К оценке устойчивости одного класса динамических систем

Розглянуто задачу отримання в алгебраїчній формі простих достатніх умов стійкості лінійної динамічної системи спеціального виду. Отримано критерії, що дозволяють безпосередньо оцінити область стійкості системи в просторі варійованого параметра. Наведено чисельні приклади, що ілюструють ефективність...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Цыбулькин, Г.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207799
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К оценке устойчивости одного класса динамических систем / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 5-11. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207799
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2077992025-10-15T00:03:55Z К оценке устойчивости одного класса динамических систем До оцінки стійкості одного класу динамічних систем To the assessment of stability of a class of dynamic systems Цыбулькин, Г.А. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто задачу отримання в алгебраїчній формі простих достатніх умов стійкості лінійної динамічної системи спеціального виду. Отримано критерії, що дозволяють безпосередньо оцінити область стійкості системи в просторі варійованого параметра. Наведено чисельні приклади, що ілюструють ефективність запропонованих критеріїв. The problem of obtaining simple sufficient conditions for stability in algebraic form for linear dynamic system of a special type is considered. The criteria that allow one to assess directly the stability domain in the space of varied parameter is obtained. Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed criteria. 2014 Article К оценке устойчивости одного класса динамических систем / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 5-11. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207799 681.513 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i6.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Цыбулькин, Г.А. К оценке устойчивости одного класса динамических систем Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто задачу отримання в алгебраїчній формі простих достатніх умов стійкості лінійної динамічної системи спеціального виду. Отримано критерії, що дозволяють безпосередньо оцінити область стійкості системи в просторі варійованого параметра. Наведено чисельні приклади, що ілюструють ефективність запропонованих критеріїв.
format	Article
author	Цыбулькин, Г.А.
author_facet	Цыбулькин, Г.А.
author_sort	Цыбулькин, Г.А.
title	К оценке устойчивости одного класса динамических систем
title_short	К оценке устойчивости одного класса динамических систем
title_full	К оценке устойчивости одного класса динамических систем
title_fullStr	К оценке устойчивости одного класса динамических систем
title_full_unstemmed	К оценке устойчивости одного класса динамических систем
title_sort	к оценке устойчивости одного класса динамических систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207799
citation_txt	К оценке устойчивости одного класса динамических систем / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 5-11. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT cybulʹkinga kocenkeustojčivostiodnogoklassadinamičeskihsistem AT cybulʹkinga doocínkistíjkostíodnogoklasudinamíčnihsistem AT cybulʹkinga totheassessmentofstabilityofaclassofdynamicsystems
first_indexed	2025-11-26T18:19:10Z
last_indexed	2025-11-26T18:19:10Z
_version_	1849878021664669696
fulltext	© Г.А. ЦЫБУЛЬКИН, 2014 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 681.513 Г.А. Цыбулькин К ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Введение Рассматривается достаточно широкий класс систем, характеристические по- линомы которых могут быть приведены к виду ),()()( pKhpgpf  (1) где ,)( 0    n i in i papg    n i in i pbph 1 )( — полиномы с постоянными положитель- ными коэффициентами, а 0K — некоторый варьируемый параметр. Задача состоит в том, чтобы определить область возможных значений пара- метра K, при которых гарантируется устойчивость системы с характеристическим уравнением .0)( pf Иначе говоря, ставится задача — получить оценку интер- вала значений варьируемого параметра K, внутри которого характеристический полином (1) является полиномом Гурвица. Подобная задача встречается в работе Градштейна [1], а в такой постановке впервые сформулирована Пароди [2]. На основе теоремы Островского о допусти- мых приращениях элементов квадратной матрицы в [2] разработан алгоритм оценки верхней границы K параметра K характеристического полинома (1) в предположении, что полином )( pg устойчивый. Согласно приведенному алго- ритму сначала нужно образовать обратные матрицы для матриц, соответствую- щих главным (диагональным) минорам определителя Гурвица полинома ),( pg а потом вычислить для каждой из них границу  по формуле , \|\|max ib d  где ,/1 , ij ji d   nji ..., ,2,1,  ij( — элементы обратной матрицы). Искомая граница K параметра K — наименьшее из чисел . К сожалению, очень гро- моздкие вычисления делают этот метод малопригодным для практического ис- пользования. В недавно опубликованной работе [3] предлагается несколько иной подход к решению подобной задачи. В ней рассмотрен случай, когда варьируемый пара- метр K (в наших обозначениях), входящий в характеристический полином (1), можно интерпретировать как сингулярное возмущение. В качестве меры устойчи- вости системы к этому возмущению принимается граничное значение ,K при котором происходит потеря устойчивости системы. Нахождение самого значения K осуществляется на основе метода D-разбиения характеристического полино- 6 ISSN 0572-2691 ма (1) по параметру K. Из [3] следует, что уже при 3n анализ устойчивости системы резко усложняется, и получить представление об области возможных значений параметра K, в которой полином (1) остается устойчивым, без дополни- тельного использования графических методов затруднительно. В [4–16] рассмотрены подходы к решению данной задачи с помощью при- ближенных алгебраических критериев устойчивости. В частности, в работе [6] на основе предложенного в [5] приближенного критерия получены простые алгеб- раические соотношения в виде системы квадратичных неравенств. Решение этих неравенств дает достаточное условие устойчивости полинома (1). Однако необхо- димость решения квадратичных неравенств приводит к очевидным неудобствам, что существенно ограничивает практическое применение этого метода. В работе [10] предложен иной подход, позволяющий свести вопрос о гурвице- вости характеристического полинома (1) к более простой задаче — к поиску усло- вий положительности некоторых полиномов, в качестве их переменной выступает сам варьируемый параметр .K В результате в [10] удалось получить достаточные условия устойчивости, которые в отличие от работ [2, 3, 6] позволяют сравнительно просто оценить граничные значения варьируемого параметра K непосредственно в аналитической форме, не прибегая к решению систем квадратичных неравенств либо обращению матриц. Этот подход использовался нами в работе [17] при анали- зе области допустимых значений некоторого обобщенного параметра, учитываю- щего характеристики корректирующих воздействий на движение объекта по задан- ной траектории и «геометрию» самой траектории. Несмотря на то, что полученные в [10] оценки параметра K дают cуженную область устойчивости, сам подход к проверке устойчивости представляет интерес. В настоящей статье он получил дальнейшее развитие и используется для решения поставленной задачи. 1. Предварительные сведения Известно [18], что полином (1) устойчив тогда и только тогда, когда все главные миноры ,i , ..., ,2,1 ni  матрицы Гурвица , )(00 0)(0 0)( 0)()( 11 220 3311                      nn Kba Kba Kbaa KbaKba      H (2) составленной из коэффициентов этого полинома, положительны, т.е. когда .0 i Из (2) видно, что матрицу H можно рассматривать как результат суммирова- ния двух матриц: ,0 HHH K где , 00 00 0 0 1 20 31 0                  na a aa aa      H                  nb b b bb      00 00 00 0 1 2 31 H (3) — матрицы Гурвица, образованные из коэффициентов полиномов )( pg и )( ph соответственно. Согласно теореме Сигорского [19] о разложении определителя суммы двух матриц каждый i-й главный минор i матрицы H можно разложить по формуле Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 7 ,)1( )2()1( )( 120 0 i i i i iii i s ii KiKKKs      (4) где 0 i и i — i-е главные миноры матриц 0H и H соответственно, а )(si — минор, полученный замещением s столбцов минора 0 i соответствующими столбцами минора . i (Знаки  в (4) означают, что суммируются миноры )(si для всевозможных сочетаний s замещаемых столбцов.) Нетрудно заметить, что выражение, фигурирующее в правой части равенст- ва (4), представляет собой вещественный полином i-й степени относительно ,K в качестве постоянных коэффициентов которого выступают миноры. Для удобст- ва обозначим этот полином )(Ki и запишем его по убывающим степеням пере- менной K : . )1( )2(... )1()( 021* iiii i i i i KKiKKK    (5) Очевидно, что при тех значениях K, при которых все n полиномов )(Ki бу- дут больше нуля (а это означает, что все главные миноры матрицы 0 HHH K положительны), характеристический полином (1) будет полиномом Гурвица. Таким образом, вопрос о гурвицевости характеристического полинома (1) сводится к более простой задаче — к нахождению условий положительности по- линомов (5). 2. Условия устойчивости Рассмотрим два отдельных случая: 1) полином )( ph в выражении (1) пред- ставляет собой полином Гурвица; 2) гурвицевым является полином ).( pg Докажем сначала следующую теорему. Теорема 1. Если полином    n i in i pbph 1 )( является полиномом Гурвица, то для того чтобы полином (1) был гурвицевым, достаточно, чтобы выполнялось условие . 