Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами

Запропоновано новий алгоритм розв’язання системи операторних включень з монотонними операторами, що діють в гільбертовому просторі. Алгоритм базується на двох відомих методах: алгоритмі розщеплення Ценга та варіанті алгоритму Гальперна для апроксимації нерухомих точок скінченної сім’ї нерозтягуючих...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Author:	Семенов, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207801
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 22-32. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207801
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078012025-10-15T00:02:01Z Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами Сильно збіжний метод розщеплення для системи операторних включень з монотонними операторами A strongly convergent splitting method for system of operator inclusions with monotone operators Семенов, В.В. Оптимальное управление и методы оптимизации Запропоновано новий алгоритм розв’язання системи операторних включень з монотонними операторами, що діють в гільбертовому просторі. Алгоритм базується на двох відомих методах: алгоритмі розщеплення Ценга та варіанті алгоритму Гальперна для апроксимації нерухомих точок скінченної сім’ї нерозтягуючих операторів. Доведено теорему про сильну збіжність породжених алгоритмом послідовностей. A novel algorithm for solving a system of operator inclusions with monotone operators acting in a Hilbert space is proposed. The algorithm is based on two well-known methods: Tseng splitting algorithm and version of Halpern algorithm for approximation of common fixed points of a finite family of nonexpansive operators. A theorem on the strong convergence of the sequences generated by the algorithm is proved. Работа выполнена при финансовой поддержке Верховной Рады Украины (Именная стипендия Верховной Рады Украины для молодых ученых, 2013) 2014 Article Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 22-32. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207801 517.988 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Семенов, В.В. Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано новий алгоритм розв’язання системи операторних включень з монотонними операторами, що діють в гільбертовому просторі. Алгоритм базується на двох відомих методах: алгоритмі розщеплення Ценга та варіанті алгоритму Гальперна для апроксимації нерухомих точок скінченної сім’ї нерозтягуючих операторів. Доведено теорему про сильну збіжність породжених алгоритмом послідовностей.
format	Article
author	Семенов, В.В.
author_facet	Семенов, В.В.
author_sort	Семенов, В.В.
title	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
title_short	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
title_full	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
title_fullStr	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
title_full_unstemmed	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
title_sort	сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207801
citation_txt	Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 22-32. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT semenovvv silʹnoshodâŝijsâmetodrasŝepleniâdlâsistemyoperatornyhvklûčenijsmonotonnymioperatorami AT semenovvv silʹnozbížnijmetodrozŝeplennâdlâsistemioperatornihvklûčenʹzmonotonnimioperatorami AT semenovvv astronglyconvergentsplittingmethodforsystemofoperatorinclusionswithmonotoneoperators
first_indexed	2025-11-25T11:04:54Z
last_indexed	2025-11-25T11:04:54Z
