Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами

Для задачі оптимізації системи з двома малими сингулярними параметрами доведено теорему про рівномірне асимптотичне наближення процесу керування за повільними змінними. For the optimization problem of the system with two small singular parameters, the theorem on the uniform asymptotic approximation...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2013
Main Author:	Козырев, В.Г.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Subjects:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207628
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами / В.Г. Козырев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 45–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859806313677062144
author	Козырев, В.Г.
author_facet	Козырев, В.Г.
citation_txt	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами / В.Г. Козырев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 45–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Для задачі оптимізації системи з двома малими сингулярними параметрами доведено теорему про рівномірне асимптотичне наближення процесу керування за повільними змінними. For the optimization problem of the system with two small singular parameters, the theorem on the uniform asymptotic approximation of the control process for slow variables is proved.
first_indexed	2025-12-07T15:16:44Z
format	Article
fulltext	© В.Г. КОЗЫРЕВ, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 45 УДК 517.92 В.Г. Козырев АСИМПТОТИКА ОДНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Постановка задачи. Рассматривается линейная нестационарная система ,,)()()(/ ,,)()(/ 0 043 0 021 zzutBztAytAdtdz yyztAytAdtdy tz t     (1) где 0 — малый параметр, ,0 ftt  ,nEy ,mEz ,rEu а )(tuu  мини- мизирует квадратичный функционал ,])()([)]([ TT 0 T1 dtutRuxtQx t xxtuI f fttf    (2) где 0 f — другой малый параметр, .],[ col mnEzyx  Относительно выражений в (1) и (2) предполагаем следующее. I. Матрицы )(tAi ( )4,1(i ), )(tQ и )(tR непрерывны на отрезке ,0 ftt  а )(4 tA еще и непрерывно дифференцируема на нем. II. FHHT — постоянная неотрицательно-определенная матрица ),0(  где H — матрица размерности );( mnq  F — положительно-определенная мат- рица qq ).0( F III. ,0)( tQ 0)( tR на ].,0[ ft IV. mtBtAtBtAtB z m zz  )]()(..,),()(),([rank 1 44 для всех ].,0[ ftt V. Все собственные числа матрицы )(4 tA лежат в левой полуплоскости при ],,0[ ftt т.е. матрица 4A гурвицева. VI. Отдельно примем, что ]0[ yHH  , где yH — матрица ,, nqnq  а , 3 T 2 21        QQ QQ Q где блоки 1Q и 3Q имеют размеры nn и ,mm причем .03 Q Введем блочные матрицы: , 4 1 3 1 21          AA AA A ; 0 1          zB B , 0 00 2 1           zS BBRS .T1 zzz BRBS  При условиях I–III единственное решение задачи (1), (2) определяется выра- жением [1] ,T1 KxBRu  (3) где )()( mnmn  -матрица )(tKK  удовлетворяет уравнению Риккати ),()()()(/ T tQKtKSKtAtKAdtdK  .1   ftt f K (4) Параметры  и f по принятой терминологии [2] называются сингулярны- ми, так как они, хотя и являются малыми, но, как видно из (1), (4), оказывают су- 46 ISSN 0572-2691 щественное влияние на решение. Таким образом, мы рассматриваем линейно- квадратичную задачу (1), (2) с двумя малыми сингулярными параметрами  и .f Ставится задача исследования асимптотики системы (1) с оптимальным регулято- ром (3), (4) при 0 и .0 f В работах [3, 4] выполнен асимптотический анализ регулятора (3), (4) для аналогичного (1) объекта, но раздельно по каждому параметру  и ;f другой параметр считался при этом фиксированным, допустим, равным 1. Матрица H принималась единичной. Мы изучаем асимптотику системы (1), (3), (4) при усло- вии одновременной малости  и f и для прямоугольной матрицы H, имеющей наряду с матрицами Q и ,B в отличие от [3, 4], частный вид. Рассматриваемая нами задача в противоположность задачам, рассматривае- мых в [3, 4], связана с принципиальной трудностью. При стремлении f к нулю компоненты матрицы K в силу граничного условия (4) приобретают особенность при .ftt  Общие методы построения равномерной по области асимптотики та- ких систем по другому параметру  в настоящее время отсутствуют. Построим указанную асимптотику нулевого приближения. Асимптотические приближения матричных компонент уравнений регу- лятора. В соответствии с [1, 5] матрицу K представим в виде ,)( 11T WFMWPK f  (5) где матрицы ),(tPP  )(tWW  и )(tMM  — решения уравнений ),()()()(/ T tQPtPSPtAtPAdtdP  ,0  ftt P ),)()((/ PtStAWdtdW  ,HW ftt   ,)(/ TWtWSdtdM  .0  ftt M Матрицы P и W разобьем на блоки тех же размеров, что и соответствующие блоки матриц Q и H:          3 T 2 21 PP PP P и ].,[ zy WWW  Согласно [2, 3, 5, 6] в предположениях I–VI верны равномерные на ],0[ ft асимптотические разложе- ния при 0 : ),1()(),( 101 OtPtP  ),1()τ()(),( 20202 OPtPtP  ),1(),(3 OtP  ),1()(),( 0 OtWtW yy  ,)1()τ()(),( 00 OWtWtW zzz  ,)1()(),( 0 OtMctM  где ,)(  /t-t f а функции вида )(X экспоненциально затухают с ростом  [2, 6]: ),exp()(  cX .0 Здесь и далее c и  обозначают некоторые подходящие положительные числа, вообще говоря, разные в разных неравенствах, )1(O — это ограниченные величины, т.е. в общем случае матричные или векторные функции своих аргументов, равномерно ограниченные на некоторых множествах. Ограни- ченность понимается в смысле норм  , согласованных для векторов и матриц, Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 47 например, норм из [2]. В случае выше )1(O — это матрицы, зависящие от t и  и равномерно ограниченные при ,0 ftt  ,0 1 где 01  — произволь- ное фиксированное число. Главные члены приведенных разложений вычисляются из уравнений: ,0,/ 101 T 2020 T 20 T 332010 T 111010   fttz PQPSPPAAPPAAPdtdP ,0 2420210 QAPAP  ,),(/ 2002042020 fttf PPtAPdPd   ,,/ 030100 yttyPzyy HWAWAWdtdW f   ,0 4020 AWAW zy  ,),(/ 0400 00 ftf t WWtAWdWd zzzz    ,0,/ 0 T 000   fttzzz MWSWdtdM где .T 2033 PSAA zP  Обозначим , ~ 20202 PPP  , ~ 00 zzz WWW  , 0 ~ ~ ~ T 2 210            P PP P ,] ~ ,[ ~ 0 zy WWW  . ~ 0MM  Наряду с оптимальным регулятором (3), (5) будем рассматривать его приближение, которое получается, если в (5) вместо точных значений составляю- щих P, W и M взять их асимптотические приближения , ~ P W ~ и M ~ при .0 Подобный, приближенный, регулятор запишем, следовательно, в виде , ~1 xKBRu   (6) . ~ ) ~ ( ~~~ 11T WFMWPK f  (7) Формализация постановки задачи. Дальнейшему анализу подлежит две системы. Одна описывается уравнениями (1) и содержит оптимальный регулятор в форме обратной связи (3), (5), формирующий точную оптимальную траекторию. После подстановки формул (3), (5) в (1) эту систему запишем так: ,,)(/ 0 0 T xxfSWxSPASKxAxdtdx t   (8) где K подчиняется выражению (5); .)( 1 WxFfMf  Другая система удовлетворяет тем же уравнениям (1), но содержит прибли- женный регулятор (6), (7). После подстановки (6), (7) в (1) она приобретает вид ,, ~ ) ~ ( ~ / 0 0 T xWSPSAKSAdtd t   (9) где K ~ выражается по формуле (7), , ~ ) ~ ( 1   WFfM а )(t служит неко- торым приближением оптимальной траектории ).(txx  Рассматриваемая нами задача состоит, таким образом, в исследовании близо- сти решений приближенной (9) и точной (8) систем при малых  и .f На прак- тике это означает ответить на вопрос: можно ли вместо точного оптимального ре- гулятора (3), (5) использовать приближенный, но более простой по составу и ха- рактеру динамики асимптотический регулятор (6), (7). 48 ISSN 0572-2691 Отметим, что матрица K ~ не дает равномерного асимптотического прибли- жения матрицы K ни на одном из промежутков ,1 fttt  ,01 t при ,0 .0 f Более того, 0 всегда можно указать такие достаточно малые 0 f и ,0 tt f что норма разности KK ~  будет больше любого сколь угодно большого наперед заданного положительного числа. Поэтому решение систе- мы (9) не обязательно будет близким к решению системы (8), и ответ на постав- ленный вопрос не является тривиальным. Теорема об асимптотическом приближении процесса системы (1), (2). Вве- дем матрицу fttzyzy BAAHRBAAHL   T1 42 11 42 )( (вычисленную при ).ftt  В силу 0R она неотрицательно-определенная. Потребуем выполнения еще од- ного условия: VII. Матрица L положительно-определенная: .0L Аналогично представлению ],[col zyx  разобьем на блоки вектор ],,[col  ,nE mE и возьмем произвольные числа 01  f и .10  Тогда при вы- полнении условий I–VII найдутся постоянные ,00  0c и 0 такие, что при ,0 0 10 ff  отклонения процессов оптимальной (1), (3), (5) и асимп- тотически приближенной (1), (6), (7) систем на отрезке ftt 0 удовлетворяют неравенствам: ,),,(),,(  ctty ff ,),,(),,( cttz ff  ,),,(~),,( ctutu ff  а на отрезке ,0 1tt  где ),0(1 ftt  — произвольное фиксированное число (ко- торое может быть выбрано как угодно близким к )ft — неравенствам: ,),,(),,(  ctty ff ,),,(),,(  cttz ff .),,(~),,(  ctutu ff Доказательство. В работе [5] была предложена краткая схема рассуждений, с помощью которых можно доказать сформулированную теорему. Приведем ее полное доказательство. Для единообразия записей введем смещенное текущее время ,ftt  от- считываемое, как и , от правого конца отрезка .0 ftt  Тогда ,0 ft .