Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)

Визначено залежність валового внутрішнього продукту від науково-технічного прогресу, капіталу і праці у вигляді узагальненої виробничої функції Кобба– Дугласа. Проведено оцінювання за статистичними даними параметрів виробничої функції і коефіцієнта використовування капіталу, що змінюються у часі. De...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2013
Автор:	Корхин, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Теми:	Экономические и управленческие системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207652
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины) / А.С. Корхин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859705829125521408
author	Корхин, А.С.
author_facet	Корхин, А.С.
citation_txt	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины) / А.С. Корхин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Визначено залежність валового внутрішнього продукту від науково-технічного прогресу, капіталу і праці у вигляді узагальненої виробничої функції Кобба– Дугласа. Проведено оцінювання за статистичними даними параметрів виробничої функції і коефіцієнта використовування капіталу, що змінюються у часі. Dependence of a gross domestic product on a scientific and technological progress, a labor and a capital as generalization of Cobb–Douglas production function is studied. The evaluation of varying production function parameters and usage of capital is described.
first_indexed	2025-12-01T02:49:51Z
format	Article
fulltext	© А.С. КОРХИН, 2013 126 ISSN 0572-2691 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 681.5.015:330.101.541 А.С. Корхин МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА В ТРАНСФОРМАЦИОННОМ ПЕРИОДЕ (НА ПРИМЕРЕ УКРАИНЫ) 1. Описание модели В настоящей статье под моделью экономического роста будем подразумевать зависимость валового внутреннего продукта (ВВП) от влияющих на него факто- ров: основных средств (капитала), труда и научно-технического прогресса (НТП). Основные положения, на которых основывалась разработка модели, следующие. 1. Модель представляет собой обобщение производственной функции (ПФ) Кобба–Дугласа. 2. Характеристики процесса экономического роста могут изменяться во вре- мени. Это свойство, очевидно, характерно для любой трансформационной эконо- мики, в том числе и украинской. Поэтому, чтобы модель была адекватной, ее па- раметры должны изменяться во времени. 3. Отслеживание нестационарных параметров модели производится в зави- симости от текущего времени t. Причем параметры, описывающие темп роста НТП, ввиду его определенной инерционности, считаются постоянными в течение двух периодов времени. Заметим, что в эконометрической литературе этот темп считается постоянным на всем интервале наблюдения. Чтобы учесть динамику темпа роста НТП, разобьем интервал наблюдения длиной T на N отрезков ,,[ ]iii TtI = .,1 Ni= Причем ,1 ,1 11 +== -ii Ttt ;,2 Ni= .TTN = Отрезок времени iI имеет число наблюдений ,2¢im .,1 Ni= Рассматриваемая модель имеет вид ,))((exp 2110 t q t h ttttt tt XXtbbY xg+= ,,2,1 >=t (1) где ,tY ,1tX 2tX — базисные темпы роста соответственно ВВП, капитала (ос- новных средств) и трудовых ресурсов; tg — коэффициент загрузки капитала, ;10 ¢g¢ t ,0tb ,1tb ,th ,tq ,,1 Tt= — параметры модели; ,tx ,,1 Tt = — слу- чайные величины, характеризующие невязку модели. В (1) темпы роста переменных определяются следующим образом: %,100Ö= V V Y t t %1001 Ö= K K X t t , %1002 Ö= L L X t t . (2) Здесь tV — ВВП в t-м году в стоимостном выражении, tK — капитал в t-м году в стоимостном выражении, tL — трудовые ресурсы в t-м году в тыс. чел. или тыс. отработанных часов; ,V ,K L — величины соответственно ВВП, капитала и трудовых ресурсов в выбранном базисном периоде. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 127 Множитель )exp( 10 tbbu ttt += в (1) характеризует влияние НТП на ВВП. В соответствии с приведенными основными принципами создания модели пока- затели степени множителя постоянны на отрезках времени ,iI .,1 Ni= Поэтому ,0 it cb = ,1 it db = если ,iItÍ ,,1 Tt= .,1 Ni= (3) Согласно (3) ,10 tdctbb iitt +=+ ,iItÍ ,,1 Tt= .,1 Ni= (4) Естественно предположить, что линейная функция времени (4) непрерывная. Тогда (4) представляет собой линейный сплайн. Его коэффициенты должны удовле- творять условию непрерывности в точках стыковки отрезков времени ,iI :,1 Ni= ,)( 111 +++ -=- iiiii tddcc .1,1 -= Ni (5) Согласно (5) стыковка i- и 1+i -го отрезков происходит в первой точке 1+i -го отрезка .1+it Проанализируем коэффициенты ,ic id в (3), характеризующие научно-тех- нический прогресс. Определим логарифм цепного коэффициента его роста как отношение )./(ln 1-= ttt uup Здесь возможны два случая. Первый: ,1-t iItÍ , то- гда .it dp = Второй: ,1 iIt Í- .1+Í iIt В этом случае точкой стыковки отрезков вре- мени iI и 1+iI является .1+it Имеем ,1111 iiiiiiit dtdctdcp +--+= ++++ так как .1+=itt Отсюда с учетом (5) получаем .it dp = Таким образом, для любого i ,it dp = ,1+¢¢ ii ttt .1,1 -= Ni (6) Следовательно, на отрезке времени 1+¢¢ ii ttt логарифм цепного коэффици- ента роста научно-технического прогресса равен .id Согласно (4), (5) коэффициент ic необходим для получения непрерывной функции tbb tt 10+ — показателя сте- пени ,tu .,1 Tt = Из (1)–(3) следует, что параметры модели ,th ,tq ,,1 Tt = и ,ic ,,1 Ni= без- размерные, параметры ,id ,,1 Ni= имеют размерность год- 1 . Подставив в (1) формулы из (2), получим выражение для ВВП в стоимостных единицах ,))(exp( 10 t q t h tttttt tt LKtbbaV xg+= ,,2,1 >=t (7) где ./100 1 tttt qhqh t LKVa -+ = Описанная в литературе, см., например, [1], общая форма производственной функции Кобба–Дугласа в наших обозначениях имеет вид ,))(exp( t q t h tt LKbtaV x= .1=+qh