Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях
Розглянуто оцінки розв’язків лінійних алгебраїчних рівнянь з виродженими матрицями та невідомими правими частинами. За нестаціонарними спостереженнями розв’язків рівнянь з похибками, які є випадковими процесами із заданими першим та другим моментами, досліджуються задачі представлення гарантованих с...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207709 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях / А.Г. Наконечный, С.В. Демиденко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 23-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246313805807616 |
|---|---|
| author | Наконечный, А.Г. Демиденко, С.В. |
| author_facet | Наконечный, А.Г. Демиденко, С.В. |
| citation_txt | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях / А.Г. Наконечный, С.В. Демиденко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 23-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто оцінки розв’язків лінійних алгебраїчних рівнянь з виродженими матрицями та невідомими правими частинами. За нестаціонарними спостереженнями розв’язків рівнянь з похибками, які є випадковими процесами із заданими першим та другим моментами, досліджуються задачі представлення гарантованих середньоквадратичних оцінок через розв’язки систем алгебраїчних рівнянь.
Minimax estimations for solutions of linear algebraic equations under uncertainties are considered. Different representations of guaranteed estimation in the case of nonstationary observations of solutions with noise represented by stochastic process with defined first and second moments are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Г. НАКОНЕЧНЫЙ, С.В. ДЕМИДЕНКО, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 23
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.233.2
А.Г. Наконечный, С.В. Демиденко
ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ
Задачи анализа и прогнозирования процессов, которые описываются линей-
ными уравнениями, обуславливают необходимость исследования проблем оценки
параметров таких уравнений при известных наблюдениях по некоторым функциям
их решений. Гарантированные методы оценки параметров линейных операторных
уравнений рассматривались в работах [1–5], где при определенных допущениях
оценки получены в явном виде. В статье исследуются новые задачи оценивания для
линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях.
Постановка задачи
Пусть известна скалярная функция ,),( Ttty где T — измеримое множест-
во, — -алгебра подмножеств множества T, причем )(ty имеет вид
),()),((=)( txtgty (1)
где ,),( Tttg — известная функция, значения которой принадлежат ,nR )(t —
реализация скалярного случайного процесса, nRx — решение линейного урав-
нения
.= bfBAx (2)
Здесь A, B — матрицы размерности nm и sm соответственно, f — некоторый
неизвестный вектор размерности ,sR mRb — известный вектор.
Допустим, что 0=)(tE и известна корреляционная функция ),( stR
)()( stE . Пусть X — множество решений уравнения (2) при фиксированном
векторе f , а F — множество из пространства ,sR которому принадлежит вектор f .
Обозначим ),( fxLk величину ,),(),(=),(
(2)(1)
fvxvfxL
kkk а ),( fxL — вектор
.)),(),..,,((=),( T
1 fxLfxLfxL r
Допустим также, что )(tg — измеримая функция, )( — мера, заданная на ,
причем .<)()(
2
dttg
T
Определение 1. Линейной оценкой вектора ),( fxL называется вектор ,),(ˆ fxL
который имеет вид
,)()()(=),(ˆ cdttytufxL
T
(3)
где ,))(),..,((=)( T
1 tututu r ,<)()(
2
dttu
T
с — некоторый вектор пространства .rR
24 ISSN 0572-2691
Определение 2. Оценка ,ˆ)()()(ˆ=),(
ˆ̂
=
ˆ̂
cdttytufxLL
T
для которой пара
)ˆ,ˆ( cu определяется из условия ,),(minarg)ˆ,ˆ( cucu где
1/22
,
}),(ˆ),({sup=),( fxLfxLEcu
FfXx
, (4)
называется гарантированной линейной среднеквадратической (ГЛСК) оценкой,
а величина )ˆ,ˆ( cu — гарантированной среднеквадратической (ГСК) ошибкой со-
ответствующей оценки.
Таким образом, поставим задачу нахождения ГЛСК оценки и ГСК ошибки
для вектора ),( fxL при упомянутых допущениях и на основе нестационарных
наблюдений вида (2).
