Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра
Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою інтегродиференціальних рівнянь типу Вольтерра. Вважаючи область керування відкритою, виведено необхідну умову оптимальності у формі рівняння Ейлера. При дослідженні другої варіації критерію якості встановлено різні необхідні умови оптимально...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207630 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра / К.Б. Мансимов, М.Дж. Марданов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 75–82. — Бібліогр.: 30 назв. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207630 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мансимов, К.Б. Марданов, М.Дж. 2025-10-10T17:02:03Z 2013 Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра / К.Б. Мансимов, М.Дж. Марданов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 75–82. — Бібліогр.: 30 назв. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207630 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i8.60 Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою інтегродиференціальних рівнянь типу Вольтерра. Вважаючи область керування відкритою, виведено необхідну умову оптимальності у формі рівняння Ейлера. При дослідженні другої варіації критерію якості встановлено різні необхідні умови оптимальності другого порядку, виражені параметрами поставленої задачі. Вивчено випадок виродження аналога умови Лежандра–Клебша. Доведено багатоточкові необхідні умови оптимальності особливих в класичному сенсі керувань. An optimal control problem described by a system of Volterra type integro-differential equations is considered. Under the assumption of openness of the controlled domain, the necessary optimality condition is derived in the form of Euler’s equation. Further, by investigating the second variation of the performance criterion, different necessary optimality conditions of second order expressed by the parameter of the stated problem are established. In particular, the case of degeneration of the analog of Legandre–Klebsh condition is studied. Numerous necessary optimality conditions of singular in the classic sense controls are proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра Необхідні умови оптимальності другого порядку в задачах оптимального керування, описаних системою інтегродиференціальних рівнянь типу Вольтерра Necessary Optimality Conditions of Second Order in Optimal Control Problems Described by a System of Volterra Type Integro-Differential Equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра |
| spellingShingle |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра Мансимов, К.Б. Марданов, М.Дж. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title_short |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра |
| title_full |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра |
| title_fullStr |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра |
| title_full_unstemmed |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра |
| title_sort |
необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа вольтерра |
| author |
Мансимов, К.Б. Марданов, М.Дж. |
| author_facet |
Мансимов, К.Б. Марданов, М.Дж. |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Необхідні умови оптимальності другого порядку в задачах оптимального керування, описаних системою інтегродиференціальних рівнянь типу Вольтерра Necessary Optimality Conditions of Second Order in Optimal Control Problems Described by a System of Volterra Type Integro-Differential Equations |
| description |
Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою інтегродиференціальних рівнянь типу Вольтерра. Вважаючи область керування відкритою, виведено необхідну умову оптимальності у формі рівняння Ейлера. При дослідженні другої варіації критерію якості встановлено різні необхідні умови оптимальності другого порядку, виражені параметрами поставленої задачі. Вивчено випадок виродження аналога умови Лежандра–Клебша. Доведено багатоточкові необхідні умови оптимальності особливих в класичному сенсі керувань.
