Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением
Розглянуто алгоритм перевірки якості апроксимації часових даних. Запропонована автором апроксимація перетворює первинний часовий ряд у фрактальний броунівський рух (fBm). Перевіряється статистична гіпотеза: перетворені дані утворюють прирости fBm. Обчислення, виконані на реальних даних, підтверджуют...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207808 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 102-108. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860181889982136320 |
|---|---|
| author | Бондаренко, В.В. |
| author_facet | Бондаренко, В.В. |
| citation_txt | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 102-108. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглянуто алгоритм перевірки якості апроксимації часових даних. Запропонована автором апроксимація перетворює первинний часовий ряд у фрактальний броунівський рух (fBm). Перевіряється статистична гіпотеза: перетворені дані утворюють прирости fBm. Обчислення, виконані на реальних даних, підтверджують згадану гіпотезу, що свідчить про ефективність методу апроксимації.
The approximation algorithm for checking the approximation quality of temporary data is considered. This approximation presented by the autor, transforms the original time series to fractional Brownian motion (fBm). The statistical hypothesis has been checked: the transformed data form the increments fBm. Calculations performed for real data confirm the mentioned hypothesis and algorithm efficiency.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. БОНДАРЕНКО, 2014
102 ISSN 0572-2691
УДК 519.246;519.254
В.В. Бондаренко
ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА АППРОКСИМАЦИИ
ВРЕМЕННОГО РЯДА ФРАКТАЛЬНЫМ
БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
Постановка задачи. Построение математической модели для наблюдаемых
данных временного ряда nSS 1 состоит, как правило, из нескольких этапов.
Первичная обработка-сглаживание, удаление тренда, логарифмирование и т.д.
приводит к «улучшенному» временному ряду ,1 nxx который далее именуется
исходным.
Математическая модель исходного ряда определяется как случайный процесс
X(t), для которого .
n
k
Xxk Естественно выбрать X из класса хорошо изучен-
ных процессов. Так, модель не должна быть марковской (отсутствие последейст-
вия нереально).
Одним из примеров модели является процесс ),()( tBtX H где )(tBH —
фрактальное броуновское движение fBm с показателем Харста H, ,0)0( HB оп-
ределяемое как гауссов процесс с нулевым математическим ожиданием и кова-
риационной функцией
.0,,
2
))()((
222
st
stst
sYtY
HHH
Приращения fBm
n
k
B
n
k
By HHk
1
образуют гауссову стационарную
последовательность.
Изучение свойств fBm начинается с работы B.B. Mandelbrot, I.W. Van Ness [1]
и активно продолжаются в публикациях J. Beran [2], R.F. Peltier [3], J-F.Coeurjo-
lly [4, 5], Y. Mishura [6], J.M. Corcuera, D. Nualart и J.H.C. Woerner [7], I. Nour-
din [8–12]. Так, статистики fBm рассмотрены в [2], а предельные теоремы для не-
которых статистик от выборки из fBm впервые доказаны в [3] и обобщены в рабо-
тах упомянутых выше авторов. В [13] предложен алгоритм одновременного оце-
нивания параметров H и .
Пусть nxx 1 — исходный временной ряд, .1 kkk xxy Рассмотрим од-
номерное обратимое преобразование приращений ),( kk ygz где функция g
подбирается таким образом, чтобы некоторые характеристики последовательно-
сти }{ kz совпадали с соответствующими характеристиками гауссовой последова-
тельности ,
1
n
k
B
n
k
B HHk т.е. }{ kz эмпирически предполагается «по-
хожим» на приращение fBm. Из упомянутых характеристик для fBm рассмотрим
статистику
.
