О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами

Розглянуто способи пошуку оптимального розв’язку нечіткої транспортної задачі, ресурси якої задано у вигляді нечітких трикутних чисел. Проілюстровано застосування методів на прикладі реальної транспортної задачі. Розглянуто узагальнення методики розв’язання нечіткої транспортної задачі з урахуванням...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2014
Main Authors:	Ивохин, Е.В., Алмодарс Баррак Субхи Камл
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Subjects:	Экономические и управленческие системы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207839
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами / E.В. Ивохин, Алмодарс Баррак Субхи Камл // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 122-133. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860211740947513344
author	Ивохин, Е.В. Алмодарс Баррак Субхи Камл
author_facet	Ивохин, Е.В. Алмодарс Баррак Субхи Камл
citation_txt	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами / E.В. Ивохин, Алмодарс Баррак Субхи Камл // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 122-133. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто способи пошуку оптимального розв’язку нечіткої транспортної задачі, ресурси якої задано у вигляді нечітких трикутних чисел. Проілюстровано застосування методів на прикладі реальної транспортної задачі. Розглянуто узагальнення методики розв’язання нечіткої транспортної задачі з урахуванням важливості обмежень. Запропоновано спосіб перетворення системи обмежень при розв’язанні чітких та нечітких транспортних задач і загальних задач лінійного програмування. The ways to find the optimal solution of fuzzy transportation problem, in which resources are given in the form of triangular fuzzy numbers, are considered. The proposed method is illustrated by the example of real transportation problem. A generalization of the method of the fuzzy transportation problem solving with regard to the importance of constraints is given. Method of transformation of the system of constraints for solving of the crisp and fuzzy transportation problems and linear programming problems is proposed.
first_indexed	2025-12-07T18:14:43Z
format	Article
fulltext	© E.В. ИВОХИН, АЛМОДАРС БАРРАК СУБХИ КАМЛ, 2014 122 ISSN 0572-2691 УДК 519.87 E.В. Ивохин, Алмодарс Баррак Субхи Камл О ПОДХОДАХ К РЕШЕНИЮ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ С НЕЧЕТКИМИ РЕСУРСАМИ Введение Суть транспортной задачи (ТЗ), которая является одним из примеров задач математического программирования, состоит в распределении продукции произ- вольной группы «производителей» среди произвольной группы «потребителей» экономически наиболее оптимальным способом с учетом заданных ограничений на «предложения» и «спрос». В зависимости от вида функции стоимости перево- зок, транспортные задачи делятся на линейные и нелинейные. Транспортная задача, решаемая на сети, которая состоит из конечного числа узлов и дуг между ними, является задачей линейного программирования (ЗЛП), ес- ли общая стоимость перевозок и ограничения на объемы перевозок задаются ли- нейными функциями. Типовой проблемой является транспортировка продукции от m производителей к n потребителям с мощностями maaa ...,,, 21 и nbbb ...,,, 21 со- ответственно. Для нахождения эффективного плана перевозок задается стоимость транспортировки единицы продукции ijc из пункта производства ,,1, mii  в пункт потребления ,,1, njj  а переменные ,ijx ,,1 mi  ,,1 nj  определяют объемы перевозок от производителя к месту назначения. Эффективные алгоритмы решения транспортной задачи были разработаны для случаев, когда стоимость и коэффициенты потребления известны априори. Однако на практике достаточно часто рассматриваются примеры, в которых эти параметры не могут быть заданы точно. Например, стоимость доставки может из- меняться в процессе транспортировки. Запросы на объемы потребления могут быть неопределенными из-за специфики отдельных неконтролируемых факторов. В работе [1] предложена концепция