О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Запропоновано новий метод знаходження наближеного розв’язку задачі Коші для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Розв’язок наведено у вигляді лінійної комбінації елементів деякої системи лінійно незалежних функцій. Невідомі сталі розкладу знаходяться з умови найкращого наближення прави...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Литвин, О.Н., Лобанова, Л.С., Мирошниченко, Г.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schlagworte:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207828
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.А. Мирошниченко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859996237673005056
author	Литвин, О.Н. Лобанова, Л.С. Мирошниченко, Г.А.
author_facet	Литвин, О.Н. Лобанова, Л.С. Мирошниченко, Г.А.
citation_txt	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.А. Мирошниченко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано новий метод знаходження наближеного розв’язку задачі Коші для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Розв’язок наведено у вигляді лінійної комбінації елементів деякої системи лінійно незалежних функцій. Невідомі сталі розкладу знаходяться з умови найкращого наближення правих частин диференціальних рівнянь системи (в нормі L₂ [0, 1]) та їх похідних (в нормі W₂ [0, 1]) за допомогою вказаної системи лінійно незалежних функцій. Наведено приклади. A new method for finding approximate solutions of the Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations is offered. The approximate solution is represented as a linear combination of the elements of a linearly independent functions system. Unknown constants of expansion are found from condition of the best approximation of the right sides of the differential equations of system (of normal L₂ [0, 1]) and their derivatives (of normal W₂ [0, 1]) with these systems of linearly independent functions. Examples are given.
first_indexed	2025-12-07T16:34:49Z
format	Article
fulltext	© О.Н. ЛИТВИН, Л.С. ЛОБАНОВА, Г.А. МИРОШНИЧЕНКО, 2014 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 5 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 519.876.5;519.6 О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.А. Мирошниченко О НОВОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Введение. В работах [1–3] исследовалось приближение функций класса ]1,0[C и класса ]1,0[1 2W сплайнами первой степени. В частности, в [3] доказано, что при- ближение функций класса ]1,0[1 2W сплайнами первого порядка в норме ]1,0[1 2W по- зволяет получать приближения с оптимальным порядком точности на этом классе. В работах [4–7] предложен и исследован новый метод решения задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью сплай- нов первой степени при условии, что правые части системы приближались сплайна- ми первой степени минимизацией соответствующей невязки в норме ],1,0[2 rW .1,0 == rr В настоящей статье указанный метод обобщается на случай, когда прибли- женное решение ищется в виде линейной комбинации некоторой системы линей- но независимых функций, удовлетворяющих однородным условиям Коши, и не- известные коэффициенты указанной линейной комбинации находятся из условия наилучшего приближения правых частей дифференциальных уравнений системы в норме .1,0],1,0[2 =rW r Аналогичный подход предложен в [8] для решения краевых задач. Постановка задачи. Задача заключается в разработке и исследовании метода нахождения приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений ),(xfyA dx yd dd d += (1) ,0)0( =y (2) ,,1,),(, ... ............ ... ... , )( ... )( )( 21 22221 11211 2 1 njixaa aaa aaa aaa A xy xy xy y ijij nnnn n n n == öö ö ö ÷ õ ææ æ æ ç å = öö ö ö ÷ õ ææ æ æ ç å = d в виде линейной комбинации точных решений задачи Коши (1), (2) для правых частей вида ),( )( )( xA dx xd x k k k y- y =j d d d где )(xky d — система линейно незави- 6 ISSN 0572-2691 симых вектор-функций со свойствами ,...2,1,0)0( ==y kk dd . Предлагается метод нахождения произвольных постоянных указанной линейной комбинации. Приво- дятся примеры. Анализ результатов вычислительного эксперимента демонстриру- ет высокую точность метода. Основные утверждения работы. Предлагается метод решения задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (1), (2), ко- торый состоит из следующих шагов: — выбираем систему T 1 )](...,),([)( xxx Nyy=y dd линейно независимых век- тор-функций, которые удовлетворяют условию ,,1,0)()( )( ;0)0( NkxxA dx xd kk k k =¸j=y- y =y dd d d (3) — представляем неизвестное решение задачи (1), (2) в виде ,,1),()( 1 ,,, ä = =y= N iiNi nixCxy ^ ^^ (4) — неизвестные постоянные ,,1,,1,, NniCi == ^^ находим из условия наи- лучшего приближения правых частей ,,1),( nixfi = дифференциальных уравне- ний выражениями ä ä = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y N n k kkkiii Ca dx d C 1 1 ,,,,, ^ ^^^^ в случае ,0=r т.е. в норме 2/1 1 0 2 2 )( ö ö ÷ õ æ æ ç å =ñ dxxuu или правых частей ,,1),( nixfi = и их производных ),(xf dx d i ,,1 ni= выражениями соответственно , 1 1 ,,,,,ä ä = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y N n k kkkiii Ca dx d C ^ ^^^^ ä ä = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y N n k kkkiii Ca dx d C dx d 1 1 ,,,,, ^ ^^^^ при ,1=r т.е. в норме пространства .:)(]1,0[ 1 0 2 2 )(1 2 îý î ü û îí î ì ë ¤<= ä =s suxuW В общем случае указанные условия имеют вид .1,min)()( )( )()( ,0,min)()( )( )()( 1 0 1 0 2 1 )( 1 ,, , , )( 1 0 1 2 1 1 ,, , , , , = ö ö ö ÷ õ æ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y- y -= = ö ö ÷ õ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y- y -= ñää ä ä ñä ä ä = = = = = = = rdxxCxa dx xd CxfCJ rdxxCxa dx xd CxfCJ n i r s C N s n k kki i i s ir n i C N n k kki i iir k k ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (5) Используя необходимое условие экстремума функции многих переменных, для определения коэффициентов ),1;,1(, NnkCk == ^^ разложения приближенного решения по системе функций )(, xk̂y получаем системы линейных алгебраиче- ских уравнений соответственно ()ñä ä ä îí î ì ë ³ ö ö ÷ õ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y-= µ µ = = = 1 0 1 1 1 ,,,,, , 0 )()()(2 )( n i N n k kkkiiii pj xCxax dx d Cxf C CJ ^ ^^^^ ,,1,,1,0)()()( ,,,, Npnjdxxxax dx d pjjijipj === îý î ü û ö ÷ õ æ ç å y+dÖy-³ (6) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 7 ()ñää ä ä î í î ì ë ³ ö ö ö ÷ õ æ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y- y -= µ µ = = = = 1 0 1 1 0 1 )( 1 ,,, , , )( , 1 )()( )( 2 )( n i s N l s n k kkki i i s i pj xCxa dx xd Cxf C CJ ^^ ^ ^ ,0))()()()()(( )( ,,1,, )( ,, )1( , = îý î ü û y+dy+dÖy-³ + dxxxaxxax s pjjispj s jiji s pj (6¡) í ì ë ¸ = =d== .,0 ,,1 ;,1,,1 , ji ji Npnj ji Запишем их подробнее: ³ ö ö ÷ õ æ æ ç å y-yñäää ä = = = = + 1 0 1 1 0 1 1 )( ,,, )1( ,, ))()(()( n i s N n k s kkik s ii xxaCxC ^ ^^^^ ( ) =y+dy+dÖy-³ + dxxxaxxax s pjjispj s jiji s pj ))()()()()(( )( ,,1,, )( ,, 1 , ñää = = + y+dy+dÖy-= 1 0 1 1 0 )( ,,1,, )( ,, )1( , )( ,))()()()()()(( n i s s jpjisjp s jiji s jp s i dxxxaxxaxxf (6¡¡) .,1;,1 Npnj == Результаты решения систем (6) или (6¡), (6¡¡) подставляем в (4). Теорема 1. Приближенное решение ,,1),()( 1 ,,, ä = =y= N iiNi nixCxy ^ ^^ имеет следующие свойства: а) точно удовлетворяет начальному условию (2) задачи Коши; б) точно удовлетворяет системе дифференциальных уравнений ä = =- n k NiNkki Ni xfxyxa dx xdy 1 ,,, , ),()()( )( ,,1 ni= (7) где ,)( 1 1 ,,,,,, ä ä = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y= N n k kkkiiiNi Ca dx d Cxf ^ ^^^^ ,,1 ni= (8) и функции )(, xf Ni являются наилучшими приближениями в норме ]1,0[2 rW к ,)(xfi .,1 ni= Доказательство теоремы 1 проводится проверкой выполнения (7), (8). Приведенная теорема представляет новый метод решения задачи (1), (2), ко- торый состоит в том, что предлагается точное решение задачи (1), (2) приближать точными решениями системы (7) при нулевых начальных условиях и не равных нулю правых частях. Теорема 2. Предположим, что коэффициенты, правые части и решение сис- темы (1) ),()( RCxyi ¤Í ),()( RCxaij ¤Í ),()( RCxfi ¤Í ,,1, nji = — аналитиче- ские функции. Если постоянные ),1,,1(, NnkCk == ^^ находятся из условия ,min)]()([)( 1 0 1 1 0 2)( , )( 1 C n k s s Nk s k xdxfxfCJ -=ñää = = то в случае ,,...2,1,0,)(, ==y ^^^ xxk выполняются следующие предельные соот- ношения: 8 ISSN 0572-2691 ,0})()(,)()({maxmaxlim ,, 101 =¡-¡- ¢¢¢¢¤ xfxfxfxf NkkNkk xnkN .,1,0)()(maxlim , 10 nkxyxy Nkk xN ==- ¢¢¤ Доказательство. Представим правые части системы в виде ряда Маклорена: .,1,!