В [2, 3] это выражение обобщается и принимает вид ,))(exp( tt q t h ttt LKbtV g= .1=+ tt qh (8) Отличие модели (7) от модели (8) состоит в следующем. В (8) логарифмиче- ский цепной коэффициент роста НТП b постоянный во времени, в (7) он является функцией времени, что потребовало для описания влияния НТП на ВВП ввести два коэффициента: 0tb и ,1tb зависящих от времени. В (8) отсутствует множи- тель, неоходимый для учета способа отсчета времени в модели. В модели [1] 128 ISSN 0572-2691 это а, в нашей модели его роль выполняет множитель .exp 0tb Кроме того, на th и tq в (8) наложено ограничение, а случайная мультипликативная компонента tx отсутствует. Последнее предполагает, что зависимость ВВП от труда и капитала можно точно описать производственной функцией Кобба–Дугласа с двумя фактора- ми. На самом деле такая зависимость приближенная. Таким образом, модель (7) яв- ляется обобщением выражения (8). 2. Задача оценивания 2.1. Преобразование модели и переменных. Линеаризуем модель (1), взяв логарифм от обеих частей этого выражения. Получим ,121 tttttttt tbxqxhAy e++++= ,,2,1 >=t (9) где ,ln,ln,ln,ln 2211 tttttttt XxXxYy x=e=== .ln0 tttt hbA g+= Из выражения для свободного члена tA получаем ),lnln()( 110,101 ---- g-g+-=- tttttttt hhbbAA .,2,1 >=t (10) Согласно (3) í ì ë Í-Í- Í- =- ++ - ,,11 , 0,10 1 если, 1, если,0 iiii i tt ItItcc Itt bb (11) где разность ii cc -+1 определяется по формуле (5), в которой для заданных пери- одов времени t и 1-t известны 1+id и id согласно (3). Из (10) получаем , ln)( ln 110,101 t tttttt t h hbbAA ---- g+--- =g .,3,2 >=t (12) Пусть 1g задано, для текущего периода времени t и предшествующих ему периодов определены параметры модели (9), т.е. известны величины ,tA ,th ,tq 1tb для .,1 t=t Тогда из рекуррентного выражения (12), используя (11), можно найти коэффициент загрузки оборудования в t-м периоде tg для .2 t¢¢t Следовательно, для того чтобы определить неизвестные параметры модели ,ic ,id 0tb и ,tg достаточно знать параметры регрессии (9). Обозначим вектор, составленный из них, как многомерный параметр регрессии ,0 tα а вектор соот- ветствующих независимых переменных — .tx Таким образом, имеем , 1 0 4 0 3 0 2 0 1 0 ù ù ù ù ú ø é é é é ê è = ù ù ù ù ù ú ø é é é é é ê è a a a a = t t t t t t t t t b q h A α , 1 2 1 3 2 1 0 ù ù ù ù ú ø é é é é ê è = ù ù ù ù ú ø é é é é ê è = t x x x x x x t t t t t t tx , 4 3 2 1 ù ù ù ù ú ø é é é é ê è a a a a = t t t t tα (13) где tα — варьируемый параметр регрессии. Покажем, как по компонентам ,0 tα ,,1 Tt = можно найти величины ,ic ,id ,,1 Ni= и ,0tb ,,1 Tt = а также коэффициенты загрузки капитала ,tg .,2 Tt= Из определения tA в пояснениях к формуле (9) имеем ,ln 11101 g+= hbA отсюда ,ln 11110 g-= hAb (14) где величины 1A и 1h — компоненты ,0 1α величина 1g задается. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 129 Из (3) имеем .101 bc = Коэффициенты ,ic ,,2 Ni= находятся из рекуррент- ного соотношения ,)( 111 +++ -+= iiiii tddcc ,1,1 -= Ni (15) которое получается из (5). Коэффициенты ,id ,,1 Ni= в (18) определяются согласно (3) по величинам ,1tb ,,1 Tt = которые являются компонентами ,0 tα .,1 Tt = Из (5) получаем рекуррентную формулу для вычисления коэффициентов загруз- ки капитала ,)( /1/ 1 1 ttt h t hh tt k--g=g )),()((exp 0,111 -- ---= ttttt bbAAk .,2 Tt= Из нее следует формула определения коэффициента загрузки по отношению к вели- чине этого коэффициента в начальный период времени :1g ,)( /1 132 /1 1 th t thh t kkk -g=g ? .,2 Tt= (16) Если положить ,11=g то согласно (16) ,tg ,,2 Tt= будет выражаться в до- лях загрузки капитала в начальном периоде времени. 2.2. Сведение регрессии (9) к регрессии с переменным параметром с ограничениями на него. С учетом обозначений (13) выражение (9) примет вид регрессии с переменным параметром ,0T tttty e+= αx .,2,1 >=t (17) Обозначим вектор неизвестных значений параметра моделируемой системы на интервале наблюдения длиной T .])()([ TT0T0 1 0 Tααα >= Соответственно вектор варьируемых значений параметра обозначим TTT 1 ][ Tααα >= , где ,n t ÁÍα ,4=n .,1 Tt = Согласно (3) имеются ограничения на четвертую компоненту параметра ре- грессии. Для их формализации введем множество }.,1,2:{ Nimi i ===Y Обо- значим число элементов в этом множестве M и запишем его в виде }.,,,{ 21 Miii >=Y Тогда ограничения можно представить как ,11 iTt dbb ii == .YÍi Эти ограничения будем называть обычными или четкими, в отличие от рассматриваемых ниже нечетких ограничений. Для варьируемых значений параметра регрессии приведены ограничения в матричном виде: ,MOgα= (18) где , 10001000 10001000 10001000 )1(,1)1,(1 )1(,1)1,(1 )1(,1)1,(1 22 11 ù ù ù ù ú ø é é é é ê è - - - = --- --- --- MM iTnni iTnni iTnni OO OO OO g ?????????? jlO — нулевая матрица размерности ),( lj³ MO — нулевой M-мерный вектор, размерность матрицы g — .nTM³ Здесь .4=n 2.3. Формулировка задачи оценивания. Естественно считать, что макроэко- номические характеристики меняются достаточно медленно. Тогда различие между 0 1-tα и 0 tα также будет достаточно мало. Это свойство можно формализовать как нечеткое ограничение-равенство на истинные параметры [4] , 00 1 ttt βαα =-+ 130 ISSN 0572-2691 ,1,1 -= Tt где .n t ÁÍβ Компоненты ,tβ ,1,1 -= Tt — нечеткие величины, функции принадлежности которых концентрируются в окрестности нуля. Для ва- рьируемых значений параметра регрессии, очевидно, будет иметь место то же со- отношение: ,1 ttt βαα =-+ .1,1 -= Tt Предположим также, что имеется априорная информация о параметре ре- грессии на начальном отрезке наблюдения в виде величины .0̂ nÁÍα Тогда мож- но записать ,ˆ 101 γαα =- где nÁÍ1γ — нечеткая переменная, функция принад- лежности которой )( 1γ tG f сосредоточена в окрестности нуля. Обобщим [4], введя следующие функции принадлежности tβ и :1γ , 2 exp)( ö ÷ õ æ ç å ¡ -f = tt tBt ββ β ,,1 Tt = . 