Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения
Розглянуто задачу оптимального граничного керування для неоднорідного бігармонічного рівняння, для розв’язування якої використовується один з варіантів градієнтного методу. Лінійна крайова задача за допомогою методу потенціалу зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду. Ефекти...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207818 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения / Е.М. Киселева, Л.В. Волошко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 4. — С. 58-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207818 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Киселева, Е.М. Волошко, Л.В. 2025-10-14T11:00:08Z 2014 Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения / Е.М. Киселева, Л.В. Волошко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 4. — С. 58-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207818 519.8 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i7.30 Розглянуто задачу оптимального граничного керування для неоднорідного бігармонічного рівняння, для розв’язування якої використовується один з варіантів градієнтного методу. Лінійна крайова задача за допомогою методу потенціалу зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду. Ефективність алгоритму підтверджується високою точністю отриманих чисельних результатів. Optimal boundary control problem for inhomogeneous biharmonic equation is under consideration. It was solved with one of the gradient methods. By means of potential method the linear problem is reduced to the system of Fredgolm integral equations of the first kind. The effectiveness of algorithm is confirmed by high accuracy of obtained calculations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения Розв'язання задачі оптимального граничного управління для неоднорідного бігармонічного рівняння Optimal boundary control problem solution for inhomogeneous biharmonic equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| spellingShingle |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения Киселева, Е.М. Волошко, Л.В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title_short |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| title_full |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| title_fullStr |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| title_full_unstemmed |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| title_sort |
решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения |
| author |
Киселева, Е.М. Волошко, Л.В. |
| author_facet |
Киселева, Е.М. Волошко, Л.В. |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Розв'язання задачі оптимального граничного управління для неоднорідного бігармонічного рівняння Optimal boundary control problem solution for inhomogeneous biharmonic equation |
| description |
Розглянуто задачу оптимального граничного керування для неоднорідного бігармонічного рівняння, для розв’язування якої використовується один з варіантів градієнтного методу. Лінійна крайова задача за допомогою методу потенціалу зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду. Ефективність алгоритму підтверджується високою точністю отриманих чисельних результатів.
Optimal boundary control problem for inhomogeneous biharmonic equation is under consideration. It was solved with one of the gradient methods. By means of potential method the linear problem is reduced to the system of Fredgolm integral equations of the first kind. The effectiveness of algorithm is confirmed by high accuracy of obtained calculations.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207818 |
| citation_txt |
Решение задачи оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения / Е.М. Киселева, Л.В. Волошко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 4. — С. 58-67. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kiselevaem rešeniezadačioptimalʹnogograničnogoupravleniâdlâneodnorodnogobigarmoničeskogouravneniâ AT vološkolv rešeniezadačioptimalʹnogograničnogoupravleniâdlâneodnorodnogobigarmoničeskogouravneniâ AT kiselevaem rozvâzannâzadačíoptimalʹnogograničnogoupravlínnâdlâneodnorídnogobígarmoníčnogorívnânnâ AT vološkolv rozvâzannâzadačíoptimalʹnogograničnogoupravlínnâdlâneodnorídnogobígarmoníčnogorívnânnâ AT kiselevaem optimalboundarycontrolproblemsolutionforinhomogeneousbiharmonicequation AT vološkolv optimalboundarycontrolproblemsolutionforinhomogeneousbiharmonicequation |
