Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний

Розглянуто одну процедуру практичної реалізації принципу оптимальності в матричних іграх з порожньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях, де скінченна кількість розігрувань заздалегідь відома. Доведено збіжність цієї процедури, а також показано оцінку середнього виграшу або програшу гравця,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2013
Main Author:	Романюк, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Subjects:	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207648
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний / В.В. Романюк // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859905766815694848
author	Романюк, В.В.
author_facet	Романюк, В.В.
citation_txt	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний / В.В. Романюк // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто одну процедуру практичної реалізації принципу оптимальності в матричних іграх з порожньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях, де скінченна кількість розігрувань заздалегідь відома. Доведено збіжність цієї процедури, а також показано оцінку середнього виграшу або програшу гравця, що бере у ній участь. There is represented a procedure of practical realization of the optimality principle in matrix games with the empty set of saddle points in pure strategies, where the finite number of plays is surely known. This procedure convergence is proved, and also there is shown an estimation of the averaged win payoff or loss payoff of the player, participating in it.
first_indexed	2025-12-07T15:59:47Z
format	Article
fulltext	© В.В. РОМАНЮК, 2013 96 ISSN 0572-2691 УДК 519.832.3 В.В. Романюк СХОДИМОСТЬ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССА КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ОПТИМАЛЬНОСТИ В МАТРИЧНЫХ ИГРАХ С ВИДИМЫМ ГОРИЗОНТОМ РАЗЫГРЫВАНИЙ Введение Антагонистическое моделирование находит свое практическое применение не только, как это принято полагать, в социально-экономической сфере, но и в не- которых технико-технологических процессах, где возникает конфликтное взаи- модействие на этапах оценивания точечных или функциональных параметров этих процессов [1, 2]. Задачи решения антагонистических игр возникают и при решении кооперативных игр [3, 4], моделирующих многосторонние конфликты. При этом, выполняя дискретизацию множеств чистых стратегий игроков, антаго- нистическую игру всегда можно свести к матричной, получая ее точное или при- ближенное решение [5, 6], и для получения эффекта моделирования остается применить это решение [1, 2, 7, 8] на практике. Исследование матричных игр Конечно, если матричная NM  -игра с матрицей выигрыша NMijw  ][W и множествами M iixX 1}{  и N jjyY 1}{  чистых стратегий первого и второго иг- роков соответственно имеет решение в чистых стратегиях, то это решение эле- ментарно используется на практике выбором оптимальной или оптимальных стратегий и собственно сама игра перестает быть игрой как таковой [3, 4, 6]. Если же эта матричная игра (МИ) не решается в чистых стратегиях, то первый игрок вынужден использовать смешанную стратегию P ][ 21 Mppp P как элемент фундаментального )1( M -мерного симплекса ,1,,1]1;0[:][ 1 21            M i ii M M pMipppp P (1) а второй игрок вынужден использовать смешанную стратегию Q ][ 21 Nqqq Q как элемент фундаментального )1( N -мерного симплекса            1,,1]1;0[:][ 1 21 N j jj N N qNjqqqq Q , (2) получая при этом в ситуации },{ QP выигрыш и проигрыш ijji N j M i wqpv    11 T),( QWPQP (3) соответственно. Значение (3) оптимизируется до значения ),( optoptopt QPvv  на оптимальной ситуации },,{ optopt QP где ,][ optopt 2 opt 1opt M Mppp   PP (4) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 97 ,][ optopt 2 opt 1opt N Nqqq   QQ (5) которая всегда существует в игре ,,,  WYX давая игрокам возможность уравно- веситься в силу двойного неравенства T opt T optopt T opt QWPQWPQWP  PP и QQ . (6) Однако это равновесие понимается лишь в смысле математического ожидания выигрыша первого игрока, случайной величины [3, 4], значениями которой явля- ются элементы матрицы .W И это подразумевает бесконечное количество испы- таний (разыгрываний). В реальном же явлении или процессе, моделируемом мат- ричной