Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами
Доведено апріорні нерівності для лінійних інтегродиференціальних рівнянь з невід’ємно-визначеними інтегральними операторами. Сформульовано теорему існування та єдиності узагальненого розв’язку, неперервної залежності розв’язку від правої частини. Доведено існування оптимального керування системами,...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207802 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Название / ИОФамилия // Проблемы управления и информатики. — 2014. № 3. — С. ХХ-ХХ. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859483629675085824 |
|---|---|
| author | Аникушин, А.В. |
| author_facet | Аникушин, А.В. |
| citation_txt | Название / ИОФамилия // Проблемы управления и информатики. — 2014. № 3. — С. ХХ-ХХ. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Доведено апріорні нерівності для лінійних інтегродиференціальних рівнянь з невід’ємно-визначеними інтегральними операторами. Сформульовано теорему існування та єдиності узагальненого розв’язку, неперервної залежності розв’язку від правої частини. Доведено існування оптимального керування системами, що описуються вказаними рівняннями.
A priory inequalities for linear integro-differential equations with nonnegativedefinite integral operators are proved. The existence and uniqueness theorem of generalized solution is formulated as well as continuous dependence of solution on the right hand part. The existence of optimal control of systems which are described by given equations is proved.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:26:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.В. АНИКУШИН, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 33
УДК 517.977.5
А.В. Аникушин
ОБОБЩЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ, КОТОРЫЕ
ОПИСЫВАЮТСЯ ЛИНЕЙНЫМИ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННЫМИ
ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Многие прикладные проблемы физики, экологии, медицины и других областей
приводят к необходимости рассмотрения задач, которые содержат в правых частях
уравнения состояния системы обобщенные функции (импульсное, точечное, под-
вижное управление и т.п.) [1, 2]. В связи с этим существует большое количество ра-
бот по теории обобщенного управления, которые отличаются как типом исследуе-
мой системы, так и математической постановкой и подходами к решению. Так,
конфликтно-управляемым процессам посвящена работа [3], дифференциальным иг-
рам — работа [4], математическому моделированию «мягкой посадки» движущихся
объектов — работа [5], оптимальному управлению системами, которые описывают-
ся дифференциальными уравнениями в частных производных, — работы [6, 7],
численным методам теории оптимального управления — работа [8] и т.д.
Подавляющее большинство работ посвящено исследованию систем, которые
описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференци-
альными уравнениями в частных производных. В то же время теория интегро-
дифференциальных уравнений развита хуже. Интегродифференциальные уравне-
ния эллиптического типа, которые возникают в задачах теории плазмы и линей-
ной теории спиновых волн, исследуются, например, в [9, 10]. Изучению уравне-
ний параболического типа посвящены работы [11–14] и др. Такие уравнения опи-
сывают процессы переноса и диффузии и важны для решения различных задач в
физике (в теории переноса нейтронов, взаимодействия теплового излучения (фото-
нов) с нагретым веществом, диффузии магнитного поля в вещество), в элект-
родинамике неоднородных тел — проводников, в кибернетике и т.п. Уравнения
гиперболического типа рассматриваются, например, в работах [15, 16].
В данной статье рассматривается интегродифференциальные уравнение, в ко-
тором производные по пространственным переменными присутствуют лишь под
интегральным оператором Вольтерра. Исследуются условия разрешимости такого
уравнения в слабом смысле и существование оптимального управления система-
ми, которые описываются такими уравнениями.
1. Основные обозначения
Рассмотрим линейный оператор
d
x
xu
tKtxuLu
i
n
i
t
2
2
10
)(
)()(
где )( txu — функция, описывающая траекторию системы в области )0( TQ
где — ограниченная область в
nR с гладкой границей .
