлекательно-
сти, порождает серьезную проблему обратного перехода к требуемому сравнению
альтернатив в целом. Эта проблема предполагает решение задачи композиции
критериев по уровням иерархии, что достаточно сложно, особенно при значи-
тельной глубине декомпозиции свойств. В простейшем и наиболее распростра-
ненном случае (двухуровневая иерархия) задача композиции решается традици-
онным получением однократной скалярной свертки критериев, численная вели-
чина которой является оценкой качества данного объекта (альтернативы) в целом.
Но уже при наличии трехуровневой иерархии требуются другие подходы.
Изложенное выше дает основание утверждать, что любая многокритериаль-
ная задача может быть представлена иерархической системой, на нижнем уровне
которой осуществляется оценка объекта по отдельным свойствам с помощью век-
тора критериев, а на верхнем уровне посредством механизма композиции получа-
ется оценка объекта в целом. Центральной здесь является проблема композиции
критериев по уровням иерархии.
Постановка задачи. Качество альтернативы определяется иерархической
системой векторов
,}{
)1(
1
)1()1(
jn
i
j
i
j yy ],,2[ mj
где
)1( jy — вектор критериев на ( j–1)-м уровне иерархии, по компонентам ко-
торого оценивается качество свойств альтернативы на j-м уровне; m — количе-
ство уровней иерархии; )1( jn — количество оцениваемых свойств ( j–1)-го уров-
ня иерархии. Численные значения n критериев yy )1(
первого уровня иерархии
для данной альтернативы заданы.
Один и тот же критерий ( j–1)-го уровня может участвовать в оценке не-
скольких свойств j-го уровня, т.е. в иерархии возможны перекрестные связи. Схе-
ма системы критериев качества альтернативы показана на рис. 1. Ясно, что
nrn i
n
i
1
1
)1( и .1)( mn
130 ISSN 0572-2691
…
Свойства
…
…
…
…
Критерии
m
m–1, 1 m–1, 2 m–1, nm – 1
i, 1 i, 2 i, ni
…
3, 1 3, 2 3, n3
…
2, 1 2, 2 2, n2
3, 3
1 r1 …
1 r2 …
1 1nr …
Рис. 1
Значимость каждой из компонент критерия ( j–1)-го уровня при оценке k-го
свойства j-го уровня характеризуется коэффициентом приоритета, их совокуп-
ность составляет систему векторов приоритета
,}{
)(
1
)1()1( jn
k
j
ik
j
ik
pp
].,2[ mj
Требуется найти аналитическую оценку *y и качественную оценку эффек-
тивности данной альтернативы, а из имеющихся альтернатив выбрать лучшую.
Метод решения. Для решения поставленной задачи используем системный
подход, при котором каждая из альтернатив (объектов) рассматривается как сово-
купность элементов с различными (в том числе противоречивыми) свойствами,
отличными от свойств всей системы в целом.
Сложные системы, находясь в разных условиях (ситуациях, режимах), обнару-
живают различные системные свойства, в том числе и несовместимые ни с одной из
остальных ситуаций по отдельности. При их изучении применяется подход, состо-
ящий в создании и одновременном сосуществовании не одной, а множества теоре-
тических моделей одного и того же явления, причем некоторые из них концепту-
ально противоречат одно другому. Однако ни одной из моделей нельзя пренебречь,
поскольку каждая характеризует какое-то свойство изучаемого явления и ни одна
не может быть принята как единая, поскольку не выражает полного комплекса его
свойств. Cопоставим сказанное с принципом дополнительности, введенным Н. Бо-
ром: «...Для воспроизведения целостности явления следует применять взаимоис-
ключающие «дополнительные» классы понятий, каждый из которых может быть
использован в своих, особых условиях, но только взятые вместе, исчерпывают всю
поддающуюся определению информацию». Для полного описания объекта они
равно необходимы и поэтому не противоречат, а дополняют один другого.