2 exp)( 111 1 1 ö ÷ õ æ ç å ¡ -=f G γκγ γ Здесь tB и 1G — нечеткие подмножества ;nÁ 1κ — диагональная матрица n-го порядка, ,,1),(diag1 nikii ==κ где булева переменная îí î ì ë = случае. противном в0 компоненте й- об информация априорная имеется если,1 , 0 1αi kii В [4] ,11 nJκ k= где 1k — скаляр ( 11=k или 0), nJ — единичная матрица порядка n. Функция принадлежности допустимого нечеткого множества O оценок па- раметра регрессии =fù ú ø é ê è Ôj=f G - = B )()()( 1 1 1 1 γβα T i t t O ù ù ú ø é é ê è ö ö ÷ õ æ æ ç å -¡-+-- + - = ä )ˆ()ˆ( 2 1 exp 01101 2 1 1 1 αακαααα tt T t , где .][ TTT 1 Tααα >= Параметр регрессии должен иметь максимальную степень принадлежности к допустимой области его значений, таким образом, .max)( f αO Тогда полу- чим, что оценивание , 0 tα ,,1 Tt = в (17) сводится к решению задачи оптимизации с двумя критериями: min, 2 1 )( 2T 1 1 -= ä = ttt T t yF αxα (19) .min)ˆ()ˆ( 2 1 )( 01101 2 1 1 1 2 ö ö ÷ õ æ æ ç å -¡--= ++ - = ä αακααααα tt T t F (20) Пусть на величины параметра регрессии, т.е. на компоненты ,α наложены линейные ограничения-равенства: ,MOGα= (21) где G — матрица размерности ,nTM³ причем nTM ¢ и ранг G равен M. Выражение (21) обобщает (18). Согласно [4] свернем критерии (19), (20) в один; min,)()()( 21 += ααα rFFF .0>r (22) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 131 В соответствии с обозначениями в [4] введем матрицы: ; \если, ,если, )( T T T î î ý î î ü û î î í î î ì ë YÍ YÍ ù ù ú ø é é ê è = Ii i i i i i t T t x x x X )),((diag iXX= ;,1 Ni= ; ... .................. ... ... ù ù ù ú ø é é é ê è - - - = nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn JJOOO OOJJO OOOJJ A ],[ 2/1 1 nnnnnn OOOκL >= , ù ù ù ú ø é é é ê è = L A X M r r ,LLAAXXMM=R ¡+¡+¡=¡ rr (23) где множество Yопределено в разд. 2.2, }.,,2,1{ NI >= Приведем размерности матриц: )(iX ),( nTmi³ X ),( nTT³ A ),)1(( nNNn ³- L ( Nnn³ ), M ),))1((( NnnNnT ³+-+ R ).( nTnT³ Из (19), (20), (22) с учетом обозначений (23) получаем матричную запись за- дачи оценивания: min 2 1 )( 2 -= MαZαF (24) при условии выполнения ограничения (21), где ,])ˆ([ TT 0 21 1 T 1),1( T ακOYZ rNn -= .][ T 21 Tyyy >=Y Теорема 1. Пусть выполняется одно из следующих условий: 1) априорная информация об 0 1α отсутствует (в (20) )1 nnOκ= и матрица T 21 ][ ~ TxxxX ?= размерности )( nT³ имеет полный ранг, равный n; 2) имеется априорная инфор- мация о компонентах 0 1α в виде вектора 0̂α (матрица 1κ ненулевая). Кроме того, на многомерный параметр регрессии наложено ограничение (21), где матрица G размерности )( nTM³ имеет ранг .nTM ¢ Тогда решение задачи (24), (21) для фиксированного 0>r — оптимальное по Парето решение задачи оценивания (19)–(21). Доказательство. Из (24) имеем . 2 1 )( ZZZαMRααα ¡+¡-¡=F Из этого выра- жения видно, что необходимым и достаточным условием существования един- ственного решения задачи (24) является положительная определенность матрицы ,MM=R ¡ которая имеет место, если ранг матрицы M полный. Если отсутствует априорная информация обо всех компонентах 0 1α ),( 1 nnOκ= то M имеет полный ранг при 0>r и выполнении условия 1) теоремы согласно лемме 1 [4]. При наличии априорной информации обо всех компонентах 0 1α )( 1 nJκ= в соответствии с леммой 1 [4] матрица M имеет полный ранг, когда 0>r и мат- рица ù ù ú ø é é ê è = nrJ X X ~ ~ 1 имеет полный ранг. В случае выполнения условия 2) теоремы . ~ ~ 21 1 1 ù ù ú ø é é ê è = nr Jκ X X Из данного выражения видно, что наличие хотя бы одного ненулевого элемента на главной диагонали ,1κ даже при линейной зависимости столбцов матрицы , ~ X дает полный ранг матрицы . ~ 1X Таким образом, матрица M имеет полный ранг, а следовательно, матрица R положительно определена при выполнении условий 1), 2) теоремы. Тогда решение задачи (24) для этих условий единственное. 132 ISSN 0572-2691 В силу выпуклости допустимой области, задаваемой ограничением (21) и пол- ного ранга матрицы G, решение задачи (24), (21) также будет единственным и, сле- довательно, оптимальным по Парето. Теорема доказана. Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 функция )(αF в (24) стро- го выпуклая. Это свойство следует из существования полного ранга матрицы M, см. дока- зательство теоремы 1. В соответствии с терминологией [4] оптимальное по Парето решение задачи (24), (21), которое обозначим ),(rGα называется P-оценкой (здесь индекс G озна- чает оценку с учетом ограничения (21)). Для вычисления единственной P-оценки ),(rGα которая определяет модель (17), воспользуемся методикой [4], разработанной для случая отсутствия обычных ограничений на параметр регрессии. Она заключается в нахождении величины ],,[ 10 * rrLrr =Í= которая определяет искомое решение. Здесь 0r и 1r — неиз- вестные величины, определение которых рассматривается ниже (в [4] рассмотрен случай ).1 ¤=r Обозначим ),())(( rfrF ii =Gα где )(rGα — P-оценка. Относительно свойств функций ,2,1),( =irfi имеются следующие утверждения. Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы 1, WÍα , где ,:{ MOGαα ==W }nTÁÍα — выпуклое множество. Тогда функция )(2 rf строго монотонно убы- вает для .0²r Доказательство. Множество W выпуклое, так как задано M выпуклыми функ- циями. Тогда утверждение леммы следует из леммы 2 [4]. Лемма 2. Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда функция )(1 rf строго монотонно возрастает для .0²r Доказательство. Данное утверждение следует из лемм 3–5 [4], которые спра- ведливы и для условий настоящей леммы. Это соображение обосновывается тем, что используемые при доказательстве леммы 4 в [4] теорема 38 в [5], теоремы 2.82 и 5.3 в [6] верны, если наложенные на компоненты a α ограничения и функция це- ли выпуклые. Действительно, в рассматриваемой задаче оценивания ограничение (21) состоит из M линейных, т.