1 max 1/                     i i i i A K (6) Здесь i — наименьший индекс коэффициента полинома (5) (считая от старшего члена), для которого этот коэффициент отрицателен; iA — наибольшая из абсо- лютных величин отрицательных коэффициентов этого полинома. Доказательство. По условию теоремы 1 главные миноры * i матрицы H больше нуля. Отсюда следует, что в выражении (5) положительным является старший коэффициент полинома ).(Ki Известно [20], что если старший коэффициент вещественного полинома по- ложителен, то верхнюю границу iM его положительных корней можно оценить по правилу Лагранжа . 1/ 1 i i i i A M            (7) Поскольку при iMK  значение i-го полинома )(Ki строго положительно, то, очевидно, все n полиномов )(Ki непременно будут положительными (иначе 8 ISSN 0572-2691 говоря, характеристический полином системы (1) будет полиномом Гурвица), если выполняется неравенство .max i i MK  (8) Из (7) и (8) непосредственно вытекает условие (6), что и требовалось установить. Соотношение (6), фигурирующее в условии теоремы 1, определяет искомую оценку области допустимых значений параметра .K Рассмотрим второй случай, когда устойчивым полиномом является полином ),( pg а )( ph — неустойчивый полином. Теорема 2. Пусть полином    n i in i papg 0 )( является полиномом Гурвица. Для того чтобы полином (1) был гурвицевым, достаточно, чтобы выполнялось условие . 1 max 1 /1 0                      i i i i B K (9) В этом выражении i — индекс первого из отрицательных коэффициентов полинома ,)1( )2()1()( 210 iii i i i i i i irrrrr     (10) являющегося «обращенным» полиномом по отношению к полиному ),(Ki а iB — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов по- линома ).(ri В выражении (10) и далее . 1 K r  (11) Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Только здесь по ус- ловию теоремы 2 минор ,00 i т.е. положительным является коэффициент стар- шего члена не полинома ),(Ki а полинома ).(ri Воспользуемся опять прави- лом Лагранжа и в качестве верхней границы положительных корней полинома )(ri примем такое число , 1 1/ 0 i i i i B N            (12) что при всех значениях iNr  каждый i-й полином )(ri будет строго поло- жительным. Тогда все n полиномов )(ri положительны, если выполняется неравенство .max i i Nr  (13) Из (11)–(13) непосредственно следует (9). Итак, условие (9) совместно с условием 0K определяет область допустимых значений параметра .K Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 9 3. Примеры Для иллюстрации практического применения полученных критериев (6) и (9) и в целях сравнения их с другими известными критериями рассмотрим численные примеры. Пример 1. Пусть, как и в [10], .35,11145,6)( ,1069532)( 234 2345   ppppph ppppppg (14) Нетрудно убедиться, что устойчивым здесь является полином ),( ph тогда как )( pg — неустойчивый полином. На основании (3), (5) и (14) запишем выра- жения для всех главных миноров матрицы (2): ;3)(1  KK ;35,35,6)( 2 2  KKK ;215,2095,3691)( 23 3  KKKK ;165,6002,22692,2667,919)( 234 4  KKKKK .1606053244942,94707,85182,759)( 2345 5  KKKKKK Отсюда сразу можно записать: ;01  ;12  ;13  ;14  ;25  ;01 A ;5,32 A ;5,2093 A ;2,22694 A ;244945 A ;1 1  ;5,6* 2  ;91* 3  ;7,919* 4  .2,2759* 5  Согласно формуле (7) ;11 M ;5,12 M ;3,33 M ;5,34 M .0,45 M Тогда по условию (8) .4K (15) Обратим внимание на то, что если бы для оценки области допустимых значе- ний параметра K воспользоваться предложенными в работах [6, 7] достаточными условиями устойчивости, которые применительно к данному примеру имеют вид ;15,2 ))(( ))(( 2211 11      iiii iiii KbaKba KbaKba 3,2,,1i (16) то в конечном итоге получили бы область допустимых значений ,K определяе- мую соотношением 7. K (17) Сравнение областей (15) и (17) позволяет заключить, что первая из них более широкая, нежели вторая. Если учесть, что необходимые и достаточные условия ус- тойчивости дают область ,2K то достаточное условие устойчивости (6) в прин- ципе допускает получение лучших результатов, чем достаточное условие (16). Кро- ме того, сама проверка условия (6) в отличие от (16) не требует решения систем квадратичных неравенств. Пример 2. Пусть теперь .41552)( ,53015202)( 234 2345   ppppph ppppppg (18) 10 ISSN 0572-2691 В этом случае в отличие от условий примера 1 устойчивым полиномом явля- ется полином ),( pg а полином )( ph — неустойчивый. Используя (3), (10) и (18), получим: ,12)(1  rr ,21925)( 2 2  rrr ,539243265)( 23 3  rrrr ,16422300476155725)( 234 4  rrrrr ,6417689906454806097528625)( 2345 5  rrrrrr (19) откуда ,01  ,02  ,33  ,34  ,45  ,01 B ,02 B ,53 B ,4224 B ,17685 B ,20 1  ,250 2  ,2650 3  ,57250 4  .286250 5  Со- гласно формуле (12) ;11 N ;12 N ;27,13 N ;42,14 N .50,15 N По усло- вию (13) .5,1 r Тогда в силу (11) .7,0 K Итак, область допустимых значений величины ,K при которых гарантирует- ся условие гурвицевости полинома ),()()( pKhpgpf  определяется (совместно с условием )0K соотношением .7,0 0  K (20) Для сравнения отметим, что достаточные условия устойчивости, полученные в [10], дают в этом случае область ,3,0 0  K т.