Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений
Доведено коректну розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі і задачі оптимального керування для параболічних псевдодиференціальних рівнянь з негладкими символами у просторі узагальнених функцій типу розподілень. The correct solvability of time-nonlocal two-point problem and optimal contro...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207793 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений / В.В. Городецкий, Я.М. Дринь // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 65-79. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207793 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Городецкий, В.В. Дринь, Я.М. 2025-10-13T16:02:10Z 2014 Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений / В.В. Городецкий, Я.М. Дринь // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 65-79. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207793 517.956, 518.9 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i4.20 Доведено коректну розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі і задачі оптимального керування для параболічних псевдодиференціальних рівнянь з негладкими символами у просторі узагальнених функцій типу розподілень. The correct solvability of time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for the parabolic pseudodifferential equations with nonsmooth symbols established on the space of generalized functions of distribution type is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений Нелокальне за часом двоточкове завдання та завдання оптимального управління для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь Time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for evolutionary pseudodifferential equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| spellingShingle |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений Городецкий, В.В. Дринь, Я.М. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title_short |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| title_full |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| title_sort |
нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений |
| author |
Городецкий, В.В. Дринь, Я.М. |
| author_facet |
Городецкий, В.В. Дринь, Я.М. |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нелокальне за часом двоточкове завдання та завдання оптимального управління для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь Time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for evolutionary pseudodifferential equations |
| description |
Доведено коректну розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі і задачі оптимального керування для параболічних псевдодиференціальних рівнянь з негладкими символами у просторі узагальнених функцій типу розподілень.
The correct solvability of time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for the parabolic pseudodifferential equations with nonsmooth symbols established on the space of generalized functions of distribution type is proved.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207793 |
| citation_txt |
Нелокальная по времени двухточечная задача и задача оптимального управления для эволюционных псевдодифференциальных уравнений / В.В. Городецкий, Я.М. Дринь // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 65-79. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckiivv nelokalʹnaâpovremenidvuhtočečnaâzadačaizadačaoptimalʹnogoupravleniâdlâévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenii AT drinʹâm nelokalʹnaâpovremenidvuhtočečnaâzadačaizadačaoptimalʹnogoupravleniâdlâévolûcionnyhpsevdodifferencialʹnyhuravnenii AT gorodeckiivv nelokalʹnezačasomdvotočkovezavdannâtazavdannâoptimalʹnogoupravlínnâdlâevolûcíinihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT drinʹâm nelokalʹnezačasomdvotočkovezavdannâtazavdannâoptimalʹnogoupravlínnâdlâevolûcíinihpsevdodiferencíalʹnihrívnânʹ AT gorodeckiivv timenonlocaltwopointproblemandoptimalcontrolproblemforevolutionarypseudodifferentialequations AT drinʹâm timenonlocaltwopointproblemandoptimalcontrolproblemforevolutionarypseudodifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-24T03:11:50Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:11:50Z |
| _version_ |
1850840549432492032 |
| fulltext |
© В.В. ГОРОДЕЦКИЙ, Я.М. ДРИНЬ, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 65
УДК 517.956, 518.9
В.В. Городецкий, Я.М. Дринь
НЕЛОКАЛЬНАЯ ПО ВРЕМЕНИ ДВУХТОЧЕЧНАЯ
ЗАДАЧА И ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При математическом моделировании задач механики, физики, биологии, хи-
мии и экологии, при демографических исследованиях и изучении колебаний раз-
ных систем возникают нелокальные задачи для дифференциально-операторных
уравнений и уравнений с частными производными [1–4]. На целесообразность
использования нелокальных условий, с точки зрения общей теории граничных за-
дач, впервые указал А.А. Дезин [5]. Он исследовал разрешимые расширения диф-
ференциальных операторов, порожденных общей дифференциальной операцией
с постоянными коэффициентами, и показал, что для постановки корректной гра-
ничной задачи, кроме локальных условий, необходимо использовать и нелокаль-
ные. А.Х. Мамян установил [6], что существуют уравнения с частными производ-
ными, для которых нельзя сформулировать ни одной корректной локальной зада-
чи; в то же время корректные задачи существуют, если использовать нелокальные
условия.
Исследованием нелокальных задач занимались многие математики, исполь-
зуя при этом разные методы и подходы (А.А. Дезин, В.К. Романко, В.М. Борок,
С.Г. Крейн, В.И. Чесалин, А.М. Нахушев, Б.И. Пташник и др.). Получены важные
результаты относительно постановки, корректной разрешимости и построения
решений; исследованы вопросы зависимости характера разрешимости задач от
поведения символов операций, определены регулярные и нерегулярные гранич-
ные условия для важных случаев дифференциально-операторных уравнений.
Среди эволюционных уравнений важное место занимают эволюционные
уравнения с псевдодифференциальными операторами (ПДО), построенными по
негладким однородным символам. Такие уравнения имеют важные приложения
в теории случайных процессов, теории фракталов и др. [7, 8]. ПДО параболиче-
ского типа впервые введены и исследованы в [9]. Среди задач для таких уравне-
ний наиболее полно исследована задача Коши.
