Назначение допусков методом сглаженных вершин
Запропоновано процедуру формування областей розсіяння, якщо розподіл значень параметрів елементів задано статистичними рядами. Використано апроксимацію законів розподілу на межових ділянках статистичних рядів. Область розсіяння формується у вигляді брусоеліпсоїдної структури з вершинними еліпсоїдним...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207647 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Назначение допусков методом сглаженных вершин / Г.Н. Шило // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 84-96. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860050742891511808 |
|---|---|
| author | Шило, Г.Н. |
| author_facet | Шило, Г.Н. |
| citation_txt | Назначение допусков методом сглаженных вершин / Г.Н. Шило // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 84-96. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано процедуру формування областей розсіяння, якщо розподіл значень параметрів елементів задано статистичними рядами. Використано апроксимацію законів розподілу на межових ділянках статистичних рядів. Область розсіяння формується у вигляді брусоеліпсоїдної структури з вершинними еліпсоїдними гіперповерхнями. Порівняно результати допускового проектування для різних законів розподілу значень параметрів елементів.
Procedure of shaping scattering regions is suggested if distribution law of values of parameters of elements is given in the form of statistical series. Approximation of distribution laws is used on the boundary sections of statistical series. Scattering region is represented as box-ellipsoid structure with vertex ellipsoid hypersurfaces. The results of tolerance design are compared for different distribution laws of parameters values of elements.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:59:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Г.Н. ШИЛО, 2013
84 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 621.396.6:004.942
Г.Н. Шило
НАЗНАЧЕНИЕ ДОПУСКОВ МЕТОДОМ
СГЛАЖЕННЫХ ВЕРШИН
Введение
Назначение допусков — один из важнейших этапов проектирования различ-
ных устройств, поскольку величина допустимых отклонений значений парамет-
ров элементов задает точность выходных функций и влияет на стоимость аппара-
туры. Знания в области допускового проектирования накапливались в течение
многих лет [1–5]. За это время установлено, что величина назначаемых допусков
существенно зависит от законов распределения значений параметров элементов,
определяемых особенностями процессов изготовления составных частей различ-
ных устройств. Это привело к широкому использованию при назначении допус-
ков метода моментов, который учитывает основные параметры законов распреде-
ления: математическое ожидание и дисперсию. Однако ограниченный набор ис-
пользуемых моментов и формирование моделей выходных функций в точке
номинальных значений параметров не обеспечивало достаточную точность про-
цедур допускового проектирования даже для нормального закона распределения
значений параметров элементов [6].
Общие подходы к процедурам назначения допусков описаны в [7], где для
решения задачи формируется область работоспособности устройства в про-
странстве значений параметров элементов с учетом ограничений на значения
выходных характеристик. Назначение допусков проводится выбором размеров
допусковой области при выполнении ограничений на степень несовпадения
этой области с областью работоспособности.
Этот подход успешно реализован в виде метода касательных при разработке
процедур назначения допусков для интервального и нормального законов распре-
деления значений параметров элементов [8, 9]. В методе касательных границы
области работоспособности касаются границ области рассеяния значений пара-
метров элементов, а допусковая область формируется как описанный вокруг об-
ласти рассеяния брус — прямоугольный гиперпараллелепипед с ребрами, парал-
лельными осям координат. При таком выборе размеров допусковой области су-
ществует некоторая вероятность производства бракованных устройств, когда
совокупность значений входных параметров расположена за пределами области
рассеяния. Это позволяет значительно увеличить допуски при нормальном законе
распределения по сравнению с интервальным.
Метод касательных позволил значительно повысить точность решения задач
допускового проектирования. Но до настоящего времени оставался нерешенным
вопрос о повышении точности расчетов при других законах распределения. В об-
щем виде такие распределения получают путем экспериментальных исследований,
а результаты представляют в виде статистических рядов или гистограмм [10, 11].
Необходимость и важность разработки процедур допускового проектирования
с учетом таких распределений значений параметров элементов связаны с тем, что
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 85
при большом количестве элементов различия в законах распределения значений
параметров могут привести к различию значений допусков в несколько раз.
