Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований

Запропоновано метод розробки обчислювальної схеми інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь, що описує середнє значення та дисперсію випадкового процесу, який задано стохастичним диференціальним рівнянням у формі рівняння Ланжевена. Права частина цих рівнянь задовольняє умови гладкості,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2013
Main Author:	Ракушев М.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Subjects:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207673
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 68-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860041839188377600
author	Ракушев М.Ю.
author_facet	Ракушев М.Ю.
citation_txt	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 68-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано метод розробки обчислювальної схеми інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь, що описує середнє значення та дисперсію випадкового процесу, який задано стохастичним диференціальним рівнянням у формі рівняння Ланжевена. Права частина цих рівнянь задовольняє умови гладкості, які дають змогу визначати похідні за отримуваним розв’язком до другого порядку включно. Метод засновано на диференціальних перетвореннях. It is proposed a method of developing computational scheme for integrating the system of ordinary differential equations describing the mean and variance of the random process defined by a stochastic differential equation in the form of the Langevin equation, the right-hand side of which satisfies the smoothness conditions allowing to define derivatives to obtain the solution of the second order. The method is based on the differential transformations.
first_indexed	2025-12-07T16:56:08Z
format	Article
fulltext	© М.Ю. РАКУШЕВ, 2013 68 ISSN 0572-2691 УДК 519.6 М.Ю. Ракушев ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Введение. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), как один из разделов математики, есть фундаментом для большого количества современных прикладных наук. Именно их использование для широкого круга практических задач позволяет адекватно описать статистический характер процессов, протека- ющих в сложных динамических системах. Под решением СДУ понимают нахож- дение вероятностных характеристик случайного процесса, описывающего данное уравнение. Большая распространенность на практике задач такого класса нагляд- но иллюстрирует актуальность исследований относительно разработки новых и усовершенствования существующих подходов для их решения [1, 2]. Анализ последних исследований. В ряде задач для нахождения решения СДУ оказывается достаточно получить закон изменения среднего значения и дис- персии случайного процесса заданного рассматриваемым СДУ. В этом случае ре- шением СДУ будет система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для математического ожидания (среднего значения) и корреляционной матрицы (дисперсии) рассматриваемого случайного процесса [1, 2]. Таким образом решение СДУ сводится к интегрированию системы ОДУ — решению задачи Коши для ОДУ. Один из возможных подходов к решению задачи Коши для ОДУ — исполь- зование операционного метода дифференциальных преобразований [3, 4]. Такой операционный метод позволяет разрабатывать вычислительные схемы интегриро- вания ОДУ, которые во многих практических задачах являются более эффектив- ными по критерию «точность–вычислительная сложность», чем другие численные методы [5, 6]. В [7] предложена вычислительная схема расчета вероятностных характери- стик случайного процесса заданного СДУ на основе многомерных дифференци- альных преобразований. Согласно данному подходу, происходит предварительная замена совокупности случайных процессов, входящих в СДУ, системой случайных величин с заданными вероятностными характеристиками, и последующее опреде- ление необходимых вероятностных характеристик с использованием их разложения в окрестности математического ожидания по формуле Тейлора. При этом расчет соответствующих производных