//)(  ftt Имена переменных оставим при этом без изменений, т.е. бу- дем по-прежнему писать ),( xx ),( ii AA )( zz BB и т.д., понимая под этим величины ,)( ftt txx   ,)( Ttii tAA   fttzz tBB   )( и т.д. Усло- вимся обозначать и далее через 0 некоторое положительное (в общем случае до- статочно малое) число, а через 1 и 1f — произвольные фиксированные поло- жительные числа. Уравнения для отклонений. В силу уравнений для M, W и x ,0/ ddf и, значит, .const ft ff   Обозначим ,0 ft ff   ,0 ft   1h ).)(( 01 0  FM f Вычитая почленно уравнения (8) и (9) и дифференцируя Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 49 величину h, запишем систему уравнений, описывающих взаимное отклонение решений оптимальной (8) и приближенной (9) систем: .0,)(/ ,0,/ ,0,/ 2 14~ 3 21       f f f thh thP t hOhSzOyddh zOhAzAyAdzd yzAyAdyd (10) Здесь: ; yy ; zz ; ~T 23~ 3 PSAA zP  ;)( ~ 11T 0  FMWSA fzh z ; ~ hzh AWS  ;T 200~ 30 PSWAW zzPz  );( 440 f z AAW  ; 044   AA f ;/)()( 1 420 1 42~ 3010    dAAdWAAAWAWO yPzy  PPP AyAAO 4~ 331 ()( ) ~ () 0T0T 4  zzz WfWSzA ; ;T 233 PSAA zP  ;344 PSAA zP  ;2 zOO  h ;0  Wzy . ~~ TT 00 zz WSWWSW zzzzW  Свойства членов уравнений. Укажем на свойства членов уравнений (10). 1. Если ,0L то 0)( ~ 0  MM для всех .0 ft Тогда cFM f   1 0 )( 1 для всех ,1 ft ,0 1ff  и   11 0 11 )()( FMFM ff )1(O для всех ,1 ft ,0 0 ,0 1ff  где 1 — произвольный фиксированный момент из промежутка ),0,[ ft а величина )1(O ограничена при этих .,, f В самом деле,   0 T 000 dWSWM zzz и .0)( 0 T 00   LWSW zzz Так как функ- ции непрерывны, то 0T 00 zzz WSW и на некотором отрезке 02  (что следует, например, из критерия Сильвестра). Значит, 0)(0 M на промежутке .02  Поскольку вне этого промежутка 0T 00 zzz WSW (поскольку ,T1 zzz BRBS  ),0R то 0)(0 M на всем промежутке ),0,[ ft а 01 0  FM f на всем про- межутке )0,[ ft и для всех .0 f Отсюда вытекает, что для 01  ft и 10 ff  .))(( 11 0 cFM f   Тогда при рассматриваемых , f и достаточно малых  получаем: ),1()())1(()( 11 0 11 0 11 OFMFOMFM fff   где )1(O огра- ничены при этих .,, f Свойство 1 доказано. 2. Решение ],[col zyx  уравнения (8) ограничено на множестве :,,{ ff  }.0,0,0 10 ffft  Для доказательства введем вектор ],,[col baPxv  ;nEa mEb и за- пишем уравнения для векторов x и v: ./ ,/ ,/ ,/ 4 T 23 T 2 T 3 T 121 343 21 bAaAzQyQddb bAaAyQyQdda bSzAyAddz zAyAddy     (11) Граничные условия для них имеют вид ,0yy ft   ,0zz ft   ,0aa ft   , 0 fbb   где ;])()([ 0011T0 2 0 1 0 ftzyfy zWyWFMWzPyPa     zPyPb f 3 T 2[ .])()( 0 11T    zWyWFMW zyfz 50 ISSN 0572-2691 Ввиду того, что ,003,2 P ,00zW FFM ff 111 0 )(    и ре- шение ],[col zyx  задачи (1), (2) существует (и ограничено) на всем отрезке 0 ft при любых фиксированных  и ,f имеем .0fb Проанализируем величину ).,(00 faa  В силу асимптотики величи- ны ,12P ,yzW M имеют при ft общее представление ).1()( 0 OXX  Оценка для 11)(  FM f получена выше. Из нее находим при ft : )1()()( 1 0 11 OMFM ftft ff     при ,0 0 .0 1ff  Суммируя эти оценки, приходим к асимптотической формуле для :0a  ),(0 fa ),,()( 0 1 0 0 ff aa  где )(0 0 fa  и ),(0 1 fa  непрерывны по своим аргумен- там и ограничены. При указанных граничных условиях к системе уравнений (11) может быть применена теорема из [2] об асимптотическом разложении решения краевой зада- чи при .0 Согласно ей решение системы (11) подчиняется разложению ),1(),()( 0 OXX f  где ),(0 fX  и )1(O ограничены при .),,( ff  Свойство 2 доказано. 3. Из асимптотики ,3,2,1P zyW , и M вытекает, что на множестве :,{1  }0,0 1 ft ),(exp),(,,   cW ,),( cO  а на множестве f с учетом равномерной ограниченности решения (11) ),(exp),,(  cfh .),,(2,1 cO f  4. На 1 матрица zW ~ подчиняется оценке ),,(),(),( ~     WWz OOW .),( cOW  (12) Данное свойство легко устанавливается с помощью теоремы Лагранжа о сред- нем значении, примененной к приращению i, j-го элемента матрицы : ~ zW . ),( ~ )(),0( ~ ),( ~       ij d Wd WW zij zijzij Здесь ,0),0( ~ zijW ,1),(0  ijij а компоненты    ij d Wd zij ),( ~ )( ограничены, поскольку ограничена матрица   d Wd z ~ при условии, что производ- ная 1 4   A d d существует и непрерывна, а значит, ограничена на отрезке .0 ft Так как 1 44 1 4 1 4      AA d d AA d d и 4A гурвицева, то для сказанно- го выше достаточно потребовать, чтобы была непрерывно дифференцируема мат- рица )(4 A на ]0,[ ft (условие I). В этом случае оценка (12) доказана. 