Множественные свойства сложной системы в той или иной ситуации ее
функционирования количественно оцениваются соответствующими частными
критериями. В разных ситуациях ранг «наиболее важного» приобретают разные
свойства и соответственно разные частные критерии. Таким образом, взаимоисклю-
чающие «дополнительные» классы понятий, в роли которых выступают отдельные
теоретические модели, характеризуются противоречивыми частными критериями,
каждый из которых наиболее применим в своих, особых условиях. Именно принцип
дополнительности позволяет выделить и затем связать эти критерии при многокри-
териальной оценке. Только полная совокупность частных критериев (векторный
критерий) дает возможность адекватной оценки функционирования сложной систе-
мы как проявления противоречивого единства всех ее свойств.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 131
Однако эта возможность представляет собой только необходимое, но не до-
статочное условие векторной оценки всей альтернативы в целом. Действительно,
пусть на нижнем уровне иерархии критериев определены численные значения та-
ких частных критериев свойства комфортности самолета, как расстояние между
креслами, уровень шума в салоне, амплитуда вибрации пола и пр. Значит ли это,
что мы, зная эти величины, можем оценить свойство комфортности в целом? Нет,
не можем. Здесь уместно вспомнить старую индийскую притчу о слепых, которые
знакомились со слоном. Один прикоснулся к хоботу и решил, что слон похож на
змею. Второй взял в руки ухо и сказал, что слон напоминает ему простыню. Тре-
тий ощупал ногу и заявил, что слон — это столб. Эти отдельные «модели» слона
отражают различные свойства объекта, но не дают целостной картины.
Для целостной оценки необходимо выйти из нижнего уровня иерархии и под-
няться на следующий ярус, т.е. осуществить акт композиции критериев. Сопоста-
вим это с теоремой о неполноте К. Геделя «…В любой достаточно сложной
непротиворечивой теории первого порядка существует утверждение, которое сред-
ствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Но непротиворечи-
вость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более
мощной формальной теории второго порядка. Однако тогда встает вопрос о непро-
тиворечивости этой второй теории и т.д.». Можно сказать, что теорема Геделя явля-
ется методологической основой для исследования иерархических структур.
Применительно к нашей задаче это значит, что для адекватной оценки аль-
тернативы в целом мы должны решить задачу композиции критериев по уровням
иерархии, последовательно переходя от нижнего уровня до верхнего.
Скалярные свертки критериев. Инструментом композиции может служить
скалярная свертка критериев — математический прием сжатия информации и ко-
личественной оценки ее интегральных свойств одним числом.
Чаще всего применяется аддитивная (линейная) скалярная свертка
),()]([
1
xyaxyY kk
s
k
где ka — весовые коэффициенты; s — количество частных критериев. Принцип
Лапласа в теории принятия решений состоит в экстремизации линейной скаляр-
ной свертки. Недостаток (специфика) применения линейной скалярной свертки —
это возможность «компенсации» одного критерия за счет других.
Мультипликативная свертка )()]([
1
xyxyY k
s
k
лишена этого недостатка.
Принцип Паскаля — экстремизация мультипликативной скалярной свертки.
Исторически принцип Паскаля изложен первым в работе «Pensees», изданной
в 1670 г. Считается, что эта работа положила начало всей теории принятия реше-
ний. Здесь введены два ключевых понятия теории: 1) частных критериев, каждый
из которых оценивает какую-либо одну сторону эффективности решения и 2)
принципа оптимальности, т.е. правила, позволяющего по значениям критериев
вычислить некоторую единую числовую меру эффективности решения.
Недостаток применения мультипликативной скалярной свертки — очень до-
рогая и очень эффективная система — может иметь такую же оценку, как и деше-
вая и низко эффективная. Сравним такие «системы вооружения», как атомная
бомба и рогатка, которая при низкой стоимости обладает некоторым поражаю-
щим фактором. Руководствуясь мультипликативной сверткой, можно для воору-
жения армии выбрать рогатку.
Принцип гарантированного результата приводит к чебышевской скалярной
свертке
),(max)]([ 0
],1[
0 xyxyY k
sk
132 ISSN 0572-2691
где )(0 xy k — нормированные (приведенные к единице) частные критерии. Эта
свертка применяется в условиях неопределенности и в тех случаях, когда мини-
мизируемые частные критерии опасно приближаются к своим предельным значе-
ниям (ограничениям).
