Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям
На основі одного з наближених критеріїв гурвіцевості поліномів отримано достатню умову робастної стійкості руху керованого об’єкта всередині так званої трубки динамічної точності, осьовою лінією якої є задана траєкторія його руху. On the basis of one of the approximate criteria of Hurwitz polynomial...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207856 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 11-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207856 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Цыбулькин, Г.А. 2025-10-14T16:14:00Z 2014 Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 11-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207856 681.513 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i11.50 На основі одного з наближених критеріїв гурвіцевості поліномів отримано достатню умову робастної стійкості руху керованого об’єкта всередині так званої трубки динамічної точності, осьовою лінією якої є задана траєкторія його руху. On the basis of one of the approximate criteria of Hurwitz polynomials it is obtained a sufficient condition for robust stability of the controlled object motion inside of the so-called dynamic accuracy tube, the centre line of which is defined by the trajectory of its motion. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям Достатня умова робастної стійкості руху керованого об'єкта за заданими траєкторіями Sufficient condition for robust stability of the controlled object motion along the prescribed trajectories Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| spellingShingle |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям Цыбулькин, Г.А. Проблемы динамики управляемых систем |
| title_short |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| title_full |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| title_fullStr |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| title_full_unstemmed |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| title_sort |
достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям |
| author |
Цыбулькин, Г.А. |
| author_facet |
Цыбулькин, Г.А. |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Достатня умова робастної стійкості руху керованого об'єкта за заданими траєкторіями Sufficient condition for robust stability of the controlled object motion along the prescribed trajectories |
| description |
На основі одного з наближених критеріїв гурвіцевості поліномів отримано достатню умову робастної стійкості руху керованого об’єкта всередині так званої трубки динамічної точності, осьовою лінією якої є задана траєкторія його руху.
On the basis of one of the approximate criteria of Hurwitz polynomials it is obtained a sufficient condition for robust stability of the controlled object motion inside of the so-called dynamic accuracy tube, the centre line of which is defined by the trajectory of its motion.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207856 |
| citation_txt |
Достаточное условие робастной устойчивости движения управляемого объекта по заданным траекториям / Г.А. Цыбулькин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 11-16. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT cybulʹkinga dostatočnoeuslovierobastnoiustoičivostidviženiâupravlâemogoobʺektapozadannymtraektoriâm AT cybulʹkinga dostatnâumovarobastnoístíikostíruhukerovanogoobêktazazadanimitraêktoríâmi AT cybulʹkinga sufficientconditionforrobuststabilityofthecontrolledobjectmotionalongtheprescribedtrajectories |
| first_indexed |
2025-11-25T23:55:47Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:55:47Z |
| _version_ |
1850591039209865216 |
| fulltext |
© Г.А. ЦИБУЛЬКИН, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 11
УДК 681.513
Г.А. Цыбулькин
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РОБАСТНОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО
ОБЪЕКТА ПО ЗАДАННЫМ ТРАЕКТОРИЯМ
Проблеме управления пространственным движением подвижных объектов
посвящена обширная литература. В отличие от многих публикаций, в которых
рассматриваются в основном кинематические аспекты, в работе [1] рассмотрен
круг задач, учитывающих динамические свойства управляемых объектов, и пред-
ложен иерархический подход, сочетающий программное и позиционное (с обрат-
ной связью) управление.
В рамках данной проблемы особый интерес представляют вопросы устойчиво-
сти движения по программно заданным траекториям. При движении управляемого
объекта по криволинейной траектории из-за инерционности возникает отклонение
(траекторная ошибка) этого объекта от заданной траектории, причем с увеличением
кривизны траектории отклонение растет. Поэтому часто необходимо «удержание»
каким-либо образом движущегося объекта внутри так называемой трубки дина-
мической точности, осевой линией которой является заданная траектория движе-
ния. Одним из подходов к решению этой задачи, рассмотренных в работах [2–4],
является введение в систему управления движением корректирующих обратных
связей по траекторной ошибке. Ясно, что введение таких связей сопровождается
неизбежным изменением запаса устойчивости движения.
Анализ устойчивости с помощью точных критериев (необходимых и доста-
точных условий) сопряжен с известными трудностями вычислительного характе-
ра [5–7]. Эти трудности существенно возрастают, если требуется не только опреде-
лить устойчиво или неустойчиво движение при фиксированных значениях парамет-
ров системы управления и неизменных характеристиках траектории движения, но
и оценить границы области устойчивости в условиях параметрической неопреде-
ленности, присущей системам рассматриваемого класса.