34 ISSN 0572-2691
Предположим, что ядро интегрального оператора )]0([)( 2
2 TLtK неот-
рицательно определено, т.е. оператор
dxutKBu
t
)()(
0
для произвольной ])0([2 TLf удовлетворяет условию
0)()()()(
00
2
dtdtfftKfBf
tT
L
Замечание 1. Ядра, которые удовлетворяют указанным условиям, существу-
ют. Примером могут быть функции вида
]0[)(0)()()(
1
TCtttK jjjjj
n
j
Отметим, что оператор )( 22 LLLB , причем
ddttKB
TT
)(2
00
2
(см., например, [17]).
Обозначим
BRW пополнение пространства гладких функций, которые удов-
летворяют граничному условию
0
u (1)
по норме
dQdtxuxutKdQtxuu
iiBR
xx
t
Q
n
iQ
W
)()()()(
01
22
)(
1
2
)( 22
)( QLxx
n
i
QL ii
uBuu
Замечание 2. Пространство
BRW является гильбертовым со скалярным про-
изведением
)()(
1
)( 222
)()(
2
1
)()( QLxxQLxx
n
i
QLW iiiiBR
uBvvBuvuvu
)(1
)(
2
2
)(
2
1
)(
QL
xx
n
i
QL ii
vuBBvu
Предположим, что для пространств
BRW и )(2 QL выполняется условие [18],
т.е. имеет место вложение пространств )(2 QLWBR
. Пусть
BRW — негативное
пространство, построенное по пространству
BRW относительно ),(2 QL
BRC обо-
значает пространство бесконечно дифференцированных функций, которые удовлет-
воряют условию (1). Вместе с оператором L рассмотрим сопряженный оператор
d
x
xv
tKtxvvL
i
n
i
T
t
2
2
1
)(
)()(
Областью определения операторов L и
L будем считать пространство
BRC
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 35
В дальнейшем через )(2
)( QL будем обозначать скалярное произведение в
),(2 QL а под
BRW
)( будем понимать билинейную форму, которая является рас-
ширением скалярного произведения с пространства )(2 QL на BRBR WW . Через
)(2 QL
обозначим норму пространства )(2 QL
2. Определения и постановка задачи
Рассмотрим задачу
BRWFFLu (2)
Определение 1. Решением задачи (2) с правой частью BRWF называется
функция ,)( BRWtxu для которой существует последовательность функций
)()( QCtxu BRi
такая, что
iFLuuu
BRBR WiWi 00
Определение 2. Сильным решением задачи (2) с правой частью BRWF на-
зывается функция ,)( BRWtxu для которой 0 FLu в пространстве
BRW
Определение 3. Слабым решением задачи (2) с правой частью BRWF назы-
вается функция BRWtxu )( такая, что равенство
BRBR WW
vFvLu )()( выполня-
ется для произвольных функций . BRWv
Аналогичным образом определяются решения сопряженной задачи.
Рассмотрим задачу оптимального управления. Пусть траектория системы
описывается уравнением
)(hAfLu (3)
где , BRWf а Uh — управление.
Допустимое множество управлений U лежит в пространстве H. На решени-
ях системы задан функционал )),(()( huhJ который нужно минимизировать на
множестве U В дальнейшем через )(hu будем обозначать решение задачи (3).
Пусть критерий качества имеет вид
,))(()()( 2
0
2
)(0
2
dQzhuzhuhJ
Q
QL
(4)
где BRWz0 — функция, которая описывает желаемую траекторию системы.
3. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Существует такая постоянная ,00 c что для произвольной функ-
ции
BRCu выполняется неравенство
BRWW
ucLu 0
Доказательство. Пусть E — тождественный оператор и рассмотрим били-
нейную форму
)()()()( 2222
)(),())(()( QLQLQLQL vuBvuvuBEvLu
36 ISSN 0572-2691
К первому слагаемому применим неравенство Коши–Буняковского
BRBR WWQLQLQL vuvuvu
)()()(
222
),(
Второе слагаемое проинтегрируем по частям:
dQdtxvuutKvuB
ii xx
tn
i
QL )()()(),(
01
)(2
)(
101
2
)()()()( QLxx
n
i
xx
tn
i
iiii
vBudQdtxvuutK
Для оценки этого слагаемого воспользуемся неравенством Коши–Буняковского
для билинейной формы с неотрицательным оператором [19]
2/1)))(((),(
iiiiii xxxxxx vBvuBuvBu
Имеем
2/1
1
)(
1
)( )))((()()(
22 iiiiii xxxx
n
i
QLxx
n
i
QL vBvuBuvBuvuB
BRBRiiii WWxx
n
i
xx
n
i
vuvBvuBu 2/1
1
2/1
1
)()(
Итак,
BRBR WWQL vuvLu 2)( )(2
Осталось разделить обе части неравенства
на норму
BRW
v и перейти к супремуму по переменной v.
Лемма 2. Существует такая постоянная ,00 c что для произвольной функ-
ции BRCu выполняется неравенство
BRWW
vcvL 0
Доказательство. Из доказательства леммы 1 имеем
BRBR WWQLQL vuvLuvLu 2)()( )()( 22
Осталось разделить обе части неравенства на норму
BRW
u и перейти к супре-
муму по переменной u.
Замечание 3. Доказанные неравенства позволяют продолжить операторы L и
L
с множества
BRC на все пространство
BRW по непрерывности. Причем неравенства,
указанные в леммах 1 и 2, будут справедливы уже для всех функций . BRWu
Лемма 3. Существует такая постоянная ,00 c что для произвольной функ-
ции , BRWu которая удовлетворяет условиям (1), выполняется неравенство
BRWW
ucLu 0
Доказательство. Пусть u — гладкая по пространственным переменным jx
Обозначим E тождественной оператор и рассмотрим уравнение vBEu )( Это
интегральное уравнение Вольтерра второго рода и для произвольной функции
)(2 QLu согласно [17] существует решение ).(2 QLv Тогда
)()()( 222
))(()()( QLQLQL vBEuvLuvLu
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 37
)()()( 222
)()())()(( QLQLQL vBvBvvvBEvBE
)()( 22
)()( QLQL vBvvvB
Используя граничные условия и интегрируя по частям, имеем
dQdxvtKdxvtKvBvB
T
t
xx
n
i
T
tQ
QL ii
)()()()()(
1
)(2
dQdxvtKdxvtK
ii x
T
t
x
T
tQ
n
i
)()()()(
1
,)(
2
)(
1
)(
1
22 QLx
n
i
QLxx
n
i
iii
vBvBvB
dQdtxvxvtKvvB
ii xx
n
i
T
tQ
QL )()()()(
1
)(2
)(
11
2
)()()()( QLxx
n
i
xx
T
tQ
n
i
iiii
vvBdQdtxvxvtK
Тогда
)()(
1
2
)(
1
2
)()( 22222
)()()( QLQLxx
n
i
QLx
n
i
QLQL vBvvvBvBvvLu
iii
2
)(
1
2
)()(
1
2
)( 2222
)()(
BRiiii WQLxx
n
i
QLQLxx
n
i
QL
vBvvvvvBv
Теперь докажем, что
BRBR WW
vcu Действительно,
)(
1
2
)(
2
22
)( QLxx
n
j
QLW jjBR
uBuuu
)(
1
2
)( 22
))()(()( QLxx
n
j
QL jj
vBEvBEBvBE
Поскольку оператор
BE непрерывен, то первое слагаемое оценим следующим
образом:
BRWQLQL
vcvBEvBE
)()( 22
)(
Для оценки второго слагаемого проведем такие преобразования:
)()( 22
))()(())()(( QLxxQLxx jjjj
vBEBvBEvBEvBEB
)()()()( 2222
)()()()( QLxxQLxxQLxxQLxx jjjjjjjj
vBBvBvBBvvBvBvBv
Здесь
2
)()(
2
)()(
2222
)()()(
QLxQLxxWQLxxQLxx jjjBRjjjj
vBvBvBvvBvvBv
Согласно неравенству Коши–Буняковского
)()()()(
2222
)()(
QLxQLxQLxxQLxx jjjjjj
vBvBvBBvvBBv
38 ISSN 0572-2691
Имеем
)()()(
222
)(
QLxQLxQLxx jjjj
vBBvBvBBvB
2
)()()( 222 QLxQLxQLx jjj
vBBvBBvB
Теперь воспользуемся такой оценкой [19]:
BRiii WQLxxQLx vcvvBBvB 2/1
)(
2/1
)( 22
)(
BRiii WQLxxQLx vcvBvBBv 2/1
)(
2/1
)( 22
)(
Итак,
2
)(2
))()((
BRjj WQLxx vcvBEvBEB
Значит,
BRBR WW
vcu Таким образом,
BRBRBRBRBR WWWQLWW
uvcvvLuvLu 0
2
)(2
)(
для элементов u из плотного в пространстве
BRW множества. Для других u ут-
верждение леммы следует из предельного перехода.