е. выпуклых ограничений-равенств, а функция )(αF строго выпуклая согласно следствию 1. Доказательства лемм 3, 5 [4] не зависят от того, имеются ли четкие ограничения на .α Приведенные две леммы позволяют свести определение r к анализу реше- ний задачи с двумя нечеткими целями для ],[ 10 rrLr =Í [4]: 1) )(1 rf должно быть близким к ),( 01 rf 2) )( 12 rf должно быть близким к 0. Тогда согласно [4] ),(maxarg rr Lr m= Í )),(),((min)( 21 rrr jj=m (25) где ,2,1 ),/())(()( 122 =--=j iffrffr iiiii здесь ).(max ),(min 21 rffrff i Lr ii Lr i ÍÍ == (26) Из (24) следует )),(()( 010111 rFrff Gα== ));(()( 111112 rFrff Gα== == )( 1221 rff ,0))(( 12 == rF Gα )).(()( 020222 rFrff Gα== В (25), (26) границы L выбираются с учетом того, чтобы величинам LrÍ со- ответствовали оценки значений параметра регрессии, которые удовлетворяют априорной информации, например, имеют знаки, вытекающие из содержательных соображений. Кроме того, при выборе 0r согласно [4] должно учитываться требо- вание, чтобы решение задачи оценивания было корректным, а при задании 1r Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 133 нужно учитывать максимально допустимую точность модели, определяемую ве- личиной )( 11 rf согласно лемме 2. Согласно леммам 1, 2 функция )(1 rj строго монотонно уменьшается от 1 до 0, а функция )(2 rj строго монотонно увеличивается от 0 до 1. Из обозначений (26) следует: )),(()( 010111 rFrff Gα== == )( 1112 rff ));(( 11 rF Gα= )),(()( 121221 rFrff Gα== )).(()( 020222 rFrff Gα== В случае, когда ,1 ¤=r вычисление )(lim)( r r GG αα ¤ =¤ производится со- гласно следующему утверждению. Теорема 2. Пусть выполняются допущения теоремы 1. Тогда ,̂)( 1α1αG Ã=¤ где 1 — единичный T-мерный вектор, Ã — символ кронекерова произведения матриц, 1̂α — оценка ,0 1α î î í îî ì ë =aaaa =aaaa= =¡¡ = - ).1,1,1,0(diagесли,]ˆˆˆ[ ,если,]ˆˆˆˆ[ˆ ,если, ~ ) ~~ ( ˆ 1 T 04030201 1 T 040302011 1 1 1 κ Jκα OκYXXX α n nn (27) Здесь ,][ T 21 Tyyy >=Y ,0̂ia ,4,2=i — последние три компоненты .ˆ 4 0 ÁÍα В том случае, когда 01̂a — первая компонента 0̂α задана, ,0̂101 a=a в противном случае ,ˆˆˆ 0430320201 txxy a-a-a-=a где ;/ 1 Tyy T t tä = = ,/ 1 Txx T t tii ä = = ;2,1=i ./ 1 Ttt T t ä = = Доказательство. Рассмотрим последовательно оба случая задания 1̂α ( ,1 nnOκ= nJκ=1 и )).1,1,1,0(diag1=κ Случай А. Пусть .1 nnOκ= Решение задачи (24), (21) для ¤=r является решением задачи ,min,)( 11 ttF ααα = + ,1,1 -= Tt NOGα= (28) методом штрафных функций. Равенства ,1 tt αα =+ ,1,1 -= Tt обращают в тождество ограничение .NOGα= Поэтому задача (28) эквивалентна задаче .min ~ )( 2 11 -= αXYαF Ее решение YXXXα ~ ) ~~ (ˆ 1 1 ¡¡= - имеется в первой строке (27). Из (28) следует решение этой за- дачи .ˆˆˆ 21 Tααα === ? Отсюда получаем первое соотношение для ).(¤Gα Случай Б. Пусть ,1 nJκ= т.е. имеется априорная информация об 0 1α в виде вектора .]ˆˆˆˆ[ˆ T 040302010 aaaa=α Следовательно, известна априорная инфор- мация обо всех компонентах .0 1α В этом случае решение задачи (24), (21) для ¤=r является решением задачи min,)(1 αF ,̂01 αα= ,1+= tt αα ,1,1 -= Tt NOGα= (29) методом штрафных функций. Тогда решением (29) будет ,̂ˆ 0αα=t ,,1 Tt = отсю- да в (27) .]ˆˆˆˆ[ˆ T 040302011 aaaa=α Случай В. Рассмотрим ситуацию, когда неизвестна априорная информация о свободном члене 0 11a — первой компоненте ,0 1α т.е. 01a неизвестно. В этом слу- чае положим ).1,1,1,0(diag1=κ Тогда в (20) слагаемое =-¡- )ˆ()ˆ( 01101 αακαα 2 01 4 2 )ˆ( ii i a-a=ä = . Следовательно, задание априорной информации в таком виде поз- 134 ISSN 0572-2691 воляет учесть влияние на все компоненты параметра регрессии величин ,0̂2a 0403 ˆ,ˆ aa . Тогда решение задачи (24), (21) для ¤=r совпадает с решением задачи min,)(1 αF ,0̂1 ii a=a ;4,3,2=i ,1 tt αα =+ ;1,1 -= Tt MOGα= (30) методом штрафных функций. Согласно (30) ,ˆˆˆˆ 021 iTiii a=a==a=a ? ,4,3,2=i и ,1 ct =a .,1 Tt = С учетом этих выражений из (19) следует .min))ˆˆˆ(( 2 1 )( 04303202 1 1 -aaa= ++ = ä 2 -α ctxxyF ttt T t Данная функция зависит от одной переменной c. Из необходимых и доста- точных условий ее минимума следует .0))ˆˆˆ(( 04303202 1 1 =-aaa= ++ = ä Tctxxy dc dF ttt T t - Отсюда, обозначив ,01 c=a получим .ˆˆˆ 0430320201 txxy a-a-a-=a Тем самым показана справедливость выражения в третьей строке (27). Теорема доказана. 2.4. Вычисление оценок. Согласно [7] решение задачи (24), (21) ),(][)( 111 rr n αG)G(GRGRJαG --- ¡¡-= (31) где )(rα — решение (24) оценка 0 α без учета ограничений. В [4] описан рекуррентный алгоритм вычисления )(rα и .1- R Если эти ве- личины известны, то для нахождения оценки (31) потребуется обратить матрицу ,1 GGR ¡- порядок которой не превышает порядок матрицы R, и выполнить не- сложные вычислительные операции умножения и сложения матриц. Значение ,rr= которое определяет )( rGα — искомую оценку значений параметра регрессии 0 α на интервале ],,1[ T находится согласно (25) в результате неоднократного вычисления )(rGα по (31). 