Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом

Наведено алгоритм синтезу системи стабілізації триланкового колісного транспортного робота, що розглядається як керована механічна система з неголономними зв’язками. Описано алгоритм синтезу слідкуючої системи, в якому корекція програмного сигналу не пов’язана з операцією диференціювання. Ефективніс...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2013
Main Author:	Ларин, В.Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Subjects:	Роботы и системы искусственного интеллекта
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207637
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 139–146. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859809074256805888
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
citation_txt	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 139–146. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Наведено алгоритм синтезу системи стабілізації триланкового колісного транспортного робота, що розглядається як керована механічна система з неголономними зв’язками. Описано алгоритм синтезу слідкуючої системи, в якому корекція програмного сигналу не пов’язана з операцією диференціювання. Ефективність запропонованих алгоритмів показано на прикладі. The algorithm of synthesis of stabilization system of the three links wheeled transport robot, which is considered as controlled mechanical system with nonholonomic constraints, is presented. The synthesis algorithm of tracking system in which, the correction of a program signal is not connected with operation of differentiation is considered. Efficiency of the offered algorithms is shown on the example.
first_indexed	2025-12-07T15:17:47Z
format	Article
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 139 РОБОТЫ И СИСТЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА УДК 621.865.5:007.52 В.Б. Ларин ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ ПРОГРАММНОЙ ТРАЕКТОРИИ КОЛЕСНЫМ ТРАНСПОРТНЫМ РОБОТОМ Введение Среди различных задач управления механическими объектами (см., напри- мер, [1–3]) важное место занимают задачи управления механическими системами с неголономными связями [4]. К этому классу систем относятся и колесные транспортные роботы (ТР) [5–8]. Естественно, что для такого рода устройств ак- туальна проблема повышения маневренности. В этой связи можно отметить зада- чи создания многозвенных механических систем, принцип передвижения которых аналогичен принципу передвижения змеи [9]. С другой стороны, повышение ма- невренности ставит задачу повышения качества отслеживания программной тра- ектории [10]. Ниже рассмотрена (в кинематическом приближении) задача управ- ления трехзвенным колесным ТР с двумя рулевыми колесами. Приведено реше- ние задачи стабилизации ТР и задачи синтеза следящей системы. Существенно, что алгоритм коррекции программного сигнала, который обеспечивает повыше- ние качества слежения, не включает процедуры дифференцирования программно- го сигнала. Для иллюстрации алгоритмов рассмотрен пример. Уравнения движения Найдем в кинематическом приближении уравнения, описывающие движе- ние ТР (рис. 1). Рулевые колеса расположены на первом и третьем звеньях, их повороты определяются углами ., 31  Углы, которые образуют звенья ТР с осью OX, обо- значены 321 ,,  соответственно. Скорости точек dcba ,,, выражены ,aV ,bV ., dc VV Скорость центра второго звена (точки )1O обозначена .1OV Длины звеньев (расстояния между точками крепления колес) равны соответственно .,2, 321 LLL Оче- видно, что кинематические соот- ношения, описывающие движе- ние отдельных звеньев этого ТР, аналогичны соотношениям, опи- сывающим движение ТР, изобра- женного на рис. 2 (крайние зве- нья ТР, изображенного на рис. 1), и ТР, изображенного на рис. 3 (центральное звено). L3 2L2 L1 d 3 2 1 Va a b c Vc Vb 1 Vd O1 y x 0 V01 3 Рис. 1 140 ISSN 0572-2691  Va y x 0 B  V A Рис. 2 Соотношения, описывающие движение ТР, изображенного на рис. 2, имеет вид (см., например, [6, 11]) ,cosVx ,sinVy ,)/(  tgLV (1) V — скорость точки B, L — длина отрезка AB,  — угол поворота рулевого коле- са,  — угол, образующий отрезок AB с осью OX. Движение устройства, изображенного на рис. 3, описывается следующими соотношениями [11]: );2( )(sin2 12 cpmcppcmm L Vxo      );2( )(sin2 12 smmsppspm L Vyo      (2) );(sin 21 smm );(sin 21 spp );(sin 21 spm );(cos 21 cpm );(cos 21 cpp ).