2
)(E,
1
1
1
1
)(
2
2
2
2
nn
k
k
n
k
k
n d
n
n
d
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 103
В работе [3] доказана сходимость .1,/2)( Pdn Назовем последова-
тельность }{ kz аппроксимирующей приращения fBm, если с вероятностью 1 име-
ет место сходимость
.,
2
1
1
1
1
)(
2
2
2
2
n
z
n
z
n
zd
n
k
k
k
n
k
n
Для выборки конечного объема последнее соотношение означает приближенное ра-
венство ./2)( zdn Выбор характеристики nd для сравнения последовательно-
стей }{ kz и }{ k объясняется сходимостью статистик степенного типа, а именно
предельными соотношениями:
,1
jn
jn
R
R
;n ,
1
1
j
k
n
k
jn
n
R
доказанными в [3]. Из этих же соображений в работе [14] функция g выбрана
степенной:
,sgn /1 kkk yyz .0,sgn
kkk zyy
Алгоритм построения аппроксимирующей последовательности (т.е. выбор )
приведен в [14] и состоит в следующем. Рассмотрим эту же статистику для ис-
ходного временного ряда:
.
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k
n
k
n
z
n
z
n
y
n
y
n
yd
Предполагая kz приращениями fBm, приходим к соотношению
.
2
1
2
1
1
)(
2
ydn
Приравнивая nd к предельному значению, находим параметр . Рассмотрен-
ная процедура аппроксимации реального временного ряда базируется на значении
одного параметра nd и, вообще говоря, не гарантирует гауссовости преобразован-
ных приращений .kz Проверить свойства этих приращений позволяют предельные
теоремы для фрактального броуновского движения, доказанные в работах [7–12].
Пусть ,10),( ttB — фрактальное броуновское движение с показателем Харс-
та H, f — дважды дифференцируемая функция, для которой ,))((( )(
pk tBf
pk ;2,1 — натуральное число. Обозначим
).1;0(~
1
N
n
k
B
n
k
BnH
k
104 ISSN 0572-2691
В работах [7–12] доказаны следующие предельные соотношения:
,
2
1
;0,))((
2
3
1
0
3
1
HdssBf
n
k
Bf
n
n
k
n
k
H
(1)
,
4
1
;0,))((
4
1
)1(
1
0
2
1
2
HdssBf
n
k
Bf
n
n
k
n
k
H
(2)
.1;
2
1
,)(3
1
)1(
0
3
B
kH
Hdxxf
n
k
Bf
n
(3)
Здесь сходимость понимается в среднеквадратичном: ,n если .0)( 2 n
Обозначая
,
1
1
j
k
j
H
k
n
k
Bn
и полагая в формуле (1) f (x) x и ,)( 2xxf приходим к следующим соотношениям:
,
2
1
;0,
2
31 3
1
H
n
k
n
k
k (4)
,
2
1
;0,3
1 32
1
H
n
kkH
(5)
где .
22
1
;0
H
Полагая в формуле (2) ,)( 2xxf получаем
.
4
1
;0,
2
1
)1(
1 2
1
2
H
n
k
n
k
k (6)
Формулу (3) для f (x) x и f (x) 1 приведем к виду
.1;
2
1
),1(3
1
,1;
2
1
),1(
2
31
3
1
23
1
2
HB
n
HB
n
k
n
k
H
k
n
k
kH
(7)
Соотношения (4)–(7) позволяют проверить гипотезу T: полученные преобразова-
нием статистики nzz 1 пропорциональны приращениям фрактального броунов-
ского движения. Алгоритм такой проверки при известном H приведен ниже.
Иллюстрация предельных теорем для фрактального броуновского дви-
жения. Пусть k — нормированные приращения fBm, полученные методом ими-
тационного моделирования. Обозначим
n
k
kz
n
c
1
21
и предположим
.
1
n
k
B
n
k
Bnccz H
kk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 105
Будем считать, что
1
1
k
j
jk zv и построим статистики:
,
1 3
kkn zv
n
A если ;
2
1
;0
H
32
1
1
kkHn zv
n
B
, если ;
2
1
;0
H
,1
1 2
2
c
z
v
n
C k
kn если ;
4
1
;0
H ,
1 3
2 kkHn zv
n
D если .1;
2
1
H
Если гипотеза T верна, то имеет место сходимость
.
2
3
,
2
,3,
2
3 222/52 BcD
c
CcBcA nnnn (8)
Таким образом, алгоритм проверки качества аппроксимации представляет собой
сравнение упомянутых статистик с предельными значениями. Гипотеза Т при-
нимается, если отклонение статистики от ее предельного значения мало. Послед-
нее утверждение уточняется ниже.
