Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения

Запропоновано методи та інформаційні технології на основі паралельних обчислень для математичного моделювання кінетики напружено-деформованого стану і процесів руйнування відповідальних конструкцій або їх елементів. При розв’язуванні задач моделювання процесів в’язкого руйнування ділянок товстостінн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Великоиваненко, Е.А., Миленин, А.С., Попов, А.В., Сидорук, В.А., Химич, А.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207859
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения / Е.А. Великоиваненко, А.С. Миленин, А.В. Попов, В.А. Сидорук, А.Н. Химич // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 42-52. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207859
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078592025-10-15T00:04:32Z Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения Методи та технології паралельних обчислень для математичного моделювання напружено-деформованого стану конструкцій з урахуванням в'язкої руйнації Methods and technologies of parallel computing for the mathematical modeling of stress-strain state of constructions with taking into account ductile fracture Великоиваненко, Е.А. Миленин, А.С. Попов, А.В. Сидорук, В.А. Химич, А.Н. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Запропоновано методи та інформаційні технології на основі паралельних обчислень для математичного моделювання кінетики напружено-деформованого стану і процесів руйнування відповідальних конструкцій або їх елементів. При розв’язуванні задач моделювання процесів в’язкого руйнування ділянок товстостінних трубопроводів з дефектами стоншення отримано істотне зменшення часу обчислень у порівнянні з розрахунками на однопроцесорному комп’ютері — більше ніж в 20 разів. Methods and information technologies based on parallel calculations for the mathematical modeling of kinetics of the state of stresses and strains as well as processes of the fracture of critical constructions or their elements are dealt with. While solving the problems on the modeling of processes related to the ductile fracture of the parts of thick-walled pipelines with the thinning defects the substantial 20 times reduction of computations time has been gained compared to computations on uniprocessor computer. 2014 Article Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения / Е.А. Великоиваненко, А.С. Миленин, А.В. Попов, В.А. Сидорук, А.Н. Химич // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 42-52. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207859 519.6+621.791.03-59:681.31 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i11.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Великоиваненко, Е.А. Миленин, А.С. Попов, А.В. Сидорук, В.А. Химич, А.Н. Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано методи та інформаційні технології на основі паралельних обчислень для математичного моделювання кінетики напружено-деформованого стану і процесів руйнування відповідальних конструкцій або їх елементів. При розв’язуванні задач моделювання процесів в’язкого руйнування ділянок товстостінних трубопроводів з дефектами стоншення отримано істотне зменшення часу обчислень у порівнянні з розрахунками на однопроцесорному комп’ютері — більше ніж в 20 разів.
format	Article
author	Великоиваненко, Е.А. Миленин, А.С. Попов, А.В. Сидорук, В.А. Химич, А.Н.
author_facet	Великоиваненко, Е.А. Миленин, А.С. Попов, А.В. Сидорук, В.А. Химич, А.Н.
author_sort	Великоиваненко, Е.А.
title	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
title_short	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
title_full	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
title_fullStr	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
title_full_unstemmed	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
title_sort	методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207859
