Динамическая модель риска с инвестированием в активы
Розглянуто загальну модель роботи фірми, яка інвестує капітал в активи фінансового ринку. Як окремий випадок отримано оцінку для ймовірності банкрутства банку у разі випадкового надходження депозитів на рахунки банку та сприятливого інвестування капіталу як в ризикові, так і неризикові активи. Знайд...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207809 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамическая модель риска с инвестированием в активы / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 109-127. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207809 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гончар, Н.С. 2025-10-14T08:49:57Z 2014 Динамическая модель риска с инвестированием в активы / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 109-127. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207809 519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.20 Розглянуто загальну модель роботи фірми, яка інвестує капітал в активи фінансового ринку. Як окремий випадок отримано оцінку для ймовірності банкрутства банку у разі випадкового надходження депозитів на рахунки банку та сприятливого інвестування капіталу як в ризикові, так і неризикові активи. Знайдено значення початкового капіталу банку, за якого банк спроможний функціонувати як завгодно довго з достатньо малою ймовірністю банкрутства. Аналогічні результати отримано і для ймовірності банкрутства страхової компанії. General model of firm work is considered that invests capital into assets of financial market. As a partial case, assessment of probability of bank bankruptcy is obtained in the case of random receipts of deposits on bank accounts and favourable investment of capital into risk and non risk assets. The initial bank capital is found under which the bank can function sufficiently long with sufficiently small probability of bankruptcy. Analogous results are obtained relative to probability of bankruptcy of insurance company. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы Динамическая модель риска с инвестированием в активы Динамічна модель ризику з інвестуванням у активи Dynamical risk model with investment in assets Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| spellingShingle |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы Гончар, Н.С. Экономические и управленческие системы |
| title_short |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| title_full |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| title_fullStr |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| title_full_unstemmed |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| title_sort |
динамическая модель риска с инвестированием в активы |
| author |
Гончар, Н.С. |
| author_facet |
Гончар, Н.С. |
| topic |
Экономические и управленческие системы |
| topic_facet |
Экономические и управленческие системы |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Динамічна модель ризику з інвестуванням у активи Dynamical risk model with investment in assets |
| description |
Розглянуто загальну модель роботи фірми, яка інвестує капітал в активи фінансового ринку. Як окремий випадок отримано оцінку для ймовірності банкрутства банку у разі випадкового надходження депозитів на рахунки банку та сприятливого інвестування капіталу як в ризикові, так і неризикові активи. Знайдено значення початкового капіталу банку, за якого банк спроможний функціонувати як завгодно довго з достатньо малою ймовірністю банкрутства. Аналогічні результати отримано і для ймовірності банкрутства страхової компанії.
General model of firm work is considered that invests capital into assets of financial market. As a partial case, assessment of probability of bank bankruptcy is obtained in the case of random receipts of deposits on bank accounts and favourable investment of capital into risk and non risk assets. The initial bank capital is found under which the bank can function sufficiently long with sufficiently small probability of bankruptcy. Analogous results are obtained relative to probability of bankruptcy of insurance company.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207809 |
| citation_txt |
Динамическая модель риска с инвестированием в активы / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 3. — С. 109-127. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gončarns dinamičeskaâmodelʹriskasinvestirovaniemvaktivy AT gončarns dinamíčnamodelʹrizikuzínvestuvannâmuaktivi AT gončarns dynamicalriskmodelwithinvestmentinassets |
| first_indexed |
2025-11-25T23:55:47Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:55:47Z |
| _version_ |
1850591034112737280 |
| fulltext |
© Н.С. ГОНЧАР, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 109
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УДК 519.86
Н.С. Гончар
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РИСКА
С ИНВЕСТИРОВАНИЕМ В АКТИВЫ
Введение
В статье предложена и исследована модель работы фирмы, которая инвес-
тирует как в рисковые, так и безрисковые активы. Представлена динамическая
стохастическая модель эволюции капитала фирмы и введено понятие благо -
приятной и неблагоприятной инвестиционной стратегии. Главной характе-
ристикой рискованности работы фирмы является вероятность ее банкротства.
Введена количественная характеристика качества менеджмента фирмы. Выведено
интегральное уравнение и найдена оценка для вероятности банкротства фирмы.
Полученные результаты применены к оценке вероятности банкротства как банка,
так и страховой компании. При благоприятном инвестировании в рисковые
и безрисковые активы, определенных условиях для функций распределения по-
ступления депозитов и выплат по обязательствам, найдена величина начального
капитала, при которой банк может функционировать в течение бесконечного
промежутка времени с наперед заданной произвольно малой величиной вероят-
ности банкротства, зависящей от величины начального капитала. Эти исследова-
ния обобщают результаты работ [1, 2] на случай стохастического поступления
депозитов на счета банка и инвестирования их в активы финансового рынка.
Рассматриваемая модель применена также и к оценке вероятности банк-
ротства страховой компании. Такая модель обобщает хорошо известную мо-
дель [3, 4] на случай стохастического поступления премий в страховую компанию
и инвестирования ею капитала как в рисковые, так и безрисковые активы. Найде-
ны достаточные условия для функций распределения поступления премий и вы-
плат по обязательствам и величина начального капитала, при которых страхо-
вая компания может функционировать достаточно долго с достаточно малой
вероятностью банкротства.
Основные предположения модели
Предлагаемая модель работы фирмы обобщает хорошо известную модель работы
страховой компании [3, 4] на случай инвестирования в рисковые и безрисковые
активы, а также модель работы банка [1, 2] — на случай случайного поступления
депозитов на счета банка. Полагаем, что стохастическая эволюция капитала фирмы
задана в дискретные моменты времени ).,2,1,[0, Эволюция d активов на
вероятностном пространстве },,{ PF задана законом ,}{= 1=
d
i
i
nn SS ,1,= n где
.1,=,1,=,)(1= 1 ndiSS i
n
i
n
i
n (1)
Считаем, что последовательность случайных величин ,1
nS ,1,= n опи-
сывает эволюцию безрискового актива. На вероятностном пространстве },,{ PF
эволюция дохода на вложенный капитал
d
i
i
nn 1=}{= в n-м периоде задана d
случайными величинами ,i
n .1,= di Полагаем, что ,}{= 1=
d
i
i
nn ,2,1,= n —
110 ISSN 0572-2691
независимые одинаково распределенные случайные величины. Будем считать, что
каждая ,i
n ,1,= di — простая случайная величина, принимающая im значений.