принятия решения в нечетких условиях, которую можно рассматривать как один из способов решения транспортной зада- чи с неточными параметрами. Ситуация, в которой все параметры модели ТЗ яв- ляются нечеткими, описана в [2]. В 1979 году был разработан алгоритм решения ТЗ [3], который находит ее эффективные решения. В [4] представлены две итера- ционные схемы решения линейных многокритериальных транспортных задач. В работе [5] разработан подход, основанный на интервальном определении не- точно заданных коэффициентов. Метод интерактивного нечеткого многоцелевого линейного программирования [6] был применен для решения задачи транспортного планирования. Это новый подход, который получил название нечеткой модифици- рованной вычислительной процедуры для поиска оптимального решения ТЗ. Были проведены исследования, рассматривающие сведение нечетких транс- портных задач к традиционным ТЗ [7–14]. В работе [8] решались транспортные задачи с нечеткими величинами запросов и предложений с помощью параметри- ческих моделей математического программирования с учетом критерия Беллмана и Заде. Этот метод состоит в получении решений, максимально удовлетворяющих ограничениям и целевой функции на множестве вариантов перевозок. Новые арифметические операции над трапециеподобными (треугольными) не- четкими числами [11] дали возможность использовать нечеткие числа для формали- зации нечетких ТЗ. Этот подход упростил формализацию и решение транспортных задач, величины ресурсов в которых задаются нечеткими треугольными числами. Кроме того, применение методики сравнения важности критериев в задачах выбора Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 123 позволило обобщить данный подход на случай разной важности ограничений ТЗ. Таким образом, при условии нечеткого задания ресурсов производителей и/или по- требителей продукции можно рассматривать ТЗ, решения которых учитывают раз- ные уровни возможности отклонений ресурсов от номинальных значений и харак- теризуются соответствующими значениями важности заданных ограничений. Од- новременная обработка данных параметров позволила сформулировать новый подход для решения общей нечеткой транспортной задачи перевозок однотипной продукции от производителей к потребителям с минимальной стоимостью. Предложенный подход может быть распространен на многокритериальные нечеткие транспортные задачи с нечетко заданными ограничениями на ресурсы. Это позволит проводить поиск эффективных (оптимальных или компромиссных) по совокупности критериев решений нечетких транспортных задач на множествах допустимых вариантов перевозок, которые задают с учетом параметров неточно- сти и важности ограничений. 1. Стандартная задача линейного программирования Без ограничения общности математическая модель задачи линейного про- граммирования может быть записана в виде jj n j xc 1 max (1) при ограничениях , 1 ijij n j bxa   ,,1 mi  (2) .;0 nRxx  При фиксированных известных значениях параметров ,jc ,ija ,ib ,,1 nj  ,,1 mi  это стандартная задача линейного программирования, а при случайных ве- личинах с известными функциями распределения ее можно решить методами сто- хастического программирования. Однако на практике эти параметры часто неиз- вестны, и для параметров можно лишь указать интервал возможных значений. Задачу такого типа можно назвать ЗЛП с заданным множеством значений коэффи- циентов. В рамках этой задачи уже некорректно говорить о максимизации целевой функции (1), поскольку значения этой функции — не числа, а множества чисел. В этом случае необходимо сначала выяснить, какое отношение предпочтения на множестве альтернатив порождает эта функция, а потом определить, выбор каких решений более рационален в соответствии с этим отношением предпочтения. Следующим этапом на пути детализации и уточнения рассматриваемой мо- дели (1), (2) является описание параметров задачи в виде нечетких множеств. В модель вводится дополнительная информация в форме функции принадлежно- сти этих нечетких множеств. Эти функции можно рассматривать как способ при- ближенного отображения экспертом имеющегося у него неформализованного представления о реальной величине параметра. Значения функций принадлежно- сти — это весовые коэффициенты, которые эксперты приписывают разным воз- можным значениям каждого конкретного параметра. Определение 1 [15]. Нечетким множеством A ~ универсального множества X именуется совокупность пар )},),({( ~ ~ xxA A  где ]1,0[:)(~  Xx A — отображе- ние множества X на единичный отрезок [0, 1], называемое функцией принадлеж- ности нечеткого множества. 