| first_indexed |
2025-11-24T03:11:53Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:11:53Z |
| _version_ |
1850840550032277504 |
| fulltext |
© Е.М. КИСЕЛЕВА, Л.В. ВОЛОШКО, 2014
58 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.8
Е.М. Киселева, Л.В. Волошко
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО
БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Введение
Часто при математическом описании практических оптимизационных проблем
необходимо учитывать состояние некоторого объекта или процесса, изменяющего-
ся во времени и в пространстве, что приводит к задачам оптимального управления
распределенными системами. Наиболее мощным средством решения задач управ-
ления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями, является
применение необходимых условий в форме принципа максимума Понтрягина. Но
для многих задач получение таких условий связано со сложностями теоретического
характера. Кроме того, некоторые краевые задачи для уравнений математической
физики могут быть решены лишь с привлечением методов численного анали-
за [1, 2]. Разработка новых вычислительных методов обусловлена той важной ро-
лью, которую они играют в разнообразных проблемах прикладного характера, в ча-
стности, при решении граничных задач математической физики. Так, в работе [3]
приведены результаты исследования задачи определения параметров температур-
ных состояний сложных тел, в [1] с помощью обобщенных градиентных методов
успешно решаются задачи управления системами параболического типа, сводящие-
ся к непрерывным задачам оптимального разбиения множеств. Полученные доста-
точно точные решения задач этими методами позволяют предположить, что такими
же способами можно найти оптимальные решения многих граничных задач уравне-
ний математической физики. Анализ последних научных публикаций свидетельст-
вует о том, что задачи оптимального управления системами, описываемыми бигар-
моническими уравнениями для областей сложной формы, мало изучены. Их осо-
бенностью является тот факт, что без достаточно точного решения линейной задачи
невозможно построить итерационный процесс, который давал бы результат с ми-
нимальной погрешностью для нелинейной задачи. Поэтому далее предлагается эф-
фективный вычислительный алгоритм решения линейной граничной задачи неод-
нородного бигармонического уравнения с помощью граничных интегральных
уравнений и на его базе с помощью одного из вариантов градиентного метода нахо-
дится оптимальное граничное управление для этой же задачи.
1. Постановка основной задачи
Рассмотрим неоднородное бигармоническое уравнение
),,(2
4
4
22
4
4
4
yxf
y
w
yx
w
x
w
w
,),( yx (1)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 4 59
с граничными условиями
),,(),,( yx
dn
dw
yxw ,),( yx (2)
где функции граничных условий )(),(),,( 2 Lyxyx заданы на замкнутом
контуре , который ограничивает область ,2R n — внешняя нормаль в точке
.),( yx Функция )(),( 4 Cyxw является решением (1), (2). В [4] доказано
существование и единственность решения этой задачи.
Очевидно, что решение задачи (1), (2) зависит от правой части уравнения
и функций граничных условий. В предположении, что функции ),( yxf и ),( yx
заданы, найдем такую функцию ),(),( 2 Lyx которая доставляет минимум
функционалу
,)),(;,()),(( 2
dydxyxyxwI
где )),(;,( yxyxw — решение краевой задачи (1), (2), соответствующее функции
граничных условий ).(),( 2 Lyx
Коротко задача записывается следующим образом:
.min)),((
)(2),(
L
I (3)
Замечание. Частным случаем задачи (1), (2) является приведенная ниже зада-
ча теории пластин:
,
),(
D
yxq
w ,),( yx
),,(,0),( yx
dn
dw
yxw ,),( yx
.min)),(;,()),((
)(),(
2
2
L
dxdyyxyxwI
Здесь — серединная плоскость пластины, ограниченная контуром , q(х,у) —
поперечная нагрузка на пластину,
)1(12 2
2
Eh
D — цилиндрическая жесткость
пластины, h — толщина пластины, E — модуль упругости первого рода и — ко-
эффициент Пуассона ее материала. Условие 0),( yx указывает на то, что края
пластины защемлены по контуру. Зада-
ча состоит в отыскании таких углов за-
крепления ),,(tg),( yxyx чтобы
прогиб в каждой точке пластины был
как можно меньше с учетом распреде-
ленной нагрузки (рис. 1).