citation_txt	Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения / Е.А. Великоиваненко, А.С. Миленин, А.В. Попов, В.А. Сидорук, А.Н. Химич // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 42-52. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT velikoivanenkoea metodyitehnologiiparallelʹnyhvyčislenijdlâmatematičeskogomodelirovaniânaprâžennodeformirovannogosostoâniâkonstrukcijsučetomvâzkogorazrušeniâ AT mileninas metodyitehnologiiparallelʹnyhvyčislenijdlâmatematičeskogomodelirovaniânaprâžennodeformirovannogosostoâniâkonstrukcijsučetomvâzkogorazrušeniâ AT popovav metodyitehnologiiparallelʹnyhvyčislenijdlâmatematičeskogomodelirovaniânaprâžennodeformirovannogosostoâniâkonstrukcijsučetomvâzkogorazrušeniâ AT sidorukva metodyitehnologiiparallelʹnyhvyčislenijdlâmatematičeskogomodelirovaniânaprâžennodeformirovannogosostoâniâkonstrukcijsučetomvâzkogorazrušeniâ AT himičan metodyitehnologiiparallelʹnyhvyčislenijdlâmatematičeskogomodelirovaniânaprâžennodeformirovannogosostoâniâkonstrukcijsučetomvâzkogorazrušeniâ AT velikoivanenkoea metoditatehnologííparalelʹnihobčislenʹdlâmatematičnogomodelûvannânapruženodeformovanogostanukonstrukcíjzurahuvannâmvâzkoírujnacíí AT mileninas metoditatehnologííparalelʹnihobčislenʹdlâmatematičnogomodelûvannânapruženodeformovanogostanukonstrukcíjzurahuvannâmvâzkoírujnacíí AT popovav metoditatehnologííparalelʹnihobčislenʹdlâmatematičnogomodelûvannânapruženodeformovanogostanukonstrukcíjzurahuvannâmvâzkoírujnacíí AT sidorukva metoditatehnologííparalelʹnihobčislenʹdlâmatematičnogomodelûvannânapruženodeformovanogostanukonstrukcíjzurahuvannâmvâzkoírujnacíí AT himičan metoditatehnologííparalelʹnihobčislenʹdlâmatematičnogomodelûvannânapruženodeformovanogostanukonstrukcíjzurahuvannâmvâzkoírujnacíí AT velikoivanenkoea methodsandtechnologiesofparallelcomputingforthemathematicalmodelingofstressstrainstateofconstructionswithtakingintoaccountductilefracture AT mileninas methodsandtechnologiesofparallelcomputingforthemathematicalmodelingofstressstrainstateofconstructionswithtakingintoaccountductilefracture AT popovav methodsandtechnologiesofparallelcomputingforthemathematicalmodelingofstressstrainstateofconstructionswithtakingintoaccountductilefracture AT sidorukva methodsandtechnologiesofparallelcomputingforthemathematicalmodelingofstressstrainstateofconstructionswithtakingintoaccountductilefracture AT himičan methodsandtechnologiesofparallelcomputingforthemathematicalmodelingofstressstrainstateofconstructionswithtakingintoaccountductilefracture
first_indexed	2025-11-27T09:49:11Z
last_indexed	2025-11-27T09:49:11Z
_version_	1849936536832835584
fulltext	© Е.А. ВЕЛИКОИВАНЕНКО, А.С. МИЛЕНИН, А.В. ПОПОВ, В.А. СИДОРУК, А.Н. ХИМИЧ, 2014 42 ISSN 0572-2691 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.6+621.791.03-59:681.31 Е.А. Великоиваненко, А.С. Миленин, А.В. Попов, В.А. Сидорук, А.Н. Химич МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ВЯЗКОГО РАЗРУШЕНИЯ Введение. На современном этапе развития техники возрастает интерес к ис- пользованию методов математического моделирования и современных информа- ционных технологий в рамках комплексных процедур технической диагностики состояния ответственных сварных конструкций с целью оценки безопасности их эксплуатации, оптимизации ремонтно-восстановительных работ и обоснованного продления ресурса. При этом важным является анализ тех многомерных взаимосвя- занных физико-механических процессов, которые определяют несущую способ- ность отдельных конструкционных элементов с учетом всего спектра эксплуатаци- онного силового воздействия, а также прогнозирование необратимых изменений в металле, в результате которых наблюдается зарождение и развитие микро- и мак- родефектов материала. Но при проведении численных экспериментов в такой мно- гоплановой постановке, особенно в случае массивных конструкционных элемен- тов, требующих мелкой пространственной и временной дискретизации математи- ческих моделей, сталкиваемся с естественной сложностью обеспечения высокой аппаратной производительности средств вычисления, достаточной для расчетов в реальном времени и с гарантированной достоверностью получаемых результатов. Одним из эффективных путей решения данной проблемы является создание алго- ритмических подходов и программных средств, позволяющих проводить вычисления на параллельных вычислительных системах. Масштабирование таких систем решает сколь угодно большие задачи с существенным сокращением времени. Данная работа посвящена разработке методологии решения дискретных задач, созданию алгоритми- ческого и программного обеспечения для параллельных вычислительных систем, в том числе с использованием грид-технологий. Эффективность разработанных алго- ритмов апробирована на примере типичной практической задачи анализа напряженно- деформированного и предельного состояний элемента толстостенного трубопровода с учетом зарождения, взаимодействия и развития пор вязкого разрушения в сравнении с современным проблемно-ориентированным программным