124 ISSN 0572-2691 После определения нечеткого множества можно перейти к формулировке за- дачи нечеткого математического программирования [10]. Рассматривается линей- ная модель ,~max 1 jj n j xcZ    (3) значения коэффициентов ,~ jc ,,1 nj  в которой представлены в форме нечетких подмножеств заданных универсальных множеств. Кроме того, заданы ограничения , ~~ 1 ijij n j bxa   ,,1 mi  ,,1,0 njx j  (4) где значения коэффициентов ,~ ija , ~ ib ,,1 mi  ,,1 nj  также представлены в фор- ме соответствующих нечетких множеств. Необходимо провести рациональный выбор решения ,nRx которое в некотором смысле максимизирует нечетко за- данную линейную форму (3). Замечание. Очевидно, что задание целевой функции (3) и системы нера- венств (4) в задаче нечеткого математического программирования допустимо лишь при использовании соответствующих операций с нечеткими величинами и нечетких отношений нестрогого сравнения. В рамках данной работы предпола- гается использовать представление нечетких значений в специальном виде, по- зволяющем оперировать четкими и нечеткими числовыми величинами обычным образом. До формального описания способа задания нечетких значений будем предполагать наличие такого представления. 2. Постановка транспортной задачи Пусть mAA ...,,1 — производители однородного продукта, причем объем производства в пункте iA составляет ia единиц, .,1 mi  Допустим, что продукт потребляется в пунктах ,...,,1 nBB a объем потребления в пункте jB составляет jb единиц .,1 nj  Транспортные затраты по доставке единицы продукции из пункта iA в пункт jB равняются ijc ,,1( mi  ).,1 nj  Задача состоит в опреде- лении такого плана перевозок, при котором запросы всех потребителей jB , ,,1 nj  полностью удовлетворены, весь продукт из пунктов производства iA , ,,1 mi  вывезен и суммарные транспортные затраты минимальны. Для этого необходимо определить множество значений ,0ijx ,,1 mi  ,,1 nj  удовлетворяющих условиям , 1 iij n j ax   ,,1 mi  (5) , 1 jij n i bx   ,,1 nj  (6) и таких, что целевая функция ijij n j m i xcZ    11 (7) достигает минимального значения. Таким образом, транспортная задача представляет собой ЗЛП с mn числом переменных и с (mn) числом ограничений в виде равенств. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 125 Уравнение , 11 j n j i m i ba    (8) называемое условием баланса, является необходимым и достаточным условием решения ТЗ. Соответствующая нечеткая транспортная задача (НТЗ) может быть записана в виде ijij n j m i xcZ ~min 11    (9) при ограничениях ,,1,~ 1 miax iij n j   (10) ,,1, ~ 1 njbx jij m i   (11) , ~~ 11 j n j i m i ba    (12) ,0ijx ,,1 mi  .,1 nj  3. Транспортная задача с нечеткими ограничениями на ресурсы Рассмотрим транспортную задачу нечеткого производства и распределения ресурсов, объемы которых задаются нечеткими треугольными числами [12] ,~ ia ,,1 mi  .,1, ~ njb j  При решении прикладных задач для формализации нечеткости используют более конструктивные и практичные определения нечетких понятий, эквивалент- ные классическому определению 1. Определение 2 [12]. Нечетким треугольным числом b ~ называется упорядочен- ная тройка чисел (а, b, c), ,cba  определяющая функцию принадлежности :)(~ x b  ];,[,)(~ bax ab ax x b     ];,[,)(~ cbx bc xc x b     ].,[,0)(~ caxx b  Нечеткое треугольное число , ~ b заданное в виде тройки (а, b, c), иногда назы- вают триплетом, причем для любого числа ],[ bax справедливо представление ),( abax  а для любого ],[ cbx — ),( bccx  где 10  — задан- ный уровень меры принадлежности числа x нечеткому множеству . ~ b Нечеткое