сводится к решению задачи Коши для ОДУ на ос- нове многомерных дифференциальных преобразований. Однако для некоторых случайных процессов, например белого шума (если СДУ записано в форме урав- нения Ланжевена), предложенный подход не обеспечивает удовлетворительную точность, так как используется относительно небольшой, до второй производной включительно, отрезок ряда Тейлора, а его увеличение связано с непреодолимы- ми методическими трудностями. Формулирование целей статьи. Результаты проведенного анализа показы- вают, что одним из возможных подходов к нахождению математического ожида- ния и корреляционной матрицы случайного процесса заданного СДУ является ис- пользование операционного метода дифференциальных преобразований. Однако известные подходы для решения СДУ, в которые входит белый шум, не обеспе- чивают удовлетворительную точность. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 69 Таким образом, цель статьи — разработка метода интегрирования системы ОДУ, описывающей изменение математического ожидания и корреляционной матрицы случайного процесса, заданного СДУ в форме уравнения Ланжевена, на основе дифференциальных преобразований. Изложение основного материала. Стохастическое дифференциальное урав- нение записанное в форме уравнения Ланжевена имеет вид [1] )},()(,0{)(},,{)( ,,),(),( 0000 0    tNtKMyty tttyqtyf dt dy yy (1) где )(tyy  — векторный случайный процесс размером n; t — независимая пере- менная; 0y — вектор начальных условий с заданными моментными характери- стиками (математическим ожиданием 0yM и корреляционной матрицей ) 0yK размером n; )(t — векторный непрерывный нормальный случайный процесс (белый шум) с заданными моментными характеристиками (нулевым математиче- ским ожиданием и корреляционной функцией )()(  tN ) размером m; )(tN — матрица интенсивности белого шума размером ;mm )( — дельта-функция Дирака; ),( tyf и ),( tyq — заданные вектор-функция размером n и матричная функция размером mn . Если ),( tyf удовлетворяет условиям гладкости, позволяющим определять для нее производные по y до второго порядка включительно, тогда из (1) можно получить систему [1]:          ,)(),,()(),(),(),( ,,)(),,( 0 0 0 TT 00 yyyyyyyy y yyy y KtKtMqtNtMqtMgKKtMg dt dK ttMtMtMf dt dM (2) где ,yM yK — математическое ожидание и корреляционная матрица случайного процесса y; yMy y y tyf tMg     ),( ),( — матрица частных производных разме- ром .nn Система ОДУ (2) определяет закон изменения математического ожидания и корреляционной матрицы случайного процесса заданного СДУ (1). Таким обра- зом решение СДУ (1) сводится к интегрированию системы ОДУ (2). Основная сложность реализации решения (1) на основе (2) состоит в том, что необходимо аналитически определить матрицу ),,( tMg y чтобы получить ОДУ, описывающее изменение корреляционной матрицы. Эта операция при сложной функции ),( tyf является методически сложной. Избавится от этого недостатка, можно применяя дифференциальные преобразования. Основой данного матема- тического аппарата является операция численно-аналитического дифференциро- вания, реализованная в виде соответствующих рекуррентных алгебраических за- висимостей [3, 4]. Это позволяет с любой, наперед заданной, точностью и одно- временно методически просто проводить операцию дифференцирования любого порядка и для любой сложной функции, что и является основной трудностью при реализации (2). Мерность применяемых дифференциальных преобразований определяется количеством одновременно рассматриваемых независимых переменных. В задаче (2) 70 ISSN 0572-2691 (для определения )),( tMg y их общее количество равно :1n одна — t и n — со- ставляющие вектора y. Однако целесообразно расчет матрицы ),( tMg y прово- дить по столбцам [8, 9], при этом переменные рассматривают попарно (одна — t и од- на из компонент вектора y). Тогда громоздкое 1n -мерное дифференциальное пре- образование распадается на n простых двухмерных (одна — t и поочередно каждая из компонент вектора y). Двухмерными дифференциальными преобразованиями называют функцио- нальные преобразования вида (без потери общности