игрой, количество разыгрываний G конечно и игроки сталкиваются с про- блемой выбора конкретной чистой стратегии в каждом разыгрывании. Частично эта проблема устраняется привязкой спектров ,}{}0:{supp 1 opt opt K kiii k xpXx   P (7) L ljjj l yqYy 1 opt opt }{}0:{supp   Q (8) к вероятностным наборам ],[ optoptoptopt opt 121    KK iiii K pppp P (9) ][ optoptoptopt opt 121    LL jjjj L qqqq Q , (10) где разыгрываются K- и L-мерные случайные величины [9, 10] согласно (9) и (10), ,MK  1 kk ii 1,1  Kk при M ik ii 1}{  Kk ,1 и NL  , 1 ll jj 1,1  Ll при N jl jj 1}{  .,1 Ll  Но, вообще говоря, G , так что при до- статочно малых G, не касаясь случая ,1G игрок просто не успевает применить некоторые стратегии из спектра (7) или (8), что делает ситуацию },{ optopt QP не- реализуемой, а значение ),( optoptopt QPvv  стает недостижимым. С другой сто- роны, игроки, оптимизируя свои выигрыш и проигрыш соответственно на протя- жении G разыгрываний, находятся в процессе уравновешивания их средних зна- чений, поэтому число optv может быть достигнуто условно, с некоторой уступкой. Такой подход показан в [11], где для каждого из игроков введены функции допусков потерь )(1 g и ),(2 g ,,1 Gg  формируемые под условием их монотонного убывания. Эти функции сходны по смыслу с коэффициентом дис- контирования в так называемых повторяющихся играх [12, 13], где с течением време- ни вклад выигрыша игрока в его средний выигрыш усиливается. Тем не менее теория повторяющихся игр, располагая многими концепциями равновесности [14, 15], не предоставляет ни метода их объединения в единый принцип оптимальности для повторяющихся МИ при G , ни однозначной связи с МИ с бесконечным ко- личеством разыгрываний [16, 17]. Объектом исследования послужат МИ с пустым множеством седловых точек в чистых стратегиях (ПМСТЧС), где игроки полностью информированы [4, 6]. Необходимо доказать, что использование игроками монотонно убывающих функ- ций допусков потерь не противоречит классическому принципу оптимальности в МИ [3, 4, 6], т.е. в предельном переходе величина среднего выигрыша игрока с учетом уступки как значения функции допусков потерь стремится к числу ).,( optoptopt QPvv  Также покажем оценку среднего выигрыша игрока в первых g разыгрываниях, .,1 Gg  98 ISSN 0572-2691 Сходимость и оценки процедуры практической (компьютерной) реализации принципа оптимальности в матричных играх В каждой партии игры игроки сначала предварительно выбирают чистые стратегии из спектров (7) и (8) с помощью разыгрывания, например одномерной случайной величины. Первый игрок разыгрывает равномерно распределенную на единичном полусегменте )1;0[ случайную величину  [18], и если ее значение                opt 1 opt 1 1 ; kk i u k i u k pp (11) для },1{ Ku [11, 18], то он предварительно выбирает чистую стратегию ui x . Аналогично второй игрок разыгрывает равномерно распределенную на единич- ном полусегменте )1;0[ случайную величину  , и если ее значение                opt 1 opt 1 1 ; ll j z l j z l qq (12) для },,1{ Lz то он предварительно выбирает чистую стратегию . zj y Заметим, что здесь игроки пока еще не используют предварительно выбранные стратегии, а лишь формально их фиксируют. Реальный выигрыш первого игрока в g-м разыгрывании [11, 19] обозначим ),(gv .,1 Gg  Полагаем, что игроки придерживаются классического принципа оптимальности, т.е. среди выбранных ими чистых стратегий нет тех, которые не входят в спектры (7) и (8), и выбор производится с соответствующими вероятно- стями из (9) и (10), что поддерживает двойное неравенство (6). Тогда каждый раз, получая некий выигрыш ),(gv первый игрок может по элементам со значением )(gv матрицы W определить, какой именно чистой стратегией из спектра (8) вос- пользовался его оппонент в g-й партии игры. Второй игрок действует аналогично. Если во время g-й партии игры (еще не разыгранной) для предварительно за- фиксированной стратегии , ti x ,}{ 1 K kkt  имеет место неравенство [11] )(),(~)( 1 )()( 1 1opt 1 11 1 1 gvgxvmv g gqwmv g tllt i g m jji L l g m                         (13) с некоторой функцией допусков потерь )(1 g первого игрока, )1()(0 11  gg ,,2 Gg  где второй игрок в )1( g -й партии игры воспользовался чистой стра- тегией , sj y ,}{ 1 L lls  , )1()1()1()1( ])1()1()1()1([ 121 opt121          G c G c G c G c qqqq LLL jjjj LL  Q (14)   opt )1( lj l Gqc ,,1 Ll  (15)      G gcgc G gc gq sss js )( 2 ]1)1([sign11)1( )( , 2 ]1)1([sign1 )1( 1)1( )1(      gc gc gc gq s s s js (16)              2 ]1)1([sign1 )1( 1)1( )1(1)1()( gc gc gc gqgqgq s s s jjj sll G gc gq l js )( )]1(1[ 1   },{\},1{ sLl (17) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 99 то первый игрок разыгрывает случайную величину  до того момента [11, 19], пока для некоторой чистой стратегии , ri x ,}{ 1 K kkr  не будет выполнено нера- венство ).