Свертка по концепции Чарнза–Купера основана на принципе «поближе к
идеальной (утопической) точке». В пространстве критериев при заданных услови-
ях и ограничениях определяется априори неизвестный идеальный вектор y
id
(х),
для этого задача оптимизации решается s раз (по количеству частных критериев),
причем каждый раз с одним (очередным) критерием, как если бы остальных не
было вовсе. Последовательность «однокритериальных» решений исходной мно-
гокритериальной задачи дает координаты недостижимого идеального вектора
.)}({)( 1
s
k
id
k
id xyxy
После этого скалярная свертка Y[y(x)] вводится как мера приближения к иде-
альному вектору в пространстве критериев в виде некоторой неотрицательной
функции вектора ),()( xyxy id например, в виде квадрата евклидовой нормы
этого вектора
.
)()(
)]([
2
1
id
k
k
id
k
s
k
id
id
y
xyy
y
xyy
xyY
Недостаток этого способа состоит в громоздкости процедуры определения коор-
динат идеального вектора.
В работе [2] предложена скалярная свертка по нелинейной схеме компромис-
сов для минимизируемых критериев
1
1
)]([)]([
xyAAxyY kkkk
s
k
,
применяемая в тех случаях, когда ЛПР рассматривает как предпочтительные те
решения, при которых значения частных критериев )(xyk наиболее удалены от
своих предельно допустимых значений kA . Эта свертка обладает рядом суще-
ственных преимуществ, например универсальность и аналитичность.
Выбор схемы компромиссов осуществляется ЛПР и носит концептуальный
характер. В задаче выбора решений количество вариантов (альтернатив) состав-
ляет .1an Каждый вариант характеризуется своей иерархической структурой.
При 1an поставленная задача трансформируется в задачу оценки данной
иерархической структуры. Если ,1an то каждая структура оценивается как
данная и выбирается тот вариант, иерархическая структура которого получила
наилучшую оценку. Поэтому при дискретной многокритериальной оптимизации в
качестве базовой здесь рассматривается задача оценки данной иерархической
структуры. Однако так поступать можно только при относительно небольшом
числе альтернатив ,an когда метод простого перебора не вызывает значительных
вычислительных трудностей. При больших объемах множеств альтернатив следу-
ет применять другие методы оптимизации, например изложенные в [2].
Оценка данной альтернативы есть не что иное, как решение задачи анализа
качества альтернативы при заданном аргументе х
(о)
из множества {x}. Это позво-
ляет в дальнейшем не включать в выражения для критериев значение аргумента х.
Вложенные скалярные свертки. Для аналитической оценки эффективности
иерархических структур предлагается применить метод вложенных скалярных
сверток [2]. Композиция осуществляется по «принципу матрешки»: скалярные
свертки взвешенных компонент векторных критериев низшего уровня служат
компонентами векторных критериев высшего уровня. Скалярная свертка критери-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 133
ев, полученная на самом верхнем уровне, автоматически становится выражением
для оценки эффективности всей иерархической системы в целом.
Алгоритм решения задачи методом вложенных скалярных сверток представ-
ляется итерационной последовательностью операций взвешенной скалярной
свертки векторных критериев каждого уровня иерархии снизу доверху с учетом
векторов приоритета на основе выбранной схемы компромиссов
,}),{( ],2[
)()1()1(
mj
jjj ypy
(1)
а поиск оценки эффективности всей иерархической системы (альтернативы) в це-
лом выражается задачей определения скалярной свертки критериев на верхнем
уровне иерархии:
.* )(myy
При использовании рекуррентной формулы (1) важным представляется раци-
ональный выбор схемы компромиссов. Для метода вложенных скалярных сверток
адекватной является нелинейная схема компромиссов, описанная в [2]. Установ-
лено, что без потери общности предпосылкой для ее применения является то, что
все частные критерии неотрицательны, подлежат минимизации и являются огра-
ниченными:
,0 ii Ay ,}{ 1
n
iiAA
где А — вектор ограничений критериев на текущем уровне иерархии, n — их ко-
личество.