3. Модель экономического роста в Украине в предперестроечный и перестроечный периоды Для проверки правильности полученных результатов модель экономического роста в Украине была построена для двух интервалов времени: 1965–1990 гг. и 1991–2011 гг. Первый интервал времени характеризуется достаточно стабиль- ной экономикой, второй — наоборот, ее сильными изменениями. Кроме того, для приведенных интервалов времени существовали разные валюты: в первом — руб- ли, во втором — купоны-рубли и гривны. Второй интервал представляет собой трансформационный период в экономике: переход от плановой к рыночной. Со- ответствующая модель рассматривается ниже. Исходные данные для построения модели (9) для 1965–1990 гг. взяты из статис- тических ежегодников: Народне господарство Української РСР в 1965, 1967, 1970, 1972, 1984, 1988–1990 рр.; Народное хозяйство Украинской ССР в 1973–1975 гг., 1977–1980 гг., 1982, 1983, 1985, 1987, 1989 гг. Заметим, что в рассматриваемые годы существовала терминология, отличная от существующей: ВВП соответство- вал валовой общественный продукт, капиталу (основным средствам) — основные фонды. Далее будем придерживаться этой терминологии. Из-за того, что за указанный период темпы роста ВВП и основных средств в сопоставимых ценах относились к разным базовым периодам: к 1960 и 1980 гг., они были пересчитаны к 1960 г. по методике «смыкания рядов динамики» [8, с. 346]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 135 Выбор 1965 г., а не 1960 г. в качестве начального периода времени объясняется от- сутствием информации за 1961–1964 гг. об основных средствах Украины. Получен- ные исходные данные в виде темпов роста ВВП и основных средств в сопостави- мых ценах с базисом в 1965 г., а также темпы роста занятого населения приведены в табл. 1. В табл. 2 даны логарифмы этих данных, по которым оценивались пара- метры модели (9). Интервал времени, состоящий из 26=T наблюдений, был разбит на 13=N от- резков, содержащих по два наблюдения ( ,2=im Ni ,1= ): ],2,1[1=I >],4,3[2=I ].26,25[, 13=I> Априорной информации о параметрах регрессии в нашем распо- ряжении не было, поэтому полагаем в (20) .1 nnO=κ Наложим согласно (3) ограничения на четвертую компоненту параметра ре- грессии. В данном случае множество номеров отрезков, длина которых равна двум, },13,,2,1{ >=Y а число его элементов .13=M Тогда, учитывая, что общее число оцениваемых переменных ,104=nT матрица g в ограничении (18) примет вид . 10001000 10001000 10001000 48,148,1 92,14,1 96,1 ù ù ù ù ù ú ø é é é é é ê è - - - = OO OO O g ?????????? (32) Таблица 1 Таблица 2 Год t ty 1tx 2tx Год t ty 1tx 2tx 1965 1 4,942 4,984 4,739 1978 14 5,677 5,829 4,958 1966 2 5,004 5,043 4,811 1979 15 5,69 5,883 4,963 1967 3 5,063 5,1 4,822 1980 16 5,707 5,935 4,906 1968 4 5,136 5,165 4,831 1981 17 5,733 5,984 4,907 1969 5 5,198 5,242 4,827 1982 18 5,771 6,04 4,911 1970 6 5,263 5,318 4,844 1983 19 5,811 6,082 4,915 1971 7 5,333 5,384 4,863 1984 20 5,846 6,133 4,919 1972 8 5,371 5,451 4,881 1985 21 5,875 6,182 4,918 1973 9 5,451 5,517 4,894 1986 22 5,911 6,223 4,917 1974 10 5,501 5,583 4,91 1987 23 5,945 6,265 4,911 1975 11 5,537 5,652 4,921 1988 24 5,976 6,292 4,897 1976 12 5,591 5,71 4,937 1989 25 6,011 6,319 4,884 1977 13 5,638 5,771 4,947 1990 26 6,006 6,34 4,848 Год ВВП, Y t % Основные средства, X t1, % Количество занятого населе- ния, X t2, % Год ВВП, Y t , % Основные средства, X t1, % Количество занятого насе- ления, X t2, % 1960 100 100 100 1960 100 100 100 1965 140 146 114 1978 292 340 142 1966 149 155 123 1979 296 359 143 1967 158 164 124 1980 301 378 135 1968 170 175 125 1981 309 397 135 1969 181 189 125 1982 321 420 136 1970 193 204 127 1983 334 438 136 1971 207 218 129 1984 346 461 137 1972 215 233 132 1985 356 484 137 1973 233 249 133 1986 369 504 137 1974 245 266 136 1987 382 526 136 1975 254 285 137 1988 394 540 134 1976 268 302 139 1989 408 555 132 1977 281 321 141 1990 406 567 127 136 ISSN 0572-2691 Таким образом, задача оценивания вектора 1040 ÁÍα имеет вид (24), (21), при- чем в (21) ,gG = где матрица g размерности )10413( ³ определена выше, а .13=M Для определения свойств решения указанной задачи сформируем матрицу X ~ размерности ),426( ³ определенную в теореме 1. Ее первый столбец состоит из единиц, второй, третий и четвертый столбцы — столбцы табл. 2 с заголовками соответственно ,1tx 2tx и t. В силу линейной независимости этих столбцов ранг X ~ равен ,4)4,26(min = т.е. у этой матрицы полный ранг. Поэтому по теореме 1 для данных в табл. 2 и матрицы левой части ограничения (32) решение задачи (24), (21) является оптимальным по Парето решением задачи оценивания (19)–(21) для произвольного .0>r Выберем величину ,rr= определяющую компромиссное решение задачи оценивания, используя методику подразд. 2.3, которая сводится к вычислению r по формуле (25). Она предполагает вычисление двух функций цели для 0rr= и .1r Установлено, что, начиная с малых значений r и до бесконечно больших, оцен- ка )(rGα не противоречила априорным представлениям о модели. Причем макси- мальная вариация остатков в исходной модели (1) равна 2,11 %. Поэтому было по- ложено 0001,00=r — малой величине, ее дальнейшее уменьшение практически не влияло на оценки, а .1 ¤=r Как альтернатива рассматривалось определение 0r ква- зиоптимальным методом регуляризации [4]. Полученная ее величина 268400=r оказалось слишком большой (для 0rr² )(rGα практически не менялось). Соот- ветствующие величине 0001,00=r значения функций цели: ,10735,1)( 11 01 -Ö=rf .10196,3)( 5 02 -Ö=rf Используя (27), по теореме 2 вычислено ),()( ¤=¤ ααG по которому найдено 01362,0)(112 =¤=ff и .0)(()( )2221 =¤=¤= GαFff По этим величинам согласно (25) определено значение ,380* =r которому соответствует .857,0)()( * 2 * 1 =j=j rr Таким образом, согласно подразд. 2.3 компромиссное значение первого критерия оказалось близким к минимальному. Найденной вели- чине r соответствует дисперсия остатков в модели (9) == Trfs /)( 1 2 .10478,7 5-Ö= Коэффициент вариации остатков в исходной модели (1) в соответ- ствии с [9, с. 676] %.86,01)exp( 2 =-s Таким образом, модель (1) достаточно точна. Оцененные величины представлены в табл. 3. В табл. 3 величины ,̂tA ,̂th ,̂tq ,ˆ0tb ,ˆ1tb tĝ являются оценками соответ- ственно ,tA ,th ,tq ,0tb ,1tb .tg Оценки ,̂tA ,̂th ,̂tq 1 ˆ tb определены в результа- те решения задачи (24), (21). Остальные оценки ,ˆ0tb tĝ получены соответственно по формулам (3), (16). В предпоследнем столбце даются отношения коэффициентов загрузки основных средств для всех годов к коэффициенту загрузки в 1965 г. — .1g Этот коэффициент весьма незначительно возрастал до 1970 г. включительно, а за- тем немного уменьшался до 1987 г. Далее отмечается его незначительный рост, который, возможно, объясняется реформами перестройки — появлением коопера- тивов. Коэффициент загрузки не должен превышать единицу. Поэтому его значе- ния были пересчитаны по отношению к максимальному в 1970 г. Например, ко- эффициент загрузки в 1965, 1966 гг. составлял 99,65 % от его величины в 1970 г. Оценки tĥ и tq̂ оказались практически неизменными. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 137 Таблица 3 Год t tĥ tq̂ 0 ˆ tb 1 ˆ tb tÂ 1̂/̂ggt Откорректированное отношение 1̂/̂ggt 1965 1 0,3465 0,8201 -0,718 0,0237 -0,7189 1 0,9965 1966 2 0,3465 0,8201 -0,718 0,0237 -0,7189 1 0,9965 1967 3 0,3468 0,8204 -0,7182 0,0238 -0,7189 1,0007 0,9972 1968 4 0,3472 0,8208 -0,7182 0,0238 -0,7188 1,0009 0,9974 1969 5 0,3476 0,8212 -0,719 0,024 -0,7187 1,0034 0,9999 1970 6 0,3479 0,8214 -0,719 0,024 -0,7187 1,0035 1 1971 7 0,348 0,8215 -0,7184 0,0239 -0,7187 1,0020 0,9984 1972 8 0,3479 0,8215 -0,7184 0,0239 -0,7187 1,0019 0,9984 1973 9 0,348 0,8215 -0,7168 0,0237 -0,7187 0,9974 0,9939 1974 10 0,3478 0,8214 -0,7168 0,0237 -0,7187 0,9973 0,9938 1975 11 0,3475 0,8211 -0,709 0,0229 -0,7187 0,9752 0,9717 1976 12 0,3472 0,8209 -0,709 0,0229 -0,7188 0,975 0,9716 1977 13 0,3469 0,8207 -0,7004 0,0222 -0,7188 0,9507 0,9474 1978 14 0,3466 0,8204 -0,7004 0,0222 -0,7189 0,9505 0,9472 1979 15 0,3463 0,8201 -0,6886 0,0214 -0,7189 0,9186 0,9153 1980 16 0,3462 0,8201 -0,6886 0,0214 -0,7190 0,9186 0,9153 1981 17 0,3461 0,82 -0,6827 0,021 -0,7190 0,9029 0,8998 1982 18 0,3459 0,8198 -0,6827 0,021 -0,7190 0,9028 0,8997 1983 19 0,3459 0,8198 -0,6786 0,0208 -0,7190 0,8923 0,8891 1984 20 0,3457 0,8197 -0,6786 0,0208 -0,7190 0,8922 0,889 1985 21 0,3457 0,8196 -0,6745 0,0206 -0,7190 0,8815 0,8783 1986 22 0,3457 0,8196 -0,6745 0,0206 -0,7190 0,8815 0,8783 1987 23 0,3457 0,8197 -0,681 0,0209 -0,7190 0,8984 0,8952 1988 24 0,3459 0,8198 -0,681 0,0209 -0,7190 0,8985 0,8954 1989 25 0,346 0,8199 -0,6927 0,0213 -0,7190 0,9294 0,9262 1990 26 0,3461 0,8199 -0,6927 0,0213 -0,7190 0,9295 0,9262 Чтобы изучить влияние научно- технического прогресса (НТП) на ВВП, рассмотрим степень множителя )exp( 10 tbbu ttt += в (2). Согласно фор- мулам (3), (4) ее можно записать как линейный сплайн ,tdc ii + ,iItÍ ,,1 Tt= .,1 Ni= В табл. 4 представле- ны оценки его коэффициентов. Согласно табл. 4 логарифм цепного коэффициента роста НТП id незначи- тельно возрастает до 1970 г., а затем по- степенно уменьшается (в 1987–1990 гг. имеет место небольшой рост). Это уве- личение id можно объяснить начав- шимся в конце 80-х годов прошлого века интенсивным применением компьютер- ной техники. Уменьшение id с 1970 г. по 1985 г. составило 14,17 %, что может свидетель- ствовать о замедлении научно-технического прогресса. Сравним полученную модель с регрессией с постоянными параметрами ,121 tttt tbqxhxAy e++++= ,,2,1 >=t 26, (33) являющейся частным случаем (9). Оценки параметров этой регрессии, получен- ные методом наименьших квадратов (м.н.к.): ;042,1ˆ -=A ;371,0=̂h ;868,0=̂q Таблица 4 i Годы ic id 1 1965–1966 -0,7180 0,0237 2 1967–1968 -0,7182 0,0238 3 1969–1970 -0,7190 0,0240 4 1971–1972 -0,7184 0,0239 5 1973–1974 -0,7168 0,0237 6 1975–1976 -0,709 0,0229 7 1977–1978 -0,7004 0,0222 8 1979–1980 -0,6886 0,0214 9 1981–1982 -0,6827 0,0210 10 1983–1984 -4,9408 0,0208 11 1985–1986 -4,9373 0,0206 12 1987–1988 -4,9425 0,0209 13 1989–1990 -4,9522 0,0213 138 ISSN 0572-2691 0176,0ˆ 1=b . Оценки ĥ и q̂ близки соответственно к оценкам ,̂th ,̂tq ,26,1=t в табл. 3. Остальные оценки Â и 1b̂ достаточно близки к tÂ и ,ˆ1tb 26,1=t (см. табл. 3). Уровни значимости оценок параметров регрессии (33) соответствен- но: 0,042; 0,082; 0,000846; 0,11436, что позволяет говорить об их значимом отличии от нуля на 10 %-м уровне (некоторое отклонение имеется у последнего параметра). Коэффициент вариации ошибок в исходной модели (1) с параметрами регрессии (33) равен 2,11 % — небольшая величина, которая больше такой же величины (0,86 %) для модели с переменными параметрами. Это различие объясняется учетом изме- нения во времени параметров предложенной модели. 4. Модель экономического роста в Украине в трансформационном периоде Исходными данными для построения модели (9) для 1991–2011 гг. служила статистическая отчетность: Статистичні щорічники України за 1992–2010 рр. и Ук- раїна у цифрах 2011. В указанных источниках имелись все необходимые данные, за исключением темпа роста основных средств в 2011 г. по отношению к 1990 г. Эта величина была определена умножением темпа роста 2010 г. к 1990 г. на средний темп роста основных средств за 2009, 2010 гг., который был рассчитан как средняя геометрическая величина. Исходные данные приведены в табл. 5. В табл. 6 име- ются их логарифмы, по которым оценивались параметры модели (9). Таблица 5 Таблица 6 Год t ty 1tx 2tx Год t ty 1tx 2tx 1990 4,605 4,605 4,605 2001 11 3,854 4,731 4,365 1991 1 4,514 4,631 4,589 2002 12 3,906 4,741 4,371 1992 2 4,410 4,655 4,569 2003 13 3,996 4,774 4,374 1993 3 4,257 4,688 4,544 2004 14 4,111 4,815 4,381 1994 4 3,996 4,694 4,506 2005 15 4,138 4,852 4,400 1995 5 3,867 4,677 4,537 2006 16 4,209 4,900 4,402 1996 6 3,761 4,673 4,515 2007 17 4,282 4,961 4,410 1997 7 3,731 4,679 4,488 2008 18 4,307 5,011 4,414 1998 8 3,711 4,691 4,475 2009 19 4,148 5,036 4,376 1999 9 3,709 4,7 4,452 2010 20 4,188 5,058 4,379 2000 10 3,766 4,706 4,375 2011 21 4,238 5,082 4,382 На рассматриваемом интервале времени имеется 21=T наблюдений. Он был разбит на 13=N отрезков, имеющих не больше двух наблюдений ( ,2¢im Ni ,1= ). Первый отрезок соответствует одному году (1991 г.), так