Нелокальная (по t) двухточечная задача для таких уравнений в случае, когда
граничное условие принадлежит пространству, содержащему обобщенные функ-
ции, в настоящее время не исследовалась.
В данной работе доказана корректная разрешимость двухточечной по време-
ни задачи для уравнения вида ,Au
t
u
где A — ПДО, построенный по негладко-
му при 0 символу a(). При естественных ограничениях на символ a() здесь
построены пространства основных и обобщенных функций, при которых нело-
кальная задача корректно разрешима, и найдено решение в виде свертки гранич-
ной функции с фундаментальным решением (ФР) указанной задачи (при этом ис-
следованы структура и свойства фундаментального решения). Доказано свойство
локализации решения двухточечной задачи. Решена классическая задача опти-
мального управления параметром краевой функции при выполнении условия
минимизации квадратичного функционала.
66 ISSN 0572-2691
Отметим, что впервые нелокальная задача такого типа для параболических
дифференциальных уравнений исследована в [10]. Для замкнутого оператора в ба-
наховом пространстве в работах [11–14] указан способ построения локально вы-
пуклых пространств гладких и обобщенных функций и доказана корректная раз-
решимость различных краевых задач для указанного уравнения. При этом реше-
ние представляется в виде степенного ряда от экспоненты оператора A.
Особенно отметим, что близкие задачи оптимизации теории управления, где
изучаются объекты, функционирующие в условиях конфликта и неопределенно-
сти, математические модели которых содержат уравнения фрактальных порядков,
изучаются в школе А.А. Чикрия, специалиста по математической теории управле-
ния [15–18].
1. Пространства основных и обобщенных функций. Пусть — фиксиро-
ванное число из множества (1, ) \{2, 3, 4, …}, ,][0 n ,1)( xxM
,nx
<|)(|)(sup)(:
|=|
0
0=
xDxMpC x
k
k
p
kx
n
n
(здесь
][ — целая часть числа , — евклидова норма в ,n n
— мультиин-
декс. Введем в счетную систему норм
,,,)()(sup:
=||0=
0
pxDxM x
k
k
p
kx
p
n
где ,00 ,1<<0 — фиксированный параметр.
Сходимость в пространстве определяется следующим образом: последова-
тельность функций 1},{ сходится в к функции при ,
если
.0, p
p
Отметим, что ,)()( nn S причем эти вложения плотные и непре-
рывные [19]. Обозначим через p пополнение по p-й норме; p — банахово
пространство, при этом p10 . В [19] доказано, что вложения
,1 pp ,p плотные, компактные и непрерывные, ,=
0=
p
p
— пол-
ное совершенное счетно-нормированное пространство.
Сходимость в пространстве можно охарактеризовать еще и так [19]: после-
довательность 1},{ сходится по топологии пространства к
тогда и только тогда, когда она ограничена в , т.е. p 0>)(= pcc
;:1 c
p
и правильно сходится в , а именно, для любого n
по-
следовательность 1}),({
xD сходится к нулю равномерно на каждом
компакте .n
В пространстве определены и непрерывные операции сдвига, дифференци-
рования, а также операция преобразования Фурье F:
,,,)()]([ ),( nxi dxxeF
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 67
при этом ][F — ограниченная, непрерывная на
n и бесконечно дифференци-
руемая на {0}\n функция, удовлетворяющая условию
:0>0>},,{1,,,},{ mkii
n ccnimkmk
,)]([sup
{0}\
mk
mk ccFD
n
где ,11
11
nn k
n
kk
n
k
k kkAcAc а c, nAA ,,1 — положительные постоянные, за-
висящие только от функции ][F [20]. У функций ,/][ k
i
kF ,0i ,k
,},{1, ni существуют конечные односторонние пределы ,/][lim
0
k
i
k F
i
,/][lim
0
k
i
kF
i
. В пространстве ][=: F вводится структура счетно-
нормированного пространства с помощью системы норм [20]:
.,,)(sup:
0=||{0}\
pDkk
p
k
p
n
Преобразование Фурье взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобра-
жает на .
Символом обозначим пространство всех линейных непрерывных функ-
ционалов на со слабой сходимостью, элементы из будем называть обоб-
щенными функциями. Поскольку в основном пространстве введена топология
проективного предела банаховых пространств Фp, причем вложения ,1 pp
,p непрерывны, плотны и компактны, то (см. [11–14])
'
p
p
prlim=
.indlim p
p
Следовательно, если ,f то pf при некотором .p
Наименьшее из таких p называется порядком f, т.е. каждая обобщенная функция
f имеет конечный порядок.
Если nf : — локально интегрируемая функция, удовлетворяющая нера-
венству ,)||||(1)( sxcxf ,nx с некоторой постоянной 0>c и ,)(0, s то
она определяет регулярный функционал fF по формуле
,)()(=, dxxxfF
n
f
(здесь ,fF обозначает действие функционала fF на основную функцию).