Цель публикации — разработка процедур анализа и назначения допусков при
формировании областей рассеяния на основе статистических рядов распределения
значений параметров элементов. Решение поставленной задачи может проводится
с использованием основных идей метода касательных и подразумевает разработку:
— математической модели законов распределения значений параметров эле-
ментов для использования в процедурах назначения допусков;
— метода формирования областей рассеяния на основе полученных моделей
законов распределения;
— процедуры синтеза допусков для сформированных допусковых областей.
Решение этих задач позволит увеличить точность допускового проектирова-
ния при любых законах распределения значений параметров до уровня, доступно-
го ранее только для интервального и нормального законов распределения.
1. Математическая модель законов распределения
Статистический ряд обычно представляется таблицей, в которой приводятся
интервальные аргументы (разряды) в порядке их возрастания и соответствующие
им частоты попадания значений параметров элементов в данные интервалы [10].
Объединение всех интервальных аргументов образуют диапазон (интервал)
наблюдаемых значений параметров элементов.
Определение 1. Нижним (верхним) участком статистического ряда называет-
ся совокупность некоторого количества первых (последних) членов статистиче-
ского ряда.
Для формирования областей рассеяния используются математические модели
в виде аналитических выражений плотности распределения значений параметров.
Такие модели обычно создаются процедурой выравнивания гистограмм распреде-
ления. Переход от статистических рядов к гистограммам осуществляется делени-
ем частот на ширину соответствующего интервального аргумента.
Определение 2. Область рассеяния значений параметров — это проекция сечения
поверхности распределения в пространство значений параметров элементов при за-
данной вероятности нахождения значения параметра за пределами этой проекции.
При создании математических моделей также использовано допущение.
Допущение 1. Законы распределения значений параметров элементов являют-
ся модальными.
Из допущения 1 вытекает, что значение вероятности попадания параметров за
пределы области рассеяния уменьшается при приближении значений параметров
к границам статистического ряда. Это означает, что для формирования границ об-
ласти рассеяния следует использовать модели, полученные выравниванием гранич-
ных участков статистического ряда. Тогда при формировании модели могут ис-
пользоваться законы распределения с плотностью, убывающей к границам стати-
стического ряда. Наиболее предпочтительной является модель распределения вида
,
2
)(
exp)(
2
2
mx
Fxf (1)
где )(xf — плотность распределения значений параметра элемента, x — пара-
метр элемента, F — нормирующий множитель, m — координаты центра симмет-
рии кривой (1), — параметр, характеризующий рассеяние случайной величины
относительно центра симметрии.
Модель (1) напоминает нормальный закон, но при ее создании не учитывает-
ся основное условие выравнивания закона распределения:
1)( dxxf . Поэтому
модели (1) могут применяться только на отдельных участках статистических ря-
86 ISSN 0572-2691
дов. Для использования соотношения (1) интервальные аргументы статистическо-
го ряда заменяются средними значениями этих интервалов. Тогда коэффициенты
модели (1) определяются по трем точкам гистограммы, заданных средними зна-
чениями интервальных аргументов статистического ряда и соответствующими им
величинами плотности распределения значений параметров элементов. Для опре-
деления параметров модели на нижнем участке статистического ряда использует-
ся система уравнений:
2
2
2
)(
exp
l
lj
lj
mx
Ff ),3,1( j (2)
где jx — среднее значение интервального аргумента j-го члена статистического
ряда, )( jj xff — значение плотности распределения для значения ;jx ,lF ,lm
l — параметры модели нижнего участка статистического ряда.
При решении системы (2) учитывается допущение 1, которое записывается
в виде .21 ff Тогда параметры модели могут определяться с помощью соотно-
шений:
,
)/ln()()/ln()(
)/(ln)()/(ln)(
2
1
32212132
32
2
2
2
121
2
3
2
2
ffxxffxx
ffxxffxx
ml
(3)
,
)/(ln
)()(
2
1
32
2
3
2
22
ff
mxmx ll
l
(4)
.
2
)(
exp
2
2
3
3
l
l
l
mx
fF (5)
Аналогично определяются параметры модели для верхнего участка статисти-
ческого ряда.
Пример формирования моделей
плотности распределения на гранич-
ных участках статистического ряда
показан на рис. 1, где приводится ги-
стограмма распределения значений
параметров элементов и кривые 1 и
2, моделирующие соответственно
нижний и верхний участки распреде-
ления.