треугольное число вида (а, b, b), которое называется левым нечетким треуголь- ным числом, определяется функцией принадлежности ;,0)(~ axx b  ];,[,)(~ bax ab ax x b     ,,1)(~ bxx b  а нечеткое треугольное число вида (b, b, c), именуемое правым нечетким тре- угольным числом, — функцией принадлежности ;,1)(~ bxx b  ];,[,)(~ cbx bc xc x b     .,0)(~ cxx b  126 ISSN 0572-2691 Предположим, что нечетко заданные объемы ресурсов в транспортной задаче оп- ределяются нечеткими треугольными числами. В этом случае транспортная задача может рассматриваться как задача линейного программирования, записываемая в виде ijij n j m i xcZ    11 min (13) с ограничениями ,,1,~ 1 miax iij n j   (14) ,,1, ~ 1 njbx jij m i   (15) , ~~ 11 j n j i m i ba    (16) ,0ijx ,,1 mi  .,1 nj  Решение НТЗ (13)–(16) найдем с помощью подхода, предложенного в [12]. Пусть 1L и 1U — наименьшее и наибольшее значения целевой функции Z на за- данном нечетком множестве ресурсов (при 0 и 1 соответственно). С уче- том полученных уровней запишем нечеткую задачу определения величин ,0ijx ,,1 mi  ,,1 nj  удовлетворяющих ограничениям ),,,(~,~ 111 UULssZ  (17) ,,1,~ 1 miax iij n j   ,,1, ~ 1 njbx jij m i   . ~~ 11 j n j i m i ba    (18) Функции принадлежности нечетких ограничений (17), (18) записываются в следующем виде:  для первого ограничения (17)                                          ;при1 ,при)( ,при0 1 11 1 11 1111 11 1 11 11 1 / Uxc UxcLLULxc Lxc xc ijij n j m i ijij n j m i ijij n j m i ijij n j m i ijij n j m i  для i-го ограничения (18), ,,1 mi                                                          ;при1 ,при ,при ,при0 1 11 11 1 1 2 / / r iiij n j r iiij n j i r iij n j l ii iij n j l ii l i l iiij n j l iiij n j ij n j i aax aaxaaxaa axaaaaax aax x Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 127  для j-го ограничения (18), ,,1 nj                                                         .при1 ,при ,при ,при0 1 11 11 1 1 3 / / r jjij m i r jjij m i i r jij m i r jj iij m i l jj l j l jjij m i l jjij m i ij m i j bbx bbxbbxbb bxbbbbbx bbx x Используя max-min-оператор [7], задачу (17), (18) можно записать в форме max (19) с ограничениями ,)( 111 11 LLUxc ijij n j m i   ,, ,, 11 11 r jj r iij m i l jj l iij m i r ii r iij n j l ii l iij n j bbbxbbbx aaaxaaax       (20) ),()( ),()( 11 11 l j l jj n j l i l ii m i l j l jj n j l i l ii m i bbbaaa bbbaaa       (21) ,10  ,0ijx ,,1 mi  ,,1 nj  где величины допустимых отклонений ,0 i l i aa  ,0r ia ,,1 mi  ,0 j l j bb  ,0r jb ,,1 nj  определяют предельные изменения ресурсов модели (17), (18). 4. Применение методов принятия решений для поиска решения транспортной задачи с нечеткими ограничениями на ресурсы При решении задачи нечеткого выбора элементов из заданного множества учитывается величина функции принадлежности отдельных элементов, которая может быть определена с помощью метода попарных сравнений [16]. Предположим, что имеется множество из k элементов }.,1,0{ ksyY s  Сте- пень принадлежности элементов универсального множества Y произвольному не- четкому множеству можно получить, сравнивая элементы между собой. Оценку элемента iy в сравнении с элементом jy обозначим .ijq Для согласованности полагают ,/1 ijji qq  ,1iiq .,1, kji  Оценки ijq составляют матрицу ,ijqQ  .,1, kji  Найдем собственный вектор ),...,,( 1 kwww  соответствующий максималь- ному собственному числу матрицы Q. Полученные величины ,,1,0 ksws  принимаются в качестве уровней принадлежности элементов },1,0{ ksyY s  соответствующему нечеткому множеству. 