Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом
Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207716 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207716 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Хомяк, О.Н 2025-10-13T11:38:22Z 2011 Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207716 519.644; 519.711 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i2.20 Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені до практики інтерполяційні класи функцій. The article is devoted to the construction of effective with respect to accuracy algorithms of approximate calculation of frequency characteristic of linear model of controlled objects with permanent parameters on classes of functions of varying degrees of smoothness and provide estimates of their main characteristics (accuracy and speed). Also the most approximate to the practice of the interpolation function classes are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом Застосування прискореного моделювання для оцінки ймовірності перетину випадкового рівня марківським процесом Fast simulation method for the evaluation of intersection probability of random level by Markov process Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| spellingShingle |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом Хомяк, О.Н Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title_short |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| title_full |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| title_fullStr |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| title_full_unstemmed |
Применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| title_sort |
применение ускоренного моделирования для оценки вероятности пересечения случайного уровня марковским процессом |
| author |
Хомяк, О.Н |
| author_facet |
Хомяк, О.Н |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Застосування прискореного моделювання для оцінки ймовірності перетину випадкового рівня марківським процесом Fast simulation method for the evaluation of intersection probability of random level by Markov process |
| description |
Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені до практики інтерполяційні класи функцій.
The article is devoted to the construction of effective with respect to accuracy algorithms of approximate calculation of frequency characteristic of linear model of controlled objects with permanent parameters on classes of functions of varying degrees of smoothness and provide estimates of their main characteristics (accuracy and speed). Also the most approximate to the practice of the interpolation function classes are considered.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207716 |
| citation_txt |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT homâkon primenenieuskorennogomodelirovaniâdlâocenkiveroâtnostiperesečeniâslučainogourovnâmarkovskimprocessom AT homâkon zastosuvannâpriskorenogomodelûvannâdlâocínkiimovírnostíperetinuvipadkovogorívnâmarkívsʹkimprocesom AT homâkon fastsimulationmethodfortheevaluationofintersectionprobabilityofrandomlevelbymarkovprocess |
| first_indexed |
2025-11-24T19:09:21Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:09:21Z |
| _version_ |
1850493755155546112 |
| fulltext |
© О.Н. ХОМЯК, 2014
110 ISSN 0572-2691
УДК 519.873
О.Н. Хомяк
ПРИМЕНЕНИЕ УСКОРЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ
ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО
УРОВНЯ МАРКОВСКИМ ПРОЦЕССОМ
Создание современных сложных высокоответственных технических систем
привело к разработке новых математических методов определения характеристик
надежности. В последние годы много работ посвящено методам ускоренного мо-
делирования, которым присущи преимущества как аналитических (высокая точ-
ность), так и статистических (широкая сфера практических применений) методов.
Важный подкласс методов ускоренного моделирования составляют методы, по-
лучившие, благодаря работам [1–3], название аналитико-статистических. Сущест-
венное повышение точности расчета получаем за счет совместного использования
аналитических формул при вычислении маловероятных событий (например, отказ
элемента за время восстановления другого элемента) и статистического модели-
рования, позволяющего учесть характерные особенности функционирования сис-
темы. При этом удалось полностью отказаться от основополагающего для боль-
шинства работ предположения об экспоненциальности каких-либо случайных ве-
личин [4, 5]. Необходимо также отметить метод существенной выборки как один
из наиболее распространенных подходов к ускорению моделирования. Современ-
ное состояние исследований в данном направлении описано в [6–10].