На рис. 1 номинальное значение
параметра элемента определяется
как его среднее значение:
,
2
ul
r
xx
x
(6)
где rx — номинальное значение параметра; lx и ux — нижняя и верхняя грани-
цы значений случайной величины x.
Для оценки поля рассеяния статистического ряда используются граничные
отклонения:
,rll xxh ,ruu xxh (7)
где lh и uh — нижнее и верхнее граничные отклонения параметра.
xl ml xr mu xu x
2
1
f1
f2
f3
f (x)
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 87
Из соотношений (6) и (7) вытекает, что нижнее и верхнее граничные откло-
нения связаны соотношением
.ul hh (8)
Оценивание поля рассеяния граничных моделей проводится с помощью от-
клонений:
,lll mxl ,uuu mxl (9)
где ,ll ul и ,lm um — ширина поля рассеяния и координаты центра симметрии
нижней и верхней граничной модели статистического ряда.
Ширина поля рассеяния связана с коэффициентом рассеяния соотношением
,l (10)
где — коэффициент поля рассеяния модели.
Значение коэффициента поля рассеяния зависит от точности определения со-
бытий области рассеяния. Для нормального закона распределения обычно прини-
мают ,3 что соответствует точности 0,027 %. В граничных точках статистиче-
ского ряда в соответствии с выражениями (9) и (10) плотность распределения зна-
чений параметра принимает вид
),2/(exp)( 2 Fxf b (11)
где bx — значение параметра в граничной точке.
Оценивание формы закона распределения может проводиться с помощью ко-
эффициентов нормализации.
Определение 3. Коэффициентом нормализации распределения называется от-
ношение поля рассеяния граничной модели и граничного отклонения значения
параметра статистического ряда:
h
l
, (12)
где — коэффициент нормализации распределения.
Коэффициент (12) принимает нулевое значение в случае интервального зако-
на распределения значений параметров. Нормальному закону распределения со-
ответствует значение коэффициента нормализации .1 Это позволяет рассмат-
ривать коэффициент нормализации как критерий близости закона распределения,
заданного статистическим рядом, к нормальному распределению, с точки зрения
формирования допустимых отклонений значений параметров.
2. Формирование допусковых областей
При независимых законах распределения значений параметров элементов
плотность многомерного распределения принимает вид
,
)(
2
1
exp)(
1
2
2
1
n
i i
ii
n
i
i
mx
FXf (13)
где },,{ 1 nxxX — множество значений параметров элементов, n — количе-
ство элементов.
Если коэффициенты поля рассеяния одинаковы для всех элементов, то в со-
ответствии с выражением (11) на границе области рассеяния плотность распреде-
ления (13) принимает значение
88 ISSN 0572-2691
,
2
exp)(
2
1
n
i
ib FXf (14)
где },,{ 1 bnbb xxX — множество координат граничной точки области рассея-
ния, bix — координата граничной точки области рассеяния.