дальнейших выкладок рас- смотрим дифференциально-тейлоровские (ДТ) преобразования) [4]: , ),( !! ],[ 12 12 1221 ,12 12 12 12 12              ww kk kkkk ww wwz kk hh kkZ (3) ,],[ )()( ),( 12 12 1122 00 12 12 12 12                kkZ hh wwww wwz kk kk kk (4) где ,)2(1w  )2(1w — соответственно аргументы, по которым проводится преобразо- вание, и их значения, при которых оно проводится; )2(1h — отрезки аргументов, на которых функция ),( 21 wwz представляется рядом Тейлора соответственно по ,1w ;2w )2(1k — целочисленные аргументы ;,1,0)2(1 k ],[ 12 kkZ — дискрет- ная функция по аргументам ., 21 kk Прямое преобразование (3) позволяет по оригиналу ),( 12 wwz найти изобра- жение ].,[ 12 kkZ Обратное преобразование (4) восстанавливает оригинал ),( 12 wwz в виде отрезка двухмерного ряда Тейлора. ДТ-изображение ],[ 12 kkZ называют Т-спектром, а значение функции ],[ 12 kkZ при конкретных значениях 21, kk — Т-дискретами [4]. Для нахождения ),( tMg y из (2) рассмотрим решение вариационного урав- нения для ОДУ, описывающего изменение математического ожидания в систе- ме (2), а именно [8, 9]:         ,)(,),( ,,)(),,( 0 00 0 nyyyy yyy y EtMMtMgM dt d ttMtMtMf dt dM (5) где 0y y y M M M    — матрица частных производных (матрица Якоби) от решения ОДУ, описывающего изменение математического ожидания по его начальным условиям 0yM размером ;nn nE — единичная матрица размером .nn Определим двухмерный Т-спектр ],[ tyy kkM функции ),( 0 tMM yy при ,1,0tk и .1,0yk Для этого применим прямое двухмерное ДТ-преобразо- вание (3) к первому ОДУ системы (5) (Т-спектр (7) получается из начальных условий для (5)) [9]: ]],,[],,[[ 1 ]1,[ tytyy t t tyy kkTkkMF k h kkM   (6) ,]0,1[,]0,0[ 0 nytyyytyy EhkkMMkkM  (7) ],1,[],[],[ 0  tyttyty kkhkktkkT (8) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 71 где ],,[ tyy kkM ],[F ],[ ty kkT — соответственно двухмерные Т-спектры ),,( 0 tMM yy правой части ОДУ и переменной t; yt hh , — отрезки аргументов по t и компонентам yM ; ],[ ty kk — двухмерная тейлоровская единица [4], например       ).()(,0 ),()(,1 ],[ bkak bkak bkak ty ty ty (9) Обратное двухмерное ДТ-преобразование (4) выполняем для всего интервала приращений по переменной ],[ 00 thttt  при значениях приращений по компо- нентам ,yM равных yh (учтем, что в (6) Т-спектр ],[ tyy kkM вычисляли только для :)1,0yk               ],[ ! )( ),( 0 0 1 0 0 tyy t k t k kk yyy kkM kh tt thMM t t ty (10)  ),( 0 thMM yyy                             ],1[ ! )( ],0[ ! )( 0 0 0 0 tyy t k k k tyy t k k k kkM kh tt kkM kh tt t t t t t t  ),( 0 thMM yyy                             0 00 ),( ! )(),( ! )( 1 0 0 0 0 y k yy k t k k qk yy k t k k Mt tMM k tt h t tMM k tt t tt t t tt t  ),( 0 thMM yyy ).,(),( ),( !1 ),( 00 0 0 0 tMMhtMM M tMMh tMM yyyyy y yyy yy     (11) Для получения матрицы частных производных yM продифференциру- ем (11) по .yh Данную операцию, исходя из тождественности (10) и (11), для 1,0yk запишем так:                       ],[ ! )( )( 0 0 1 0 tyy t k t k kk ky kkM kh tt DtM t t ty y ,],1[ ! )(1 )( 0 0               tyy t k t k ky y kkM kh tt h tM t t t (12) где }{ ykD — операция дифференцирования в области изображений [3, 4], например ].,1[ 1 ]},[{ ty y y tyk kkR h k kkRD y    (13) 72 ISSN 0572-2691 Вследствие того, что введенный в прямом преобразовании в (6) отрезок ар- гумента yh при дифференцировании по yk в (11) сокращается (см. (11) и (12)), можно положить .1yh (14) Из (12) видно, что применяя к первому ОДУ системы (5) двухмерные ДТ-пре- образования в виде (6)–(8), (14) при ,1yk можно получить решение второго ОДУ системы (5), а именно — Т-спектр ],,1[ tyy kkM  для матричной функ- ции ).(tM y Пусть матрица yM имеет обратную, тогда из второго ОДУ (5) запишем ).