Ставится задача поиска более простых и легко проверяемых алгебраических
условий, выполнение которых гарантировало бы устойчивое движение управляемо-
го объекта внутри заданной трубки динамической точности при наличии априорной
неопределенности относительно указанных параметров. Для решения этой задачи
прежде всего необходимо математически описать саму траекторную ошибку.
1. Математическая модель траекторной ошибки
На рис. 1 изображена траектория программно заданного движения, описы-
ваемая в системе декартовых координат 21xOx уравнением
,0),( 21 xxF
которое устанавливает в неявной форме вполне определенные соотношения меж-
ду входными сигналами )).(()(, ))(()( 2211 tstxtstx PP В этих выражениях
и на рис. 1 )(tss — длина дуги траектории, отсчитываемой от некоторой на-
чальной точки 0P до «точки задания» P с текущими координатами ),(1 txP
)(2 txP
(при этом ),0))(),(( 21 txtxF PP
а )(sj — известные непрерывные и дифферен-
цируемые функции параметра s.
12 ISSN 0572-2691
Фактическое положение движуще-
гося объекта (точка R на рис. 1) в каждый
момент времени t определяется коорди-
натами )(11 txx RR и ).(22 txx RR Из ри-
сунка видно, что расстояние x между
точками P и R не характеризует, как
иногда полагают, траекторную ошибку.
Траекторная ошибка определяется крат-
чайшим расстоянием от точки R до тра-
ектории 0),( 21 xxF (до точки M
на рис. 1). К сожалению, координаты
точки M в реальных условиях траектор-
ного движения могут быть определены лишь в редких случаях, поэтому расчет
траекторной ошибки в общем случае затруднителен. Между тем в качестве ее
оценки можно взять расстояние , отсчитываемое от точки R до касательной
к траектории 0 ),( 21 xxF в точке P, которое, как показано в [3], незначительно
отличается от истинной траекторной ошибки, но при этом может быть легко вы-
числено на основе имеющейся информации о текущих координатах точек P и R.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
,~
~
2kv
dt
d
bA
,~
d (1)
которое согласно [3] описывает динамику траекторной ошибки (вернее, ее оценки
)),(t возникающей при движении управляемого объекта по плоской криволи-
нейной траектории .0),( 21 xxF В уравнениях (1) A — )( nn -матрица, пред-
ставленная в форме Фробениуса, т.е. в виде
,
...
1...00
......
0...00
0...10
0
1
0
1
0
a
a
a
a
a
a nn
A
где ,00 a 0ia ) , ... ,2,1( ni — постоянные параметры системы управле-
ния движением;
,]~...,,~[~ T
1 n ,
1
1
~
i
i
i
dt
d
, , ...,0
T
0
2
a
anb 0],..., ,0,1[d
,
Pds
d
k
, arctg
1
2
P
P
dx
dx
.
2
2
2
1
dt
dx
dt
dx
v
PP
В последних трех выражениях k — кривизна траектории 0),( 21 xxF в точке
«задания» P (см. рис. 1), — угол между осью 1x системы координат 21xOx и ка-
сательной к этой траектории, а v — скорость движения точки P.
Из (1) непосредственно видно, что при увеличении скорости движения
управляемого объекта очень быстро (по квадратичному закону) растет устано-
вившаяся траекторная ошибка . Она также растет при увеличении кривизны тра-
O
M
s
P
v
x1
R
x
P0
x2
20F(x1, x2) = 0
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 13
ектории k. Для стабилизации движения внутри некоторой полоски динамической
точности с заданной шириной 02 введем, следуя [3], обратную связь по траек-
торной ошибке, но, в отличие от [3], закон корректирующего управления скоро-
стью движения v выберем в виде
0,0,
0,,
2v (2)
где 0 — текущее отклонение управляемого объекта от границ указанной
полоски, а .0const, 0 Тогда в силу (1) и (2) отклонение )( t будет
описываться дифференциальным уравнением
,~ ] [
~
0 hψLA
ψ
k
dt
d
,~ψd (3)
где ,]~...,,~[~ T
1 nψ ,
1
1
~
i
i
i
dt
d
,, ...,0
T
0
a
anh
.
0...0
0...00
......
0...00
0...00
0
2
a
an
L
Матрица , ] [ LA k фигурирующая в уравнении (3), кроме параметров ia
и содержит еще и параметр k, который характеризует кривизну заданной траек-
тории. Значит, и устойчивость движения напрямую зависит от кривизны траекто-
рии. Возникают вопросы: какова эта зависимость и какие ограничения должны
налагаться на передаточный коэффициент обратной связи , чтобы устойчивость
движения относительно заданной траектории не нарушалась при всех желаемых
значениях k в условиях интервальной неопределенности параметров системы тра-
екторного управления?