Из соотношений (13) и (14) вытекает эллипсоидное уравнение для границ об-
ласти рассеяния:
.1
)(
1
2
2
n
i i
ii
l
mx
(15)
Соотношение (15) может использоваться для описания участков гиперпо-
верхности области рассеяния, которые формируются с участием законов распре-
деления значений параметров всех элементов. На участках, где граница формиру-
ется только одним законом распределения, область рассеяния ограничивается
плоскостями, параллельными осям координат. Таким образом, область рассеяния
принимает вид брусоэллипсоидной структуры — бруса со сглаженными верши-
нами, которые формируются вершинными эллипсоидами. Форма брусоэллипсо-
идной структуры зависит от коэффициента нормализации распределения и знака
отклонения параметров элементов, участвующих в формировании граничных зна-
чений выходной функции. Пример конфигураций области рассеяния для выход-
ной функции 2
21 / xxy показан на рис. 2, где w — область работоспособности
устройства; ,i n и s — области рассеяния, формируемые при интерваль-
ном и нормальном законе распределения параметров и распределении, заданном
статистическим рядом; ,
i
y ,
n
y
s
y и iy , ,ny sy — нижние и верхние значения
интервала изменения выходной функции при интервальном и нормальном зако-
нах распределения значений параметров и распределении, заданном статистиче-
ским рядом. x и x — граничные значения параметров элементов, определяющие
границы допусковой области; m и m — координаты центров вершинных эллип-
соидов, сопрягаемых с плоскостями x и .x
n
w
i
s
x
x2
1x
1m
1rx 1x
1m
2x
2m
2rx
2m
2x
n
y
s
y
i
y
iy
sy
ny
Рис. 2
Граничные значения параметров элементов определяются с помощью соот-
ношений:
,lii xx uii xx , )),()(( rli XyXy (16)
,uii xx lii xx , )),()(( rli XyXy (17)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 89
где },,{ 1 rnrr xxX — множество номинальных значений параметров элемен-
тов; liX — множество ,rX у которого i-й элемент принимает значение .lix
Соотношения (16) и (17) определяют границы допусковой области и гранич-
ные отклонения значений параметров элементов:
,riii xxh ,riii xxh (18)
где ih и ih — отклонения параметров элементов, соответствующие граничным
значениям выходной функции y и .y
Соотношение (8) тогда принимает вид
.ii hh (19)
При интервальном распределении значений параметров и монотонных вы-
ходных функциях граничные значения выходных функций определяются выра-
жениями
),(Xyy
i
),(Xyyi (20)
где },,{ 1 nxxX и },,{ 1 nxxX — множество координат вершин интерваль-
ной допусковой области.
Множества X и X определяют границы допусковой области и при иных
распределениях значений параметров. Но при нормальном законе распределения
значений параметров для определения значений выходной функции вместо пря-
мой подстановки (20) используется метод касательных [6, 8]. В случае распреде-
лений, заданных статистическими рядами, по-видимому, возможно использование
подобного подхода, если будут определены параметры вершинных эллипсоидов.
Для этого необходимо сначала определить коэффициенты нормализации распре-
делений при формировании нижнего и верхнего граничных значений интервала
изменения выходной функции:
,lii
uii ),0( ih (21)
,uii
lii ),0( ih (22)
где
i
и i — коэффициенты нормализации распределений при формировании
нижнего и верхнего граничных значений интервала изменения выходной функции.
Тогда ширина поля рассеяния распределений и координаты центров симметрии
эллипсоидов определяются с помощью выражений:
,iii hl ,iii hl (23)
,iii lxm ,iii lxm (24)
где ,il il и ,im im — ширина поля рассеяния распределений и координаты цен-
тров симметрии эллипсоидов.
Использование выражений (21)–(24) в процедурах анализа и назначения до-
пусков приводит к отклонениям, которые, как следует из рис. 2, могут существен-
но отличаться от интервальных и нормальных допусков. Для отличия таких до-
пусков от интервальных и нормальных используется определение статистически-
ориентированных допусков.
Определение 4. Статистически-ориентированными допусками называются
допуски, которые определяются, исходя из статистического ряда распределения
значений параметров элементов.
90 ISSN 0572-2691
3. Анализ статистически-ориентированных допусков
В задачах анализа допусков определяются отклонения выходных функций
в точках касания границ области работоспособности и области рассеяния. Для
определения координат этих точек необходимо провести отождествление каса-
тельных гиперплоскостей к границам области работоспособности и вершинным
эллипсоидам.
Уравнения касательной гиперплоскости к границе области работоспособно-
сти записывается в виде
,
1
0
n
i
ibibb xaay (25)
где by — значение выходной функции в точке касания границы области работо-
способности и области рассеяния;
bXi
bi
x
y
a
— линейные коэффициенты раз-
ложения выходной функции в ряд Тейлора; },,{ 1 bnbb xxX — множество ко-
ординат точки касания границ области работоспособности и области рассеяния;
.
1
0
n
i
bibibb xaya
Уравнение касательной (25) можно записать в виде
,
1
b
n
i
ibi bwa
(26)
где biii mxw — отклонение координат касательной гиперплоскости (26) от
центра симметрии граничного эллипсоида; bim — координата центра симметрии
граничного эллипсоида; .