(),(~)( 1 )()( 1 1opt 1 11 1 1 gvgxvmv g gqwmv g rllr i g m jji L l g m                         (18) Если во время g-й партии игры для предварительно зафиксированной страте- гии , hj y ,}{ 1 L llh  имеет место неравенство [11] )(),(~)( 1 )()( 1 2opt 1 11 1 1 gvgyvmv g gpwmv g hkhk j g m iji K k g m                         (19) с некоторой функцией допусков потерь )(2 g второго игрока, )1()(0 22  gg ,,2 Gg  где первый игрок в )1( g -й партии игры воспользовался чистой стра- тегией , ri x ,}{ 1 K kkr  , )1()1()1()1( ])1()1()1()1([ 121 opt121          G d G d G d G d pppp KKK iiii KK  P (20)   opt )1( ki k Gpd ,,1 Kk  (21)      G gdgd G gd gp rrr ir )( 2 ]1)1([sign11)1( )( , 2 ]1)1([sign1 )1( 1)1( )1(      gd gd gd gp r r r ir (22)              2 ]1)1([sign1 )1( 1)1( )1(1)1()( gd gd gd gpgpgp r r r iii rkk G gd gp k ir )( )]1(1[ 1   },{\},1{ rKk (23) то второй игрок разыгрывает случайную величину  до того момента, пока для некоторой чистой стратегии , sj y ,}{ 1 L lls  не будет выполнено неравенство [11] ).(),(~)( 1 )()( 1 2opt 1 11 1 1 gvgyvmv g gpwmv g sksk j g m iji K k g m                         (24) Несмотря на то, что монотонно убывающие функции допусков потерь )(1 g и )(2 g каждый игрок определяет самостоятельно, все же в работе [11] предло- жен следующий вид этих функций: ),/(1)( 1/ na nn ggg  ,0n ,0na }.2,1{n (25) Очевидно, что во время первой партии игры, когда 1g и еще ничего не извест- но о предыстории разыгрываний, для нижней цены lowV и верхней цены upV иг- ры должно быть ,)minmax()( 1 ,1,1 opt 1 lowopt1     ij NjMi wvVv (26) .)maxmin()( 1 opt ,1,1 1 optup2     vwvV ij MiNj (27) 100 ISSN 0572-2691 Тогда имеет место следующее утверждение о сходимости изложенной модели практической реализации принципа оптимальности, т.е. реального использования игроками стратегий (4) и (5). Теорема 1. В матричной NM  -игре NMij N jj M ii wyx  ][,}{,}{ 11 использу- емая игроками процедура (11), (13)–(18) и (12), (19)–(24) с функциями допусков потерь (25) для практической реализации принципа оптимальности является схо- дящейся в смысле .),(~)( 1 lim),(~)( 1 lim 1 1 opt 1 1                        gyvmv g vgxvmv g sr j g mg i g mg (28) Доказательство. Первый игрок выбирает свою чистую стратегию , ri x ,}{ 1 K kkr  исходя из условия (18), откуда получается ,))(/1(lim)]([lim),(~)( 1 lim opt /1 1opt1opt 1 1 1 vggvgvgxvmv g a gg i g mg r               т.е. .),(~)( 1 lim opt 1 1 vgxvmv g ri g mg             (29) С другой стороны, второй игрок выбирает свою чистую стратегию , sj y ,}{ 1 L lls  исходя из условия (24), откуда ,))(/1(lim)]([lim),(~)( 1 lim opt /1 2opt2opt 1 1 2 vggvgvgyvmv g a gg j g mg s               т.е. .),(~)( 1 lim opt 1 1 vgyvmv g sj g mg             (30) В левых частях (29) и (30) под знаком предела находятся значения ),(~ gxv ri и ),,(~ gyv sj являющиеся одним и тем же ожидаемым выигрышем первого игрока в g-м разыгрывании. Поэтому и левые части неравенств (29) и (30) являются рав- ными, а одновременное выполнение этих неравенств записывается как (28). Теорема доказана. Важным с точки зрения тактики разыгрываний и прогноза фактического ис- хода конфликта [3, 7, 19] является оценивание среднего выигрыша игрока в пер- вых g разыгрываниях, .,1 Gg  Теорема 2. В матричной NM  -игре NMij N jj M ii wyx  ][,}{,}{ 11 при ис- пользовании первым игроком процедуры (11), (13)–(18) с функцией допусков по- терь (25), ,1n справедлива оценка . )1( ),(~)( 1 11 11 /)1( low /)1( opt 1 1 aa aa i g m g Vgv gxvmv g r               (31) В этой же игре при использовании вторым игроком процедуры (12), (19)–(24) с функ- цией допусков потерь (25), ,2n справедлива оценка . )1( ),(~)( 1 22 22 /)1( up /)1( opt 1 1 aa aa j g m g Vgv gyvmv g s               (32) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 101 Доказательство. Из соотношения (26) для функции допусков потерь первого игрока 1/)1( 11 )()( 11   aa gg получается ,/1 1lowopt Vv что дает , 1 )( 1111 /)1( 1 1/)1( lowopt aaaa g g g Vv     .)