Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье
Побудованo ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких класів рядами Фур’є та отримано оцінки їх похибок. Запропоновані алгоритми використовують для обчислення коефіцієнтів Фур’є оптимальні за точністю та близькі до них квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих ф...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207632 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, В.А. Людвиченко, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640889186451456 |
|---|---|
| author | Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Людвиченко, В.А. Мельникова, С.С. |
| author_facet | Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Людвиченко, В.А. Мельникова, С.С. |
| citation_txt | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, В.А. Людвиченко, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Побудованo ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких класів рядами Фур’є та отримано оцінки їх похибок. Запропоновані алгоритми використовують для обчислення коефіцієнтів Фур’є оптимальні за точністю та близькі до них квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій.
Effective with respect to accuracy algorithms for functions of some classes approximation by Fourier series are constructed and estimates of their errors are obtained. The proposed algorithms use for Fourier coefficients calculation optimal by accuracy and close to them quadrature formulas for computing integrals of quickly oscillating functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:21:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.К. ЗАДИРАКА, Е.Н. КОЛОМЫС, Л.В. ЛУЦ, В.А. ЛЮДВИЧЕНКО, С.С. МЕЛЬНИКОВА, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 93
УДК 519.65; 517.518.45; 519.644
В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц,
В.А. Людвиченко, С.С. Мельникова
ЭФФЕКТИВНЫЕ ПО ТОЧНОСТИ
АЛГОРИТМЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЯДАМИ ФУРЬЕ
Задача аппроксимации функции ),(xf которая задана своими значениями в N
точках отрезка ],[ ll и принадлежит некоторому классу функций, для многих задач
вычислительной и прикладной математики является промежуточной, но достаточно
важной. Особенно если вычислять ее значение с заданной точностью трудно или во-
обще невозможно, например, функция )(xf имеет сложное аналитическое выра-
жение или задана своими значениями как результат эксперимента. В такой ситуации
естественно вместо функции )(xf использовать некоторую другую функцию — S(x),
которая достаточно «близка» к ),(xf но имеет более простой аналитический вид
(например, сплайн, полином Лагранжа, Эрмита, ряд Фурье и т.п.) [1–6].
Один из самых известных способов решения этой задачи — аппроксимация
функций рядами Фурье [2, 3] вида
,sincos
2
)()(
1
0
k
kk
l
xk
b
l
xk
a
a
xSxf (1)
где ,1,0,, Nkba kk — коэффициенты ряда Фурье, которые определяются со-
отношениями
,,3,2,1,0,cos)(
1
ndx
l
xk
xf
l
a
l
l
k ,sin)(
1
l
l
k dx
l
xk
xf
l
b .,3,2,1 n (2)
Погрешность аппроксимации выразим
.)()(max)()(
],[
)(1
xSxfxSxfE
llx
Fxf
(3)
Особенно активно аппроксимация функций рядами Фурье применяется,
например, в задачах цифровой обработки сигналов, при построении математиче-
ских моделей объектов управления непрерывных производственных процессов,
при решении многих задач математической физики и т. п. Но на практике для вы-
числения коэффициентов разложения в ряд Фурье очень редко можно воспользо-
ваться формулами Эйлера–Фурье (1), (2) непосредственно, поскольку функции
Fxf )( обычно задаются не аналитически, а таблицей своих значений. В этих
условиях для определения коэффициентов Фурье необходимо использовать при-
ближенные методы вычисления интегралов, которые, как правило, могут не обес-
печивать заданную точность.
Предложены эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций
Fxf )( из некоторых классов F с помощью рядов Фурье с использованием для
определения коэффициентов Фурье оптимальных по точности на классах F и близ-
ких к ним квадратурных формул вычисления интегралов от быстроосциллирую-
щих функций [4, 5]. Рассматриваются следующие классы функций F:
94 ISSN 0572-2691
,LC — класс функций, определенных на ],,[ ll которые удовлетворяют
условию Гельдера с константой L и показателем , 10 : )()( xfxf
,
xxL ];,[, llxx
LC — класс функций Липшица (класс ,, LC );1
,1,, rW Lr — класс функций, которые имеют )1( r -ю кусочно-непрерыв-
ную производную и при этом .)()1(
L
r Cxf
«Потенциальную разрешающую способность» квадратурных формул вычис-
ления коэффициентов Фурье можно повысить с помощью сужения классов F
подынтегральных функций. Практически важным является рассмотрение случая,
когда 1
0}{ N
ix и 1
0
1
0 )}({}{ N
i
N
i xff фиксированы (например, случай, когда
функция задана таблицей значений из ее области определения). Такой способ
представления исходной информации ведет к значительному сужению соответ-
ствующего класса F на интерполяционные классы ,NF которые определяются
принадлежностью классу F и еще по меньшей мере N2 фиксированными числа-
ми: ix и ),( ixf ,1,0 Ni и приближает нас к реальной ситуации, которая воз-
никает при решении конкретной задачи. Класс NF представляет собой множество
функций из F, которые интерполируют заданную функцию в узлах ,ix
.1,0 Ni Использование для вычисления коэффициентов Фурье оптимальных
по точности
на классах NF и близких к ним квадратурных формул вычисления интегралов от
быстроосциллирующих функций позволяет повысить качество предложенных
алгоритмов аппроксимации функций рядами Фурье.