Важной составляющей частью ре-
шения задачи (1)–(3) является линейная
задача (1), (2). Поэтому рассмотрим
сначала алгоритм ее решения с приме-
нением метода потенциала.
w
x
q(x,y)
y
Рис. 1
60 ISSN 0572-2691
2. Метод решения линейной граничной задачи
для неоднородного бигармонического уравнения
Следуя [5], решение задачи (1), (2) будем искать в виде
),,(),(),( 21 yxwyxwyxw (4)
где функция ),(1 yxw является частным решением неоднородного бигармониче-
ского уравнения
).,(),(ln
8
1
),( 2
1
dfrryxw (5)
Здесь ,)()( 22 yxr ),( yx — точка наблюдения, ),( — переменная
интегрирования, а функция ),(2 yxw — решение задачи для однородного бигар-
монического уравнения
,02 w ),( yx (6)
с граничными условиями
),,(),(
),,(),(
12
12
yx
dn
dw
yx
dn
dw
yxwyxw
.),( yx (7)
Решение задачи (6), (7) есть сумма бигармонических потенциалов [4]
,),()ln(),()ln(),( 2
2
1
2
2
drrdrryxw (8)
где )(, 2
21 L — произвольные и неизвестные функции плотности, — внут-
ренняя нормаль в точке .),(
Решение (8) должно удовлетворять граничным условиям (7), что приводит
к следующей системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода:
,),(),,(),(
),(),()ln(),(),()ln(
),(),(),(),()ln(),(),(ln
1
2
2
1
2
12
2
1
2
yxyx
dn
dw
yx
dΓrr
n
dΓrr
n
yxwyxdΓrrdΓrr
откуда будут найдены ).,(),,( 21 Эту систему запишем в матричном виде
,
),(),(
),(),(
),(
),(
),(
),;,( 1
1
2
1
),(
yx
dn
dw
yx
yxwyx
dyxA
yx
(9)
где матричное ядро
n
G
n
G
GG
rr
n
rr
n
rrrr
yxA
21
21
22
22
)ln()ln(
)ln(ln
),;,(
, (10)
).()ln(ln 21
22 GGrrrrG
Наличие в ядрах системы уравнений (9) логарифмических особенностей по-
зволяет достичь регуляризирующего эффекта их решения прямыми вычислитель-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 4 61
ными методами. Их суть состоит в том, что систему интегральных уравнений (9)
c помощью формул типа Симпсона сведем к системе алгебраических. Для этого
контур разбиваем на элементарные дуги, на каждой из которых выбираем сре-
динную точку. Систему интегральных уравнений приближенно, заменой интегра-
лов по элементарным дугам, представляем в виде системы линейных алгебраиче-
ских относительно ),(),,( 21 на участках контура [6].
Приведем решение (4) в подробном виде:
),(),(ln
8
1
),( 2 dfrryxw
).,(
),(
),(
)),;,(),,;,((
2
1
),(21
dyxGyxG
yx
(11)
Далее, решение (11) запишем таким образом, чтобы в явном виде присутст-
вовали функции ),( yx и ).,( yx
Для интегрального оператора
),(),;,( dyxA существует обратный,
так как главная диагональ матричного ядра (10) имеет логарифмическую особен-
ность, а недиагональные элементы непрерывны [7]. Поэтому записываем решение
системы интегральных уравнений (9) в виде
),(),(ln
8
1
),( 2 dfrryxw
).,(
),(),(
),(),(
),;,(),;,( 1
1
1
),(
d
yx
dn
dw
yx
yxwyx
yxAyxG
yx
Обозначив ,),;,(),;,(),;,( 1
),(
yxAyxGyxG
yx
окончательно получим
решение задачи (1), (2):
),(),(ln
8
1
),( 2 dfrryxw
,),(
),(),(
),(),(
),;,( 1
1
d
yx
dn
dw
yx
yxwyx
yxG (12)
где ),;,( yxG — контурная функция Грина.
Таким образом, получено аналитическое решение задачи (1), (2) в виде (12), ко-
торое положено в основу построения вычислительного алгоритма решения этой
задачи методом потенциалов, детально описанным в [6]. Далее рассмотрим конк-
ретные примеры, которые позволят оценить эффективность такого подхода.
3. Численное решение линейной задачи методом потенциала
Рассмотрим такие граничные задачи (1), (2), для которых решение известно за-
ранее. Для проверки достоверности решения приведем примеры разных модельных
функций ),,( yxg определив ),( yxf таким образом: ),,(),( yxfyxg а также
рассмотрим разные формы областей . Определив значения ),( yxg и ее нормаль-
ной производной в точках контура, определим граничные условия ),,( yx ),( yx .