пакетом. Постановки задач численного анализа напряженно-деформированного со- стояния трубопроводных элементов. Одной из типичных технологических задач, для которых необходимо комплексное рассмотрение кинетики напряженно-дефор- мированного состояния и процессов разрушения ответственных конструкций, является диагностика состояния и прогнозирование остаточного ресурса толстостенных трубо- проводов и сосудов давления с обнаруженными поверхностными аномалиями корро- зионной природы. Поскольку области применения таких конструкций (атомная и теп- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 43 ловая энергетика, трубопроводный транспорт) предусматривают высокие требования к их долгосрочной надежности, важно как можно более точное определение предель- ного состояния исходя из известной степени эксплуатационного повреждения. Трех- мерные геометрические аномалии являются концентраторами напряжений, вследствие чего предельная эксплуатационная нагрузка и соответствующий коэффициент запаса прочности конструкции могут выйти за пределы допустимых значений. Поэтому чис- ленный анализ напряженно-деформированного состояния с максимальной точностью представляет несомненный практический интерес. При этом для минимизации консер- вативности оценки предельного состояния необходимо прогнозирование процессов разрушения конструкции при максимальных внешних нагрузках. Характерным меха- низмом разрушения для сосудов давления из высокопрочных сталей при отсутствии острых концентраторов является вязкое разрушение, обусловленное зарождением и развитием пор материала с последующим их объединением в макродефекты различно- го типа. В общем случае механизм вязкого разрушения может быть описан следую- щими последовательными этапами: а) зарождение пор вязкого разрушения при произ- водстве конструкции; б) увеличение размеров пор при пластической деформации, взаимодействие и объединение пор вязкого разрушения; в) зарождение макродефектов и снижение несущей способности как дефектной области, так и конструкции в целом; г) развитие макродефекта. Эти этапы имеют различную физико-механическую приро- ду и описываются соответствующими взаимосвязанными моделями. Расчетный алгоритм численного анализа напряженно-деформированного, по- врежденного и предельного состояний конструкций был реализован, в частности, в рамках программного пакета «WeldPredictions», разработанного специалистами Института электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины с целью решения прак- тических задач технической диагностики и прогнозирования ресурса безопасной эксплуатации ответственных сварных конструкций [1]. В рамках предложенного подхода зарождение пор в области структурных дефектов и неоднородностей свя- зывалось с существенным развитием пластических деформаций (первичные по- ры), которое может быть количественно охарактеризовано с помощью параметра Одквиста [2] , p id  где ;3/2 p ij p ij p i ddd  p ijd — компоненты тензора приращений пластических деформаций. Дальнейший рост зародившихся пор зависит от жесткости напряженного со- стояния и интенсивности пластической деформации металла и описывается зако- ном Райса–Трейси ,)/(exp 1210 p im dKKRdR  где R, R0 — текущий и началь- ный радиусы пор соответственно, im  / — параметр жесткости напряженного состояния, K1, K2 — константы. Скорость зарождения вторичных сферических пор зависит от концентрации включений в металле конструкции и развития пла- стических деформаций по закону [2] ,exp0            c t ifff где fi — объемная концентрация включений, κ t — константа материала, характеризующая макси- мально возможное приращение параметра Одквиста. Решение объединенной задачи развития напряженно-деформированного со- стояния и формирования микропор основано на конечно-элементном описании континуальных моделей и решении разрешающих систем уравнений с использо- ванием восьмиузловых конечных элементов (КЭ). На рис. 1 представлена схема такого конечного элемента в системе координат x, y, z. В рамках объема, ограниченного данным КЭ, распределения напряжений и деформаций приняты однородными. Тензор приращения деформаций (с учетом наличия равномерно распределенных микропор) представляется в следующем ви- де [3]: ),3/( fdddd ij P ij e ijij  где 3/,,, dfdd ij P ij e ij  — компоненты тензора приращений деформаций, обусловленные соответственно упругим механизмом де- формации, пластическими деформациями и пористостью, δij — символ Кронекера. 