An optimal control problem described by a system of Volterra type integro-differential equations is considered. Under the assumption of openness of the controlled domain, the necessary optimality condition is derived in the form of Euler’s equation. Further, by investigating the second variation of the performance criterion, different necessary optimality conditions of second order expressed by the parameter of the stated problem are established. In particular, the case of degeneration of the analog of Legandre–Klebsh condition is studied. Numerous necessary optimality conditions of singular in the classic sense controls are proved.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207630 |
| citation_txt |
Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления, описываемых системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра / К.Б. Мансимов, М.Дж. Марданов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 75–82. — Бібліогр.: 30 назв. |
| work_keys_str_mv |
AT mansimovkb neobhodimyeusloviâoptimalʹnostivtorogoporâdkavzadačahoptimalʹnogoupravleniâopisyvaemyhsistemoiintegrodifferencialʹnyhuravneniitipavolʹterra AT mardanovmdž neobhodimyeusloviâoptimalʹnostivtorogoporâdkavzadačahoptimalʹnogoupravleniâopisyvaemyhsistemoiintegrodifferencialʹnyhuravneniitipavolʹterra AT mansimovkb neobhídníumovioptimalʹnostídrugogoporâdkuvzadačahoptimalʹnogokeruvannâopisanihsistemoûíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹtipuvolʹterra AT mardanovmdž neobhídníumovioptimalʹnostídrugogoporâdkuvzadačahoptimalʹnogokeruvannâopisanihsistemoûíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹtipuvolʹterra AT mansimovkb necessaryoptimalityconditionsofsecondorderinoptimalcontrolproblemsdescribedbyasystemofvolterratypeintegrodifferentialequations AT mardanovmdž necessaryoptimalityconditionsofsecondorderinoptimalcontrolproblemsdescribedbyasystemofvolterratypeintegrodifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-26T13:46:54Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:46:54Z |
| _version_ |
1850623605803581440 |
| fulltext |
© К.Б. МАНСИМОВ, М.ДЖ. МАРДАНОВ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 75
УДК 517.977
К.Б. Мансимов, М.Дж. Марданов
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫХ
СИСТЕМОЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
Фундаментальный результат теории необходимых условий оптимальности —
принцип максимума Понтрягина 1 — доказан для различных задач оптимально-
го управления обыкновенными динамическими системами (см., например, 1–14).
Но часто принцип максимума Понтрягина или же его следствия вырождаются и
становятся неэффективными. Такие случаи называются особыми случаями, а со-
ответствующие управления — особыми управлениями 14–16. Особые управле-
ния возникают во многих практических задачах из ракетодинамики, космической
навигации и т.д. (см., например, 15). Кроме того, часто число управлений, выде-
ляемых принципом максимума или же его следствиями, оказывается достаточно
большим. Таким образом, нужно получить необходимые условия оптимальности
второго порядка, позволяющие существенно сузить множество управлений, пред-
положительно оптимальными.
Различные необходимые условия оптимальности второго порядка для задач
оптимального управления, описываемые обыкновенными дифференциальными
уравнениями, получены в 3, 12, 15–19 и других работах разными способами.
В настоящей публикации рассматривается задача оптимального управления,
описываемая системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра и мно-
готочечным критерием качества. Установлен ряд необходимых условий оптимально-
сти второго порядка. Некоторые необходимые условия оптимальности первого по-
рядка, в том числе типа принципа максимума Понтрягина в процессах, описываемые
системой интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, получены в рабо-
тах 2, 8, 20–23 и др.
1. Постановка задачи
Допустим, что управляемый процесс на фиксированном отрезке времени
],[ 10 ttT описывается следующей системой интегродифференциальных урав-
нений типа Вольтерра:
duxtKtutxtftx
t
t
))(),(,,())(),(,()(
0
(1)
с начальным условием
.)( 00 xtx (2)
Здесь ),,,( uxtf ),,,( uxtK — заданные n-мерные вектор-функции, непрерывные
в rn RRT и rn RRTT соответственно вместе с частными производными
по ),( ux до второго порядка включительно, 0t , ,1t 0x заданы, а )(tuu — r-мер-
ный кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва) вектор управляю-
щих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и откры-
того множества ,rRU т.е.
,)( rRUtu .Tt (3)
Такие управляющие функции назовем допустимыми.
76 ISSN 0572-2691
Предполагается, что каждому допустимому управлению )(tu соответствует
единственное непрерывное и кусочно-гладкое (см., например, [20, 21]) реше-
ние )(tx задачи (1), (2).
Если в качестве допустимых управлений взять класс измеримых и ограни-
ченных вектор-функций, то решение задачи (1), (2) будет принадлежать классу
абсолютно непрерывных вектор-функций.
Существование и единственность решения задачи Коши (1), (2) можно дока-
зать известными методиками (см., например, 6, 20, 21).
На решениях задачи (1), (2), порожденных всевозможными допустимыми уп-
равлениями, определим многоточечный функционал
)).(...,),(),(()( 21 kTxTxTxuS (4)
Здесь )...,,,( 21 kaaa — заданная, дважды непрерывно дифференцируемая
в ,knR
скалярная функция, а ],,( 10 ttTi ,,1 ki — заданные точки, причем
.1210 tTTTt k
Допустимое управление, ),(tu доставляющее минимум функционалу (4) при
ограничениях (1)–(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий
процесс ))(),(( txtu — оптимальным процессом.