Рассматриваются следующие классы функций :NF
NLC , — класс функций LC с заданными фиксированными значениями if
в узлах фиксированной сетки ,ix 1,0 Ni ;
NLW ,,2 — класс функций LW ,2 с заданными фиксированными значениями
if в узлах фиксированной сетки ,ix .1,0 Ni
Следует отметить, что для получения оценок снизу погрешности численного
интегрирования на классах подынтегральных функций F можно использовать ме-
тод «шапочек» [6]. Для построения и обоснования оптимальных по точности
и близких к ним квадратурных формул определения kk ba , в классах NF целесо-
образно применять метод граничных функций [4, 5].
Известно [2], что в приведенных выше классах функций ряд Фурье сходится,
поскольку выполняются известные признаки сходимости (Липшица, Дирихле), по-
этому можно утверждать, что периодическую с периодом l2 функцию Fxf )(
можно представить рядом Фурье (1), (2).
Пусть функция Fxf )( на отрезке ],[ ll задана N своими значениями
1
0}{ N
if в некотором наборе узловых точек
1
0}{ N
ix из ее области определения. В ра-
ботах [4, 5, 7] приведены оценки полных погрешностей вычисления ka~ и kb
~
с помощью квадратурных формул, которые рассматриваются ниже. Обозначим
эти погрешности как
kaV и .
kbV
На практике, как правило, функцию )(xf аппроксимируют конечными ча-
стичными суммами Фурье вида
,sin
~
cos~
2
~
),(
1
0
n
k
kkn
l
xk
b
l
xk
a
a
fxS (4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 95
где ,1,0,
~
,~ Nkba kk — приближенные значения коэффициентов ряда Фурье.
В этом случае погрешность аппроксимации состоит из двух частей: погреш-
ности, которая возникает в результате использования конечного количества чле-
нов ряда, и погрешности, возникающей в результате приближенного вычисления
коэффициентов. Оценим ее следующим образом:
),()(max),()(),,(
],[
)(1
fxSxffxSxfnNFEE n
llx
Fxf
n
1
0
],[
)(
sincos
2
max
k
kk
llx
Fxf l
xk
b
l
xk
a
a
n
k
kk
l
xk
b
l
xk
a
a
1
0 sin
~
cos~
2
~
n
k
ba
a
n
l
xk
V
l
xk
V
V
fR
kk
1
sincos
2
)( 0 ,)(
2
)(
1
0
n
k
ba
a
n kk
VV
V
fR (5)
где ,~max),(
],[
)(
kk
llx
Fxf
aa aaNFVV
kk
kk
llx
Fxf
bb bbNFVV
kk
~
max),(
],[
)(
— погреш-
ности приближенного вычисления коэффициентов ,1,0,, Nkba kk )( fRn —
остаток ряда Фурье при переходе от бесконечной суммы (1) к конечной сумме (4).
Для классов NF справедливо соотношение, аналогичное (5):
),()(max),()(),}{,}{,(
],[
)(1
1
0
1
0 fxSxffxSxfnfxFEE n
llx
Fxf
n
N
i
N
iN
N
1
0
],[
)(
sincos
2
max
k
kk
llx
Fxf l
xk
b
l
xk
a
a
N
n
k
kk
l
xk
b
l
xk
a
a
1
0 sin
~
cos~
2
~
n
k
ba
a
n
n
k
ba
a
n kkkk
fR
l
xk
l
xk
fR
11
),(
2
)(sincos
2
)( 00 (6)
где
,~max)}{,}{,(
],[
)(
1
0
1
0 kk
llx
Fxf
N
i
N
iNaa aafxF
N
kk
kk
llx
Fxf
N
i
N
iNbb bbfxF
N
kk
~
max)}{,}{,(
],[
)(
1
0
1
0
— погрешности приближенного вычисления коэффициентов ,ka ,kb .1,0 Nk
В настоящей работе получены оценки E предложенного подхода к аппрокси-
мации )(xf с использованием для вычисления коэффициентов Фурье оптималь-
ных по точности и близких к ним квадратурных формул вычисления интегралов
от быстроосциллирующих функций из указанных выше классов функций F и NF
и приведены соответствующие квадратурные формулы.