В этих публикациях исследовались системы, отказ которых никоим образом
не был связан с эффективностью их работы (фактически это два состояния эффек-
тивности системы: работоспособное и неработоспособное). В то же время боль-
шой практический интерес представляют исследования систем с переменной эф-
фективностью работы, определяемой набором отказавших элементов [11]. При
этом в каждый момент времени от системы требуется определенный уровень эф-
фективности, задаваемый случайным процессом (требуемая эффективность). Если
уровень требуемой эффективности выше имеющейся, то наступает отказ, назы-
ваемый функциональным [12]. Настоящая статья является обобщением рабо-
ты [13], в которой рассматривались две независимые цепи Маркова. Ниже изло-
жен метод ускоренного моделирования, позволяющий строить несмещенные
оценки вероятности функционального отказа в случае марковской модели. Най-
дены условия, гарантирующие ограниченность относительной среднеквадратиче-
ской погрешности (ОСКП), если вероятность функционального отказа стремится
к нулю. Данное свойство является теоретическим обоснованием устойчивости
статистических оценок при возрастании надежности системы. Рассмотрен чис-
ленный пример, иллюстрирующий скорость сходимости оценок, когда выполнены
условия теоремы об ограниченности относительной погрешности и когда эти ус-
ловия не выполнены.
Постановка задачи
В качестве модели рассматривается двухмерный процесс Маркова )(t
)),(),(( tt ,0t с пространством состояний , где },,,1{ N
а — конечное подмножество конечномерного векторного пространства. Пер-
вая компонента )(t описывает состояние исследуемой системы. Вторая компо-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 111
нента )(t определяет состояние внешней среды (в частности, нагрузку на систе-
му). Заданы интенсивности ),;,( ij перехода процесса )(t из состояния
),( i в состояние ).,( j Обозначим через состояние системы, когда все
ее элементы работоспособны.
Каждому состоянию системы )(t соответствует некоторая эффектив-
ность ее функционирования, определяемая функцией ).(f При отказе элементов
эффективность работы системы убывает. Вторая компонента )(t задает эффек-
тивность функционирования, требуемую от системы в момент времени t, а имен-
но: если ,)( it то от системы в момент t требуется эффективность ).(ig Для оп-
ределенности предположим, что )(ig является монотонно возрастающей функци-
ей. Если в некоторый момент времени требуемая эффективность выше
имеющейся, то наступает так называемый функциональный [12] отказ. Исследуе-
мой характеристикой является вероятность }{)( TTQ P функционального от-
каза на отрезке времени ],,0[ T где ))}.(())((:{inf tgtft
Оценка вероятности )(TQ методом ускоренного моделирования
Введем индикаторы, обозначающие переходы, связанные с уменьшением эффек-
тивности работы системы и/или возрастанием уровня требуемой эффективности:
случае, противном в0
,)()( ),()( и 0>),;,( если,1
),;,(
igjgffij
ija
ji,,, (если ,1),;,( ija то переход из ),( i в ),( j связан либо
с отказом одного или нескольких элементов, либо с ростом уровня требуемой эф-
фективности, что также может привести к функциональному отказу).
Введем дополнительное условие, исключающее из рассмотрения марковские
процессы, в которых возможны циклы, возникающие благодаря переходам
),(),( ji с .1),;,( ija Для этого рассмотрим вспомогательную цепь
Маркова с переходными вероятностями
.
),;,(),;,(
),;,(),;,(
),;,(
),(),(
ikika
ijija
ijq
ik
В дальнейшем будем предполагать, что цепь Маркова с вероятностями пере-
хода )},;,({ ijq не содержит сообщающихся состояний, т.е. не существует та-
ких состояний ),( i и ),,( j которые были бы достижимы одно из другого.
