Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах
Розглянуто ігрову задачу зближення для квазілінійних нестаціонарних процесів із залежними від часу областями керування та термінальною множиною. Для дослідження застосовано метод розв’язуючих функцій, що дозволило отримати достатні умови закінчення гри. Розглянуто випадок фіксованих селекторів багат...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207625 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 8–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268658064883712 |
|---|---|
| author | Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. |
| author_facet | Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. |
| citation_txt | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 8–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто ігрову задачу зближення для квазілінійних нестаціонарних процесів із залежними від часу областями керування та термінальною множиною. Для дослідження застосовано метод розв’язуючих функцій, що дозволило отримати достатні умови закінчення гри. Розглянуто випадок фіксованих селекторів багатозначних відображень, які задають термінальну множину. Для ілюстрації наведено приклад диференціальної гри з простою матрицею.
The game problem of approach for quasilinear nonstationary processes with time-dependent control domains and terminal set is considered. The method of resolving functions is used as a tool for investigation that makes it possible to obtain sufficient conditions for the game termination. The case of fixed selectors of set-valued mappings which define the terminal set is studied. The method is illustrated with the example of a differential game with a simple matrix.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:04:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.Ю. КРИВОНОС, Ал.А. ЧИКРИЙ, К.А. ЧИКРИЙ, 2013
8 ISSN 0572-2691
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.977
И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий
ОБ ОДНОЙ СХЕМЕ СБЛИЖЕНИЯ
В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ
Одним из эффективных методов исследования динамических игр [1–4] явля-
ется метод разрешающих функций (МРФ) [5, 6]. В нестационарном квазилиней-
ном случае достаточные условия сближения за конечное время на основе уже
упомянутого метода получены в работах [7, 8]. Изложенная общая схема метода
предполагает выполнение условия Понтрягина и выпуклозначность терминально-
го множества. Предложена несколько иная схема без предположения о выпукло-
значности, но с возможным увеличением гарантированного времени сближения.
Результаты иллюстрируются на примере игровой задачи с простой матрицей.
1. Постановка задачи и основная схема МРФ
Пусть движение объекта в конечномерном евклидовом пространстве nR
описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений
),,,()( vutztAz ,)( 00 ztz ,00 tt (1)
где )(tA — матричная функция порядка n, элементы которой являются измери-
мыми функциями и суммируемы на любом конечном интервале ],,[ 0 Tt
.0 Tt Параметры управления игроков u и v выбираются из областей управ-
ления )(tU и ),(tV причем ),()( pRKtU )()( qRKtV являются измеримыми
компактозначными отображениями для ),,[ 0 tt p, q — натуральные числа.
Вектор-функция ),,( vut — блок управления, определена на множестве
qp RRtt ),[ 0 и удовлетворяет условиям Каратеодори: для всех фиксирован-
ных
qp RRvu ),( она измерима по t, ),,[ 0 tt и для любого фиксированного
),[ 0 tt непрерывна по совокупности ),( vu на .qp RR Будем также считать,
что
),()(),,( tUutavut ),(tVv ),,[ 0 tt (2)
где )(ta — суммируемая на любом конечном интервале ],[ 0 Tt функция.
Кроме нестационарной динамической системы (1), задано терминальное
множество ),(* tM имеющее цилиндрический вид
),()( 0
* tMMtM ),,[ 0 tt (3)
где 0M — линейное подпространство из ,nR а )(tM — измеримое многозначное
отображение, принимающее значения из ),(LK где L — ортогональное дополне-
ние к 0M в .nR
Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53./006).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 9
Цель первого игрока-преследователя — с помощью выбора параметра управ-
ления и в рамках наложенных ограничений вывести траекторию процесса (1) на
терминальное множество (3) за кратчайшее время. Цель второго игрока-убега-
ющего — с помощью параметра управления v уклонить траекторию процесса (1)
от встречи с множеством *M в конечный момент времени, а если это невозмож-
но, то максимально оттянуть момент этой встречи.
Примем сторону первого игрока и будем считать, что он строит свое управ-
ление на основании информации
)),(,,,()( 00 tvtztutu (4)
где ]},,[),()(:)({)( 0 ttssVsvsvvt )(sv — измеримый селектор
отображения ),(sV являющийся допустимым управлением второго игрока.
