Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах
Розглянуто частинні розв’язки рівнянь руху для анізотропних пружних тіл, що мають характер відокремлених структурно-стійких деформаційних збурень, локалізованих у деякій малій області. Досліджено траєкторії відповідних хвиль, що рухаються в області змінної густини. Запропоновано підхід до прогнозува...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207800 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах / А.Я. Бомба, Ю.В. Турбал // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 12-21. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207800 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бомба, А.Я. Турбал, Ю.В. 2025-10-14T08:14:05Z 2014 Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах / А.Я. Бомба, Ю.В. Турбал // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 12-21. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207800 539.3:534.222 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.50 Розглянуто частинні розв’язки рівнянь руху для анізотропних пружних тіл, що мають характер відокремлених структурно-стійких деформаційних збурень, локалізованих у деякій малій області. Досліджено траєкторії відповідних хвиль, що рухаються в області змінної густини. Запропоновано підхід до прогнозування траєкторій (ідентифікації відповідних параметрів), що зводиться до розв’язання експоненційної проблеми моментів. Partial solutions of motion equations for anisotropic elastic bodies in the form of selfreinforcing deforming disturbances localized in some small area is considered. Trajectories of corresponding waves motion in the field of variable density are investigated. It is proposed the approach to trajectories prediction (parameters identification) based on solving the moment problem. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы идентификации и адаптивного управления Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах Прогнозування траєкторій відокремлених хвиль деформації в анізотропних пружних тілах Prediction of the deformation solitary waves trajectories in anisotropic elastic solids Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| spellingShingle |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах Бомба, А.Я. Турбал, Ю.В. Методы идентификации и адаптивного управления |
| title_short |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| title_full |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| title_fullStr |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| title_full_unstemmed |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| title_sort |
прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах |
| author |
Бомба, А.Я. Турбал, Ю.В. |
| author_facet |
Бомба, А.Я. Турбал, Ю.В. |
| topic |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| topic_facet |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Прогнозування траєкторій відокремлених хвиль деформації в анізотропних пружних тілах Prediction of the deformation solitary waves trajectories in anisotropic elastic solids |
| description |
Розглянуто частинні розв’язки рівнянь руху для анізотропних пружних тіл, що мають характер відокремлених структурно-стійких деформаційних збурень, локалізованих у деякій малій області. Досліджено траєкторії відповідних хвиль, що рухаються в області змінної густини. Запропоновано підхід до прогнозування траєкторій (ідентифікації відповідних параметрів), що зводиться до розв’язання експоненційної проблеми моментів.
Partial solutions of motion equations for anisotropic elastic bodies in the form of selfreinforcing deforming disturbances localized in some small area is considered. Trajectories of corresponding waves motion in the field of variable density are investigated. It is proposed the approach to trajectories prediction (parameters identification) based on solving the moment problem.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207800 |
| citation_txt |
Прогнозирование траекторий уединенных волн деформации в анизотропных упругих телах / А.Я. Бомба, Ю.В. Турбал // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 12-21. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bombaaâ prognozirovanietraektoriiuedinennyhvolndeformaciivanizotropnyhuprugihtelah AT turbalûv prognozirovanietraektoriiuedinennyhvolndeformaciivanizotropnyhuprugihtelah AT bombaaâ prognozuvannâtraêktoríivídokremlenihhvilʹdeformacíívanízotropnihpružnihtílah AT turbalûv prognozuvannâtraêktoríivídokremlenihhvilʹdeformacíívanízotropnihpružnihtílah AT bombaaâ predictionofthedeformationsolitarywavestrajectoriesinanisotropicelasticsolids AT turbalûv predictionofthedeformationsolitarywavestrajectoriesinanisotropicelasticsolids |
| first_indexed |
2025-11-26T00:09:27Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:09:27Z |
| _version_ |
1850593713033576448 |
| fulltext |
© А.Я. БОМБА, Ю.В. ТУРБАЛ, 2014
12 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 539.3:534.222
А.Я. Бомба, Ю.В. Турбал
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ
УЕДИНЕННЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ
В АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТЕЛАХ
Введение
Результаты изучения уединенных волн, способных сохранять форму и харак-
теристики при распространении на значительные расстояния, в последнее время
применяются во многих областях теоретических и прикладных исследований. Для
множества моделей, имеющих важное прикладное значение [1], решения соответ-
ствующих дифференциальных уравнений получены в виде уединенных волн, об-
ладающих особыми частицеподобными свойствами.