2. Вычисление первой и второй вариаций
(в классическом смысле) функционала качества
Пусть ))(),(( txtu — фиксированный допустимый процесс. В силу открытости
области управления U «возмущенное» управление можно определить по формуле
),()()( tututu .Tt (5)
Здесь — достаточное малое по абсолютной величине число, а ,)( rRtu ,Tt —
произвольная кусочно-непрерывная r-мерная вектор-функция (допустимая вариа-
ция управления).
Пусть )(tx — специальное приращение траектории ),(tx соответствующее
специальному приращению )()( tutu управления ).(tu
Ясно, что )(tx является решением задачи
]))(),(,())()(),()(,([)( tutxtftututxtxtftx
,))](),(,,())()(),()(,,([
0
duxtKuuxxtK
t
t
(6)
.0)( 0 tx (7)
С помощью (6), (7) по схеме, аналогичной, например, схеме из 15, доказы-
вается следующая лемма.
Лемма. Специальное приращение )(tx траектории )(tx допускает пред-
ставление
),()()( txtxtx (8)
где )(tx (вариация траектории) — решение уравнения в вариациях
)())(),(,()())(),(,()( tututxtftxtutxtftx ux
,)]())(),(,,()())(),(,,([
0
duuxtKxuxtK ux
t
t
(9)
.0)( 0 tx (10)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 77
Введем аналог функции Гамильтона–Понтрягина
,))(),(,,()())(),(,()())(),(),(,(
1
dtutxtKtutxtftttutxtH
t
t
где )(t — n-мерная вектор-функция сопряженных переменных, являющаяся
решением сопряженного уравнения
.
))(...,),((
)())(),(),(,()( 1
1
1
i
k
i
k
i
x
t
t
a
TxTx
tduxHt
(11)
Здесь )(ti — характеристическая функция отрезка ].,[ 0 iTt
Используя (5), (8), специальное приращение критерия качества (4) можем за-
писать
dttuttutxtHuSuuS u
t
t
)())(),(),(,()()(
1
0
)(
))(...,),(),((
)(
2
21
1,
2
j
ji
k
i
k
ji
Tx
aa
TxTxTx
Tx
)())(),(),(,()(2)())(),(),(,()([
1
0
txttutxtHtutxttutxtHtx uxxx
t
t
).(0)]())(),(),(,()( 2
dttuttutxtHtu uu (12)
Из разложения (12), учитывая определение первой и второй вариаций функ-
ционала, следует, что
,)())(),(),(,():(
1
0
1
t
t
u dttuttutxtHuuS (13)
k
ji
j
ji
k
i Tx
aa
TxTxTx
TxuuS
1,
212 )(
))(...,),(),((
)():(
)())(),(),(,()([
1
0
txttutxtHtx xx
t
t
.)]())(),(),(,()()())(),(),(,()(2 dttuttutxtHtutxttutxtHtu uuux (14)
3. Необходимые условия оптимальности
Известно (см., например, 3, 15), что вдоль оптимального процесса первая
вариация функционала качества равно нулю, а вторая неотрицательна.
Из равенства нулю первой вариации (14) функционала качества (4) в силу про-
извольности ,,)( TtRtu r вытекает, что вдоль оптимального управления )(tu
0))(),(),(,( uxHu (15)
для всех ).,[ 10 tt Здесь и в дальнейшем ),[ 10 tt — произвольная точка не-
прерывности управления ).(tu Соотношение (15) является аналогом уравнения Эй-
лера для рассматриваемой задачи и представляет собой необходимое условие опти-
мальности первого порядка. Каждое решение уравнения Эйлера (15) назовем клас-
сической экстремалью.
78 ISSN 0572-2691
Ясно, что оптимальное управление находится среди классических экстрема-
лей. Но число классических экстремалей может оказаться достаточно большим,
поэтому надо иметь дополнительные необходимые условия оптимальности (усло-
вия оптимальности второго порядка), позволяющие сузить множество классиче-
ских особых управлений.