Исходя из (1), выражение для оценки k-го свойства альтернативы на j-м
уровне иерархии с применением нелинейной схемы компромиссов имеет вид
,]1[ 1)1(
0
)1(
1
)(
)1(
j
ik
j
ik
n
i
j
k
ypy
j
k
],,1[ )( jnk (2)
где критерии ( j–1)-го уровня нормированы (приведены к единице). Таким обра-
зом,
)1(
0
j
iky — компоненты нормированного вектора ,
)1(
0
j
y участвующие в оцен-
ке k-го свойства альтернативы на j-м уровне иерархии;
)1( j
kn — их количество;
)( jn — число оцениваемых свойств на j-м уровне.
Расчет коэффициентов приоритета. Коэффициенты приоритета р — это
формальные параметры, имеющие двоякий физический смысл. С одной стороны,
это коэффициенты приоритета, выражающие предпочтения ЛПР по отдельным
критериям. С другой — это коэффициенты содержательной регрессионной моде-
ли, построенной на основе концепции нелинейной схемы компромиссов. Опреде-
ление коэффициентов р на каждом уровне иерархии может быть выполнено путем
оптимизации на симплексе (3) с использованием дуального подхода, описанного
в [2], или методом экспертных оценок по ординальной (порядковой) или карди-
нальной (интервальной) шкале.
В последнем случае ЛПР или эксперт должен оценить относительное влия-
ние каждого частного критерия низшего уровня иерархии на общую оценку k-го
свойства альтернативы на следующем уровне в заданных условиях и соотнести
свою оценку с соответствующей точкой на шкале баллов, характеризуемой чис-
лом f . Допускается выбирать точки между числами или приписывать несколько
критериев одной точке на шкале.
Областью определения коэффициентов приоритета pp является симплекс
.1,0
1
i
n
i
ip ppp (3)
134 ISSN 0572-2691
Такая нормировка выполняется, если коэффициенты приоритета определить
по формуле
,
)1(
1
)1(
/ ik
n
i
ik
j
ik ffp
j
k
],,1[ )( jnk ],,2[ mj
где
)1( j
ik
p — i-я компонента вектора приоритета критерия на )1( j -м уровне
иерархии при расчете оценки эффективности k-го свойства j-го уровня; ikf —
оценка значимости i-го свойства )1( j -го уровня для k-го свойства j-го уровня
(определяется экспертами или ЛПР по шкале баллов). Если в экспертизе участву-
ют несколько экспертов, то оценки ikf могут быть получены либо простым
арифметическим осреднением по экспертам (когда их уровень компетентности
приблизительно одинаков), либо с учетом их компетентности в данном вопросе.
Процедура учета компетентности описана в [2].
Сложнее обстоит дело при экспертных оценках коэффициентов приоритета в
ординальных шкалах, проще говоря, при ранжировании критериев по степени
важности. Ранг — это натуральное число, характеризующее порядковый номер
критерия. Результат работы экспертов представляется последовательностью ран-
гов j-го эксперта:
;...,, 21 njjj xxx ],,1[ mj
здесь n — количество критериев, m — количество экспертов.
Поскольку ответы экспертов приводятся в порядковой шкале, то усреднение
методом средних арифметических не может применяться. Для построения общего
мнения экспертов вводится конечномерное пространство рангов и метрика в нем.
Ранжирование j-го эксперта представляется точкой jR в пространстве рангов.
Метрика ),( ji RRd представляет собой расстояние между ранжированиями i и j.
Для вычисления ранга i-го критерия используется медиана Кемени (группо-
вое мнение экспертов). Это точка в пространстве рангов, сумма расстояний от ко-
торой до всех остальных точек минимальна:
).,(minarg
1
RRdkRi jj
m
jR
M
Здесь MR — медиана Кемени или обобщенное ранжирование для i-го критерия,
jk — коэффициент компетентности j-го эксперта (определяется известными ме-
тодами [2]); R — текущее ранжирование, по которому проводится минимизация.
Метрика ),( ji RRd обычно выбирается как
.),(
1
kjki
n
k
ji xxRRd
Вычисление медианы Кемени — это задача целочисленного программирова-
ния. Для ее решения используются различные алгоритмы дискретной математики,
например, основанные на методе ветвей и границ.