Солитоны в твердых телах исследовались в рамках структурно-феноменологи-
ческого подхода [2]. В частности, рассматривалась поврежденная среда с микро-
структурой, континуум Коссера с ограниченным движением, среда с деформация-
ми [2, 3], для которых соответствующие модельные задачи допускают солитонные
решения. Во многих публикациях изучаются уединенные волны деформации
в стержнях. В последнее время интерес к таким решениям возрастает в контексте
ряда практических задач геофизики и математического моделирования, в частно-
сти прогнозирования землетрясений [4].
В некоторых публикациях рассмотрены обобщения, позволяющие находить
решения соответствующих модельных уравнений в виде уединенных волн [5–9],
в том числе и солитонов. В частности, упомянутый подход применялся для реше-
ния уравнений газовой динамики гравитирующих газовых дисков галактик [5, 10],
уравнения Кортевега–де Фриза [7], уравнений движения для твердых тел в случае
анизотропии их упругих свойств [6–8]. При этом в работе [7] показано, что реше-
ния в виде уединенных волн существуют лишь при определенных типах анизо-
тропии (для кристаллов не ниже орторомбической сингонии), получены необхо-
димые и достаточные условия существования соответствующих решений. В [8]
предложено некоторое обобщение упомянутого подхода, в котором решение на-
ходится в виде
),,,...,,())(),...,(),(()...,,,( 21
T
21
T)()2()1( txxxWtttuuu nm
m (1)
где
)()2()1( ...,,, muuu — относительные смещения в декартовой системе координат,
),/)))(~),...,(~),(~(),,...,,(((exp)),(~),...,(~),(~,,...,,( 21212121 txtxtxxxxttxtxtxxxxW nnnn
),( ba — функция меры, определенная на множестве интервалов },,:],{[ nRbaba
0),(( при ), ),(1 t )(,),(2 tt m — функции, определяющие ком-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 13
поненты амплитуды соответствующих смещений, — параметр, определяющий
локализацию возмущения, ),(~
1 tx )(~,),(~
2 txtx n — функции, определяющие тра-
екторию точки, в которой смещения максимальны.
Решение в виде (1) определяет локализированное в пространстве возмущение
(волну деформации), максимум которого находится в точке )).(~),...,(~),(~( 21 txtxtx n
Заметим, что в случае произвольности меры в форме (1) можем представить
любое решение, имеющее характер унимодальной уединенной волны, форма ко-
торой неизменна во времени. При этом мера определяет форму возмущения
в каждом конкретном случае. Можем рассматривать также и более общий случай,
когда функции ).(~
ix зависят не только от времени, но и от пространственных ко-
ординат, когда ).,,...,,(~)(~
21 txxxxtx nii
Представление в форме (1) для различных случаев функции позволяет по-
строить некоторое обобщение процедуры поиска решений в виде уединенных
волн, в частности солитонов.
В данной работе изучаются траектории уединенных волн, движущихся в ани-
зотропной упругой среде, и предложены методы их прогнозирования (идентифи-
кации соответствующих параметров).
1. О характере траекторий уединенных волн, являющихся решениями
уравнений движения для анизотропных упругих тел
Рассмотрим систему уравнений движения [11] для анизотропной упругой среды:
)),2,2,2,,,(( 5615165566112
2
ucccccc
t
u
)),,,,,,(( 25466146612452616 vccccccccc
),),,,,,,(( 453655135614354615 wccccccccc (2)
)),,,,,,(( 4625145612664526162
2
uccccccccc
t
v
)),2,2,2,,,(( 244626442266 vcccccc
),),,,,,,(( 442345362546342456 wccccccccc (3)
)),,,,,,(( 3645551356143546152
2
uccccccccc
t
w
)),,,,,,(( 442336452546342456 vccccccccc
).),2,2,2,,,(( 343545334455 wcccccc (4)
Здесь ,),,,( tzyxu ),,,,( tzyxv ),,,( tzyxw — смещения вдоль соответствующих
осей в декартовой системе координат, ,,,,,,
222
2
2
2
2
2
2
zyxzxyzyx
,6,1,, jicC ij — матрица упругих постоянных, ),,( zyx — плотность.