Аналогично лемме 3 можно доказать следующее утверждение.
Лемма 4. Существует такая постоянная ,00 c что для произвольной функ-
ции , BRWu которая удовлетворяет условию (1), выполняется неравенство
BRWW
ucuL 0
Замечание 4. Нормы
BRW
и
)()(
1
2
)(
1
2
)( 2222
)()( QLQLxx
n
i
QLx
n
i
QL
vBvvvBvBvv
iii
эквивалентны. Понятно, что нужно доказать лишь неравенство .
BRW
c Пусть
)(Cv Поскольку )()( 22 QLQLB — непрерывный оператор, то билиней-
ная форма )(2
)( QLvBv также ограничена, т.е.
22
)()(
22
)(
BRWQLQL vcvBvBv
Снова применим оценку из [19]:
BRiii WQLxxQLx vcvvBBvB 2/1
)(
2/1
)( 22
)(
откуда и следует нужное утверждение.
Таким образом, для операторов LL выполняются оценки
BRBRBR
BRBRBR
WWW
WWW
vcvLvc
ucLuuc
1
1
На основании этих оценок и методики, изложенной в работе [20], сформулируем
теоремы о разрешимости задачи (2).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 39
Теорема 1. Определения 1–3 эквивалентны.
Теорема 2. Для произвольного элемента BRWF существует и единственно
решение задачи (2) в смысле определений 1–3.
Теорема 3. Существует постоянная 0c такая, что для произвольного эле-
мента BRWF имеет место неравенство
BRBR WW
Fcu
где u — решение задачи FLu в смысле определений 1–3.
Замечание 5. Аналогичные теоремы можно сформулировать и для сопряжен-
ной задачи.
4. Оптимальное управление
Используя методику, изложенную в работе [20], докажем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть выполнены такие условия:
1) критерий качества RWBR )( слабо полунепрерывный снизу на реше-
ниях системы u;
2) множество допустимых управлений HU замкнуто, выпукло и ограни-
ченно в пространстве H;
3) H — рефлексивное пространство;
4) )(hA — слабо непрерывный оператор, который действует из пространства
H в );(2 QL
5) для операторов L и
L имеют место оценки
BRBRBR
BRBRBR
WWW
WWW
vcvLvc
ucLuuc
1
1
Тогда существует оптимальное управление системой (3).
Доказательство. Выберем последовательность
Uh kk 1}{ такую, что
khJhJ
Uh
k )(inf)(
Поскольку множество U ограниченно, замкнуто и выпукло в рефлексивном прос-
транстве, то оно является компактным в слабой топологии. Выделим подпоследова-
тельность },{
nkh которая слабо стремится к некоторому элементу
Uh Тогда
nkAh будет также слабо сходящейся, а значит, и ограниченной в
пространстве
BRW [21]. Из теоремы 3 следует, что ,
BRBR WW
Fcu где u —
решение задачи (2) с правой частью F. Поэтому последовательность обобщенных
решений ,
nku соответствующих управлениям ,
nkh также будет ограниченной.
