Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами

Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами

Досліджується задача оптимального керування параболічною системою з необмеженими коефіцієнтами. Запропоновано підхід, який дозволяє досягти розв’язку поставленої задачі керування через послідовність розв’язків задач оптимального керування, які задано на перфорованих підмножинах з фіктивними гранични...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы управления и информатики
Дата:2014
Автор: Горбонос, С.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Теми:
Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207829
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами / С.А. Горбонос // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 15-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207829
record_format dspace
spelling Горбонос, С.А.
2025-10-14T13:19:48Z
2014
Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами / С.А. Горбонос // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 15-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207829
517.977.56
10.1615/JAutomatInfScien.v46.i9.20
Досліджується задача оптимального керування параболічною системою з необмеженими коефіцієнтами. Запропоновано підхід, який дозволяє досягти розв’язку поставленої задачі керування через послідовність розв’язків задач оптимального керування, які задано на перфорованих підмножинах з фіктивними граничними керуваннями.
The optimal control problems for parabolic system with unbounded coefficients are considered. It is shown that solutions of considered optimal control problem can be attained through the sequence of solutions to optimal control problems given on perforated subsets with fictitious boundary controls.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Оптимальное управление и методы оптимизации
Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
Про апроксимацію рішень одного класу задач оптимального управління для параболічного рівняння з необмеженими коефіцієнтами
On the approximation of solutions to the one class of the optimal control problems for parabolic equation with unbounded coefficients
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
spellingShingle Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
Горбонос, С.А.
Оптимальное управление и методы оптимизации
title_short Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
title_full Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
title_fullStr Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
title_full_unstemmed Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
title_sort об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами
author Горбонос, С.А.
author_facet Горбонос, С.А.
topic Оптимальное управление и методы оптимизации
topic_facet Оптимальное управление и методы оптимизации
publishDate 2014
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про апроксимацію рішень одного класу задач оптимального управління для параболічного рівняння з необмеженими коефіцієнтами
On the approximation of solutions to the one class of the optimal control problems for parabolic equation with unbounded coefficients
description Досліджується задача оптимального керування параболічною системою з необмеженими коефіцієнтами. Запропоновано підхід, який дозволяє досягти розв’язку поставленої задачі керування через послідовність розв’язків задач оптимального керування, які задано на перфорованих підмножинах з фіктивними граничними керуваннями. The optimal control problems for parabolic system with unbounded coefficients are considered. It is shown that solutions of considered optimal control problem can be attained through the sequence of solutions to optimal control problems given on perforated subsets with fictitious boundary controls.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207829