/)0(,)( )( , 1 , nkjffxfxf j kjk j j jkk ===ä ¤ = Тогда ,,1,)( 1 1 , nkxfjxf dx d j j jkk =ÖÖ=ä ¤ = - + ù ù ú ø é é ê è ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y-=ñä ä ää = = = ¤ = 1 0 1 2 1 1 ,,,,, 0 ,1 )( n k N n j jjjkkk j j jk dxCa dx d CxfCJ ^ ^^^^ .min)( 1 0 1 2 1 1 ,,,,2 2 , 1 1 ,ñä ä ää = = = ¤ = - ù ù ú ø é é ê è ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y-ÖÖ+ n k C N n j jjkjkk j j jk dxa dx d C dx d Cxfj ^ ^^^^ Очевидно, что даже если выбрать коэффициенты ^,kC не оптимально из ус- ловия, чтобы ,,0,0 0 1 1 ,,,,, 0 , NpCa dx d Cxf dx d x N n j jjjkkk j j jkp p == ö ö ÷ õ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y- = = = ¤ = ä ää ^ ^^^^ то при ¤N получим .0)(1 CJ Учитывая, что при оптимальном выборе ^,kC значение )(1 CJ может только уменьшиться, можно сделать вывод, что существу- ет набор коэффициентов ,,^kC обеспечивающий предельное равенство .0})()(,)()({maxmaxlim ,, 101 =¡-¡- ¢¢¢¢¤ xfxfxfxf NkkNkk xnkN Если воспользоваться методом оценки погрешности приближения в норме ]1,0[1 2W дифференцируемых функций линейными сплайнами, изложенным в ра- боте [3], можно доказать, что получаемые приближения сплайнами первой степе- ни являются точными на функциях xxexe == )(,1)( 10 и асимптотически точно приближают функцию .)( 2 2 xxe = Согласно теоремам Коровкина [9] такие опера- торы стремятся к каждой непрерывной функции, т.е. применительно к данной за- даче будут выполняться соотношения .0)()(lim , =- ¤ xfxf Nkk N Поскольку функции )(, xy Nk удовлетворяют однородным начальным усло- виям, то разности ,,1),()))( , nkxyxyx Nkkk =-=e тоже удовлетворяют однород- ным начальным условиям .,1,0)0( nkk ==e Поэтому при ¤N получаем ,,1,0)()( , nkxfxf Nkk =- поскольку функции ,,1,),(),( njixaxf iji = считаем такими, что их ряды Маклорена сходятся, т.е. остаток 0 !1 0 1 1 ,,,,, 0 , ö ö ÷ õ æ æ ç å ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y-ä ä ää ¤ += = = = ¤ = p x Ca dx d Cxf dx d p Np x N n j jjjkkk j j jkp p ^ ^^^^ Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 9 при .¤N Систему дифференциальных уравнений для ,,1),( nkxk =e можно записать в виде ,,1,)()()( )( 1 nkxfxfxa dx xd n l kNkk k =-+e= e ä = ^^ при N ¤ она превратится в систему однородных дифференциальных уравнений .,1,0)( )( 1 nkxa dx xd n l lkl k ==e- e ä = Согласно известной теореме такая задача при однородных начальных условиях ,,1,0)0( nkk ==e имеет тривиальное, т.е. тождественно равное нулю решение: .,1,0)( nkxk =¹e Отсюда следует, что при ¤N Ý¹- 0)()( , xyxy Nkk ),()(lim , xyxy kNk N =Ý ¤ .,1 nk= Теорема 2 доказана. Приведем численные примеры, иллюстрирующие применение изложенного метода к решению задачи Коши для систем обыкновенных линейных дифферен- циальных уравнений. Отметим, что во всех приведенных примерах неизвестные постоянные находились из условия наилучшего приближения правых частей диф- ференциальных уравнений системы в нормах пространства ]1,0[2L и ],1,0[2 rW .}1,0{Ír Приближенное решение находилось на отрезке [0,1] . Максимальная погрешность приближения к точному решению 1d определялась для случая, когда постоянные в (4) находились из условия наилучшего приближения правых частей ,,1),( nixfi = выражениями ,)()( 1 ,, 1 ,,,ä ä = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-y N l kk n k kiii xCax dx d C ^^^^ ,,1 ni= в норме .)