44 ISSN 0572-2691 x, U, m y, V, n z, W, r m, n, r m, n –1, r m– 1, n, r m– 1, n –1, r m, n –1, r– 1 m– 1, n –1, r–1 m– 1, n, r– 1 m, n, r–1 Рис. 1 Зависимость деформаций от напряжений определяется законом Гука и ассо- циированным законом пластического течения ,)(/)(5,0)3/()( ** mmijijmijmijijij KGfK  где σm — среднее значение нормальных компонентов тензора напряжений, K — мо- дуль объемного сжатия, G — модуль сдвига, символ «» свидетельствует о переносе переменной или выражения на предыдущий шаг прослеживания, Ψ — функция со- стояния материала, которая определяет условие пластического течения согласно кри- терию Мизеса с дополнительным учетом снижения несущего нетто-сечения конечно- го элемента вследствие формирования несплошности в рамках модели Гурсона– Твергаарда [4]. Пластические деформации вычисляются с помощью зависимости  ij ).))(2/1(( mijijG  Значением функции Ψ характеризуется начало пла- стической неустойчивости в конкретном КЭ на текущем шаге прослеживания. При увеличении Ψ приращение пластических деформаций p ij также увеличива- ется, тогда как напряжения σij уменьшаются. Если в процессе итераций по Ψ в этом КЭ на данном шаге нагрузки значение Ψ выше критического, то можно считать, что элемент не в состоянии воспринимать нагрузки. Возможен также другой механизм потери работоспособности данного КЭ, а именно, если истинные максимальные главные напряжения )23/(3 1 f пре- вышают напряжение скола ,ks что возможно при высоком деформационном уп- рочнении материала. Таким образом, конкретный КЭ необратимо теряет способность восприни- мать нагрузки при выполнении условий пластической неустойчивости ),(5,12 1 TG s f    (1) и/или разрушении микросколом .)23(/3 1 ksf  (2) На каждом шаге итераций по Ψ напряжения ij вычисляются по формуле ijijijij J K K            1 (по повторяющимся индексам производится суммирование). Соотношение между компонентами тензора приращений дефор- маций ij и вектора приращений перемещений iU определяется выражением ),(5,0 ,, ijjiij UU  где запятой обозначено дифференцирование в пределах КЭ. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 45 Компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям статики для внутренних КЭ и краевым условиям для граничных КЭ. В свою очередь, компо- ненты вектора приращения перемещений ),,( WVUUi  удовлетворяют соответствующим условиям на границе. Алгоритм численной оценки предельной нагрузки заключается в последова- тельном решении на каждом шаге прослеживания и итераций по Ψ нелинейной системы уравнений относительно переменных вектора приращений перемещений в узлах КЭ. Эти системы получаем из вариационного принципа Лагранжа при ми- нимизации функционалов ,)( 2 1 ,, ,, rnm Pii S rnmijijij V I SUPVJ P   где  V — оператор суммы по всем (с внутренними узлами) КЭ,  PS — оператор суммы по граничным КЭ, на которых заданы компоненты силового вектора Pi. Другими словами, система 0,0,0 ,,,,,,          rnm I rnm I rnm I WVU (3) позволяет получить решение в компонентах вектора приращений перемещений на каждом шаге прослеживания и итераций по Ψ для конкретного КЭ. Таким обра- зом, путем линеаризации на каждой итерации по нелинейности решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ax  b. (4) Матрицы этих СЛАУ в общем случае несимметричны без диагонального преобладания и имеют разреженную структуру; преимущественно являются лен- точными. Их порядки составляют O(10 5 ), а ширина ленты — O(10 3 ). Многократное решение СЛАУ (4) (для рассматриваемой задачи требуется реше- ние нескольких сотен таких систем с различными матрицами) определяет значитель- ную ресурсоемкость данного исследования. Поэтому одним из рациональных спосо- бов увеличения эффективности численного анализа согласно изложенному алгоритму является использование параллельных вычислений для решения этих СЛАУ. Параллельные алгоритмы решения СЛАУ. Исходя из характеристик и ви- да матрицы СЛАУ (4), для решения этой системы необходимо применять метод Гаусса с частичным выбором главного элемента. Для существенного сокращения времени вычислений необходимо посредством высокопроизводительных вычис- лительных комплексов, в частности компьютеров с параллельной организацией вычислений, использовать для решения СЛАУ (4) соответствующие параллель- ные алгоритмы метода Гаусса [5–7]. Еще одним фактором, позволяющим сократить время вычислений, является учет структуры памяти современных компьютеров; быстродействие отдельных ее частей существенно отличается. Поэтому необходимо минимизировать количество обраще- ний к самой медленной памяти, стараясь проводить вычисления на наиболее быстрой. Этого можно достичь использованием блочных версий алгоритмов, а также программ- ных средств, предоставляемых разработчиками средств вычислительной техники. Блочный алгоритм LU-разложения. При решении СЛАУ (4) Аx  b алго- ритм LU-факторизации приводит матрицу А к факторизованному виду A  PLU, где P — матрица перестановок, L — нижняя треугольная матрица (с единицами на главной диагонали), а U — верхняя треугольная матрица. После этого задача сводится к решению двух систем Ly  Pb и Ux  y с треугольными матрицами. Матрицы А, L и U порядка п разделены на квадратные и прямоугольные блоки. 