Под стратегией инвестирования фирмы понимаем строго определенные не за-
висящие от периода части капитала в каждом периоде функционирования фирмы для
выплаты дивидендов держателям акций, поддержку ее текущей ликвидности, капита-
лизацию, инвестирование как в рисковые, так и безрисковые активы и т.д.
Стратегия инвестирования фирмы определяется выбором d фиксированных
и не зависящих от периода активов для инвестирования в каждый период ее
работы, определением не зависящих от периодов работы частей 0,>i ,1,= di
капитала, которые следует инвестировать в d активов и таких, что 1.=
=1
i
d
i
Пусть nR — капитал фирмы в момент времени n. Полагаем, что в начале
каждого периода n фирма инвестирует в одни и те же d активов, среди которых
имеются как рисковые, так и безрисковые активы, портфель которых определя-
ется вектором ,}{= 1=
d
i
i
nn где
,1,=1,=,1,=,=
1=
ndiRS i
d
i
ni
i
n
i
n (2)
0,>i ,1,= di и не зависят от n. Если капитал фирмы в начале 1)( n -го периода
,1nR то фирма инвестирует его в портфель ,}{= 1=11
d
i
i
nn удовлетворяющий
условию
.1,=,= 111 diRS ni
i
n
i
n (3)
В промежутке времени )1,( nn фирма, выполняя основные функции, за-
работает капитал, который опишем случайной величиной ,nY а выплату по
обязательствам в этот период представим случайной переменной .nZ В конце
1)( n -го периода (который совпадает с началом n-го периода) капитал, инвес-
тированный в портфель d
i
i
nn 1=11 }{= , составит
.1==
~
1=
11
1=
i
ni
d
i
n
i
n
i
n
d
i
n RSR (4)
Таким образом, в момент времени n капитал фирмы будет равен
.1,=,1=
1=
1
nZYRR nn
i
ni
d
i
nn (5)
Рассмотрим формулу (4). Полагаем, что среди d активов может быть и актив
di 11 такой, что ,0=1i
n ,1,= n с вероятностью 1. В этом случае часть
капитала 11 ni R не инвестируется, а используется, например, для резерви-
рования. Если, например, для некоторого актива 1=2
i
n с вероятностью 1, то
это означает, что часть капитала 12 ni R используется для выплаты дивидендов
держателям акций либо, например, для капитализации фирмы. Таким образом,
такая модель риска учитывает как инвестирование в рисковые и безрисковые ак-
тивы, так и выплату дивидендов либо капитализацию. Предположим, последова-
тельность случайных величин ,
1=
i
ni
d
i
,1,= n является последовательностью
независимых и одинаково распределенных простых случайных величин с вероят-
ностью 1 1.>
1=
i
ni
d
i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 111
Далее динамику доходности портфеля инвестиций в активы описываем по-
следовательностью простых случайных величин ,=
1=
i
ni
d
i
n являющихся неза-
висимыми и одинаково распределенными и принимающими M различных значе-
ний ib с вероятностью ,ip ,1,= Mi 1.=
1=
i
M
i
p Значение ib может быть как
отрицательным, так и положительным. Итак, полагаем, что последовательность
случайных величин ,i ...,2,1,=i задана, они независимы и одинаково распре-
делены, принимают значения в множестве },,{ 1 Mbb и
,1,=0,1,=,1,=,=)=(
1=
MippkpbP ii
M
i
iik (6)
0.>,11,=,0,<1 11 Mii bMibbb
Если капитал фирмы в нулевой момент времени x, то капитал фирмы в мо-
мент времени 1=t составит
,)(1= 1111 ZYxR (7)
где 1Y — неотрицательная случайная величина, принимающая значения в интер-
вале ],[0, C ,<<0 C и описывающая доход фирмы от основной деятельности
в первый период ее работы. Введем обозначение ).(=)( 11 xFxYP Случайная
величина 1Z является неотрицательной случайной величиной, описывающей
выплаты по обязательствам в первый период работы фирмы, ).(=)( 12 xZPxF
Если капитал фирмы в начале 1)( n -го периода ,1nR то в момент времени nt =
капитал фирмы составит
,)(1= 1 nnnnn ZYRR ...2,1,=n , (8)
где будем полагать, что последовательности случайных величин ,kY ...,2,1,=k
и ,iZ ,...2,1,=i независимы и тождественно распределены. Случайная величина
,kY ...,2,1,=k описывает величину капитала, получаемого фирмой в k-й период ее
деятельности, а ,iZ ,...2,1,=i — выплаты по обязательствам в i-й период дея-
тельности фирмы.
Полагаем также, что последовательности случайных величин ,i ...,2,1,=i
,kY ...,2,1,=k и ,iZ ,...2,1,=i независимы. Основная проблема — оценить ве-
роятность банкротства фирмы, зная ,ip ,1,= Mi а также функции распределения
случайных величин ,nY .nZ
Введем в рассмотрение количественную характеристику качества инвести-
рования
.
1
=
1= i
i
M
i
e
b
p
i
Если 1,<ei то инвестирование является благоприятным. В противном случае, если
1ei , оно неблагоприятно. Чем меньше значение 1,<ei тем лучше качество
инвестирования. Чем оно больше 1,ei тем качество инвестирования хуже.