(cos 21 cmm Здесь yoxo VV , — проекции скорости точки O на оси OX, OY соответственно, 2L — длина отрезка AB, 21, — углы, которые образуются вектором скоростей то- чек BA, с отрезком AB соответственно,  — угол, который образует отрезок AB с осью OX. Пополним (2) соотношениями, связывающими скорости BA VV , и скорость точки O ).,( yoxo VV Проекция )( LV скорости точки O на направлении отрезка AB определяется соотношением .sincos  yoxoL VVV (3) В точках BA, имеют место аналогичные соотношения: ,cos 1 AL VV (4) .cos 2 BL VV (5) Отметим, что углы 21, (рис. 3) в обозначениях, принятых на рис. 1, определя- ются следующим образом: ,211  .232  (6) Соотношения (1)–(6) позволяют записать (в кинематическом приближении) урав- нения движения ТР, изображенного на рис. 1. Приняв в качестве обобщенных ко- 1 Va y x 0 B  VB A 2 O Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 141 ординат углы 321 ,,  и декартовую координату y точки ,1O можно записать в кинематическом приближении уравнения движения ТР, изображенного на рис. 1. Так, для первого звена последнее соотношение (1), определяющее ,1  можно пе- реписать следующим образом: .tg 1 1 1          L Vb (7) Фигурирующая в (7) скорость bV выражается 2,, yoxo VV : . )(cos sincos 21 22    yoxo b VV V (8) Таким образом, соотношения (7), (8) описывают движение первого звена ТР, изображенного на рис. 1. Аналогичные соотношения можно записать и для третьего звена ТР, исполь- зуя (3), (5), (6): ,tg 3 3 3  L Vc (9) . )(cos sincos 23 22    yoxo c VV V Зависимость 2  определяется первым соотношением (2), а именно: . )2( )(sin2 2 31 2 cpmcppcmmL Vxo    (10) Принимаем, что определяющие скорости поворота рулевых колес управляющие воздействия 31, uu связаны с 31,  следующим образом: ,11 uVxo .33 uVxo (11) Значит, соотношения (2), (7), (9)–(11) описывают в кинематическом приближении движение трехзвенного ТР с двумя рулевыми колесами, изображенного на рис. 1. Упрощающие предположения Как отмечено в [12], в ряде задач управления ТР можно произвести декомпо- зицию общей задачи синтеза системы управления на задачу синтеза, рассматрива- емую в кинематическом приближении, и задачу управления скоростью движения ТР. Отметим, что в приведенных выше уравнениях движения ТР скорость xoV входит как свободный параметр. Предположим, аналогично тому, как это сделано в [7, 8, 12], что в процессе движения ТР 0xoV (это естественно накладывает ограничения на допустимые значения величин углов ).,,,, 31321  Такое предположение позволяет понизить порядок системы, если выбрать в качестве не- зависимой переменной координату x. В этом случае имеем (штрих означает диф- ференцирование по x): , 2 2 cpmcppcmm smmsppspm dx dy y    , )(cos tg)sin(cos 211 1221 1      L y dx d 142 ISSN 0572-2691 , )(cos tg)sin(cos , )2( )(sin2 233 3223 3 2 212 2           L y xd d cpmcppcmmLxd d (12) ,1 1 1 u xd d    .3 3 3 u xd d    Преобразуем систему (12), продифференцировав 1 и 3 по x: , 2 2 cpmcppcmm smmsppspm y    ,11  (13) , )2( )(sin2 2 21 2 cpmcppcmmL    ,33  где 31,  — линейные функции 31, uu (аналогичные соотношения (см. (13)) [11]): . cos)(cos sincos )(cos sincos , cos)(cos sincos )(cos sincos 3 2 3 233 22 233 22 3 1 3 1 2 1 211 22 211 22 3 1 1                                       u L y L y u L y L y j j j j j j (14) Отметим, что углы поворотов рулевых колес 31, определяются 1 и 3 со- гласно второму и четвертому уравнениям системы (12). Предполагая малыми углы 321 ,,  , линеаризуем систему (13), введя фазо- вый вектор .][ T 33211  yz Здесь и далее верхний индекс «Т» означает транспонирование, линеаризованный вариант системы (13) можно записать так: ,BUAzz  (15) , 000000 100000 02/1002/10 000000 000100 02/1002/10 22                   LL A , 10 00 00 01 00 00                 B .][ T 21 U Задача стабилизации Задача стабилизации движения трехзвенного ТР вдоль оси OX формулиру- ется следующим образом. Необходимо найти управляющие воздействия 31, uu как функции текущего значения фазовых координат, которое обеспечивало бы асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (12). В этой связи рассмотрим задачу синтеза системы стабилизации для систе- мы (15). В этом случае для нахождения U (далее согласно (14) определению. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 143 ), 31 uu можно использовать стандартные процедуры решения линейной квадра- тичной (ЛК) задачи (см., например, [13]). Систему (15) будем оптимизировать в соответствии с квадратичным критерием ,)( TT 0 dxRUUQzzJ    (16) где симметричные матрицы Q, R заданы. Как известно (см., например, [13], в сформулированной ЛК-задаче оптимальный (минимизирующий (16)) регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы, определя- ется соотношением ,KzU  .T1 SBRK  (17) В (17) симметричная матрица S является стабилизирующим решением матрично- го алгебраического уравнения Риккати (АУР): .0T1T   QSBSBRSASA (18) Как уже отмечалось, соотношение (17) позволит определить 31, uu согласно (14) и таким образом получить решение задачи стабилизации системы. Синтез следящей системы Используя подход [11], обобщим приведенную выше задачу стабилизации, а именно, рассмотрим задачу синтеза следящей системы. Предположим, как и в [11], что заданы программные значения ))(),(( 2 xxy  обобщенных координат ., 2y По аналогии с [11] модифицируем алгоритм стабилизации (17), (18) следующим образом: ),( zzKU  ],00)(00)([ 2 T xxyz  (19) где матрица K определяется соотношениями (17), (18). Как и в [11], будем пред- полагать, что y и 2 являются медленно меняющимися функциями x. Другими словами, предполагается, что спектр функций y и 2 лежит в области низких ча- стот, где погрешность воспроизведения выходом системы (15), (19) (обобщенны- ми координатами ))(),( 2 xxy  входного воздействия ),(),( 2 xxy  в основном, обусловлена только фазовым запаздыванием. При сделанных предположениях рассмотрим вопрос повышения качества слежения. С этой целью запишем пере- даточную функцию между 2, y и 2, y для системы (15), (19). Итак, имеем ,][ T 21  yBz . 001000 000001 T 1     B Таким образом, передаточная функция ))(( sH между T 2 ][ y и T 2 ][ y имеет вид ,)()( 1 pC BAIsCsH  , is (20) ,1 TBC  ,BKAAC  I — здесь и далее единичная матрица соответствующего размера. При малых зна- чениях  соотношение (20) можно упростить: .)()()( 11111 pCCpCC BAsAICBAIsACsH   Приняв во внимание, что IBCA pC 1 , можно записать ,)( sIsH  .2 pC BCA (21) 144 ISSN 0572-2691 Для компенсации искажений воспроизведения выходом системы программных сиг- налов необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией )(sHk такой, что .)()( IsHsH k  С учетом (21) в качестве )(sHk можно принять матрицу , 1 1)( 2221 1211             ss ss k ee eesIsH (22) где ij — элементы матрицы , определяемой (21). Таким образом, для компенсации искажений на вход системы необходимо пода- вать программный сигнал, модифицированный в соответствии с (22), т.е. сигнал ,][ T 2mmy  компоненты которого определяются следующими соотношениями: ).()()()( ),()()()( 222212 122211   xxyxyx xxxyxy m m (23) Другими словами, для повышения качества слежения в (19) нужно заменить век- тор z на вектор ,]0000[ T 2mmm yz  в котором компоненты, отличные от ну- ля, определяются (23). Отметим, что процедура (23) преобразования программно- го сигнала не содержит операции дифференцирования. Пример Проиллюстрируем на примере описанные выше алгоритмы. Принимаем сле- дующие значения длин звеньев ТР, изображенного на рис. 1: ,21 L .132  LL Начнем с рассмотрения задачи стабилизации. Считаем, что движение ТР описывается системой (15), а матрицы RQ, в (16) имеют вид ,IR  , 000000 011000 013010 000000 001010 000001                     qQ .102q Отметим, что этой матрице Q соответствует квадратичная форма ).)()(( 2 32 2 21 2 2 2T  yqQzz При этих исходных данных получено следующее значение матрицы K, определя- емой (17), (18): . 5,344214,299016,29610,19261,79463,3881 0,19260,22925,86835,163013,34699,4086       K Этому значению матрицы K соответствуют следующие собственные значения матрицы ,CA определяемой (20): ,4271,08308,012 i ,0047,21924,234 i .5041,22305,256 i Судя по собственным значениям, синтезированный регулятор (матрица K) должен обеспечить удовлетворительное качество переходных процессов в замкнутой системе. Используя полученное решение задачи синтеза системы стабилизации, рас- смотрим задачу синтеза следящей системы. Итак, пусть ТР необходимо отслежи- вать в соответствии с (19), программный сигнал z , компоненты которого опреде- ляются следующими соотношениями: , 10 cos12)(         xxy .0)(2  x При при- нятых исходных данных фигурирующая в (21) матрица  имеет вид Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 4 145 , 1,13980,4226 0,7321 1,6579       (24) т.