46 ISSN 0572-2691 Перед k-м шагом алгоритма матрица )(kA представляется в виде, изображен- ном на рис. 2 (слева). Здесь квадратный блок )( 11 k A имеет размер s×s, прямоуголь- ный блок )( 12 k A — s×r, прямоугольный блок )( 21 k A — r×s, квадратный блок )( 22 k A — r×r; )( 0 k U является полученным блоком (с n  r  s строками) верхней треуголь- ной матрицы LU-разложения, а )( 0 k L — блоком (с srn  столбцами) нижней треугольной матрицы LU-разложения. Сначала на k-м шаге алгоритма последовательность гауссовых преобразований проводится на части матрицы, которую составляют блоки )( 11 k A и )( 21 k A . В результате получаем матрицы , )( 11 k L )( 11 k U и . )( 21 k L После этого находятся матрицы )( 12 k U (решение матричной СЛАУ )( 12 )( 12 )( 11 kkk AUL  ) и  k A22 ~ (по формуле ). ~ )( 12 )( 21 )( 22 )( 22 kkkk ULAA  После k-го шага алгоритма матрица )(kA принимает вид, изображенный на рис. 2 (справа). Далее, на следующем )1( k -м шаге алгоритма, аналогичные операции вы- полняются с блоком . ~ )( 22 k A Представление ленточных матриц перед k-м шагом алгоритма изображено на рис. 3, а, если ширина ленты ml  mu  s (ml — количество поддиагоналей, mu — количество наддиагоналей матрицы A), и на рис. 3, б, если ml  mu > s. Заметим, что в случае ленточных матриц при частичном выборе главного элемента растет количество наддиагоналей верхней треугольной матрицы U до ml  mu , а переста- новки строк нижней треугольной матрицы L выполняются только в блоках )( 11 k L и )( 21 k L , а блок )( 0 k L остается неизменным. )( 0 k L )( 11 k A )( 12 k A )( 21 k A )( 22 k A )( 0 k U )( 0 k L )( 0 k U )( 11 k L )( 11 k U )( 21 k L )( 22 ~ k A )( 12 k U Рис. 2 )( 0 k L )( 11 k A )( 12 k A )( 21 k A )( 22 k A )( 0 k U )( 0 k L )( 11 k A )( 12 k A )( 21 k A )( 22 k A )( 0 k U а б Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 47 Параллельный блочный алгоритм метода Гаусса. Первые параллельные алгоритмы треугольного разложения разреженной матрицы были разработаны для блочно-диагонального с обрамлением представления такой матрицы [8]. Этот ал- горитм применяется также для LU-разложения узких ленточных матриц путем виртуального приведения такой матрицы к блочно-диагональному с окаймлением представлению с помощью алгоритма параллельных сечений. На рис. 4, а изо- бражено разбиение на блоки исходной ленточной матрицы, а результат приведе- ния изображен на рис. 4, б. На рис. 5, а представлены блоки исходной матрицы, распределяемые одному процессорному ядру, а также блоки, зарезервированные для блоков LU-разложения (выделены светлой штриховкой). Такая блочно-диагональная с окаймлением структура матрицы позволяет вы- полнять LU-разложения больших диагональных блоков Ak независимо друг от дру- га, т.е. параллельно. Вместе с блоками Ak и независимо друг от друга обрабатыва- ются блоки Pk и Qk (см. рис. 5, а). При использовании полученного LU-разложения блоков Pk–1 и Qk–1 , в параллельном режиме проводится вычисление LU-раз- ложения блоков Sk и Tk , вычисление блоков Vk , Wk приведенной матрицы, а в конце модификации диагональных блоков Ck и вычисление блоков )( 1 k kR  для формирования диагональных блоков Rk приведенной матрицы (рис. 5, б, в). После этого выполняется LU-разложение полученной приведенной матрицы. На рис. 5, в изображены полученные таким образом одним ядром блоки LU-разложения. В случае блочно-диагональной с окаймлением исходной матрицы основное влияние на эффективность рассматриваемого параллельного алгоритма оказывает формирование и решение приведенной системы. Если же исходная матрица явля- ется узкой ленточной, то повысить эффективность алгоритма можно за счет улучшения организации вычислений (в том числе обращений к памяти различно- го быстродействия) с прямоугольными блоками Rk, так как на эти вычисления приходится приблизительно 3/4 всех арифметических операций. а б Рис. 4 )( 1 k