О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі кв...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859650958389149696 |
|---|---|
| author | Кривонос, И.Ю. |
| author_facet | Кривонос, И.Ю. |
| citation_txt | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій.
The game problem of pursuit is analyzed for a process, described by the system of nonstationary quasilinear equations. Sufficient conditions for the game termination in a class of quasistrategies are obtained on the basis of the method of resolving functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:33:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.И. КРИВОНОС, 2013
16 ISSN 0572-2691
УДК 517.977
И.Ю. Кривонос
О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ИГРАХ ГРУППОВОГО СБЛИЖЕНИЯ
Одним из важных разделов динамических игр [1–4] являются игровые задачи
с группой преследователей [5–21]. Их особенность состоит в том, что при фор-
мальной постановке задачи терминальное множество представляет собой объеди-
нение выпуклых множеств, которое, вообще говоря, не выпукло. Это обстоятель-
ство создает большие трудности при конструктивном решении задач группового
сближения.
В настоящее время существует два способа решения упомянутых задач. Пер-
вый базируется на правиле экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [2, 22]
и реализует позиционное сближение [7–11]. Ключевую роль при этом в линейном
случае играет аппарат опорных функций. Второй способ основан на методе разре-
шающих функций [4, 23], по существу используя технику функционалов Минков-
ского. Это направление представлено в [10, 12–21], где показана эффективность
метода для различных задач группового сближения.
Данная работа посвящена применению метода разрешающих функций для
решения нестационарных квазилинейных задач группового сближения и направ-
лена на дальнейшее развитие исследований [20, 21, 24–27].
В общем виде нестационарная квазилинейная задача группового сближения
может быть сформулирована следующим образом. Задан конфликтно-управляе-
мый процесс
),,,()( vutztAz iiiii ,)( 0
0 ii ztz ,00 tt ,in
i Rz
),(tUu ii ),(tVv ,...,,1 i (1)
где )(tAi — матричная функция порядка ,in элементы которой — измеримые
функции, суммируемы на любом конечном интервале ].,[ 0 Tt Управления игро-
ков iu и v в момент t выбираются из множеств )(tUi и )(tV соответственно,
причем ),()( ip
i RKtU ),()( qRKtV являющихся измеримыми по Лебегу мно-
гозначными отображениями при ).,[ 0 tt Вектор-функции ),,( vut ii опреде-
лены на множествах ,),[ 0
qp
RRt i ,...,,1 i и удовлетворяют условию
Каратеодори [24]. Кроме того,
),()(),,( tUutavut iiiii ),(tVv ),,[ 0 tt ,...,,1 i (2)
где )(tai — локально суммируемые функции. Терминальное множество состоит
из множеств ),(tM i
,...,,1 i где
),()( 0 tMMtM iii
(3)
0
iM — линейные подпространства в ,in
R а )(tMi — измеримые компактознач-
ные отображения такие, что ii LtM )( при каждом ),,[ 0 tt ,...,,1 i где
iL — ортогональные дополнения к
0
iM в пространстве .in
R Иначе говоря,
Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 17
в прямом произведении vnn
RR ...1 выделено подмножеств, зависящих
от ,t вида
,...)(... 111 vii nn
i
nn
RRtMRR ,...,,1 i
и их объединение представляет собой терминальное множество.
Если движения преследователей и убегающего разделены и независимы, то по-
падание пары фазовой траектории i-го преследователя и убегающего )(tzi на мно-
жество )(tM i
обозначает, что i-й преследователь «поймал» убегающего в момент .t
Цель группы преследователей )...,,1,( iui — с помощью выбора парамет-
ров управлений iu вывести траекторию процесса (1) )(tzi на соответствующее
множество )(tM i
хотя бы для одного }...,,1{ i за кратчайшее время. Цель убе-
гающего — с помощью выбора параметра управления v уклонить все траектории
),(tzi ,...,,1 i процесса (1) от встречи с соответствующими множествами
)(tM i
в конечный момент времени, а если это невозможно, то максимально оття-
нуть момент этой встречи.
Будем считать, что убегающий выбирает произвольные измеримые функции
),(tv принимающие значения из компактозначного отображения ).(tV Каждый из
группы преследователей выбирает управление — измеримую функцию в виде
),(,,,()( 00 tii vtztutu ),()( tUtu ii ,0tt (4)
где ),...,,( 00
10 vzzz используя предысторию управления убегающего, и началь-
ные положения всех игроков.
Примем сторону группы преследователей и выясним, какой результат они
могут гарантировать себе. При этом заметим, что игра группового преследования
(1)–(3) может быть закончена в момент ),( 00 ztT из начального состояния
),,( 00 zt если существуют такие измеримые селекторы )(tui (4) многозначных
отображений ),(tUi ,...,,1 i что для любого измеримого селектора ),(tv
),()( tVtv ,0tt хотя бы одна траектория )(tzi системы (1) попадет на соответ-
ствующее множество )(tM i
в момент ).,( 00 ztTt
Перейдем к основной схеме решения задачи группового преследования
(1)–(4). Обозначим через i ортопроектор, который действует из in
R на ,iL
,...,,1 i и введем многозначные отображения
),),(,(),(),,( vUtvtW iiiii
),,,(),(
)(
vtWtW i
Vv
i
,0tt ....,,1 i
Здесь ),( ti — матрицы Коши однородных систем (1). В силу допущений
о параметрах конфликтно-управляемого процесса (1)–(3), а также свойств много-
значных отображений [28] отображения ),,,( vtWi ,...,,1 i измеримы по
и непрерывны по ,v а отображения ),,( tWi ,...,,1 i измеримы по .
Условие Понтрягина. Многозначные отображения ),,( tWi ,...,,1 i при-
нимают непустые значения для .0 tt
18 ISSN 0572-2691
Отображения ),,( tWi ,...,,1 i замкнутозначны и измеримы по , поэтому
в силу теоремы об измеримом выборе [28] существуют измеримые по селекторы
),,( ti ),,(),( tWt ii ,0tt ,...,,1 i которые в силу (2) суммируемы
по на ],[ 0 tt при каждом .t Зафиксируем их и обозначим
,),(),()),(,,,(
0
0
0
0
0
t
t
iiiiiii dtzttttzt ....,,1 i
По аналогии с общей схемой метода разрешающих функций [4] рассмотрим
многозначные отображения
,))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00 ttzttMtvtWvt iiiiiiA
,0tt ),(Vv ,...,,1 i ,2),,(
R
i vtA },0:{ rrR
и их опорные функции в направлении 1
)}.,,(:sup{),,( vtvt ii A
Не будем фиксировать в обозначениях зависимость многозначных отображе-
ний ),,( vti A и соответствующих разрешающих функций ),,( vti от началь-
ного состояния ),( 00 zt и выбранных селекторов ).,( ti Функции ),,( vti мо-
гут принимать значения для ],,[ 0 tt если ).()),(,,,( 00 tMttzt iii Если
это включение не выполнено, то они измеримы по , полунепрерывны сверху
по v и BL -измеримы по совокупности ),( v при каждом 0tt [23]. Рассмот-
рим множество
,1))(,,(maxinf:)),(,,(
0
...,,1)(
000
t
t
i
viv
dvtttztT (5)
где )).,(...,),,((),( 1 ttt v
Теорема. Пусть для игровой задачи группового преследования (1)–(4) вы-
полнено условие Понтрягина и ),(co)( tMtM ii ,...,,1 i .0tt
Тогда если для начального состояния ),( 00 zt процесса (1) существует набор
таких измеримых по селекторов ,)},({ 1
ti ,0tt многозначных отображе-
ний ),( tWi соответственно, что )),(,,( *00 ztT и )),,(,,( *00 ztTT то
хотя бы одна из траекторий процесса (1) может быть приведена на соответствую-
щее множество (3) в момент .T При этом преследователи используют управле-
ния типа
)),(,,,()( 00 tii vtztutu ],,[ 0 Ttt ....,,1 i
Доказательство. Пусть ),(v ),()( Vv ],,[ 0 Tt — произвольная изме-
римая функция, а
1)},({ Ti — набор фиксированных измеримых по селекторов.
Рассмотрим случай )()),(,,,( 0
0 TMTTzt iiii для всех ....,,1 i Вве-
дем контрольную функцию
,))(,,(max1)(
0
...,,1
dvTth
t
t
i
vi
].,[ 0 Ttt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 19
Функция )(th абсолютно неперерывна, невозрастающая. Кроме того,
,1)( 0 th а в силу соотношения в (5) .0)( Th Отсюда вытекает, что суще-
ствует такой момент времени ,*
t ],,( 0
*
Ttt что .0)( * th Момент *
t конеч-
но зависит от выбранного управления убегающего ),(v ],,[ 0 Tt и активная
фаза группового преследования проходит на интервале ).,[ *
0 tt Опишем способ
управления каждым игроком в составе группы.
Рассмотрим многозначные отображения
),,(),(),,(),(:)({),( vTTvuTUuvU iiiiiiii
....,,1))]},,(,,,()([ 0
0 iTTztTM iiii (6)
Аналогично рассуждениям [23] в подобной ситуации легко сделать вывод,
что в силу свойств параметров конфликтно-управляемого процесса (1)–(4) отоб-
ражения ),,( vUi ,...,,1 i компактозначны и BL -измеримы. Поэтому со-
гласно теореме измеримого выбора существуют BL -измеримые селекторы
),( vui отображений ).,( vUi Они суперпозиционно измеримы. Положим управ-
ление каждого из группы преследователей на активном участке равными
)),(,()( vuu ii ,...,,1 i ).,[ 0
tt (7)
Для ],[
Tt положим ,0),,( vTi ....,,1 i Тогда из выражения (6)
получим многозначные отображения
},0),(),,(),(:)({),(0 TvuTUuvU iiiiiii ....,,1 i
Соответствующие BL -измеримые селекторы этих отображений обозначим
),,(0 vui а управления каждого из группы преследователей на пассивном участке
положим равными
)),(,()( 00 vuu ii ,...,,1 i ].,[ *
Tt (8)
Если для некоторого ,i },...,,1{ i ),()),(,,,( 0
0 TMTTzt iiii то
управление i-го преследователя на всем промежутке ],[ 0 Tt выберем в виде (8),
а управление других 1 преследователей — произвольные измеримые селекто-
ры соответствующих отображений ).(iU
Покажем, что при указанном законе управления группой преследователей
хотя бы для одного i будет выполнено включение ).()(
TMTz ii Из формулы
Коши получим соотношения
,))(),(,(),(),()(
0
0
0
T
t
iiiiiiiii dvuTztTTz ....,,1 i (9)
Рассмотрим случай ....,,1)()),(,,,( 0
0 iTMTTzt iiii Тогда из
равенства 0)(
th вытекает, что существует такой индекс ,i что
.0))(,,(1
*
0
t
t
i dvT (10)
20 ISSN 0572-2691
Из формулы Коши для заданного i и закона выбора управлений (7), (8) по-
лучим включения
t
t
iiiiii dvTTTztTz
0
))(,,(1)),(,,,()( 0
0
.)())(,,(
*
0
t
t
ii dTMvT (11)
Поскольку ),(co)( TMTM ii ))(,,( vTi — неотрицательная функция
и имеет место равенство (10), то ),()())(,,(
0
TMdTMvT i
t
t
ii поэтому из (11)
получим ).()( TMTz iii Если же для некоторого i )),(,,,( 0
0 TTzt iii
),( TMi то из формулы (11) с учетом закона выбора управления (8) имеем
).()),(,,,()( 0
0 TMTTztTz iiiiii
Тем самым теорема доказана.
І.Ю. Кривонос
ПРО НЕСТАЦІОНАРНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ
ІГРИ ГРУПОВОГО ЗБЛИЖЕННЯ
Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується си-
стемою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керо-
ваного процесу, області керування гравців та термінальна множина теж зміню-
ються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час
в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій.
I.Iu. Kryvonos
ON NONSTATIONARY DIFFERENTIAL
GAMES OF THE GROUP APPROACH
The game problem of pursuit is analyzed for a process, described by the system of
nonstationary quasilinear equations. Sufficient conditions for the game termination in
a class of quasistrategies are obtained on the basis of the method of resolving func-
tions.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М. : Наука, 1988. — Т. 2. — 576 с.
2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с.
3. Пшеничный Б.Н.,Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Киев : Наук. думка, 1992. —
260 с.
4. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с.
5. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про-
цессами. — М. : МГУ, 1980. — 198 с.
6. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек-
тов. — Ижевск : Изд-во «Удмуртский университет», 2009. — 266 с.
7. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими управляемыми
объектами // Кибернетика. — 1978. — № 3. — С. 54–61.
8. Чикрий А.А. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц // Прикладная
математика и механика. — 1979. — № 3. — С. 451–455.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 21
9. Чикрий А.А. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками // Докл. АН
СССР. — 1979. —246, № 6. — С. 1306–1309.
10. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями // Тр. Междунар.
мат. Центра им. С. Банаха, Варшава. — 1985. — 14. — С. 81–107.
11. Chikrii A.A. Methods of group pursuit // Lecture Notes in Control and Information Sciences, Sto-
chastic Optimization, Proceedings of the Int. Conf., Kiev, 1986. — P. 632–640.
12. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференци-
альных игр со многими преследователями // Докл. АН СССР. — 1981. — 256, № 3. —
С. 530–535.
13. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемы-
ми объектами при наличии фазовых ограничений // Там же. — 1981. — 257, № 1. —
С. 785–789.
14. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференци-
альных играх // Оптимизационные исследования и статистика. — 1982. — № 1. —
С. 13–27.
15. Чикрий А.А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего // При-
кладная математика и механика. — 1982. — № 6. — С. 906–913.
16. Питцык М.В., Чикрий А.А. О задаче группового преследования // Там же. — 1982. —
№ 5. — С. 730–736.
17. Чикрий А.А., Чикрий Г.Ц. Групповое преследование в дифференциально-разностных
играх // Дифференциальные уравнения. — 1984. — № 5. — С. 802–810.
18. Чикрий А.А., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых
ограничений // Автоматика и телемеханика. — 1985. — № 2. — С. 59–68.
19. Чикрий А.А., Прокопович П.В. О задаче простого преследования группой одного убегающе-
го // Кибернетика. — 1992. –– № 3. — С. 131–137.
20. Чикрий Ал.А. О проблеме группового преследования // Докл. НАН Украины. — 1997. —
№ 6. — С. 28–32.
21. Чикрий А.А., Барановская Л.В., Чикрий Ал.А. Обратные функционалы Минковского в не-
стационарной задаче группового преследования // Изв. РАН. Теория и системы управле-
ния. — 1997. — № 1. — С. 109–114.
22. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры // Автоматика и телемеханика. —
1968. — № 1. — С. 65–79.
23. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. Ма-
тематического института им. В.А. Стеклова. — 2010. — 271. — С. 76–92.
24. Кривонос И.Ю., Чикрий Ал.А., Чикрий К.А. Об одной схеме сближения в нестационарных
игровых задачах // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и
информатики». — 2013. — № 4. — C. 8–15.
25. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // J. Optimi-
zation Methods and Software. — 2008. — 3, N 1. — P. 39–73.
26. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори-
ями. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с.
27. Chikrii A.A. Deviation problem in nonlinear differential games // Cybernetics. — 1975. — 11,
N 3. — P. 412–416.
28. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. —
461 p.
Получено 26.04.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207640 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:33:19Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кривонос, И.Ю. 2025-10-11T10:24:37Z 2013 О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.50 Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій. The game problem of pursuit is analyzed for a process, described by the system of nonstationary quasilinear equations. Sufficient conditions for the game termination in a class of quasistrategies are obtained on the basis of the method of resolving functions. Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О нестационарных дифференциальных играх группового сближения Про нестаціонарні диференціальні ігри групового зближення On nonstationary differential games of the group approach Article published earlier |
| spellingShingle | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения Кривонос, И.Ю. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| title_alt | Про нестаціонарні диференціальні ігри групового зближення On nonstationary differential games of the group approach |
| title_full | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| title_fullStr | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| title_full_unstemmed | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| title_short | О нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| title_sort | о нестационарных дифференциальных играх группового сближения |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640 |
| work_keys_str_mv | AT krivonosiû onestacionarnyhdifferencialʹnyhigrahgruppovogosbliženiâ AT krivonosiû pronestacíonarnídiferencíalʹníígrigrupovogozbližennâ AT krivonosiû onnonstationarydifferentialgamesofthegroupapproach |