С учетом (14) получаем, что для оптимальности классической
экстремали )(tu в задаче (1)–(4) необходимо, чтобы неравенство
)())(),(),(,()([)(
))(...,),(),((
)(
1
0
1,
21 txttutxtHtxTx
aa
TxTxTx
Tx xx
t
t
k
ji
j
ji
k
i
0)]())(),(),(,()()())(),(),(,()(2 dttuttutxtHtutxttutxtHtu uuux (16)
выполнялось для всех ,)( rRtu .Tt
Неравенство (16) является неявным необходимым условием оптимальности
второго порядка. Поэтому его практическая пригодность невелика. Но с его по-
мощью можно получить ряд необходимых условий оптимальности, явно выра-
женных параметрами задачи (1)–(4).
Решение задачи (9), (10) на основе формулы об интегральном представлении
решений линейных неоднородных интегродифференциальных уравнений Воль-
терра (см., например, [24, 25]) допускает представление
,)(),()(
0
dutQtx
t
t
(17)
где ),( tQ — )( nn матричная функция, определяемая формулой
.))(),(,,(),())(),(,(),(),( dsuxsKstFuxftFtQ u
t
u
Здесь ),( tF — аналог матрицы Коши, являющийся решением задачи
,))(),(,,(),())(),(,(),(),(
duxsKstFuxftFtF x
t
x (18)
EttF ),( (E — )( nn -единичная матрица).
Пусть по определению
),(
))(...,),(),((
),()()(),( 21
1,
sTQ
aa
TxTxTx
TQssM j
ji
k
iji
k
ji
.),())(),(),(,(),(
1
),(max
dtstQttutxtHtQ xx
t
s
(19)
Теорема 1. (Необходимое условие оптимальности второго порядка.) Для оп-
тимальности классической экстремали )(tu в задаче (1)–(4) необходимо, чтобы
неравенство
dttuttutxtHtuddssusMu uu
t
t
t
t
t
t
)())(),(),(,()()(),()(
1
0
1
0
1
0
0)(),())(),(),(,()(2
11
0
dttudtQuxHu ux
t
t
t
t
(20)
выполнялось для всех ,)( rRtu .Tt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 79
Доказательство. Используя представление (17), получаем, что
)(
))(...,),(),((
)( 21
1,
j
ji
k
i
k
ji
Tx
aa
TxTxTx
Tx
.)(),(
))(...,),((
),()()()( 1
2
1,
1
0
1
0
ddssusTQ
aa
TxTx
TQus j
ji
k
iji
k
ji
t
t
t
t
(21)
Далее, используя теорему Фубини, получаем, что
dttxttutxtHtu ux
t
t
)())(),(),(,()(
1
0
.)(),())(),(),(,()(
11
0
dttudtQuxHu ux
t
t
t
t
(22)
Наконец, аналогично работам 19, 26 следует, что
dttxttutxtHtx xx
t
t
)())(),(),(,()(
1
0
dtdssustQttutxtHdutQ
t
t
xx
t
t
t
t 00
1
0
)(),())(),(),(,()(),(
.)(),())(),(),(,(),()(
11
0
1
0 ,max
dsdsudtstQttutxtHtQu xx
t
s
t
t
t
t
(23)
Принимая во внимание тождества (21)–(23) и учитывая обозначение (19) в не-
равенстве (17), приходим к соотношению (20).
Этим теорема доказана.
Непосредственным результатом теоремы 1 является ее следствие.
Следствие. Для оптимальности классической экстремали )(tu в задаче (1)–(4)
необходимо, чтобы неравенство
0))(),(),(,( vuxHv uu (24)
выполнялось для всех rRv и ).,[ 10 tt
Соотношение (24) является аналогом условия Лежандра–Клебша для рас-
сматриваемой задачи.
Изучим случай вырождения аналога условия Лежандра–Клебша.
Определение. Если для всех rRv и ),[ 10 tt
,0))(),(),(,( vuxHv uu (25)
то )(tu назовем особым в классическом смысле управлением.
