Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859894878419288064 |
|---|---|
| author | Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. |
| author_facet | Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. |
| citation_txt | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на зростання резольвенти характеристичного операторного жмутка рівняння у деякій правій півплощині. Розглядається застосування абстрактних результатів до стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними, що не належать типу Коші–Ковалевської, зокрема до стохастичної системи Нав’є–Стокса.
The optimal stochastic control problem with quadratic quality functional for a delay distributed system is considered. The system is described by a linear stochastic differential operator equation, which is not solved for the stochastic differential. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent growth of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to stochastic partial differential equations that do not belong to the Cauchy–Kowalewskaya type are considered, in particular to a Navier–Stokes stochastic system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:54:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Л.А. ВЛАСЕНКО, А.Г. РУТКАС, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 53
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 517.977
Л.А. Власенко, А.Г. Руткас
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНИМ КЛАССОМ
СТОХАСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
ТИПА СОБОЛЕВА С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
Поведение управляемой системы с наследственностью (или последействием)
при случайных возмущениях в ряде ситуаций может быть описано стохастическим
дифференциальным уравнением с запаздыванием, например [1, 2]. Будем изучать
задачу оптимального управления стохастической системой с распределенными
параметрами. В гильбертовом пространстве системе отвечает линейное стохасти-
ческое дифференциальное уравнение с запаздыванием, причем уравнение не яв-
ляется разрешимым относительно стохастического дифференциала. К таким
уравнениям приводит учет последействия и случайных возмущений в распреде-
ленных системах, которые описываются уравнениями в частных производных ти-
па Соболева или не типа Коши–Ковалевской [3, 4]. Уравнения в частных произ-
водных, неразрешимые относительно старшей производной по времени, возника-
ют в прикладных задачах гидродинамики, теории упругости, оптимального
управления и др. [5–10]. Стохастические дифференциальные уравнения в частных
производных, а также в абстрактных гильбертовых и банаховых пространствах
являются удобной эволюционной моделью для многих реальных процессов: в ра-
диофизике при описании явления дифракции в случайно-неоднородных средах,
в химии при описании химических реакций с помощью функции зависимости от-
носительного числа частиц реагента от времени и географической координаты
внутри реактора, в релятивистской квантовой механике при описании эволюции бо-
зонного (свободного) поля, в теплофизике для описания процесса теплопроводно-
сти в случайной анизотропной среде. Эти и другие примеры содержатся в [11–14].
Используем следующую систему обозначений: HUYX ,,, — комплексные
сепарабельные гильбертовы пространства,
Y
Ö , YðÖÖà, — норма и скалярное
произведение в пространстве Y; ],[ YX — пространство ограниченных линейных
операторов из X в Y, ];[],[ YYY = E — единичный оператор; AKer — ядро опера-
тора A; AIm — образ оператора A; *A — сопряженный оператор к оператору A;
);,( 02 YTtL — пространство интегрируемых по Бохнеру с квадратом на ],[ 0 Tt
Y-значных функций; )],,([ 0 XTtC — пространство X-значных непрерывных на
],[ 0 Tt функций; },,{ PFW — полное вероятностное пространство с неубываю-
щим семейством s-алгебр (потоком или фильтрацией) TtttF ¢¢0
}{ ,( FFF ts ÌÌ
Ttst ¢¢¢0 ); M — математическое ожидание относительно вероятностной
меры P; 22 );( HYH =W — гильбертово пространство Y-значных случайных величин
54 ISSN 0572-2691
),(wx=x имеющих конечный абсолютный момент второго порядка ,
2
¤<x
Y
M со
скалярным произведением ;,, 2121 2 YH ðxxà=ðxxà M если 0F — s-подалгебра s-ал-
гебры F, то );;( 02 FYH W — подпространство пространства ,2H состоящее из 0F -из-
меримых случайных величин; )(tw — H-значный винеровский процесс, выходящий
из нуля и согласованный с фильтрацией TtttF ¢¢0
}{ , с ядерным симметричным поло-
жительным ковариационным оператором [11, 12, 15, 16]; YLYTtL ,,202 );;,( W=W —
гильбертово пространство Y-значных измеримых случайных процесссов ),,( wty
,0 Ttt ¢¢ ,WÍw удовлетворяющих условию ¤<wñ
T
t
Y dtty
0
2||),(||M , со скалярным
произведением ;)(),(,
0
2 21,,21 ñ ðà=ðà W
T
t
YYL dttytyyy M
tFYt LFYTtL ,,,202 );;;,( W=W —
подпространство пространства ,,,2 YL W состоящее из неупреждающих случайных
процессов, т.е. измеримых и согласованных с потоком .}{
0 TtttF ¢¢ В дальнейшем
будем рассматривать только измеримые случайные процессы. Информацию об ис-
пользуемом вероятностном аппарате (теории стохастических уравнений в смысле
Ито в сепарабельных гильбертовых пространствах) см. в работах [11–13, 15, 16].