( 1111 /)1( optlow /)1( lowopt 1 aaaa g vV g Vv g      (33) Подставляя (33) в правую часть (18), получаем оценку среднего выигрыша перво- го игрока в первых g разыгрываниях, :,1 Gg              opt1opt 1 1 )(),(~)( 1 vgvgxvmv g ri g m , )1( 11 11 11 /)1( low /)1( opt /)1( optlow aa aa aa g Vgv g vV        (34) откуда немедленно следует (31). Для второго игрока аналогично: , 1 2 optup   vV , 1 )( 2222 /)1( 2 2/)1( optup aaaa g g g vV     (35) и, подставляя (35) в (24), получаем оценку среднего проигрыша второго игрока в первых g разыгрываниях, :,1 Gg              opt2opt 1 1 )(),(~)( 1 vgvgyvmv g sj g m , )1( 22 22 22 /)1( up /)1( opt /)1( optup aa aa aa g Vgv g vV        (36) откуда немедленно следует (32). Теорема доказана. Заключение Процедуры (11), (13)–(18) и (12), (19)–(24) с функциями допусков потерь (25) для практической реализации принципа оптимальности (6) в МИ с ПМСТЧС с видимым горизонтом разыгрываний G (ВГР) легко имплементируется в любую программную среду, контролирующую ход разыгрываний, и если это необходимо, выдающую рекомендации игрокам по применению тех или иных чи- стых стратегий из спектров (7), (8). Эта процедура, являясь моделью процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в МИ с ПМСТЧС с ВГР G , может выполняться и без участия игрока, от которого требуется лишь за- дание количества будущих разыгрываний G. Поскольку ее сходимость доказана в теореме 1, то она отображает принцип оптимальности в МИ с ПМСТЧС как в условиях ВГР, когда конечное число партий игры заведомо известно, так и в условиях бесконечного количества разыгрываний (невидимого горизонта), а оценки (31) и (32) гарантируют получение средних выигрыша и проигрыша пер- вым и вторым игроками соответственно. 102 ISSN 0572-2691 В.В. Романюк ЗБІЖНІСТЬ ТА ОЦІНКА ПРОЦЕСУ КОМП’ЮТЕРНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ ПРИНЦИПУ ОПТИМАЛЬНОСТІ В МАТРИЧНИХ ІГРАХ З ВИДИМИМ ГОРИЗОНТОМ РОЗІГРУВАНЬ Розглянуто одну процедуру практичної реалізації принципу оптимальності в мат- ричних іграх з порожньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях, де скінченна кількість розігрувань заздалегідь відома. Доведено збіжність цієї процедури, а також показано оцінку середнього виграшу або програшу гравця, що бере у ній участь. V.V. Romanuke CONVERGENCE AND ESTIMATION OF A PROCESS OF COMPUTER IMPLEMENTATION OF THE OPTIMALITY PRINCIPLE IN MATRIX GAMES WITH APPARENT HORIZON OF PLAYS There is represented a procedure of practical realization of the optimality principle in matrix games with the empty set of saddle points in pure strategies, where the fi- nite number of plays is surely known. This procedure convergence is proved, and al- so there is shown an estimation of the averaged win payoff or loss payoff of the player, participating in it. 1. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. — М. : Наука, Главная редакция физико- математической литературы, 1990. — 256 с. 2. Таха Хемди А. Введение в исследование операций. — 7-е изд. — М. : Издательский дом «Вильямс», 2005. — 902 с. 3. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М. : Наука, 1985. — 272 с. 4. Оуэн Г. Теория игр. — 2-е изд. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 216 с. 5. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций. — 2-е изд. — М. : Гелиос АРВ, 2006. — 368 с. 6. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. — М. : Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — 304 с. 7. Суздаль В.Г. Теория игр для флота. — М. : Воениздат, 1976. — 318 с. 8. Кунцевич В.М., Чикрий А.А. Управляемые процессы — методы исследования и приложения // Кибернетика и системный анализ. — 2003. — № 4. — С. 11–23. 9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 9-е изд. — М. : Высш. шк., 2003. — 479 с. 10. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — 2-е изд. — М. : Высш. шк., 2000. — 480 с. 11. Романюк В.В. Метод реалізації оптимальних змішаних стратегій у матричній грі з порож- ньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях з відомою кількістю партій гри // Нау- кові вісті НТУУ «КПІ». — 2009. — № 2. — С. 45–52. 