1
0
n
i
bibibbb maayb
Уравнение касательной гиперплоскости к граничному эллипсоиду области
рассеяния записывается в виде соотношения
,1
1
2
n
i bi
ibi
l
ww
(27)
где bibibi mxw — отклонение граничной точки эллипсоида от его центра
симметрии; bil — ширина поля рассеяния граничной модели статистического ря-
да.
Касательные гиперплоскости (26) и (27) тождественны, если выполняются
условия
2
bi
bi
bi
bi
l
w
b
a
).,1( ni (28)
Отклонения граничной точки определяются из системы уравнений (28), если из-
вестны параметры модели (25). В связи с нелинейностью выходной функции вычис-
ление этих параметров проводится в итерационном режиме с помощью алгоритма:
,
)1(
)(
k
bXi
k
bi x
y
a ;
1
)1()()1()(
0
n
i
k
bi
k
bi
k
b
k
b
xaya
,
1
)()(
0
)1()(
n
i
bi
k
bi
k
b
k
b
k
b
maayb ;2
)(
)(
)(
bik
b
k
bik
bi
l
b
a
w (29)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 91
,
)()( k
bibi
k
bi
wmx ).(
)()( k
b
k
b
Xyy
Начальные координаты точки касания и параметры граничных эллипсоидных
поверхностей выбираются с помощью соотношений (16)–(24). Алгоритм (29) за-
вершается при достижении заданной точности определения граничного значения
выходной функции:
,
)(
)1()(
k
b
k
b
k
b
y
yy
(30)
где — заданное значение точности вычисления граничного значения выходной
функции.
4. Назначение статистически-ориентированных допусков
В задачах назначения допусков проводится оптимизация целевой функции
при заданных законах распределения значений параметров элементов, интервале
изменения выходной функции и номинальных значениях параметров элементов.
Законам распределения значений параметров, заданных статистическими рядами,
соответствует оптимизационная задача:
optimum;)G( H
},,{)( 1 ikiij ffxf );,1,,1( kjni
;yy
rXX ),0( ih (31)
где )G(H — целевая функция, },,{ 1 nhhH — множество интервалов допу-
стимых отклонений значений параметров, ];[ iii hhh — интервал изменения до-
пустимых отклонений значений параметров, )( ijij xff — значение плотности
j-го члена статистического ряда i-го параметра; k — количество членов статисти-
ческого ряда, ];[ yyy — интервал изменения выходной функции.
Задача (31) решается установлением связей между параметрами касательных
гиперплоскостей к границам области работоспособности и области рассеяния
с параметрами законов распределения и целевой функции. Связь между парамет-
рами касательных гиперплоскостей устанавливается подстановкой соотноше-
ний (28) в уравнение касательной гиперплоскости (26):
.2
1
22
b
n
i
bibi bla
(32)
Особенности закона распределения значений параметров элементов учиты-
ваются подстановкой в уравнения (32) соотношений (23):
,2
1
222
b
n
i
ibibi bha
(33)
где b — коэффициент нормализации граничной модели при заданных отклоне-
ниях выходной функции.
Уравнение (33) используется в процедурах назначения статистически-
ориентированных допусков, если задано одно из граничных значений выходной
функции. В случаях, когда задана ширина интервала изменения выходной функ-
ции, из соотношений (26) формируется уравнение
92 ISSN 0572-2691
,)(
1
w
n
i
iiii bwawa
(34)
где ia и ia — линейные коэффициенты разложения выходной функции в ряд Тейло-
ра при нижних и верхних значениях интервала и ее изменения; )( 00 aawb yw
;)(
1
n
i
iiii mama yywy — ширина интервала изменения выходной функ-
ции; 0a и 0a — коэффициенты ,0ba определяемые с помощью выражений (25)
при нижнем и верхнем граничных значениях выходной функции; im и im — ко-
ординаты центров симметрии вершинных эллипсоидов, определяемые при ниж-
нем и верхнем граничных значениях выходной функции;
iw и iw — отклонения
координат точек касания границ области работоспособности и области рассеяния
от центров симметрии вершинных эллипсоидов при нижнем и верхнем граничных
значениях выходной функции.
После подстановки соотношений (19), (23) и (28) уравнение (34) преобразу-
ется к виду, который используется в процедурах назначения статистически-
ориентированных допусков при заданной ширине интервала изменения выходной
функции:
.