128 ISSN 0572-2691 Коэффициенты относительной важ- ности элементов ,ijq ,,1, kji  опреде- ляются на основании шкалы оценок (таб- лица, [16]). Определяя по данной методике важность ресурсных ограничений тран- спортной задачи, получим задачу ЛП с учетом важности ограничений: найти значение ],1,0[0  которое является решением задачи линейного про- граммирования max0  (22) с ограничениями ,)( 1110 11 LLUxc ijij n j m i   ,, ,, 2 1 2 1 1 1 1 1 r jj r jij m i l jj l jij m i r ii r iij n j l ii l iij n j bbbxbbbx aaaxaaax       (23) ),()( ),()( 2 1 1 1 2 1 1 1 l j l jj n j l i l ii m i l j l jj n j l i l ii m i bbbaaa bbbaaa       (24) ,11 w ,22 w ,0ijx ,,1 mi  ,,1 nj  ,0 p ,10  p .2,1p 5. Использование метода группировки ограничений Нечеткая транспортная задача, как и классическая ТЗ, является задачей ли- нейного программирования. При этом следует отметить, что решение транспорт- ной задачи с большим (mn) числом ограничений предполагает проверку множе- ства условий, часть из которых могут быть достаточно близкими друг к другу. Рас- смотрим подход, основанный на группировке и модификации линейных неравенств. Выберем в качестве модели традиционную задачу линейного программиро- вания (1), (2) и опишем основную идею подхода. Обозначим T 21 )...,,,( iniii aaaA  вектор коэффициентов в левой части огра- ничения с номером i, T 21 ),...,,,( iiniii baaaA  — расширенный вектор, содержа- щий, кроме коэффициентов i-го неравенства, значение правой части ,ib .,1 mi  Для группировки неравенств исследуем взаимосвязи между ними, используя следующие определения. Определение 1. Два ограничения системы линейных неравенств (2) с номера- ми i и j, ,,1 mji  назовем -слабосвязанными, если для величины ),(/),( jijiij AAAAv  ,,1 mji  (25) справедливо соотношение ,ijv .10  (26) Здесь jsis n s ji aaAA    1 ),( — скалярное произведение векторов ,, ji AA ,1 i .mj  Таблица Относительная важность элементов Элементы матрицы А Равная важность элементов 1 Ненамного важнее 3 Важнее 5 Существенно важнее 7 Намного важнее 9 Промежуточные значения 2, 4, 6, 8 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 129 Величина параметра  позволяет задавать уровень взаимосвязи двух нера- венств. Легко заметить, что значение ijv совпадает со значением косинуса угла между векторами градиентов ,, ji AA ,,1 mji  )),,(coscos( jiijij AAv  и при небольших значениях  два неравенства с номерами i и j, ,,1 mji  су- щественно отличаются. Определение 2. Два ограничения системы линейных неравенств (2) с номера- ми i и j, ,,1 mji  назовем -сильносвязанными, если для величины ijv ви- да (25) справедливо соотношение ,ijv .10  (27) Определение 3. Два ограничения системы линейных неравенств (2) с номера- ми i и j, ,,1 mji  назовем  -слабосвязанными, если для величины ),(/),( jiiiij AAAAv  ,,1 mji  (28) справедливо соотношение ,ijv .10  (29) Определение 4. Два ограничения системы линейных неравенств (2) с номера- ми i и j, ,,1 mji  назовем  -сильносвязанными, если для величины ijv ви- да (28) справедливо соотношение ,ijv .10  (30) Очевидно, что понятия  -слабосвязанных и  -сильносвязанных ограниче- ний, как и в случае -слабосвязанных и -сильносвязанных ограничений, связаны с величиной угла между векторами ),,(coscos( jiijij AAv  полученной для расширенных векторов ,, ji AA .,1 mji  В случае связанности ограничений можно предложить способ их модифика- ции, заменив пару неравенств на одно новое. Рассмотрим последовательность преобразований для простейшего случая ЗЛП (1), (2) при 2n и m линейных ог- раничениях: — зададим значение величины , определяющее степень сильной и слабой связанности пар ограничений; — для всех пар неравенств, для которых значение ,ijv ,,1 mji  строим новое ограничение в виде ,+ 21 rqxpx  где коэффициенты rqp ,, определяются из уравнения прямой, которая проходит через точку пересечения прямых iii bxaxa 2211 + и jjj bxaxa 2211 + и вектор нормали которой совпадает с век- тором суммы векторов T 21 ),( ii aa и .),( T 21 jj aa Следует отметить, что область допустимых решений полученной задачи ли- нейного программирования в этом случае не уменьшается, а при выполнении ус- ловия , ijij vv ,,1 mji  является пересечением областей, задаваемых нера- венствами задачи (1), (2), кроме i-го и j-го, и нового неравенства rqxpx 21 + с учетом требований .0 0, 21  xx В качестве примеров рассмотрим следующие случаи двух ограничений:  -слабосвязанные ограничения ( 6,0 ) ,9+ 3 ,189+ 2 21 21   xx xx для которых ;51,012 v 130 ISSN 0572-2691  -сильносвязанные ограничения ( 75,0 ) с условием 1212 vv  ,12+ 5,0 ,189+ 2 21 21   xx xx где ,99965,012 v ;798,012 v  -сильносвязанные