В соответствии с (1) решение данной системы можем находить в виде
(T-представление)
),,,,()),,,(),,,,(),,,,((),,( TT tzyxWtzyxtzyxtzyxwvu wvu (5)
где ,
)),,,(~()),,,(~()),,,(~(
exp),,,(
321
tzyxzzgtzyxyygtzyxxxg
tzyxW
,).( Gg G — класс положительно-определенных, унимодальных, дважды непре-
14 ISSN 0572-2691
рывно дифференцированных функций, имеющих минимум в точке 0, равный 0, и для
которых вторые производные отличны от констант, ),,,,( tzyxu ),,,,( tzyxv
),,,( tzyxw — функции, определяющие амплитуду соответствующих возмущений,
321 ,, — константы, определяющие локализацию возмущений, ),,,,(~ tzyxx
),,,,(~ tzyxy ),,,(~ tzyxz — функции, определяющие траектории уединенных волн.
В работе [9] исследовалось поведение уединенной волны, определяемой со-
отношениями (5), движущейся в направлении области возрастания плотности.
При этом рассматривался случай ),(),,( xzyx ),,(~~ txxx ),,(~~ txyy
,const~ z ),,( txuu ,0v ,0w 0/ yu при выполнении усло-
вий для упругих постоянных: 45555646353425241514 cccccccccc
.01336661226 ccccc
В результате преобразований [9], связанных с подстановкой соответствую-
щих производных в (2)–(4), с учетом произвольности функций Gg ).( получим:
,),(~1)/(),(~ 2/1
11
xtx
x
cxtx
),,(~)/(),(~ 2/1
11 xty
x
cxty
(6)
,
),(
)(
4
1
),()(),( 2/12/1
11
2/32/1
11
x
xt
cxtcxt u
uu
.0)(54 21
Общие решения системы уравнений (6) имеют вид [12]
,
)(
1
)(
4acx
x
,
)()(
),(~
2/1
11
acxcc
xtxtx
,
)()(
),(~
2/1
11
1
acxcc
xtxxty ,
)(
1
Η)(),(
2/1
11
cc
tacxxtu
где , ,1 H — произвольные функции, c, a — постоянные.
Проиллюстрируем поведение солитона в частном случае, когда ,111 c )(x
,
)6(
10
4
x
1 , .]3,0[],5,0[ tx
При этом
,
),(
)(
4
1
),()(),( 2/12/1
11
2/32/1
11
x
xt
cxtcxt u
uu
,002,0),0( xu .002,0)0,( tu
График функции )3,(tu приведен на рис. 1. Из рисунка видно, что ампли-
тудная функция в начале временного интервала убывает, далее наблюдаются неко-
торые колебания, после чего )3,(tu близка
к константе. Такое поведение характерно для
всех значений x из интервала исследования.
Решения краевой задачи
,),(~1)/(),(~ 2/1
11
xtx
x
cxtx
,0),0(~ xx 0)0,(~ tx
соответственно при ,1,0x 4,0t представ-
лены на рис. 2, 3.
0,5 1 1,5
t
310)3,( tu
1,0
0,8
1,2
1,4
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 15
0 1 2
2
0
2
4
x
),4,0(~ xx
Рис. 3
)2,0,( 1xy
0 1 2
0,5
1
x1
3
Рис. 5
Решения краевой задачи
),,(~)/(),(~ 2/1
11 xty
x
cxty
,sin),0(~ xxy 0)0,(~ ty ,
показаны на рис. 4, 5 (соответственно, при ).2,0,4,0 tx
Очевидно, что для определения абсциссы точки максимума возмущения
maxx необходимо решить уравнение ,0),(~ txxx отсюда ).,(~
maxmax txyy На
рис. 6 представлено множество точек, на котором функция ),,,( tzyxWW дос-
тигает максимального значения.
Этот график дает некоторое представление о возможном виде траекторий уе-
диненной волны типа (5), движущейся в направлении области возрастания плот-
ности (обозначается темным от-
тенком). Показаны эффекты отра-
жения волны как при движении
в направлении возрастания, так и
убывания плотности вещества. При
этом фрагменты траектории уеди-
ненной волны (между точками от-
ражений) близки к прямолинейным
отрезкам или спиралям. Заметим,
что при постоянной плотности всег-
да получаем прямолинейные тра-
ектории движения, это видно, на-
пример, из результатов работы [6].