Отсюда вытекает, что пространство непрерывно вкладывается в .
Если ,f , то, как доказано в [19], существует свертка ,f опре-
деляемая формулой
,),()(,)(,)(,
xfTff x
где xT — оператор сдвига, .)()()( xxT x
Отметим, что f является обычной бесконечно дифференцируемой функ-
цией, обладающей такими свойствами [19]:
n
;=)(
xx DffD
,0>c m :n
.)(1)(
||0
||
m
mx xcfD
68 ISSN 0572-2691
Пусть .f Если f для любой функции и из соотношения
0 при в следует, что 0 f при в пространстве , то
функционал f называется свертывателем в пространстве . Поскольку — со-
вершенное пространство, из общей теории пространств, топологически сопряжен-
ных к совершенным, следует, что каждый финитный функционал (т.е. функционал,
носитель которого — ограниченное множество) является свертывателем в прост-
ранстве . Финитные обобщенные функции образуют широкий класс; в частно-
сти, каждое ограниченное замкнутое множество в
n является носителем неко-
торой обобщенной функции из [19].
Поскольку ,][1 F если , то преобразование Фурье обобщенной
функции f определим с помощью соотношения ,][,=],[ 1 FffF
; при этом ][ fF — линейный непрерывный функционал на , т.е. .][ fF
Если f — свертыватель в пространстве , то (см. [20]) имеет место фор-
мула ,][][=]*[ FfFfF ; при этом ][ fF — мультипликатор в про-
странстве .
2. Основные результаты. Пусть )[0,: na — непрерывная на
n од-
нородная функция порядка (т.е. ,)(=)( xaxa ),0> бесконечно дифферен-
цируемая на {0}\n и удовлетворяющая условиям:
1) n
0>c
||
)(:{0}\
xcxaDx x
n ;
2) 0>
~
.
~
)(:
xxax n
При выполнении указанных условий в пространстве определен непрерыв-
ный псевдодифференциальный оператор ][= 1 aFFA
(см. [19]).
Для эволюционного уравнения
nTxtuA
t
u
](0,),(0,= (1)
зададим нелокальное по времени условие
,,=),(),(
=0=
Ttt
tutu (2)
где 1> — фиксированный параметр. Под решением задачи (1), (2) понимаем
функцию ,)],((0,),( 1 TCtu которая является решением уравнения (1) и удов-
летворяет условию (2). Символом ),,( xTtG обозначим ФР двухточечной зада-
чи (1), (2). В [21] установлено, что функция G имеет вид
deexTtG Tataxin
n
1)()(),( )()(2),,(
,),(1,>),,(0
1
0=
xtxkTtGk
k
(3)
где
,),(,)}()(),({exp)(2=),(0
xtdakTtxixkTtG
n
n
),(0 xtG — ФР задачи Коши для уравнения (1).
Из результатов, полученных в [21], следует, что при каждом ](0, Tt функция
),,( xTtG как функция переменной x принадлежит пространству Ф, непрерывно
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 69
дифференцируема по t при фиксированном x, удовлетворяет уравнению (1), при
этом решение ),( xtu задачи (1), (2) представляется в виде свертки .)(),,( xxTtG
Нелокальные многоточечные по времени задачи для эволюционных псевдо-
дифференциальных уравнений естественно рассматривать и с граничными усло-
виями, являющимися элементами тех или иных пространств обобщенных функ-
ций, поскольку граничные функции могут иметь особенности в одной или не-
скольких точках. Если это особенности степенного порядка, то такие функции,
как известно, допускают регуляризацию в пространствах обобщенных функций
конечного порядка типа распределений Соболева–Шварца.
Если же граничные функции в указанных точках имеют особенности экспо-
ненциального типа, то их можно рассматривать как обобщенные функции беско-
нечного порядка (например, гиперфункции, ультрараспределения и т.п.). Цель
этой работы состоит в отыскании класса XX : обобщенных гранич-
ных функций, для которых решение двухточечной задачи для уравнения (1) также
дается в виде свертки граничной функции с фундаментальным решением и имеет
те же свойства, что и фундаментальное решение (в частности, ),(tu при каж-
дом ).](0, Tt При этом условие вида (2) следует рассматривать уже в пространст-
ве ,X понимая ,),(
0=t
tu
Tt
tu
=
),( как пределы ),( tu при 0t и 0 Tt
соответственно в X (т.е. в слабом смысле). Для решения этой задачи продолжим
изучение свойств функции G и сверток вида ,G где .
Лемма 1. Функция ,),,( TtG ,](0, Tt как абстрактная функция параметра t
со значениями в пространстве , дифференцируема по t.
Доказательство. Необходимо доказать, что предельное соотношение
),,()],,(),,([
1
:)(
0
xTtG
t
xTtGxTttG
t
x
tt
выполняется в смысле сходимости в пространстве , т.е.