Перейдем к схеме решения задачи (1)–(3). Пусть — ортопроектор, дей-
ствующий из nR в L. Положив )},(:),,({)),(,( tUuvutvtUt ,0tt ),(tVv
введем многозначные отображения
),),(,(),(),,( vUtvtW ,),,(),(
)(
Vv
vtWtW ,0tt ).(Vv
Здесь ),( t — переходная матрица однородной системы (1) — матрица Коши.
В силу исходных предположений многозначное отображение ),,( vtW измеримо
по и непрерывно по v, а отображение ),( tW измеримо по .
Условие Понтрягина. Многозначное отображение ),( tW принимает непу-
стые значения для tt0 и является замкнутозначным.
Поскольку отображение ),( tW замкнутозначно и измеримо по , то в силу
теоремы об измеримом выборе [9] существует хотя бы один измеримый по се-
лектор ),,( t ),,(),( tWt ,0tt являющийся суммируемой по на ],[ 0 tt
функцией при любом t благодаря неравенству (2).
Введем функцию
dtzttttzt
t
t0
),(),()),(,,,( 0000
и рассмотрим многозначное отображение
}))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00 ttzttMtvtWvt A
и разрешающую функцию [8]
)}.,,(:{sup),,( vtvt A
Если ),()),(,,,( 00 tMttzt то функция ),,( vt принимает конечные значе-
ния, в противном случае — бесконечные. Функция ),,( vt суперпозиционно
измерима [5].
Рассмотрим множество .1))(,,(inf:)),(,,(
0
)(
000
t
t
v
dvtttztT
Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина и )(co)( tMtM для .0tt Тогда если для заданного
начального состояния ),( 00 zt процесса (1) существует такой измеримый по се-
лектор ),( t отображения ),,( tW что )),(,,( 00 ztT и )),(,,( 00 ztTT ,
10 ISSN 0572-2691
то траектория процесса может быть приведена на терминальное множество (3) в
момент T с помощью управлений вида (4) при любых допустимых управлениях
второго игрока.
Доказательство следует из работы [8].
Обозначим ))}.,(,,(:{inf)),(,,( 00000 ztTtttztt
2. Схема сближения с фиксированным селектором
многозначного отображения M(t)
Как видно из теоремы 1, для обоснования основной схемы метода разреша-
ющих функций, кроме условия Понтрягина, необходимо условие выпуклозначно-
сти отображения ),(tM .0tt С другой стороны, при доказательстве теоремы 1
используется лишь условие выпуклости множества ),(TM где T — момент окон-
чания игры.
Рассмотрим еще одну схему метода разрешающих функций, в которой не
требуется выпуклость образов отображения ).(TM При этом заметим, что гаран-
тированное время окончания игры в этой схеме, вообще говоря, больше, чем в ос-
новной схеме, а траектория конфликтно-управляемого процесса приводится в
наперед заданные точки терминального множества.
Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс (1)–(3). Пусть ),(tm ),()( tMtm —
произвольный измеримый селектор, который существует согласно теореме изме-
римого выбора. Обозначим
,)),(,,,(),( 00 mttztmt ,0tt ).()( tMtmm
Введем многозначное отображение
)},(),,(),(:0{),,,( tvtWmtmvtA
и его опорную функцию в направлении 1 [5, 10–12]
)},,,,(:{sup),,,( mvtmvt A ,0tt ),(Vv ).(tMm
В силу уcловия Понтрягина при любом )(tMm отображение ),,,( mvt A и функ-
ция ),,,( mvt корректно определены. Заметим, что при ,0),( mt ),,,( mvtA
),0[ для ,],[ 0 tt ),(Vv )(tMm и соответственно .),,,( mvt
Многозначное отображение ),,,( mvt A и разрешающая функция ),,,,( mvt
),(Vv ),(tMm ,0 tt при 0),( mt являются BL -измеримыми отобра-
жениями по ),( v [5].
Уcловие 1.
1. Если для 0tt и )(tMm при выбранном селекторе ),( 0),( mt , то
функция ),,,(inf
)(
mvt
Vv
измерима по , .],[ 0 tt
2. Функция
t
t
Vv
dmvt
0
),,,(inf
)(
полунепрерывна сверху по m, ).(tMm
Условие 1 выполнено, если функция ),,,( mvt непрерывна по v и m,
),(Vv ),(tMm .0tt
Рассмотрим множество
1),,,(infsup:)),(,,(
0
)()(
000 dmvtttzt
t
t
VvtMm
T (5)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 11
и функцию }.)),(,,(:{inf)),(,,( 0000*
ztttzt T Если при 0tt
,0),( mt ),(tMm то
),,,(inf
)(
mvt
Vv
для ],[ 0 tt и значение инте-
грала в соотношении (5) естественно положить равным , а соответствующее
неравенство выполнено автоматически. Если неравенство в (5) не выполняется при
всех ,0tt будем считать, что .)),(,,( 00* zt
Введем маргинальное многозначное отображение
,),,,(inf),,,(infmax:)()(
*
0
*
0*
*
)(
*
)()(
**
t
Vv
t
VvMm
dmvdmvMmM .