Таким образом, в силу единственности решения прямой задачи имеет место
),(),( yxwyxg для .),( yx
62 ISSN 0572-2691
Пример 1. Пусть модельная функция ,
24
),( 6
42
x
yx
yxg тогда g
,2361 22 yx т.е. ,),(,2361 22 yxyxf ,
24
6
42
x
yx
5
4
6
12
x
xy
.),(),^cos(
6
)^cos(
32
yxyn
yx
xn Выбираем неканонический контур — ги-
поциклоиду, которая задается уравнениями
,coscos)(
r
rR
drRx ,sinsin)(
r
rR
drRy
где R — радиус неподвижной окружности, r — радиус образующей окружности,
d — расстояние от точки, описывающей гипоциклоиду, до центра производящего
круга. Для пластин, имеющих столь сложную форму, точное аналитическое реше-
ние неизвестно. Геометрия области задается следующими параметрами: R 1,2,
r 0,4, d 0,1 (рис. 2) Решение приведено в табл. 1.
A
0,4 0 0,4 0,8 1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,8
0,6
0,4
0,2
F
C
B
E
D
Рис. 2
Относительная погрешность составляет 0,15 %.
Пример 2. Пусть ,),( 46 yxyxg тогда ,24360 2 xg т.е. ,24360 2 xf
),( yx . Далее ),^cos(4)^cos(6, 3546 ynyxnxyx .),( yx Выби-
раем сложный контур — овал Кассини, который задается уравнением 2
,2sin2cos 2442 cac где ),( — полярные координаты, а расчеты про-
ведены для параметров .1,2,1 ca Решение модельной задачи получено в виде
поверхностей, которые изображены на рис. 3: а — решение методом потенциала;
б — решение прямым методом.
Относительная погрешность численных результатов 0,2%.
2
0,6
2 0,8
0
2
4
6
8
10
0,2
1
0 0,4 0,8 1,2 1,6
1,8
2
0,6
2
0,8
0
2
4
6
8
10
0,2
1 0 0,4 0,8 1,2 1,6
1,8
а б
Рис. 3
Таблица 1
Координаты
точки (x, y)
Приближен-
ное решение
Точное
решение
Погрешность
A (0,4; 0,8) 0,00682 0,00682 0,00000
B (0,3; 0,3) 0,00071 0,00075 0,00004
C (0,4; 0,6) 0,00457 0,00496 0,00038
D (0,5; 0,4) 0,01585 0,01589 0,00004
E (0,8; 0,4) 0,26282 0,26286 0,00004
F (0,4; 0,1) 0,00419 0,00409 0,00010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 4 63
Пример 3. Теперь рассмотрим классическую задачу линейной теории пластин:
,
),(
D
yxq
w ,),( yx
),,(),,( yx
dn
dw
yxw .),( yx
В [8] приведено решение задачи для случая, когда жестко закрепленная пла-
стина имеет форму квадрата со стороной а и нагрузкой, распределенной по гид-
ростатическому закону .
22
),( 00
a
xqq
yxq Пусть ,4a .н/м175000 2
0 q
В соответствии с [8] изгиб в центре симметрии квадратной пластины нахо-
дится по формуле ,)0;0(
4
0
D
aq
w где 00063,0 — эмпирический коэффи-
циент. В результате вычислений по этой формуле имеем 0,0114.)0;0( w Точное
решение полученное изложенным методом потенциала 0,0115.)0;0( w Относи-
тельная погрешность составляет 0,8 %.
Анализ данных свидетельствует о высокой точности решений задачи (1), (2),
в том числе для области сложной формы. Поэтому этот метод будем применять
для решения поставленной задачи оптимального управления граничными ус-
ловиями.