Тогда из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность
uu w
k
jn
в пространстве .
BRW Имеем
BRjnBRjn WkWk vhFuvL ))(()(
для произвольной . BRWv
40 ISSN 0572-2691
Поскольку AhFhF )( — слабо непрерывное отображение, то
BRBRjn WWk vhFvhF ))(())((
и вместе с тем имеем
BRBRjn WWk uvLuvL )()(
Отсюда следует, что u — решение задачи )( hFLu в смысле определения 3.
Поскольку по условиям теоремы функционал качества слабо полунепрерывный
снизу, то
)(inf)(lim)( hJhJhJ
Uh
k
jn
Пусть критерий качества имеет вид 4, тогда, учитывая леммы 1, 3, получен-
ные априорные оценки в негативных нормах, и опираясь на теорему 4, можем ут-
верждать, что для системы (3) справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть траектория системы описывается как решение задачи (3),
множество допустимых управлений HU замкнуто, выпукло и ограниченно в
рефлексивном пространстве H, а )(hA — слабо непрерывный оператор, который
действует из пространства H в ).(2 QL Тогда существует оптимальное управление
системой (3).
Таким образом, при сделанных предположениях всегда существует оптималь-
ное управление системой (3).
А.В. Анікушин
УЗАГАЛЬНЕНЕ ОПТИМАЛЬНЕ
КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ, ЩО ОПИСУЮТЬСЯ
ЛІНІЙНИМИ ІНТЕГРОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ
РІВНЯННЯМИ З НЕВІД’ЄМНО-ВИЗНАЧЕНИМИ
ІНТЕГРАЛЬНИМИ ОПЕРАТОРАМИ
Доведено апріорні нерівності для лінійних інтегродиференціальних рівнянь з
невід’ємно-визначеними інтегральними операторами. Сформульовано теорему
існування та єдиності узагальненого розв’язку, неперервної залежності розв’яз-
ку від правої частини. Доведено існування оптимального керування системами,
що описуються вказаними рівняннями.
A.V. Anikushyn
GENERALIZED OPTIMAL CONTROL
FOR SYSTEMS, WHICH ARE DESCRIBED
BY LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL
EQUATIONS WITH NONNEGATIVE-DEFINITE
INTEGRAL OPERATORS
A priory inequalities for linear integro-differential equations with nonnegative-
definite integral operators are proved. The existence and uniqueness theorem of gen-
eralized solution is formulated as well as continuous dependence of solution on the
right hand part. The existence of optimal control of systems which are described by
given equations is proved.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 41
1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М. :
Наука, 1975. — 568 с.
2. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. —
М. : Наука, 1987. — 596 с.
3. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. — Boston; London; Dordrecht : Kluwer Academic
Publishers, 1997. — 424 p.
4. Жуковский В.Н., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. — Киев :
Наук. думка, 1994. — 320 с.
5. Albus J., Meystel A., Chikrii A.A. Soft landing of moving objects. — NIST, Gaithersburg, USA,
Inst. of Cybernetics, Kyiv, Ukraine, 1998. — 137 p.
6. Lyashko S.I. Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. — Bos-
ton; Dordrecht; London : Kluwer Academic Publishers, 2002. — 466 p.
7. Lyashko S.I., Nomirovskii D.A. The generalized solution and optimal control in system describing
the dynamics of a viscous stratified liquid // Differential Equations. — 2003. — 39, N 1. —
P. 84–91.
8. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах опти-
мального управления. — Киев : Наук. думка, 1978. — 164 с.
9. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные
уравнения соболевского типа. — М. : Физматлит, 2007. — 734 с.
10. Анікушин А.В. Узагальнена розв’язність лінійних інтегродиференціальних рівнянь еліп-
тичного типу // Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Сер.: фіз.-мат. науки. —
2010. — № 3. — С. 163–168.