Вероятность банкротства фирмы
Введем последовательность случайных величин ,= iii YZ .1,= i В при-
нятых обозначениях капитал фирмы в момент времени n имеет вид
,)(1= 1 nnnn RR ...2,1,=n . (9)
112 ISSN 0572-2691
Обозначим ).(=)( 110 xYZPxF Легко показать, что
).()(=)( 12
0
0 ydFyxFxF
C
(10)
Последовательность капиталов ,iR ,1,= i образует однородную цепь Маркова
с функцией перехода за один шаг
),(=))(1(=),,1,( 0
)1(1=
ydFpxEAsxsP
Axb
j
M
j
ssA
j
где },{= AyyaAa для некоторого вещественного a и ).( 1RBA Вероят-
ность не обанкротиться )(xm во временном интервале ][0, m с начальным
капиталом x задается формулой
)).[0,,,1,()1,,2,()1,,(0,=)( 112
0
1
0
mymPydmymPydxPx mmmm (11)
С (11) получаем следующие рекуррентные соотношения
....2,1,=),())((1=)( 01
)1(
1=
mydFyxbpx jm
xb
j
M
j
m
j
(12)
Введем функцию распределения ).(=)( xYCZPxF ii Тогда )(xF
).(0 CxF Очевидно, что 0.<0,=)( xxF Если мера, порожденная функцией
распределения ),(2 xF сосредоточена на интервале ],[0, 1T то мера, порожденная
функцией распределения ),(xF — на интервале ].[0, 1 CT Введем обозначение
.= 1 CTT
Принимая это во внимание, получаем рекуррентные соотношения
....2,1,=),())((1=)( 1
)1(
0=1
mydFyCxbpx jm
Cxb
j
M
j
m
j
(13)
Обозначим )()(lim xxm
m
, ).(1)( xx
Теорема 1. Вероятность банкротства )(x в течение временного интервала
)[0, с начальным капиталом x удовлетворяет интегральному уравнению
)()1,,(0,)])((1[1=)( 11
01=
yydxPCxbFpx jj
M
j
).())((1)])((1[1=
)1(
01=1=
ydFyCxbpCxbFp j
Cxb
j
M
j
jj
M
j
j
(14)
Решение уравнения (14) задается формулой
),(=)( 0
0=
xAx k
k
(15)
где введены следующие обозначения:
)],)((1[1=)(
1=
0 CxbFpx jj
M
j
(16)
).())((1=)(
)1(
01=
ydFyCxbfpxfA j
Cxb
j
M
j
j
(17)
Доказательство теоремы 1 аналогично доказательству теоремы в [3].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 113
Теорема 2. Пусть функция распределения )(xF удовлетворяет условию
,0,1)(1 0 Tx
T
x
xF
(18)
и справедливо неравенство
1.<
11=
0
i
i
M
i b
p
(19)
Тогда для решения уравнения (14), заданного формулой (15), справедливо
неравенство
,
][
1
1)(1
)(1
)(
0
1=
01
01
xA
b
p
b
CTAb
x
i
i
M
i
(20)
где ),)((1=0 CTA 0> , а
T
CT
t
)(
=
удовлетворяет неравенствам
0,>
)(11
=,
2
1
<)(<
)(
=<0
Mb
t
T
CT
t (21)
при условии что )(t — корень уравнения
.
1
1
exp=
1
1
tt
(22)
Доказательство теоремы 2 дано в Приложении.
Ключевой в работе является теорема 2, поскольку из нее вытекают теоремы 4 и 5.
В этой теореме получена оценка (20) вероятности банкротства фирмы на бес-
конечном временном интервале, зависящая от величины ее начального капитала,
при условии что справедливы неравенства (18), (19), (21). Неравенство (18)
выделяет класс случайных величин, описывающих поступление доходов фирмы
от основной деятельности, и класс случайных величин, описывающих выплату по
обязательствам, при которых возможна полученная оценка. Найболее важен
случай, когда .10 Тогда неравенства (18), (19), (21) означают, что при благо-
приятном инвестировании (19) и ограничении на выплаты по обязательствам (21)
справедлива оценка (20) для класса случайных величин, для которых справедлива
оценка (18).
Если же для выполнения неравенства (19) окажется, что необходимо выпол-
нение неравенства ,10 то это означает, что инвестирование фирмы в активы
экономики является неблагоприятным и для предотвращения ее банкротства
придется прекратить на некоторое время выплаты по обязательствам, т.е. объя-
вить дефолт и реструктурировать обязательства.
В следующей теореме полагаем, что )(2 xF сосредоточена на интервале ).,0[
Теорема 3. Пусть справедливы неравенства
,
1
1<<0,0,1
)(
)(
11,<
1 1=
00
1=
0
i
i
M
ii
i
M
i b
p
Ty
T
y
TF
yF
b
p
(23)
,
)(
1>>11,<
)(
),(<<0
t
TCT
t
t (24)
,<)])((1[1sup=,</2)]()([sup
0
= 1
0
11
1,
CxbFxExTFxTFxD
xTx
где T — решение уравнения
,=
))(1(1
))((1
))(1(1
1
1
1
2
=)(
111
Tb
D
TF
bb
Tg (25)
114 ISSN 0572-2691
)(t — решение уравнения
0.>,
)(11
=,
1
1
exp=
1
1
Mb
tt
Тогда существует ,0t ),(<< 0 tt такое, что
1.=,
])(1[
1
1
1
)(1
)( 0
0
1=
0
0
T
Ct
xTt
b
p
ETt
x
i
i
M
i
(26)
Доказательство теоремы 3 дано в Приложении.
Функция распределения )(xF сосредоточена на интервале ),0[ , поскольку
)(2 xF сосредоточена на том же интервале. В теореме 3 найдены ограничения для
класса случайных величин, описывающих поступление доходов фирмы от основ-
ной деятельности, и класса случайных величин, описывающих выплату по ее обя-
зательствам, при которых возможна оценка (26) вероятности банкротства фирмы
на бесконечном временном интервале ее функционирования, зависящая от вели-
чины начального капитала фирмы. Условие (23) для функции распределения
)(xF и выделяет упомянутый выше класс случайных величин. Как и в теореме 2,
найболее важен случай 10 . Тогда первое неравенство из (23) означает, что
инвестирование благоприятно. И если справедливы неравенства (24) для
максимальной величины дохода C, где T — решение уравнения (25), и конечными
являются D, E, то справедлива оценка (26), которая обеспечивает при большом
начальном капитале малость вероятности банкротства, даже при возможных
больших выплатах по обязательствам. Никакого парадокса больших выплат по
обязательствам и малости вероятности банкротства фирмы не существует из-
за ограничений по выплатам, налагаемых неравенством (23) для функции
распределения )(xF и неравенством (24).
Оценивание вероятности банкротства банка
Предлагаемая модель решает задачу оценивания вероятности банкротства
банка в зависимости от таких факторов, как величина капитала, обеспечивающего
ликвидность работы банка; выбор инвестиционной стратегии банком; политика
привлечения депозитов; ограничения по выплате обязательств; уровень капитала
в начальный момент времени; величина максимальных выплат; отношение зна-
чения максимальной выплаты к сумме максимальной выплаты; и максимальная
величина поступления депозитов.