4. Описание метода решения основной задачи (1)–(3)
нахождения оптимальных граничных условий
Вернемся к постановке задачи (1)–(3):
,min)),((
)(2),(
L
I
где ,)),(;,()),(( 2
dxdyyxyxwI а состояние управляемого объекта описы-
вается дифференциальным уравнением
),,(2
4
4
22
4
4
4
yxf
y
w
yx
w
x
w
w
),( yx
с краевыми условиями
),,(),,( yx
dn
dw
yxw .),( yx
Более подробно с учетом аналитического решения (12) линейной граничной
задачи (1), (2), функционал )),(( I представим в виде
),(),(ln
8
1
)),((
~ 2 dfrrI
.min),(
),(),(
),(),(
),;,(
)(),(
2
1
1
2
LΓ
dxdyd
yx
dn
dw
yx
yxwyx
yxG (13)
Функционал (13) выпуклый полунепрерывный снизу на )(2 L , поэтому в силу
теоремы Вейерштрасса достигает своей нижней грани в единственной точке
).(),( 2 L
64 ISSN 0572-2691
Опишем алгоритм решения задачи (1), (2), (13), построенный на основе гра-
диентного метода с дроблением шага [2]. Предварительно запишем аналитиче-
ский вид производной Фреше функционала (13) в каждой точке :)ˆ,ˆ(
),(),(ln
8
1
2
)ˆ,ˆ(
))ˆ,ˆ((
~
2 dfrr
I
ddyxwyxyxG )),(),((),;,( 11
.)ˆ,ˆ;,(),(),(),;,( 2
1
2 dxdyyxGddyx
dn
dw
yxyxG
(14)
Алгоритм. Начальный этап.
Шаг 1. Выбрать произвольное начальное приближение ),(0 yx и начальный
шаг градиентного метода ,00 установить счетчик итераций 0k и количест-
во N точек )ˆ,ˆ( разбиения контура , задать точность .0
Шаг 2. Вычислить приближенно )).,((
~ 0 yxI Перейти к основному этапу.
Основной этап.
Шаг 1. Вычислить приближенно производную Фреше (14) в каждой точке
)ˆ,ˆ( ii контура , .,1 Ni
Шаг 2. Найти 1k приближение функции ),( yx по правилу
...,2,1,0,
)ˆ,ˆ(
))ˆ,ˆ((
~
)ˆ,ˆ()ˆ,ˆ(1
k
I
ii
k
ii
k
k
ii
k
ii
k (15)
Вычислить значение функционала )).,((
~ 1 yxI k
Шаг 3. Проверить условие монотонности убывания значений функционала (13)
)).,((
~
)),((
~ 1 yxIyxI kk
Если оно выполняется, считаем kk 1 и перехо-
дим к шагу 4, в противном случае величину шага k делим пополам и возвра-
щаемся к шагу 2. Производим дробление шага k до тех пор, пока не восстано-
вится монотонность.
Шаг 4. Выполнить проверку условия окончания итерационного процесса
.)ˆ,ˆ()ˆ,ˆ(
1
1
21
N
i
ii
k
ii
k
N
В случае ее невыполнения заменяем k на
k 1 и возвращаемся к шагу 1.
Алгоритм описан.
Таким образом, решение задачи (1)–(3) сводится к построению минимизи-
рующей последовательности )},({ yxk по формуле (15), при этом на каждой
итерации решается линейная задача (1), (2) с помощью метода потенциала.
5. Анализ результатов вычислительных экспериментов
Для проверки достоверности работы описанного выше алгоритма составим
следующую модельную задачу.
Рассмотрим функцию
)),(1()1();,( 222)22(1 yxeyxg yx
],1;0[ (16)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 4 65
в области , ограниченной контуром : .122 yx По аналогии с использовани-
ем модельной функции разд. 3 задачу (1)–(3) представим в виде
,min)(
)(2
L
gI (17)
где ,);,()( 2
dxdyyxggI
),22(16),( 222244)22(1 yxyxyxeyxfg yx
,),( yx (18)
,0),();,( yxyxg
)^cos()(2),();,( 2)22(1 xnexyxyx
dn
dg yx
(19)
.),(),1(2)^cos()(2 22)22(1 yxyney yx
Функция );,( yxg подобрана таким образом, чтобы параметр отсутство-
вал в правой части уравнения (18) и выполнялось первое граничное условие (19).