Аппроксимация функций из класса Гельдера
Теорема 1. Пусть периодическая с периодом l2 функция ,)( , LCxf
],,[ llx аппроксимируется рядом Фурье вида (4), где коэффициенты ka~ и kb
~
вычисляются с помощью оптимальных по порядку точности при lnN / квад-
ратурных формул средней точки вида
96 ISSN 0572-2691
2/1
2/1
1
0
,1
2/1
2/1
1
0
,1
,...,2,1,0,sin)(
,...,2,1,0,cos)(
x
x
N
b
x
x
N
a
kxdx
l
k
fkR
kxdx
l
k
fkR
(7)
где ),( xff , xx ,1 xxx ,2/2/1 xxx 2/1x
,2/1 xx ,1,0 N ,01 x ,0 lx .2/11 lxx NN
Тогда погрешность аппроксимации
,
)2(
212
)(
)2/1(
)(
1)()(
2
)( 3
2
1
1
0
,
Nl
n
C
n
C
CVV
V
fRE
n
k
ba
a
nC kkL
(8)
где /)(1 LlC , ,
)1(
1
)(2
C ,
1
)2(
)(
1
3
ClL
C константа C опреде-
ляется соотношением ./2max NClx
Доказательство. 1. Для нахождения остатка )( fRn используем формулу для
частичной суммы ряда Фурье, которая имеет название интеграл Дирихле [2]:
.
2
sin2
)2/1(sin
)(
1
),(
l
l
n dt
l
t
l
t
n
txf
l
fxS (9)
Из (9) и из того, что все частичные суммы )1,(xSn функции 1)( xf равня-
ются единице, следует равенство
.
2
sin2
)2/1(sin
1
1
l
l
dt
l
t
l
t
n
l
(10)
Умножив обе части (10) на )(xf и отняв от (9), получим
,
2
sin2
)2/1(sin
)]()([
1
)(),(
l
l
n dt
l
t
l
t
n
xftxf
l
xffxS (11)
отсюда имеем
.
2
sin2
)2/1(sin
)()(
1
)(),()(
l
l
nn dt
l
t
l
t
n
xftxf
l
xffxSfR
Поскольку ,LCf и zz
2
sin для ,],[ z zz sin для ]1,0[z
и ,1sin z получим
l
l
l
l
n dt
t
l
t
n
t
L
dt
l
t
l
t
n
t
l
L
fR
)2/1sin(
2
2
)2/1(sin
)(
)2/1(
0
)2/1(
)2/1(
sin
)2/1(
sin
)2/1(2
nn
n
du
u
u
u
n
Ll
du
u
u
u
n
Ll
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 97
)2/1(
1
1
0
sin
)2/1(
sin
)2/1(
n
du
u
u
u
n
Ll
du
u
u
u
n
Ll
)2/1(
1
1
1
0 )2/1()2/1(
n
duu
n
Ll
duu
n
Ll
1)2/1(
)1(
1
)21(
n
n
Ll
)2/1(
1
)1(
1
1
n
Ll
,
)2/1(
)(
1)( 2
1
n
C
C (12)
где ,)(1
Ll
C .
)1(
1
)(2
C
2. Для погрешностей вычисления коэффициентов ряда Фурье имеем следу-
ющие оценки [4]:
,,,
)2(
)(3 bai
Nl
C
V
ki
где ,
1
)2(
)(
1
3
lCL
C .
2
max
N
lC
x
(13)
Применив к соотношению (5) оценки (12), (13) неравенства ,1cos z
,1sin z получим оценку (8).
Теорема 1 доказана.
Аппроксимация функций из класса Липшица
Рассмотрим сначала аппроксимацию рядами Фурье функций из класса Лип-
шица .LC Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть периодическая с периодом l2 функция ,)( LCxf
],,[ llx аппроксимируется рядом Фурье вида (4), где коэффициенты ka~ и kb
~
вычисляются с помощью оптимальных по порядку точности при lnN / квад-
ратурных формул вида (7). Тогда погрешность аппроксимации имеет вид
2
0 1
2
22
22
4
sin
1
4
8
ln2ln4 N n
k
C
l
xk
k
lx
l
L
nn
nLl
E
L
,))()((
4
sincos
1
1,1,
1
2
2/12/1
n
k
ba
N kPkP
x
l
xk
l
xk
(14)
где
,
2
sin
2
sin
2
sin)( 11
11,
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
l
kP NN
Na
,
2
sin
2
cos
2
cos)( 11
11,
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
l
kP NN
Nb
.1 xxx
Доказательство. 1. Поскольку LCxf )( — периодическая с периодом ,2l
то ее производную )(xf также можно разложить в ряд Фурье. Обозначим коэф-
фициенты разложения через ,ka kb и найдем их
98 ISSN 0572-2691
l
l
l
l
l
l
k
l
xk
k
xf
l
xk
dxf
k
dx
l
xk
xf
l
a sin
)(
sin)(
1
cos)(
1
,sin)(
1
sin)(
1
k
l
l
l
l
b
k
l
dx
l
xk
xf
k
dx
l
xk
xf
k
отсюда имеем ....,3,2,1,
kb
k
l
a kk Аналогично ....,3,2,1,
ka
k
l
b kk
Рассмотрим :)( fRn
.cossinsincos)(
11
nk
kk
nk
kkn
l
xk
b
l
xk
a
k
l
l
xk
b
l
xk
afR (15)
В (15) с правой стороны в скобках стоит k-й член ряда, сопряженного с ря-
дом Фурье производной ).(xf Введем частичную сумму )(~~ xkk
1
cossin
km
mm
l
xm
b
l
xm
a этого ряда и проведем в (15) замену
:~~cossin 1 kkkk
l
xk
b
l
xk
a
.)~~()(
1
1
nk
kkn
k
l
fR (16)
Оценим величину .~
k В [2] доказано соотношение
.