Эта модель может быть использована для управления работой банка с целью
обеспечения его постоянной работы. В рассматриваемой модели проблема под-
держания ликвидности текущей работы банка решается следующим образом:
некоторая часть капитала инвестируется в безрисковый актив в каждый период
работы банка.
Рассмотрим сначала простейшую модель работы банка, для которой затем
проведем численные расчеты с целью иллюстрации результатов. Будем полагать,
что эволюция безрискового актива задана законом
,1,=,)(1= 1
1
11 nSS nnn (27)
где 0,=1
n ,1,= n с вероятностью 1, т.е. 1,=1
nS .1,= n Чтобы описать
ситуацию, когда часть капитала в каждый период работы используется банком
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 115
для выплаты дивидендов держателям акций или для капитализации, инвестируем
в актив, эволюция которого задана законом
,1,=,)(1= 2
1
22 nSS nnn (28)
где 1,=2 n ,1,= n с вероятностью 1. Наконец, кредитную политику банка
рассмотрим как инвестирование в рисковые активы, эволюция которых описы-
вается агрегированно законом
,1,=,)(1= 3
1
33 nSS nnn (29)
где ,3
n ,1,= n — последовательность независимых одинаково распределенных
случайных величин, принимающих конечное число значений Mvv ,,1 с вероятнос-
тями Mpp ,,1 соответственно; кроме того, 1.=
1=
i
M
i
p Полагаем, что 0,<<1 1v
,<<< 21 Mvvv .0Mv
Инвестиционную стратегию банка опишем следующим образом: в начале
каждого периода работы банк инвестирует часть капитала 0>1 в безрисковый
актив, часть капитала 0>2 использует для выплаты дивидендов или, например,
для капитализации, а часть капитала 0>3 — для кредитования. Части i не
зависят от периода работы банка. В этом случае случайная величина
i
ni
i
n
3
1=
3
принимает значения 1,>= 32 ii vb .1,= Mi
Общая модель работы банка состоит в том, что банк, как частный случай
фирмы, инвестирует в d активов. Если ввести последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин ,
1=
i
ni
d
i
n ,1,= n описыва-
ющих эволюцию доходности портфеля активов и принимающих значения ,ib
,1,= Mi с вероятностями ,,,1 Mpp то придем к модели работы банка, час-
тично исследованной в [1, 2].
Пусть в нулевой момент времени начальный капитал банка x. Эволюция
капитала банка происходит в дискретные моменты времени ...2,1,=n следующим
образом: имея капитал x в нулевой момент времени, банк инвестирует его в неко-
торые активы в следующий период своей операционной деятельности. Положим
.1,=0,1,=,1,=,=)=(
1=
MippkpbP ii
M
i
iik (30)
Считаем, что 1,>0 1 b ,1 ii bb .2,= Mi Тогда капитал банка в момент
времени 1=t примет вид
,)(1= 1111 ZYxR (31)
где 1Y — неотрицательная случайная величина, принимающая значения в интер-
вале ],[0, C ,<<0 C и описывающая размер депозитов, поступающих в банк в
первый период его операционной деятельности, 1Z — неотрицательная
случайная величина, описывающая выплаты по обязательствам в том же периоде
операционной деятельности. Если в начале (n–1)-го периода капитал банка ,1nR
то в момент времени nt = он составит
,)(1= 1 nnnnn ZYRR ...2,1,=n , (32)
116 ISSN 0572-2691
где последовательности случайных величин ,kY ...,2,1,=k и iZ , ,...2,1,=i
независимы и тождественно распределены. Последовательность случайных
величин ,kY ...,2,1,=k описывает величину депозитов, поступающих в банк
в k-й период операционной деятельности, а ,iZ ,...2,1,=i — выплаты по
обязательствам в i-й период его деятельности.
Полагаем, что последовательности случайных величин ,i ...,2,1,=i kY ,
...,2,1,=k и ,iZ ...,2,1,=i независимы. Основная проблема — оценить вероят-
ность банкротства банка, зная ,ip ,1,= Mi и функции распределения случайных
величин ,nY .nZ Полагаем, что ),(=)( 11 xYPxF .)(=)( 12 xZPxF
Теорема 4. Пусть функция распределения )(1 yF задана формулой
.),[\0,
),,[1,
=)( 11
CRy
Cy
yF
Предположим, что справедливы неравенства
,<,
1
1)(1
)(1
>1,<
1
],[0,,)( 10
1=
1
101
1=
1
1
2 TCA
b
p
b
CTAb
x
b
p
Ty
T
y
yF
i
i
M
i
i
i
M
i
для некоторого заданного и малого 0,> ),)((1= 10 CTA где
1
1 )(
=
T
CT
t
удовлетворяет неравенствам
0,>0,>
)(11
=,
2
1
<)(<
)(
=<0
1
1
Mb
t
T
CT
t (33)
)(t — корень уравнения
,
1
1
exp=
1
1
tt
(34)
x — начальный капитал банка. Тогда вероятность банкротства банка во
временном интервале )[0, не превышает
Доказательство. Это доказательство следует непосредственно из теоремы 2.
Экономическая интерпретация условий этой теоремы следующая. Поступ-
ление депозитов в каждом операционном периоде деятельности неслучайно и равно
положительной величине C. Неравенство для функции распределения )(2 xF
описывает класс случайных величин выплат по обязательствам, для которого
вероятность банкротства банка на бесконечном временном интервале можно
сделать сколь угодно малой. Инвестирование в активы экономики благоприятно.
Неравенство (33) является ограничением на величину доходности по депозитам.
При выполнении этих условий существует начальный капитал, обеспечивающий
функционирование банка как угодно долго с достаточно малой вероятностью
банкротства, величину которого задает неравенство теоремы.
В следующей теореме рассматривается случай, когда поступление депозитов
в банк является случайным.