Перейдем к выводу необходимых условий оптимальности особых в класси-
ческом смысле управлений. Пусть )(tu — особое в классическом смысле управ-
ление. Специальную вариацию управления )(tu определим по формуле
).,,;,();(
1
iii
m
i
vtutu
(26)
Здесь m — произвольное натуральное число, ,0i ,,1 mi — произволь-
ные числа, ,ri Rv ,,1 mi — произвольные векторы, ),,[ 10 tti ,,1 mi —
80 ISSN 0572-2691
произвольные точки непрерывности функции )(tu такие, что ...3210 t
,... 1tm 0 — достаточно малое произвольное число такое, что ,1t
а ),,;,( iii vtu — классическая игольчатая вариация управления ),(tu опре-
деляемая формулой
).,[\,0
),,[,
),,;,(
iii
iiii
iii
Tt
tv
vtu
(27)
Суммирование вариаций (27) управления )(tu определяется следующим об-
разом (см., например, 27, 28).
Если ,21 то суммой вариаций ),,;,( 111 vtu и ),,;,( 222 vtu
считается вариация управления )(tu вида
).)1(,[\,0
),)(,[,
),,[,
);(
211
211112
1111
Tt
tv
tv
tu
Если же 21 ),( 21 то суммой вариаций ),,;,( 111 vtu и ),,;,( 222 vtu
считается вариация управления )(tu вида
).,[\,0
),,[,
),,[,
);(
2
1
2122
1111
iii
i
Tt
tv
tv
tu
Подобным образом суммирование классически игольчатых вариаций (27) управ-
ления )(tu распространяется на любое конечное число вариаций управления )(tu .
Учитывая (26), из неравенства (20) после некоторых преобразований получа-
ем, что
jjiiji
m
j
m
i
vMv ),(
11
2
.0)(0),(2),())(),(,( 2
1
11
jijj
i
j
iiiiiiiuxii
m
i
QvvQuxHv (28)
Из неравенства (28) в силу произвольности 0 следует утверждение.
Теорема 2. Для оптимальности особого в классическом смысле управления
)(tu в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы для любого натурального чис-
ла m неравенство
jjiiji
m
ji
vMv ),(
1,
0),(2),())(),(),(,(
1
11
jjij
i
j
iiiiiiiiuxii
m
i
vQvQuxHv (29)
выполнялось для всех ,ri Rv ,,1 mi ,0i ,,1 mi ),,[ 10 tti ,,1 mi
)....( 110 tt m
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 81
Необходимое условие оптимальности (29) относится к классу многоточечных
необходимых условий оптимальности особых в классическом смысле управлений
и позволяет существенно сузить множество управлений предположительно опти-
мальными 18, 19, 26–29.
Непосредственным результатом теоремы 2 является следующее утверждение.
Теорема 3. Для оптимальности особого в классическом смысле управле-
ния )(tu необходимо, чтобы неравенство
0)],())(),(),(,(),([ vQuxHMv ux (30)
выполнялось для всех ,rRv ).,[ 10 tt
Необходимое условие оптимальности (30) представляет собой аналог усло-
вия Габасова–Кирилловой из 30.
Как видно, многоточечное необходимое условие оптимальности (29) в силе
также при вырождении аналога условия Габасова–Кирилловой (30).
К.Б. Мансімов, М.Дж. Марданов
НЕОБХІДНІ УМОВИ ОПТИМАЛЬНОСТІ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ В ЗАДАЧАХ
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ, ОПИСАНИХ
СИСТЕМОЮ ІНТЕГРОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ ТИПУ ВОЛЬТЕРРА
Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою інтегродифе-
ренціальних рівнянь типу Вольтерра. Вважаючи область керування відкритою,
виведено необхідну умову оптимальності у формі рівняння Ейлера. При дослід-
женні другої варіації критерію якості встановлено різні необхідні умови опти-
мальності другого порядку, виражені параметрами поставленої задачі. Вивчено
випадок виродження аналога умови Лежандра–Клебша. Доведено багатоточко-
ві необхідні умови оптимальності особливих в класичному сенсі керувань.