citation_txt Об аппроксимации решений одного класса задач оптимального управления для параболического уравнения с неограниченными коэффициентами / С.А. Горбонос // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 15-29. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT gorbonossa obapproksimaciirešeniiodnogoklassazadačoptimalʹnogoupravleniâdlâparaboličeskogouravneniâsneograničennymikoéfficientami
AT gorbonossa proaproksimacíûríšenʹodnogoklasuzadačoptimalʹnogoupravlínnâdlâparabolíčnogorívnânnâzneobmeženimikoefícíêntami
AT gorbonossa ontheapproximationofsolutionstotheoneclassoftheoptimalcontrolproblemsforparabolicequationwithunboundedcoefficients
first_indexed 2025-11-25T23:48:49Z
last_indexed 2025-11-25T23:48:49Z
_version_ 1850584776667299840
fulltext © С.А. ГОРБОНОС, 2014 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 15 УДК 517.977.56 С.А. Горбонос ОБ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основным объектом исследования является следующая задача оптимального управления параболической системой: fyxAyyt  ))((div на ],,0[ T (1) 0y на ],,0[1 T u y A    на ],,0[2 T (2) )(),( 2 00  Lyxty на , (3) inf,),( 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2 221 0 2   LTLHTLd uyyyuI (4) где u — управление, )),(;,0( 2 22  LTLu )),(;,0( 1 0 2  HTLyd ))(;,0( 12  HTLf — заданные распределения, A — матрица потока. Особенность данного класса задач состоит в том, что матрица потока кососимметрическая и, кроме того, ее коэффи- циенты принадлежат пространству ).(2 L Как результат, начально-краевая зада- ча (1)–(3) некорректна по Адамару. В работе [1] с использованием L -аппроксимации матрицы потока получены условия, при которых оптимальные решения исходной задачи (1)–(4) можно при- близить решениями соответствующих L -аппроксимационных задач [1]. Вместе с тем установлено, что для поставленной задачи управления могут существовать решения, которые нельзя получить L -аппроксимацией матрицы потока. Поэтому в данной работе предлагается новый подход для аппроксимации оптимальных ре- шений поставленной задачи оптимального управления, основанный на использова- нии принципа фиктивных граничных управлений в перфорированной области. Основные обозначения и вспомогательные результаты Пусть  — открытое, ограниченное c границей Липшица множество прост- ранства NR для .2N В свою очередь, граница  состоит из двух частей, кото- рые не пересекаются, т.е. .21  В дальнейшем NS будет обозначать множество всех кососимметрических матриц ,][C 1, N jiijc  где C — квадратная матрица такая, что jiij cc  и .0iic Введем );()( 22/))1((2 NNN SLL   — пространство измеримых интегрируемых в квадрате функций, значениями кото- рых являются кососимметрические матрицы и которое наделено нормой .)(max 2/12 1 ,...,1,);(2                  dxxaA ij j NjiSL N 16 ISSN 0572-2691 Теперь введем следующий тип пространств. Итак, пусть V — пространство Соболева, тогда )],,0([ VTC — банахово пространство, которое состоит из всех непрерывных функций VTu ],0[: и наделено нормой .)(max 0)],,0([ VTtVTC tuu   Если  p1 , то )],,0([ VTLp — пространство, которое состоит из всех изме- римых функций VTu ],0[: таких, что .)( /1 0 )],,0([            p p V T VTL dttuu p Затем введем необходимые в дальнейшем понятия, которые касаются вариацион- ной сходимости задач оптимального управления. Пусть }),(:),(min{  yuyuI — параметризованная задача оптимального управления, где  — малый параметр, RYUI   : — функционал стоимости, Y — пространство состояний, U — пространство управлений, а  — множество всех допустимых пар. Далее каж- дой такой задаче поставим в соответствие задачу условной оптимизации ),(inf ),( yuI yu    (5) и предположим, что существует банахово пространство ,YU  относительно ко- торого определена сходимость шкалы пространств ,}{ 0 YU в дальнейшем для этой сходимости будем использовать обозначение ),(),( yuyu   (под- робнее см. [9]). Определение 1. Задачу ),(inf ),( yuI yu  будем называть вариационным пре- делом последовательности (5) при :0 ),(inf),(inf ),(),( yuIyuI yu Var yu      тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия. (i) Пространство YU  относительно шкалы пространств 0}{  YU долж- но удовлетворять следующему свойству: для любого 0 и для каждой пары ),( yu существует пара ),( ** yu и последовательность 0}),{(   YUyu такая, что  YU yyuu ** и ),(),( yuyu    в . YU (6) (ii) Если последовательности Nkk  }{ и Nkkk yu )},{( такие, что 0k при k для любого Nk и ),(),( yuyu kk   в kk YU   то ),( yu ; ).,(inflim),( kk k yuIyuI k  (7) (iii) Для каждой пары YUyu ),( и любого 0 существует постоян- ная 0 и последовательность 0)},{(  yu (далее ),(  — реализующая после- довательность) такие, что  ),( yu , ,0 )ˆ,ˆ(),( yuyu    в  , (8) ,ˆˆ  YU yyuu (9)    CyuIyuI kk k ˆ),(suplim),( , (10) где постоянная 0ˆ C не зависит от . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 17 В дальнейшем понадобится следующий результат. Теорема 1 [9]. Пусть задача условной оптимизации ),(inf 0 ),( 0 yuI yu  — ва- риационный предел последовательности (5) в смысле определения 1, кроме того, данная задача имеет единственное решение .),( 000 yu Пусть для каждого 0 пара  ),( 00 yu — минимум функционала I на соответствующем мно- жестве . Тогда если последовательность 0 00 )},{(  yu компактна относитель- но -сходимости в 0}{  YU , то ),(),( 00 00 yuyu    в 0}{  YU , ).,(inflim),(lim),(),(inf ),(0 00 0 0000 ),( 0       yuIyuyuIyuI yuyu Далее приведем определение слабого решения краевой задачи (1)–(3). Определение 2. Слабым решением задачи (1)–(3) для фиксированного управления ))(;,0( 2 22  LTLu и заданных ))(;,0( 12  HTLf и );()( 2 NSLxA  назовем функцию ))(;,0(),( 1 0 2  HTLxtyy такую, что ))(;,0( 12  HTLyt и имеет место интегральное тождество dtdHudxdtfdxdtyAydxdty N TT R T t T N 1 0000 2 ),(     для любого )),(;,0( 0   CTC кроме того, выполняется условие  00 ),( yxty )(2  L на . Теперь рассмотрим форму dxdtyAy NR T ),(],[ 0    (11) для любого ))(;,0( 1 0 2  HTLy и )).(;,0( 0   CTC Учитывая, что форма (11) будет неограниченной, поскольку ),;()( 2 NSLxA  определим D множество всех элементов, для которых имеет место интегральное неравенство ,)(),( 2/1 2 00            dxdtycdxdtyA T R T N (12) где ))(;,0( 0   CTC и )(yc — постоянная независящая от y. Далее определим билинейную форму ],[ y для любого Dy и ))(;,0( 1 0 2  HTL по правилу ],,[lim],[    yy где ))(;,0(}{ 00    CTC и  сильно в )).(;,0( 1 0 2 HTL Теперь рассмотрим свойства перфорированных подмножеств. Итак, пусть  — малый параметр. Предположим, что параметр  изменяется в строго убывающей последовательности положительных действительных чисел, которая стремится к ну- лю. Таким образом, под 0 будем подразумевать элементы этой последовательно- сти. Далее для любого 0 введем функцию среза RRT  : по правилу }.},,max{min{)( 11    ssT (13) Функция T наделена следующим свойством: пусть )(2 Lf — произвольная функция, тогда для любого 0 )()(    LfT и ffT  )( сильно в ).(2 L 18 ISSN 0572-2691 Для матрицы потока );()( 2 NSLxA  и заданной последовательности }0{  введем оператор среза NN SST  : следующим образом: .)]([)( 1, N jiijaTAT   С этим оператором для любого 0 свяжем множество подобластей 0}{  множества  : ,\   Q (14) где Q замыкание }.)(max:)(:{ 1 ,...,1,    xaxAQx ij NjiS N Определение 3. Будем говорить, что матрица );()( 2 NSLxA  Q-типа, если существует строго убывающая последовательность 0 положительных дейст- вительных чисел такая, что соответствующий набор множеств ,}{ 0 опреде- ленных в (14), наделен следующими свойствами. (i)  — открытые связные подмножества  с границами Липшица, для ко- торых существует 0 такое, что  и  ),(dist для любого 0 , где .\   Q (ii) поверхностная мера границ дыр   \Q достаточно мала в следую- щем смысле: )()(1   oH N для любого 0 . (iii) Для любого Dh существует постоянная для любого ),(hc которая за- висит от h и не зависит от , такая, что 2/1 2 \0\0 \ )(),(                  dxdthcdxdtyA T R T N для всех )).(;,0( 0   CTC Таким образом, если матрица A Q-типа, то каждое из множеств  локально размещено по одну сторону от его границы . Кроме того, в этом случае гра- ницу  можно поделить на три части: .21   Очевидно, что име- ет место приведенное выше неравенство, если ).;()( NSLxA   Замечание 1. Из определения 3 следует, что последовательность 0}{  монотонно расширяется, т.