ограничения )9,0(  с условием 1212 vv  ,124+ 3 ,189+ 2 21 21   xx xx где ,911,012 v .981,012 v К сожалению, подобное преобразование области допустимых решений не га- рантирует близости вновь полученного решения к оптимальному решению ис- ходной задачи. Применительно к нечеткой задаче линейного программирования (3), (4) с не- четкими ресурсами предложенная последовательность для преобразования систе- мы ограничений должна учитывать представление величин ресурсов в виде тре- угольных нечетких чисел, ),,,( ~ r iiiii bbbbb  .,1 mi  Пусть задача оптимизации имеет вид (3), (4) при 2n и m линейных огра- ничениях: — зададим значение величины , определяющее степень сильной и слабой связанности пар ограничений; — для всех пар неравенств, для которых значение ,ijv ,,1 mji  строим новое ограничение в виде ,+ 21 ijvsqxpx  ,10  где коэффициенты sqp ,, определяются из уравнения прямой которая проходит через точку пересечения прямых r iiii bbxaxa 2211 + и ,+ 2211 r jjjj bbxaxa  mji  ,1 и вектор нор- мали которой совпадает с вектором суммы векторов T 21 ),( ii aa и .),( T 21 jj aa Результаты, демонстрирующие применение данного алгоритма, рассмотрим на примере нечеткой ЗЛП следующего вида: 2max x ,199+ 2 121 xx ,2144+ 3 221 xx ,2+ 321  xx .3,1],1,0[,0,0 21  ixx i Использование традиционного подхода для решения задачи (31) дает реше- ние ,96,1,45,0 21  xx .49,0 321  Приведение первых двух неравенств к виду ,911,09,30135 421  xx ],1,0[4  позволяет получить оптимальное решение новой ЗЛП в виде ,61,0 1 x ,1,22 x .4995,043  В данном случае решение остается достаточно близ- ким к решению исходной задачи, сохраняя при этом уровень нечеткости решения. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 131 6. Примеры решений реальных транспортных задач с нечеткими ограничениями на ресурсы В качестве реального примера рассмотрим решение транспортной задачи [14] с тремя производителями и тремя потребителями с целевой функцией стоимости перевозок min60 + 80 + 200 + 104+ 68 + 60 + 120 + 40 + 32 332313322212312111 xxxxxxxxx и ограничениями ,30 + + ~ 312111 xxx ,35 + + ~ 322212 xxx ,30 + + ~ 332313 xxx ,20 + ~ 131211  xxx ,30 + ~ 232221  xxx ,45 + ~ 333231  xxx ,0ijx ,3,1i .3,1j Допустим, что в данной модели правые части ограничений определяются набо- ром треугольных нечетких чисел ),32,30,28(30 ~  ),37,35,34(35 ~  ),31,30,29(30 ~  ),23,20,18(20 ~  ),33,30,28(30 ~  ).46,45,44(45 ~  Перепишем задачу в форме ЗЛП (19)–(21). Получим задачу оптимизации max при ограничениях  104+ 68 + 60 + 120 + 40 + 32 322212312111 xxxxxx ,5212)52125676(60 + 80 + 200 + 332313 xxx ,228 + + 312111 xxx ,218 + 131211  xxx ,232 + + 312111 xxx ,323 + 131211  xxx ,234 + + 322212 xxx ,228 + 232221  xxx ,338 + + 322212 xxx ,333 + 232221  xxx ,29 + + 332313 xxx ,44 + 333231  xxx ,31 + + 332313 xxx ,46 + 333231  xxx ,0ijx ,3,1i ,3,1j .10  Оптимальное решение этой задачи: ,5,13 11 x ,0,5,15 3121  xx ,5,512 x ,022 x ,5,28 32 x ,5,16,5,13,0 332313  xxx .0,5444,5,0  Z Используем подход, учитывающий важность ограничений. Предположим, что матрица оценок попарных сравнений Q задана в виде . 15/1 51 Q Максимальное собственное число матрицы ,2)(  Q а собственный вектор, отвечающий этому собственному числу, ).6/1,6/5(w В результате получим транспортную задачу 0max  с ограничениями + 104+ 68 + 60 + 120 + 40 + 32 322212312111 xxxxxx ,5212)52125676(60 + 80 + 200 0332313  xxx ,228 + + 1312111 xxx ,232 + + 1312111 xxx ,234 + + 1322212 xxx ,338 + + 1322212 xxx 132 ISSN 0572-2691 ,29 + + 1332313 xxx ,31 + + 1332313 xxx ,218 + 2131211  xxx ,323 + 2131211  xxx ,228 + 2232221  xxx ,333 + 2232221  xxx ,44 + 2333231  xxx ,46 + 2333231  xxx ,6/5 1 ,6/1 2 ,01  ,02  ,3,1i ,3,1j ,10  p .2,1,0p Оптимальное решение в этом случае: 898,1911 x , ,76,921 x ,031 x ,012 x ,022 x ,66,3432 x ,013 x ,36,1923 x ,5,1033 x ,563,00  ,83,01  .72,5416,563,02  Z Как следует из полученных результатов, при использовании методики срав- нения важности ограничений транспортной задачи удалось не только снизить стоимость перевозок, но и определить допустимые границы