как этот год — последний год плановой экономики, в котором явно заметны проявления будущей независимо- Год ВВП, Y t , % Основные средства, X t1, % Количество занятого населе- ния, X t2, % Год ВВП, Y t , % Основные средства, X t1, % Количество занятого насе- ления, X t2, % 1990 100,00 100,00 100,00 2001 47,20 113,40 78,63 1991 91,30 102,60 98,43 2002 49,70 114,60 79,10 1992 82,30 105,10 96,46 2003 54,40 118,40 79,38 1993 70,60 108,60 94,09 2004 61,00 123,40 79,91 1994 54,40 109,30 90,55 2005 62,70 128,10 81,42 1995 47,80 107,50 93,41 2006 67,3 134,50 81,61 1996 43,00 107,00 91,34 2007 72,60 142,70 82,3 1997 41,70 107,70 88,98 2008 74,20 150,00 82,57 1998 40,90 109,00 87,8 2009 63,30 153,80 79,49 1999 40,80 110,00 85,83 2010 65,90 157,30 79,79 2000 43,20 110,60 79,43 2011 69,30 161,08 80,02 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 139 сти, например фактическое введение своей валюты. Отрезки ,iI ,13,12,11,10=i соответствующие 2008–2011 гг., также имеют по одному году, это годы экономиче- ского кризиса, включая его начало. Таким образом, рассматриваемый интервал времени состоит из отрезков: ].21[,],18[],17,16[,],5,4],3,2[],1[ 13109[321 ===== IIIIII >> (34) В качестве априорной информации о параметрах регрессии выступают оцен- ки параметра регрессии для 1990 г., полученные в разд. 3, за исключением сво- бодного члена, так как согласно (12) он зависит от величины 0tb , которая опреде- ляется масштабом измерения зависимой переменной, см. (8). Поэтому полагаем в (20) )1,1,1,0(diag1=κ и в соответствии с априорной информацией, находящейся в последней строке табл. 3, имеем выражение для последних трех компонент :0̂α 0213,0ˆ,8199,0ˆ,3461,0ˆ 040302 =a=a=a . (35) Введем ограничения (3) на величины четвертой компоненты параметра регрес- сии. Для рассматриваемого интервала времени согласно (34) множество номеров отрезков, длина которых равна двум, }9,,3,2{ >=Y , число его элементов .8=M Тогда матрица g размерности ),1048( ³ где ,104 nT= в ограничении (18) будет иметь вид . 10001000 10001000 10001000 64,132,1 88,18,1 92,14,1 ù ù ù ù ù ú ø é é é é é ê è - - - = OO OO OO g ?????????? (36) Задача оценивания вектора 1040 ÁÍα задается выражениями (24), (21), (35), причем в (21) ,gG = где матрица g определена в (36). Аналогично разд. 3 на основе данных в табл. 6 сформирована матрица X ~ размерности ),421( ³ определенная в теореме 1, и установлено, что она имеет полный ранг. Поэтому согласно теореме 1 решение задачи (24), (21), (35) является оптимальным по Парето решением задачи оценивания (19)–(21) для произвольно- го .0>r Для вычисления r по (25) был определен отрезок ],[ 10 rrL= с наименьши- ми величинами ,10 3 0 -=r 301=r такой, что компоненты решения задачи оцени- вания )(rGα для ],30,10[ 3-=ÍLr являющиеся оценками ,th ,tq ,1tb ,21,1=t были неотрицательными, что соответствует априорным представлениям о модели (1). Квазиоптимальный метод регуляризации дал величину ,372800 =r несовмести- мую с априорной информацией. Значения обоих критериев оценивания на концах отрезка :L ³= 712,3)( 01 rf ,10 10-³ ,10879,1)( 3 02 -Ö=rf ,1042,9)( 3 112 -Ö== rff .10973,4)( 4 1221 -Ö== rff Согласно (25) определено значение 6,9 =r , которому соответствует =j )( * 1 r .716,0)( * 2 =j= r Таким образом, первому критерию было дано предпочтение. Оценке )( rGα отвечает дисперсия остатков в модели (9) 00833,0/)( 1 2 == Trfs . Коэффициент вариации остатков в исходной модели (1) в соответствии с [9, с. 676] %,13,11)exp( 2 =-s что близко к точности модели 1965–1990 гг. Оцененные величины представлены в табл. 7. 140 ISSN 0572-2691 Таблица 7 Год t tĥ tq̂ 0 ˆ tb 1 ˆ tb tÂ 1̂/̂ggt 1991 1 0,3432 0,8236 -0,8765 0,0201 -0,8764 1 1992 2 0,3430 0,8233 -0,8716 0,0153 -1,0029 0,682 1993 3 0,3309 0,8114 -0,8716 0,0153 -1,0055 0,6672 1994 4 0,3296 0,8100 -0,8438 0,006 -1,2463 0,295 1995 5 0,3178 0,7983 -0,8438 0,006 -1,2488 0,2796 1996 6 0,317 0,7975 -0,8269 0,0026 -1,3371 0,2000 1997 7 0,3158 0,7962 -0,8269 0,0026 -1,3374 0,1986 1998 8 0,3154 0,7957 -0,8247 0,0023 -1,3457 0,1917 1999 9 0,3162 0,7964 -0,8247 0,0023 -1,3456 0,1926 2000 10 0,3164 0,7964 -0,8566 0,0059 -1,2535 0,2853 2001 11 0,3228 0,8023 -0,8566 0,0059 -1,2521 0,2937 2002 12 0,3229 0,8023 -0,8742 0,0075 -1,2105 0,3529 2003 13 0,3283 0,8072 -0,8742 0,0075 -1,2094 0,3602 2004 14 0,3286 0,8074 -0,9049 0,0098 -1,1481 0,477 2005 15 0,3279 0,8068 -0,9049 0,0098 -1,1482 0,4761 2006 16 0,328 0,8069 -0,9213 0,0109 -1,1196 0,5463 2007 17 0,3308 0,8093 -0,9213 0,0109 -1,1191 0,5500 2008 18 0,3308 0,8093 -0,921 0,0109 -1,1196 0,5486 2009 19 0,3304 0,809 -0,8639 0,0077 -1,2021 0,3594 2010 20 0,3304 0,809 -0,8726 0,0082 -1,1903 0,3824 2011 21 0,3305 0,8091 -0,8858 0,0089 -1,1730 0,4194 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 Годы b1 Рис. 2 В последнем столбце табл. 7 находятся отношения коэффициентов загрузки капитала к коэффициенту загрузки в 1991 г. — .1g На рис. 1, 2 приведено изменение во времени соответственно оценки показа- теля степени множителя в (1), характеризующего НТП, и логарифма цепного ко- эффициента его роста .1tb Как следует из табл. 7 и рис. 1, 2, переход от плановой экономики к рыночной характеризовался ухудшением макроэкономических показателей. Значительно умень- шились коэффициент загрузки капитала и логарифм цепного коэффициента роста НТП. Намного меньше оказывается чувствительность к преобразованиям в экономи- ке у tĥ и .