2
sin2
)2/1(cos
2
cos
)]()([
1
)(~
0
l
k dt
l
t
l
t
k
l
t
txftxf
l
x
Поскольку ,)( LCxf то .)( Lxf Следовательно, имеем
ll
k dt
l
t
l
tk
l
tk
l
L
dt
l
t
l
t
k
l
t
l
L
x
00
2
sin2
2
1
sin
2
sin
4
2
sin2
2
1
cos
2
cos
2
)(~
2/)1(
000
sin
2
2
1
sin
2
2
sin2
2
1
sin
4
kll
du
u
u
Ldt
l
t
l
tk
l
L
dt
l
t
l
tk
l
L
).1ln(ln2
2
)1(
ln1222
2/)1(
1
1
0
kL
k
L
u
du
LduL
k
(17)
Раскрыв скобки в (16) и перегруппировав члены, перейдем к ряду
.~
1
11
)1(
~
)(
1
nk
k
n
n
kk
l
n
l
fR (18)
Данный переход справедлив, поскольку
.0
ln
lim2
)1ln(ln2
lim
~
lim
k
k
L
k
kL
k kk
k
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 99
Используя (16), получим
.)1ln(ln
1
11
1
1lnln2
)(
1
nk
n k
kkn
nLl
fR
В [2] доказано, что ./)2(lnln
1
11
1
nk
nnk
kk
Следовательно, окон-
чательно имеем
.
ln2ln41ln2ln1lnln2
)(
nn
nLl
nn
n
n
nLl
fRn (19)
Оценка остатка доказана.
2. Рассмотрим ,
kaV
kbV :...),3,2,1( k
1
0
1
0
2/1
2/1
2/1
2/1
cos)(
1
cos
1
cos)(
1 N x
x
x
x
Nl
l
a dxx
l
k
fxf
l
dx
l
xk
f
l
dx
l
xk
xf
l
V
k
2
0
1
0
2/12/1
2/1
coscossign)(cos
N x
x
N x
x
dx
l
xk
l
xk
xx
l
L
dx
l
xk
xx
l
L
N
N
x
x
N
x
x
dx
l
xk
l
xk
xx
l
L
dx
l
xk
l
xk
xx
1
1
2/1
coscossign)(coscossign)( 11
2
0
2/121 coscossin
2
cossign
N
x
l
k
x
l
k
k
l
x
l
kx
k
l
l
xk
l
L
2/112/1 coscossin
2
cossign x
l
k
x
l
k
k
l
x
l
kx
k
l
l
xk
11
1 coscossincossign NNNN
N x
l
k
x
l
k
k
l
x
l
k
x
k
l
l
xk
l
L
2
0
2/112/122
coscoscoscoscossign
1 N
x
l
k
x
l
k
x
l
k
x
l
k
l
xk
k
Ll
2
sin
2
sin
2
sincossign 11
1
1 NN
NNN
N x
l
kx
x
l
k
k
l
x
l
k
x
l
xk
k
L
.)(
4
sincos
4
1,
2
0
22/1
22
2
kP
l
xk
l
xk
k
l
l
L
a
N
Аналогично имеем
2/1
2/1
sin
1
sin)(
1 1
0
x
x
Nl
l
b dx
l
xk
f
l
dx
l
xk
xf
l
V
k
.)(
4
sinsin
4
1,
2
0
22/1
22
2
kP
l
xk
l
xk
k
l
l
L
b
N
Для
0aV получаем
100 ISSN 0572-2691
1
0
1
0
2/1
2/1
2/1
2/1
0
)(
11
)(
1 N x
x
x
x
Nl
l
a dxfxf
l
dxf
l
dxxf
l
V
2
0
1
1
0
1
2/1
2/12/1
2/1
)()(
N x
x
x
x
N x
x
dxxxdxxx
l
L
dxxx
l
L
.
24
)( 1
2
2
0
2
1
1
N
Nx
x
N x
l
L
x
l
L
dxxx
l
L N
N
Окончательно имеем
2
0 1
2
22
22
1 4
sin
1
4
8
sincos
2
0
N n
k
n
k
ba
a
l
xk
k
lx
l
L
l
xk
V
l
xk
V
V
kk
.))()((
4
sincos
1
1
2
2/12/1
n
k
ba
N kPkP
x
l
xk
l
xk
(20)
Применив к соотношению (5) оценки (19), (20), получим оценку (14).
Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Легко показать, что если 1
0}{ N
ix — равномерная сетка
,( xx ,/1 Nx ),1,0 N то оценки ,
kaV ,
kbV ,...,3,2,1k имеют вид [4]
,)(
1
1,
kP
Nl
L
V iik
,, bai где ,
sin
2
sin
2
sin
2
)(1,
N
k
lN
k
lN
k
k
k
l
k
l
kPa
,
cos
2
sin
2
cos
2
)(1,
N
k
lN
k
lN
k
k
k
l
k
l
kPb
а погрешность аппроксимации
(14) примет вид
.))()((
2
4
1
4
1ln2ln4
1
1,1,2
n
k
baC kPkP
N
n
NNl
L
nn
nLl
E
L
Замечание 2. На практике, как правило, достаточно использовать оценки ,
ki
V
,, bai записанные с точностью до главного члена относительно величины :/1 N
,
lN
L
V
ki
., bai Тогда погрешность аппроксимации запишем
.