Исходя из обобщенного ранжирования, можно определить весовой коэффи-
циент для каждого критерия, используя шкалу Фишберна [3]:
,
)1(
)1(2
nn
in
pi ],,1[ ni
где ip — коэффициент значимости i-го критерия, i — ранг текущего критерия в
обобщенном ранжировании, n — количество критериев.
Определение коэффициентов приоритета является непростой задачей, осо-
бенно при использовании методов ранжирования.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 135
В наиболее простом и достаточно распространенном случае формулируется и
решается многокритериальная задача без приоритетов, когда ЛПР полагает, что
все параметры значимости для всех свойств альтернативы одинаковы. В этом
случае используется простейшая скалярная свертка по нелинейной схеме ком-
промиссов в унифицированной форме [2].
Рекуррентная формула расчета критериев. Для того чтобы формула (2)
отражала идею метода вложенных скалярных сверток в соответствии с рекур-
рентной формулой (1), необходимо полученное выражение нормировать, т.е. по-
лучить относительный критерий ]1;0[
)(
0
j
k
y такой, чтобы он был минимизируе-
мым, а его предельная величина была единицей.
Конструкция нелинейной схемы компромиссов дает возможность нормировать
свертку (2) не к максимальному (что в данном случае затруднительно), а к мини-
мальному значению свертки критериев. Действительно, идеальными для миними-
зируемых критериев являются их нулевые значения. Положив в формуле (2)
,0
)1(
0
j
ik
y ],1[
)1(
j
k
ni
и учитывая нормировку (3), получим .1
)(
min
j
k
y После выкладок [2, 5] оконча-
тельное выражение для рекуррентной формулы расчета аналитических оценок
свойств альтернатив на всех уровнях иерархии приобретает вид
,]1[1
1
1)1(
0
)1(
1
)(
0
)1(
j
ik
j
ik
n
i
j
k
ypy
j
k
],,1[ )( jnk ].,2[ mj (4)
Качественная оценка альтернатив. Качественная (лингвистическая) оценка
альтернативы получается в результате сопоставления аналитической оценки с об-
ращенной нормированной
фундаментальной шкалой.
Общее понятие о порядко-
вой фундаментальной шка-
ле описано в [4]. Интерваль-
ная нормированная обра-
щенная шкала представлена
таблицей. Здесь показана
связь между качественными градациями свойств объектов и соответствующими
нормированными количественными оценками .0y Можно сказать, что в терминах
теории нечетких множеств [4] фундаментальная шкала выступает как универсаль-
ная функция принадлежности для перехода от числа к соответствующей каче-
ственной градации и обратно. Осуществляется переход от лингвистической пере-
менной (удовлетворительное качество, высокое качество и пр.) к соответствую-
щим количественным оценкам по шкале баллов, т.е. переход от нечетких
качественных градаций к числам и обратно.
Оценка вариантов по единой нормированной фундаментальной шкале дает
возможность решать многокритериальные задачи, кроме традиционных постано-
вок, и в том случае, когда требуется выбрать альтернативу из множества неодно-
родных альтернатив, для которых нельзя сформулировать единое множество ко-
личественных критериев оценки, а также для оценки единственной (уникальной)
альтернативы.
Пример. Пусть требуется найти количественную
)3(
00 yy
и качественную
оценки проекта самолета по двум основным свойствам: комфортность, характеризуе-
мая неизвестной пока оценкой критерия ,
)2(
01
y и надежность, которой сопоставляется
неизвестная пока оценка критерия .
)2(
02y Свойство комфортности, в свою очередь,
Таблица
Категория качества Интервалы обращенной нормированной
фундаментальной шкалы оценок
Неприемлемое 1,0–0,7
Низкое 0,7–0,5
Удовлетворительное 0,5–0,4
Хорошее 0,4–0,2
Высокое 0,2–0,0
136 ISSN 0572-2691
оценивается по трем критериям: расстояние между креслами в пассажирском салоне
,01y уровень шума в салоне 02y и уровень вибрации пола в салоне .03y Надежность
оценивается вероятностью отказов оборудования 04y и прочностью конструкции
.05y Кроме этих двух в оценке надежности принимает участие критерий уровня виб-
рации пола ,03y т.е. имеет место одна перекрестная связь. Все указанные критерии
нормированы и приведены к одному способу экстремизации, а именно, все они под-
лежат минимизации. Критерии низшего уровня участвуют в оценке свойств высшего
уровня с коэффициентами приоритета ,
)1( j
ik
p ].,2[ mj Структурная схема трех-
уровневой иерархии критериев для оцениваемого проекта представлена на рис. 2.