е. область, более узкую по сравнению с областью (20). Следует заметить, что если бы мы попытались опре- делить область допустимых значений K на основе необходимых и достаточных условий устойчивости Рауса–Гурвица, то в данном случае нам понадобилось бы решать систему неравенств пятого порядка (19), что сопряжено с громоздкими вычислительными операциями. Заключение Приведенные в настоящей работе примеры показывают, что установленные критерии (6) и (9) позволяют сравнительно просто оценить область допустимых значений варьируемого параметра системы, внутри которой гарантируется ее ус- тойчивость. Очевидно, что эти критерии допускают «робастное расширение» и могут использоваться при решении ряда других задач, которые так или иначе сводятся к исследованию характеристических полиномов вида (1). Г.О. Цибулькін ДО ОЦІНКИ СТІЙКОСТІ ОДНОГО КЛАСУ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ Розглянуто задачу отримання в алгебраїчній формі простих достатніх умов стійкості лінійної динамічної системи спеціального виду. Отримано критерії, що дозволяють безпосередньо оцінити область стійкості системи в просторі ва- рійованого параметра. Наведено чисельні приклади, що ілюструють ефектив- ність запропонованих критеріїв. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 11 G.A. Tsybulkin TO THE ASSESSMENT OF STABILITY OF A CLASS OF DYNAMIC SYSTEMS The problem of obtaining simple sufficient conditions for stability in algebraic form for linear dynamic system of a special type is considered. The criteria that allow one to assess directly the stability domain in the space of varied parameter is obtained. Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed criteria. 1. Градштейн И.С. Решение системы линейных уравнений на электрических моделях Гутен- махера // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. — 1947. — № 5. — С. 529–587. 2. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение / Пер. под ред. М.Г. Крейна. — М. : Изд-во иностр. лит., 1960. — 170 с. 3. Дубовик С.А., Кабанов А. А. Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства линейных систем // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 3. — С. 17–28. 4. Лебедев А.Н. Простой грубый критерий устойчивости линейных непрерывных систем // Изв. вузов. Приборостроение, — 1968. — № 3. — С. 51–54. 5. Соколов Н.И., Липатов А. В. О применении критериев устойчивости к синтезу адаптивных систем // Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», Информ. материалы. — 1970. — № 7. — С. 68–74. 6. Маковлев В.И., Новиков А.Н., Соколов Н.И. К вопросу устойчивости линейных квазиста- ционарных систем // Автоматика и телемеханика. — 1976. — № 5. — С. 22–26. 7. Липатов А.В., Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивости и неустой- чивости линейных непрерывных стационарных систем // Там же. — 1978. — № 9. — С. 30–37. 8. Воронов В.С. О достаточных условиях неустойчивости и устойчивости динамических сис- тем // Изв. вузов. Приборостроение. — 1980. — № 9. — С. 40–43. 9. Масленников В.В. Гипотеза о существовании простого аналитического достаточного усло- вия устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 2. — С. 160–161. 10. Цыбулькин Г.А. Об одном алгебраическом условии устойчивости линейных динамических систем // Кибернетика и вычислит. техника. — 1986. — Вып. 69. — С. 28–33. 11. Anderson B.D.O., Jury E.I., Mansour M. On robust Hurwitz polynomials // IEEE Trans. Automat. Control. — 1987. — AC-32, N 10. — P. 909–913. 12. Bose N.K., Jury E.I., Zeheb E. On robust Hurwitz and Schur polynomials // Ibid. — 1988. — AC-33, N 12. — P. 1166–1168. 13. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их исполь- зование // Автоматика и телемеханика. — 1994. — № 11. — С. 113–119. 14. Вукосавич С.Н., Стоич М.Р. Достаточные условия робастной относительной устойчивости линейных непрерывных систем // Там же. — 1996. — № 11. — С. 84–91. 15. Цыбулькин Г.А. Стабилизация бокового отклонения программно управляемого объекта при движении по траекториям с переменной кривизной // Управляющие системы и машины. — 2003. — № 3. — С. 12–17. 16. Жуков В.П. Условия неустойчивости для одного класса нелинейных неавтономных дина- мических систем // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 10. — С. 34–41. 17. Цыбулькин Г.А. Корректирующее управление траекторным движением. — Киев : Сталь, 2012. — 161 с. 18. Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М. : Наука, 1981. — 176 с. 19. Сигорский В.П. Методы анализа электрических схем с многополюсными элементами. — Киев : Изд-во АН УССР, 1958. — 402 с. 20. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно ма- лых. — Л.; М.: ОНТИ, 1936. — 650 с. Получено 09.10.2013

К оценке устойчивости одного класса динамических систем

Репозитарії

Схожі ресурси