Прямое представление и единственность оценки
Для вычисления данных оценок необходимо существование решений урав-
нения (2). Приведем известные условия, когда уравнение (2) будет иметь непустое
множество решений. Обозначим 0}=:{=:)( AxRxAN n ядро матрицы A. Для
того чтобы множество X было непустым, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие )( TANbfB [6]. Далее допустим, что )( TANb
и ).( TANfB
Введем множество
)(,1,..,=0,=)),()()((:)(=
(1)
ANrjdttgtuvuU j
T
j
и векторы jz как решения уравнений
.1,..,=),()()(=
(1)T rjdttgtuvzA j
T
jj (5)
Лемма 1. Пусть ,U jz — решения уравнений (5). Тогда имеет место
равенство
,),,(
,,
=),(ˆ),(sup
1
2
Uucu
Uu
fxLfxLE
Xx
где
,)(]),(),[(=),( 2(2)
1=
1 ucfvbBfzcu jjj
r
j
.)()(),())(),((=)( dsdtstRsutuu
TT
Доказательство. Имеет место равенство
=),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(=),(ˆ),(
222
fxLEfxLEfxLEfxLEfxLfxLE
=)()()(),(ˆ),(=
2
2
dtttuEfxLEfxLE
T
.)(),(ˆ),(=
2
ufxLEfxLE
Заметим, что
=),()()(),(=),(ˆ),(
2
1=
2
jj
T
j
r
j
cxdttgtufxLfxLEfxLE
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 25
.),(,)()()(=
2
(2)(1)
1=
jjj
T
j
r
j
cfvxdttgtuv
Так как ,= 0 vxx где 0x — решение уравнения (1), а )(ANv , то при условии
Uu )( получим
=),(,)()()(=),(ˆ),(
2
(2)
0
0
(1)
1=
2
jjj
T
j
r
j
cfvxdttgtuvfxLEfxLE
,]),(),[(=]),(),[(= 2(2)T
1=
2(2)
1=
jjjj
r
j
jjj
r
j
cbzfvzBcfvbBfz
откуда следует требуемое соотношение.
Лемма доказана.
Следствие 1. Для упрощения выкладок положим .0=
(2)
jv Пусть F — выпуклое
ограниченное центрально-симметрическое относительно нуля множество. Тогда
),()),((,maxmax=),(sup
2
1=1=1
1
1
2
ucbzBfzcu jjj
r
j
jj
r
jFfFf r
j
j
).(,maxmax=),(supmin
2
1=1
1
1
2
uBfzcu jj
r
jFfFfc r
j
j
Доказательство. Требуемые соотношения получим из равенств
,)),((max=]),[(
2
1=1
2
1=
1
2
jjj
r
j
jj
r
j
cbBfzcbBfz
r
j
j
=)),((maxmax
2
1=1
1
2
jjj
r
jFf
cbBfz
r
j
j
.)),((,maxmax=
2
1=1=1
1
2
jjj
r
j
jj
r
jFf
cbzBfz
r
j
j
Лемма 2. Пусть U — непустое множество, а совокупность F имеет вид
1},),(:{= fQffF Q — положительно-определенная симметрическая матрица
размерности .ss Тогда если ,Uu то имеет место равенство
),()(=)ˆ,(sup=),(supmin max11 uZcucu
FfFfc
где ,),(=ˆ bzc jj Z — матрица с элементами ,),
~
( ji zzQ ,1,=, rji ,=
~ T1BBQQ
)(max Z — максимальное собственное число матрицы Z.
Доказательство. Так как
,,),(, T
1=
T
1=
1
2
1=
jj
r
j
jj
r
j
jj
r
j
zBzBQfQfBfz
26 ISSN 0572-2691
причем знак равенства достигается на векторе ,
,
=ˆ
1/2
T
1=
T
1=
1
T
1=
1
jj
r
j
jj
r
j
jj
r
j
zBzBQ
zBQ
f
то ,),(=,max
2
1=
ZBfz jj
r
jF
где .),...,(= T
1 r
Отсюда ,)(=),(max max
1=||
ZZ
что и доказывает справедливость леммы.