2. Область робастной устойчивости
Прежде всего заметим, что хотя кривизна траектории в общем случае перемен-
на, изменение ее во времени, обусловленное движением объекта по заданной траек-
тории, происходит гораздо медленнее, чем переходные процессы в системе управ-
ления траекторным движением. Поэтому матрицу ] [ LA k можно рассматривать
как матрицу с постоянными («замороженными») коэффициентами [6, 8], но кото-
рые на разных участках траектории движения могут иметь различные значения.
В связи с этим решается следующая задача: дан характеристический полином
),( ... ] [det 21
1
10
kaaaaak nnn
nn
ILA (4)
соответствующий дифференциальному уравнению (3), параметры которого точно
не известны, но заданы интервальные ограничения
],, [ uuu aaa , uu aa ,, ..., 1,0 nu
],, 0[
*
kk ).( max
*
skk
s
14 ISSN 0572-2691
Необходимо определить условия гурвицевости полинома (4), если полином
, ... ][det 1
1
10 nn
nn aaaa
IA (5)
соответствующий дифференциальному уравнению исходной (т.е. до введения об-
ратных корректирующих связей) системы (1), является гурвицевым при всех зна-
чениях ]., [ uuu aaa
Для решения этой задачи воспользуемся результатом, изложенным в [9]
(см. также [10]), который дается следующей теоремой.
Теорема. Полином (5) является гурвицевым для всех значений ],, [ uuu aaa
,, ... , 1, 0 nu если удовлетворяются 2n достаточных условий:
,
1
2 1
c
aa
aa
jj
jj
,2 , ... , 2, 1 nj (6)
где ,3n а .4655,0c
Указанный результат основывается на достаточном условии устойчивости,
полученном в [11] для неробастного случая, т.е. для случая .uuu aaa (Число
с в правых частях неравенств (6) представляет собой, согласно [11], веществен-
ный корень уравнения .)1)1( 2
Сравнивая между собой полиномы (4) и (5), нетрудно увидеть, что они отли-
чаются лишь свободными членами. Следовательно, все (за исключением послед-
него) неравенства (6) для полинома (4) автоматически выполняются, если они вы-
полняются для полинома (5).
Обратимся теперь к последнему )2( n -му неравенству из (6) и введем обо-
значение
.
21
3
n
nn
nn c
aa
aa
(7)
Тогда с учетом (7) и того, что по условию теоремы ,ccn последнее неравенство
из (6) для характеристического полинома (4) примет вид
.
2
*
n
n
n
n
a
a
c
cc
k (8)
Итак, сформулируем следующее утверждение.
Утверждение. Полином (4) является полиномом Гурвица для всех значений
], [ uuu aaa и ],, 0[
*
kk если гурвицевым является полином (5) и соблюдается
условие (8).
Неравенство (8) представляет собой достаточное условие робастной устойчи-
вости движения управляемого объекта внутри заданной полоски динамической
точности, описываемого дифференциальным уравнением (3). Геометрически это
условие совместно с условиями 0
*
k и 0 задает в пространстве параметров
*
k и некоторую область, вписанную в «точную» область робастной устойчиво-
сти, определяемую необходимыми и достаточными условиями.
3. Пример
Пусть семейство полиномов (4) имеет степень .4n Интервалы числовых
значений коэффициентов ,0a ia ), ... ,2,1( ni для удобства сравнения зададим
такими же, как и в [3]: ;5,005,0 0 a ;25,0 1 a ;5025 2 a ,105 3 a
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 15
.2010 4 a Нетрудно убедиться, что при этом условия (6) для полинома (5) вы-
полняются. Согласно (7) ,32,0nc а произведение * k в силу (8) будет ограни-
чено неравенством
.18,0
*
k (9)
Теперь вычислим
*
k на основе критерия Гурвица для четырех угловых по-
линомов Харитонова [12] с коэффициентами
)(
*243210 kaaaaaa
)(
*243210 kaaaaaa
)(
*243210 kaaaaaa
).(
*243210 kaaaaaa
В результате получим следующие неравенства: ;4,2)( 1* k ,7;19)( 2*
k ;5,1)( 3*
k
.2,11)( 4*
k Отсюда
5,1}){(min * m
m
kk ).4, ...,1( m (10)
Неравенства (9) и (10) задают области робастной устойчивости в пространст-
ве параметров *
k и . На рис. 2, а, б границами этих областей являются прямые
,0
*
k 0 и соответствующие гиперболы 18,0
*
k и .5,1
*
k Из этих ри-
сунков видно, что область, определяемая неравенством (9), значительно ýже об-
ласти, построенной по необходимым и достаточным условиям (10). Заметим, что
достаточное условие устойчивости, полученное в [13] другим способом, примени-
тельно к данному примеру дает область
,76,0
*
k
т.е. область, более широкую (более точную), нежели область (9) (см. рис. 2, в).