_version_	1849760096380256256
fulltext	© В.В. СЕМЕНОВ, 2014 22 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 517.988 В.В. Семенов СИЛЬНО СХОДЯЩИЙСЯ МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОПЕРАТОРНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ  Введение Многие задачи исследования операций и математической физики могут быть записаны в форме вариационных неравенств или операторных включений [1–6], для решения которых к настоящему времени предложено большое количество ме- тодов [5–22]. Однако далеко не все вопросы, связанные с обоснованием методов, разработаны с исчерпывающей полнотой. В работах [23–26] рассматривались задачи такого вида: необходимо найти },,...,1{0),(: 1 diCyxyxBCx iii d i    (1) где H — гильбертово пространство, для каждого di ...,,1 даны оператор HHBi : и HCi  — непустое выпуклое замкнутое множество. В частности, в [24] для ситуации, когда операторы iB обратно сильно моно- тонные (ко-коэрцитивные) [5, 6], предложены алгоритмы ),( 1 1 ninCi d i n xBxPx i    (2) ),( 1 1 ninC d i n xBxPx i    (3) где ,1 1   d i i ,0iw ),min2,0( ii L 0iL — константа обратной сильной монотонности оператора iB (оператор B : H  H называют обратно сильно моно- тонным с константой L  0, если 2 ),( ByBxLyxByBx  для всех ;, Hyx  дифференцируемый функционал Hf : с производной ,f  удовлетворяющей условию Липшица с константой L  0, является выпуклым тогда и только тогда, ко- гда оператор f  обратно сильно монотонный с константой 1/L (теорема Байона– Аддада) [6]); iCP — оператор проектирования на множество .iC Алгоритмы (2) и (3) в случае разрешимости системы (1) слабо сходятся к решению (1) [24]. Заме- тим, что алгоритм (3) можно рассматривать как обобщение классической альтер-  Работа выполнена при финансовой поддержке Верховной Рады Украины (Именная стипендия Верховной Рады Украины для молодых ученых, 2013). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 23 нирующей схемы фон Неймана для поиска проекции на пересечение подпро- странств. Используя итеративную регуляризацию [9, 10, 27, 28], легко модифици- ровать (2) и (3) для получения сильно сходящихся аппроксимаций решения сис- темы (1) с минимальной нормой. Например, для алгоритма (3) соответствующая модификация имеет вид ),()1( 1 1 ninC d i nn xBxPx i     где ),1,0(n ,0lim   n n . 1   n n В данной статье для системы операторных включений xBA ii )(0  , },,...,1{ di обобщающей задачу (1), предлагается сильно сходящийся итерационный алго- ритм. Отметим, что в статье не предполагается наличие свойства обратной силь- ной монотонности для операторов .iB Алгоритм основан на двух известных ите- рационных методах: алгоритме расщепления Ценга [13] и варианте алгоритма Гальперна для аппроксимации неподвижных точек конечной семьи нерастяги- вающих операторов [27, 28]. Кратко опишем структуру статьи. В разд. 1 приведены постановка задачи, ал- горитм и ряд необходимых фактов. Разд. 2 содержит доказательства вспомога- тельных неравенств. В разд. 3 сформулирован и доказан основной результат ста- тьи — теорема сильной сходимости предложенного алгоритма. 1. Постановка задачи и алгоритм В настоящей статье обозначим H действительное гильбертово пространство со скалярным произведением ),(  и порожденной нормой . Для оператора HHT 2:  будем использовать следующие обозначения: },:{)(dom  TxHxT .