()(),()(),()( 1 tMtM dt d tMgtMtMgtM dt d yyyyyy        (15) Для реализации (15) необходимо из Т-спектра ],1[ tyy kkM  определить Т-спектр обратной матрицы ].,1[1 tyy kkM  Рассмотрим соотношение      nnnynnijynyy EtMtMEtMtM ij )()()()( 11 ,))()(( 1 0 n nn yy n p EtMtM pj ip      (16) где , nnyij M   nnyij M   1 — соответствующие матрицы поэлементно; ji, — индексы элементов матриц (первый строка, второй столбец). Выполним для (16) прямое одномерное ДТ-преобразование (3) только по t : ],[)],1[],1[( 1 0 tn nn tyytyy n p kEkkMkkM pjip      (17) где 1 — операция обращения матрицы в области Т-изображений;  — операция одномерной алгебраической свертки (только по )tk [3, 4], например ).][][(][][ 0 skWsRkWkR t k s tt t    (18) Распишем (17) с учетом (18) .][)],1[],1[( 1 00 tn nn tyyyipy k s n p kEskkMskM pj t      (19) Рассмотрим (19) при ,0tk с учетом (7) и (14) получим      n nn tyytyy n p EkkMkkM pjip )]0,1[]0,1[( 1 0   ntyynntyytyy EkkMEEkkMkkM ]0,1[]0,1[]0,1[ 11 .]0,1[1 ntyy EkkM   (20) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 73 Далее, из (19) при 0tk получим      n nn tyyyy k s n p OskkMskM pjip t )],1[],1[( 1 00      nn n p tyytyy kkMkkM pjip 0 1 )],1[]0,1[(       nn tyyyy k s n p skkMskM pjip t )],1[],1[( 1 1 10      n nn tyytyy n p OkkMkkM pjip )]0,1[],1[( 1 0   ],1[]0,1[ 1 tyytyy kkMkkM        nn k s tyyyy n p t pjip skkMskM 1 1 1 0 )],1[],1[(   ]0,1[],1[ 1 tyytyy kkMkkM   ],1[1 tyyn kkME       ntyy nn tyyyy k s n p EkkMskkMskM pjip t ],1[)],1[],1[( 1 1 10   ],1[1 tyy kkM .)],1[],1[(],1[ 1 1 1 0 nn k s tyyyy n p tyy t pjip skkMskMkkM        (21) Зависимости (20) и (21) позволяют определить Т-спектр обратной матрицы ).(1 tM y  Отметим, что они справедливы только при условии (7). Определив все Т-спектры элементов, входящих в (15), применим к (15) одно- мерные прямые ДТ-преобразования (3) (по t) и с учетом (13), (18) получим            nn y nn yyyy tMtM dt d tMtM dt d tMg ijij )()()()(),( 11                   nn yy n p nnyij tMtM dt d tMg pjip )()(),( 1 1       nn tyytyyk n p nntij kkMkkMDkG ijijt )],1[]},1[{(][ 1 1 ,],1[]1,1[ 1 ][][ 1 11 nn tyyyy t k s n p nntijt skkMskM h s kGkG pjip t                 (22) где nntijt kGkG   ][][ — Т-спектр функции ),( tMg y по переменной t. 74 ISSN 0572-2691 Таким образом, метод интегрирования системы ОДУ (2), описывающей из- менение математического ожидания и корреляционной матрицы случайного про- цесса, заданного СДУ в форме уравнения Ланжевена (1) на основе ДТ-преоб- разований с учетом полученных соотношений (6)–(8), (14), (20)–(22) можно пред- ставить в следующем виде: 1. Прямое двухмерное дифференциальное преобразование для первого ОДУ системы (2) — последовательное: сначала при 0yk для ,,1,0 tk затем для каждого столбца из единичной матрицы nE при yk 1 для ,,1,0 tk определе- ние двухмерного Т-спектра :],[ tyy kkM            ],1,[],[],[ ]],,[],,[[ 1 ]1,[ ,]0,1[,]0,0[ 0 0 tyttyty tytyy t t tyy ntyyytyy kkhkktkkT kkTkkMF k h kkM EkkMMkkM (23) где th — отрезок аргумента по t; ],[ ty kk — двухмерная тейлоровская единица (9). 2. Расчет на основе двухмерных дифференциальных преобразований Т-спектра обратной матрицы :],1[1 tyy kkM   ],1[1 tyy kkM               .0,)],1[],1[(],1[ ,0, 1 1 10 t nn tyyyipy k s n p tyy tn kskkMskMkkM kE pj t (24) 3. Комбинированный расчет на основе двухмерных и одномерных дифферен- циальных преобразований Т-спектра :][ tkG .],1[]1,1[ 1 ][][ 1 11 nn tyyyy t k s n p nntijt skkMskM h s kGkG pjip t                 (25) 4. Прямое одномерное дифференциальное преобразование для второго ОДУ системы (2) — последовательное для ,1,0tk определение Т-спектра :][ ty kK                        ,]0[,)][][(][ ,)][][(][,)][][(][ ]),[][][( 1 ]1[ 0 11 1111 ytytip k s n p tdop tjpdop k s n p tNtyip k s n p tG tNt T GtG t t ty KkKskNsQkF skQsFkFskKsGkF kFkFkF k h kK pj t ip t pj t (26) где ][],[],[],[],[ ttdoptNtGty kNkFkFkFkK  — Т-спектры функций соответствен- но ),(tK y ,),( yy KtMg ),,()(),( T tMqtNtMq yy  )(),( tNtMq y  и ).