2. О прогнозировании траекторий уединенных волн
Заметим, что прогнозирование траекторий уединенных волн имеет важное
прикладное значение. Например, в работе [4] рассмотрены пульсационные воз-
мущения в горных породах, отличающиеся от сейсмических волн гармонического
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
5
10
w 0.1 t ( )
t
0,2 0,4 0,8
t
)1,0,(~ tx
5
0
10
0,6 0
Рис. 2
0 0.5 1 1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
y 0.6 t ( )
t
0,5 1
t
),6,0( ty
0,4
0,2
0,6
1,5 0
0,8
Рис. 4
0,5 1
0
1
1
1,5 0 2
)(max tx
)(max ty
Рис. 6
16 ISSN 0572-2691
типа. Последний результат подтверждает возможность построения моделей сейс-
мических процессов, базирующихся на уединенных волнах солитонного типа. Но,
как известно, уединенные волны очень сложно зафиксировать в силу их про-
странственной локализации. В случае сейсмического процесса волны можно оп-
ределять по серии толчков, которые они могут вызывать, проходя через области
накопления сейсмической энергии. В таком случае в качестве исходной информа-
ции имеем последовательность ),,(),...,,(),,( 2211 kk txtxtx где kxxx ,...,, 21 — точки,
в которых была зафиксирована уединенная волна, kttt ...21 — соответст-
вующие моменты времени.
Построим кривую, проходящую через точки kxxx ,...,, 21 , например, с помо-
щью обобщения интерполяционного многочлена Лагранжа вида
,
),(
),(
)(
2
1
1 1
l
k
l
k
lj
j jl
j
x
xx
xx
xf
(7)
где ),( yx — расстояние в пространстве соответствующей размерности. Очевид-
но, что функция (7) задает отображение .1 kk xx
Аналогично для случая, учитывающего время, имеем
,),(
),,,(
),,,(
),(
2
1
1 11
ll
jjll
jj
ii
k
l
k
lj
j iiii
ii
tx
txtx
txtx
txf
(8)
где ),,,( 21 tytx — расстояние между точками в пространстве-времени. Функ-
ция (8) задает отображение ),(),(
11
kkkk iiii txtx .
Заметим, что функции (7), (8) можно использовать при наличии отражений,
когда траектория представляет собой ломаную. В случаях, когда траектория пред-
ставляет собой кривую, напоминающую спираль (см. рис. 5), логично аппрокси-
мировать траекторию солитона функциями, представляющими собой суммы ло-
гарифмических спиралей.
Рассмотрим полярную систему координат. Пусть траектория солитона опи-
сывается функцией
,...))((
)()(
2
)(
1
21 t
m
tt meeetr
(9)
где ii , — неизвестные параметры. Пусть ,,0, kjerx ji
jj
— наблюдаемые
значения. Тогда с учетом (9) имеем:
....
,...
,...
21
11211
00201
21
121
021
km
m
m
reee
reee
reee
kmkk
m
m
(10)
Введя обозначение ,,1, kie i
i
систему (10) перепишем в виде
....
,...
,...
2211
12211
02211
111
000
kmm
mm
mm
r
r
r
kkk
(11)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 17
Рассмотрим систему функций }.,1,{ kit i
Как известно [13], такая система об-
разует систему Чебышева T( систему) при выполнении условия ....21 k
В таком случае система (11) фактически представляет собой совокупность момент-
ных соотношений для системы функций },1,{ kit i
или экспоненциальных функ-
ций в случае (10). При этом проблема моментов определена тогда и только тогда, ко-
гда последовательность krrr ,...,, 20 сингулярно положительна [13]. В частности, при
,1 ii ,,1 ki получаем степенную проблему моментов, которая хорошо изуче-
на. Переформулируем основной результат: если последовательность чисел ,0r ,2r
kr, строго положительна, то существует одно и только одно ее нижнее главное
представление, причем при 12 mk точки сосредоточения масс совпадают с кор-
нями многочлена: ,...det
011
m
i
i
miii trrr
а при mk 2 : ....det
01
m
i
i
mii trrt
В данном случае ,,1, mii — точки сосредоточения масс, тогда ,,1, mii
легко найти, решая систему линейных алгебраических уравнений. Заметим, что
в случае произвольных ,,1, kii ,...21 k получить результат для на-
хождения точек сосредоточения масс, аналогичный приведенному выше для сте-
пенной проблемы моментов, удается лишь в частных случаях. Например, выпол-
нение условия
0...det
01
11
21
m
iiiii
i
m
mi
m
ii ,1,1,0 mkmik (12)
достаточно для того, чтобы точки сосредоточения масс задачи (11) совпадали
с корнями многочлена ....det
011
m
imiii
itrrr
Это утверждение легко получить
из соотношений (11) и очевидного равенства:
....det......