1
2
2222
w
n
i
i
iiii bh
b
a
b
a
(35)
Уравнения (33) и (35) отличаются от уравнений, которые используются при
назначении нормальных допусков, только множителями
2
i . Поэтому в процеду-
рах назначения статистически-ориентированных допусков могут использоваться
подобные оптимизационные соотношения. Например, при назначении равных до-
пусков в задаче (33) используется соотношение
n
j
rjbjbjbbi xab
1
2222
/ ),,1( ni (36)
где ribibi xh / — относительные допустимые отклонения параметров элемен-
тов; bih — отклонения параметров элементов при заданных граничных значениях
выходной функции.
Знак отклонений (36) определяется с помощью выражений:
).0(,
),0(,
iii
iii
a
a
(37)
В стратегии максимального объема допусковой области используются опти-
мизационные соотношения:
ribibi
b
bi
xan
b
).,1( ni (38)
Подобным образом изменяются оптимизационные соотношения в задачах
(35) и других стратегиях назначения допусков. Следует только иметь в виду, что в
алгоритмах назначения статистически-ориентированных допусков необходимо
учитывать особенности формирования брусоэллипсоидных допусковых областей.
Если задано одно из граничных значений выходной функции, то алгоритм назна-
чения статистически-ориентированных допусков записывается в виде алгоритма.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 93
Шаг 1. Определяются начальные значения допустимых отклонений парамет-
ров: ,/ ny где rrby yyy /)( — относительное допустимое отклонение
выходной функции.
Шаг 2. Определяются начальные координаты граничных вершин допусковой
области:
),1( rii xx ),1( rii xx )),()(( ri XyXy
),1( rii xx ),1( rii xx )),()(( ri XyXy
где lX — множество ,rX у которого i-й элемент принимает значение ).1( rii xx
Шаг 3. Определяются параметры брусоэллипсоидной области рассеяния.
Используются соотношения (18) и (21)–(24).
Шаг 4. Определяются параметры модели границ области работоспособности.
Используются соотношения (25) и (26).
Шаг 5. Определяются оптимальные значения допустимых отклонений пара-
метров элементов. Используются соотношения (36), (38) или другие оптимальные
соотношения, учитывающие изменение условий оптимизационной задачи (вид
ограничений, стратегия оптимизации и т.д.)
Шаг 6. Уточняется оптимальное значение допустимых отклонений парамет-
ров элементов:
).(
)1()(2)1()(
k
i
k
i
k
i
k
i hhhh (39)
Шаг 7. Определяются координаты точки касания границ области работоспо-
собности и области рассеяния. Используются соотношения (29).
Шаг 8. Проверяется условие
.
)(
b
k
b
y
yy
(40)
Если условие не выполняется, то осуществляется переход на шаг 4, иначе —
конец алгоритма.
Выражение (39) используется в алгоритме для улучшения сходимости итера-
ционного процесса при малых значениях коэффициента нормализации, когда до-
пустимые статистически-ориентированные отклонения приближаются к интер-
вальным допускам. Двухсторонние ограничения выходной функции учитываются
в шаге 5 соответствующими оптимизационными соотношениями. В условие за-
вершения алгоритма (40) в этом случае подставляется заданное и текущее значе-
ния ширины интервала изменения выходной функции.
5. Исследование статистически-ориентированных допусков
Между интервальными и нормальными допусками существует однозначная
взаимосвязь, которая для стратегии максимального объема допусковой области
записывается в виде [6]
,in n (41)
где n и i — нормальные и интервальные допуски.
94 ISSN 0572-2691
Связь между нормальными и статис-
тически-ориентированными допусками име-
ет более сложный вид, учитывающий пара-
метры допусковой области со сглаженными
вершинами. Исследование этой зависимости
проводилось на примере неинвертирующего
фильтра нижних частот [12], показанного на
рис. 3.