Тем не менее по сравнению с достаточными условиями, предложенными
в [13], и с другими известными условиями (см., например, [14, 15]), условие (8)
имеет очевидное преимущество, которое позволяет легко и просто, без каких-
либо вычислительных затрат и независимо от степени характеристического поли-
нома, получить оценку области робастной устойчивости.
5
10
0,5 0 1
k*
5
10
0,5 0 1
k*
5
10
0,5 0 1
k*
а б в
Рис. 2
В заключение заметим, что потребность именно в такой простой оценке воз-
никает уже на начальном этапе проектирования систем управления пространст-
венным движением, когда в распоряжении конструктора еще нет окончательных
данных относительно параметров разрабатываемой системы управления, но ему
предварительно известны интервалы их желаемых значений.
16 ISSN 0572-2691
Г.О. Цибулькін
ДОСТАТНЯ УМОВА РОБАСТНОЇ СТІЙКОСТІ
РУХУ КЕРОВАНОГО ОБ’ЄКТА
ЗА ЗАДАНИМИ ТРАЄКТОРІЯМИ
На основі одного з наближених критеріїв гурвіцевості поліномів отримано
достатню умову робастної стійкості руху керованого об’єкта всередині так зва-
ної трубки динамічної точності, осьовою лінією якої є задана траєкторія його
руху.
G.A. Tsybulkin
SUFFICIENT CONDITION FOR ROBUST STABILITY
OF THE CONTROLLED OBJECT MOTION
ALONG THE PRESCRIBED TRAJECTORIES
On the basis of one of the approximate criteria of Hurwitz polynomials it is obtained
a sufficient condition for robust stability of the controlled object motion inside of the
so-called dynamic accuracy tube, the centre line of which is defined by the trajectory
of its motion.
1. Кунцевич В.М. Некоторые задачи управления групповым движением подвижных роботов //
Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». —
2012. — № 1. — С. 5–18.
2. Филаретов В.Ф., Юхимец Д.А. Способ формирования программного управления ско-
ростным режимом движения подводных аппаратов по произвольным пространственным
траекториям с заданной динамической точностью // Изв. РАН. Теория и системы управ-
ления. — 2011. — № 4. — С. 167–176.
3. Цыбулькин Г.А. Корректирующее управление траекторным движением. — Киев : Сталь,
2012. — 161 с.
4. Крутько П.Д., Голованов М.А. Траекторное управление движением автоматических мани-
пуляторов при выполнении технологических операций // Проблемы машиностроения
и надежности машин. — 2005. — № 3. — С. 88–95.
5. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. — М. : Наука, 1977. — 248 с.
6. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М. : Наука, 1979. — 336 с.
7. Александров А.Г. Запасы устойчивости и робастная устойчивость // Изв. РАН. Теория
и системы управления. — 2010. — № 6. — С. 32–41.
8. Д’Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез / Под ред.
Н.Т. Кузовкова : Пер. с англ. — М. : Машиностроение, 1974. — 288 с.
9. Bose N.K., Jury E.I., Zeheb E. On robust Hurwitz and Schur polynomials // IEEE Trans. Automat.
Control. — 1988. — AC-33, N 12. — P. 1166–1168.
10. Джури Э. Робастность дискретных систем // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 5.
— С. 3–28.
11. Липатов А.В., Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивости и неустойчи-
вости линейных непрерывных стационарных систем // Там же. — 1978. — № 9. — С. 30–37.
12. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференци-
альных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2002. — 1, вып. 11. — С. 2086–2088.
13. Цыбулькин Г.А. К оценке устойчивости одного класса динамических систем // Междуна-
родный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2014. —
№ 3. — С. 5–11.
14. Воронов В.Ф. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв.
РАН. Теория и системы управления. — 1995. — № 6. — С. 49–54.
15. Вукосавич С.Н., Стоич М.Р. Достаточные условия робастной относительной устойчивости
линейных непрерывных систем // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 11. — С. 84–91.
Получено 29.01.2014
|