}0:{01 TxHxT  Напомним, что резольвентой оператора HHT 2:  называют оператор TJ ,2:)( 1 HHTE   где E — единичный оператор [5, 6]. Известно, что в случае максимальной монотонности оператора T резольвента TJ является однозначным, всюду заданным и твердо нерастягивающим (firmly nonexpansive) оператором, а множество 01T — замкнутым и выпуклым (возможно, пустым) [5, 6]. Полезна следующая лемма. Лемма 1 [6]. Пусть HHT 2:  — максимальный монотонный оператор, ., Hux  Тогда 0),(  yxvu )(dom Ty Tyv .),(dom TxuTx  Пусть CP — оператор метрического проектирования на непустое выпуклое и замкнутое множество ,HC  т.е. xPC — единственный элемент множества С со свойством .min xzxxP Cz C   Имеет место следующая характеризация элемента xPyxP CC : тогда и только тог- да, когда ,Cy 0),(  yzxy Cz [6]. Заметим, что , CNC JP  где CN — нормальный конус множества С [6]. 24 ISSN 0572-2691 Перейдем к формулировке задачи. Пусть },,...,2,1{ dI  где .d Рассмотрим множество операторов },...,,,...,{ 11 dd BBAA и предположим, что для всех :Ii А1) H i HA 2:  — максимальный монотонный оператор; А2) HHBi : — монотонный и липшицевый оператор с константой Лип- шица ,0iL причем .)(dom HBi  Отметим, что все операторы H ii HBA 2:  являются максимальными моно- тонными и ).(dom)(dom iii ABA  Рассмотрим систему операторных включений: ,)(0 xBA ii  .Ii (4) Замечание 1. Если для всех Ii имеем iCi NA  — нормальный конус замкнутого выпуклого множества ,HCi  то задача (4) является системой вариа- ционных неравенств: найти элемент Hx такой, что для всех Ii      .0),( , ii i CyxyxB Cx Предположим, что .0)( 1    ii Ii BAS  Зафиксируем две числовые последовательности ),( n )( n и конечный на- бор чисел ,i удовлетворяющие условиям: А3) ; 1 min,0],[           iIi n L ba А4) ),1,0(n ,0lim   n n ; 1    n n А5) ,1  i Ii .0i Для получения сильно сходящихся аппроксимаций решений системы вклю- чений (4) предлагаем следующий алгоритм. Алгоритм. Выбираем ,Hx ,1 Hx  генерируем последовательность эле- ментов Hxn  с помощью итерационной схемы:                 .)1( , , , ),(1 ),(),(),(),( ),(),( ),( ini Ii nnn ininininnin inAin ninnin vxx zBzyxv yJz xBxy in Замечание 2. Для системы вариационных неравенств из замечания 1 алго- ритм приобретает следующий вид:              .)1( ),( ),( ),(1 ),(),(),( ),( ini Ii nnn niinininin ninnCin vxx xBzBzv xBxPz i Представленные ниже леммы играют важную роль в доказательстве основно- го результата работы. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 25 Лемма 2 [29]. Пусть числовая последовательность )( na имеет подпоследова- тельность )( kna со свойством 1 kk nn aa для всех .k Тогда существует та- кая неубывающая последовательность )( km натуральных чисел, что km и ,1 kk mm aa 1 kmk aa для всех .1nk  Лемма 2 является эффективным инструментом исследования сходимости итерационных процессов, не обладающих фейеровским свойством относительно множества решений [29–31]. Лемма 3 [10, 28]. Пусть )( na — последовательность неотрицательных чисел, удовлетворяющих неравенству nnnnn aa  )1(1 для всех ,n где по- следовательности )( n и )( n обладают свойствами ),1,0(n , 1    nn .0lim   n n Тогда .0lim   n n a 2. Вспомогательные неравенства Докажем важное неравенство, связывающее расстояния от порожденных ал- горитмом точек до множества S. Лемма 4. Для порожденных алгоритмом последовательностей ),( nx )( ),( inz и )( ),( inv имеет место неравенство ,)1( 2 ),( 2222 ),( inninnin zxLzxzv  где .Sz Доказательство. Пусть .Sz Имеем  2 ),(),(),( 2 ),( zzBzyxzv ininininnin  2 ),( 22 ),( 2 ),(),( )()( inininininininin zBxBzzzBxBzz .),(2 ),(),( zzzBxB inininin  (5) Из монотонности оператора in A и равенства ),(),( inAin yJz in  следует .0),( ),(),(),(  zzzByz iniinin А из монотонности оператора iB .0),( ),(),(  zzzBzB inininin Сложив эти неравенства, получим .0),( ),(),(),(),(  zzzByz ininiinin (6) Из (6) следует неравенство  ),(2),(2 ),(),(),(),(),(),( zzzByzzzzBxB ininiinininininin  ),(2),(2 ),(),(),(),(),( zzzxzzzyxB ininninininnin . 