( 2/1 1 0 2 2 ö ö ÷ õ æ æ ç å =ñ dxxuu Максимальная погрешность приближения к точному решению 2d определя- лась для случая, когда постоянные в (4) находились из условия наилучшего при- ближения правых частей ( ), 1,if x i n= и их производных ( ) , 1,idf x i n dx = соответ- ственно выражениями ,,1,)()( 1 ,, 1 ,,, nixCax dx d C N l kk n k kiii = ö ö ÷ õ æ æ ç å y-yä ä = = ^^^^ ,,1,)()( )( 1 1 ,, , , ,ä ä = = = ö ö ÷ õ æ æ ç å y- yN n k kki i i nixCxa dx xd C dx d k ^ ^ ^ ^ ^ в норме пространства .:)(]1,0[ 1 0 2 2 )(1 2 îý î ü û îí î ì ë ¤<= ä =s suxuW Максимальная погрешность приближения к точному решению 3d определя- лась для случая, когда решение задачи находилось методом Рунге–Кутта с шагом h. Пример 1. Найдем с помощью предложенного метода приближенное реше- ние задачи ( ) ,3cossin5,0 32 xxxxyy +++=+¡ .0)0( =y Точное решение имеет вид .sin5,0)( 3xxxyt += Для решения этой задачи выбиралась система ,)( k k xx =y ,...2,1=k При 8=N погрешность приближения к точному решению равнялась 10 ISSN 0572-2691 810944,2 -Ö для случая, когда коэффициенты ,,^iC ,,1 N=̂ ,,1 ni= находились из усло- вия наилучшего приближения правой час- ти в норме ]1,0[2L и 1010829,6 -Ö в норме ].1,0[2W¡ При решении методом Рунге–Кут- та при 0125,0=h погрешность равнялась .10294,8 10-Ö На рис. 1 представлены графики точного )(xyt и приближенного )(xyN решений за- дачи из примера 1. Пример 2. Найдем предложенным методом приближенное решение задачи îí î ì ë --+-=¡ +-+++=¡ ,1153 ,321682 32 212 23 211 xxyyy xxxyyy .0)0(,0)0( 21 == yy Точное решение имеет вид ,243)( 32 1 xxxxyt +-= .525)( 32 2 xxxxyt -+= Для решения этой задачи выбиралась система ,)(, k ik xx =Y .,...2,1;2,1 == ki Приближенное решение при 3=N совпадает с точным. Отклонение приближенного решения, полученного методом Рунге–Кутта при 01,0=h от точного решения, составляет соответственно 810842,4 -Ö для )(1 xy и 82,464 10-Ö для ).(2 xy Графики точных )(),( 21 xytxyt и приближенных ),(,1 xy N )(,2 xy N решений задачи примера 2 показаны на рис. 2. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,2 0,4 1 0,6 0,8 yt1(x) y1, N (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 1 2 3 yt2(x) y2, N (x) Рис. 2 Пример 3. Найдем решение задачи Коши для системы î í î ì ë -+-+=¡ +-=¡ -+-+=¡ ,1 ,1 ,232 3213 12 3211 xyyyy yy xyyyy .0)0(,0)0(,0)0( 321 === yyy Точное решение имеет вид ,cossin)(1 xxexyt x -+= ,sincos)(2 xxxexyt x +++-= .1cossin)(3 +-= xxxyt Для решения этой задачи выбиралась система ,)(, k ik xx =Y ....,2,1;3,2,1 == ki Максимальное отклонение приближенного решения при 8N = от точного составляет соответственно 910850,5 -Ö для )(1 xy , 1010544,9 -Ö для )(2 xy и 1010191,2 -Ö для )(3 xy при условии, что неизвестные коэффициенты находи- лись путем минимизации функционала ).(1 CJ Максимальное отклонение при- ближенного решения, полученного методом Рунге–Кутта при 0,02h= от точного решения составляет соответственно ,10413,5 9-Ö 910935,3 -Ö и .10849,1 9-Ö 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,5 1 1,5 yt(x) yN (x) Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 11 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 1 2 3 4 yt1(x) y1, N (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x -0,4 0 0,2 yt2(x) y2, N (x) -0,2 0,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,5 1 1,5 yt3(x) y3, N (x) Рис. 3 На рис. 3 приведены графики точных )(),(),( 321 xytxytxyt и приближенных )(),(),( ,3,2,1 xyxyxy NNN решений задачи примера 3. Отметим, что в примерах 2 и 3 высокая точность связана с тем, что правые час- ти систем дифференциальных уравнений являются полиномами, что свидетельству- ет о естественности выбора базисных функций в виде системы степенных функций. Приведем также примеры, в которых коэффициенты системы дифференци- альных уравнений не являются постоянными числами, т.е. выбор базисных функ- ций в виде степенных функций не является естественным, как в предыдущих примерах. Пример 4. Найдем предложенным методом приближенное решение задачи .0)0(,0)0( ),22( ),1( 21 3 2 2 12 35 2 3 1 2 1 == îí î ì ë -Ö+Ö-Ö+Ö=¡ -++-Ö+Ö=¡ - - yy xxexyxyxy xxxeyxyxy x x Точное решение .)(,)( 2 21 xx exxyexxy -- Ö=Ö= Для решения этой задачи выби- ралась система ...,2,1;2,1,)(, ===Y kixx k ik Максимальное отклонение приближенного решения при 8=N от точного составляет соответственно 910613,1 -Ö для )(1 xy и 910263,1 -Ö для )(2 xy при усло- вии, что неизвестные коэффициенты находились путем минимизации функциона- ла ).