Кроме того, предположим, что множество состояний )},()(:),{(0 igfiE в
которых наступает функциональный отказ, достижимо из любого состояния
.),( 0Ei
Данная работа обобщает результаты, изложенные в [13]. Основная идея ис-
следования состоит в следующем. Обозначим через }0),,{( kkk вложенную
цепь Маркова марковского процесса ,0),( tt с фиксированным начальным со-
стоянием ).1,(),( 00 Переходные вероятности данной цепи Маркова вычис-
ляются по формуле
,
),(
),;,(
}),(),(),(),({),;,( 11
i
ij
ijijp kkkk
P (1)
112 ISSN 0572-2691
где
),;,(),(
),(),(
iji
ij
(2)
— интенсивность выхода из состояния ).,( i Функциональный отказ произойдет
в промежутке ],0[ T тогда и только тогда, когда вложенная цепь Маркова )},{( kk
пройдет последовательность состояний ,,,1,0),,( nkikk ),1,(),( 00 i
,),( 0Eikk ,1,,1 nk ,),( 0Einn и суммарное время пребывания в этих
состояниях не будет превосходить T (сумма экспоненциально распределенных
случайных величин). Если обозначить через }1),,({ )( jij последовательность
независимых экспоненциально распределенных случайных величин с параметром
),,( i то вероятность )(TQ функционального отказа можно записать в виде ряда:
),;,(),;,()( 1122
),(,
,),(
0011
),(),(
,),(1
1122
022
0011
011
iipiipTQ
ii
Ei
ii
Ein
}.),(),({),;,( 11
)(
00
)1(
11
),( 0
Tiiiip nn
n
nnnn
Einn
P (3)
Алгоритм ускоренного моделирования вероятности )(TQ основан на форму-
ле (3): вначале моделируется траектория вложенной цепи Маркова до попадания в
состояние отказа, а затем аналитически (рекуррентные формулы) вычисляется
свертка экспоненциальных распределений при известных параметрах этих рас-
пределений. Если траекторию вложенной цепи Маркова моделировать стандарт-
ным методом Монте-Карло, то до перехода во множество состояний 0E может
понадобиться большое количество шагов, что отрицательно сказывается на дис-
персии оценки. Поэтому используем метод взвешенного моделирования: выбор
следующего состояния осуществляется пропорционально вероятности отказа из
этого состояния. Введем весовые коэффициенты, которые обозначим )}.,({ i
Предположим, что 0),(,0),( Eii , и .),(,1),( 0Eii Алгоритм по-
строения оценки )(ˆ
1 TQ в одной реализации для вероятности )(TQ формулирует-
ся следующим образом.
1. Полагают, что )1,(),( 00 i — начальное состояние вложенной цепи
Маркова, ,0n 11 — начальное значение нормирующего множителя.
2. Вычисляют
).,(),;,(),(
),(
jijpic nn
j
nn
3. Строят реализацию двухмерной случайной величины ,),( которая при-
нимает значение ),( j с вероятностью ).,(/),(),;,( nnnn icjijp Пусть
).,(),( 11 nn i
4. Полагают ).,(/),(= 111 nnnnnn iic
5. Переходят на шаг 2 алгоритма, увеличивая при этом n на единицу, если
.),( 011 Einn Если же ,),( 011 Einn то оценка )(ˆ
1 TQ в одной реализации
построена следующим образом:
),(=)(ˆ
11 TRTQ n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 113
где },),(),({)( )1(
00
)1( TiiTR nn
n P а ),,( 11
)(
kk
k i 1,,1 nk , —
последовательность независимых экспоненциально распределенных случайных
величин с параметрами )}.,({ 11 kk i
Замечание. Алгоритм вычисления вероятности )(TR сформулирован в [14]:
,}1{
!
)(
)(
1
11
nk
n
T
k
nke
k
T
TR P
где ),,(max
0
kk
nk
i
а }{ k — независимые случайные величины, имеющие
геометрическое распределение с вероятностями успеха .
),( 11
kk
k
i
p Ес-
ли обозначить ,0,1,,1},{ 1 jnijh iij P= то
,}1{ ,1
1
0
11 jn
nk
j
n hnk
P ,0,)1( 111 jpph j
j
.0,,,1,)1( 11
0
,1
jnipphh kj
iiik
j
k
ji
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что ,),(,0),( 0Eii и ,1),( i .),( 0Ei
Тогда оценка )(ˆ
1 TQ является несмещенной, т.е. ).(=)(ˆ
1 TQTQM
Доказательство. Несмещенность оценки вытекает непосредственно из
сформулированного алгоритма, причем несмещенность сохраняется при любом
выборе положительных весовых коэффициентов )}.,({ i В соответствии с изло-
женным выше алгоритмом построения оценки )(ˆ
1 TQ имеем
),(
),(
),(
),(),;,(
)(ˆ
11
00
00
110011
),(),(
,),(1
1
0011
011
i
ic
ic
iiip
TQ
ii
Ein
M
),(
),(
),(
),(),;,(
22
11
11
221122
),(),(
,),(
1122
022
i
ic
ic
iiip
ii
Ei
),(
),(
),(
),(),;,( 11
11
11
),( 0
nn
nn
nn
nnnnnn
Ei i
ic
ic
iiip
nn
).(}),(),({ 11
)(
00
)1( TQTii nn
n P
Теорема доказана.