е. ,6579,111  ,7321,012  ,4226,021  .1398,122  Начнем с рассмотрения случая, когда алгоритм следящей системы определя- ется (19), т.е. не используется коррекция программного сигнала, определяе- мая (23). Приведем результаты моделирования. Для моделирования движения ТР используем нелинейные уравнения (13), которые охвачены цепью обратной свя- зи (19) (для интегрирования системы (13), (19) использовалась процедура ode45.m пакета MATLAB). Результаты моделирования движения такой системы при нуле- вых начальных условиях приведены на рис. 4. Здесь y — сплошная линия, y — штриховая , 2 — штрих-пунктирная. На рис. 5 приведены значения погрешностей ),( 2 yy воспроизведения программных значений обобщенными координатами y и .2 На этом рисунке yy  — сплошная линия, 2 — штриховая. Судя по этим графикам, при такой цепи обратной связи погрешности воспро- изведения программного сигнала довольно значительны. Для оценки эффективности предлагаемого алгоритма компенсации искаже- ний (23) повторим указанное выше моделирование движения ТР, однако цепь обратной связи будем синтезировать, базируясь на соотношениях (23), (24). Ре- зультаты моделирования приведены на рис. 6, погрешности воспроизведения про- граммных сигналов — на рис. 7. Обозначения на этих рисунках совпадают с при- нятыми на рис. 4, 5 соответственно. Результаты, приведенные на этих рисунках, позволяют говорить о суще- ственном повышении качества слежения. Так, сравнивая рис. 5 и рис. 7, можно констатировать уменьшение погрешностей в 5–7 раз. 0 5 10 15 20 25 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 2,, yy x 4 Рис. 4 0 5 10 15 20 25 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x 2,, yy Рис. 6 0 5 10 15 20 25 – 1 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2,  yy x Рис. 5 0 5 10 15 20 25 – 0,2 – 0.15 – 0,1 – 0,05 0 0,05 0,1 0,15 x 2,  yy Рис. 7 146 ISSN 0572-2691 Заключение Предложен алгоритм синтеза системы стабилизации трехзвенного колесного ТР с двумя рулевыми колесами, который рассматривается как управляемая меха- ническая система с неголономными связями. Рассмотрен алгоритм синтеза сле- дящей системы, в котором, для повышения качества слежения, программный сиг- нал подается с соответствующим опережением, т.е. коррекция программного сиг- нала не связана с операцией дифференцирования. Эффективность предлагаемых алгоритмов показана на примере. В.Б. Ларін ПРО ВІДСТЕЖУВАННЯ ПРОГРАМНОЇ ТРАЄКТОРІЇ КОЛІСНИМ ТРАНСПОРТНИМ РОБОТОМ Наведено алгоритм синтезу системи стабілізації триланкового колісного транс- портного робота, що розглядається як керована механічна система з неголоном- ними зв’язками. Описано алгоритм синтезу слідкуючої системи, в якому корек- ція програмного сигналу не пов’язана з операцією диференціювання. Ефектив- ність запропонованих алгоритмів показано на прикладі. V.B. Larin ABOUT TRACKING OF A PROGRAM TRAJECTORY BY THE WHEELED TRANSPORT ROBOT The algorithm of synthesis of stabilization system of the three links wheeled transport robot, which is considered as controlled mechanical system with nonholonomic con- straints, is presented. The synthesis algorithm of tracking system in which, the cor- rection of a program signal is not connected with operation of differentiation is con- sidered. Efficiency of the offered algorithms is shown on the example. 1. Goncharenko V.I. Canonical description of the control system in the shimmy problem for the landing gear wheels of an aircraft // Int. Appl. Mech. — 2011. — 47, N 2. — P. 215–224. 2. Aliev F.A., Larin V.B. Stabilization problems for a system with output feedback // Ibid. — 2011. — 47, N 3. — P. 225–267. 3. Antonuk E.Ya., Zabuga A.T. Modelling the maneuvering of a vehicle // Ibid. — 2012. — 48, N 4. — P. 447–457. 