K.B. Mansimov, M.J. Mardanov
NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS OF
SECOND ORDER IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS
DESCRIBED BY A SYSTEM OF VOLTERRA TYPE
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS
An optimal control problem described by a system of Volterra type integro-dif-
ferential equations is considered. Under the assumption of openness of the controlled
domain, the necessary optimality condition is derived in the form of Euler’s equation.
Further, by investigating the second variation of the performance criterion, different
necessary optimality conditions of second order expressed by the parameter of the
stated problem are established. In particular, the case of degeneration of the analog
of Legandre–Klebsh condition is studied. Numerous necessary optimality conditions
of singular in the classic sense controls are proved.
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая тео-
рия оптимальных процессов. — М. : Наука, 1969. —
2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. —
Минск : Наука и техника, 1974. — 272 с.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.
— 432 с.
4. Hestenes M.R. Calculus of variations and optimal control theory. — N.Y. : Wiley, 1966. —
460 p.
82 ISSN 0572-2691
5. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. — Тбилиси.: Изд-во ТГУ, 1977. —
356 с.
6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М. : Факториал, 1998. — 812 с.
7. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. — Н.: Наука, 1987. —
226с.
8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнени-
ями. — М. : Наука, 1977. — 624 с.
9. Матвеев А.А., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. — СПб. : Изд-
во С.-Петербургского ун-та, 1994. — 364 с.
10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М. : Наука, 1974. — 480 с.
11. Моисеев Н.А. Элементы теории оптимальных систем. — М. : Наука, 1975. — 526 с.
12. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. — М. :
Наука, 1988. — 359 с.
13. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М. : Наука, 1969. — 151 с.
14. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. 1–3 //
Автоматика и телемеханика. — 1959. — 20, № 10. — С. 1320–1334; 21, № 11. —
С. 1441–1456; 22, № 12. — С. 1561–1578.
15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. — М. : Наука, 1973. —
256 с.
16. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быст-
родействия // Математический сборник. — 1976. — 100 (142), № 4 (8). — С. 610–643.
17. Марданов М.Дж. Исследование оптимальных процессов с запаздываниями при наличии
ограничений. — Баку : ЭЛМ, 2010. — 190 с.
18. Меликов Т.К. Особые управления в системах с последействием. — Баку : ЭЛМ, 2002. — 188 с.
19. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. — Баку : ЕЛМ, 1999. — 174 с.
20. Васильев Ф.П. Об условиях существования седловой точки в детерминированных играх
для интегро-дифференциальных систем с запаздыванием нейтрального типа // Автоматика
и телемеханика. — 1972. — № 2. — С. 31–45.
21. Васильев Ф.П. Об условиях существования седловой точки в детерминированных интегро-
дифференциальных играх с запаздыванием при наличии параметров // Журн. вычисл. ма-
тематики и мат. физики. — 1970. — № 1. — С. 32–43.
22. Марданов М.Дж., Гасанов К.К. Условия оптимальности для систем интегродифференци-
альных уравнений с запаздыванием // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. —
1972. — № 3. — С. 114–119.
23. Меликов Т.К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах : Авто-
реф. дисс. … канд. физ.-мат. наук. — Баку, 1976. — 16 с.
24. Эйдельман С.Д., Чикрий А.А., Руренко А.Г. Линейные интегродифференциальные игры
сближения // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 2. — С. 5–19.
25. Ведь Ю.А., Пахыров З. Об ограниченности и устойчивости решений интегродифференци-
альных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. —
1969. — 5, № 11. — С. 2050–2061.
26. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления система-
ми Гурса–Дарбу. — Баку : ЭЛМ, 2010. — 360 с.
27. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. — Мн. : Изд-во БГУ, 1981. — 400 с.
28. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым кон-
цом траектории // Дифференциальные уравнения. — 1975. — № 10. — С. 1761–1773.
29. Срочко В.А. Многоточечные условия оптимальности для особых управлений // Численные
методы анализа (прикладная математика). — Иркутск : ИГУ, 1976. — С. 43–50.
30. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности высокого по-
рядка // Дифференциальные уравнения. — 1970. — № 4. — С. 665–676.
Получено 08.10.2012
|