Теорема 5. Пусть монотонно возрастающая функция )(yf такова, что
1,=)(0,=)(,<<0],,[1,)(0 111 CfCfCCCCyyf (35)
и пусть функция распределения )(1 yF задана формулой
.>1,
],,[),(
,<0,
=)(
1
11
Cy
CCyyf
Cy
yF (36)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 117
Предположим, что справедливы неравенства
,
1
1)(1
)(1
>,<1,<
1
],[0,,)( 0
=1
1
101
11
=1
1
1
2 A
b
p
b
CTAb
xTC
b
p
Ty
T
y
yF
i
i
M
i
i
i
M
i
(37)
для некоторого заданного и малого 0,> ),)((1= 10 CTA а
1
1 )(
=
T
CT
t
удовлетворяет неравенствам
0,>0,>
)(11
=,
2
1
<)(<
)(
=<0
1
1
Mb
t
T
CT
t (38)
где )(t — корень уравнения
,
1
1
exp=
1
1
tt
(39)
x — начальный капитал банка. Тогда вероятность банкротства банка во времен-
ном интервале )[0, не превышает .
Доказательство. Поскольку 1,=)( CYP i ,1, i то 1,=)( nn RRP
1,n , где
.==,)(1=,)(1= 0011 xRRZCRRZYRR nnnnnnnnn
Поэтому
).(=)()(=)( )[0,
1=
)[0,
1=
xREREEx mi
m
i
i
m
i
m
Или для ),(1=)( xx mm )(1=)( xx mm получаем неравенство
.1,=),()( mxx mm
При переходе к пределу в последнем неравенстве получим
).()( xx
Из теоремы 4 вытекает, что справедливо неравенство ,<)( x если капитал x
удовлетворяет приведенному в теореме 5 неравенству.
Теорема 5 доказана.
В отличие от теоремы 4, в теореме 5 поступление депозитов на счета банка
случайно. Несмотря на случайность величины поступления депозитов, с вероят-
ностью 1 она не может опуститься ниже некоторой постоянной величины C. В осталь-
ном экономическая интерпретация условий теоремы 5 та же, что и в теореме 4.
Следующая теорема является прямым следствием теоремы 3.
Теорема 6. Пусть функция распределения )(1 xF задана формулой
),,[\0,
),,[1,
=)( 11
CRx
Cx
xF
а функция распределения )(2 xF такова, что
.0,1
)(
)(
1 0
2
2 Tx
T
x
TF
xF
Предположим, что справедливы неравенства
,
1
1<<01,<
1 1=
0
1=
0
i
i
M
ii
i
M
i b
p
b
p
118 ISSN 0572-2691
,
)(
1>>11,<
)(
),(<<0
t
TCT
t
t (40)
,<)])((1[1sup=,</2)]()([sup
0
= 12
0
1212
1,
CxbFxExTFxTFxD
xTx
где T — решение уравнения
,=
))(1(1
))((1
))(1(1
1
1
1
2
=)(
1
2
11
Tb
D
TF
bb
Tg
а )(t — решение уравнения
0.>,
)(11
=,
1
1
exp=
1
1
Mb
tt
Если начальный капитал x удовлетворяет неравенству
1,=,)(1
1
1
)(11 0
0
0
1=
0
0
T
Ct
Tt
b
p
ETt
x
i
i
M
i
(41)
где 0 достаточно мало, то вероятность банкротства банка во временном интер-
вале )[0, не превосходит .0
Экономическая интерпретация условий теоремы 6 та же , что и в теореме 3,
с той лишь разницей, что эти условия сформулированы на функцию
распределения выплат по обязательствам, а поступление депозитов неслучайно.
Замечание. Если 1,=0 то следует требовать выполнение неравенства
1.<
11= i
i
M
i b
p
Тот факт, что ,1<0 означает, что
.)(11)( 202 TF
T
x
xF
Из последнего неравенства следует неравенство
,)()(1(0) 202 TFF
которое означает, что существует ненулевая вероятность того, что банк прекратит
выплаты по обязательствам. Таким образом, если
1,>
11= i
i
M
i b
p
то банку следует временно прекратить выплаты по обязательствам, чтобы не
обанкротиться.
Наконец, рассмотрим случай, когда поступление депозитов является слу-
чайным, функция распределения )(1 xF сосредоточена на ],,0[ C а функция рас-
пределения выплат по обязательствам )(2 xF — на ],,0[ 1T ,1TC а в остальном
они имеют произвольное поведение. Представим работу банка во временном
интервале ].[0, m Из рекуррентных соотношений (13) получаем для вероятности
банкротства банка )(1=)( xx mm рекуррентные соотношения
))((1(1=)(
1=
CxbFpx jj
M
j
m
....2,1,=),())((11
)1(
01=
mydFyCxbp jm
Cxb
j
M
j
j
(42)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 119
Следующая теорема усиливает и уточняет результаты работы [3].
Теорема 7. Решение совокупности рекуррентных соотношений (42) задается
формулой
).(=)( 0
1
0=
xAx k
m
k
m
(43)
Вероятность банкротства банка во временном интервале ][0, m не превышает
,0 если начальный капитал банка удовлетворяет неравенству
,=,
1
1
=,
)(
1
1)(
> 1
1101
CTT
bb
CT
b
x
m
(44)
для ,01 b и неравенству
0,>,=,
11)(
1)(
> 0
0
0
0
1
0
0
TCA
TCA
A
A
b
CT
Ax
m
(45)
для 0.=1b
Доказательство теоремы 7 дано в Приложении.
В теореме 7 нет никаких ограничений для функций распределения поступления
депозитов и выплат по обязательствам. Отсутствие ограничений для величин по-
ступления депозитов и выплат по обязательствам, а также для инвестирования
в рисковые активы означает, что в этом случае не следует ожидать, что банк может
функционировать бесконечно долго без банкротства. Однако его функционирование
можно обеспечить и в этом случае с достаточно малой вероятностью банкротства на
конечном временном интервале, если его начальный капитал удовлетворяет нера-
венствам (44), (45). Конечно же, с возрастанием числа периодов величина начального
капитала увеличивается.
Проиллюстрируем доказанные теоремы расчетом величины начального ка-
питала x, при котором вероятность банкротства банка мала. Пусть, как и выше,
банк инвестирует в безрисковый актив, эволюция доходности которого задана
формулой (27). Он выплачивает дивиденды в соответствии с эволюцией доходно-
сти, заданной формулой (28). Эволюцию доходности рискового актива зададим
формулой (29), положив
,4,011,,0
6,,04,,0
=3
p
p
n ,1,= n
где p — вероятность дохода от кредитования экономики, а p1 — вероятность
потери части капитала в результате кредитования. Положим, что часть дохода,
равную ,01,01 он оставляет для обеспечения текущей ликвидности работы
банка, часть дохода 03,02 направляет на выплату дивидендов и, наконец,
часть дохода, равную ,96,03 — на кредитование экономики. Вычисление слу-
чайной доходности 3
n от такой инвестиции в каждом периоде дает
,4,01126,,0
6,,0354,,0
=3
p
p
n .1,= n
Рассматриваемое инвестирование является благоприятным, поскольку
.19007963,0
874,0
4,0
354,1
6,0
Применим теорему 5 для вычисления величины начального капитала x, при
котором банк с достаточно малой вероятностью банкротства функционирует дос-
таточно долго. Чтобы получить ограничения для максимальных выплат, следует
найти решение )(t уравнения
.