kR  kT kS kV kA kW kQ kC kP )()( 1 k k k k RR   kV 1kW )1( k L )1( kU )0,1( kL )2,1( kU )1,0( kU )1,2( kL )0,2( kL )2,0( kU )0( kU )0( kL а б в Рис. 5 48 ISSN 0572-2691 Следует заметить, что воз- можности алгоритмов этой груп- пы ограничены из-за появления в процессе разложения приведен- ной матрицы, порядок которой равен количеству строк (столб- цов) в обрамлении. Треугольное разложение такой матрицы мо- жет быть выполнено или в по- следовательном режиме (если ее порядок сравнительно неболь- шой), или в параллельном, но для этого необходимо перераспределить данные между процессорными устройствами и использовать параллельный алгоритм для плотных матриц. Кроме того, эффек- тивность такого алгоритма для случая ленточной матрицы ограничена сверху 25 % из-за того, что такую матрицу необходимо привести к блочно-диагональной с обрамлением, что увеличивает в 4 раза количество арифметических операций. Этот алгоритм был апробирован на решении нескольких СЛАУ, возникаю- щих в задачах определения критической нагрузки толстостенного элемента тру- бопровода с дефектом утонения стенки. Эти системы имели следующие парамет- ры: порядок n = 55 650, полуширина ленты m  1 052 (для задачи 1) и n  126 000, m  902 (для задачи 2). В табл. 1 приведены время решения этих СЛАУ на много- процессорном кластерном комплексе при использовании различного количества процессорных ядер, а также полученные ускорения, которые представлены на рис. 6. Отметим, что при решении этих систем использовалось установленное на кластерном комплексе программное обеспечение от производителей техни- ческих средств. Решение системы из задачи 2 на персональном компьютере с использованием стандартного последовательного алгоритма метода Гаусса, но без программных модулей от производителей технических средств заняло около 660 с. Учитывая современные тенденции развития технических и программных средств для высокопроизводительных вычислений, в частности разработку произ- водителями технических средств также и программного обеспечения, целесооб- разно модифицировать предложенные алгоритмы так, чтобы подавляющее боль- шинство операций сводилось к матрично-матричным или матрично-векторным операциям с плотными блоками элементов разреженных матриц. 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 1 2 3 4 5 6 7 8 Количество ядер У ск о р ен и е задача 1 задача 2 Рис. 6 Таблица 1 Количество ядер Задача 1 Задача 2 Время (с) Ускорение Время (с) Ускорение 1 35,904 1,000 61,404 1,000 2 18,938 1,896 32,615 1,883 3 13,416 2,676 23,390 2,625 4 11,380 3,155 20,459 3,001 5 8,900 4,034 15,715 3,907 6 8,354 4,298 15,311 4,010 7 6,965 5,155 12,621 4,865 8 7,278 4,933 11,110 5,527 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 49 Блочный циклический параллельный алгоритм разложения ленточной несимметричной матрицы. Формулы LU-разложения ленточной несимметрич- ной матрицы методом Гаусса с частичным выбором по колонке главного элемента можно записать в блочной форме. Для K = 1, 2,..., N , )1()()5,0(   K K KK K APA },,{min,,1,, )5,0( ,, )( , NMKKKIAUL l K KIKK K KI    },,{min,,1, },,{min,,1, , )( , )5,0( , )( , )5,0( ,, )( , NMKKIULAA NMKKJAUL lJK K KI K JI K JI u K JKJK K KK       (5) },,{min,,1 NMKKJ u  где 1]/)1[(  snN (s — размер блока, ][a — целая часть числа a), 1,]1)/[(  smM ll 1,]1)/[(  smmM luu ul mm , — количество под- и наддиа- гоналей, )5,0()1( ,  K K K K AA — правые нижние подматрицы порядка ,)1( sKn  , )0( 0 AA  )(KP — матрица перестановок на K-м шаге, JI J JI K JI ULA , )( , )( , ,, — в об- щем случае квадратные блоки порядка s. В результате перестановок увеличивает- ся, по сравнению с матрицей A, количество наддиагоналей верхней треугольной матрицы U до lu mm  . В то же время для экономии вычислений на K-м шаге не выполняются перестановки в матрицах )( , J JIL при KI  и .KJ  Необходимо от- метить, что согласно (5) на K-м шаге модифицируется только прямоугольная подматрица размером ).)(( smmsm lul  Схема этого блочно-циклического ал- горитма представлена на рис. 7. Анализ формул (5) показал, что для реализации большинства вычислений можно использовать программные модули для матрично-матричных операций от разработчиков технических средств. Эти модули могут эффективно выполняться также на ускорителях-сопроцессорах (например, графических процессорах). Для параллельного алгоритма строки блоков исходной матрицы A и матриц разложения L, U распределяются циклически между процессами так, чтобы каж- дый процесс имел хотя бы одну строку блоков, модифицируемых на данном эта- пе. Подробно алгоритм описан в [7]. Порядок и эффективность вы- полнения этого алгоритма во многом зависит от множества элементов столбца матрицы, на которой выпол- няется выбор главного элемента. Наи- более эффективным является вариант, когда главный элемент выбирается только среди элементов столбца, кото- рые распределены ведущему процес- су. Тогда ведущий процесс формиру- ет свою часть подматрицы ,)5,0( K KA вычисляет блоки разложения )( , K KKL и KKU , и рассылает блок KKU , дру- гим процессам, после этого все про- цессы вычисляют согласно (5) рас- пределенные им блоки разложения , )( , K KIL .,, 1MKKI   Блоки выходной матрицы Модифицируемая подматрица Блоки )(J JI,L Вычисленные блоки матрицы U Рис. 7 50 ISSN 0572-2691 Решение задач численного анализа напряженно-деформированного состояния трубопроводных элементов. Технологиче- ская схема решения описанных выше задач численного анализа напряженно-деформи- рованного и предельного состояний трубо- проводных элементов с учетом зарождения, взаимодействия и развития пор вязкого разрушения представлена на рис. 8. Анализ вычислительных затрат для различных стадий процесса решения свиде- тельствует, что большую часть вычислений составляет решение СЛАУ. Итак, заменив последовательный решатель СЛАУ парал- лельным, можно достичь существенного сокращения времени решения всей задачи расчета напряженно-деформированного и предельного состояний трубопровода под внутренним давлением с учетом геометри- ческих аномалий. Это реализовано в про- граммном комплексе (ПК) «3D-osesim-clus- ter», в котором все вычисления, кроме решения СЛАУ, выполняются в последова- тельном режиме, а решения СЛАУ — распа- раллеленных (см. рис. 8). При использовании ПК «3D-osesim-cluster» было решено несколько тестовых и прикладных задач расчета напряженно-деформированного и предельного состоя- ний трубопровода под внутренним давлением с учетом геометрических аномалий типа локального утонения стенки. В частности, рассмотрено предельное состояние элемента (рис. 9) толстостенного магистрального трубопровода с внешним полуэл- липтическим дефектом утонения стенки размером s25мм, а5мм. В дискретных моделях использовались конечно-элементные сетки с 1225140= =42000 узлами и с 14255318550 узлами, что приводило к СЛАУ (4) с парамет- рами ,126000n 902 ul mm и ,55650n 1052 ul mm соответственно. По полученным решениям определялись величины деформаций конструкции, а также значения усилий и напряжений под действием внутренних и внешних сил, на основе чего проводился анализ предельного состояния конструкции в области де- фекта. На рис. 10 представлено распределение главных напряжений в области изоли- рованного дефекта утонения стенки трубопрово- да мм39800  tD (сталь Х80) под дейст- вием предельного давления 59,2 МПа (ось 0r является осью симметрии). В табл. 2 приведены временные характери- стики выполнения некоторых расчетов, кото- рые выполнялись на интеллектуальной рабочей станции Инпарком-GPU, имеющей до 32 узлов со следующими параметрами: каждый узел со- стоит из двух четырехъядерных процессоров Intel Xeon 5606, 2,13 ГГц, имеет 24 Гбайт опе- ративной памяти. Вход Выход Да Нет И те р ац и и п о н ел и н ей н о ст и Проверка условия окончания итерационного процесса Проверка условий потери работоспо- собности Начало Формирование СЛАУ Решение СЛАУ Обработка результатов решения И те р ац и я п о н аг р у зк е P k P k  P k– 1   P Да Нет Рис. 8  z r a S Рис. 9 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 51 r, мм 440 420 400 400 200 800 600 1000 z, мм 0 10 20 30 40 50 60 70 МПа,1 z, мм Рис. 10 Таблица 2 Напря- жение скола SК Параметры СЛАУ Количество итераций Критическая нагрузка Время выполнения Последовательный вариант на ПК Параллельный вариант на Инпарком-GPU 1 СЛАУ Общее время 1 СЛАУ Общее время 1 000 ,55650n 1052 ul mm 485 15,2 3 мин 65 ч 52 мин 7 с 3 ч 10 мин 800 ,55650n 1052 ul mm 588 16,2 3 мин 80 ч 8 с 4 ч 900 ,55650n 1052 ul mm 619 16,6 3 мин 84 ч 8 с 4 ч Приведенные результаты свидетельствуют, что использование высокопроиз- водительных вычислений на кластерах для численного моделирования напряжен- но-деформированного и предельного состояний трубопроводных элементов с уче- том зарождения, взаимодействия и развития пор вязкого разрушения позволяет су- щественно сократить время выполнения расчетов: при решении СЛАУ — в ≈ 50 раз, а всей задачи — более чем в 20 раз. Другими словами, вместо нескольких су- ток на один вариант расчета необходимо несколько