е. 1  kk для всех 1 kk и периметры мно- жеств  стремятся к нулю, если .0 Кроме того, имеет место ,)(\ 1 2 \ 2 dxxA NS     0)(lim );\(0 2   NSL xA для любого .0 Из сказанного следует свойство ),(\ 2  o а значит,   0 lim . Учитывая предположение (ii) определения 3, получаем следую- щую оценку для поверхностной меры границ дыр :\  Q ),()(1   oH N ).1( )( )( \ )( 2 1 O o oH N          (15) Замечание 2. Следует отметить, что Q-свойство означает так называемую сильную связность множеств ,}{ 0 что в свою очередь означает существова- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 19 ние операторов продолжения P из ))(;,0( 1 0 2 HTL в ))(;,0( 1 0 2 HTL таких, что для некоторой независящей от  постоянной имеет место неравенство ))(;,0())(;,0( 2222)(   LTLLTL ycyP (16) для любого )).(;,0( 1 0 2  HTLy Как прямое следствие определения 3 имеет место следующий результат. Утверждение 1 [2]. Пусть матрица );()( 2 NSLxA  Q-типа. Пусть 0}{  — последовательность перфорированных подмножеств множества  связанных с матрицей A, и 0}{  — последовательность их характеристических функ- ций. Тогда   сильно в ).(2 L (17) Определение 4. Последовательность элементов 0 1 0 2 ))}(;,0({   HTLy слабо сходится в разных пространствах )),(;,0( 1 0 2 HTL если существует эле- мент ))(;,0( 1 0 2  HTLy такой, что dxdtydxdty NN R T R T ),(),(lim 00 0        для любого )).(;,0( 0   CTC Замечание 3. Поскольку        dxdtydxdty NN R T R T ),(lim),( 0 0 0 dxdtydxdtyP NN R T R T ),()),((lim * 00 0        для любого )),(;,0( 0   CTC где ))(;,0( 1 0 2*  HTLy — слабый предел в ))(;,0( 1 0 2 HTL расширенных функций ,))}(;,0({ 0 1 0 2   HTLyP то слабый предел в смысле определения 4 не зависит от выбора операторов растяжения ))(;,0())(;,0(: 1 0 21 0 2  HTLHTLP со свойством (16). Решения задачи оптимального управления Введем следующую последовательность задач оптимального управления, связанных с множествами : ,0,),,(inf ),,(            yvuI yvu (18) где , 1 ),,( 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2/12 2 221 0 2       HTLLTLHTLd vuyyyvuI (19) ),,( yvu             .на)(),( ],,0[на ],,0[на ],,0[на0 ],,0[ на))((div 2 00 2 1             Lyxty Tv y Tu y Ty TfyxAyy A A t (20) 20 ISSN 0572-2691 Здесь ))(;,0( 1 0 2  HTLyd и ))(;,0( 22  LTLf — заданные функции; y ))(;,0( 1 0 2  HTL — управление, а ))(;,0( 2/12    HTLv — фиктивное управ- ление; v — внешняя нормаль единичного вектора на 2 и ;  — положитель- ное число такое, что ,0)(1    NH если .0 Замечание 4. Принимая во внимание утверждения (4.1), (4.2) работы [1] и тот факт, что ),;()( 2 NSLxA  получим, что для любого 0 существует единст- венная оптимальная пара  ),,( 000 yvu для соответствующей задачи опти- мального управления (18). Учитывая асимптотическое поведение последовательности допустимых решений 0 1 0 22/12 2 22 ))}(;,0())(;,0())(;,0(),,{(     HTLHTLLTLyvu задачи (18), определенных на шкале разных пространств, введем следующую концепцию. Определение 5. Последовательность наборов 0}),,{(  yvu слабо сходится к паре ))(;,0())(;,0(),( 1 0 2 2 22  HTLLTLyu в шкале пространств ,))}(;,0())(;,0())(;,0({ 0 1 0 22/12 2 22    HTLHTLLTL если uu  слабо в )),(;,0( 2 22 LTL yy  слабо в )),(;,0( 1 0 2 HTL (21)         2 ))(;,0(1 0 2/12 )( 1 sup HTLN v H . (22) Теперь сформулируем главный результат работы. Теорема 2. Пусть ))(;,0( 1 0 2  HTLyd и ))(;,0( 22  LTLf — заданные функции, матрица потока Q-типа, а 0}{  — последовательность перфориро- ванных подмножеств множества , связанных с матрицей A. Тогда задача ),(inf ),( yuI yu  будет вариационным пределом последовательности задач (18), когда параметр .0 Доказательство. Поскольку для любого 0 каждая задача оптимизации (18) определена в каждом пространстве ,))}(;,0())(;,0())(;,0({ 0 1 0 22/12 2 22    HTLHTLLTL (23) то нужно показать, что в этом случае все условия определения 1 выполняются. Таким образом, разобьем доказательство на несколько этапов. Этап 1. Проверим условие (ii), т.е. покажем, что пространство  ))(;,0( 2 22 LTL ))(;,0( 1 0 2  HTL имеет свойство слабой аппроксимации отно- сительно слабой сходимости на шкале пространств (23). Итак, пусть 0 и ))(;,0())(;,0(),( 1 0 2 2 22  HTLLTLyu — произвольная пара. Выберем эле- мент ))(;,0( 0   CTCh такой, что )).