4
12ln2ln4
n
lN
L
nn
nLl
E
LC
Сузим рассмотренный класс функций Липшица LC на класс ., NLC Для это-
го класса в [4] построены оптимальные по точности при lnN / квадратурные
формулы вида
,...,3,2,1,sin)()(
,...,2,1,0,cos)()(
1
0
*
2,2
1
0
*
2,2
1
1
kxdx
l
k
xfkR
kxdx
l
k
xfkR
N x
x
b
N x
x
a
(21)
где
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 101
],,[
,
,
,),(sign)(
,,
)(
1
11
11
*
2
NN
NNN
xxx
xxxf
xxxf
xxxfxxLf
xxxf
xf (22)
,
22
1
L
fxx
x
,
22
1
L
fxx
x
.1 fff
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть периодическая с периодом l2 функция ,)( LCxf ],,[ llx
аппроксимируется рядом Фурье вида (4), где коэффициенты ka~ и kb
~
вычисляют-
ся с помощью оптимальных по точности при lnN / квадратурных формул ви-
да (21), (22). Тогда погрешность аппроксимации
2
0
2
22
88
ln2ln4
,
N
C
L
fx
l
L
nn
nLl
E
NL
l
xxk
Ll
fk
l
xk
k
l n
k 2
)(
cos
4
sin
4
sin
1
4 1
1
22
22
2
,))()((
42
)(
sin
1
2,2,
1
2
1
n
k
ba
N kPkP
x
l
xxk
(23)
где
,1 fff ,
2
sin
2
sin
2
sin)( 11
12,
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
l
kP NN
Na
.
2
sin
2
cos
2
cos)( 11
12,
l
xk
l
xk
k
k
l
kx
k
L
kP NN
Nb
Доказательство. 1. Оценка остатка
nn
nLl
fRn
ln2ln4
)( доказана
в п. 1 теоремы 2 (см. (19)).
2. В [4, 5] получены следующие оценки погрешности приближенного вычис-
ления коэффициентов ka~ и kb
~
...),3,2,1( k по формулам (21), (22) в
случае :/ lnN
.)(sin
4
sin
4
sin
4
,)(cos
4
sin
4
sin
4
2,
2
0
2/122
22
2
2,
2
0
2/122
22
2
kP
l
xk
Ll
fk
l
xk
k
l
l
L
kP
l
xk
Ll
fk
l
xk
k
l
l
L
b
N
b
a
N
a
k
k
(24)
Для
0a имеем
1
0
*
2
1
0
*
2
2/1
2/1
1
0
)()(
1
)(
1
)(
1 N x
x
N x
x
l
l
a dxxfxf
l
dxxf
l
dxxf
l
2
0
1
1
)(
22
)(
N x
x
x
x
x
x
dxxxdx
L
fx
dxxx
l
L
102 ISSN 0572-2691
.
24
)( 1
2
2
0
2
2
2
1
1
N
Nx
x
N x
l
L
L
f
x
l
L
dxxx
l
L N
N
(25)
С учетом (24), (25) имеем
2
0
2
22
1 88
)(
2
0
Nn
k
ba
a
L
fx
l
L
kk
l
xxk
Ll
fk
l
xk
k
l n
k 2
)(
cos
4
sin
4
sin
1
4 12
1
2
22
2
.))()((
42
)(
sin
1
2,2,
1
2
1
n
k
ba
N kPkP
x
l
xxk
(26)
Применив к соотношению (6) оценки (19), (26), получим оценку (23).
Теорема 3 доказана.
Аппроксимация функций Wr,L , W2,L , W2,L ,N
Теорема 4. Пусть периодическая с периодом l2 функция ,)( , LrWxf ,1r
],,[ llx аппроксимируется рядом Фурье вида (4), где коэффициенты ka~ и kb
~
вычисляются с помощью оптимальных по порядку точности при lnN /
квадратурных формул вида
l
l
b
l
l
a
kxdx
l
k
xSR
kxdx
l
k
xSR
,...,2,1,0,sin)()(
,...,2,1,0,cos)()(
,3
,3
(27)
где )(xS — полиномиальный сплайн степени r на сетке 10: xxl
lxN [4, 8, 9]. Тогда погрешность аппроксимации
,
2/12
)(
1
)1(
4
)(
2
)(
1
1
0
, rr
n
k
ba
a
nW
lN
n
rC
nr
lL
VV
V
fRE
kkLr
(28)
где ,
48!
)1,1()2(
,
14!
)1,1(
min)(
12
1
12
r
r
r r
rrBL
r
rrLB
rC )1,1( rrB — интеграл
Эйлера первого рода .