1)
n
),,( xTtG
t
DD xtx , ,0t
в каждом шаре ;)(0, RK
2) p ,:0>)( ppt cpc
где постоянная pc не зависит от .t
Функция ),,( xTtG дифференцируема по t в обычном смысле, поэтому
,),,(=)( xTttG
t
xt
.1<<0 Следовательно,
.)})({exp)}(()(),({exp)()()(2=)( 1
dTaattxiaixD
n
n
tx
Кроме того,
.)})({exp)}((),({exp)()()(2=),,( 1
dTataxiaixTtG
t
D
n
n
x
Тогда
),,()( xTtG
t
xD tx
70 ISSN 0572-2691
1)}({exp)}({exp)(1)()(2
||1 tataa
n
n
,,)}({exp)( 1
3|| ntcdtaatc
n
постоянные c, 1c не зависят от t (здесь мы воспользовались тем, что
,1)()})({exp( 11 Ta ).1> Отсюда следует, что
0,,),,()(
txTtG
t
DxD xtx
равномерно по )(0, RKx , что и требовалось доказать.
Докажем далее, что условие 2) также выполняется.
Используя оценки функции G по временному параметру t и по переменной x
(см. [21]), находим, что для достаточно малых значений параметра ,t таких что
,/2ttt выполняются неравенства
||/1
1
0= ))((
)(
n
k
k
tx
xkTtt
cxD
1,<,
1,,
)2)/(( 2
|)|(
1
||/1
1
0= xc
xxc
xt
c
n
n
k
k
где постоянные ,1c 2c зависят от , T, t и не зависят от .t Тогда для произволь-
ного фиксированного p имеем
,)())((sup
=||
0
0=
ptx
k
k
p
kx
cxDxM
n
где .),,,(= 0 Tpccp Следовательно,
,:0> pptp ccp
причем постоянная pc не зависит от .t
Лемма доказана.
Следствие 1. Функция ,),,( TtG ,](0, Tt как абстрактная функция пара-
метра t со значениями в пространстве , непрерывна по t.
Следствие 2. Имеет место формула
.,=)(
fG
t
fGf
t
Доказательство. Согласно определению свертки обобщенной функции с ос-
новной
).,,(=),,(,),,(,=),( TtGTtGTtGTfxtGf x
Тогда
)],(),([
1
lim=)),((
0
tGfttGf
t
tGf
t t
.)],,(),,([
1
,lim=
0
TtGTTttGT
t
f xx
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 71
Вследствие леммы 1 предельное соотношение
),,()],,(),,([
1
0
TtGT
t
TtGTTttGT
t
xtxx
выполняется в смысле сходимости по топологии пространства . Следовательно,
с учетом свойства непрерывности функционала f, находим, что
=)],,(),,([
1
lim,=)),((
0
TtGTTttGT
t
ftGf
t
xx
t
).,(=),,(,=),,(,=
tG
t
fTtG
t
TfTtGT
t
f xx
Лемма 2. 11)(),,( TtG при 0t в пространстве ( — дельта-
функция Дирака).
Доказательство. Учитывая соотношение (см. [21])
],(0,,
1
1
=),,( TtdxxTtG
n
для любой основной функции имеем
1
(0)
)(),,(=
1
,
),,,( dxxxTtGTtG
n
dxxTtGdxxxTtG
nn
(0)),,()(),,(
).((0))(),,( tIdxxxTtG
n
Поскольку , то, применив формулу конечных приращений, находим,
что ,(0))( xMx где .max=
1= i
n
i x
M
n
Возьмем из промежутка )(0, T и положим ,=0 t ,= 0
t где .])[(2\}{=
Тогда ,<)()( Mxx если .< 0
tx Следовательно,
dxxTtGMtI
tx
),,(<)(
0<||| |
).()((0))(),,( 21
| || | 0
tItIMdxxxTtG
tx
Оценим .)(1 tI Легко видеть, что .),,()(1 dxxTtGtI
n
Учитывая вид функции ,),,( xTtG получаем неравенство
,),(),,( 0
1
0=
dxxkTtGdxxTtG
nn
k
k
где
.),(,})()(),({exp)(2=),(0
xtdakTtxixkTtG
n
n
(4)
72 ISSN 0572-2691
Осуществим в (4) замену переменной интегрирования ,)(= /1
ii ykTtx
,},{1, ni тогда
.))(,()(=),( /1
0
/
0 ydykTtkTtGkTtdxxkTtG
nn
n
Вследствие однородности функции )(a имеем
dykTtiakTtykTtkTtG
n
n }),)(()()({exp)(2))(,( /1/1
0
),()(=)()(2= 0
/)(),(/ yGkTtdzekTt nzazyinn
n
где ,=)( /1 zkTt ,)]([=)( )(1
0 yeFyG za .0 G Следовательно,
).(0,,const==)()( 0
1
0=
1 TtbdyyGtI
n
k
k
Для того чтобы дать оценку ,2I снова воспользуемся свойством однородности
функции .)(a Осуществив замену переменной интегрирования /1= t , предста-
вим ),,( xTtG в следующем виде:
.)})({exp)}(,()({exp)(2=),,( 1/12/
dtTatxitatxTtG
n
nn
Воспользовавшись методикой оценивания функции 0G [22] и
соотношением (3), находим, что для 0>ax выполняется цепочка неравенств
][/1/12
2
1
0=
/
0
)|)((
),,(
n
k
k
n
xtktTt
ktTt
tcxTtG
,1,2,2,=
][
/}{
][/])[(
/
mmm
x
tc
xt
tct
nnn
n
(5)
где ,][=}{ а постоянная 0>c зависит от , T и не зависит от t. Далее, учи-
тывая ограниченность функции , а также цепочку неравенств (5), получаем
dtcdxxtctI
t
n
tx
])[(1/}{
2
])[(
| || |
/}{
12
00
=)(
.<,~=~~= 0
)}/(2{
2
)(2/}{
02
)(2}/{
0
/}{
2 ttctcttc
Следовательно,
.~<)(<<0:0>=)(0, )(2/}{
2
])[(2/}{
00
cbMtIttttT
Аналогичная оценка устанавливается для любого .T Это и означает, что
,0,,
1
,
=
1
(0)
),,,(
tTtG
т.е.