1
1
exp=
1
1
tt
120 ISSN 0572-2691
Положим ,1 тогда ,708,1 где 0,>
)(11
=
Mb
.354,03 b Решение
708),(1t
последнего уравнения лежит в интервале )095,0,09,0( . Если положить
,09,0/)( 11 TCT то удовлетворим условию (38) теоремы 5. Вычислим начальный
капитал банка x, при котором банк в течение бесконечного времени способен
функционировать с вероятностью банкротства, не превышающей .01,0 В ре-
зультате получим
02
1=
1
101
1
1)(1
)(1
> A
b
p
b
CTAb
x
i
i
i
.285)(3167)(2
01,00992027,0874,0
1874,02
111 TCTCT
Из последнего неравенства следует, что величина начального капитала, при
которой вероятность банкротства не превышает ,01,0 зависит от величины мак-
симальных выплат .1T
Оценивание вероятности банкротства страховой компании
В этом разделе рассмотрим применение полученных выше результатов к оце-
ниванию вероятности банкротства страховой компании. Предлагаемая ниже мо-
дель работы страховой компании обобщает рассмотренные ранее модели на случай,
когда поступление премий в страховую компанию случайно и, кроме того,
компания инвестирует в активы финансового рынка. Представим следующую
модель работы страховой компании. Пусть x — начальный капитал страховой
компании. В течение каждого периода )1,( nn поступление премий описываем
случайной величиной ,nY ,2,1,= n принимающей значения в интервале ],[0, C
а выполнение обязательств в этом же периоде — случайной величиной ,nZ
,2,1,= n принимающей значения во множестве ].[0, 1T Стратегия инвестирова-
ния страховой компании описывается последовательностью простых случайных ве-
личин ,n ,2,1,= n являющихся независимыми и одинаково распределенными,
конструкция которых такая же, как и в случае инвестирования банком. Поэтому,
если 1nR — капитал страховой компании в момент времени 1,n то капитал ком-
пании в момент времени n равен
.2,1,=,)(1= 1 nZYRR nnnnn
Предположим, что последовательности случайных величин nnn ZY ,, взаимно
независимы и каждая из них является тождественно распределенной. Полагаем,
что ),(=)( 11 xYPxF .)(=)( 12 xZPxF
Теорема 8. Пусть функции распределения )(),( 21 xFxF удовлетворяют усло-
виям одной из лемм: 4–6 (см. Приложение) и справедливы неравенства
.<1,<
1
1
=1
CT
b
p
i
i
M
i
Если начальный капитал страховой компании x удовлетворяет неравенству
0
=1
1
01
1
1)(1
)(1
> A
b
p
b
CTAb
x
i
i
M
i
для некоторого заданного малого 0,> ),)((1=0 CTA ,= 1 CTT а
T
CT
t
)(
=
удовлетворяет неравенствам
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 121
0,>0,>
)(11
=,
2
1
<)(<
)(
=<0
Mb
t
T
CT
t (46)
где )(t — корень уравнения
,
1
1
exp=
1
1
tt
(47)
то вероятность банкротства страховой компании не превышает .
Работа страховой компании отличается от работы банка тем, например, что
ей не обязательно инвестировать в активы экономики, чтобы выполнять свои
обязательства, в то время как банк обязан получить доход от инвестирования
в активы экономики для выполнения обязательств. Поэтому для функционирова-
ния банка необходимо выполнение неравенства ,1 CT где 1T — максимальные
выплаты по обязательствам, а C — максимальная величина поступления депо-
зитов на счета банка. Так как
,
2
1
1
1
CT
T
T
CT
(48)
то в этом случае невозможно обеспечить выполнение неравенства
).(
)(
t
T
CT
(49)
Причиной этого является тот факт, что если не налагать никаких ограничений
на величину выплат по обязательствам и величину поступления депозитов, то
поступление депозитов может быть хаотичным, что не позволит справиться с вы-
полнением обязательств. Именно поэтому в теореме 4 рассматривалось неслучай-
ное поступление депозитов на счета банка, а в теореме 5 — случайное поступление
депозитов с ограничением их величины снизу с вероятностью 1. При рассмот-
рении работы страховой компании возможен случай CT 1 и можно обеспечить
выполнение неравенства (49). Условия лемм 4–6 для функций распределения
)(),( 21 xFxF описывают класс случайных величин поступления премий в страхо-
вую компанию и выплат по ее обязательствам, для которых при выполнении ус-
ловия благоприятного инвестирования и ограничения на выплату по обязательст-
вам (46) страховая компания с малой вероятностью банкротства будет функцио-
нировать бесконечно долго.
В следующей теореме рассматривается случай возможных неограниченных
выплат по обязательствам.
Теорема 9. Пусть функция распределения )(1 xF задана формулой
),,[\0,
),,[1,
=)( 11
CRx
Cx
xF
а функция распределения )(2 xF сосредоточена на ),0[ и такова, что
.0,1
)(
)(
1
2
2 Tx
T
x
TF
xF
(50)
Предположим, что справедливы неравенства
,
)(1
1<<01,<
1 =1=1 i
i
M
ii
i
M
i b
p
b
p
(51)
,
)(
1>>11,<
)(
),(<<0
t
TCT
t
t (52)
,<)])((1[1sup=,</2)]()([sup
0
= 12
0
1212
1,
CxbFxExTFxTFxD
xTx
122 ISSN 0572-2691
где T — решение уравнения
,=
))(1(1
))((1
))(1(1
1
1
1
2
=)(
1
2
11
Tb
D
TF
bb
Tg (53)
)(t — решение уравнения
0.>,
)(11
=,
1
1
exp=
1
1
Mb
tt
Если начальный капитал x удовлетворяет неравенству
1,=,)(1
1
1
)(11 0
0
0
=1
0
T
Ct
Tt
b
p
ETt
x
i
i
M
i
(54)
где 0 достаточно мало, то вероятность банкротства страховой компании во
временном интервале )[0, не превышает 0 .