Условия ограниченности относительной
среднеквадратической погрешности
Ограниченность ОСКП оценок — важное свойство, являющееся теоретиче-
ским обоснованием устойчивости вычислений, когда значения некоторых пара-
метров близки к критическим. При определенном выборе весовых коэффициентов
)},({ i сформулированный выше алгоритм позволяет строить оценки, обладаю-
щие указанным свойством. Еще в середине 60-х годов И.Н. Коваленко сформули-
ровал принцип монотонных отказов [15], согласно которому, как правило, пре-
имущественный вклад в отказ системы вносят монотонные траектории, когда
с момента отказа одного из элементов при абсолютно исправном состоянии сис-
114 ISSN 0572-2691
темы и до отказа системы не было восстановлено ни одного элемента, т.е. число
отказавших элементов монотонно возрастает. Именно этим принципом восполь-
зуемся для выбора коэффициентов )},,({ i т.е. ),( i — вероятность монотонно-
го функционального отказа вложенной цепи Маркова при начальном состоянии
).,( i Здесь под монотонным отказом понимается любая последовательность состоя-
ний ,,,1,0),,( nkikk такая что ),1,(),( 00 i ,),( 0Eikk ,1,,1 nk
,),( 0Einn и ,1),;,( 11 kkkk iia .,,1 nk
Алгоритм вычисления весовых коэффициентов )},({ i формулируется сле-
дующим образом.
1. Полагают ,1),( j если ,),( 0Ej и ,1),( j если .),( 0Ej
2. Пусть существует ),( i , такое что ,0),( i причем 0),( j для всех
),,( j таких что .0),;,(),;,( ijpija Тогда вычисляют
).,(),;,(),;,(:),(
0),;,(),;,(:),(
jijpijai
ijpijaj
Если же ),( i с указанными свойствами не существует, то весовые коэффициен-
ты )},({ i определены для всех ),( i и алгоритм окончен.
Установим условия ограниченности ОСКП в случае, когда переходы, связан-
ные с отказом элементов, являются маловероятными событиями. Предположим,
что интенсивности переходов )},;,({ ij зависят от некоторого малого пара-
метра :0 ),(=),;,( ),;,( ijbOij .),(),,( ji Согласно форму-
лам (1), (2) определяют соответствующие порядки вероятностей переходов вло-
женной цепи Маркова: ),(=),;,( ),;,( ijsOijp где ),;,(),;,( ijbijs
).,;,(min
),(),(
ikb
ik
Весовые коэффициенты )},({ i также зависят от малого
параметра: ).(=),( ),( idOi Алгоритм вычисления порядков )},({ id вытекает
из сформулированного алгоритма вычисления весовых коэффициентов )}.,({ i
1. Полагают ,0),( jd если ,),( 0Ej и ,1),( jd если .),( 0Ej
2. Пусть существует ),,( i такое что ,0),( id причем 0),( jd для всех
),,( j таких что .0),;,(),;,( ijpija Тогда вычисляют
.}),(),;,({min),(
1,;,
),,(),(
jdijsid
ija
ij
Повторяют шаг 2 до тех пор, пока существуют ),( i с указанными свойствами.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что для любых 0),( Ei выполняется соотношение
).,(}),(),;,({min
),(),(
idjdijs
ij
(4)
Если, кроме того, существует последовательность состояний ),,{( kk l },,,1,0 nk