1
),,(
TtG при 0t в пространстве .
Утверждение доказано.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 73
Лемма 3. В пространстве выполняется предельное соотношение
.=),,(lim),,(lim
00
TtGTtG
Ttt
(6)
Доказательство. Пусть
.),(,)})({exp)}(({exp=),( 1 tTatatQ
Поскольку ),,( TtG при каждом 0>t и ,)],,([=),( TtGFtQ то ),(tQ
при каждом .0>t Воспользовавшись свойством непрерывности преобразования
Фурье и функции ),( tG как абстрактной функции параметра t со значениями
в пространстве , соотношение (6) заменим предельным соотношением
][=)],,([lim)],,([lim
00
FTtGFTtGF
Ttt
в пространстве , которое запишем в следующем виде:
1.=),(lim),(lim
00
tQtQ
Ttt
(7)
Для доказательства (7) возьмем любую функцию и, воспользовавшись
теоремой о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, найдем, что
),,(lim),,(lim
00
tQtQ
Ttt
dTQQdtQdtQ
nnn Ttt
)()),()(0,(=)(),(lim)(),(lim
00
d
Ta
Ta
Tan
)(
)}({exp
)}({exp
)}({exp
.1,=)( d
n
Отсюда следует, что соотношение (7) выполняется в пространстве , т.е.
соотношение (6) имеет место в пространстве .
Лемма доказана.
Символом * обозначим совокупность всех обобщенных функций из про-
странства , являющихся свертывателями в пространстве .
Следствие. Пусть ,),,(=),( xTtGxt ,),( xt .* Тогда
1) в пространстве выполняется предельное соотношение
;=),(lim),(lim
00
tt
Ttt
(8)
2) функция ,),( xt ,),( xt удовлетворяет уравнению (1).
Доказательство. Поскольку ,),,(,=),,( TtGTxTtG x
из условия *
и свойства непрерывности ),,( TtG как абстрактной функции параметра ](0, Tt
со значениями в пространстве вытекает непрерывность ),( t как абстрактной
функции параметра ](0, Tt со значениями в этом же пространстве. Тогда, учи-
тывая непрерывность преобразования Фурье и формулу ][][=][ GFFGF
),(][ tQF , справедливую для любой обобщенной функции из класса ,* со-
отношение (8) запишем в виде
),(lim),(lim][=)],([lim)],([lim
0000
tQtQFtFtF
TttTtt
(указанные здесь предельные соотношения рассматриваются в пространстве ).
Отсюда с учетом (7) придем к (8).
74 ISSN 0572-2691
Поскольку — свертыватель в пространстве , то ),(t при каждом
](0,Tt и
).,()]([=))](,([)]([=))](,([ tQFxtGFFxtGF
Следовательно,
=)()]([),(=))](]([),()([=),( 11 xFtQ
t
FxFtQaFxtA
).,()()(
),(
)(][ 11 xt
t
G
x
t
xtG
FFxF
t
G
FF
Кроме того, с учетом следствия 2,
.
),(
=)),((=
),(
t
xtG
xtG
tt
xt
Отсюда получаем, что функция ,),( xt ,),( xt удовлетворяет уравне-
нию (1).
Утверждение доказано.
Следствие леммы 3 позволяет сформулировать нелокальную по t двухточеч-
ную задачу для уравнения (1) следующим образом: найти решение
)],((0,1 TCu уравнения (1), удовлетворяющее условию
*
00
,=),(lim),(lim
tutu
Ttt
(9)
(пределы рассматриваются в пространстве ).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Задача (1), (9) корректно разрешима. Решение дается формулой
,),,(=),( xTtGxtu .),( xt
Доказательство. Из следствия леммы 3 вытекает, что u является решением
уравнения (1). Отметим также, что u непрерывно зависит от ,* поскольку
операция свертки обладает свойством непрерывности.