(;,0())((div 22  LTLhxAh Далее построим последовательность ,))}(;,0())(;,0())(;,0(),,{( 0 1 0 22/12 2 22     HTLHTLLTLyvu как следует, ,uu  ,      A h v ,yy  для любого .0 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 21 Принимая во внимание (17), получим   * в .L Отсюда dxdtydxdtydxdty NNN R T R T R T          ),(),(lim),(lim 00 0 0 0 для любого )),(;,0( 0   CTC т.е. yy  слабо в )),(;,0( 1 0 2 HTL если .0 Таким образом, остается установить, что последовательность 0 2/12 ))}(;,0({     HTLv ограничена в смысле определения 5. Для этого при- меним формулу Грина:        dxdthxAhdt h Q T HHA T ))((div, 0)(),(0 2/12/1     dthxAhdxdthxAh QLQL T R Q T N )()( 00 22))((div))(,(    dxdthxAdxdth Q R T R Q T NN ))(,(),( 00   ))(;,0())(;,0( 2222))((div QLTLQLTL hxAh                   2/1 2 \0 ))(;,0())(;,0( \ )(2222 dxdthch NR T QLTLQLTL ).( 321))\(;,0( 12 III HTL   Так как ),(\ 2  o то существует постоянная ,0C независящая от  такая, что   ))(;,0(2 22 QLTL hI ,)( \ ))(;,0( 1 1 2/1 2 \0 12                    HTL N R T hHCdxdthC N аналогично .)()())((div 1 2))(;,0(1 22     N QLTL HhChxAhI В результате         ))(;,0( )(),(0 12 2/12/1 , QHTL HHA T dt h ),)()()()()(( 1 2))(;,0( 1 1 1 12        N HTL NN HhChHCHhc а значит, ))(;,0( ' )(),(0 1 12 2/12/1 , )( 1           QHTL HHA T N Cdt h H 22 ISSN 0572-2691 для всех )).(;,0( 0   CTC Отсюда . ~ )( 1 sup ))(;,0( 10 2/12 C h H HTLAN                   (24) Таким образом, свойство слабой аппроксимации выполняется. Замечание 5. Отметим, что из свойства матрицы A Q-типа и теоремы Соболе- ва о следах вытекает ))(;,0(1))(;,0( 1 0 222 )(        HTLNLTL H C для всех )),(;,0( 0   CTC где C не зависит от . Этап 2. Покажем, что выполняется условие (iii) определения 1 для .0 Итак, пусть ),( ** yu — допустимая пара задачи оптимального управления (1)–(4), L — множество всех слабых решений однородной задачи:                .на)(),( ],,0[на0 ],,0[на0 ],,0[на0))((div 2 00 2 1 Lyxty T y Ty TyxAyy A t (25) Предположим, что множество L состоит хотя бы из одного нетривиального эле- мента из множества )).(;,0( 1 0 2  HTLD Пусть Dh и h — нетривиальное ре- шение однородной задачи (25). Далее построим )0,( -реализующую последова- тельность .}),,{( 0 yvu Итак, положим ,: *uu  A h wv     (26) для любого ,0 где функции w такие, что , )( 1 sup ))(;,0(10 2/12 Cw H HTLN                  здесь постоянная C не зависит от . В свою очередь, 0 1 0 2 ))}(;,0({   HTLy — последовательность слабых ре- шений задачи (20) для соответствующих управлений , uu . vv По теореме Лак- са–Мильграма и принципу суперпозиции эта последовательность определена единст- венным способом для любого 0 и имеет место декомпозиция ,2,1,   yyy где ))(;,0(, 1 0 2 2,1,   HTLyy удовлетворяют условиям ,),( 001, yxty  ,0),( 02,  xty и такие, что       dxdtyxAydxdty NR T t T ))(,()( 1,1, 0 1, 0 ,, )(),( 0 1 00 2/12/1 2 dtwdtdHudxdtf HH T N TT           (27) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 23       2, 0 2, 0 ,()( ydxdty T t T dt h dxdtyxA HHA T RN )(),(0 2, 2/12/1 ,))(          (28) для всех )).(;,0( 0   CTC Замечание 6. В дальнейшем будем предполагать, что функции y ))(;,0( 1 0 2  HTL продолжены оператором P вне множества  и, кроме это- го, определены на дырах .Q Поскольку )),(()( xATxA  если x для любого ,0 то ).,()( NSLxA   Из свойства кососимметрических матриц следует, что ,0))(,( ,, 0     dxdtyxAy NRii T ,2,1i а значит, (27), (28) можно переписать в виде энергетических равенств           dtdHyudxdtyfTyy N TT HHTL 1 1, 0 1, 0 2 )(1, 2 ))(;,0(1, 2 1 0 1 0 2 )( 2 1 , 2 1 , 2 )(0)(),(1, 0 1 0 2/12/1      HHH T ydtyw .,)( 2 1 )(),( 2, 0 2 )(2, 2 ))(;,0(2, 2/12/1 1 0 1 0 2 dty h Tyy HHA T HHTL         Поскольку ,Lh то условие (iii) в определении 3 означает        dxdthxAhdt h NR T HHA T ))(,(, \0)(),(0 2/12/1                ))(;,0())(;,0(1 \0 1 0 212)( \ QHTLQHTLtt T hhcdxdth                            2/1 0 2 3))(;,0())(;,0(2 )()( 1 0 21 0 2 dxdthchhc T Q RQHTLQHTL N ))(;,0( 1 ))(;,0( 1 0 21 0 2 )()( \ )(        QHTL N QHTL HhChC для всех )),(;,0( 0   CTC где постоянная )(hC не зависит от . Отсюда сле- дует, что                   ))(;,0( 10 2/12)( 1 sup HTLAN h H . Таким образом,        dtwycdtyw HL T HH T )()(1, 0 )(),(1, 0 2/122/12/1,      ))(;,0())(;,0(1, 2/1222 HTLLTL wyc 24 ISSN 0572-2691 ,)( ))(;,0(1,1 1 ))(;,0(1, 1 0 222      HTL N LTL ycHyc                dt h ycdty h HA L T HHA T )( )(2, 0)(),( 2, 0 2/1 2 2/12/1 ~,         ))(;,0( ))(;,0(2, 2/12 22 ~ HTLA LTL h yc .)