......det...det
1
0
1 1
1
021011
1
12
1121
2
1
m
i
m
ikiiiiii
m
i
m
i
m
i
m
ikimiiii
m
ikmiii
iim
m
im
m
i
m
m
m
iim
mm
i rrrrrr
3. Метод идентификации параметров траекторий и некоторые
конструктивные аспекты решения экспоненциальной проблемы моментов
Существует функция ,...)( 2211
mmr проходящая через точ-
ки ),,(),...,,(),,( 12111100 mmrrr где krrr ,...,, 10 — сингулярно положительная
последовательность относительно системы функций },,1,{ kit i
...10
.... 12 m Тогда параметры mm ,...,,,,...,, 2121 определяются как реше-
ния системы (11) при .12 mk Решение (11) существует и единственно в силу
сингулярной позитивности .,...,, 20 krrr Рассмотрим вспомогательную задачу:
.
~~...
~~~~
,
~~...
~~~~
,~...~~
12
1212
22
12
11
12211
021
m
m
mm
mm
mm
m
r
r
r
(13)
Пусть ),.(if ,12,0 mi — некоторые биективные отображения, ],[: 1iiif
],1,[ ii ,22,0 mi ],12[],[: 1212 mf mm такие, что ,)( if ii
,1)( 1 if ii ,22,0 mi .12)( 1212 mf mm Определим отображение )(f
18 ISSN 0572-2691
)),[()(]),[()( 1212
22
0
1
mm
m
i
iii ff , где ).( — функция Хевисай-
да, и функцию .
~~...
~~~~)(~:)(~
2211
mmrr Очевидно, что ))((~
ifr
.12,0,)( mirr ii
Покажем, что существуют такие отображения ],1,[],[: 1 iif iii что
)())((~ rfr для любого за исключением, возможно, интервала ],,[ 100 kk
где функция )(r достигает минимального значения (в случае немонотонной по-
следовательности ).,...,, 20 krrr
Заметим, что функция )(r либо монотонная, либо унимодальная и достигает
минимума в некоторой точке множества ).,[ 0 Действительно, монотонность
очевидна при выполнении условий:
;0...,,0,0,1...,,1,1 2121 mm
.0...,,0,0,10...,,10,10 2121 mm
Рассмотрим случай
,10...,,10,1...,,1,1 121 mrr .0...,,0,0 21 m (14)
Пусть .0ln...lnln 2211 mm Тогда монотонность функции выте-
кает из (14) и очевидного неравенства
mmmmm
ln...lnlnln...lnln 2211222111 .
Пусть .0ln...lnln 2211 mm Тогда из условий (14) вытекает
:0 .0ln...lnln 000
222111
mmm Кроме того, 101 :
выполняется неравенство:
000 ln...lnln 222111 mmm
.ln...lnln 111
222111
mmm
Таким образом, функция )(r в этом случае имеет единственную точку минимума.
Пусть i — произвольные. Очевидно, что .0: ii В противном случае
:0 .0)( 0 r Без ограничения общности будем считать, что ,01
.0...,,0,0...,,0 12 mrr Проверим, может ли функция )(r иметь
точку максимума. Пусть ,0ln...lnln 2211 mm 0 и значения пара-
метров ii , такие, что 0ln...lnln 000
222111
mmm (это
условие выполняется, например, при ,,1,,, rmjrijrijri ,1i
).,1 mi Последнее неравенство означает, что скорость возрастания отрицатель-
ных компонент суммы превышает скорость возрастания положительных и, следо-
вательно, :1 .0)( 1 r Таким образом, положительно-определенная функция
)(r на всей числовой прямой не может иметь точку максимума.