)3(
00 yy
)2(
01y
)2(
02y
01y 02y
03y
04y
05y
)1(
11p
)1(
21p
)1(
31p
)1(
32p
)1(
42p
)2(
13p )2(
23p
)1(
52
p
Рис. 2
Заданы следующие числовые значения величин. Критерии нижнего (первого)
уровня иерархии: ;3,001 y ;5,002 y ;7,003 y ;2,004 y .1,005 y Коэффици-
енты приоритета: ;7,0
)1(
11 p ;2,0
)1(
21 p ;1,0
)1(
31 p ;1,0
)1(
32 p ;45,0
)1(
42 p
;45,0
)1(
52 p ;5,0
)2(
13 p .5,0
)2(
23 p
На первом этапе композиции критериев, исходя из рекуррентной форму-
лы (4), получим выражение для аналитической оценки свойства комфортности
(второй уровень иерархии):
,)1(11 1)1(
10
)1(
1
1
)2(
01
)1(
1
/
ii
n
i
ypy
где ;3
)1(
1 n ;01
)1(
011 yy ;02
)1(
021 yy .03
)1(
031 yy Подставляя численные значения,
получим
42,0
7,01
1
1,0
5,01
1
2,0
3,01
1
7,011 /)2(
01
y .
Сопоставив эту аналитическую оценку с таблицей, найдем, что свойство
комфортности для данного проекта самолета качественно оценивается как удо-
влетворительное.
Выражение для аналитической оценки свойства надежности (тоже второй
уровень иерархии) имеет вид
,)1(11
)1(
2
1
1)1(
20
)1(
2
)2(
02 /
n
i
ii ypy
где с учетом перекрестной связи ;3
)1(
2 n ;03
)1(
012 yy ;04
)1(
022 yy .05
)1(
032 yy Ко-
эффициенты приоритета ;
)1(
32
)1(
12 pp ;
)1(
42
)1(
22 pp .
)1(
52
)1(
32 pp Подставив числен-
ные значения, получим
.28,0
1,01
1
45,0
2,01
1
45,0
7,01
1
1,011 /)2(
02
y
В соответствии с таблицей качество свойства надежности для данного проек-
та оценивается как высокое.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 137
На заключительном (втором) этапе композиции критериев формула (4) при-
обретает вид
,)1(11 1)2(
30
)2(
3
1
)3(
00
)2(
3
/
ii
n
i
ypyy
где ;2
)2(
3 n ;
)2(
01
)2(
013 yy .
)2(
02
)2(
023 yy Подставляя численные значения, получаем
.36,0
28,01
1
5,0
42,01
1
5,011 /0
y
Из таблицы следует, что по этой аналитической оценке качество данного
проекта самолета в целом оценивается как хорошее.
Заключение. Любая задача векторной оценки альтернативы может быть
представлена иерархической системой критериев, полученной в результате декомпо-
зиции свойств альтернативы. На нижнем уровне иерархии осуществляется оценка
объекта (альтернативы) по отдельным свойствам с помощью исходного вектора кри-
териев, а на верхнем уровне посредством механизма композиции получается оценка
объекта в целом. Центральной здесь является проблема композиции критериев по
уровням иерархии, решаемая методом вложенных скалярных сверток.
Методологической основой декомпозиции свойств альтернативы до получе-
ния исходного вектора критериев (многокритериальность) является принцип допол-
нительности Н. Бора. Это необходимое условие векторной оценки альтернативы.
Методология композиции критериев по уровням иерархии основана на теореме
о неполноте Геделя. Это достаточное условие векторной оценки альтернативы.