ресурсных измене- ний, за счет которых достигается это уменьшение. Понятно, что окончательный выбор величин объемов производства и потребления будет определяться лицом, принимающим решения. Заключение В работе рассмотрен метод поиска оптимального решения нечеткой транс- портной задачи, ресурсы в которой заданы в виде нечетких треугольных чисел. Проиллюстрировано использование метода на примере реальной транспортной задачи. Рассмотрено обобщение методики решения нечеткой транспортной задачи с учетом важности ограничений. Предложен способ применения разработанного подхода для решения нечетких транспортных задач общего вида. Предложенный подход может быть распространен на многокритериальные нечеткие транспорт- ные задачи с нечетко заданными ограничениями на ресурсы. Это позволит осуще- ствлять поиск эффективных по совокупности критериев решений нечетких транс- портных задач на множествах допустимых решений, определяемых с учетом па- раметров неточности и важности ограничений. Є.В. Івохін, Алмодарс Баррак Субхі Камл ПРО ПІДХОДИ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНОЇ ЗАДАЧІ З НЕЧІТКИМИ РЕСУРСАМИ Розглянуто способи пошуку оптимального розв’язку нечіткої транспортної за- дачі, ресурси якої задано у вигляді нечітких трикутних чисел. Проілюстровано застосування методів на прикладі реальної транспортної задачі. Розглянуто уза- гальнення методики розв’язання нечіткої транспортної задачі з урахуванням важливості обмежень. Запропоновано спосіб перетворення системи обмежень при розв’язанні чітких та нечітких транспортних задач і загальних задач ліній- ного програмування. E.V. Ivokhin, Аlmodars Barraq Subhi Kаml ON THE APPROACHES TO SOLVING THE TRANSPORTATION PROBLEM WITH FUZZY RESOURCES The ways to find the optimal solution of fuzzy transportation problem, in which re- sources are given in the form of triangular fuzzy numbers, are considered. The pro- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 5 133 posed method is illustrated by the example of real transportation problem. A general- ization of the method of the fuzzy transportation problem solving with regard to the importance of constraints is given. Method of transformation of the system of con- straints for solving of the crisp and fuzzy transportation problems and linear pro- gramming problems is proposed. 1. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment // Management Science. — 1970. — N 17. — P. 141–164. 2. Lai Y.J., Hawng C.L. Fuzzy mathematical programming. Lecture notes in economics and mathe- matical systems. — Berlin; Heidelberg; New York : Springer-Verlag, 1992. 3. Isermann H. The numeration of all efficient solutions for a linear multiobjective transportation problems// Naval Research Logistic Quarterly. — 1979. — N 26. — P. 123–139. 4. Ringuest L., Rinks D.B. Interactive solutions for the linear multiobjective transportation problem // European Journal of Operational Research. — 1987. — N 32. — P. 96–106. 5. Chanas S., Kuchta D. Fuzzy programming in multi-objective linear programming-parametric ap- proach // Fuzzy Set and System. — 1989. — N 29. — P. 303–313. 6. Тien Fuling. Applying interactive fuzzy multi-objective Linear programming to transportation planning decisions // Journal of Information and Optimization Sciences. — 2006. — 27, N 1. — P. 107–126. 7. Zimmermann H.J. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions // Fuzzy Sets and System. — 1978. — N 1. — P. 45–55. 8. Gasimov R.N., Yenilmez K. Solving fuzzy linear programming with linear membership functions // Turk. J. Math. — 2002. — N 26. — P. 375–396. 9. Sakawa M., Yano H. Interactive decision making for multi-objective linear fractional program- ming problems with fuzzy parameters // Cybernetics Systems. — 1985. — N 16. — P. 377–394. 10. Dubois D. Linear programming with fuzzy data analysis of fuzzy information / J.C. Bezdek (ed.). Boca Raton : CRC Press. — 1987. — 3. — P. 241–263. 11. Tanaka H., Asai K. Fuzzy linear programming problems with fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — N 13. — P. 1–10. 