5. При ,0 ft 10 ff  (и )0L справедлива оценка ),,( 1 ))(( 11 0 fM f f OFM     .),( cO fM  (13) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 51 Докажем ее. С учетом LWSW d dM zzz     0 T 00 0 0 )( запишем разложе- ние Тэйлора: ),1()1()( 2 0 0 2 0 OLO d dM M     .0 Из него нахо- дим:   ))(1(()()]1([)( 1112111 0 OIFLOFLFM qfff 111 ))(  FL f , где qI — единичная qq матрица. Так как ,0L ,01 F то эти матрицы одновременно приводятся к диаго- нальному виду: ,},...,{diag T 1 СllCL q  ,},...,{diag T 1 1 СffCF q  где C — постоянная неособенная матрица и все ,0il .0if Отсюда   11)( FL f .})(...,,){(diag)( 111 11 T1   CflflC qfqf И тогда   11)( FL f , minmin {...}diag 21 fifi c fl c c     .))(( 2 211 c c FL f f      Из последней оценки заключаем, что матрица 111 ]))()(1([  FLOI fq ограничена для всех 0 f и ]0,[ 0 , где 00  — достаточно малое по мо- дулю число, одинаковое для всех .f (Мы можем гарантировать это только при достаточно малых , так как матрица )1(O не обязательно должна быть положи- тельно-определенной.) Теперь имеем   11 0 )()(),( FMO fffM 11111 )))()(1(())((   FLOIFL fqff , .)(),( c c O f ffM    Значит, ),( fMO  равномерно ограничена при 00  и .0 f На оставшемся замкнутом ограниченном множестве ,0 ft 10 ff  ограниченность MO следует из представления  )(),( ffMO 11 0 )(  FM f , в котором правая часть суть непрерывная функция на этом множестве, и значит, ограничена на нем. Оценка (13) доказана. 6. Из соотношений (12) и (13) вытекает ограниченность матриц hA и hS на множестве :}0,0,0:,,{ 111 fffff t  ,),,( cA fh  .),,( cS fh  (14) Действительно, принимая во внимание (12), (13), получаем: ),1(),( 1 ),(T OOOSA f f W Mzh       ).1()1( ~~ OOWAWS zhzh  Из соотношения (13) и представления    )( ~ T fz f WSA zh 11 0 )(  FM f вытекает также другая важная оценка при :),,( 1ff  .),,( cA f fh    (15) 52 ISSN 0572-2691 Весовые матрицы уравнений системы. Проанализируем теперь весовые матрицы, связанные с системой (10). 7. Рассмотрим весовую матрицу ),,( G первых двух уравнений (10), в которых P A ~ 3 заменим пока на .3PA Она удовлетворяет уравнению , 4 1 3 1 21 G AA AA d dG P           ,mnIG   ,0 ft где mnI  — единичная матрица размерности ).()( mnmn  Представим G в блочном виде        42 31 GG GG G и покажем, что на множестве }0,0:,,{ 0 ft ее компоненты подчиняются оценкам: ,),,(2,1 cG  ,),,(3  cG .]/)([exp),,(4  ccG Рассмотрим компоненты 1G и .2G Уравнения для них имеют вид .0,/ ,,/ 224132 122111     GGAGAddG IGGAGAddG P n (16) Перепишем их в эквивалентной интегральной форме, используя весовые матрицы ),( V и ),,( U уравнений yAdy 1/ d и :/ 4zAdz  d .),,()(),,(),,( ,),,()(),(),(),,( 13 1 2 221 dppGpApUG dppGpApVVG P          (17) Согласно лемме из [2] при :),,(  ,),( cV  .),,( /)(  ecU (18) Оценим .1G Подставляя в первое уравнение (17) выражение для ,2G опреде- ляемое вторым уравнением, получим эквивалентное уравнение для :1G ,),,()(),,(),(),,( 131 dssGsAsKVG P     (19) где .),,()(),(),,( 2 1 dpspUpApVsK      В силу (18) и ограниченности 2A csK  ),,( на . (20) Для оценки 1G применим метод последовательных приближений, воспользо- вавшись уравнением (19). В качестве нулевого приближения можно взять произ- вольную непрерывную и ограниченную на множестве  функцию. Возьмем, например, функцию ),( V и построим последовательные приближения ),,(1 nG соотношениями ),,(),(0 1  VG ,),,()(),,(),(),,( 1 131 dssGsAsKVG n P n      ...,2,1n . (21) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 53 Так как матрицы V, K и PA3 непрерывны по совокупности своих аргументов на множествах их определения, то все последовательные приближения ,0 1G ,1 2G … непрерывны на . Докажем, как это делается при использовании данного метода, что последовательность }{ 1 nG равномерно сходится на  при n к некоторой функции .: 111 FGF n  Рассмотрим для этого ряд ...)(...)()(),,( 1 11 1 1 2 1 0 1 1 1 0 11  nn GGGGGGGS . (22) Его частичные суммы — ,0 1G ,,, 1 1 1 nGG  т.