Экономическая интерпретация условий этой теоремы следующая: поступле-
ние премий в страховую компанию неслучайно, функция распределения выплат
по обязательствам )(2 xF сосредоточена на интервале ),0[ и удовлетворяет не-
равенству (50), инвестирование является благоприятным, величина максимальных
депозитов C удовлетворяет неравенству (52). При выполнении этих условий
существует начальный капитал, удовлетворяющий неравенству (54), при котором
страховая компания может функционировать с достаточно малой вероятностью
банкротства даже при возможных больших выплатах по обязательствам. Ника-
кого парадокса больших выплат по обязательствам и малости вероятности банк-
ротства страховой компании не существует из-за ограничений по выплатам, нала-
гаемых неравенствами (50) и (52).
Заключение
В работе рассмотрена модель работы фирмы, инвестирующей в активы финан-
сового рынка. Для вероятности банкротства фирмы получено уравнение в случае
инвестирования ею капитала как в рисковые, так и безрисковые активы. Введено
понятие количественной характеристики качества инвестирования фирмой в рис-
ковые и безрисковые активы. При условии благоприятного инвестирования в ак-
тивы доказаны теоремы, дающие оценку вероятности банкротства фирмы в зависи-
мости от условий для функции распределения выплат по обязательствам и функции
распределения поступления капитала от основной ее деятельности.
Полученные результаты применены к оценке вероятности банкротства банка
в случае случайного поступления депозитов на счета банка и инвестирования им
капитала как в рисковые, так и безрисковые активы. Этот результат обобщает
полученные ранее результаты [3] при условии случайного поступления депозитов
на счета банка. Полученные результаты применены также к оценке вероятности
банкротства страховой компании при случайном поступлении премий в страховую
компанию и инвестировании ею капитала в рисковые и безрисковые активы.
Приложение
Доказательство теоремы 2. В пространство борелевских функций ),(xf
),[0, x введем норму формулой .)()(sup=)( 0
)[0,
xfxAxf
x
Обозначим B
пространство Банаха борелевских функций )(xf таких, что .<)( xf Оценим
норму оператора (17) в банаховом пространстве B. В результате получим
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 123
.
)(1
)(
)(sup
00
0
)[0,=1 yCxbA
ydF
xApA
i
T
x
i
M
i
(55)
Далее
2
00000 ])(1[
))((1
)(1
(0)1
=
)(1
)(
yCxbA
dyyF
CxbA
F
yCxbA
ydF
i
T
ii
T
.
)(1
=
])(1[
)/1(
)(1 00
0
2
00
0
0
0
yCxbA
yd
T
dy
yCxbA
Ty
CxbA i
T
i
T
i
(56)
Принимая во внимание неравенства (55), (56), получим
yCxbA
yd
T
xA
pA
i
T
x
i
M
i )(1
)(
sup
00
0
)[0,=1
0
.
1
=
)(1
)(
lim=
=1
0
00
0
=1
0
i
i
M
ii
T
x
i
M
i b
p
yCxbA
yd
T
xA
p
(57)
В последних равенствах использована лемма 3.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Поскольку имеют место неравенства (24),
существует ,0t ),(<< 0 tt такое, что 1.=0
T
Ct
Оценим норму оператора A в
пространстве борелевских функций ),[0,),( xxf для которых конечна норма
.)()(sup=)( 0
)[0,
xfxTxf
x
В результате получим
.
)(1
)(
)(sup
0
)1(
0
0
)[0,=1 yCxbT
ydF
xTpA
i
Cxb
x
i
M
i
i
yCxbT
ydF
xT
i
Cxb
x
i
)(1
)(
)(sup
0
)1(
0
0
)[0,
(58)
yCxbT
ydF
xT
i
T
x )(1
)(
)(sup
00
0
)[0,
.
1
=,
)(1
)(
)(sup 00
0
)1(
0
})1(,{
t
yCxbT
ydF
xT
i
Cxb
TTCxbx
i
i
Справедливо неравенство
CxbT
TFF
yCxbT
ydF
TF ii
T
)(1
)((0)/1
=
)(1
)(
)(
1
000
.
)(1])(1[
)](/)(1[
00
0
2
00
yCxbT
dy
T
dy
yCxbT
TFyF
i
T
i
T
Следовательно, имеем
yCxbT
ydF
TF
xT
yCxbT
ydF
xT
i
T
xi
T
x )(1
)(
)(
)(
sup
)(1
)(
)(sup
00
0
)[0,00
0
)[0,
124 ISSN 0572-2691
yCxbT
dy
T
xT
i
T
x )(1
)(
sup
00
0
)[0,
0
.
)(1
=,
1
1
=
1)(1
)(
sup 00
1
0
0
),[
0
0
t
T
xb
z
buz
du
b
zt i
iitz
Если положить ,)(1= TCxbi то
Cxb
T i
i
yCxbT
ydF
xT
)1(
0
0
)1(
)(
)(
.
)(
1
)(
1
])(1[
=
00
0
yTT
ydF
byTT
ydF
b
CTbT
T
Ti
T
Ti
i
(59)
Оценим первый член из (59)
)]()([
)(1
])(1[)(
1
])(1[
0
0
0
0 TFTF
Tb
CTbT
yTT
ydF
b
CTbT
i
i
T
Ti
i
)].([1
))(11(
1
1)]([1
)(1
1
10
TF
b
TF
bT
CT
i
Второй член из (59) оценивается следующим образом:
yTT
ydF
byTT
ydF
byTT
ydF
b
T
Ti
T
Ti
T
Ti 0/20
/2
0
)(
1
)(
1
=
)(
1
2)]/()([
)(1
)](2)/([
2)/)((1 00
TFTF
Tb
TFTF
Tb ii
.