2 ),( 2 ),( 2 nininn xzzzzx  (7) Учитывая (7) в (5), получим  2 ),( 22 ),( 22 ),( ininininnnin zBxBzxzxzv ,)1( 2 ),( 222 inninn zxLzx  что и следовало доказать. ■ 26 ISSN 0572-2691 Лемма 5. Для порожденных алгоритмом последовательностей ),( nx )( ),( inz и )( ),( inv имеет место неравенство .),(),(),( innininin zxLzv  Доказательство. Оценка следует из тождества )( ),(),(),( ininininin zBxBzv  и липшицевости оператора .iB ■ Лемма 6. Для порожденных алгоритмом последовательностей ),( nx )( ),( inz и )( ),( inv имеет место неравенство     2 ),( 22 2 ),(1 22 1 )1( innini Ii ini Ii nnn zxLvxzxzx ,,2 2 1 1),( 2 ),(),(             zxxvvv nini Ii njninji IjIi где .Sz Доказательство. Пусть .Sz  Имеем     2 ),( 2 1 )1( zvxzx ini Ii nnn             2 ),( 2 ),(),( 2 ),( ,2 xvzvxvzv ini Ii nini Ii ini Ii nini Ii .,2 2 ),(11),( 2 ),( ini Ii nnini Ii nini Ii vxzxxvzv               (8) Элементарными вычислениями получаем    2 ),( 2 ),( 2 ),( )( zvzvzv ini Ii ini Ii ini Ii . 2 1 2 ),(),( jninji IjIi vv    Из леммы 4 следует      2 , 222 2 ),( )1( innini Ii nini Ii zxLzxzv . 2 1 2 ),(),( jninji IjIi vv    (9) Подставляя правую часть (9) в (8), приходим к желаемой оценке. ■ 3. Теорема о сходимости Докажем ограниченность порожденных алгоритмом последовательностей. Лемма 7. Порожденные алгоритмом последовательности ),( nx )( ),( inz и )( ),( inv ограничены. Доказательство. Пусть .Sz Имеем     zvxzx ini Ii nnn ),(1 )1( .)1()()1()( ),(),( zvzxzvzx ini Ii nnini Ii nn    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 27 Воспользовавшись неравенством леммы 4, получим }.,{max)1(1 zxzxzxzxzx nni Ii nnn     Следовательно, },{max 11 zxzxzxn  .n Таким образом, последовательность )( nx ограничена. Ограниченность последовательностей )( ),( inz и )( ),( inv следует из ограни- ченности )( nx и леммы 4. ■ Теперь сформулируем основной результат работы. Теорема. Пусть выполняются условия А1)–А5) и .0)( 1    iiIi BAS  Тогда порожденные алгоритмом последовательности )( nx , )( ),( inz и )( ),( inv силь- но сходятся к элементу . 0)(0 1 xPz iiIi BA      Доказательство. Рассмотрим элемент xPz S0 . Из леммы 7 следует сущест- вование такого числа ,0M что Mzxxv nIi ini        01),( , для всех .n Тогда из неравенства леммы 6 получим оценку     2 ),( 22 2 ),(1 2 0 2 01 )1( innini Ii ini Ii nnn zxLvxzxzx njninji IjIi Mvv    2 2 1 2 ),(),( . (10) Рассмотрим числовую последовательность .)( 0zxn  Возможны два варианта: a) существует номер n такой, что 001 zxzx nn  для всех ;nn  б) су- ществует возрастающая последовательность номеров )( kn такая, что  01 zx kn 0zx kn  для всех .k Рассмотрим вариант a). В этом случае существует .lim 0   zxn n По- скольку 0 2 0 2 01  zxzx nn и ,0n то при n имеем ,0),(1    ini Ii n vx (11) ,0),(  inn zx (12) .0),(),(  jnin vv (13) Поскольку      2 ),(1 2 ),(1 )( inni Ii ini Ii n vxvx , 2 1 2 ),(),( 2 ),(1 jninji IjIi inni Ii vvvx      из (9) и (11) следует 0),(1  inn vx .Ii (14) Из ограниченности )( nx следует существование подпоследовательности ),( knx слабо сходящейся к точке .Hw Покажем, что обязательно Sw . Из (12) следу- 28 ISSN 0572-2691 ет wz ink ),( слабо. В силу (12) и ninnin xBxy ),( , ),(),( inAin yJz in  имеем 0)( ),(),( ),(),( ),(),(     iniini n inin ininii kk k kk kk xBzB zx uzBA сильно. После предельного перехода в неравенстве 0),( ),(),(  yzpu inin kk ),(dom ii BAy  ,)( yBAp ii  получим 0),0(  ywp )(dom ii BAy  .)