(~ ))(;,0(2,2 1 ))(;,0(2, 1 0 222      HTL N LTL ycHyc В результате получим оценки для 1,y и :2,y    ))(;,0())(;,0(1, 2 )(1, 2 ))(;,0(1, 221 0 21 0 1 0 2 )( 2 1 LTLHTLHHTL fyTyy , 2 1~ )(0))(;,0(1,1))(;,0())(;,0(1, 1 0 1 0 2 2 221 0 2    HHTLLTLHTL yycuyC ,)( 2 1 ))(;,0(2,2 2 )(2, 2 ))(;,0(2, 1 0 21 0 1 0 2    HTLHHTL ycTyy отсюда    ) ~ ()( 2 1 1))(;,0())(;,0( 2 )(1, 2 ))(;,0(1, 2 22221 0 1 0 2 cuCfTyy LTLLTLHHTL , 2 1 2 1~ 2 )(0 2 )(01))(;,0())(;,0( 1 0 1 02 2222           HHLTLLTL yycuCf (29) .)( 2 1 2 2 2 )(2, 2 ))(;,0(2, 1 0 1 0 2 cTyy HHTL    Из (27), (28) следуют априорные оценки для ty )( 1,  и :)( 2, ty      ))(;,0(1, 2 ))(;,0(1, 1 0 212)( HTLHTLt yCy , ~ 1))(;,0())(;,0( 2 2222 cuCf LTLLTL   .)( 2))(;,0(2, 2 ))(;,0(2, 1 0 212 cyCy HTLHTLt     Из сказанного выше вытекает, что последовательности ,))}(;,0({ 0 1 0 2 1,   HTLy ,))}(;,0({ 0 1 0 2 2,   HTLy ,))}(;,0(){( 0 12 1,     HTLy t 0 12 2, ))}(;,0()({     HTLy t слабо компактны в соответствующих пространствах, т.е. можно предположить, что существуют функции ))(;,0(ˆ,ˆ 1 0 2 21  HTLyy такие, что для 2,1i и всех ))(;,0( 0   CTC .)ˆ,(),(lim 0 , 0 0 dxdtydxdty NN Ri T Ri T       Таким об- разом, можно перейти к пределу в интегральных тождествах (27), (28), если :0 ,)ˆˆ,()ˆ( 1 00 11 0 1 0 2 dtdHudxdtfdxdtyAydxdty N TT R T t T N     0)ˆˆ,()ˆ( 22 0 2 0    dxdtyAydxdty NR T t T Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 25 для всех )).(;,0( 0   CTC Отсюда следует, что 21 ˆ,ˆ yy — слабые решения краевых задач (1)–(3) и (25) соответственно, а значит, Ly 2ˆ и .ˆ1 Dy  В резуль- тате приходим к выводу, что пара  )ˆ,( 1 * hyu для любого .Lh Так как ,),( ** yu то, положив в (26) ,ˆ1 * yyh  (30) получим Lh и * 2,1, yyyy   слабо в )),(;,0( 1 0 2 HTL 0 . (31) и, кроме этого, выполняются условия (8), (9). Остается показать неравенство (10), т.е., что имеет место равенство    ),,(lim:),( 0 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( ** 2 221 0 2 yvuIuyyyuI LTLHTLd , 1 lim 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2 ))(;,0(0 2/12 2 221 0 2              HTLLTLHTLd vuyy (32) где последовательность 0}),,{(  yvu определена в (26) и (30). Из сказан- ного выше получаем следующие соотношения:                                                               .),(),(lim , ,0 )( lim 1 lim ,0 )( lim 1 lim ,22 * 00 0 2 ))(;,0( *2 ))(;,0( 1 0 2 ))(;,0( 0 1 0 2 ))(;,0(0 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2 22 2 22 2/12 2/12 2/12 2/122/12 dxdtyydxdtyy uu H C h H Cw h wv NN Rd T Rd T LTLLTL N HTLA N HTL HTLA HTLHTL (33) Для получения сходимости 2 ))(;,0( *2 ))(;,0( 0 1 0 21 0 2suplim     HTLHTL yy исполь- зуем энергетическое тождество, которое следует из условия :),( ** yu   2 )( *2 ))(;,0( * 1 0 1 0 2 )( 2 1 HHTL Tyy , 2 1 ],[ 2 )(0 1** 0 * 0 ** 1 0 2      H N TT ydtdHyudxdtyfyy и применим следующее действие касательно интегрального тождества для тройки ).,,(  yvu Отметим, что интегральное тождество для слабых решений y крае- вых задач (20) можно представить в так называемой расширенной форме:         dxdtfdxdtyxAydxdty T R T t T N 000 ))(,()(              dt h dtwdtdHu HHA T HH T N T )(),(0 )(),( 0 1 0 2/12/1 2/12/1 2 ,, ],[),()( ** 0 * 0    hdxdthdxdth NR T t T (34) 26 ISSN 0572-2691 для всех )),(;,0(, 0   CTC где *h — произвольный элемент L. По- скольку в силу равенства 0],[),()( ** 0 * 0    hdxdthdxdth NR T t T для всех ))(;,0( 0   CTC , получим тождество, эквивалентное классическому опре- делению слабого решения краевой задачи. Учитывая формулу (31) и теорему Соболе- ва о следах, получаем, что последовательности 0)(),( },{ 2/12/1    HH yw и 0 )(),( 2/12/1 ,                HHA y h ограничены. Далее, перейдя при необходимости к подпоследовательности, предположим, что существует величина R1 такая, что .0,,, 1 )(),( )(),( 2/12/1 2/12/1          HHA HH y h yw Поскольку *yy  слабо в ))(;,0( 1 0 2 HTL и ,* Dy  то существует последо- вательность гладких функций 00 ))}(;,0({     CTC таких, что *y сильно в )).