Замечание. Поскольку ,jz ,1,= rj — любые решения уравнений (5), то можно
выбрать подмножество для решений, исходя из условия 0=),
~
( jzQ .)( TAN
При условии )( TANb ,)(ˆ TANfB а значит, )(ˆ TANbfB и уравнение (2)
при такой правой части имеет решение.
Пусть ,1r а .0=
(2)
1v Тогда множество U запишем
,,1,=),(0,=),()()(:)(= 11
(1)
11
njANdttgtuvuU jj
T
где j — линейно независимые векторы, а 1n — размерность подпространст-
ва .)(AN
Лемма 3. Множество U является непустым для любого вектора ,1v если мат-
рица G с элементами )()),()(),((= dttgtgg ji
T
ij невырождена.
Доказательство. Будем искать решения уравнений )()),()((),( 1
(1)
dttgtuv j
T
ji
в виде
).),((=)(
1
=1
1 ii
n
i
tgtu
Тогда получим систему уравнений для ,i которая имеет единственное решение
при невырожденной матрице G.
Лемма доказана.
Пусть выполняются условия леммы 3, а .1=r Тогда имеет место следующее
утверждение.
Лемма 4. ГЛСК оценка будет иметь вид ,ˆ)()()(ˆ=),( 11
(1)
1 cdttytuxv
T
где
,)(minargˆ 2
1 uu
),()(),()()(),
~
(=)( 1111
2 dsdtstRsutuzzQu
T
а 1z — решение уравнения
),()()(= 1
(1)
11
T dttgtuvzA
T
(6)
),(0,=),
~
( T
1 ANzQ
).,(=ˆ 1zbc
При этом .)ˆ(=),(),(supinf 22(1)
1
(1)
1
,,
uxvxvE
Fxcu
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 27
Доказательство. Доказательство является следствием предыдущих утвер-
ждений и определения ГЛСК. Заметим только, что если матрица Z состоит из од-
ного элемента ,),
~
( 11 zzQ то ).,
~
(=)( 11max zzQZ
Найдем уравнения, из которых определяется .)(1̂ tu Сначала сформулируем
условия, при которых )(ˆ1 tu будет единственной.
Лемма 5. Допустим, что ),( stR такова, что выполняется условие
)()(),()()( 22 dttudsdtstRsutu
TTT
(7)
для любой функции )(tu такой, что .)()(2 dttu
T
Тогда существует единст-
венная (по мере ) функция .)(ˆ1 tu
Доказательство. Пусть вектор 0z с минимальной нормой удовлетворяет со-
отношениям (6) и имеет вид ),()()()()(= 1
T(1)
1
T
0 dttgtuAvAz
T
где A —
псевдообратная матрица. Квадратический функционал вида
=)(2 u
)()()()()()(),()()()()((
~
1
T(1)
1
T
1
T(1)
1
T udttgtuAvAdttgtuAvAQ
TT
в пространстве измеримых функций таких, что ,)()(2
1 dttu
T
является сильно
выпуклым ввиду соотношения (7), полунепрерывным снизу на замкнутом выпук-
лом множестве, а значит, существует единственная точка минимума, что и требо-
валось показать.
Введем векторы z, p, 1û как решения системы уравнений
).(),,(=)()),()((ˆ
,)),((=)()(ˆ),(
,
~
=
,)(0,=),
~
(
,)()()(ˆ=
(1)
11
1
T
1
(1)
1
T
ANvdttgtu
ptgdssustR
zQAp
ANzQ
dttgtuvzA
T
T
T
(8)
Тогда имеет место следующее утверждение.