(tN Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 75 5. Обратное одномерное дифференциальное преобразование: .][)(,],0[)( 0 0 0 0                         t t t t k ty k t y k tyy k t y kK h tt tKkkM h tt tM (27) При этом необходимо отметить, что для расчета можно использовать не только ДТ-преобразования, но и любые иные типы дифференциальных преобразований [3]. Предлагаемый метод решения СДУ (1) на основе (23)–(27) не имеет недо- статка классического метода решения СДУ на основе системы ОДУ (2), а именно методической сложности аналитического определения его элементов. Элементы системы ОДУ (2) в разработанном методе определяются численно-аналитически в области Т-спектров. Организация припасовывания для вычислительной схемы (23)–(27) на основе разработанного метода аналогична одномерным ДТ-преобразованиям при инте- грировании ОДУ [3, 4]. В этом случае значение независимой переменной t и зна- чения начальных условий )]0[,]0,0[( 00 ytyytyy KkKMkkM  должны изменяться при движении по вычислительной сетке, начиная с .0tt  Пример. Рассчитать на момент времени 5,1t математическое ожидание и дис- персию случайного процесса заданного СДУ в форме уравнения Ланжевена: )},(05,0;0{)(},1,0;2,0{,0),()( )( 000 2  tKMyttty td tyd yy (28) где )(tyy  — случайный процесс; t — независимая переменная; 0y — началь- ное условие с математическим ожиданием 0yM и дисперсией ; 0yK )(t — белый шум (с корреляционной функцией ));(05,0  )( — дельта-функция Дирака. Система ОДУ, описывающая закон изменения математического ожидания и дисперсии случайного процесса заданного СДУ (28), имеет вид         ,1,0)(,05,04 ,0,2,0)(, 0 0 2 tKKM dt dK ttMM dt dM yyy y yy y (29) где ,yM yK — искомые математическое ожидание и дисперсия случайного про- цесса y. Запишем ДТ-схему интегрирования системы ОДУ (29) одномерными диффе- ренциальными преобразованиями. 1. Прямое одномерное дифференциальное преобразование (данный подход является традиционным для дифференциальных преобразований и широко изло- жен в литературе [3, 4]):                                              ,][05,0])[][(4 1 ])[05,0][][4( 1 ]1[ ,)][][( 1 )][][( 1 ]1[ ,1,0]0[,2,0]0[,0,5,1 1 0 0 tttyty k st t ttyty t t ty ttyty k st t tyty t t ty tytyt kskKsM k h kkKkM k h kK skMsM k h kMkM k h kM kKkMth t t t t (30) 76 ISSN 0572-2691 где th — отрезок аргумента по t;  — операция одномерной алгебраической свертки (18); ][ tk — одномерная тейлоровская единица [3, 4]:       .0,0 ,0,1 ][ t t t k k k (31) 2. Обратное одномерное дифференциальное преобразование: ].[)5,1(],[)5,1( 00 ty k yty k y kKtKkMtM tt       (32) Для получения (29) из (28), с последующим составлением (30), (32), необхо- димо аналитически определить частную производную .2)( 2 y M My y y    Раз- работанный метод (23)–(27) реализует интегрирование (29), определяя искомую частную производную численно-аналитически в области Т-спектров. ДТ-схема интегрирования системы ОДУ (29) на основе (23)–(27) будет иметь следующий вид: 1. Прямое двухмерное дифференциальное преобразование для первого ОДУ системы (29) сводиться к замене в решении рассматриваемого ОДУ на основе од- номерных ДТ-преобразований (30) одномерных на двухмерные ДТ-преобразова- ния и расширения Т-спектра начальных условий:                             ,]),[],[( 1 ]),[],[( 1 ]1,[ ,1]0,1[,2,0]0,0[,0,5,1 00 0 ttyyytyy k s k st t tyytyy t t tyy tyytyyt skskMssM k h kkMkkM k h kkM kkMkkMth t t y y (33) где th — отрезок аргумента по t ;  — операция двухмерной алгебраической свертки [4]. Расчет (33) выполняют при yk 0 для ,,1,0 tk 0, затем при 1yk для ,1,0tk 2. Расчет на основе двухмерных дифференциальных преобразований для ,1,0tk Т-спектра:              .0,)],1[],1[(],1[ ,0,1 ],1[ 1 1 1 1 t k s tyyyytyy t tyy kskkMskMkkM k kkM t (34) 3. Комбинированный расчет на основе двухмерных и одномерных дифферен- циальных преобразований для ,1,0tk Т-спектра: .],1[]1,1[ 1 ][ 1 1               skkMskM h s kG tyyyy t k s t t (35) 4. Прямое одномерное дифференциальное преобразование для второго ОДУ системы (29) — последовательное для ,1,0tk определение Т-спектра :][ ty kK Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 77            ,)][][(][),][05,0][2( 1 ]1[ ,1,0]0[,0,5,1 1 0 tk s tytGttG t t ty tyt skKsGkFkkF k h kK kKth (36) где ][ tk — одномерная тейлоровская единица (31). 5. Обратное одномерное дифференциальное преобразование: ].