обладающая свойствами: ),1,(),( 00 l ,),( 0Elkk ,1,,1 nk ,),( 0Elnn
,,,1,0),;,( 11 nkll kkkk и
,,,1),,(),(),;,( 1111 nkldldlls kkkkkkkk (5)
,1,,1),1(),( nkOlkk (6)
то (1)=1)(/)(ˆ=)( 22
1 OTQTQr M при .0
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 115
Доказательство. Достаточно доказать, что ))(()(ˆ 22
1 TQOTQ M при .0
Соотношения (5) и (6) позволяют построить нижнюю оценку для ).(TQ Если
вложенная цепь Маркова },0),,{( kkk стартуя из состояния ),1,(),( 00 l
пройдет последовательно состояния ,),( 0Elkk ,1,,1 nk 0),( Elnn и
при этом суммарное время ),(),( 11
)(
00
)1(
nn
n ll пребывания в ука-
занных состояниях не превысит T, то наступает функциональный отказ. Поэтому
}.),(),({},,1),,(),{()( 11
)(
00
)1( TllnklTQ nn
n
kkkk PP (7)
Предположения (4) и (5) позволяют сделать вывод, что первый множитель в
правой части соотношения (7) имеет порядок .)( )1,(dO В то же время из (6) сле-
дует, что второй множитель в правой части (7) имеет порядок ,)( )1,(wO где
).1,;,(min)1,(
)1,(),(
jbw
j
Поэтому вероятность )(TQ имеет порядок не выше
).( )1,()1,( wdO
Построим теперь верхнюю оценку для ).(ˆ 2
1 TQM Из алгоритма построения
оценки )(ˆ
1 TQ следует соотношение:
2
11
00
00
110011
),(),(
,),(1
2
1
),(
),(
),(
),(),;,(
)(ˆ
0011
011
i
ic
ic
iiip
TQ
ii
Ein
M
2
22
11
11
221122
),(),(
,),( ),(
),(
),(
),(),;,(
1122
022
i
ic
ic
iiip
ii
Ei
2
11
11
11
),( ),(
),(
),(
),(),;,(
0
nn
nn
nn
nnnnnn
Ei i
ic
ic
iiip
nn
.]}),(),({[ 2
11
)(
00
)1( Tii nn
n P
Поскольку ),1,(),( 00 i 1),( i при 0),( Ei и
},)1,({}),(),({ )1(
11
)(
00
)1( TTii nn
n PP
то
),(
),(
),;,(})1,({)1,()(ˆ
11
11
0011
),(),(
,),(1
)1(2
1
0011
011
i
ic
iipTcTQ
ii
Ein
PM
),;,(
),(
),(
),;,( 11
),(22
22
1122
),(),(
,),( 0
1122
022
nnnn
Ei
ii
Ei
iip
i
ic
iip
nn
}.),(),({ 11
)(
00
)1( Tii nn
n P (8)
Из сформулированного выше алгоритма построения оценки )(ˆ
1 TQ следует,
что ),( ic является величиной порядка )(
}),(),;,({min
),(),(
jdijb
ijO
для любых
116 ISSN 0572-2691
.),( 0Ei Поэтому условие (4) теоремы гарантирует, что )1(
),(
),(
O
j
jc
при
0 для любых .),( 0Ej Поскольку вероятность })1,({ )1( TP имеет по-
рядок ),( )1,(wO а )1,(c — порядок ),( )1,(dO то из соотношения (8) следует,
что ).1(
)(
)(ˆ
2
2
1 O
TQ
TQ
M
Теорема доказана.
Численный пример
Предположим, что компоненты двухмерного марковского процесса
,0)),(),(()( tttt являются независимыми марковскими процессами, при-
нимающими значения в }7,,1{ и }.3,2,1{ На численных примерах
покажем, что условия теоремы 2 являются существенными для построения оценок
с ограниченной ОСКП. Для этого рассмотрим два случая: 1) характеристики про-
цессов подобраны таким образом, что условия теоремы 2 выполнены; 2) соответ-
ствующие характеристики подобраны так, что условия теоремы 2 не выполнены.