!)!12()2/1(2
!
)1,1(
1
rr
r
rrB
r
Доказательство. 1. Поскольку LrWxf ,)( и периодическая с периодом ,2l то
ее производные )()( xf m
)1,1( rm также можно разложить в ряд Фурье. Коэффи-
циенты разложения обозначим ,
)(m
k
a .
)(m
k
b В [2] доказаны следующие соотношения:
при :21 jr ,)1(
1
)1(
r
r
kj
k
k
a
a ,)1(
1
)1(
r
r
kj
k
k
b
b (29)
при :121 jr ,)1(
1
)1(
1
r
r
kj
k
k
b
a .)1(
1
)1(
1
r
r
kj
k
k
a
b (30)
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, представим коэф-
фициент ряда Фурье
)1( r
ka в виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 103
l
l
r
l
l
rr
k l
xk
dxf
k
dx
l
xk
xf
l
a sin)(
1
cos)(
1 )1()1()1(
,)(sin
1
)(sin
1
sin)(
1 )1()1()1(
l
l
r
l
l
r
l
l
r xfd
l
xk
k
xfd
l
xk
kl
xk
xf
k
откуда получим следующую оценку для коэффициента :
)1( r
k
a
.
2
sinmax
2
)(sin
1
],[
)1()1(
k
lL
l
xk
k
lL
xfd
l
xk
k
a
llx
l
l
rr
k
Аналогично можно доказать оценку для коэффициента :
)1( r
k
b .
2)1(
k
lL
b
r
k
Воспользовавшись формулами (29), (30), получим следующие оценки:
,
2
rk
k
lL
a
.
2
rk
k
lL
b
Поскольку ,)()(
1
nm
mmn bafR то .
14
)(
1
nm
rn
m
lL
fR
Воспользовавшись неравенством ,
1
)1(
11
1
1
r
nm
r nrm
получим
.
1
)1(
4
)(
1
rn
nr
lL
fR (31)
2. В работах [4, 5] доказано, что
rbra
lN
rCV
lN
rCV
kk
1
)(,
1
)( при .
l
k
N
(32)
Применив к соотношению (5) оценки (31), (32) и неравенства ,1cos z
,1sin z получим оценку (28).
Теорема 4 доказана.
Замечание 3. В случае 2r ))(( ,2 LWxf для вычисления коэффициентов
ka~ и kb
~
целесообразно применить оптимальные по порядку точности квадратур-
ные формулы вида ,cos)()( 3,4
l
l
a dxx
l
k
xSR ,sin)()( 3,4
l
l
b dxx
l
k
xSR где
)(3 xS — кубический эрмитов сплайн, ,)(3 ii fxS ,)(3 ii fxS .,0 Ni
Известно [5, 7, 9], что )(3 xS на отрезке ],[ 1ii xx можно записать в виде
,)()()()()( 1431213 iiii fhtfhtftftxS
где ),21()1()( 2
1 ttt ),23()( 2
2 ttt ,)1()( 2
3 ttt ),1()( 2
4 ttt
,1 iii xxh ./)( ii hxxt
В этом случае оценки (32) примут вид [5, 7]
,
4
2sin
2
1
16 2
k
l
k
l
N
L
V
ka ,
4
2sin
2
1
16 2
k
l
k
l
N
L
V
kb (33)
а погрешность аппроксимации запишем
104 ISSN 0572-2691
n
k
W
l
xk
k
l
k
l
N
L
N
L
n
lL
E
L
1
22
cos
4
2sin
2
1
1632
14
,2
22 16
/)2(
32
14
sin
4
2sin
2
1
N
lLn
N
L
n
lL
l
xk
k
l
k
l
.