Из анализа (16) и (19) следует, что при значении параметра 0
,)0;,()( 2
min
dxdyyxggI
при этом второе граничное условие .),(,2),( yxyx В качестве начального
приближения функции ),( yx можно взять, например, функцию вида (19) при
различных .0 По итерационной формуле (15) функциональная последова-
тельность сходится к решению ,2),( yx а значение функционала достигает
минимума.
Кроме того, дополнительно подтвердим правильность результатов, рассмот-
рев функционал
,min));,(),(()( 2
dxdyyxgyxwL (20)
где );,( yxg — заданная функция, которую получаем из (16) при некотором
фиксированном ].1;0[ Тогда .0)(min L
Пример 4. Рассмотрим результаты решения модельной задачи (17)–(19) при
различных начальных приближениях. В табл. 2 приведены количество итераций,
значения функционалов и искомой функции на начальной и последней итерациях,
точное решение и погрешность. Учитывая симметрию контура и граничных усло-
вий, достаточно указать расчеты параметров вычислительного процесса в точке
(1; 0), .01,0
Относительная погрешность составляет 0,4 %. Результаты решения модель-
ной задачи свидетельствуют о том, что разработанный алгоритм и программа по-
зволяют решать задачи с достаточной для практики точностью.
Таблица 2
0
Количество
итераций
(k)
Значение функ-
ционала L()
Значение функ-
ционала I()
Приближенное
значение функции
(x, y)
Точное
значение
функции
(x, y)
Погреш-
ность
(x, y)
L(
0
) L(
k
) I (
0
) I (
k
)
0
(1; 0)
k
(1; 0)
0,2 2 0,0017 2,1·10
6 2,5123 2,3851 2,08 2,0001 2 0,0001
0,4 2 0,0272
2,6 ·10
5
2,9150 2,3969 2,32 2,0076 2 0,0076
0,6 3 0,1368 4,5 ·10
3,6533 2,3873 2,72 2,0015 2 0,0015
66 ISSN 0572-2691
6
1,0 4 1,0510
3,2 ·10
5
6,5794 2,3984 4 2,0085 2 0,0085
Пример 5. Рассмотрим задачу (1)–(3), точное решение которой неизвестно:
,yxw ,),( yx
),,(,0 yx
dn
dw
w ,),( yx
,min)),((
)(2),(
L
I
где Г — гипоциклоида с параметрами, как в примере 1. Начальное приближение
выберем ,5),(0 yx .),( yx Результаты вычислений искомой функции в не-
которых точках контура, полученных на каждой итерации, приведены в табл. 3.
Таблица 3
Координаты
точки (x, y)
Значение функции
j
(x; y) на j-м шаге итерации
0
(x; y)
1
(x; y)
2
(x; y)
3
(x; y)
4
(x; y)
5
(x; y)
6
(x; y)
7
(x; y)
(0,61; 0,64) 5 4,3815 3,9050 3,2543 3,2114 2,9488 2,7251 2,5327
(0,56; 0,71) 5 5,3450 5,6444 5,9087 6,1450 6,3584 6,5522 6,7292
(0,41; 0,11) 5 4,8612 4,8585 4,9244 5,0211 5,1278 5,2337 5,3330
Значения функционала, полученные на каждой итерации соответственно
равны:
)( 0I 2,1699; )( 1I 1,9935; )( 2I 1,8970; )( 3I 1,8446;
)( 4I 1,8171; )( 5I 1,8037; )( 6I 1,7984; , )( 7I 1,7976.
Сходящийся итерационный процесс и монотонное убывание значений функ-
ционала, разность которых на последних итерациях составляет меньше 0,001, мо-
гут служить косвенным подтверждением достоверности полученных результатов.