Лемма 6. Пусть векторная функция )(ˆ1 tu определяется из системы уравне-
ний (8). Тогда ГЛСК оценка скалярного произведения ),(
(1)
1 xv имеет вид
,ˆ)()()(ˆ=),( 1
(1)
1 cdttytuxv
T
где ),(=ˆ bzc . При этом .),(=)),(),((sup
(1)
1
2(1)
1
(1)
1
,
pvxvxvE
fx
Доказательство. Пусть .)(1 Utu Тогда )(1 tu имеет вид ,)()(=)( 01 tututu
где )(0 tu — фиксированное решение уравнения
),()()),()((=),( 1
1
1 ANdttgtuv
T
28 ISSN 0572-2691
а )(tu принадлежит линейному подпространству и удовлетворяет уравнению
0.=)()),()(( dttgtu
T
Соответствующее множество функций обозначим .1U Очевидно, что
),(ˆ)(=)(ˆ 01 tututu
где ,)(minargˆ 0
2
1
uuu
Uu
т.е. û определяется из соотношения
0.)ˆ(
0=
0
2
vuu
d
d
Заметим, что
),()()())(ˆ)()(,()~,
~
(=)ˆ(
2
1
000
0=
0
2 dsdttvsusustRzzQvuu
d
d
TT
где ),()())(ˆ)((= 0
(1)
10 dttgtutuAvAz
T
.)()()(=~
0 dttgtvAz
T
Введем вектор p как решение уравнения .
~
= 0zQAp Тогда
.0)()()),(()())(ˆ)()(,(=)ˆ(
2
1
0
0=
0
2
dttvptgdssusustRvuu
d
d
TT
Положим
).),(()())(ˆ)()(,(=)( 0 ptgdssusustRtv
T
Покажем, что вектор p можно выбрать так, что функция )(tv будет принадлежать
множеству .1U
Заметим, что вектор p имеет вид ,= 10 ppp где ,)(1 ANp а 0p — любое
решение уравнения .
~
= 0zQAp Для того чтобы функция v принадлежала множест-
ву ,1U вектор 1p нужно выбирать из условия
),(=)()),()(),(( 1 ddttgptg
T
где )(d — некоторое число. Представив 1p в виде ,=
1
=
1 jj
n
j
p где j —
линейно независимые векторы из ,)(AN получим систему уравнений
,1,=),(=)()),()(),(( 1
1=
1
niddttgtg iij
T
j
n
j
относительно чисел ,j которая имеет хотя бы одно решение. Таким образом, из
условия
0)ˆ(
0=
0
2
vuu
d
d
получим соотношение
0.)()),(()())(ˆ)()(,(
2
0
dtptgdssusustR
TT
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 29
Отсюда следует, что функция )(ˆ su должна удовлетворять интегральному уравнению
.)),((=)())(ˆ)()(,( 0 ptgdssusustR
T
Далее найдем выражение для гарантированной ошибки. Получим
=)()()(ˆ)(ˆ),(),
~
(=),(),(sup= 11
2(1)
1
(1)
1
,
2 dsdtsutustRzzQxvxvE
TTfx
)()(ˆ)),((),(=)()(ˆ)),((),(= 1
(1)
11 dttuptgvpdttuptgzAp
TT
),,(=)()(ˆ)),((
(1)
11 vpdttuptg
T
т.е. ,),(=
(1)
1
2 pv что и требовалось доказать.