*
Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина и условие 1 для начального состояния ),( 00 zt и выбранного
селектора ),,( .)),(,,( 00 zt Тогда проекция траектории )(tz может
быть приведена в любую точку множества )(
*
M в момент
*
с помощью
управления вида (4).
Доказательство. Пусть ),( *Mm а ),(v ),()( Vv ],,[
*0 t — про-
извольный измеримый селектор. Рассмотрим сначала случай .0),(
*
m Для
этого введем контрольную функцию
.)),(,,(1)(
0
*
t
t
dmvth
Функция ),,,(
*
mv BL -измерима по ),,( v ),()( Vv ],,[
*0 t
а значит, суперпозиционно измерима [8] и )),(,,(
*
mv — измеримая функция ,
это означает, что соответствующий интеграл имеет смысл.
Функция )(th абсолютно непрерывна и, следовательно, существует такой
момент ,*t ],,[ *0* tt что .0)( * th
Рассмотрим многозначное отображение
)},,(),,,(),(),,(),(:)({),,,( ***** mmvvuUumvU (6)
),(Vv ,],[ *0 t
где
.,0
,),,,,(
),,,(
**
*0*
* t
ttmv
mv
Это отображение BL -измеримо по ),( v в силу теоремы об обратном об-
разе [9] и замкнутозначно, а поэтому согласно теореме измеримого выбора в нем
существует BL - измеримый селектор ).,,,( * mvu
Управление первого игрока положим равным
),),(,,()( mvuu .],[ *0 t
Оно является измеримой функцией , поскольку )),(,,( mvu суперпозицион-
но измеримо по (, v).
В случае 0),( * m управление первого игрока на промежутке ],[ *0 t вы-
берем в виде измеримой функции )),(,()( 00 vuu где ),(0 vu — BL -изме-
римый селектор отображения ),,,( * mvU с нулевой разрешающей функцией.
Покажем, что траектории конфликтно-управляемого процесса (1) попадут на
множество mM 0 в момент .*
12 ISSN 0572-2691
Действительно, при 0),(
*
m из формулы Коши и соотношения (6) имеем
.)),(,,(1),()(
0
mdmvmz
t
t
Поскольку ,0)( * th то .)( mz
При 0),( * m равенство mz )( вытекает из формулы Коши и правила
выбора управления первого игрока.
Условие 2. Для заданного начального состояния ),,( 00 zt любого выбранного
селектора ),( и элементов )( *Mm таких, что ,0),( * m отображение
),,,,( * mvA ),(Vv ],[ *0 t , выпуклозначно, т.е.
)].,,,(,0[),,,( ** mvmv A
Следствие. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина и условия 1, 2. Тогда проекция траектории процесса (1) )(tz
может быть приведена в любую точку )( *Mm в момент * с помощью
контруправления.
Результат следует из построений работы [5].
Cвязь схемы метода разрешающих функций с фиксированным селектором
с основной схемой отражает формула
).,,,(max),,(
)(
mvtvt
tMm
При этом
).,(,,)),(,,()),(,,( 000000 ztztztt
Если же },)({)( tmtM т.е. отображение — обычная функция, то предыдущее не-
равенство выполняется как равенство при любых значениях аргументов.
3. Конфликтно-управляемые процессы с простой матрицей
Рассмотрим пример
,)( vuztaz ,)( 00 ztz ,00 tt ,)( Stbu ,)( Stcv
,)()( StltM },1:{ zzS
причем ,: RRa ,: RRb ,: RRc ,: RRl .}0:{ ttR
Матрица Коши однородной системы имеет вид ,)(exp),( Edssat
t
E — единичная матрица, },0{0 M ,0
nRML
,E .)()( StltM
Многозначные отображения согласно схеме МРФ
),)()()(,(),,( vcSbtvtW ,Sv
,),())()((),()(),()(),( StcbStcStbtW
где — геометрическая разность Минковского [1].