Остается убедиться в том, что задача (1), (9) имеет единственное решение.
Для этого рассмотрим задачу Коши
,<0,)[0,),(0, 00
* TtttxtvA
t
v n
(10)
,,=),( *
0=
tt
tv (11)
где *
A — сужение оператора, сопряженного к оператору A на пространство
(в [19] доказано, что в этом случае ).=*
AA Условие (11) понимаем
в слабом смысле, т.е. ),(tv при 0tt в . Задача Коши (10), (11) коррект-
но разрешима [19], ),(tv при каждом .)[0, 0tt
Пусть *
0
:t
t
Q — оператор, при котором функционалу * соответ-
ствует решение задачи (10), (11). Оператор t
t
Q
0
— линейный и непрерывный, он
определен для любых t и ,0t таких что ;<0 0 Ttt при этом
=lim0,=
0
0
*0 t
t
tt
t
t
QA
dt
dQ
(предел рассматривается в пространстве ).
Далее решение ),( xtu задачи (1), (9) будем понимать как регулярный функ-
ционал из пространства .* Докажем, что задача (1), (9) имеет единственное
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 75
решение в пространстве .* Для этого достаточно доказать, что единственным
решением уравнения (1) при нулевой граничной функции может быть только
функционал .0),( xtu Применим функционал ),( xtu к функции ,*
0
gQt
t
где g — произвольно фиксированный элемент из пространства ,* .<<0 0 Ttt
Дифференцируя по t и используя уравнения (1), (10), находим, что
=,,=,,=),,(
0
*
0000
gQAugQuAgQ
t
ugQ
t
u
gQtu
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
.<<00,=,,= 0
00
TttgQuAgQuA t
t
t
t
Таким образом, gQtu t
t0
),,( — постоянная величина. Из свойств абстракт-
ных функций (см. [23]) следует соотношение
,,=const=),,(=),,(lim *0
0
0
gcgtugQtu t
t
tt
в любой точке .](0,0 Tt Тогда, если в (9) ,0=
0,=1)(=),,(lim),,(lim
00
cgtugtu
Ttt
т.е. .0=c Следовательно, 0=),,( 0 gtu для любого элемента ,
*
g т.е.
),( 0 xtu — нулевой функционал на . Поскольку ](0,0 Tt и 0t выбрано произ-
вольным образом, 0),( tu для всех .](0, Tt
Теорема доказана.
3. Свойство локализации решения двухточечной задачи. Решение ),( xtu
),,( xTtG двухточечной задачи (1), (9) удовлетворяет условию (9) в слабом
смысле (соответствующие пределы рассматриваются в пространстве ), при
этом ),,( TtG , как абстрактная функция параметра ](0, Tt со значениями
в пространстве , является непрерывной функцией (см. следствие 1), а * —
свертыватель в пространстве . Из определения свертывателя следует, что пре-
дельное соотношение
0,),,(=),,(),,(=),( TtTuTTGTtGtu
выполняется в пространстве , поскольку ),,(),,( TTGTtG при 0 Tt по
топологии пространства . В частности, отсюда получаем, что ),(),( Tutu при
0 Tt равномерно на каждом компакте .n Указанную сходимость в со-
отношении (9) значительно ухудшает первое слагаемое; это объясняется тем, что
для функции ),,( TtG точка 0=t является особенной. Из леммы 2 следует, что
0,,
1
=
1
),,(=),(
tTtGtu
причем указанное предельное соотношение выполняется в пространстве . Од-
нако при определенных ограничениях на обобщенную функцию * можно
получить локальное усиление сходимости свертки ),,( TtG при .0t
Прежде всего рассмотрим следующее вспомогательное утверждение.
Теорема 2. Пусть , ,),,(,=),( TtGTxt x
,),,(=),,( TtGTtG
.),( xt Если 0= в области ,nQ то 0),( xt при 0t равномерно
на любом компакте .Q
Доказательство. Во избежание громоздких выкладок ограничимся здесь
схемой доказательства сформулированного утверждения. Пусть ,1 Q где
1 — некоторое компактное множество в .n Построим функцию с носи-
76 ISSN 0572-2691
телем в Q так, что 1= на ,1 Qsupp (такая функция существует, ибо
). Поскольку
)},,())((1),,,()({ TtGTTtGT xx
при каждом ](0, Tt и ,nx то
,),,()(,),,()(,=),( TtGTTtGTxt xx
где .1= Учитывая, что обобщенная функция равна нулю в области Q,
а ,)),,()((supp QTtGT x
из последнего соотношения получаем
.),,()(,=),( /}{/}{
TtGTttxt x
Поскольку каждая обобщенная функция имеет конечный порядок, т.е.