4. Bloch A.M. Nonholonomic mechanics and control // Interdisciplinary Applied Mathematics, 24. Systems and Control. — New York : Springer-Verlag, 2003. — 483 p. 5. Guldner J., Utkin V.I. Stabilization of nonholonomic mobile robots using Lyapunov functions for navigation and sliding mode control // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision Control. — 1994. — P. 2967–2972. 6. Murray R.M., Sastry S.S. Nonholonomic motion planning: steering using sinusoids // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — 38, N 5. — P. 700–716. 7. Рапопорт Л.Б. Оценка области притяжения с заданным показателем экспоненциальной устойчивости в задаче управления колесным роботом // Прикл. математика и механика. — 2007. — 71, вып. 2. — С. 250–258. 8. Морозов Ю.В., Рапопорт Л.Б. Численные методы оценки области притяжения в задаче управления колесным роботом // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 1. — С. 16–29. 9. Chernousko F.L. Snake-Like locomotions of multilink mechanisms // Journal of Vibration and Control. — 2003. — 9. — P. 235–256. 10. Chauhan A.P.S., Lyshevski S.E. Nonlinear analysis and tracking control of advanced airframe air- craft // 2nd International Conference «Methods and Systems of Navigation and Motion Control» October 9–12, Kiev. — 2012. — Р. 13–17. 11. Ларин В.Б. О стабилизации движения систем с неголономными связями // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1–2. — C. 218–230. 12. Larin V.B. Stabilizing the motion of a system with nonholonomic constrains // Int. Appl. Mech. — 1998. — 34, N 7. — P. 683–693. 13. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оцен- ки и управление. — М. : Мир, 1972. — 544 с. Получено 11.12.2012
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207637
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:17:47Z
publishDate	2013
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ларин, В.Б. 2025-10-10T17:34:47Z 2013 Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 4. — С. 139–146. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207637 621.865.5:007.52 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i8.20 Наведено алгоритм синтезу системи стабілізації триланкового колісного транспортного робота, що розглядається як керована механічна система з неголономними зв’язками. Описано алгоритм синтезу слідкуючої системи, в якому корекція програмного сигналу не пов’язана з операцією диференціювання. Ефективність запропонованих алгоритмів показано на прикладі. The algorithm of synthesis of stabilization system of the three links wheeled transport robot, which is considered as controlled mechanical system with nonholonomic constraints, is presented. The synthesis algorithm of tracking system in which, the correction of a program signal is not connected with operation of differentiation is considered. Efficiency of the offered algorithms is shown on the example. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Роботы и системы искусственного интеллекта Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом Про відстежування програмної траєкторії колісним транспортним роботом On Tracking a Program Trajectory by a Wheeled Transport Robot Article published earlier
spellingShingle	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом Ларин, В.Б. Роботы и системы искусственного интеллекта
title	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
title_alt	Про відстежування програмної траєкторії колісним транспортним роботом On Tracking a Program Trajectory by a Wheeled Transport Robot
title_full	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
title_fullStr	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
title_full_unstemmed	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
title_short	Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
title_sort	об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом
topic	Роботы и системы искусственного интеллекта
topic_facet	Роботы и системы искусственного интеллекта
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207637
work_keys_str_mv	AT larinvb obotsleživaniiprogrammnoitraektoriikolesnymtransportnymrobotom AT larinvb provídstežuvannâprogramnoítraêktorííkolísnimtransportnimrobotom AT larinvb ontrackingaprogramtrajectorybyawheeledtransportrobot

Об отслеживании программной траектории колесным транспортным роботом

Institution

Similar Items