Пример 6. Рассмотрим пример из линейной теории пластин, представленный
в замечании. Выбираем квадратную пластину со стороной 2a и параметром гид-
ростатической нагрузки .кн/м17500 2
0 q Остальные параметры берем из
примера 3. Допустим, имеем плотное пространство с бесконечным сквозным отвер-
стием квадратной формы, в котором закреплена пластина: границы жестко защем-
лены во всех точках контура )0),(( yx под углом ),( yx )).,(tg),(( yxyx
Теперь с помощью изложенного алгоритма определяем оптимальные углы,
под которыми необходимо закрепить пластину по контуру, чтобы сумма квадра-
тов отклонений точек пластины от ее серединной плоскости была минимальной.
Пусть начальное приближение 5,0),(tg),(0 yxyx для всех .),( yx
При этом начальном приближении значение функционала .108,0)),(( 0 yxI Для
сходимости процесса достаточно семнадцати итераций. Оптимальные значения
тангенсов углов закрепления пластины в точках А и В составляют ,18,0)(tg A
,22,0)(tg B при этом сума про-
гибов срединных точек пластины
уменьшилась до 0005,0));(( 17 yxI
(рис. 4).
Решения модельных задач сов-
падают с численными результатами,
w
x
q(x, y)
y
β
A B
Рис. 4
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 4 67
полученными предлагаемым методом. Расчеты параметров закрепления в задаче
изгиба пластины соответствуют физическому смыслу.
Заключение
Таким образом, в работе изложено решение задачи оптимального граничного
управления для неоднородного бигармонического уравнения. Для этого использо-
ван градиентный метод, на каждой итерации которого методом потенциала реша-
лась линейная граничная задача. Многочисленные результаты вычислительных
экспериментов подтверждают эффективность изложенного подхода. Практическая
программная реализация свидетельствует о возможности применения этого подхода
для построения алгоритмов задач оптимального граничного управления для урав-
нений эллиптического типа. Остаются открытыми вопросы теоретического обосно-
вания сходимости, единственности и оценки погрешности итерационного процесса.
О.М. Кісельова, Л.В. Волошко
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО
ГРАНИЧНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ НЕОДНОРІДНОГО
БІГАРМОНІЧНОГО РІВНЯННЯ
Розглянуто задачу оптимального граничного керування для неоднорідного бі-
гармонічного рівняння, для розв’язування якої використовується один з варіан-
тів градієнтного методу. Лінійна крайова задача за допомогою методу потенці-
алу зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду.
Ефективність алгоритму підтверджується високою точністю отриманих чисель-
них результатів.
E.M. Kiseleva, L.V. Voloshko
OPTIMAL BOUNDARY CONTROL
PROBLEM SOLUTION FOR INHOMOGENEOUS
BIHARMONIC EQUATION
Optimal boundary control problem for inhomogeneous biharmonic equation is under
consideration. It was solved with one of the gradient methods. By means of potential
method the linear problem is reduced to the system of Fredgolm integral equations of
the first kind. The effectiveness of algorithm is confirmed by high accuracy of ob-
tained calculations.
1. Киселева Е.М., Коряшкина Л.С. Модели и методы решения непрерывных задач оптималь-
ного разбиения множеств: линейные, нелинейные, динамические задачи. — Киев : Наук.
думка, 2013. — 606 с.
2. Васильев Ф.П., Численные методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1988. —
550с.
3. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров задач термоупругости при неста-
ционарном поле температур // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 3. — С. 51–78.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972. —
736 с.
5. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. — М. : Наука,
1984. — 385с.
6. Кісельова О.М., Ламзюк В.Д., Волошко Л.В. Щодо розв’язування крайової задачі для неод-
норідного бігармонічного рівняння для області складної форми // Вісник Дніпропетровсь-
кого ун-ту. Сер. моделювання — 2011. — 2, № 8 (3). — С. 20−28.
7. Боборыкин В.Г. Функции Грина для защемленной кирхгофовой пластины произвольного
очертания // Там же. Сер. механіка. — 2013. — 2, № 5 (17). — С. 21−29.
8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М. : URSS, 2009. —
635 с.
68 ISSN 0572-2691
Получено 07.05.2014
|