е. совпадают с элементами нашей по- следовательности }.{ 1 nG Так что равномерная сходимость этого ряда эквивалентна равномерной сходимости последовательности }.{ 1 nG Оценим члены ряда. Имеем: ,),,()(),,( 0 13 0 1 1 1 dssGsAsKGG P     ,))((),,( 2 1 1 13 1 11 dsGGsAsKGG nn P nn       ....,3,2n . В силу (20) ),(3120 1 1 1     cdsccGG где c — положительное число, большее, чем любая из величин ,V ,U ,2A ,3PA ,/1  K на множес- тве .},/1,,,,{sup: 32 KAAUVc P  Методом индукции получаем для n-го члена . ! )( ! )( )!1( )( 2 12 1 1221 11 n tc c n s cds n s ccGG n f n n n nnn            Отсюда следует, что на множестве  члены функционального ряда (22) мажори- руются членами сходящегося числового ряда , ! )( 2 1 11 n tc cGG n fnn   что явля- ется достаточным признаком равномерной сходимости ряда (22), а значит, после- довательности }{ 1 nG на  . Равномерная на  , и в частности на отрезке 0 ft при фиксирован- ных  и , сходимость последовательности }{ 1 nG является условием возможности предельного перехода в формуле (21) при .n Переходя к пределу, получаем, что предельная функция последовательности }{ 1 nG ),,(lim),,( 11   n n GF удовлетворяет интегральному уравнению (19), эквивалентному исходной зада- че (16) в части определения .1G В силу единственности ее решения .11 GF  При этом ),,(1 G ограничена на  как предел последовательности ограниченных функций )}.,,({ 1 nG Оценка для 1G доказана. Оценим .2G Подставляя оценку 1G во второе уравнение (17), получаем на : .),,( 4/)(132/)(1 2 cdpecdpcecG pp          Таким образом, оценка 2G тоже доказана. Перейдем к уравнениям, определяющим 3G и 4G : .,/ ,0,/ 444334 342313 mP IGGAGAddG GGAGAddG     54 ISSN 0572-2691 Их эквивалентная интегральная форма имеет вид .),,()(),,(),,(),,( ,),,()(),(),,( 33 1 4 423 dppGpApUUG dppGpApVG P          (23) Оценим .4G Из (23) находим ,),,()(),,(),,(),,( 424 dssGpAsLUG     где ,),()(),,(),,( 3 1 dpspVpApUsL P     .),,( csL  Опять построим последовательные приближения ),,,(),,(0 4  UG dssGsAsLUG nn ),,()(),,(),,(),,( 1 424      , ...,2,1n , и найдем  /)(0 4 ),,(),,( ecUG , ,)(),,( 40 42 0 4 1 4 cdsGsAsLGG     , )!1( )( ))((),,( 12 42 4 1 42 1 44         n tc cdsGGsAsLGG n fnnnn ...,,3,2n где },/1,,,,{sup 32 LAAUVc P  на  . Рассуждая далее по аналогии с предыдущим случаем, получаем: ,)(),,(lim),,( 1 1 44 0 444       n nnn n GGGGG const )!1( )( )( 2 4 1 12 4 1 1 44          ftc n n f n nn ec n tc cGG , значит, ),(),,( /)( 4  ecG что и требовалось доказать. С помощью первого уравнения (23) находим искомую оценку и для :3G const.)]()1([)( /)(13/)( 3      ecdpecccG p Все оценки для компонент G доказаны. 8. Проанализируем теперь весовую матрицу ),,(  первых двух уравне- ний системы (10) и докажем, что компоненты ее представления          42 31 под- чиняются таким же оценкам на множестве , что и :iG ,),,(2,1 c ,),,(3  c .]/)([exp),,(4  cc Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 55 Для этого представим уравнение для ),,(  в виде , )( 4 1 33 1 21            AA AA d d P ,mnI   ,0 ft где ,3 ~ 33 PP AA  )/exp(3  c ; и запишем эквивалентные интеграль- ные уравнения: ,),,()(),,(),,(),,( 334,3 1 4,34,3 dppppGG      (24) .),,()(),,(),,(),,( 134,3 1 2,12,1 dppppGG      (25) Применяя метод последовательных приближений сначала к (24), а затем к (25), легко приходим, как и в случае ,iG к искомым оценкам .i 9. Обратимся к третьему уравнению (10). Для его однородной формы  ddh / hSh  введем весовую матрицу ),,,,( fhG  т.е. такую, что ,/ 1 hhh GSddG  ,qh IG   ,0 ft (26) где qI — единичная матрица .qq Покажем, что на множестве { ,0,0:,,,{ 11  fff t }0 1ff  } .),,,( cG fh  Если  ft , то для каждого та- кого  отрезок интегрирования уравнения (26) 0 разобьем на два:  и 0 . Если же ,0 то этот отрезок возьмем целиком: .0 На рисунке показана область определения ве- совой матрицы hG как функции  и  (за- темненный треугольник). Изучим сначала поведение hG при  ft на первом выделенном отрез- ке . Для таких  и  величину ),,( fhS  запишем в виде ),,,(),,(),,( 0 fSffh SS  где   11 0 T 000 )( FMWSWS fzzz ,)(/)( 11 0 1 0   FMdFMd ff  zzzzhS WWSWSS 0 T 000 [ .)()]( 11 0 T 0 T 0  FMWWS fzzz В силу (13) )/()exp( fS c  и при  ).exp( cS Определим матрицу ),,(0 fG  уравнением ,),,(/ 00 1 0 GSddG f  ,0 qIG   . ft Легко находим: .))