1
2
12
16
14
2N
lnL
n
lL
(34)
Сузим класс функций LW ,2 на класс .,,2 NLW Рассмотрим случай, когда
функция NLWxf ,,2)( задана таблицей значений функции N
if 0}{ и ее первой
производной N
if 0}{ в узлах заданной сетки .}{ 0
N
ix Для этого случая (при выпол-
нении определенных условий, которые налагаются на функцию NLWxf ,,2)(
и ее производные) в [4, 5] построены оптимальные по точности при lnN /
квадратурные формулы вида
...,,3,2,1,sin)()(
...,,2,1,0,cos)()(
1
0
*
5,5
1
0
*
5,5
1
1
kdxx
l
k
xfkR
kdxx
l
k
xfkR
N x
x
b
N x
x
a
(35)
где
,],[
],,[),(
,
~~),(
,
~~~],)())[((sign
4
)]()([
2
1
,~),(
)(
1
1111
1111
2
1
2
111
5
NN
NNNNN
xxx
xxxxxff
xxxxxff
xxxxxxxf
L
xxffxxff
xxxxxff
xf
(36)
,
22
~ 1
L
fxx
x
,
22
~ 1
L
fxx
x
.1 fff
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть периодическая с периодом l2 функция ,)( ,,2 NLWxf
],,[ llx аппроксимируется рядом Фурье вида (4), где коэффициенты ka~ и kb
~
вы-
числяются с помощью оптимальных по точности при lnN / квадратурных фор-
мул вида (35), (36). Тогда погрешность аппроксимации определяется соотношением
,)(
2
)(
1
0
,,2
n
k
ba
a
nW kkNL
fRE
где
,
14
)(
n
lL
fRn
(37)
,
324432
1
3
1
22
222
0
0
N
N
a
xff
xf
L
f
L
fxx
l
L
(38)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 105
Ll
fk
l
xk
xx
l
k
k
Ll N
ak 4
sin
4
sin)(
2
sin
2
22
1
2
0
]2)()[(sign
4
cos
4
)(
4
1
22
fffxf
Ll
fk
L
fx
,)(cossign
4
sin)(
2
cos 5,1 kPx
l
k
Ll
fk
xx
l
k
a
...,,3,2,1k (39)
15, cossign)( Na x
l
k
kP
,sinsin
2
sincos
2
12
2
11
NNN x
l
k
kkxkx
k
l
Ll
fk
l
xk
xx
l
k
k
Ll N
bk 4
sin
4
sin)(
2
cos
2
22
1
2
0
]2)([)(sign
4
cos
4
)(
4
1
22
fffxf
Ll
fk
L
fx
,)(sinsign
4
sin)(
2
sin 5,1 kPx
l
k
Ll
fk
xx
l
k
b
...,,3,2,1k (40)
15, sinsign)( Nb x
l
k
kP
,coscos
2
cossin
2
12
2
11
NNN x
l
k
kkxkx
k
l
,1 xxx .1 fff
Доказательство. 1. Оценку остатка (37) получим из (31) при .2r
2. Оценки (39), (40) погрешности приближенного вычисления коэффициентов
ka~ и kb
~
...),3,2,1( k по формулам (35), (36) в случае lnN / доказаны в [4].
Для
0a имеем
2
0 ~~
2
1
~
2
1
0
*
5
11
0
)()(
2
1
)(
1
)(
1 N x
x
x
x
N x
x
l
l
a dxxxdxxx
L
l
dxxf
l
dxxf
l
2
0
~~
~
2
1
2 ))()((
4
N x
x
dxxxxx
L
2
0
~~
~
11 )()(sign
2
1 N
i
x
x
dxxfxfxfff
2
0
33
2
1
22226
1
)(
2
1
Nx
x
N
L
fx
L
fxL
l
dxxx
L N
N
3
)~~~(
2
)~~~)()((sign
2
1 1
3
22
11
Nx
xx
f
xxxfxfff
106 ISSN 0572-2691
.
324432
1
32
0
1
22
22
N
N xff
xf
L
f
L
fxx
l
L
Следовательно, теорема 5 доказана.
Замечание 4. В [5] построены оптимальные по точности квадратурные фор-
мулы вычисления коэффициентов Фурье функций NLWxf ,,2)( с использова-
нием разных информационных операторов и без дополнительных условий на зна-
чение функции и ее производной, а также приведены оптимальные оценки по-
грешности метода. Используя их в задачах аппроксимации функций рядами
Фурье, можно получить результаты, аналогичные теореме 5.
Замечание 5. Важное значение имеет качество оценок ,
kaV
kbV и ,
ka ,
kb
поскольку их «завышенность» может привести к увеличению объема вычисли-
тельных ресурсов, необходимых для решения задачи (4) или даже к невозможно-
сти ее решения. Часто это качество зависит от констант, которые описывают
класс F (например, L) и входят в оценки погрешности метода. Если они завыше-
ны, то полезно применять алгоритмы выявления и уточнения априорной инфор-
мации [1, 5]. Поскольку для вычисления ka и kb
~
используются оптимальные по
точности и близкие к ним квадратурные формулы, то оценки погрешности метода
,
kaV
kbV и ,
ka
kb достаточно высокого качества.
Для более точного оценивания полной погрешности аппроксимации необхо-
димо учитывать погрешность округления и неустранимую погрешность предло-
женных алгоритмов [1, 4, 5]. Следует отметить, что целесообразно также получать
и экспериментальную оценку методом тестирования [10, 11]. Для этого необхо-
димо решить задачу (4) с одинарной и двойной разрядностью. Модуль разницы
этих решений дает более точную оценку, чем априорные аналитические оценки.
В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц,
В.О. Людвиченко С.С. Мельникова
ЕФЕКТИВНІ ЗА ТОЧНІСТЮ
АЛГОРИТМИ АПРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЙ
ДЕЯКИХ КЛАСІВ РЯДАМИ ФУР’Є
Побудованo ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких
класів рядами Фур’є та отримано оцінки їх похибок. Запропоновані алгоритми
використовують для обчислення коефіцієнтів Фур’є оптимальні за точністю та
близькі до них квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосци-
люючих функцій.
V.K. Zadiraka, E.N. Kolomys, L.V. Luts,
V.A. Ljudvichenko, S.S. Melnikova
EFFECTIVE WITH RESPECT TO ACCURACY
ALGORITHMS FOR FUNCTIONS OF SOME CLASSES
APPROXIMATION BY FOURIER SERIES
Effective with respect to accuracy algorithms for functions of some classes approxi-
mation by Fourier series are constructed and estimates of their errors are obtained.