Используем эквивалентность сильной и слабой измеримости в сепарабельном
пространстве [17].
1. Постановка линейно-квадратичной задачи
Постановки задач управления некоторыми классами стохастических сосредо-
точенных систем с последействием приведены в [2]. Множество допустимых
управлений — это неупреждающие случайные процессы, как и для стохастиче-
ских систем управления без запаздывания [18, 19]. Мы рассматриваем систему
управления с распределенными параметрами, которая описывается следующим
стохастическим (в смысле Ито) дифференциальным уравнением типа Соболева
с запаздыванием:
.),()]()()([)()]([ 0 TtttdwdttKutfrtCydttBytAyd ¢¢L+++-=+ (1)
Здесь BA, — замкнутые линейные операторы из Y в X с плотными областями
определения BA DD , соответственно, };0{̧= BA DDD < ],,[ XYCÍ ],,[ XUKÍ
];,[ XHÍL запаздывание ;0>r ),( wtf — X-значный неупреждающий случай-
ный процесс такой, что );,(),( 02 XTtLf ÍwÖ P-п.н.; управление ),( wtu — U-знач-
ный неупреждающий случайный процесс такой, что );,(),( 02 UTtLu ÍwÖ P-п.н.
Уравнение (1) — это стохастическое дифференциальное уравнение типа Соболе-
ва, так как оно является неявным, т.е. неразрешимым относительно стохастиче-
ского дифференциала )(tdy неизвестного случайного процесса )(ty (см. [3, 4]).
Стохастическое дифференциальное уравнение (1) можно записать с помощью
обобщенных производных в виде
,),()()()()(])([ 0 TtttwtKutfrtCytBytAy ¢¢¡L+++-=+¡
где )(tw¡ — обобщенная производная H-значного винеровского процесса, т.е.
«белый шум». Относительно стохастических дифференциальных уравнений в смысле
обобщенных случайных процессов см. [20, 21].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 55
Для уравнения (1) зададим начальные условия
,],,[.п.в),,(),( 00 WÍw-Íw=w trtttgty (2)
,.п.в),(),0)(( 0 WÍwwx=w+tAy (3)
где )(tg ( 00 ttrt ¢¢- ) — Y-значный случайный процесс, );,()( 002 YtrtLtg -Í
P-п.н. и при },{min 00 rTttrt -¢¢- случайный элемент ),( wtg является rtF+ -из-
меримым; )(wx —
0t
F -измеримая X-значная случайная величина. Начальная
задача (1)–(3) исследовалась в [4]. Здесь, как и в [4], также не предполагается
непрерывная стыковка начальных условий (2), (3) в момент времени :0t вооб-
ще говоря, ),(),( 00 w¸w tytg и ),(),( 0 wx̧wtAg а также ),( 0 wtg может не
принадлежать области определения AD оператора A. Случайный процесс
);,()( 02 YTrtLty -Í P-п.н. назовем решением задачи (1)–(3), если )(ty при
Ttt ¢¢0 является неупреждающим случайным процессом по отношению к се-
мейству s-алгебр ,}{
0 TtttF ¢¢ Dty Íw),( для почти всех ],,[ 0 TttÍ WÍw , ),(tAy
);,()( 02 XTtLtBy Í P-п.н., выполняется равенство
,],,[.п.в),()]()()([)()( 0
00
WÍwÍL+++-=+x- ññ TtttwdssKusfrsCydssBytAy
t
t
t
t
и начальное условие (2). Случайные процессы ),(),,( ww tBytAy со значениями
в пространстве X рассматриваются при .0 Ttt ¢¢ Они являются неупреждающи-
ми, так как XY , — сепарабельные пространства и BA, — замкнутые плотно
определенные в Y операторы. Если ),( wty — решение задачи (1)–(3), то случай-
ный процесс ),( wtAy имеет непрерывную модификацию с вероятностью едини-
ца, которую мы и рассматриваем в дальнейшем.