11. Анікушин А.В. Оптимальне керування інтегродиференціальними системами параболічного
типу // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2010. — № 3. — С. 3–16.
12. Акименко В.В., Наконечный А.Г., Трофимчук О.Ю. Моделирование процессов конвекции-
диффузии на основе многомерного интегродифференциального уравнения с
вырoждающейся параболичностью // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. —
С. 83–96.
13. Акименко В.В., Наконечный А.Г., Трофимчук О.Ю. Модель оптимального управления сис-
темой интегродифференциальных уравнений с вырождающейся параболичностью // Там
же. — 2007. — № 6. — С. 90–102.
14. Jingtang M. Finite element and DG analysis for neutral-type Volterra integro-differential equa-
tions with weakly singular kernels // J. Math. Anal. Appl. — 2009. — 356. — P. 674–688.
15. Loreti P., Sforza D. Exact reachability for second-order integro-differential equations // C. R. Acad.
Sci. Paris. — 2009. — Ser. I, N 347. — P. 1153–1158.
16. Loreti P., Sforza D. Reachability problems for a class of integro-differential equations // Journal
of Differential Equations. — 2010. — 248, N 7. — P. 1711–1755.
17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. —
M. : Наука, 1981. — 543 c.
18. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — M. : Наука, 1972. — 544 c.
19. Кадец В.М. Курс функционального анализа. — Х. : Харьков. нац. ун-т, 2004. — 503 с.
20. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. — Киев : Наук. думка,
1998. — 468 c.
21. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операто-
ров. — Киев : Наук. думка, 1965. — 789 c.
Получено 10.10.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:26:30Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аникушин, А.В. 2025-10-14T08:25:28Z 2014 Название / ИОФамилия // Проблемы управления и информатики. — 2014. № 3. — С. ХХ-ХХ. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207802 517.977.5 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i6.60 Доведено апріорні нерівності для лінійних інтегродиференціальних рівнянь з невід’ємно-визначеними інтегральними операторами. Сформульовано теорему існування та єдиності узагальненого розв’язку, неперервної залежності розв’язку від правої частини. Доведено існування оптимального керування системами, що описуються вказаними рівняннями. A priory inequalities for linear integro-differential equations with nonnegativedefinite integral operators are proved. The existence and uniqueness theorem of generalized solution is formulated as well as continuous dependence of solution on the right hand part. The existence of optimal control of systems which are described by given equations is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами Узагальнене оптимальне керування системами, що описуються лінійними інтегродиференціальними рівняннями з невід'ємно визначеними інтегральними операторами Generalized optimal control for systems, which are described by linear integro-differential equations with nonnegative definite integral operators Article published earlier |
| spellingShingle | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами Аникушин, А.В. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| title_alt | Узагальнене оптимальне керування системами, що описуються лінійними інтегродиференціальними рівняннями з невід'ємно визначеними інтегральними операторами Generalized optimal control for systems, which are described by linear integro-differential equations with nonnegative definite integral operators |
| title_full | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| title_fullStr | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| title_full_unstemmed | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| title_short | Обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| title_sort | обобщенное оптимальное управление системами, которые описываются линейными интегродифференциальными уравнениями с неотрицательно-определенными интегральными операторами |
| topic | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet | Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207802 |
| work_keys_str_mv | AT anikušinav obobŝennoeoptimalʹnoeupravleniesistemamikotoryeopisyvaûtsâlineinymiintegrodifferencialʹnymiuravneniâmisneotricatelʹnoopredelennymiintegralʹnymioperatorami AT anikušinav uzagalʹneneoptimalʹnekeruvannâsistemamiŝoopisuûtʹsâlíníinimiíntegrodiferencíalʹnimirívnânnâmiznevídêmnoviznačenimiíntegralʹnimioperatorami AT anikušinav generalizedoptimalcontrolforsystemswhicharedescribedbylinearintegrodifferentialequationswithnonnegativedefiniteintegraloperators |