(())(( 11 0 1 00   FMFMG ff Привлекая соотно- шение (13), заключаем, что cG f  ),,(0 на .1f – t f – t f –   – [–,  [,  [ ,– 56 ISSN 0572-2691 Теперь на отрезке  уравнение (26) перепишем в виде ,),,(),,(/ 1 0 1 hfShfh GGSddG   qh IG   , или в эквивалентной интегральной форме:  ),,(),,,( 0 ffh GG .),,,(),,(),,( 1 0 dppGppG fhfSf      (27) Для оценки hG на рассматриваемой части отрезка опять применим метод после- довательных приближений: ,0 0 GGh  ,11 00 dpGGGG n hS n h      ...,2,1n . С учетом оценок 0G и S (приняв )/1 c найдем ,)/exp()/exp( 331201 ccdppcGG hh      , ! 1 )()/exp( ! 1 )( 331 n cn n cGG nnn h n h   ...,3,2n . (28) Рассуждая далее привычным образом, получаем, что при n предельная функция hG последовательности }{ n hG удовлетворяет интегральному уравне- нию (27), эквивалентному исходной задаче (26). При этом ),,,( fhG  огра- ничена на ],[  как предел последовательности равномерно ограниченных функций :)},,,({ f n hG  cG f n h  ),,,( на .],[  Константа с в этом неравенстве не зависит от  при ],[  . Но в силу (28) она не зависит также и от f ,, при , ft ,0 1 .0 1ff  Значит, неравенство cG f n h  ),,,( выполняется равномерно на этом множестве. Свойство 9 на ],[  доказано. На оставшихся частях области определения весовая матрица hG подчиняется тому же уравнению (26), в котором при  ft переменная  изменяется в диапазоне 0 и hG удовлетворяет начальному условию  hG ),,,,( fhG  а при 0 переменная  изменяется в пределах 0 и hG удовлетворяет начальному условию .qh IG   Поскольку как в первом, так и во втором случае длина промежутка интегри- рования не превосходит , норма матрицы правой части уравнения имеет оценку cSh 11   , и так как начальные условия для hG ограничены, то ограничено (причем равномерно) и решение уравнения hG на всем промежутке изменения  и всех 10  , 10 ff  . Таким образом, утверждение об ограниченности ),,,( f n hG  на всей об- ласти 1f доказано. Из представленного доказательства следует также, что функции ),,,( f n hG  непрерывны на ,1f и в силу оценки ! 1 )( 31 n ncGG n h n h   , равномерной на ,1f последовательность }{ n h G стремится к hG равномерно на всей области ,1f а зна- чит, предельная функция hG тоже непрерывна на .1f Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 57 10. Исследуем теперь весовую матрицу всей системы (10), но пока без уче- та .O Обозначим ее ),,,( fG  и запишем для нее уравнение: ,, 0 111 1 4 1~ 3 1 21 qmn h hP IGG S AAA AA d dG                      .0 ft Разобьем G на блоки:            hhh zzz yyy GGG GGG GGG G 321 321 321 и докажем, что на множестве :,,,{ ff  ,0 ft 00  , }0 1ff  блоки второго и треть- его столбцов hzkyG ,, )3,2( k удовлетворяют оценкам .),,,(,, cG fhzky  Получим эти оценки сначала для компонент второго столбца .,,2 hzyG Имеем для них дифференциальные уравнения: ,0,/ 222212  yzyy GGAGAddG ,,/ 22242~ 32 mzhhzyPz IGGAGAGAddG   0,/ 22222   hhhzyh GGSGGddG и эквивалентные интегральные уравнения , 00 2 1 42 31 42 31 2 2                                       dp GAIG G hhmz y ,)( 22 1 2       dpGGGG zyhh где ,33  ,3 c или ,),,,()(),,(),,(),,,( 2332 dppGpApG fhhfy     ,),,,()(),,(),,(),,,( 2 1 442 dppGpApG fhhfz       ),,,(2 fhG .]),,,()(),,,()(),,,( 22[ 1 dppGppGppG fzfyfh       Строя последовательные приближения, находим ,3 0 2 yG ,4 0 2 zG ,00 2 hG а для ...,2,1n ,1 2332 dpGAG n hh n y      ,1 2 1 442 dpGAG n hh n z      .)( 1 2 1 2 1 2 dpGGGG n z n yh n h          Оценим нужные величины по норме: ,0 2 cG y  ),( /)(0 2  ecG z ,00 2  h G 58 ISSN 0572-2691 ,0 2 0 23 0 2 1 2 dpGcdpGAGG hhhyy       ,)( 0 2 /)(10 2 1 4 0 2 1 2 dpGecdpGAGG h p hhzz         ,)()( 0 2 0 2 10 2 0 2 10 2 1 2 dpGGcdpGGGGG zyzyhhh          а для ...,3,2n ,)( 2 2 1 2 2 2 1 23 1 22 dpGGcdpGGAGG n h n h n h n hh n y n y          ,)()( 2 2 1 2 /)(12 2 1 2 1 4 1 22 dpGGecdpGGAGG n h n h pn h n hh n z n z                    dpGGGGGGG n z n z n y n yh n h n h )]()([ 2 2 1 2 2 2 1 2 11 22 .)( 2 2 1 2 2 2 1 2 /1 dpGGGGec n z n z n y n y p      Обозначим ,0 2 0 2 0 zy GG  ,0 2 0 hG ,1 22 1 22   n z n z n y n y n GGGG ,1 22  n h n h n GG .,...2,1n Тогда )()( )(/)(0   ecec , 00  , ,)1()1( 1)(1/)(1 dsecdpec nsnpn         ,11/1 dsecdpec nsnpn         , ,...,2,1n где ,/  ,/ ./ ps Усилим эти неравенства: ,0 c ,0  ce ,1dsc nn      ,1dsec nsn      ...,2,1n . Применяя последовательно составленную рекуррентную систему неравенств, можно получить по индукции (выберем :)/1 c , )!( 1 2 1)12(212   nnn e n c , )!1(! 