12. Bablu Jana, Tapan Kumar Roy. Multi-objective fuzzy linear programming and its application in transportation model // Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences. — 2005. — 21, N 2. — P. 243–268. 13. Ivokhin E.V., Almodars Barraq Subhi Kaml. Single-objective linear programming problems with fuzzy coefficients and resources// Computational and Applied Math. — 2013. — N 1. — P. 117–125. 14. Reeb J., Leavengood S. Transportation problem: a special case for linear programming problems // Performance Excellence in the Wood Products Industry EM 8779, June 2002. 15. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inf. Contr. — 1965. — 8. — Р. 338–353. 16. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятия решений на основе нечетких моделей. — Рига : Зинатне, 1990. — 184 с. Получено 14.03.2014 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207839
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:14:43Z
publishDate	2014
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ивохин, Е.В. Алмодарс Баррак Субхи Камл 2025-10-14T13:55:30Z 2014 О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами / E.В. Ивохин, Алмодарс Баррак Субхи Камл // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 5. — С. 122-133. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207839 519.87 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i10.50 Розглянуто способи пошуку оптимального розв’язку нечіткої транспортної задачі, ресурси якої задано у вигляді нечітких трикутних чисел. Проілюстровано застосування методів на прикладі реальної транспортної задачі. Розглянуто узагальнення методики розв’язання нечіткої транспортної задачі з урахуванням важливості обмежень. Запропоновано спосіб перетворення системи обмежень при розв’язанні чітких та нечітких транспортних задач і загальних задач лінійного програмування. The ways to find the optimal solution of fuzzy transportation problem, in which resources are given in the form of triangular fuzzy numbers, are considered. The proposed method is illustrated by the example of real transportation problem. A generalization of the method of the fuzzy transportation problem solving with regard to the importance of constraints is given. Method of transformation of the system of constraints for solving of the crisp and fuzzy transportation problems and linear programming problems is proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами Про підходи до вирішення транспортного завдання з нечіткими ресурсами On the approaches to solving the transportation problem with fuzzy resources Article published earlier
spellingShingle	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами Ивохин, Е.В. Алмодарс Баррак Субхи Камл Экономические и управленческие системы
title	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
title_alt	Про підходи до вирішення транспортного завдання з нечіткими ресурсами On the approaches to solving the transportation problem with fuzzy resources
title_full	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
title_fullStr	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
title_full_unstemmed	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
title_short	О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
title_sort	о подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами
topic	Экономические и управленческие системы
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207839
work_keys_str_mv	AT ivohinev opodhodahkrešeniûtransportnoizadačisnečetkimiresursami AT almodarsbarraksubhikaml opodhodahkrešeniûtransportnoizadačisnečetkimiresursami AT ivohinev propídhodidoviríšennâtransportnogozavdannâznečítkimiresursami AT almodarsbarraksubhikaml propídhodidoviríšennâtransportnogozavdannâznečítkimiresursami AT ivohinev ontheapproachestosolvingthetransportationproblemwithfuzzyresources AT almodarsbarraksubhikaml ontheapproachestosolvingthetransportationproblemwithfuzzyresources

О подходах к решению транспортной задачи с нечеткими ресурсами

Institution

Similar Items