p при некотором ,p то ,),( ,
/}{
pxtp
txt
где
),,,()(),,()(=)( /}{/}{
,
xTtGtTtGTt xxt
p
— норма функционала . Следовательно, для доказательства равномерной
на сходимости ),( xt к нулю при 0t достаточно установить огра-
ниченность по норме пространства p совокупности функций xt, , т.е. что
,, ppxt c где постоянная 0>pc не зависит от параметров t и x, изменяющих-
ся указанным способом ,](0,( Tt ).x Поскольку 0)(, xt для ,1
оценку ppxt c , достаточно доказать для .\ 1n
Учитывая, что j
j
0=
(в частности, ),p а также оценки функции G
nn
xtcxTtGD
,),,(
| )|][(/}{
(см. доказательство леммы 2), где ,0>0ax 0a — расстояние между гра-
ницами компактов Q и 1 , с помощью формулы Лейбница дифференциро-
вания произведения двух функций приходим к неравенствам ,1, c
pxt
),( xt ,/}{
2
/}{
1
tctc
p
где постоянные 0, 21 cc не зависят от t и x.
Отсюда следует, что 0),( xt при 0t равномерно по .x
Символом M обозначим класс мультипликаторов в пространстве .
Теорема 3 (свойство локализации). Пусть ,
*
),( xtu — решение двух-
точечной задачи (1), (9) с граничной функцией . Если обобщенная функция
совпадает в некоторой области
nQ с функцией ,Mg то предельное соот-
ношение )(=),(lim),(lim
00
xgxtuxtu
Ttt
выполняется равномерно по x на лю-
бом компакте .Q
Доказательство. Пусть ,1 Q где 1 — компактное множество
в ,n — основная функция, построенная при доказательстве теоремы 2. По-
скольку 0=)( g в Q, то 0=)( g на , 0=)(1 на 1 и по доказан-
ному в теореме 2
,00,),,(),( tTtGTg x
0,0,),,(,)(1 tTtGT x
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 77
равномерно по .x Кроме того, из сделанного перед теоремой 2 замечания,
леммы 2, следствия леммы 3 и теоремы 1 следует, что
1
0
1)(=),(lim tu
Tt
,
причем это соотношение выполняется равномерно по .Qx Следовательно,
0,0,),,(),( TtTtGTg x
0,0,),,(,)(1 TtTtGT x
равномерно по .x Отметим также, что
),,(,=),,(),( TtGTxTtGxtu x
,),,(,),,(,)(1),,(),( TtGTgTtGTTtGTg xxx
причем
).,()()(),,(=),,(, xtIdgxTtGTtGTg
n
x
Поскольку g — свертыватель в пространстве , то ))((1)(),( 1 xgxtI
при 0 Tt равномерно по .Qx Следовательно, для доказательства утвер-
ждения теоремы достаточно установить, что ))((1)(),( 1 xgxtI
при 0t
равномерно по .Qx Доказательство этого свойства выполняется по схеме
доказательства леммы 2 с использованием равенства .1)(=),,( 1 dxTtG
n
В качестве примера рассмотрим функцию
(0,1).\,0
{0},\(0,1),
=)(
)(
Kx
Kxx
x
n
n
Известно [19], что допускает регуляризацию в пространстве ,
*
при
этом соответствующий функционал F определяется формулой
.,
!
)(0)()(=,
)(
][||
dxx
j
x
DxF
n
j
j
x
jn
Следовательно, как обобщенная функция, совпадает с гладкой функцией
)(
)(
n
xxg в каждой области ,(0,1)KQ не содержащей точку 0. Тогда
согласно теореме 3 решению задачи (1), (9), построенному по указанной
функции , присущи такие свойства:
)(1
0
)(1
0
1)(),(,1)(),(
n
Tt
n
t
xxtuxxtu
равномерно по ,x где — любой компакт, содержащийся в области Q.
Замечание. При выполнении определенных условий аналогичные результаты
имеют место и в случае, когда функция-символ a зависит от параметра t, а имен-
но: функция ,),( ta ,][0,),( nTt как функция , при фиксированном t удов-
летворяет условиям 1), 2) из п. 2 с постоянными ,0>c ,0>
~
не зависящими от t;
при фиксированном n функция ),( ta как функция t непрерывна на .][0, T
4. Задача оптимального управления. Пусть f(t, x) удовлетворяет условиям
из [7, с. 921], (x) Ф, . Рассмотрим двухточечную краевую задачу
),,( xtfuA
t
u
(12)
.),(),(
0
Ttt
xtuxtu (13)
78 ISSN 0572-2691
Классическое решение задачи (12), (13) записывается в виде
dfxtGddxtGxtu
nn
t
),()1,,()()1,,(),,(
0
+ dfxTtGd
n
T
t
),()1,,(
(14)
(см. также [10, 21]).
Рассмотрим оптимизацию следующего функционала
.),,(min)(min
2
dxxTuJ
n
(15)
Среди допустимых управлений ищем такое значение 0 , при котором
выполняется условие (15), где T — заданный момент времени, u(t, x, ) — дейст-
вительнозначное решение задачи (12), (13). Используя (14) при t T, из условия
0)( 0 J находим оптимальное управление
.