( yBAp ii  Поскольку операторы ii BA  являются максимальными монотонными, то в силу леммы 1 имеем wBA ii )(0  , .Ii Докажем, что .0),(lim 010    zxzx n n (15) Рассмотрим такую подпоследовательность ),( knx что .),(lim),(lim 01000 zxzxzxzx n n n k k    Можно считать, что Swx kn  слабо. Тогда получаем ,0),(),(),(lim 0000   xPwxPxzwzxzxzx SSn k k чем и доказываем (15). Из (15), неравенства           2 0),(0 2 01 )1()( zvzxzx ini Ii nnn     ),(2)1( 010 2 0),( 2 zxzxzv nnini Ii n ),(2)1( 010 2 0 zxzxzx nnnn   и леммы 3 делаем вывод, что .00  zxn Из (12), (14) получаем 00),(  zz in и .00),(  zv in Изучим вариант б). В этом случае рассмотрим последовательность номеров )( km со свойствами (лемма 2): (i) km   ; (ii) 001 zxzx kk mm  для всех ;1nk  (iii) 001 zxzx kmk  для всех .1nk  Из (10) и (ii) следует     2 ),( 22 2 ),(1 )1( immimi Ii imi Ii m kkkkk zxLvx .2,2 2 1 01),( 2 ),(),( kkkkkk mmimi Ii mjmimji IjIi Mzxxvvv           (16) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 29 Отсюда     0limlimlim ,,),(),(1      jmim k imm k imi Ii m k kkkkkk vvzxvx . Кроме того, из леммы 5 следует 0lim ),(),(   imim k kk vz .Ii Рассуждениями, подобными изложенным выше, показываем, что частичные слабые пределы последовательностей )( kmx и )( ),( imk z принадлежат множеству S. Пусть wv Ii imi jk   ),( слабо. Тогда для всех Ii имеем wv im jk ),( слабо и Swz im jk ),( слабо. Из (16) следует 0, 01),(          zxxv kk mimi Ii .1nk  (17) Запишем тождество   2 0),( zv imi Ii k          01),( , zxxv kk mimi Ii           1),(),( , kkk mimi Ii imi Ii xvxv ., 0),(0         zvxz imi Ii k Учитывая неравенство (17), получаем   2 0),( zv imi Ii k          1),(),( , kkk mimi Ii imi Ii xvxv ., 0),(0          zvxz imi Ii k (18) Поскольку ,0, 1),(),(          kkk mimi Ii imi Ii xvxv ,0),(, 000),(0             zwxzzvxz imi Ii jk то из (18) следует .0,limlim 0),(0 2 0),(                   zvxzzv imi Iij imi Iij jkjk Таким образом, .0lim 0),(   zv imi Iij jk Из ограниченности         ),( imi Ii k v и единственности xPz S0 следует .0lim 0),(   zv imi Iik k Далее имеем .0lim 01   zx km k Учитывая условие (iii), получаем .0lim 0   zxn n Отсюда, в свою очередь, следует .0limlim 0),(0),(   zvzz in n in n ■ 30 ISSN 0572-2691 Заключение В данной статье предложен алгоритм решения системы операторных вклю- чений с максимальными монотонными операторами, действующими в гильберто- вом пространстве. Доказана теорема о сильной сходимости порожденных алго- ритмом последовательностей. От операторов не требуется условий обратной сильной монотонности. Заметим, что условие           iIi n L ba 1 min,0],[ в алгоритме не является конструктивным и имеет, скорее, теоретическое значе- ние. На практике величину n можно получить дроблением какой-нибудь на- чальной величины 0 за конечное число шагов. Например,                                 , 2 , 2 )2( )2( max:0min)( )( 2 2 njn j nni j A nini j Ai Ii xxBEJ xBxBEJB jnj i j i j где ,0 )1,0( — заданные параметры (см. [13, 15]). Заметим, что в этой схеме дробления необходимо вычислять значения композиций ),2()2( 1 i j i j BEAE   что может сказаться на общей вычислительной эффективности метода. Используя идеи работ [32–36], можно предложить следующие схемы по- строения сильно сходящихся аппроксимаций решений системы (1):                            , },0),(:{ ,max: ),( ),( , 1 ),( ),(),(),( ),( 1 xPx xxzxHzQ zxzvHzC xBzBzv xBxJz Hxx nn in QCn nnn nin Ii n niinininin ninnAin                              , ,max: ),( ),( , , 11 ),(1 ),(),(),( ),( 1 1 xPx zxzvHzCC xBzBzv xBxJz HC Hxx n in Cn nin Ii nn niinininin ninnAin  где . 