Альтернативное представление оценки и вычислительные аспекты
Введем далее векторы ,x̂ ,p̂ )(ˆ t как решения для системы уравнений
.)ˆ),(()(=)()(ˆ),(
,)(0,=)()),()((ˆ
,ˆ
~
=ˆ
,)(0,=),ˆ
~
(
,)()()(ˆ=ˆ
T
T
xtgtydssstR
ANdttgt
bpQxA
ANpQ
dttgtpA
T
T
T
(9)
Лемма 7. Пусть вектор ̂ определяется как решение системы уравнений (9). Тог-
да имеет место равенство
).,(=),(
(1)
1
(1)
1 xvxv
Доказательство. Так как ,ˆ)()()(ˆ=),( 1
(1)
1 cdttytuxv
T
то, учитывая систему
уравнений (9), получим
).()(ˆ)ˆ),(()()()(ˆ)(ˆ),(=)()()(ˆ 111 dttuxtgdtdstusstRdttytu
TTTT
Отсюда
,),(),ˆ
~
()ˆ,(=)ˆ,()ˆ,(=)ˆ,()ˆ,(=)()(ˆ)ˆ),((
(1)
1
(1)
1
T(1)
11 zbzpQxvxAzxvxzAxvdttuxtg
T
=)()),()((ˆ=),ˆ(=),ˆ(=)
~
,ˆ(=),ˆ
~
( T dtptgtppAAppzQpzpQ
T
).()()(ˆ)(ˆ),(= 1 dtdstsustR
TT
Учитывая эти соотношения, получим нужное равенство.
Лемма доказана.
Очевидным преимуществом альтернативного представления является то, что
x̂ входит в систему (9) явным образом. Кроме того, для приложений особенно
30 ISSN 0572-2691
важным представляется случай, когда мера сосредоточена в некотором конеч-
ном наборе точек, а векторы ,1,=,
(1)
1 njv являются ортами в соответствующем
пространстве.
Следствие 1. Пусть ,<...<},,...,{= 11 NN ttttT где ,1Rti а мера сосредо-
точена в точках it так, что ),(=)()(
=1
j
N
jT
tldttl где )(tl — функция, определенная
на множестве T. Тогда для нахождения функций ,)(ˆ1 jtu )(ˆ jt получим систему
линейных алгебраических уравнений:
,1,=),),((=)(ˆ),( 1
=1
NjptgtuttR jjji
N
j
,1,=),ˆ),(()(=)(ˆ),(
1=
NjxtgtytttR jjjji
N
j
соответственно. При условии, что матрица )),((= ji ttRR , ,1,=, Nji невырожде-
на, имеем
,),(),(
~
=)(ˆ
1=
1
ptgttRtu kkj
N
k
j
,ˆ),(),(
~
)(),(
~
=)(ˆ
1=1=
xtgttRtyttRt kkj
N
k
kkj
N
k
j
где ),(
~
kj ttR — элементы обратной матрицы. Таким образом, системы уравнений
(8), (9) будут иметь следующий вид:
;)(),,(=)),()((ˆ
,
~
=
),(0,=),
~
(
),()(ˆ=
(1)
11
1=
T
1
1=
(1)
1
T
ANvtgtu
zQAp
ANzQ
tgtuvzA
jj
N
j
jj
N
j
).(0,=)),()((ˆ
,ˆ
~
=ˆ
),(0,=),ˆ
~
(
),()(ˆ=
=1
T
=1
T
ANtgt
bpQxA
ANpQ
tgtpA
jj
N
j
jj
N
j
Следствие 2. Положим в системе уравнений (8) ,1,=,=
(1)
1 njev j где je — j-й
орт, а соответствующую оценку обозначим ,ˆ))()()(ˆ),( 1, jj
T
j cdttytuxe
.1,= Nj Введем также вектор .)),(),..,,((=ˆ T
1 xexex N Тогда имеет место равенство
,)()())(ˆ),(ˆ)(,()(=ˆsup= 11max
2
,
2 dsdtsutustRZxxE
TTfx
где ,1,=,,)),((= njizzZ ji iz — решение системы уравнений (8) при ,=
(1)
1 iev
.))(ˆ,),(ˆ(=)(ˆ T
1111 tututu n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 31
В настоящей публикации рассмотрена задача оценивания параметров линей-
ных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях. Получены ус-
ловия единственности, прямое и альтернативное представления оценки.
О.Г. Наконечний, С.В. Демиденко
ГАРАНТОВАНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
ПРИ НЕСТАЦІОНАРНИХ СПОСТЕРЕЖЕННЯХ
Розглянуто оцінки розв’язків лінійних алгебраїчних рівнянь з виродженими
матрицями та невідомими правими частинами. За нестаціонарними спостере-
женнями розв’язків рівнянь з похибками, які є випадковими процесами із зада-
ними першим та другим моментами, досліджуються задачі представлення га-
рантованих середньоквадратичних оцінок через розв’язки систем алгебраїчних
рівнянь.