(;,0( 1 0 2 HTL Кроме этого, согласно определению билинейной фор- мы ],[ * h имеем .],[],[lim,),(),(lim *** 0 ** 0 * 0 0 yhhdxdthydxdth NN R T R T         Теперь выберем элемент Lh * следующим образом: , ],[ˆ * 432 ** 1* h yy h    для любого ,0 где ,))(,(],[ ** 0 ** 2 dxdthxAyyh NR T    ,)(,),( ** 0 4 ** 0 3 dxdtyhdxdthy t T R T N    т.е. нужно установить равенство .0],[ ** 4321  yy Как следствие, по- лучим элемент ,ˆ* Lh  для которого имеют место равенства                               . ],[ )ˆ(lim , ],[ ],ˆ[lim , ],[ )ˆ,(lim 432 ** 1 4 * 0 0 432 ** 1 2 * 0 432 ** 1 3 * 0 0 yy dxdth yy h yy dxdth t T R T N (35) Учитывая свойство кососимметричности матрицы A и положив , y ** ĥh  в (34), получим следующее энергетическое тождество для краевой задачи (20):          dtdHyudxdtyfTyy N TT HHTL 1 00 2 )( 2 ))(;,0( 2 1 0 1 0 2 )( 2 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 27            dty h dtywy HHA T HH T H )(),(0 )(),( 0 2 )(0 2/12/1 2/12/11 0 ,, 2 1 ].,ˆ[)ˆ,()ˆ( ** 0 * 0       hdxdthdxdth NR T t T (36) Также отметим, что .limlim 1** 0 1* 0 0 1 0 0 222 dtdHyudtdHyudtdHyu N T N T N T             (37) Далее перейдем к пределу в (36), когда ,0 принимая во внимание (17), (31), (35), (37):         dxdtyfTyy T HHTL 0 0 2 )(0 2 ))(;,0(0 lim)(lim 2 1 lim 1 0 1 0 2            dtywydtdHyu HH T H N T )(),( 0 0 2 )(0 0 1 0 0 2/12/11 0 2 ,limlim 2 1 lim              dxdthdty h t T HHA T )ˆ(lim,lim * 0 0 )(),(0 0 2/12/1          dtdHyudxdtyfhdxdth N TT R T N 1** 0 * 0 * 0 * 0 0 2 ],ˆ[lim)ˆ,(lim .)( 2 1 ],[ 2 1 2 )( *2 ))(;,0( ***2 )(0 1 0 1 0 21 0   HHTLH Tyyyyy (38) Отсюда имеем, что (32) — прямое следствие (38) и (33). Таким образом, по- следовательность ,}),,{( 0 yvu определенная в (26) и (30), является )0,( -реализующей, т.е. условие (iii) определения 1 выполняется. Этап 3. Покажем, что выполняется условие (ii) определения 1. Пусть Nkkkk yvu )},,{( — последовательность такая, что kkkk yvu ),,( для ,0k если k , *uuk  слабо в )),(;,0( 2 22 LTL *yyk  слабо в ))(;,0( 1 0 2 k HTL  и последовательность фиктивных управлений Nkk k HTLv    ))}(;,0({ 2/12 удовлетворяет неравенству (22). Таким образом, нужно показать, что имеет место ).,,(inflim),(:),( ****    yvuIyuIyu kk (39) Поскольку для любого Nk выполняется интегральное тождество         dxdtfdxdtyxAydxdty kk N k T Rkk T tk T 000 ))(,()( dtvdtdHu HHk T N k T )(),( 0 1 0 2/12/1 2 ,        для любого )),(;,0( 0   CTC то можно перейти к пределу, когда k , ис- пользуя определение 5 и учитывая оценку, полученную из неравенства (22): .)()(, ))(;,0( 1 )(),( 1 0 22/12/1       HTL N HHk HCv 28 ISSN 0572-2691 Далее повторим процедуру, как и в предыдущем пункте. В результате получим, что пара ),( ** yu будет допустимой для задачи оптимального управления (1)–(4), а значит, первое условие (39) выполняется. Второе условие (39) прямо следует из нижней полунепрерывности норм ))(;,0( 12   HTL и ))(;,0( 2 22   LTL относи- тельно слабой сходимости и оценки:            k H Cv k N HTLk k k k ,0 )(1 1 ))(;,0( 2/12 . Теорема доказана. Далее имеет место вариационное свойство задач оптимального управления (18), которое является следствием теорем 1, 2. Теорема 3. Пусть A — матрица потока Q-типа. Пусть ))(;,0( 1 0 2  HTLyd и ))(;,0( 12  HTLf — заданные функции и 0 00 )},{(  yu — последователь- ность оптимальных решений задачи (18)–(20). Тогда единственное оптимальное решение задачи оптимального управления (1)–(4) достигается в следующем смысле: 00 uu  слабо в )),(;,0( 2 22 LTL 00 yy  слабо в ))(;,0( 1 0 2 HTL ).,,(lim),(),(inf 000 0 00 ),(    yvuIyuIyuI yu Доказательство. Поскольку этот результат является следствием теоремы 1, то нужно показать, что выполняется свойство компактности для последователь- ности оптимальных решений 0 000 }),,{(  yvu в смысле определения 5. Итак, пусть ))(;,0( 2 22*  LTLu и ))(;,0( 0   CTCh — нетривиальные функ- ции. Далее, предположим, что )())((div 2  LhxAh и положим )).