Рассмотрим интервал ,],[ 1 kk на котором функция )(r монотонная. Оче-
видно, что функция )(~ r будет монотонной на интервале ].1,[ kk Тогда можем
построить отображение ]1,[],[: 1 kkf kkk такое, что )())((~ rfr k на ин-
тервале ],[ 1 kk очевидным способом: )).((~)( 1 rrfk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 19
Заметим, что значения mm ,...,,,,...,, 2121 можно определить как ре-
шения системы уравнений:
)).12((~...
)),1((~...
)),0((~...
1212
22
12
11
2211
21
mfr
fr
fr
m
mm
mm
mm
m
(15)
Таким образом, получаем возможность конструктивного решения экспоненци-
альной проблемы моментов.
Аналогично рассматривается и случай .2mk
Очевидно, что в простейшем случае отображения ]1,[],[: 1 iif iii
можно реализовать с помощью линейного преобразования
),/())1(()( 11 iiiii xiixf ,22,0 mi ./)12()( 1212 mm xmxf
Функция ))((~ fr задает траекторию волны. Для построения прогноза с уче-
том времени необходимо иметь функцию ))).(((~ tfr В таком случае необходимо
отдельно оценивать функцию ),(t имея результаты наблюдений ,,1),,( kitii
....,... 2121 kk ttt Но это уже классическая, хорошо изученная задача.
В заключение заметим, что апробация метода проводилась путем сравнения
компьютерных расчетов траекторий уединенных волн с полученными ранее [14]
результатами моделирования сейсмического процесса, происходившего в марте
2011 г. в океане вблизи префектуры Фукусима (рис. 7). Здесь цифры 0, 1, 2,…, 13
обозначают эпицентры форшоковых толчков, круг максимального радиуса — об-
ласть локализации главного толчка (вблизи форшока 1), кривые — прогнозные тра-
ектории солитонов, полученные с учетом оценок скоростей их движения. Учет
траекторий уединенных волн позволяет существенно уточнить вероятность места
и времени главного толчка (из рис. 7 видно, что множество уединенных волн про-
ходило именно через область, где произошел главный толчок, а также находилось
в соответствующей области в момент главного толчка).
12
7
6
1
3
4
5
2
0
11
9
8
10
13
Рис. 7
20 ISSN 0572-2691
Заключение
Таким образом, в настоящей работе рассмотрен подход к изучению уединен-
ных волн в анизотропных упругих телах (трехмерный случай), базирующийся на
T-представлениях, что дает возможность свести процесс построения траектории
уединенной волны к приближенному решению краевых задач для линейных диф-
ференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Построена
траектория уединенной волны, движущейся в области изменяющейся плотности
для отдельных случаев законов изменения плотности и типа анизотропии. Пока-
зано, что уединенные волны могут, в частности, двигаться по прямой или иметь
спиральную траекторию, резко изменять траекторию (отражаться) при их движе-
нии как в направлении возрастания, так и убывания плотности.
Исходя из характера траекторий, предложены методы, позволяющие по от-
дельным точкам наблюдений оценивать траекторию и строить прогноз движения
(идентифицировать соответствующие параметры). При этом задача идентификации
параметров траекторий сводится к решению экспоненциальной проблемы момен-
тов. Предложено решение проблемы моментов для системы функций },,1,{ kit i
а также приближенный метод прогноза соответствующих траекторий уединенных
волн.
Полученные результаты имеют важное прикладное значение, так как позво-
ляют строить модели, базирующиеся на использовании свойств уединенных волн
солитонного типа, в рамках классической модели упругой анизотропной среды.
В отдельных процессах такие волны могут играть важную роль. Например, уеди-
ненная волна может выступать в качестве «спускового механизма» землетрясе-
ния, если она проходит через область накопления сейсмической энергии. В этом
случае даже малое деформационное возмущение играет существенную роль. Та-
кой подход к моделированию сейсмических процессов позволяет объяснить мно-
гие явления, связанные с форшоковыми и афтершоковыми толчками.
Заметим, что реальная упругая среда (например, земная кора в области по-
верхности Мохоровичича) имеет очень сложный характер анизотропии и может
не отвечать типам анизотропии, классифицирующимся с точки зрения симметрии
кристаллов. В таких случаях целесообразно использовать некоторый аналог зако-
на Гука (например, зависимость палеонапряжений в земной коре от деформаций).
Тогда матрица
6,1,
jiijcC в данной модели не будет матрицей упругих посто-
янных в классическом смысле, а некоторым ее обобщением.