A.G. Nakonechnyi, S.V. Demydenko
GUARANTEED ESTIMATION OF LINEAR
ALGEBRAIC EQUATIONS PARAMETERS IN CASE
OF NONSTATIONARY OBSERVATION
Minimax estimations for solutions of linear algebraic equations under uncertainties
are considered. Different representations of guaranteed estimation in the case of
nonstationary observations of solutions with noise represented by stochastic process
with defined first and second moments are obtained.
1. Наконечний О.Г. Оцінювання параметрів в умовах невизначеності // Наукові записки КНУ
імені Тараса Шевченка. — 2004. — 7. — С. 78–81.
2. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных
уравнений в гильбертовых пространствах. — Киев : КГУ, 1985. — 82 с.
3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
4. Жук С.М., Наконечний О.Г. Оцінювання розв’язків алгебраїчно-диференціальних рівнянь
в умовах невизначеності. — Рівне : НУВГП, 2009. — 120 с.
5. Демиденко С.В., Наконечний О.Г., Жук С.М. До проблеми мінімаксного оцінювання роз-
в’язків одновимірних крайових задач // Таврический вестник информатики и математи-
ки. — Симферополь, 2007. — № 1. — С. 7–24.
6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М. : Наука, 1977. —
224 с.
Получено 30.08.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207709 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:38Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Наконечный, А.Г. Демиденко, С.В. 2025-10-13T10:18:33Z 2014 Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях / А.Г. Наконечный, С.В. Демиденко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 23-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207709 519.233.2 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i1.30 Розглянуто оцінки розв’язків лінійних алгебраїчних рівнянь з виродженими матрицями та невідомими правими частинами. За нестаціонарними спостереженнями розв’язків рівнянь з похибками, які є випадковими процесами із заданими першим та другим моментами, досліджуються задачі представлення гарантованих середньоквадратичних оцінок через розв’язки систем алгебраїчних рівнянь. Minimax estimations for solutions of linear algebraic equations under uncertainties are considered. Different representations of guaranteed estimation in the case of nonstationary observations of solutions with noise represented by stochastic process with defined first and second moments are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях Гарантовані оцінки параметрів лінійних рівнянь алгебри при нестаціонарних спостереженнях Guaranteed estimation of linear algebraic equations parameters in case of nonstationary observation Article published earlier |
| spellingShingle | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях Наконечный, А.Г. Демиденко, С.В. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| title_alt | Гарантовані оцінки параметрів лінійних рівнянь алгебри при нестаціонарних спостереженнях Guaranteed estimation of linear algebraic equations parameters in case of nonstationary observation |
| title_full | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| title_fullStr | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| title_full_unstemmed | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| title_short | Гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| title_sort | гарантированные оценки параметров линейных алгебраических уравнений при нестационарных наблюдениях |
| topic | Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet | Методы идентификации и адаптивного управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207709 |
| work_keys_str_mv | AT nakonečnyiag garantirovannyeocenkiparametrovlineinyhalgebraičeskihuravneniiprinestacionarnyhnablûdeniâh AT demidenkosv garantirovannyeocenkiparametrovlineinyhalgebraičeskihuravneniiprinestacionarnyhnablûdeniâh AT nakonečnyiag garantovaníocínkiparametrívlíníinihrívnânʹalgebriprinestacíonarnihsposterežennâh AT demidenkosv garantovaníocínkiparametrívlíníinihrívnânʹalgebriprinestacíonarnihsposterežennâh AT nakonečnyiag guaranteedestimationoflinearalgebraicequationsparametersincaseofnonstationaryobservation AT demidenkosv guaranteedestimationoflinearalgebraicequationsparametersincaseofnonstationaryobservation |