Случай 1. Интенсивности переходов процессов )(t и )(t зададим следующим
образом: ,),( )(5,0 ijji
если ),6,4(),5,4(),6,3(),4,2(),3,1(),2,1{(),( Sji
)};7,6(),7,5(),7,4( ,1),( ij если ;),( Sji 0),( ji — для остальных
значений );,( ji ,5,0)2,3(,1)1,2(,)3,1(,)3,2(,)2,1( 2
.5,0)1,3(
С учетом независимости процессов )(t и )(t интенсивности переходов двух-
мерного процесса )(t задаются следующим образом: ),,(),;,( 211122 iijiji
если ;12 jj ),,(),;,( 211122 jjjiji если ;12 ii ,0),;,( 1122 jiji если
12 ii и .12 jj Функции имеющейся и требуемой эффективности зададим так:
;7,,1,0,2,0,3,0,5,0,8,0,9,0,1:)( iif
.3,2,1),1(3,01,0)( iiig
Положим .,2,1,2,10 mT m
Оценки )(ˆ TQ для вероятности )(TQ
функционального отказа, построенные с относительной погрешностью 1 % и дос-
товерностью 0,99 при различных значениях , приведены в табл. 1 )(ˆ( r — ОСКП
соответствующей оценки, )(ˆ N — количество реализаций, требуемых для дости-
жения указанной точности оценки).
Приведенные данные показывают, что в широком диапазоне изменения веро-
ятности функционального отказа (от 5 210 до 2 )10 15 ОСКП оценок остается
ограниченной, причем ее минималь-
ное значение достигается в окрестно-
сти 52 ).41,0)(ˆ( r При умень-
шении , ОСКП незначительно воз-
растает, что, однако, нисколько не
сказывается на вычислительных затра-
тах. Поэтому можно сделать вывод
о полном соответствии численных ре-
зультатов утверждению теоремы 2.
Таблица 1
m )(ˆ TQ )(ˆ r )(ˆ N
3 5,32 210 1,06 74782
6 1,42 410 0,45 13707
9 2,84 610 0,75 36985
12 5,55 1010 0,89 52783
15 1,08 1210 0,95 59771
18 2,11 1510 0,97 62388
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 117
Случай 2. Интенсивности пере-
ходов процессов )(t и )(t зададим
так же, как и в предыдущем случае,
но с некоторыми изменениями:
,)2,1( ,)3,1( 2 ,)4,2( 2
,)5,4( 2 ,)6,4( 2 ,5,0)1,2(
.5,0)3,2( Легко видеть, что в этом
случае принцип монотонных отказов не работает, т.е. не все весовые множители
)},({ i позволяют оценить вклад в отказ наиболее вероятных траекторий (неко-
торые из них будут немонотонными). Поэтому условие (4) теоремы 2 не выполня-
ется. Соответствующие оценки для ),(ˆ TQ )(ˆ r и ),(ˆ N построенные с относи-
тельной погрешностью 1 % и достоверностью 0,99 при различных значениях ,
приведены в табл. 2.
По сравнению с рассмотренным ранее случаем, количество реализаций, тре-
буемых для достижения необходимой точности оценок, существенно возросло.
При этом наблюдается заметный рост ОСКП оценок при убывании оцениваемой
вероятности )(TQ , что свидетельствует об ухудшении устойчивости вычисли-
тельных алгоритмов. Поэтому можно сделать вывод, что условия теоремы 2 не
носят технический характер, а их выполнение является достаточным для построе-
ния устойчивых вычислительных процедур в широком диапазоне изменения оце-
ниваемой вероятности ).(TQ
О.М. Хом’як
ЗАСТОСУВАННЯ ПРИСКОРЕНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ ДЛЯ ОЦІНКИ
ЙМОВІРНОСТІ ПЕРЕТИНУ ВИПАДКОВОГО
РІВНЯ МАРКОВСЬКИМ ПРОЦЕСОМ
Досліджується двовимірний процес Маркова, перша компонента якого визна-
чає ефективність функціонування системи, а друга — ефективність, яка вима-
гається від системи. Досліджується ймовірність функціональної відмови, коли
наявна ефективність системи стає нижчою за ту, що вимагається. Запропонова-
но алгоритм прискореного моделювання ймовірності функціональної відмови.