Условие Понтрягина выполнено, если ),()( cb .0t Выберем в ),( tW
селектор .0),( t Тогда
,),()0,,,( 0000 ztttzt
]}),()([))()()(,(:0{),,( 00 zttStlvcSbtvtA
.}])(),()([)(),(),(:0{ 00 Sbttlvctztt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 13
Опорная функция образов этого отображения в направлении 1 — большой по-
ложительный корень квадратного уравнения
)(),()(),()(),( 00 bttlvtcztt
и имеет вид
,
)(),(
),(),(
)(),(
),()()()),(,),()((
),,(
22
00
2
2
1
22
00
00
tlztt
tt
tlztt
tbtlzttvtc
vt
где
,))],()()(),(,),()([(),( 001 tbtlzttvtct
).)()()((,())(),((),(
222222
002 vcbttlzttt
Можно подсчитать, что
,
)(),(
))()()(,(
)(),(
))()())((),()(,(
),,(min
00
22
00
00
tlztt
cbt
tlztt
cbtlzttt
vt
Sv
причем минимум достигается на элементе ./ 00 zzv
Таким образом,
.1
)(),(
))()()(,(
:)0,,(
0
00
000
t
t
d
tlztt
cbt
ttztT
В случае ,00 t ,0)( ta ,)( bb ,)( cc ,)( ltl очевидно, можно найти ),0,,0( 0zt
.)0,,0(
0
0
cb
lz
zt
Если же ,00 t ,0)( ata ,)( bb ,)( cc ,0)( tl то из (7) получим
.1ln
1
)0,,0(
0
0
cb
z
a
zt
Заметим, что в выражении для многозначного отображения ),,( vt A фигурирует
пересечение двух шаров, и если ),,,( vt то пересечение превращается в ка-
сание в одной общей точке. Этой точке соответствует, в частности, единственный
селектор отображения
)},)()()(,()),()(,,(:)({),,( 00 vcSbtzttmvtStlmvt M
,0tt ,Sv
который имеет вид
.)(),,(
),()(),(),,(
),()(),(),,(
)(),,(
00
00 Stlvt
vtczttvt
vtczttvt
tlvtm
M
Все это касается общей схемы МРФ. Через этот селектор однозначно можно вы-
разить управление преследователя на интервале ],,[ 0 Tt где )0,,( 00 ztTT ,
]},),())(,,())[(,,()()(),(){,()( 00
1 ztTvTmvTvcTTu
,)()( Sbu
14 ISSN 0572-2691
где
],,[,0
),,[),,,(
),,( 0
Tt
ttvT
vT ,0)( th t — наименьший положитель-
ный корень контрольной функции )(th [8], соответствующей общей схеме МРФ.
Отдельно рассмотрим случай априори фиксированных селекторов много-
значного отображения )(tM . Тогда
,),(),( 00 mzttm .)()( Stltmm
Многозначное отображение
)})()()(,(),(:0{),,,( vcSbtmtmvt A ,
его опорная функция в направлении +1 — больший положительный корень квад-
ратного уравнения
),(),()),(()(),( 00 btzttmvct
2
00
00
),(
)),(,)(),((
),,,(
mztt
mzttvct
mvt
.
),(
))()()(,(),()),(,)(),((
2
00
22222
00
2
00
mztt
vcbtmzttmzttvct
Несложно посчитать, что
,
),(
))()()(,(
),,,(min
00 mztt
cbt
mvt
Sv
причем минимум достигается на элементе
.
),(
),(
00
00
mztt
mztt
v
Таким образом,
1
),(
))()()(,(
max:)0,,(
0
00)(
000 d
mztt
cbt
ttzt
t
t
Stlm
T .
Очевидно, что
mztt
dcbt
d
mztt
cbt
Stlm
t
t
t
t
Stlm
00
)(
00)( ),(min
))()()(,(
),(
))()()(,(
max 0
0
и минимум в знаменателе достигается на элементе ,/)( 00 zztlm т.е. марги-
нальное отображение
,)()(
0
0
**
z
z
lM
где
0
0
000*
)(),())()()(,(:min
0
z
z
tlzttdcbttt
t
t
.)(),(
)(
),( 000
0
0
tlzttz
z
tl
tt
При ,0)( ta ,)( bb ,)( cc ltl )( имеем )./()( 0
* cblz
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 15
Если ,* то управление преследователя запишем
)},,()),(,,()()(),(){,()( ****
1 mmvvcu
где
],,[,0
),,[),),(,,(
),,,(
**
*0*
* t
ttmv
mvt ,0)( * th dmvth
t
t0
)),(,,(1)( *
—
контрольная функция.