1 min,0],[           iIi n L ba В последующих публикациях мы планируем уделить внимание деталям, связанным с этими схемами. Основным недостатком этих ите- рационных схем является возрастающая сложность многогранников, на которые проектируется точка x. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 31 В.В. Семенов СИЛЬНО ЗБІЖНИЙ МЕТОД РОЗЩЕПЛЕННЯ ДЛЯ СИСТЕМИ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ З МОНОТОННИМИ ОПЕРАТОРАМИ Запропоновано новий алгоритм розв’язання системи операторних включень з монотонними операторами, що діють в гільбертовому просторі. Алгоритм ба- зується на двох відомих методах: алгоритмі розщеплення Ценга та варіанті ал- горитму Гальперна для апроксимації нерухомих точок скінченної сім’ї нерозтя- гуючих операторів. Доведено теорему про сильну збіжність породжених алго- ритмом послідовностей. V.V. Semenov A STRONGLY CONVERGENT SPLITTING METHOD FOR SYSTEM OF OPERATOR INCLUSIONS WITH MONOTONE OPERATORS A novel algorithm for solving a system of operator inclusions with monotone opera- tors acting in a Hilbert space is proposed. The algorithm is based on two well-known methods: Tseng splitting algorithm and version of Halpern algorithm for approxima- tion of common fixed points of a finite family of nonexpansive operators. A theorem on the strong convergence of the sequences generated by the algorithm is proved. 1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М. : Мир, 1972. — 587 c. 2. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. — М. : Мир, 1983. — 256 c. 3. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. — М. : Наука, 1988. — 448 c. 4. Nagurney A. Network economics: A variational inequality approach. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1999. — 325 p. 5. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М. : Наука, 1989. — 400 c. 6. Bauschke H.H., Combettes P.L. Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces. — New York : Springer, 2011. — 408 p. 7. Konnov I.V. Combined relaxation methods for variational inequalities. — Berlin; Heidelberg; New York : Springer-Verlag, 2001. — 181 p. 8. Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequalities and complementarity prob- lem. — New York : Springer, 2003. — 2. — 666 p. 9. Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения. — Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2005. — 200 c. 10. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложе- ния. — М. : Изд-во МГУ, 1989. — 200 c. 11. Панин В.М., Скопецкий В.В., Лаврина Т.В. Модели и методы конечномерных вариационных неравенств // Кибернетика и системный анализ. — 2000. — № 6. — С. 47–64. 12. Xiu N., Zhang J. Some recent advances in projection-type methods for variational inequalities // J. Comput. Appl. Math. — 2003. — 152. — Р. 559–585. 13. Tseng P. A modified forward-backward splitting method for maximal monotone mappings // SIAM J. Control Optim. — 2000. — 38. — P. 431–446. 14. Корпелевич Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач // Экономика и математические методы. — 1976. — 12, № 4. — С. 747–756. 15. Хоботов Е.H. О модификации экстраградиентного метода для решения вариационных не- равенств и некоторых задач оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1987. — 27, № 10. — С. 1462–1473. 32 ISSN 0572-2691 16. Запорожец Д.Н., Зыкина А.В., Меленьчук Н.В. Сравнительный анализ экстраградиентных методов решения вариационных неравенств для некоторых задач // Автоматика и телеме- ханика. — 2012. — № 4. — С. 32–46. 