А.М. Воронін
АНАЛІЗ ТА ОЦІНКА АЛЬТЕРНАТИВ
Показано, що при векторному підході задача прийняття рішень шляхом деком-
позиції властивостей альтернатив репрезентується ієрархічною системою кри-
теріїв. На нижчому рівні ієрархії здійснюється оцінка альтернативи за окреми-
ми властивостями за допомогою вектора критеріїв, а на верхньому рівні засто-
суванням механізму композиції отримуємо оцінку альтернативи у цілому.
Задача розв’язується методом вкладених скалярних згорток. Методологія
розв’язання задачі ґрунтується на принципі додатковості Бора та теоремі про
неповноту Геделя.
A.N. Voronin
ANALYSIS AND EVALUATION OF ALTERNATIVES
It is shown, that under vector approach a decision-making problem through the alter-
natives properties decomposition is presented by a hierarchical system of criteria. At
the bottom level of hierarchy the estimation of the alternative by separate properties
is carried out by means of a vector of criteria, and at the top level by means of the
mechanism of the composition the estimation of the alternative as a whole is ob-
tained. The problem is solved by the method of nested scalar convolutions of vector-
valued criteria. The methodology of the problem solving is based on N. Bohr com-
plementarity principle and K. Gödel theorem of incompleteness.
1. Губанов В.А., Захаров В.В., Коваленко А.Н. Введение в системный анализ. — Л. : Изд-во
ЛГУ, 1988. — 232 с.
2. Воронин А.Н., Зиатдинов Ю.К., Куклинский М.В. Многокритериальные решения: модели
и методы. — Киев : НАУ, 2011. — 348 с.
3. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М. : Наука, 1978. — 352 с.
4. Saaty T.L. Multicriteria decision making: the analytical hierarchy process. — N.Y. : McGraw-
Hill, 1990. — 380 p.
5. Воронин А.Н. Метод многокритериальной оценки и оптимизации иерархических систем //
Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 3. — С. 84–92.
Получено 08.10.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207622 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T17:37:47Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Воронин, А.Н. 2025-10-10T14:36:19Z 2013 Анализ и оценка альтернатив / А.Н. Воронин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 128–137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207622 519.9 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i5.60 Показано, що при векторному підході задача прийняття рішень шляхом декомпозиції властивостей альтернатив репрезентується ієрархічною системою критеріїв. На нижчому рівні ієрархії здійснюється оцінка альтернативи за окремими властивостями за допомогою вектора критеріїв, а на верхньому рівні застосуванням механізму композиції отримуємо оцінку альтернативи у цілому. Задача розв’язується методом вкладених скалярних згорток. Методологія розв’язання задачі ґрунтується на принципі додатковості Бора та теоремі про неповноту Геделя. It is shown, that under vector approach a decision-making problem through the alternatives properties decomposition is presented by a hierarchical system of criteria. At the bottom level of hierarchy the estimation of the alternative by separate properties is carried out by means of a vector of criteria, and at the top level by means of the mechanism of the composition the estimation of the alternative as a whole is obtained. The problem is solved by the method of nested scalar convolutions of vector-valued criteria. The methodology of the problem solving is based on N. Bohr complementarity principle and K. Gödel theorem of incompleteness. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы Анализ и оценка альтернатив Аналіз та оцінка альтернатив Analysis and Evaluation of Alternatives Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ и оценка альтернатив Воронин, А.Н. Экономические и управленческие системы |
| title | Анализ и оценка альтернатив |
| title_alt | Аналіз та оцінка альтернатив Analysis and Evaluation of Alternatives |
| title_full | Анализ и оценка альтернатив |
| title_fullStr | Анализ и оценка альтернатив |
| title_full_unstemmed | Анализ и оценка альтернатив |
| title_short | Анализ и оценка альтернатив |
| title_sort | анализ и оценка альтернатив |
| topic | Экономические и управленческие системы |
| topic_facet | Экономические и управленческие системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207622 |
| work_keys_str_mv | AT voroninan analiziocenkaalʹternativ AT voroninan analíztaocínkaalʹternativ AT voroninan analysisandevaluationofalternatives |