Отримано умови, які гарантують обмеженість відносної середньоквадратичної
похибки. Наведено результати чисельного експерименту.
O.N. Khomyak
FAST SIMULATION METHOD
FOR THE EVALUATION OF INTERSECTION
PROBABILITY OF RANDOM LEVEL
BY MARKOV PROCESS
A two-dimensional Markov process is considered. Its first component determines
the system efficiency, and the second one — an efficiency which is required from the
system. The probability of system functional failure when the real system efficiency
becomes lower than the required efficiency is investigated. A fast simulation algo-
rithm for the evaluation of the functional failure is proposed. Conditions ensuring the
boundedness of relative root-mean square error are established. Numerical results
are presented.
Таблица 2
m )(ˆ TQ )(ˆ r )(ˆ N
3 8,63 310 4,77 1,51 610
5 8,64 510 7,47 3,70 610
7 1,10 610 9,17 5,58 610
8 1,30 710 21,35 3.02 710
9 1,57 810 31,35 6,52 710
118 ISSN 0572-2691
1. Коваленко И.Н. Асимптотический метод оценки надежности сложных систем // О надеж-
ности сложных систем. — М. : Сов. радио, 1966. — С. 205–223.
2. Коваленко И.Н. Аналитико-статистический метод расчета характеристик высоконадежных
систем // Кибернетика. — 1976. — № 6. — С. 82–92.
3. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.
— М.: Сов. радио, 1980. — 209 с.
4. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Yu., Pegg Ph.A. Mathematical theory of reliability of time depen-
dent systems with practical applications. — Chichester : Wiley, 1997. — 303 p.
5. Kuznetsov N. Fast simulation technique in reliability evaluation of Markovian and non-Markovian
systems // Simulation and Optimization Methods in Risk and Reliability Theory. — New York :
Nova Science Publishers, 2008. — P. 65–108.
6. Heidelberger P. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models // ACM Trans.
Modeling Comput. Simul. — 1995. — 5, N 1. — P. 43–85.
7. Glasserman P., Heidelberger Ph., Shahabuddin P., Zajic T. Multilevel splitting for estimating ra-
re event probabilities // Operat. Res. — 1999. — 47, N 4. — P. 585–600.
8. Ермаков С.М. Метод существенной выборки для моделирования вероятностей умеренных
и больших уклонений оценок и критериев // Теория вероятн. и ее применен. — 2006. — 51,
№ 2. — С. 319–332.
9. Blanchet J., Lam H. Rare event simulation techniques / Proc. of the 2011 Winter Simulation Con-
ference. — 2011. — P. 217–231.
10. Li J., Mosleh A., Kang R. Likelihood ratio gradient estimation for dynamic reliability applications //
Reliab. Engin. and System Safety. — 2011. — 96, N 12. — P. 1667–1679.
11. Кузнецов Н.Ю. Оценка вероятности функционального отказа высоконадежных систем ме-
тодом ускоренного моделирования // Кибернетика и системный анализ. — 1991. — № 4. —
С. 30–41.
12. Самойлов О.Б., Усынин Г.Б., Бахметьев А.М. Безопасность ядерных энергетических уста-
новок. — М. : Энергоатомиздат, 1989. — 280 с.
13. Хомяк О.Н. Нахождение вероятности пересечения функционалов от траекторий двух цепей
Маркова методом существенной выборки // Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 4. — С. 123–128.
14. Кузнецов Н.Ю., Шумская А.А. О вычислении свертки экспоненциальных распределений //
Там же. — 2013. — № 5. — С. 103–105.
15. Коваленко И.Н. Об оценке надежности сложных систем // Вопр. радиоэлектроники. —
1965. — 12, № 9. — С. 50–68.
Получено 11.09.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины Н.Ю. Кузнецовым.
|