17. Malitsky Yu.V., Semenov V.V. A hybrid method without extrapolation step by solving variational inequality problems // Journal of Global Optimization. — 2014. — DOI 10.1007/s10898-014- 0150-x. 18. Семенов В.В. О сходимости методов решения двухуровневых вариационных неравенств с монотонными операторами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2010. — № 2 (101). — С. 120–128. 19. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems // Continuous and distributed systems, solid mechanics and its applications / M.Z. Zgurovsky, V.A. Sadovnichiy (eds.). — New York : Springer, 2014. — 211. — P. 131–146. 20. Семенов В.В. О методе параллельной проксимальной декомпозиции для решения задач вы- пуклой оптимизации // Международный научно-технический журнал «Проблемы управле- ния и информатики». — 2010. — № 2. — С. 42–46. 21. Ляшко С.И., Семенов В.В., Войтова Т.А. Экономичная модификация метода Корпелевич для монотонных задач о равновесии // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 4. — C. 146–154. 22. Малицкий Ю.В., Семенов В.В. Вариант экстраградиентного алгоритма для монотонных ва- риационных неравенств // Там же. — 2014. — № 2. — С. 125–131. 23. Коннов И.В. О системах вариационных неравенств // Изв. вузов. Матем. — 1997. — № 12. — C. 79–88. 24. Censor Y., Gibali A., Reich S. A von Neumann alternating method for finding common solutions to variational inequalities // Nonlinear Analysis Series A : Theory, Methods & Applications. — 2012. — 75. — P. 4596–4603. 25. Censor Y., Gibali A., Reich S., Sabach S. Common solutions to variational inequalities // Set- Valued and Variational Analysis. — 2012. — 20. — P. 229–247. 26. Censor Y., Gibali A., Reich S. Algorithms for the split variational inequality problem // Numerical Algorithms. — 2012. — 59. — P. 301–323. 27. Halpern B. Fixed points of nonexpanding maps // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73. — P. 957–961. 28. Xu H.K. Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings // J. Math. Anal. Appl. — 2004. — 298. — P. 279–291. 29. Mainge P.-E. Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and non- strictly convex minimization // Set-Valued Analysis. — 2008. — 16. — P. 899–912. 30. Денисов С.В., Семенов В.В. Проксимальний алгоритм для дворівневих варіаційних нерівно- стей: сильна збіжність // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2011. — № 3 (106). — C. 27–32. 31. Апостол Р.Я., Гриненко А.А., Семенов В.В. Ітераційні алгоритми для монотонних дворівне- вих варіаційних нерівностей // Там же. — 2012. — № 1 (107). — C. 3–14. 32. Nadezhkina N., Takahashi W. Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz-continuous monotone mappings // SIAM J. Optim. — 2006. — 16, N 4. — P. 1230–1241. 33. Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. Strong convergence theorems by hybrid methods for fami- lies of nonexpansive mappings in Hilbert spaces // J. Math. Anal. Appl. — 2008. — 341. — P. 276–286. 34. Войтова Т.А., Денисов С.В., Семенов В.В. Сильно збіжний модифікований варіант методу Корпелевич для задач рівноважного програмування // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2011. — № 1 (104). — С. 10–23. 35. Семенов В.В. Об одной принципиальной схеме вычисления обобщенной проекции // Доп. НАН України. — 2013. — № 6. — С. 41–46. 36. Малицкий Ю.В., Семенов В.В. Схема внешних аппроксимаций для вариационных нера- венств на множестве неподвижных точек фейеровских операторов // Там же. — 2013. — № 7. — С. 47–52. Получено 01.07.2013

Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами

Institution

Similar Items