[)5,1(],,0[)5,1( 00 ty k ytyy k y kKtKkkMtM tt       (37) Результаты расчета на основе (30), (32) и (33)–(37) приведены в таблице, где ),5,1( tM y )5,1( tK y — значения математического ожидания и дисперсии в за- висимости от количества учтенных Т-дискрет (верхний предел оператора суммы в (32), (37)). Таблица ДТ- схема Обозначение Т-спектра Значение Т-дискрет при 5,1th tk 0 1 2 3 4 5 6 (29)–(30) ][ ty kM 0,20 – 0,060 0,018000 – 0,005400 0,001620 – 0,000486 0,000146 ][ ty kK 0,10 – 0,045 0,045000 – 0,027000 0,014175 – 0,006804 – 0,001312 (31)–(35) ],0[ tyy kkM  0,20 – 0,060 0,018000 – 0,005400 0,001620 – 0,000486 0,000146 ],1[ tyy kkM  1,00 – 0,600 0,270000 – 0,108000 0,040500 – 0,014580 0,005103 ],1[1 tyy kkM  1,00 0,600 0,090000 0,0 0,0 0,0 0,0 ][ tkG – 0,40 0,120 – 0,360000 0,010800 – 0,003240 0,000972 – 0,000292 ][ ty kK 0,10 – 0,045 0,045000 – 0,0270000 0,014175 – 0,006804 – 0,001312 Рассчитанные значения )5,1( tM y 0,140 0,158000 0,1526000 0,154220 0,153734 0,153880 )5,1( tKy 0,055 0,100000 0,0730000 0,087175 0,080371 0,079059 Как видно из таблицы, расчеты математического ожидания и дисперсии слу- чайного процесса заданного СДУ в форме уравнения Ланжевена (27) одномерны- ми ДТ-преобразованиями (вычислительная схема (29)–(30)) и разработанным ме- тодом (вычислительная схема (31)–(35)) совпадают между собой. Таким образом, разработанный метод позволяет в численно-аналитическом виде проводить расчет основных элементов ОДУ, описывающего изменение дисперсии случайного про- цесса, а не аналитически, как в традиционном подходе, что характеризует матема- тическую простоту предлагаемого метода. Исходя из необходимой точности расчета можно определять различное коли- чество Т-дискрет при 0yk для ],0[ tyy kkM  (расчет ))(tM y и при 1yk для ],1[ tyy kkM  (расчет )).(tK y Заключение. Во всех известных подходах по применению дифференциальных преобразований прямое и обратное преобразования выполняют на основе диффе- ренциальных преобразований одинаковой мерности [3–6]. Отличительной особен- ностью предлагаемого метода является комбинированная схема использования дифференциальных преобразований различной мерности: двухмерных — час- тично для прямого преобразования и одномерных — частично для прямого, а полностью для обратного преобразования. Таким образом, предлагаемый в статье метод разработки вычислительной схемы интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, 78 ISSN 0572-2691 описывающей средне значение и дисперсию случайного процесса, заданного стоха- стическим дифференциальным уравнением в форме уравнения Ланжевена, за счет приведения в численно-аналитическом виде в области дифференциальных спектров методически сложных аналитических выкладок традиционного метода избавляется от главного недостатка этого метода — методической сложности реализации. М.Ю. Ракушев ЧИСЛОВИЙ МЕТОД ІНТЕГРУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ СТОХАСТИЧНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ НА ОСНОВІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ Запропоновано метод розробки обчислювальної схеми інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь, що описує середнє значення та дисперсію випадкового процесу, який задано стохастичним диференціальним рівнянням у формі рівняння Ланжевена. Права частина цих рівнянь задовольняє умови гладкості, які дають змогу визначати похідні за отримуваним розв’язком до другого порядку включно. Метод засновано на диференціальних перетво- реннях. M.Yu. Rakushev A NUMERICAL METHOD FOR INTEGRATING SOLUTION OF STOCHASTICS DIFFERENTIAL EQUATION BASED ON DIFFERENTIAL TRANSFORMATIONS It is proposed a method of developing computational scheme for integrating the sys- tem of ordinary differential equations describing the mean and variance of the ran- dom process defined by a stochastic differential equation in the form of the Langevin equation, the right-hand side of which satisfies the smoothness conditions allowing to define derivatives to obtain the solution of the second order. The method is based on the differential transformations. 1. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М. : Связь, 1976. — 496 с. 2. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. — М. : Машинострое- ние, 1968. — 246 с. 3. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. — Киев : Наук. думка, 1990. — 184 с. 4. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физиче- ских процессов. — Киев : Наук. думка, 1986. — 159 с. 5. Семагина Э.П. Об эффективности Т-преобразований при численном решении дифференци- альных уравнений // Электронное моделирование. — 1981. — № 4. — С. 103–104. 6. Баранов В.Л. Применение дифференциальных преобразований для моделирования случай- ных процессов в метрологических исследованиях // Украинский метрологический журнал. — 2002. — Вып. 1. — С. 5–10. 7. Ковбасюк С.В., Ракушев М.Ю., Манько О.В. Визначення імовірнісних характеристик сто- хастичних рівнянь за допомогою багатовимірних диференціальних перетворень // Зб. наук. праць. — Київ : ВІТІ, 2006. — Вип. 1. — С. 48–54. 8. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. — М. : Сов. ра- дио, 1978. — 384 с. 9. Ковбасюк С.В., Ракушев М.Ю. Метод решения вариационного уравнения для задачи Коши на основе дифференциальных преобразований // Электронное моделирование. — 2008. — 30, № 6. — С. 59–70. Получено 28.02.2013
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207673
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:56:08Z
publishDate	2013
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ракушев М.Ю. 2025-10-11T14:23:31Z 2013 Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 68-78. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207673 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i11.70 Запропоновано метод розробки обчислювальної схеми інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь, що описує середнє значення та дисперсію випадкового процесу, який задано стохастичним диференціальним рівнянням у формі рівняння Ланжевена. Права частина цих рівнянь задовольняє умови гладкості, які дають змогу визначати похідні за отримуваним розв’язком до другого порядку включно. Метод засновано на диференціальних перетвореннях. It is proposed a method of developing computational scheme for integrating the system of ordinary differential equations describing the mean and variance of the random process defined by a stochastic differential equation in the form of the Langevin equation, the right-hand side of which satisfies the smoothness conditions allowing to define derivatives to obtain the solution of the second order. The method is based on the differential transformations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований Числовий метод інтегрування розв’язку стохастичного диференціального рівняння на основі диференціальних перетворень Numerical method for integrating solution of stochastic differential equations based on differential transformations Article published earlier
spellingShingle	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований Ракушев М.Ю. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
title	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
title_alt	Числовий метод інтегрування розв’язку стохастичного диференціального рівняння на основі диференціальних перетворень Numerical method for integrating solution of stochastic differential equations based on differential transformations
title_full	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
title_fullStr	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
title_full_unstemmed	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
title_short	Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
title_sort	численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207673
work_keys_str_mv	AT rakuševmû čislennyimetodintegrirovaniârešeniâstohastičeskogodifferencialʹnogouravneniânaosnovedifferencialʹnyhpreobrazovanii AT rakuševmû čisloviimetodíntegruvannârozvâzkustohastičnogodiferencíalʹnogorívnânnânaosnovídiferencíalʹnihperetvorenʹ AT rakuševmû numericalmethodforintegratingsolutionofstochasticdifferentialequationsbasedondifferentialtransformations

Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциального уравнения на основе дифференциальных преобразований

Institution

Similar Items