)()1,,(
),()1,,(t)()1,,(
2
0
0
n n
n nn
dxdxTG
dfxGddxTG
T
(16)
Теорема 4. Если f (t, x) удовлетворяет условиям из [7, с. 921], (x) Ф, то
решение задачи (12), (13) определяется формулой (14), где ФР
),,()1,,(
0
0 xkTtGxtG
k
G0 — ФР уравнения .0
uA
t
u
Существует и единственное оптимальное
управление 0 задачи (13)–(15), определяемое формулой (16).
В.В. Городецький, Я.М. Дрінь
НЕЛОКАЛЬНА ЗА ЧАСОМ ДВОТОЧКОВА
ЗАДАЧА І ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО
КЕРУВАННЯ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ
ПСЕВДОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Доведено коректну розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі і зада-
чі оптимального керування для параболічних псевдодиференціальних рівнянь
з негладкими символами у просторі узагальнених функцій типу розподілень.
V.V. Gorodetsky, Ya.M. Drin’
TIME-NONLOCAL TWO-POINT
PROBLEM AND OPTIMAL CONTROL
PROBLEM FOR EVOLUTIONARY
PSEUDODIFFERENTIAL EQUATIONS
The correct solvability of time-nonlocal two-point problem and optimal control prob-
lem for the parabolic pseudodifferential equations with nonsmooth symbols estab-
lished on the space of generalized functions of distribution type is proved.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 79
1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М. : Высш. шк., 1995. — 301 с.
2. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференци-
альных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Диф-
ференц. уравнения. — 1982. — 18, № 1. — С. 72–81.
3. Майков А.Р., Поезд А.Д., Якунин С.А. Экономический метод вычисления нестационарных
нелокальных по времени условий излучения для волновых систем // Журн. вычислит. ма-
тематики и мат. физики. — 1990. — 30, № 8. — С. 1267–1271.
4. Белавин И.А., Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель глобальных демогра-
фических процессов с учетом пространственного распределения // Там же. — 1988. — 38,
№ 6. — С. 885–902.
5. Дезин А.А. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные усло-
вия // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1967. — 31, № 1. — С. 61–86.
6. Мамян А.Х. Общие граничные задачи в слое // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, № 2. —
C. 292–296.
7. Кочубей А.Н. Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные ин-
тегралы и марковские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1988. — 52, № 5. —
С. 909–934.
8. Kochubei A.N. General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes // Integr.
Equ. Oper. Theory. — 2011. — 71. — P. 583–600.
9. Эйдельман С.Д., Дринь Я.М. Необходимые и достаточные условия стабилизации решений
задачи Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений // Приближенные
методы математического анализа. — 1974. — С. 60–69.
10. Матійчук М.І. Параболічні сингулярні крайові задачі. — Київ : Ін-т математики НАН
України, 1999. — 176 с.
11. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные значения решений некоторых классов дифферен-
циальных уравнений // Мат. сборник — 1977. — 102, № 1. — С. 124–150.
12. Gorbachuk M.L., Gorbachuk V.I. Boundary value problems for operator differential equations. —
Dordrecht; Boston; London : Kluwer, 1991. — 347 p.
13. Gorbachuk M.L., Gorbachuk V.I. On behavior of weak solutions of operator differential equations
on (0, ) // Operator Theory. Advances and Applications. — 2009. — 191. — P. 116–126.
14. Gorbachuk M.L., Gorbachuk V.I. On extensions and restrictions of semigroups of linear operators
in a Banach space and their applications // Math. Nachr. — 2012. — 285, N 14–15. —
P. 1860–1879.
15. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с.
16. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем с
дробными производными Римана–Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. — 2001.
— № 6. — С. 66–99.
17. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for systems with Volterra evolution fractal games //
Int. J. Math. Game Theory Algebra. — 2001. — 11, N 5. — P. 9.
18. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for evolutionary equations of fractional order // Int.
J. Comput. Math. Appl. Issue “Global optimization, Control and Games, IV”. — 2001. — N 4. —
P. 3–28.
19. Городецький В.В. Граничні властивості гладких у шарі розв'язків рівнянь параболічного
типу. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с.
20. Городецький В.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь нескінченного порядку. —
Чернівці : Рута, 2005. — 291 с.
21. Дрінь М.М., Дрінь Я.М. Зображення розв’язків нелокальних задач для параболічних
псевдодиференціальних рівнянь з негладкими символами / Spectral and Evolution Problems:
Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School. — Symposium. Simferopol.
2006. — 16. — P. 33–37.
22. Эйдельман С.Д., Дринь Я.М. Построение и исследование классических фундаментальных
решений задачи Коши равномерно параболических псевдодифференциальных уравнений //
Мат. исследования. — 1981. — Вып. 63. — С. 18–33.
23. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М. : Физ-
матгиз, 1958. — 307 с.
Получено 16.07.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|