В качестве иллюстрации рассмотрим процедуру проверки гипотезы Т для ге-
нерируемых значений fBm, c 1. Значения статистик nnnn DCBA ,,, приведены
в таблице.
Так как предельные распределения для nB и nD известны, то гипотеза T
принимается, если выполняются неравенства ,0, 21 nn DB где k —
квантили распределений, определяемые равенствами
,1
3
2}|{| 1
1 pBP n
,1
3
2
2}0{ 22 pDP n
где
,
22
1
H
— функция Лапласа, 1-p=0,1 — выбранный уровень значи-
мости (ошибка первого рода). Приведем значения квантилей: ,0,3;1,3;2,31 со-
ответственно для ,4,0,3,0;2,0H 1,42 для .8,0;7,0;6,0H Предельные зна-
чения nA и nC равны 5,1 и .5,0 Значения nB и nD из таблицы концентрируют-
ся около нуля, гипотеза T принимается.
Таблица
H n nA nB nC nD
0,2
256 1,19 0,25 0,78
1024 2,1 0,17 0,6
4096 1,6 0,08 0,62
0,3
256 1,07 0,13
1024 1,85 0,099
4096 1,48 0,072
0,4
256 1,14 0,11
1024 1,76 0,082
4096 1,54 0,063
0,6
256 0,21
1024 0,13
4096 0,09
0,7
256 0,14
1024 0,072
4096 0,044
0,8
256 0,14
1024 0,019
4096 0,031
106 ISSN 0572-2691
Качество аппроксимации для реальных временных рядов. Рассмотрим
приложения описанного алгоритма аппроксимации и проверку его качества к ре-
альным временным рядам. Первый пример —ежедневные данные солнечной ак-
тивности (в числах Вольфа) (366 данных, ftp://ftp.ngdc.noaa.gov). После первичной
обработки (вычитание линейной аппроксимации тренда) получим исходный вре-
менной ряд 3651 xx с приращениями .365,,2,1,1 kxxy kkk Значение
статистик
,04,0
365
1
;141,0
365
1 2
2
1
1
kn
k
kn yRyR ,4,1,5,0 d
т.е. .365,,1,sgn
7,0
kyyz kkk Оценивание параметра H по алгоритму, при-
веденному в [13], приводит к значению .6,0ˆ H
Второй пример: финансовые данные — значения банковской процентной
ставки S(t), всего 337 данных (http://bank.gov.ua/control/uk/index). При известном
минимуме процентной ставки a НБУ (a S(t)) определим процесс X(t) формулой
)},(exp{)( tXbatS т.е. ,085,0,
)0(
)(
ln)(
a
aS
atS
tX
где коэффициент b выбран таким, чтобы S(0) 0. Для дискретного времени
n
k
t
1
имеем
.0,ln
1
1
1
x
aS
aS
n
k
Xx k
k
Рассмотрим приращения kkk xxy 1 и вычислим определенные выше статистики:
.334,0;541,0;425,0
2
2
1
21
n
n
nnn
R
R
dRR
Поскольку nd существенно отличается от ,637,0/2 перейдем к новой после-
довательности },{ kz ,2 т.е. .sgn,sgn
2
kkkkkk yyzzyy Предпола-
гая, что преобразованные данные 3361,.., zz образуют приращения fBm, оценим
параметр H. Применяя алгоритм оценивания, получаем .3,0ˆ H
Третий пример — ежемесячные данные рыночной ставки Бундесбанка ФРГ
(www.bundesbank.de) за 2003–2012 гг., всего 120 данных.