11)22(222    nnn e nn c , )!( 1 2 1)2(22  nnn e n c , )!1(! 11)12(212    nnn e nn c ...,2,1n . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 59 Поэтому ряды ..., )!( 1 ... )!2( 1 ...... 2 1)2(22 2 952420   nnn e n cececc ... )!( 1 ... )!2( 1 ...... 2 1)12(22 2 7312531   nnn e n cecec сходятся. Аналогично сходятся ряды ..., )!1(! 1 ... !2 1 ...... 1)22(22522420     nnn e nn cecce ... )!1(! 1 ... !2 1 ...... 1)12(227312531     nnn e nn cecec Поскольку ряды знакопостоянные, то сходятся и ряды ...210  , ...210  , а следовательно, и ряды  )( 0 ,,2 1 ,,2 0 ,,2 hzyhzyhzy GGG ...)( 1 ,,2 2 ,,2  hzyhzy GG , причем сходимость равномерная на f . Поэтому по- следовательности }{ ,,2 n hzyG тоже равномерно сходятся к соответствующим непрерывным и ограниченным на этой области функциям ),,,,(,,2 fhzyG  являющимися компонентами весовой функции ).,,,( fG  Оценки для hzyG ,,2 доказаны. Действуя по такой же схеме и используя неравенство ,)1( /)(1 cdpe p      можно получить методом последовательных приближений и требуемые оценки :,,3 hzyG ,),,,(,,3 cG fhzy  где c одна и та же для всех f ,,, на рас- сматриваемом множестве их изменения f . 11. Перейдем, наконец, к анализу решения системы для отклонений (10). До- кажем сначала, что оно ограничено на множестве :f ,),,( cy f  ,),,( cz f  .),,( ch f  С этой целью перепишем (10) в интегральной форме                                      t hhh zzz yyy d OzO O GGG GGG GGG h z y h 0 1 321 321 321 2 1 0 или по компонентам:     )(),,,({),,( 12 OGy fy t f f ,)]}()(),,()()[,,,( 2 1 3    dOzOG hffy     )(),,,({),,( 12 OGz fz t f f ,)]}()(),,()()[,,,( 2 1 3    dOzOG hffz     )(),,,({),,( 12 OGh fh t f f .)]}()(),,()()[,,,( 2 1 3    dOzOG hffh 60 ISSN 0572-2691 Из второго интегрального уравнения вытекает ограниченность z на :f cz f  ),,( . Действительно, строя последовательные приближения, находим ,)]([ 2 1 312 0      dOGOGz hzz t f ,])([ 1 32 1 312        dzOGOGOGz n zhzz t n f ...,2,1n ; ,0 3 01      dzOGzz z t f а для ...,3,2n ,)( 21 3 1        dzzOGzz nn z t nn f поэтому ,)1( /10 cdecz ft      ),( !1 12001 f t tcdzczz f      ,)( ! 11211 n f nnn t t n cdzzczz f nn       ...,3,2n . Отсюда следует, что ряд ...)()( 12010  zzzzz сходится (так как мажорируется экспонентой )( Tce  ), а значит, равномерно сходится после- довательность }{ nz , и ее пределом является непрерывная и ограниченная на данной области функция z , служащая решением системы (10). В свою очередь, из первого и третьего интегральных уравнений вытекает ограниченность и непрерывность y и h, что и требовалось доказать. 12. Получим окончательные оценки y , z и .u Сначала рассмотрим величины y и z . Запишем для них уравнения .0,/ ,0,/ 14~ 3 21     f f thP t zOhAzAyAdzd yzAyAdyd В интегральной форме они выглядят так :                               ft h d OhAz y 1 1 42 31 0 или ,)](),,()()[,,(),,( 13     dOhAy fh t f f .)](),,()()[,,(),,( 1 1 4      dOhAz fh t f f Пусть сначала ,0  где 10  — произвольное фиксированное число. Разбивая промежуток интегрирования  ft на две части:  ft и ,  и опираясь на оценки (14), (15) для ,hA найдем Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 61                           21 )/( cdccdAcccdAcy fff t h t h t   543 )ln(]lnln[ cctc f (так как 0ln ln 1      при )0 , где 5c не зависит от f ,, при ,0  ,0 0 .0 1ff  Обозначив 5c снова через c, получим . cy Пусть теперь . ft В этом случае         21 )ln(... cccccdAcy ff t h t или, обозначив ,2 cc  получим . cy Таким образом, мы доказали соотношение  cy f ),,( , равномерное на ,f т.е. с не зависит от f ,, (но, вообще говоря, зависит от ). Если же ,01  ft 1 — произвольный фиксированный момент вре- мени, то нетрудно вывести, что для всех таких  и всех ,0 0 10 ff   cy f ),,( , равномерно при этих ,,, f т.е. c не зависит от f ,, (но, вообще говоря, зависит от ).0 Аналогично поступаем при выводе соотношения для величины :z .)1)(( 1/)(      dAecz h t f При 0       1 1/)( )( cdAecz h t f                    dcc ft ...1           decdecc ft )1()/()1( /)(1 3 /)(1 21 .654 ccc  При  ft      deccz ft )/()1( /)(1 21 .)ln(... 1 4 1 3121       ccccc ft Окончательно на рассматриваемом множестве f .),,( cz f  Если же ,01  ft то при ,0 0 10 ff  .),,(  cz f Искомые оценки для y и z доказаны. Рассмотрим, наконец, асимптотическое отклонение управления :u ),( T 3 T 2 T1T1 fWzPyPBRKxBRu zz   ) ~~~ ( ~~ T 3 T 2 T1T1   zz WPPBRKBRu , 62 ISSN 0572-2691   zPPyPPBRKKxBRuuu z ) ~ () ~ [() ~ (~ 33 T 2 T 2 T1T1  )]( ~~ )( ~ )( ~ 0 T 0 T 0 T 3 T 2 zzz WWfWzPyP ].)