̂tq Эти величины характеризуют «отдачу» капитала и труда в формирование ВВП. Их уменьшение до 1999–2000 гг. можно истолковать как ре- зультат снижения технологической дисциплины. Интересно отметить, что ,̂th ,̂tq 1 ˆ tb и tĝ достигают своего минимума в один и тот же период времени — 1998 г. Поведение оценки коэффициента загрузки капитала достаточно близко к результа- там [2, 3]. В них приведен коэффициент загрузки производственного капитала в -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 t c + dt Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 141 1997–2010 гг. Он достигает минимальных значений 0,250; 0,252 в 1998, 1999 гг., которые несколько выше, чем в табл. 7. Расхождение можно объяснить упроще- ниями в модели [2, 3], о которых сказано в разд. 1. В ней, в частности, считается постоянным логарифмический темп роста НТП: 005,01 ==bbt (его величина взя- та согласно рекомендации МВФ [3]). По данным табл. 7 средняя величина 1 ˆ tb в 1997–2010 гг. равна 0,0073, что достаточно близко к оценке МВФ. Согласно табл. 7 и рис. 1, 2 с помощью предложенной модели отслеживается кризис 2008–2009 гг. и начавшийся затем подъем экономики в 2010–2011 гг. Можно сказать, что кризис практически не повлиял на tĥ и .̂tq Данное явление косвенно подтверждает высказанное выше соображение о причине уменьшения параметров tĥ и tq̂ в годы резкого перехода к рыночной экономике. Исследование процессов в экономике Украины за длительный интервал вре- мени, охватывающий различные уклады экономики, показывает, что предложен- ная в статье модель работоспособна. А.С. Корхін МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНОГО ЗРОСТАННЯ В ТРАНСФОРМАЦІЙНОМУ ПЕРІОДІ (НА ПРИКЛАДІ УКРАЇНИ) Визначено залежність валового внутрішнього продукту від науково-технічного прогресу, капіталу і праці у вигляді узагальненої виробничої функції Кобба– Дугласа. Проведено оцінювання за статистичними даними параметрів вироб- ничої функції і коефіцієнта використовування капіталу, що змінюються у часі. A.S. Korkhin SIMULATION OF THE ECONOMIC GROWTH IN A TRANSFORMATION PERIOD (ON THE EXAMPLE OF UKRAINE) Dependence of a gross domestic product on a scientific and technological progress, a labor and a capital as generalization of Cobb–Douglas production function is stud- ied. The evaluation of varying production function parameters and usage of capital is described. 1. Калюжный В.В. Усовершенствованные и новые методы измерения влияния капитала, тру- да и производительности на рост ВВП // Экономика Украины. — 2003. — С. 42–48. 2. Харазішвілі Ю.М. Класична модель функції сукупної пропозиції в контексті кейнсіанської теорії // Статистика України. — 2006. — № 1. — С. 42–48. 3. Любич А.А., Харазишвили Ю.М., Денисюк В.А Формирование критериев и модели оценки инновационности социально-экономического развития // Инновации. — 2009. — № 9. — С. 106–111. 4. Корхин А.С. Метод оценивания изменяющихся во времени параметров регрессионных мо- делей // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информа- тики». — 2012. — № 6. — С. 13–29. 5. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной без- условной оптимизации. — М. : Мир, 1972. — 240 с. 6. Введение в нелинейное программирование / Под ред. К.-Х. Эльстера. — М.: Наука, 1985. — 264 с. 7. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — М. : Финансы и статистика, 1981. — 302 с. 8. Теория статистики / Под ред. Р.А. Шмойловой. — 2-е изд. — М. : Финансы и статистика, 1998. — 576 с. 9. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика: Пер. с англ. — М. : Издательский дом «Виль- ямс», 2002. — 1056 с. Получено 02.01.2013
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207652
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T02:49:51Z
publishDate	2013
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Корхин, А.С. 2025-10-11T11:14:58Z 2013 Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины) / А.С. Корхин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207652 681.5.015:330.101.541 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i10.80 Визначено залежність валового внутрішнього продукту від науково-технічного прогресу, капіталу і праці у вигляді узагальненої виробничої функції Кобба– Дугласа. Проведено оцінювання за статистичними даними параметрів виробничої функції і коефіцієнта використовування капіталу, що змінюються у часі. Dependence of a gross domestic product on a scientific and technological progress, a labor and a capital as generalization of Cobb–Douglas production function is studied. The evaluation of varying production function parameters and usage of capital is described. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины) Моделювання економічного зростання в трансформаційному періоді (на прикладі України) Modeling the economic growth in a transformation period (on the example of Ukraine) Article published earlier
spellingShingle	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины) Корхин, А.С. Экономические и управленческие системы
title	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)
title_alt	Моделювання економічного зростання в трансформаційному періоді (на прикладі України) Modeling the economic growth in a transformation period (on the example of Ukraine)
title_full	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)
title_fullStr	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)
title_full_unstemmed	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)
title_short	Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)
title_sort	моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере украины)
topic	Экономические и управленческие системы
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207652
work_keys_str_mv	AT korhinas modelirovanieékonomičeskogorostavtransformacionnomperiodenaprimereukrainy AT korhinas modelûvannâekonomíčnogozrostannâvtransformacíinomuperíodínaprikladíukraíni AT korhinas modelingtheeconomicgrowthinatransformationperiodontheexampleofukraine

Моделирование экономического роста в трансформационном периоде (на примере Украины)

Репозитарії

Схожі ресурси