І.Ю. Кривонос, О.А. Чикрій, К.А. Чикрій
ПРО ОДНУ СХЕМУ ЗБЛИЖЕННЯ
В НЕСТАЦІОНАРНИХ ІГРОВИХ ЗАДАЧАХ
Розглянуто ігрову задачу зближення для квазілінійних нестаціонарних процесів
з залежними від часу областями керування та термінальною множиною. Для
дослідження застосовано метод розв’язуючих функцій, що дозволило отримати
достатні умови закінчення гри. При цьому розглянуто випадок фіксованих се-
лекторів багатозначних відображень, що задають термінальну множину. Для
ілюстрації наведено приклад диференціальної гри з простою матрицею.
I.Iu. Kryvonos, Al.A. Chikrii, K.A. Chikrii
ONE GAME SCHEME OF APPROACH
IN NONSTATIONARY GAME PROBLEMS
The game problem of approach for quasilinear nonstationary processes with the time-
dependent control domains and terminal set is considered. The method of resolving
functions is used as a tool for investigation that makes it possible to obtain sufficient
conditions for the game termination. The case of fixed selectors of set-valued map-
pings which define the terminal set, is studied. The method is illustrated with the ex-
ample of differential game with simple matrix.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. –– М. : Наука, 1988. –– 576 с.
2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. –– М. : Наука, 1970. –– 420 с.
3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. –– Киев : Наук. думка, 2006. –– 264 с.
4. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори-
ями. –– Киев : Наук. думка, 2005. –– 220 с.
5. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Труды
МИРАН им. В.А. Стеклова. –– 2010. –– 271. –– С. 76–92.
6. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. –– Киев : Наук. думка, 1992. –– 384 с.
7. Pshenichnyi B.N., Chikrii A.A., Rappoport J.S. Group pursuit in differential games // J. Leipzig
Techn. High School. — 1982. — P. 13–27.
8. Чикрий А.А. Гарантированный результат в игровых задачах управления движением // Тру-
ды Ин-та математики и механики УрОРАН. –– 2010. –– 16, № 5. –– С. 223–232.
9. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. –– Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. ––
461 p.
10. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. –– М. : Наука, 1980. –– 330 с.
11. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // Optimiza-
tion Methods and Software. — 2008. — 23, N 1. — P. 39–72.
12. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives // Pareto Optimality,
Game Theory and Equilibria. — 2008. — 17. — P. 349–387.
Получено 26.02.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207625 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:04:19Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. 2025-10-10T15:45:53Z 2013 Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 8–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207625 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i8.40 Розглянуто ігрову задачу зближення для квазілінійних нестаціонарних процесів із залежними від часу областями керування та термінальною множиною. Для дослідження застосовано метод розв’язуючих функцій, що дозволило отримати достатні умови закінчення гри. Розглянуто випадок фіксованих селекторів багатозначних відображень, які задають термінальну множину. Для ілюстрації наведено приклад диференціальної гри з простою матрицею. The game problem of approach for quasilinear nonstationary processes with time-dependent control domains and terminal set is considered. The method of resolving functions is used as a tool for investigation that makes it possible to obtain sufficient conditions for the game termination. The case of fixed selectors of set-valued mappings which define the terminal set is studied. The method is illustrated with the example of a differential game with a simple matrix. Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53./006). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах Про одну схему зближення в нестаціонарних ігрових задачах One Game Scheme of Approach in Nonstationary Game Problems Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| title_alt | Про одну схему зближення в нестаціонарних ігрових задачах One Game Scheme of Approach in Nonstationary Game Problems |
| title_full | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| title_fullStr | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| title_full_unstemmed | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| title_short | Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| title_sort | об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207625 |
| work_keys_str_mv | AT krivonosiû obodnoishemesbliženiâvnestacionarnyhigrovyhzadačah AT čikriiala obodnoishemesbliženiâvnestacionarnyhigrovyhzadačah AT čikriika obodnoishemesbliženiâvnestacionarnyhigrovyhzadačah AT krivonosiû proodnushemuzbližennâvnestacíonarnihígrovihzadačah AT čikriiala proodnushemuzbližennâvnestacíonarnihígrovihzadačah AT čikriika proodnushemuzbližennâvnestacíonarnihígrovihzadačah AT krivonosiû onegameschemeofapproachinnonstationarygameproblems AT čikriiala onegameschemeofapproachinnonstationarygameproblems AT čikriika onegameschemeofapproachinnonstationarygameproblems |