Рассматривалась стратегия максимального объема допусковой области. Ко-
эффициент нормализации распределений задавался одинаковым для обеих границ
рядов распределения и для всех электрорадиоэлементов. Частоту среза фильтра
120 Гц обеспечивали номинальные значения параметров элементов R1 5,76 кОм;
R2 15,4 кОм; C1 0,18 мкФ; C2 0,068 мкФ. В полосе частот от 0 до 50 Гц зату-
хание ограничивалось значениями %11a . Поддерживалась точность вычис-
лений 510 .
Затухание фильтра рассчитывалось с помощью выражения
,1 2
21 pbpba
где jp — комплексная частота; ;2 f ;1j ;)( 2211 CRRb
.21212 CCRRb
Результаты назначения допусков
для нижней границы затухания при
различных значениях коэффициента
нормализации приведены в таблице.
Первая строка таблицы формирова-
лась по результатам назначения ин-
тервальных допусков ),0(
остальные строки — с помощью ал-
горитма назначения статистически-
ориентированных допусков. С уве-
личением коэффициента нормализа-
ции допустимые отклонения пара-
метров элементов увеличиваются, достигая при 1 значений нормальных допус-
ков, определяемых с помощью выражения (41). При значениях коэффициента норма-
лизации 02,0 статистически-ориентированные допуски превышают интерваль-
ные не более чем на 1 %, что позволяет в этих случаях использовать интервальную
оценку допустимых отклонений.
Заключение
Разработанный метод допускового проектирования позволяет проводить ана-
лиз и назначать допустимые отклонения значений параметров при различных стра-
тегиях оптимизации в случаях, когда законы распределения значений параметров
заданы статистическими рядами. Аппроксимация граничных участков статистиче-
ских рядов проводится функцией, которая подобна функции плотности распреде-
ления нормального закона. Это позволило создавать области рассеяния с верши-
нами, сглаженными с помощью эллипсоидных поверхностей — брусоэллипсоид-
ные области рассеяния.
При анализе и назначении допусков в методе используется условие тожде-
ственности касательных гиперповерхностей к границам области работоспособно-
сти и вершинным эллипсоидным поверхностям. Это позволило в уравнениях
С1
С2
R1 R2
Uin
Uout
DA1
Рис. 3
Таблица
Коэффициент
нормализации
Допускаемые отклонения
параметров элементов, %
R1 R2 C1 C2
0 6,34 7,06 2,62 2,74
0,02 6,41 7,11 2,65 2,76
0,05 6,50 7,24 2,69 2,81
0,1 6,67 7,43 2,76 2,88
0,2 7,04 7,85 2,91 3.04
0,5 8,45 8,92 3,49 3,65
1 12,68 14,12 5,24 5,47
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 95
назначения допусков учитывать параметры моделей границ области работоспо-
собности и параметры брусоэллипсоидной области рассеяния. Полученные опти-
мизационные соотношения превращаются в выражения для оптимизации нор-
мальных допусков при коэффициенте нормализации .1
Исследование показало, что предложенная процедура назначения статисти-
чески-ориентированных допусков может применяться при назначении допусков
в широком диапазоне изменения коэффициентов нормализации. Следует иметь
в виду, что при малых значениях коэффициента нормализации сходимость алго-
ритма ухудшается. Проблемы с вычислениями возникают при ,02,0 когда
интервальные и статистически-ориентированные допуски отличаются незначи-
тельно. В этих случаях может использоваться интервальная оценка допустимых
отклонений параметров.
Предложенный метод обеспечивает такую же точность процедур допускового
проектирования, как и метод касательных при назначении нормальных допусков.
Метод может использоваться и для аналитически заданных законов распределения.
В этих случаях только необходимо проводить аппроксимацию граничных участков
распределений. Исключение составляет интервальное распределение, при котором
допусковая область совпадает с областью рассеяния, которая также имеет вид бруса.
Г.М. Шило
ПРИЗНАЧЕННЯ ДОПУСКІВ
МЕТОДОМ ЗГЛАДЖЕНИХ ВЕРШИН
Запропоновано процедуру формування областей розсіяння, якщо розподіл зна-
чень параметрів елементів задано статистичними рядами. Використано апрок-
симацію законів розподілу на межових ділянках статистичних рядів. Область
розсіяння формується у вигляді брусоеліпсоїдної структури з вершинними еліп-
соїдними гіперповерхнями. Порівняно результати допускового проектування
для різних законів розподілу значень параметрів елементів.