(1 CJ Максимальное отклонение приближенного решения, полученного методом Рун- ге–Кутта при ,02,0=h от точного решения составляет соответственно 910289,1 -Ö и .10681,1 9-Ö На рис. 4 изображены графики точных )(),( 21 xytxyt и приближенных ),(,1 xy N )(,2 xy N решений задачи примера 4. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,1 0,2 0,3 0,4 yt1(x) y1, N (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,1 0,2 0,3 0,4 yt2(x) y2, N (x) Рис. 4 12 ISSN 0572-2691 Пример 5. Найдем предложенным методом приближенное решение задачи .0)0(,0)0( ,sin5cos 1 1cos 1 1 4 ,cos 1 sin sin22 1 1 21 22212 211 == î î í î î ì ë -- + - - + +=¡ - + --++ + =¡ -- - - - - yy xexe x xe y x yy xe x xe xeyy x y xx x x x x Точное решение имеет вид .1cos)(,sin)( 21 -== -- xexytxexyt xx Для решения этой задачи выбиралась система ...,2,1;2,1,)(, ===Y kixx k ik Максимальное от- клонение приближенного решения при 8=N от точного составляет соответст- венно 1010822,8 -Ö для )(1 xy и 910380,1 -Ö для )(2 xy при условии, что неизвест- ные коэффициенты ,,1,,1,, niNCi ==̂^ находились путем минимизации функ- ционала ).(1 CJ Максимальное отклонение приближенного решения, полученного методом Рунге–Кутта при ,005,0=h от точного решения составляет соответст- венно 910528,2 -Ö и .10648,3 9-Ö Графики точных )(),( 21 xytxyt и приближенных )(),( ,2,1 xyxy NN решений задачи примера 5 показаны на рис. 5. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x 0,1 0,2 0,3 0,4 yt1(x) y1, N (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x -1 0 yt2(x) y2, N (x) -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 Рис. 5 Пример 6. Предложенным методом найдем решение задачи Коши для системы î î í îî ì ë ----+-+=¡ ---+-=¡ -++--+-+=¡ 1cos4 ,sin16 ,222cos422 23 3213 2 12 23 3211 xxxeyyyy xxxyy xxxxeyyyy x x при нулевых начальных условиях точное решение которой ,1)( 2 1 -+= xexy x ,3cos)( 2 2 xxexy x -+-= ,22)( 3 3 --= xexy x с использованием системы ,)(, k ik xx =Y ,...2,1;3,2,1 == ki Максимальное отклонение приближенного решения при 8=N от точного со- ставляет соответственно 810540,5 -Ö для ),(1 xy 910911,8 -Ö для ()2y x и 910092,1 -Ö для )(3 xy при условии, что неизвестные коэффициенты находились путем мини- мизации функционала ).(1 CJ Максимальное отклонение приближенного решения, полученного методом Рун- ге–Кутта при 025,0=h от точного решения составляет соответственно ,10432,2 8-Ö 810329,1 -Ö и .10601,1 8-Ö Пример 7. Решение задачи Коши для системы î î í îî ì ë ++++--+=¡ -++-=¡ +++--+=¡ ,6434 ,245 ,21019822 234 3213 24 12 34 3211 xxxxyyyy xxxyy xxxyyyy Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 13 при нулевых начальных условиях, найденное предложенным методом с использо- ванием системы ,...,2,1;3,2,1,)(, ===Y kixx k ik совпадает с точным решением ,25)( 24 1 xxxxy ++= ,2)( 23 2 xxxy -= xxxy 6)( 4 3 += при .4=N Максимальное отклонение приближенного решения, полученного методом Рун- ге–Кутта при 01,0=h от точного решения, составляет соответственно ,10611,3 9-Ö 910737,1 -Ö и .10639,8 10-Ö В дальнейшем авторы планируют обобщить предложенный метод на случай решения задачи оптимального управления для системы дифференциальных урав- нений с управлением. Заключение. Предложен метод построения приближенных решений задачи Коши для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений ),(xfyA dx yd dd d += ,10 <<x согласно которому компоненты ,,1),( nkxyk = решения представляют- ся в виде линейной комбинации элементов некоторой системы линейно независи- мых функций ,,...,1,,...,1,0),(, niNkxki ==y удовлетворяющих однородным на- чальным условиям задачи Коши. Коэффициенты разложения находятся из усло- вия наилучшего приближения в нормах ]1,0[1 2W и ]1,0[2L правых частей ),(xfi ,,1 ni= рассматриваемой системы. Из анализа результатов вычислительного эксперимента следует: 1) если правые части являются полиномами переменной x, то для нахождения приближенного решения системы с постоянными коэффициентами выбор базис- ных функций k ki xx =y )(, дает экспоненциальную точность; 2) если система дифференциальных уравнений общего вида, т.