))(1(11
))(2(1
)(11
))(2(1
11011 Tb
D
b
TF
Tb
D
b
TF
Наконец, получим
1.<
1
=)(
1 1=
0
1=
0
i
i
M
ii
i
M
i b
p
Tg
b
p
A
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 7. Введем банахово пространство B борелевских
функций ,)(xf для которых конечна норма
,)()(sup=)( 0
)[0,
xfxAxf
x
где .=
1
0
b
CT
A
Тогда
yCxbA
ydF
xApA
i
T
x
i
M
i )(1
)(
)(sup
00
0
)[0,1=
.
1
1
=
)(1
)(
sup
110
0
)[0, bTCxbA
xA
x
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 125
Далее
)])((1)[1(sup)( 0
)[0,1=
0 CxbFxApx i
x
i
M
i
.
1
)])((1)[1(sup
1
010
)[0,1= b
CT
ACxbFxAp
x
i
M
i
Отсюда получим оценку для )(xm
,<
1
1)(1
1
)( 0
01
0
1
1
0=
xAb
CT
A
b
x
i
m
i
m
если начальный капитал банка удовлетворяет неравенству
.
1
1
=,
)(
1
1)(
=
)(1)(1
1
>
110110111
1
0= bb
CT
bb
CT
bb
CT
b
x
m
i
m
i
Во втором случае пусть ,00 A ,0>0 TCA тогда ,
0
0
TCA
A
A
)(0 x
.
1 1
0
b
CT
A
Поэтому
.<
1
1)(
)( 0
01
0
0
0
1
0=
xAb
CT
A
TCA
A
x
im
i
m
Отсюда
0.>,=,
11)(
1)(
> 0
0
0
0
1
0
0
TCA
TCA
A
A
b
CT
Ax
m
Теорема 7 доказана.
Ниже представлены без доказательства вспомогательные утверждения, ис-
пользуемые в доказательстве основных теорем.
Лемма 1. Существует единственный корень )(t уравнения
0,>,
1
1
exp=
1
1
tt
(60)
во множестве .
2
1
,0
t Он является монотонно убывающей функцией . Если
1,<0 то корень )(t уравнения (60) удовлетворяет неравенствам
.
2
1
<)(<
2
1
t
Лемма 2. Функция
0,>,
)(11
11
1ln=)(
zz
t
zz
zf (61)
является положительной на множестве ,),[ tz если ,2/1<)(<<0 tt где
)(t — корень уравнения
0.>,
1
1
exp=
1
1
tt
(62)
Если 0, то 0>)(zf на множестве ).[0, z
Лемма 3. Функция
yCxbA
yd
T
xA
xI
T
)(1
=)(
00
0 (63)
126 ISSN 0572-2691
является монотонно возрастающей функцией ),[0, x если
T
CT
t
)(
<0
,
2
1
<)(<
t
0,> где )(t — корень уравнения (62),
.
)(11
=,<<1,<<0),)((1=0
b
bCTA
Она является монотонно возрастающей функцией )[0, x для всех
0,>
)(
=
T
CT
t
если 0.
)(11
=
b
Лемма 4. Предположим, что
,1,
,<0,
)(1
0,<0,
=)(0
1
Cx
Cx
C
x
x
xF
,1,
,<0,
0,<0,
=)(
1
1
1
0
2
Tx
Tx
T
x
x
xF
и выполнены неравенства ,
1
1
CT
T
.<1 CT Если справедливы неравенства
),()( 0
22 xFxF ),()( 0
11 xFxF то
,)()(=)(
1
12
0
CT
x
ydFyCxFxF
C
].,0[ 1 CTx
Лемма 5. Предположим, что
,1,
,<0,
)(1
0,<0,
=)(0
1
Cx
Cx
C
x
x
xF
,1,
,<,
,0,
0,<0,
=)(
1
1
0
2
Tx
TxRbax
Rxx
x
xF
где
.=,
1
=,
)(
=
111 CT
C
b
CT
a
CTR
CR
Если справедливы неравенства ,<< 1 CTR 1,<
CR
R
),()( 0
22 xFxF
),()( 0
11 xFxF то
,)()(=)(
1
12
0
CT
x
ydFyCxFxF
C
].,0[ 1 CTx
Лемма 6. Предположим, что
,1,
,<0,11
0,<0,
=)(0
1
Cx
Cx
C
x
x
xF
,1,
,<0,11
0,<0,
=)(
1
1
1
0
2
Tx
Tx
T
x
x
xF
где .<<0 1 CT Если справедливы неравенства ,)(1
1 CT
C
),()( 0
22 xFxF
),()( 0
11 xFxF то
,)()(=)(
1
12
0
CT
x
ydFyCxFxF
C
].,0[ 1 CTx
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 3 127
М.С. Гончар
ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ РИЗИКУ
З ІНВЕСТУВАННЯМ В АКТИВИ
Розглянуто загальну модель роботи фірми, яка інвестує капітал в активи фінан-
сового ринку. Як окремий випадок отримано оцінку для ймовірності банк-
рутства банку у разі випадкового надходження депозитів на рахунки банку та
сприятливого інвестування капіталу як в ризикові, так і неризикові активи.
Знайдено значення початкового капіталу банку, за якого банк спроможний
функціонувати як завгодно довго з достатньо малою ймовірністю банкрутства.
Аналогічні результати отримано і для ймовірності банкрутства страхової компанії.
N.S. Gonchar
DYNAMICAL RISK MODEL
WITH INVESTMENT IN ASSETS
General model of firm work is considered that invests capital into assets of financial
market. As a partial case, assessment of probability of bank bankruptcy is obtained in
the case of random receipts of deposits on bank accounts and favourable investment
of capital into risk and non risk assets. The initial bank capital is found under which
the bank can function sufficiently long with sufficiently small probability of
bankruptcy. Analogous results are obtained relative to probability of bankruptcy
of insurance company.
1. Гончар Н.С. Теорема о капитализации банков // «Международный научно-технический
журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 1 — С. 126–140.
2. Гончар М.С., Каплуненко Д.О. Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат //
Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 14–18.
3. Cramer H. On the mathematical theory of risk. — Stockholm : Skandia Jubilee Volume, 1930.
4. Lundberg F. Some supplementary researches on the collective risk theory // Skandinavisk
Aktuarietidskrift. — 1932. — 15. — P. 137–158.
5. Gonchar N.S. Mathematical foundations of information economics. Ukraine: Kiev : Bogolyubov
Institut for Theoretical Physics of NAS, 2008. — 468 p.
Получено 14.05.2013
После доработки 16.10.2013
|