(;,0(, 2/12*          HTL h vuu A Принимая во внимание начальные предположения и оценку (24), получим ),(, 1 2 ))(;,0( 2 ))(;,0( 2/122 22           N HTLA LTL CH h Cu здесь постоянная C не зависит от . Пусть ))(;,0(),( 1 0 2   HTLvuyy — соответствующее решение краевой задачи (20). Тогда согласно (29) получим, что , ~2 ))(;,0( 1 0 2 Cy HTL    где постоянная C ~ не зависит от . В результате имеем    2 ))(;,0( 02 ))(;,0( 0000 2 221 0 2),,( LTLHTLd uyyyvuI       22 ))(;,0( 0 ~ 2),,( 1 2/12 CyvuIv k HTL . )( 2 1 2 ))(;,0( 1 0 2         N HTLd CH Cy Поскольку 0)(1    NH при ,0 то это значит, что минимальное значе- ние функционала качества (19) равномерно ограничено сверху относительно . Таким образом, последовательность оптимальных решений 0 000 }),,{(  yvu задачи (18)–(20) равномерно ограничена в    ))(;,0())(;,0( 2/12 2 22 HTLLTL Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 29 )),(;,0( 1 0 2  HTL а значит, относительно компактна касательно слабой сходи- мости в смысле определения 5. Для завершения доказательства остается приме- нить теорему 1. Теорема доказана. Таким образом, показано, что решения поставленной задачи управления мо- гут быть достигнуты через последовательность задач оптимального управления, заданных на перфорированных подмножествах множества  с фиктивными уп- равлениями на границах дыр. С.О. Горбонос ПРО АПРОКСИМАЦІЮ РОЗВ’ЯЗКІВ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ З НЕОБМЕЖЕНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Досліджується задача оптимального керування параболічною системою з не- обмеженими коефіцієнтами. Запропоновано підхід, який дозволяє досягти розв’язку поставленої задачі керування через послідовність розв’язків задач оп- тимального керування, які задано на перфорованих підмножинах з фіктивними граничними керуваннями. S.A. Gorbonos ON THE APPROXIMATION OF SOLUTIONS TO THE ONE CLASS OF THE OPTIMAL CONTROL PROBLEMS FOR PARABOLIC EQUATION WITH UNBOUNDED COEFFICIENTS The optimal control problems for parabolic system with unbounded coefficients are considered. It is shown that solutions of considered optimal control problem can be attained through the sequence of solutions to optimal control problems given on per- forated subsets with fictitious boundary controls. 1. Горбонос С.О., Когут П.І. Варіаційні розв’язки задачі оптимального керування з необме- женими коефіцієнтами // Вісник Дніпропетровськ. ун-ту. Сер. : Моделювання. — 2013. — Вип. 5. — С. 69–83. 2. Kogut P.I., Kupenko O.P. On attainability of optimal solutions for linear elliptic equations with unbounded coefficients // Там же. — 2012. — Вип. 4. — С. 63–82. 3. Salsa S. Partial differential equations in action: from modelling to theory. — Milan : Springer- Verlag, 2008. — 557 р. 4. Zhikov V.V. Remarks on the uniqueness of a solution of the Dirichlet problem for second-order el- liptic equations with lower-order terms. // Functional Analysis and its Applications. — 2004. — N 3. — P. 173–183. 5. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложе- ния. — Новосибирск : Научная книга, 1999. — 350 с. 6. Kogut P.I. On approximation of an optimal boundary control problem for linear elliptic equation with unbounded coefficients // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A (DCDS-A). — 2014. — 34, N 5. — P. 1–28. 7. Horsin T., Kogut P. Optimal 2L -control problem in coefficients for a linear elliptic equation. — 2013. — Р. 1–60. — arXiv:1306.2513. 8. Kogut P.I. On some properties of unbounded bilinear forms associated with skew-symmetric L 2 -matrices // Вісник Дніпропетровськ. ун-ту. Сер. : Моделювання. — 2013. — Вип. 5. — С. 84–97. 9. Kogut P.I., Leugering G. Optimal control problems for partial differential equations on reticulated domains: approximation and asymptotic analysis. — Boston : Birkhäuser, 2011. — 636 p. Получено 15.11.2013 После доработки 25.03.2014

Схожі ресурси