часов. Следует также принять во внимание, что, например, архитектура Инпарком-GPU позволяет одновремен- но проводить до 32 различных вариантов таких расчетов напряженно-деформи- рованного и предельного состояний трубопроводов. Заключение. Методы и информационные технологии на основе параллель- ных вычислений для математического моделирования кинетики напряженно- деформированного состояния и процессов разрушения ответственных конструк- ций позволили решить ряд задач моделирования процессов вязкого разрушения толстостенных элементов трубопроводов с дефектами утонения по механизму по- рообразования в рамках практически важных исследований, проводимых в Ин- ституте электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины. При этом получено уменьшение времени вычислений, по сравнению с расчетами на однопроцессор- ном компьютере, более чем в 20 раз. Предложенные технологии могут использоваться как непосредственно на компьютерах организации, так и в режиме удаленного доступа, в том числе в грид-сети. Для улучшения качества математического моделирования и эффективности параллельных и распределенных вычислений в перспективе предполагается вне- дрение программно-алгоритмического обеспечения для математического модели- рования новых процессов и объектов; использование параллельных вычислений на распределенной памяти для математического моделирования процессов в об- ласти электросварки, в том числе в грид-сети; интеллектуализация доступа к вы- числительным ресурсам грид-сети. 52 ISSN 0572-2691 О.А. Великоіваненко, О.С. Міленін, О.В. Попов, В.А. Сидорук, О.М. Хіміч МЕТОДИ І ТЕХНОЛОГІЇ ПАРАЛЕЛЬНИХ ОБЧИСЛЕНЬ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ КОНСТРУКЦІЙ З УРАХУВАННЯМ В’ЯЗКОГО РУЙНУВАННЯ Запропоновано методи та інформаційні технології на основі паралельних обчи- слень для математичного моделювання кінетики напружено-деформованого стану і процесів руйнування відповідальних конструкцій або їх елементів. При розв’язуванні задач моделювання процесів в’язкого руйнування ділянок товсто- стінних трубопроводів з дефектами стоншення отримано істотне зменшення часу обчислень у порівнянні з розрахунками на однопроцесорному комп’ютері — більше ніж в 20 разів. E.А. Velikoivanenko, A.S. Milenin, A.V. Popov, V.A. Sidoruk, A.N. Khimich METHODS AND TECHNOLOGIES OF PARALLEL COMPUTING FOR THE MATHEMATICAL MODELING OF STRESS-STRAIN STATE OF CONSTRUCTIONS WITH TAKING INTO ACCOUNT DUCTILE FRACTURE Methods and information technologies based on parallel calculations for the mathe- matical modeling of kinetics of the state of stresses and strains as well as processes of the fracture of critical constructions or their elements are dealt with. While solving the problems on the modeling of processes related to the ductile fracture of the parts of thick-walled pipelines with the thinning defects the substantial 20 times reduction of computations time has been gained compared to computations on uniprocessor computer. 1. Махненко В.И. Ресурс безопасной эксплуатации сварных соединений и узлов современных конструкций. — Киев : Наук. думка, 2006. — 618 с. 2. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое моделирование процессов разрушения. — Спб. : Политехника, 1993. — 391 с. 3. Махненко В.И. Проблемы экспертизы современных сварных конструкций ответственного назначения // Автоматическая сварка. — 2013. — № 5. — С. 22–29. 4. Xue L. Constitutive modeling of void shearing effect in ductile fracture of porous materials // En- gineering Fracture Mechanics. — 2008. — N 75. — Р. 3343–3366. 5. Химич А.Н., Попов А.В., Полянко В.В. Алгоритмы параллельных вычислений для задач ли- нейной алгебры с матрицами нерегулярной структуры // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 6. — С. 159–174. 6. Хіміч О.М., Попов О.В., Полянко В.В. Проблеми паралельних і розподілених обчислень при дослідженні математичних моделей з розрідженими структурами даних // Праці Міжнарод- ної наукової конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО–ХL)». — Київ : Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2013. — С. 267–268. 7. Попов О.В. Про паралельні алгоритми факторизації розріджених матриць // Комп’ютерна математика. — 2013. — № 2. — С. 115–124. 8. http://www.netlib.org/scalapack. Получено 21.03.2014 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.

Методы и технологии параллельных вычислений для математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом вязкого разрушения

Institution

Ähnliche Einträge