G.N. Shilo
ASSIGNING TOLERANCES BY METHOD
OF SMOOTHED VERTECES
Procedure of shaping scattering regions is suggested if distribution law of values of
parameters of elements is given in the form of statistical series. Approximation
of distribution laws is used on the boundary sections of statistical series. Scattering
region is represented as box-ellipsoid structure with vertex ellipsoid hypersurfaces.
The results of tolerance design are compared for different distribution laws of pa-
rameters values of elements.
1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. — М. : Сов. радио, 1973.
— 199 с.
2. Фомин А.В., Брисов В.Ф., Чермошевский В.В. Допуски в РЭА. — М. : Сов. радио, 1973. —
128 с.
3. Михайлов А.В., Савин С.К. Точность радиоэлектронных устройств. — М. : Машинострое-
ние, 1976. — 214 с.
4. Kolev L.V. Interval methods for circuit analysis. — Singapore : World Scientific, 1993. — 307 p.
5. Лычак М.М., Евтушок В.П. Расчет электронных устройств технических систем управления
с использованием множественного подхода // Проблемы управления и информатики. —
2000. — № 1. — С. 105–111.
6. Шило Г.Н. Геометрические методы назначения допусков // Там же. — 2007. — № 2. —
С. 118–126.
96 ISSN 0572-2691
7. Корячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. — М. : Энерго-
атомиздат, 1987. — 400 с.
8. Шило Г.Н., Воропай А.Ю., Гапоненко Н.П. Расчет и назначение допусков методом каса-
тельных // Известия вузов. Радиоэлектроника. — 2006. — 49, № 2. — С. 43–52.
9. Шило Г.Н. Назначение нормальных допусков с учетом ценовых характеристик электрора-
диоэлементов // Там же. — 2012. — 55, № 3. — С. 48–56.
10. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М. : Высш. шк., 2001. — 575 с.
11. Недоступ Л.А., Кіселичник М.Д., Бобало Ю.Я. Основи надійності радіоелектронних при-
строїв. — Л. : ДУ «Львівська політехніка», 1998. — 219 с.
12. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. — М.: Энергоато-
миздат, 1983. — 128 с.
Получено 08.10.2012
После доработки 22.03.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207647 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:59:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шило, Г.Н. 2025-10-11T10:53:11Z 2013 Назначение допусков методом сглаженных вершин / Г.Н. Шило // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 84-96. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207647 621.396.6:004.942 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i10.60 Запропоновано процедуру формування областей розсіяння, якщо розподіл значень параметрів елементів задано статистичними рядами. Використано апроксимацію законів розподілу на межових ділянках статистичних рядів. Область розсіяння формується у вигляді брусоеліпсоїдної структури з вершинними еліпсоїдними гіперповерхнями. Порівняно результати допускового проектування для різних законів розподілу значень параметрів елементів. Procedure of shaping scattering regions is suggested if distribution law of values of parameters of elements is given in the form of statistical series. Approximation of distribution laws is used on the boundary sections of statistical series. Scattering region is represented as box-ellipsoid structure with vertex ellipsoid hypersurfaces. The results of tolerance design are compared for different distribution laws of parameters values of elements. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Назначение допусков методом сглаженных вершин Призначення допусків методом згладжених вершин Assigning tolerances by method of smoothed vertices Article published earlier |
| spellingShingle | Назначение допусков методом сглаженных вершин Шило, Г.Н. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| title | Назначение допусков методом сглаженных вершин |
| title_alt | Призначення допусків методом згладжених вершин Assigning tolerances by method of smoothed vertices |
| title_full | Назначение допусков методом сглаженных вершин |
| title_fullStr | Назначение допусков методом сглаженных вершин |
| title_full_unstemmed | Назначение допусков методом сглаженных вершин |
| title_short | Назначение допусков методом сглаженных вершин |
| title_sort | назначение допусков методом сглаженных вершин |
| topic | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| topic_facet | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207647 |
| work_keys_str_mv | AT šilogn naznačeniedopuskovmetodomsglažennyhveršin AT šilogn priznačennâdopuskívmetodomzgladženihveršin AT šilogn assigningtolerancesbymethodofsmoothedvertices |