Перейдя к приращениям ,1 kkk xxy вычислим
.59,0,3,3
119
1
,39,1
119
1
2
2
1
119
1
2
2
119
1
1
n
n
n
k
kn
k
kn
R
R
dyRyR
Так как значение nd мало отличается от гауссового, то ,1 т.е. .kk yz Оцен-
ка значения параметра Харста приводит к значению .4,0ˆ H
В рассмотренных примерах алгоритм оценивания параметра H для fBm при-
водит к единственному его значению. Применение этого алгоритма к аппрокси-
мирующей последовательности nzz 1 из-за погрешностей аппроксимации может
привести к наличию множества значений этого параметра. Рассмотрим четвертый
пример — данные nSS 1 обменного курса евро/доллара, всего 1218 данных за
2005–2009 гг. (http://www.banque-france.fr). Полагая ,100,1 kkkkk yuxxy
вычислим статистики nR1 и ,2nR n 1217:
089,0,52,0
1
,215,0
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
k
kn
n
k
kn
R
R
du
n
Ru
n
R
(параметр ).4
ftp://ftp.ngdc.noaa.gov/
http://bank.gov.ua/control/uk/index
http://www.bundesbank.de/
http://www.banque-france.fr/
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 107
Для преобразованной последовательности, определенной равенством kk uz sgn
,4
ku запишем аналогичные статистики:
.68,0;84,0
1
;76,0
1 2
2
1
1
nkn
n
k
kn dz
n
rz
n
r
Алгоритм оценивания приводит к двум значениям параметра Харста: ;3,0ˆ
1 H
.8,0ˆ
2 H Проверим качество аппроксимации для каждого примера. Для первого
примера запишем
,144,0
1
1
2
n
k
kz
n
c ,002,0
1 3
2,1
kkn zv
n
D .1,0
2
c
Dn
В условиях гипотезы T статистика 2/ cDn распределена по закону
.0,1
3
2
2)(
xxxF
Поскольку для уровня значимости 0,1 ,1,4/ 2
2 cDn то гипотеза T принима-
ется, т.е. аппроксимацию данного временного ряда следует признать удовлетво-
рительной.
Для второго примера значения банковской процентной ставки запишем
.425,0
1
;3,0,336
1
2
n
k
kz
n
cHn
Значение статистик имеет вид
.08,0
335
1
;16,0
335
1 3
335
1
2
3,1
3
335
1
k
k
knk
k
kn zvBzvA
Теоретическое предельное значение запишем
.27,05,1lim 2
cAn
n
Сравнивая с погрешностью для «идеальных» данных, приведенных в таблице,
можно признать, что реальное значение nA согласуется с гипотезой T.
Если T выполнена, то статистика
2/5cBn распределена по гауссовому зако-
ну. Получено значение .68,02/5 cBn Так как ,07,31
2/5 cBn гипотеза T
принимается.
Для третьего примера рассмотрим данные рыночной ставки Бундесбанка
ФРГ: ,3,3
1
;4,0;119
1
2
n
k
kz
n
cHn при этом значения статистик имеют вид
,04,0;75,1;8,0;1,19 2/52 cBcABA nnnn что согласуется с гипо-
тезой T.
В четвертом примере при оценивании параметра H получен неоднозначный
ответ. Вычислим значение статистики
.69,0
1 3 kkn zv
n
A
108 ISSN 0572-2691
Поскольку для ,02/1 nAH следует принять решение в пользу гипотезы
H = 0,3. (Теоретическое значение nA равно .)0,1)84,0(5,1 2
Для данных примеров аппроксимация исходного временного ряда может
быть признана удовлетворительной.
В.В. Бондаренко
ПЕРЕВІРКА ЯКОСТІ АПРОКСИМАЦІЇ ЧАСОВОГО
РЯДУ ФРАКТАЛЬНИМ БРОУНІВСЬКИМ РУХОМ
Розглянуто алгоритм перевірки якості апроксимації часових даних. Запропоно-
вана автором апроксимація перетворює первинний часовий ряд у фрактальний
броунівський рух (fBm). Перевіряється статистична гіпотеза: перетворені дані
утворюють прирости fBm. Обчислення, виконані на реальних даних, підтверд-
жують згадану гіпотезу, що свідчить про ефективність методу апроксимації.
V.V. Bondarenko
CHECKING THE QUALITY OF APPROXIMATION
OF THE TIME SERIES BY THE FRACTAL
BROWNIAN MOTION
The approximation algorithm for checking the approximation quality of temporary
data is considered. This approximation presented by the autor, transforms the original
time series to fractional Brownian motion (fBm). The statistical hypothesis has been
checked: the transformed data form the increments fBm. Calculations performed for
real data confirm the mentioned hypothesis and algorithm efficiency.
1. Mandelbrot B.B., Ness I.W. The fractional Brownian motion, fractional noises and applications //
SIAM Review. — 1968. — 10, N 4. — P. 422–437.