The proposed algorithms use for Fourier coefficients calculation optimal by accuracy
and close to them quadrature formulas for computing integrals of quickly oscillating
functions.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 107
1. Задірака В.К., Бабич М.Д., Березовський А.І. та ін. Т-ефективні алгоритми наближеного
розв’язання задач обчислювальної та прикладної математики. — Тернопіль : Збруч,
2003. — 261 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 3. — М. :
Физматлит, 2001. — 662 с.
3. Stepanets A.I. Methods of approximation theory. — Leiden; Boston : VSP, 2005. — 919 p.
4. Задирака В.К., Мельникова С.С. Цифровая обработка сигналов. — Киев : Наук. думка,
1993. — 294 с.
5. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх за-
стосування / І.В. Cергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин, С.С. Мельникова, О.П. Не-
чуйвітер. — Т. 1. Алгоритми. — 447 с.; Т. 2. Застосування. — Киев : Наук. думка, 2011. —
346 с.
6. Бахвалов Н.C. Численные методы. — М. : Наука, 1973. — 632 с.
7. Луц Л.В. Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоос-
цилюючих функцій // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 671–682.
8. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М. : Мир, 1972.
— 316 с.
9. Корнейчук. Н.П. Сплайны в теории приближения — М. : Наука, 1984. — 352 с.
10. Алгоритмические и компьютерные средства обеспечения заданного качества решения за-
дач прикладной математики / В.К. Задирака, М.Д. Бабич, А.И. Березовский, П.М. Бесараб,
В.А. Людвиченко // УСиМ. — 2008. — № 5. — C. 3–12.
11. Бабич М.Д., Задирака В.К., Людвиченко В.А., Сергиенко И.В. Об использовании резервов
оптимизации вычислений в компьютерных технологиях решения задач прикладной и вы-
числительной математики с требуемыми значениями характеристик качества. // Журн.
вычисл. математики и мат. физики. — 2010. — 50, № 12. — С. 2285–2295.
Получено 25.10.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207632 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:21:47Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Людвиченко, В.А. Мельникова, С.С. 2025-10-10T17:11:19Z 2013 Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, В.А. Людвиченко, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 93–101. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207632 519.65; 517.518.45; 519.644 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i7.30 Побудованo ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких класів рядами Фур’є та отримано оцінки їх похибок. Запропоновані алгоритми використовують для обчислення коефіцієнтів Фур’є оптимальні за точністю та близькі до них квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. Effective with respect to accuracy algorithms for functions of some classes approximation by Fourier series are constructed and estimates of their errors are obtained. The proposed algorithms use for Fourier coefficients calculation optimal by accuracy and close to them quadrature formulas for computing integrals of quickly oscillating functions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких класів рядами Фур’є Efficient Accuracy Algorithms for Function Approximation of Certain Classes by Fourier Series Article published earlier |
| spellingShingle | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Людвиченко, В.А. Мельникова, С.С. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье |
| title_alt | Ефективні за точністю алгоритми апроксимації функцій деяких класів рядами Фур’є Efficient Accuracy Algorithms for Function Approximation of Certain Classes by Fourier Series |
| title_full | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье |
| title_fullStr | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье |
| title_full_unstemmed | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье |
| title_short | Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье |
| title_sort | эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами фурье |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207632 |
| work_keys_str_mv | AT zadirakavk éffektivnyepotočnostialgoritmyapproksimaciifunkciinekotoryhklassovrâdamifurʹe AT kolomysen éffektivnyepotočnostialgoritmyapproksimaciifunkciinekotoryhklassovrâdamifurʹe AT luclv éffektivnyepotočnostialgoritmyapproksimaciifunkciinekotoryhklassovrâdamifurʹe AT lûdvičenkova éffektivnyepotočnostialgoritmyapproksimaciifunkciinekotoryhklassovrâdamifurʹe AT melʹnikovass éffektivnyepotočnostialgoritmyapproksimaciifunkciinekotoryhklassovrâdamifurʹe AT zadirakavk efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíideâkihklasívrâdamifurê AT kolomysen efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíideâkihklasívrâdamifurê AT luclv efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíideâkihklasívrâdamifurê AT lûdvičenkova efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíideâkihklasívrâdamifurê AT melʹnikovass efektivnízatočnístûalgoritmiaproksimacíífunkcíideâkihklasívrâdamifurê AT zadirakavk efficientaccuracyalgorithmsforfunctionapproximationofcertainclassesbyfourierseries AT kolomysen efficientaccuracyalgorithmsforfunctionapproximationofcertainclassesbyfourierseries AT luclv efficientaccuracyalgorithmsforfunctionapproximationofcertainclassesbyfourierseries AT lûdvičenkova efficientaccuracyalgorithmsforfunctionapproximationofcertainclassesbyfourierseries AT melʹnikovass efficientaccuracyalgorithmsforfunctionapproximationofcertainclassesbyfourierseries |