12. Renault J., Scarlatti S., Scarsini M. Discounted and finitely repeated minority games with public signals // Mathematical Social Sciences. — 2008. — 56, N 1. — P. 44–74. 13. Chen B., Takahashi S. A folk theorem for repeated games with unequal discounting // Games and Economic Behavior. — 2012. — 76, N 2. — P. 571–581. 14. Neme A., Quintas L. Nash equilibrium strategies in repeated games with and without cost of im- plementation // Operations Research Letters. — 1992. — 12, N 2. — P. 111–115. 15. Wolitzky A. Indeterminacy of reputation effects in repeated games with contracts // Games and Economic Behavior. — 2011. — 73, N 2. — P. 595–607. 16. González-Díaz J. Finitely repeated games: A generalized Nash folk theorem // Ibid. — 2006. — 55, N 1. — P. 100–111. 17. Mannor S., Shimkin N. Regret minimization in repeated matrix games with variable stage dura- tion // Ibid. — 2008. — 63, N 1. — P. 227–258. 18. Томашевський В.М. Моделювання систем. — Київ : Видавнича група BHV, 2005. — 352 с. 19. Итеративные методы в теории игр и программировании / В.З. Беленький, В.А. Волконский, С.А. Иванков, А.Б. Поманский, А.Д. Шапиро. — М. : Наука, 1974. — 240 с. Получено 23.11.2011 После доработки 04.03.2013
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207648
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:59:47Z
publishDate	2013
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Романюк, В.В. 2025-10-11T10:57:06Z 2013 Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний / В.В. Романюк // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207648 519.832.3 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i10.70 Розглянуто одну процедуру практичної реалізації принципу оптимальності в матричних іграх з порожньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях, де скінченна кількість розігрувань заздалегідь відома. Доведено збіжність цієї процедури, а також показано оцінку середнього виграшу або програшу гравця, що бере у ній участь. There is represented a procedure of practical realization of the optimality principle in matrix games with the empty set of saddle points in pure strategies, where the finite number of plays is surely known. This procedure convergence is proved, and also there is shown an estimation of the averaged win payoff or loss payoff of the player, participating in it. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний Збіжність та оцінка процесу комп’ютерної реалізації принципу оптимальності в матричних іграх з видимим горизонтом розігрувань Convergence and estimation of the process of computer implementation of the optimality principle in matrix games with apparent play horizon Article published earlier
spellingShingle	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний Романюк, В.В. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
title	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
title_alt	Збіжність та оцінка процесу комп’ютерної реалізації принципу оптимальності в матричних іграх з видимим горизонтом розігрувань Convergence and estimation of the process of computer implementation of the optimality principle in matrix games with apparent play horizon
title_full	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
title_fullStr	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
title_full_unstemmed	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
title_short	Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
title_sort	сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний
topic	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
topic_facet	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207648
work_keys_str_mv	AT romanûkvv shodimostʹiocenkaprocessakompʹûternoirealizaciiprincipaoptimalʹnostivmatričnyhigrahsvidimymgorizontomrazygryvanii AT romanûkvv zbížnístʹtaocínkaprocesukompûternoírealízacííprincipuoptimalʹnostívmatričnihígrahzvidimimgorizontomrozígruvanʹ AT romanûkvv convergenceandestimationoftheprocessofcomputerimplementationoftheoptimalityprincipleinmatrixgameswithapparentplayhorizon

Сходимость и оценка процесса компьютерной реализации принципа оптимальности в матричных играх с видимым горизонтом разыгрываний

Institution

Similar Items