2. Beran J. Statistics for long-memory processes. — London : Chapman and Hall, 1995. — 315 p.
3. Peltier R.F. Levy Vehel J. A new method for estimating the parameter of fractional Brownian mo-
tion / Rap. de recherché de l’INRIA, N 2396, 1994. — 27 p.
4. Coeurjolly J.-F. Simulation and identification of the fractional Brownian motion: A bibliographi-
cal and comparative study // Journal of Statistical Software. — 2000. — 5, N 7. — P. 1–52.
5. Coeurjolly J.-F. Hurst estimation of locally self-similar Gaussian processes using sample quan-
tiles // The Annals of Statistics. — 2008. — 36, N 3. — P. 1404–1434.
6. Mishura Y. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes // Lecture
Notes in Mathematics. — 2008. — 1929. — 392 p.
7. Corcuera J.M., Nualart D., Woerner J.H.C. Power variation of some integral fractional processes
// Bernulli. — 2006. — 12. — P. 713–735.
8. Nourdin I. A simple theory for the study of SDEs driven by a fractional Brownian motion, in di-
mension one // Séminaire de Probabilités. — 2008. — XLI. — P. 181–197.
9. Nourdin I. Asymptotic behavior of weighted quadratic and cubic variations of fractional Brow-
nian motion // Ann. Probab. — 2008. — 36, N 6. — P. 2159–2175.
10. Nourdin I., Nualart D. Central limit theorems for multiple Skorokhod integrals // Journal of Theo-
retical Probability. — 2010. — 23, N 1. — P. 39–64 (arXiv:0707.3448).
11. Nourdin I., Peccati G. Weighted power variations of iterated Brownian motion // Electron. J.
Probab. — 2007. — 13. — P. 1229–1256.
12. Nourdin I., Nualart D., Tudor A. Central and non-central limit theorems for weighted power
variations of fractional Brownian motion // Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. — 2010. — 46,
N 4. — P. 1055–1079.
13. Бондаренко В.В. Итерационный алгоритм оценивания параметров фрактального броунов-
ского движения // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». — 2012. — № 4. — С. 28–33.
14. Бондаренко В.В. Аппроксимация временного ряда степенной функцией фрактального бро-
уновского движения // Там же. — 2013. — № 3. — С. 113–116.
Получено 14.10.2013
После доработки 19.12.2013
http://www.purchasereviews.net/donate.php
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207808 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:50Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, В.В. 2025-10-14T08:46:27Z 2014 Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 102-108. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207808 519.246;519.254 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i6.80 Розглянуто алгоритм перевірки якості апроксимації часових даних. Запропонована автором апроксимація перетворює первинний часовий ряд у фрактальний броунівський рух (fBm). Перевіряється статистична гіпотеза: перетворені дані утворюють прирости fBm. Обчислення, виконані на реальних даних, підтверджують згадану гіпотезу, що свідчить про ефективність методу апроксимації. The approximation algorithm for checking the approximation quality of temporary data is considered. This approximation presented by the autor, transforms the original time series to fractional Brownian motion (fBm). The statistical hypothesis has been checked: the transformed data form the increments fBm. Calculations performed for real data confirm the mentioned hypothesis and algorithm efficiency. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением Перевірка якості апроксимації часового ряду фрактальним броунівським рухом Checking the quality of approximation of the time series by the fractal Brownian motion Article published earlier |
| spellingShingle | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением Бондаренко, В.В. Методы обработки информации |
| title | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| title_alt | Перевірка якості апроксимації часового ряду фрактальним броунівським рухом Checking the quality of approximation of the time series by the fractal Brownian motion |
| title_full | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| title_fullStr | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| title_full_unstemmed | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| title_short | Проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| title_sort | проверка качества аппроксимации временного ряда фрактальным броуновским движением |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207808 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovv proverkakačestvaapproksimaciivremennogorâdafraktalʹnymbrounovskimdviženiem AT bondarenkovv perevírkaâkostíaproksimacííčasovogorâdufraktalʹnimbrounívsʹkimruhom AT bondarenkovv checkingthequalityofapproximationofthetimeseriesbythefractalbrownianmotion |