( ~~~ )1([ 11 0 T 3 T 2 T1 hFMWzPyPOBR fzz   Ввиду соотношений (12), (13) и )1(Oh  находим ).1()1( 1 )( ~ 11 0 T OOhFMW fz        Следовательно, равномерно на f .),,( cu f  Но при  ft (а зна- чит, и при )1 ft из тех же оценок получаем )1()( ~ 11 0 T OhFMW fz   , и тогда для таких  .),,(  cu f Теорема доказана. Утверждение теоремы сохраняется, если условие 03 Q для блочной матри- цы Q функционала качества (2) заменить условием ,33 dQ  где )(33 tdd  не зависит от . Справедливость этого замечания очевидна, поскольку в этом случае по-прежнему будет ,03003  PP и все полученные выше оценки останутся без изменения. В.Г. Козирєв АСИМПТОТИКА ОДНІЄЇ ОПТИМАЛЬНОЇ ЗАДАЧІ З ДВОМА СИНГУЛЯРНИМИ ПАРАМЕТРАМИ Для задачі оптимізації системи з двома малими сингулярними параметрами до- ведено теорему про рівномірне асимптотичне наближення процесу керування за повільними змінними. V.G. Kozyrev ASYMPTOTIC OF A CERTAIN OPTIMAL PROBLEM WITH TWO SINGULAR PARAMETERS For the optimization problem of the system with two small singular parameters, the theorem on the uniform asymptotic approximation of the control process for slow variables is proved. 1. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оцен- ки и управление. — М. : Мир, 1972. — 544 с. 2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмуще- ний : Науч.-теор. пособие. — М. : Высш. шк., 1990. — 208 с. 3. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления // Дифференциальные уравнения. — 1978. — XIV, № 4. — С. 601–612. 4. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи, связанной с методом штрафных функций // Там же. — 1981. — XVII, № 96. — С. 1574–1580. 5. Козырев В.Г. Об асимптотике системы оптимального управления с двумя малыми сингу- лярно возмущающими параметрами // Динамические системы. Межвед. науч. сб. — 1992. — Вып. 10. — С. 57–63. 6. Kokotovic P.V., Yackel R.A. Singular perturbations of linear regulators: basic theorems // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1972. — 17, N 1. — P. 29–37. Получено 27.12.2012 Статья представлена к публикации чл.-корр. НАН Украины А.М. Гупалом.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207628
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:16:44Z
publishDate	2013
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Козырев, В.Г. 2025-10-10T16:53:50Z 2013 Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами / В.Г. Козырев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 45–58. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207628 517.92 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i7.60 Для задачі оптимізації системи з двома малими сингулярними параметрами доведено теорему про рівномірне асимптотичне наближення процесу керування за повільними змінними. For the optimization problem of the system with two small singular parameters, the theorem on the uniform asymptotic approximation of the control process for slow variables is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами Асимптотика однієї оптимальної задачі з двома сингулярними параметрами Asymptotics of One Optimal Problem with Two Singular Parameters Article published earlier
spellingShingle	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами Козырев, В.Г. Оптимальное управление и методы оптимизации
title	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
title_alt	Асимптотика однієї оптимальної задачі з двома сингулярними параметрами Asymptotics of One Optimal Problem with Two Singular Parameters
title_full	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
title_fullStr	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
title_full_unstemmed	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
title_short	Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
title_sort	асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207628
work_keys_str_mv	AT kozyrevvg asimptotikaodnoioptimalʹnoizadačisdvumâsingulârnymiparametrami AT kozyrevvg asimptotikaodníêíoptimalʹnoízadačízdvomasingulârnimiparametrami AT kozyrevvg asymptoticsofoneoptimalproblemwithtwosingularparameters

Асимптотика одной оптимальной задачи с двумя сингулярными параметрами

Institution

Similar Items