е. с перемен- ными коэффициентами, то выбор базисных функций )(, xkiy согласно предло- женному методу можно осуществить оптимально; 3) если базисные функции выбираются различными для различных компо- нент )(),...,(1 xyxy n , то можно получить точное решение для правых частей, кото- рые являются некоторым приближением, заданным правым частям; 4) одно из основных преимуществ этого метода состоит в том, что в резуль- тате получаем аналитическое решение; 5) описанный метод можно использовать только для решения задачи Коши систем линейных дифференциальных уравнений, однако имеется возможность его обобщения на случай задачи Коши для нелинейных систем; 6) приведенные примеры иллюстрируют высокую точность приближенных решений, полученных предложенным методом. О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.А. Мірошниченко ПРО НОВИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Запропоновано новий метод знаходження наближеного розв’язку задачі Коші для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Розв’язок наведено у вигляді лінійної комбінації елементів деякої системи лінійно незалежних функцій. Невідомі сталі розкладу знаходяться з умови найкращого наближення правих частин диференціальних рівнянь системи (в нормі L2[0, 1]) та їх по- хідних (в нормі W2[0, 1]) за допомогою вказаної системи лінійно незалежних функцій. Наведено приклади. 14 ISSN 0572-2691 O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova, G.A. Miroshnychenko A NEW METHOD FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS A new method for finding approximate solutions of the Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations is offered. The approximate solution is represented as a linear combination of the elements of a linearly independent functions system. Unknown constants of expansion are found from condition of the best approximation of the right sides of the differential equations of system (of nor- mal L2 [0, 1]) and their derivatives (of normal W2 [0, 1]) with these systems of linearly independent functions. Examples are given. 1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. — М. : Наука, 1984. —350 с. 2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М. : Наука, 1980. — 350 с. 3. Литвин О.М. Про оцінку похибки наближення диференційовних функцій лінійними сплай- нами в нормі ]1,0[),( 1 2 =IIW //Доп. НАН України. Математика, природознавство, техніч- ні науки. — 2005. — № 7. — С. 22–26. 4. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Мірошниченко Г.А. Про використання апроксимаційних сплайнів до розв’язання задачі управління системою лінійних звичайних диференціаль- них рівнянь // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2011. — № 3(106). — С. 105–113. 5. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Мірошниченко Г.А. Деякі аспекти чисельної реалізації на- ближеного розв’язання задачі управління системою лінійних звичайних диференціальних рівнянь // Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації : зб. наук. пр. за матеріалами четвертої міжнародної наукової конференції. — Кам’янець- Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка, 2010. — С. 129–136. 6. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Мірошниченко Г.А. Про один новий варіаційний метод розв’язання задач оптимального управління системами звичайних диференціальних рів- нянь // Матеріали II Всеукр. наук.-практ. конф. «Інформатика та системні науки» ICH-2011. — Полтава : PBB ПУЕТ, 2011. — С. 347–350. 7. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Мірошниченко Г.А. Чисельне дослідження нового варіаційно- го методу розв’язання задач оптимального управління системами звичайних диференціа- льних рівнянь // 17 міжнар. конф. з автоматичного управління «Автоматика – 2010». Тези доп. Том 1. — Харків : ХНУРЕ, 2010. — С. 54–56. 8. Литвин О.М. Новий метод розв’язання двоточкових крайових задач для звичайних ліній- них диференціальних рівнянь // Вісник НТУ ХПІ. Збірник наукових праць. Тематичний ви- пуск: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — Харків : НТУ «ХПІ». — 2012, № 27. — С. 114–117. 9. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. — М. : Физматгиз, 1959. — 211 с. 10. Денисов А.М., Гозгулин А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Часть 1. — М. : Москов. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, 2009. — C. 45–51. Получено 18.02.2013 После доработки 08.04.2014