В дальнейших исследованиях планируется прогнозирование сейсмических
процессов с учетом изученных свойств траекторий уединенных волн.
А.Я. Бомба, Ю.В. Турбал
ПРОГНОЗУВАННЯ ТРАЄКТОРІЙ
ВІДОКРЕМЛЕНИХ ХВИЛЬ ДЕФОРМАЦІЇ
В АНІЗОТРОПНИХ ПРУЖНИХ ТІЛАХ
Розглянуто частинні розв’язки рівнянь руху для анізотропних пружних тіл, що
мають характер відокремлених структурно-стійких деформаційних збурень,
локалізованих у деякій малій області. Досліджено траєкторії відповідних хвиль,
що рухаються в області змінної густини. Запропоновано підхід до прогнозу-
вання траєкторій (ідентифікації відповідних параметрів), що зводиться до
розв’язання експоненційної проблеми моментів.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 21
A.Ya. Bomba, Yu.V. Turbal
PREDICTION OF THE DEFORMATION
SOLITARY WAVES TRAJECTORIES
IN ANISOTROPIC ELASTIC SOLIDS
Partial solutions of motion equations for anisotropic elastic bodies in the form of self-
reinforcing deforming disturbances localized in some small area is considered. Tra-
jectories of corresponding waves motion in the field of variable density are investi-
gated. It is proposed the approach to trajectories prediction (parameters identifica-
tion) based on solving the moment problem.
1. Самойленко В.Г., Самойленко Ю.І. Асимптотичні двофазові солітоноподібні розв’язки син-
гулярно збуреного рівняння Кортевега–де Фріза зі змінними коефіцієнтами // Укр. мат.
журн. — 2008. — 80, № 1. — C. 388–397.
2. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой — М. : Изд-во Мос-
ков. ун-та, 1999. — 328 c.
3. Быков В.Г. Уединенные сдвиговые волны в зернистой среде // Акустический журн. — 1999.
— 45, № 2. — С. 169–173.
4. Kozák J., Šilený J. Seismic events with non-shear component. I. Shallow earthquakes with a pos-
sible tensile source component // Pure and Applied Geophysics. — 1985. — 123, N 1. — Р. 1–15.
5. Турбал Ю.В. Часткові розв'язки рівнянь газової динаміки галактик із збуреннями типу
-солітонів // Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Сер.: Фіз.-мат. науки. — 2009.
— № 1. — С. 67–75.
6. Турбал Ю.В. О необходимых и достаточных условиях существования решений уравнений
движения для анизотропных упругих тел в виде уединенных волн типа -солитонов // Пи-
тання прикладної математики та математичного моделювання. — 2012. — С. 78–86.
7. Турбал Ю.В. Дослідження анізотропії пружних властивостей матеріалів з точки зору існу-
вання відокремлених хвиль типу -солітонів // Проблеми обчислювальної механіки і міц-
ності конструкцій. — 2012. — Вип. 18. — С. 76–90.
8. Турбал Ю.В., Турбал М.Ю. Про наближені та точні розв’язки характеристичної системи, що
визначає необхідні та достатні умови існування відокремлених хвиль типу -солітонів для
анізотропних пружних тіл // Волинський математичний вісник. — 2013. — № 1. —
С. 99–109.
9. Турбал Ю.В. Исследование нелинейных эффектов взаимодействия уединенных волн де-
формации с областями изменяющейся плотности для анизотропного твердого тела // Физи-
ко-математическое моделирование и информационные технологии. — 2013. — Вып. 18. —
С. 112–119.
10. Turbal Y. The trajectories of self-reinforsing solitary wave in the gas disc of galaxies // Proceed-
ings of the 3rd International Conference on Nonlinear Dynamic. — Kharkov, 2010. —
P. 112–118.
11. Ляв А.Математическая теория упругости.— Л. : ОНТИ, 1935. — 675 с.
12. Polyanin A.D., Zaitsev, V.F., Moussiaux A. Handbook of first order partial differential equations.
— London : Taylor & Francis, 2002. — 497 p.
13. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. —
М. : Наука, 1963. — 553 с.
14. Турбал Ю. Математична модель сейсмічного процесу, що враховує повільні відокремлені
хвилі деформації // Вісник КрНУ імені Михайла Остроградського. — 2013. — Вип. 4. —
C. 109–113.
Получено 12.11.2013
После доработки 16.01.2014
|