Основное предположение при исследовании уравнения (1) состоит в ограни-
чении на пучок операторов ,BA+l который существенно влияет на динамику
уравнения (оценка (3) в [4]). Предполагаем, что в полуплоскости 1Re c²l суще-
ствует резольвента ],[)( 1 YXBA Í+l - и справедлива следующая оценка с неко-
торой постоянной :02>c
.Re,
1
)( 1
21 c
c
BAA ²l
l+
¢+l -
(4)
Тогда можно определить (подробнее см. в [3, 4]) ограниченные взаимно дополни-
тельные проекторы 21, QQ в пространстве X как
,,)(lim 12
1
Re
||
1
1
QEQxBAAxQ
c
-=+l= -
²l
¤l
(5)
а также оператор G из X в Y и оператор W в Y вида
),Ker(,
;,
1
11
1
2
DABADDQBGBGQW
DDDDBQAG
W
BAG
<"
<
+=-=-=
==+=
-- (6)
причем оператор W является генератором аналитической полугруппы tS в ].[ X
Здесь 1-G обозначает обратный к оператору G, а символ +" — прямую сумму.
В дальнейшем предполагается, что оператор 1-G ограничен на своей области опре-
деления, как это имеет место для задачи, приведенной в Приложении. Для формули-
56 ISSN 0572-2691
ровки результата существования и единственности решения начальной задачи (1)–(3)
введем операторы FL, и случайные процессы :),(),,(0 wyw tty
],[
},,{min,0
,},{min),(
)(
],,[),()()(
,,2
00
0
,,2,,22
1
1
1
0
Y
YX
t
t
st
LF
Trttt
TtTrtrtz
tFz
LLLtvQGdssvQSGtLv
W
WW
-
-
-
Í
í
ì
ë
+<¢
¢¢+-
=
Í+= ñ
(7)
).;;;,(),(,)()(),(
),;;;,(),(
,},{min,0
},,min{),,(
),(
02
1
020
0
00
0
0
0 t
t
t
sttt
t
FYTtLtsdwSSGt
FYTtLty
TtTrt
Trtttrtg
ty
WÍwy
ù
ù
ú
ø
é
é
ê
è
L+wx=wy
WÍw
í
ì
ë
¢¢+
+<¢w-
=w
ñ--
-
(8)
Сужения операторов L, F (7) на подпространства неупреждающих случайных
процессов обозначим :, 00 FL
].[,,
];,[,,
,,,20,,,20
,,,2,,,20,,,20
tt
ttt
FYFY
FYFXFX
LFLzFzzF
LLLLvLvvL
WW
WWW
ÍÍ=
ÍÍ=
(9)
Интеграл ñ L-
t
t
st sdwS
0
)( понимается в смысле интеграла Ито в сепарабельном гиль-
бертовом пространстве по винеровскому процессу )(tw с ядерным симметричным
положительным ковариационным оператором от неупреждающей оператор-функ-
ции [15, 16]. При исследовании явных детерминированных систем управления с за-
паздыванием оператор сдвига типа оператора F использовался в [22]; формула
представления решения через начальные данные и управление получена в [23] для
явных и неявных детерминированных систем. Подобные результаты для стоха-
стических систем типа Соболева с запаздыванием получены в [4]. Здесь они
оформлены в виде леммы 1. Если динамика детерминированного процесса описы-
вается явным дифференциально-разностным уравнением с матричными коэффи-
циентами (см. уравнение (10.3) в [24]), то решение этого уравнения может быть
выражено в виде (2.1) [24] через начальные данные и блок управления.
Лемма 1 [4]. Пусть справедлива оценка (4) и оператор 1-G ограничен на своей
области определения; ,Im 1 ADCQ Ë ,Im 1 ADKQ Ë ;Im ADËL значения случайной
величины );;()(
02 tFXH WÍwx принадлежат AD P-п.н.; );;,(),( 002 YtrtLtg W-Íw
и случайный элемент ),( wtg является rtF+ -измеримым; ),;;;,(),( 02 tFUTtLtu WÍw
),;;;,(),( 02 tFXTtLtf WÍw ADtfQ Íw),(1 для почти всех ],[ 0 TttÍ и ,WÍw
).;;;,(),( 021
1
tFXTtLtfQBG WÍw-
Тогда задача (1)–(3) с точностью до стохасти-
ческой эквивалентности имеет единственное решение ),,( wty причем Íw),(ty
),;;;,( 02 tFYTtL WÍ ).;;;,(),( 02 tFXTtLtAy WÍw В обозначениях (7)–(9) имеет
место следующее представление:
}.:{min
,],,[п.в.)]},()()([)({)()(
0
0
1
0
0000
lrtTln
TtttKutftCyLtCFLty
n
k
k
¢-Í=
WÍwÍ+++y=ä
-
=
N
(10)
2. Стохастическая оптимизация с квадратичным функционалом качества
В дальнейшем предполагается, что выполняются условия леммы 1, обеспечи-
вающие существование и единственность решения задачи (1)–(3). Управлению
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207643 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:54:19Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. 2025-10-11T10:36:28Z 2013 Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.60 Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на зростання резольвенти характеристичного операторного жмутка рівняння у деякій правій півплощині. Розглядається застосування абстрактних результатів до стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними, що не належать типу Коші–Ковалевської, зокрема до стохастичної системи Нав’є–Стокса. The optimal stochastic control problem with quadratic quality functional for a delay distributed system is considered. The system is described by a linear stochastic differential operator equation, which is not solved for the stochastic differential. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent growth of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to stochastic partial differential equations that do not belong to the Cauchy–Kowalewskaya type are considered, in particular to a Navier–Stokes stochastic system. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием Оптимальне керування одним класом стохастичних розподілених систем типу Соболєва з післядією Optimal control of a class of random distributed Sobolev type systems with aftereffect Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием |
| title_alt | Оптимальне керування одним класом стохастичних розподілених систем типу Соболєва з післядією Optimal control of a class of random distributed Sobolev type systems with aftereffect |
| title_full | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием |
| title_fullStr | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием |
| title_short | Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием |
| title_sort | оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа соболева с последействием |
| topic | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkola optimalʹnoeupravlenieodnimklassomstohastičeskihraspredelennyhsistemtipasobolevasposledeistviem AT rutkasag optimalʹnoeupravlenieodnimklassomstohastičeskihraspredelennyhsistemtipasobolevasposledeistviem AT vlasenkola optimalʹnekeruvannâodnimklasomstohastičnihrozpodílenihsistemtipusobolêvazpíslâdíêû AT rutkasag optimalʹnekeruvannâodnimklasomstohastičnihrozpodílenihsistemtipusobolêvazpíslâdíêû AT vlasenkola optimalcontrolofaclassofrandomdistributedsobolevtypesystemswithaftereffect AT rutkasag optimalcontrolofaclassofrandomdistributedsobolevtypesystemswithaftereffect |