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207828
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:34:49Z
publishDate	2014
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.Н. Лобанова, Л.С. Мирошниченко, Г.А. 2025-10-14T13:13:52Z 2014 О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.А. Мирошниченко // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207828 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i9.10 Запропоновано новий метод знаходження наближеного розв’язку задачі Коші для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Розв’язок наведено у вигляді лінійної комбінації елементів деякої системи лінійно незалежних функцій. Невідомі сталі розкладу знаходяться з умови найкращого наближення правих частин диференціальних рівнянь системи (в нормі L₂ [0, 1]) та їх похідних (в нормі W₂ [0, 1]) за допомогою вказаної системи лінійно незалежних функцій. Наведено приклади. A new method for finding approximate solutions of the Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations is offered. The approximate solution is represented as a linear combination of the elements of a linearly independent functions system. Unknown constants of expansion are found from condition of the best approximation of the right sides of the differential equations of system (of normal L₂ [0, 1]) and their derivatives (of normal W₂ [0, 1]) with these systems of linearly independent functions. Examples are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Про новий спосіб вирішення задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь A new method for solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations Article published earlier
spellingShingle	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Литвин, О.Н. Лобанова, Л.С. Мирошниченко, Г.А. Оптимальное управление и методы оптимизации
title	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
title_alt	Про новий спосіб вирішення задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь A new method for solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations
title_full	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
title_fullStr	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
title_full_unstemmed	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
title_short	О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
title_sort	о новом методе решения задачи коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207828
work_keys_str_mv	AT litvinon onovommetoderešeniâzadačikošidlâsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT lobanovals onovommetoderešeniâzadačikošidlâsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT mirošničenkoga onovommetoderešeniâzadačikošidlâsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT litvinon pronoviisposíbviríšennâzadačíkošídlâsistemzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT lobanovals pronoviisposíbviríšennâzadačíkošídlâsistemzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT mirošničenkoga pronoviisposíbviríšennâzadačíkošídlâsistemzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT litvinon anewmethodforsolvingthecauchyproblemforsystemsofordinarydifferentialequations AT lobanovals anewmethodforsolvingthecauchyproblemforsystemsofordinarydifferentialequations AT mirošničenkoga anewmethodforsolvingthecauchyproblemforsystemsofordinarydifferentialequations

О новом методе решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge