Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности
Проаналізовано основні способи розв’язання задач спостереження. Розглянуто задачу стабілізації спостерігачів стану нелінійних систем в умовах невизначеності та знайдено її розв’язок методом прискореного жорсткого синтезу нелінійних систем стабілізації....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207879 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207879 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078792025-10-16T00:04:15Z Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности Стабілізація спостерігачів стану нелінійних систем в умовах невизначеності Stabilization of nonlinear systems state observers under uncertainty Онищенко, С.М. Проблемы динамики управляемых систем Проаналізовано основні способи розв’язання задач спостереження. Розглянуто задачу стабілізації спостерігачів стану нелінійних систем в умовах невизначеності та знайдено її розв’язок методом прискореного жорсткого синтезу нелінійних систем стабілізації. There are the main ways of solving problems of observation under analysis. The stabilization problem of nonlinear systems status observer under uncertainty is considered and its solution with accelerated hard synthesis of nonlinear systems stabilization method is proposed. 2015 Article Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207879 62-501.5 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i2.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Онищенко, С.М. Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности Проблемы управления и информатики |
| description |
Проаналізовано основні способи розв’язання задач спостереження. Розглянуто задачу стабілізації спостерігачів стану нелінійних систем в умовах невизначеності та знайдено її розв’язок методом прискореного жорсткого синтезу нелінійних систем стабілізації. |
| format |
Article |
| author |
Онищенко, С.М. |
| author_facet |
Онищенко, С.М. |
| author_sort |
Онищенко, С.М. |
| title |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| title_short |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| title_full |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| title_fullStr |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| title_sort |
стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207879 |
| citation_txt |
Стабилизация наблюдателей состояния нелинейных систем в условиях неопределенности / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT oniŝenkosm stabilizaciânablûdatelejsostoâniânelinejnyhsistemvusloviâhneopredelennosti AT oniŝenkosm stabílízacíâsposterígačívstanunelíníjnihsistemvumovahneviznačeností AT oniŝenkosm stabilizationofnonlinearsystemsstateobserversunderuncertainty |
| first_indexed |
2025-11-26T17:06:44Z |
| last_indexed |
2025-11-26T17:06:44Z |
| _version_ |
1849873462387015680 |
| fulltext |
© С.М. ОНИЩЕНКО, 2015
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 15
УДК 62-501.5
С.М. Онищенко
СТАБИЛИЗАЦИЯ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Введение
По своим характеристикам возмущения в системе и измерениях могут быть
детерминированными, стохастическими, неопределенными и смешанными.
Что касается детерминированных возмущений, в «чистом» виде они практи-
чески не встречаются и существуют только в смешанном варианте. В математиче-
ском плане детерминированные составляющие достаточно легко можно учесть
и исключить в процессе решения задачи наблюдения.
В стохастических задачах нелинейной фильтрации случайных величин уда-
ется выделить несколько основных направлений [1–3].
Для дискретных измерений в стационарном варианте, главным образом, ис-
пользуется или метод максимального правдоподобия, или метод наименьших
квадратов. Оба метода пригодны для получения оценок параметров ковариаций.
Метод максимального правдоподобия более точный, но более громоздкий по
сравнению с методом наименьших квадратов, который, в свою очередь, удобен
тем, что не требует знания априорного распределения случайных параметров
и прост в реализации, но он не рекуррентный, не может быть использован в ре-
альном времени и имеет плохую сходимость [1, 4].
Более приемлем для задач нелинейной фильтрации метод минимума диспер-
сии, основанный на определении функции условной плотности вероятностей со-
стояния системы при заданных измерениях [5]. Для первой апостериорной плот-
ности вероятностей марковского процесса получено интегродифференциальное
уравнение Стратоновича [2, 3, 5, 6], однако его интегрирование для большинства
практических задач сопровождается большими трудностями, часто непреодоли-
мыми. Поэтому задачи нелинейной фильтрации, как правило, решаются прибли-
женными методами.
В связи с этим определенный интерес представляет приближенное решение
уравнения Стратоновича для гауссовой апостериорной плотности вероятностей,
когда его удается представить в виде замкнутой системы дифференциальных
уравнений для вектора условного математического ожидания и корреляционной
матрицы. Эти уравнения интегрируются совместно, а в зависимости от порядка
и количества членов аппроксимации нелинейностей система называется обоб-
щенным (расширенным) фильтром Калмана соответствующего порядка [2, 3, 6].
В линейном случае она превращается в оптимальный фильтр Калмана [3, 6–9].
Достаточно удачный формализм, предложенный Калманом, способствует
развитию в нелинейной фильтрации обширного направления, построенного на
процедуре линеаризации с использованием как линейного фильтра Калмана
(в системах первого приближения, например [6, 7, 10]), так и его различных мо-
дификаций [1, 11–14]. При этом практически любую задачу, даже в случае неоп-
ределенных возмущений с ограничениями типа «бортиков» [15, 16], можно свести
к задаче оптимальной линейной фильтрации, используя супремум соответствую-
щих возмущений для вычисления их ковариационных матриц при априорном
представлении помех «белыми» шумами.
16 ISSN 0572-2691
Однако эти подходы для эффективной реализации нуждаются в достоверной
информации о динамике системы и о стохастических характеристиках помех
в начальных условиях, в постоянно действующих возмущениях и измерениях,
а они как раз крайне редко априорно идентифицируются на практике [17]. К тому
же, и стандартный фильтр Калмана, и его возможные модификации, к сожалению,
довольно часто оказываются расходящимися [1, 3, 11], когда реальная ошибка
фильтра становится значительно больше расчетной и продолжает увеличиваться
во времени. На подобную его нестабильность обратил внимание еще Калман [8].
Позже эта проблема была рассмотрена Кноллом и Эдельштейном [18] примени-
тельно к задачам инерциальной навигации и определения орбит.
Главные из возможных причин расхождения фильтра Калмана — это неточ-
ное моделирование процесса и наблюдения (неадекватность информации о физи-
ке задачи, недостаточная обоснованность линеаризации, недостоверность моделей
шумов в системе и измерениях), а также накопление ошибок округления в борто-
вом компьютере (что вызывает нарушение симметричности и положительной оп-
ределенности матричного решения уравнения Риккати). Эти причины ведут к бы-
строму обнулению матричного коэффициента усиления фильтра, и в результате
фильтр перестает реагировать на дополнительные измерения. Все попытки устра-
нить его расходимость путем искусственного увеличения интенсивности шума
в системе или простого ограничения снизу матрицы усиления фильтра приводят,
как правило, к потере им свойства оптимальности.
Все эти трудности иногда заставляют на практике отказываться от оптималь-
ной фильтрации по Калману.
Тогда, например, можно обратиться к адаптивным фильтрам [19, 20], однако
их алгоритмы слишком громоздки и трудны для реализации в реальном времени
на борту объекта.
Можно попытаться применить эвристический подход, когда структура нели-
нейного фильтра задается априори из эвристических соображений, а ее адекват-
ность исходному объекту проверяется математическим моделированием или экспе-
риментально [21]. В этом направлении необходимо отметить работы [22, 23], по-
священные условно оптимальной нелинейной фильтрации. В них для исходной
нелинейной системы с нелинейным вектором измерений и некоррелированными
погрешностями в системе и измерениях типа центрированного белого шума ставит-
ся задача оценивания с помощью некоторого нелинейного фильтра. Он строится на
эвристически заданных функциях, коэффициенты при которых находятся из усло-
вий минимума дисперсии ошибки оценивания и ее первой производной по време-
ни и из условия несмещенности этой оценки. К сожалению, не для всех систем
подобный фильтр обеспечивает минимум дисперсии ошибки оценивания [23, 24].
К эвристическому направлению можно отнести также и работы [25, 26]. В них
уравнения нелинейных фильтров в основном повторяют структуру уравнений
объекта, однако содержат в себе неопределенные мультипликативные [25] или
аддитивные параметры [26], подлежащие определению из условия минимизации
ковариационных критериев.
1. Проблемы наблюдения вектора состояния нелинейных
динамических систем в условиях неопределенности
В динамических системах, в которых шумы невозможно описать стохастически-
ми процессами с известными детерминированными характеристиками, ставятся зада-
чи оценивания в условиях неопределенности [27]. Они могут реализовываться мини-
максными [28] или минимаксно-стохастическими алгоритмами [15, 16, 29–31] через
вариационные задачи и интегральные уравнения Фредгольма с применением методов
линейного программирования.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 17
Интересны также результаты эллипсоидального оценивания [32] и исследо-
вания систем с ограниченными нормами помех в измерениях минимаксными ме-
тодами с выходом на стратегии теории игр [29, 33].
При этом следует отметить, что если в детерминированном случае известны
физические характеристики помех в системе и измерениях, а в стохастической
постановке считаются детерминированными их средние значения и дисперсии,
полученные на большом отрезке времени или на большом ансамбле реализаций,
то в условиях неопределенности о характеристиках помех вообще ничего опреде-
ленного сказать невозможно. Иначе говоря, даже их усредненные значения и дис-
персии оказываются стохастическими величинами с непредсказуемыми функция-
ми распределения вероятностей. Чтобы уменьшить степень этой неопределенно-
сти, все помехи полагаются, прежде всего, ограниченными процессами. При этом
ограничиваться по модулю мажорирующими функциями или константами (схема
типа «бортиков» [16]) могут как отдельные компоненты векторного процесса, так
и его норма. Близка к этой концепции геометрических ограничений шумов и
форма их интегральных ограничений [28], когда в качестве подынтегральной
функции используется аналог нормы векторного процесса — положительно опре-
деленная квадратичная форма его компонентов. При подобных подходах известна
лишь граница области возможных изменений помех в системе и измерениях. По-
ведение же помех внутри области остается произвольным.
С целью дальнейшего уменьшения степени неопределенности помех можно ис-
пользовать априорное их разложение по некоторым базовым функциям )(t в виде
),()()(),()()( tttvtttw (1)
которое описывает все виды возмущений.
Действительно, если ),[ 0 tt T матрицы , и компоненты вектора
заданы (известны), то в этом случае получим детерминированные возмущения.
Если функции априори известны, а матрицы , подлежат определе-
нию [34, 35], получим каноническое представление возмущений. Например, в [35]
компоненты матриц , считаются центрированными гауссовыми процессами
с известными дисперсиями. Из столбцов матриц , последовательно каждый
раз с присоединением вектора состояния исходной системы формируются векто-
ры состояния расширенных систем, для каждой из которых строится свой опти-
мальный фильтр Калмана. Для систем высокого порядка подобный подход при-
водит к большим вычислительным затратам. При этом базовые функции можно
задавать на множестве гармонических функций, степенных полиномов, много-
членов Лежандра, Чебышева, Ньютона, Лагранжа, отрезков рядов Фурье, сплай-
нов любого порядка и т.д.
Когда, наоборот, задаются матрицы ,, а идентифицировать необходимо
базовые функции , приходим к волновому представлению шумов [36, 37]. При
этом возможны различные подходы. Идентификация базовых функций может
осуществляться экспериментально [36] или путем использования поисковых ал-
горитмов на любом их подмножестве, когда компоненты матриц , считаются
медленно меняющимися функциями [37]. Можно также определять базовые
функции решениями системы дифференциальных уравнений [36]
)()( tt (2)
с заданной матрицей коэффициентов . Если в (2) в качестве подавать белый
шум фиксированной интенсивности, то уравнение (2) ничем не будет отличаться
18 ISSN 0572-2691
от формирующего фильтра и вектор базовых функций будет имитировать цветной
шум [3, 4, 6, 7]. Если же реализовывать в виде импульсных функций Дирака
случайной интенсивности, причем соседние моменты их появления будут разде-
ляться некоторыми фиксированными или случайными конечными интервалами
времени (в частности, равными), то уравнения (1), (2) имитатора возмущений по
сути будут отличаться от уравнений формирующих фильтров, хотя по структуре
будут совпадать с ними. Это отличие обусловлено лишь различным характером
вынуждающей функции: в формирующем фильтре — это белый шум с известным
средним значением и дисперсией, а в имитаторе возмущений — совершенно не-
определенная функция, среднее значение и дисперсия которой изменяются во
времени неизвестным (случайным) образом.
Наконец, стоит отметить еще два, по-видимому, последних варианта:
когда подлежат определению и матрицы ,, и вектор базовых функций
(решить эту задачу можно, объединив волновое и каноническое представление
возмущений);
когда матрицы , и вектор остаются неопределенными (решение за-
дачи наблюдения в этом случае возможно при геометрических или интегральных
ограничениях как самих возмущений, так и их норм; этот подход освещается
в работах [15, 16, 27–33]).
Что касается неопределенных параметрических возмущений в динамике систе-
мы [38, 39], то они успешно могут быть сведены к внешним возмущениям (1) [34, 36].
Остановимся еще на неопределенных начальных возмущениях. В [40] они,
в частности, задаются условием 000 yxP при известных 00 , yP вида ,0 njP ×R
.,0 njy j R Однако для них более характерны все же геометрические ограни-
чения. При этом задача, как правило, сводится к детерминированному по началь-
ным условиям варианту, причем в качестве начальных возмущений вектора со-
стояния используются мажоранты модулей его неопределенных компонентов
в начальный момент времени.
Таким образом, в нелинейных задачах наблюдения и фильтрации случайных
параметров можно выделить несколько основных направлений, которые доста-
точно подробно рассмотрены в [3].
В тех динамических системах, в которых шумы невозможно описать стохас-
тическими процессами с известными детерминированными характеристиками, за-
дачи оценки в условиях неопределенности реализуются минимаксными или ми-
нимаксно-стохастическими алгоритмами.
Для задач наблюдения (особенно нелинейных) в условиях неопределенности,
кроме ограничений нормы [27, 28], возможны также волновое [36] и канониче-
ское [35] представления возмущений в системе и погрешностей в наблюдениях.
Однако и в случае геометрических ограничений шумов, и при их волновом
представлении синтез наблюдателей состояния нелинейных систем можно осуще-
ствить по аналогии с линейными наблюдателями Люенбергера [41], исходя из ус-
ловия асимптотической устойчивости решения уравнений ошибок наблюдения.
2. Нелинейные наблюдатели динамических систем
Рассмотрим n-мерную систему нелинейных нестационарных уравнений оши-
бок динамического объекта
,)(),(),( 00 xtxtwtxfx (3)
с достаточно малым нестационарным вектором постоянно действующих возму-
щений w и m-мерным вектором нелинейных измерений
)(),( tvtxy (4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 19
вектора состояния системы (3) с вектором аддитивных погрешностей v, причем
),,(,0const)(,0const)( 0 tttvtw T (5)
так что w, v можно считать величинами одного порядка малости.
Справедливо утверждение [42], что при точно известных начальных условиях
и отсутствии возмущений лучшим наблюдателем системы (3) будет сама систе-
ма (3) в виде
.)(ˆ),,ˆ(ˆ 00 xtxtxfx (6)
Под действием неопределенных возмущений w для обеспечения устойчиво-
сти наблюдателя (6) необходимо ввести в него управление по невязке оценки
),ˆ(~ txyy (7)
вектора измерений (4). Тогда вместо (6) получим
,ˆ)(ˆ)],,ˆ()([),ˆ(ˆ 00 xtxtxtyKtxfx (8)
где ),ˆ( tx — оценка вектора y из (4).
Сравнивая (3) с (8), можно убедиться, что при синтезе наблюдателя (8) неиз-
вестные возмущения w в исходной системе (3) заменяются ошибкой (7) оценки
вектора измерений с матричным коэффициентом усиления K, так что формально
можно принять
.~yKw (9)
Структуру наблюдателя (8) можно обосновать и несколько иным путем.
Пусть возмущения w и v детерминированные и известны. Тогда коэффициент
усиления фильтра K подберем таким образом, чтобы выполнялось соотношение [43]
.Kvw (10)
В этом случае шум w в системе (3) будет как бы моделироваться шумом
в измерениях (4). При таком подходе из (4) можно формально определить
),,( txyv (11)
и в результате уравнение наблюдателя получится из (3), учитывая (10), (11), в виде
.)()],,()([),( 00 xtxtxtyKtxfx (12)
Чтобы в дальнейшем решение системы наблюдения (12) отличать от решения
системы (3), искомую переменную в (12) традиционно обозначим .x̂ При этом
уравнение (12) тождественно совпадет с (8).
В уравнении наблюдателя (8) нет величин, которые принципиально нельзя
идентифицировать, поэтому оно, в отличие от (3), интегрируется до конца. Тем
самым задача наблюдения сводится к построению в (8) матрицы K, удовлетво-
ряющей условию (10) или (11). К сожалению, оба эти соотношения неконструк-
тивны, тем более в условиях неопределенности, поэтому матричный коэффициент
K в (8) будем синтезировать другим способом.
3. Стабилизация задачи наблюдения нелинейных динамических систем
Определим вектор ошибок наблюдения следующим образом:
.x̂xe (13)
20 ISSN 0572-2691
Тогда для получения уравнения ошибок наблюдения вычтем из уравне-
ния (3) уравнение наблюдателя (8). Учитывая (4), будем иметь
),(),ˆ,(),ˆ,( ttxeKhtxeae (14)
где );,ˆ(),ˆ(),ˆ,( txftexftxea ),ˆ(),ˆ(),ˆ,( txtextxeh и соответственно,
принимая во внимание (1), (2),
)()( KKvwt (15)
— невязка соотношения (10).
Если вектор-функции a и h имеют ограниченные частные производные по всем
компонентам вектора e, так что для них возможно построение соответствующих
якобианов, то по известной методике [44] нелинейное уравнение (14) можно пред-
ставить в псевдолинейной матричной форме
.)(),()],ˆ,(),ˆ,([ 00 etetetxeKHtxeAe (16)
Рассматривая далее в уравнении (16) x̂ как параметр, можно ставить задачу
синтеза матрицы K, которая обеспечит равномерную по 00, te асимптотическую
устойчивость решений однородной системы
,)(,)],ˆ,(),ˆ,([ 00 eteetxeKHtxeAe (17)
соответствующей (16).
Для синтеза матрицы K можно использовать, в частности, любой метод жест-
кого синтеза нелинейных систем стабилизации (ЖС НСС), который позволяет
одинаково успешно синтезировать как матрицу nmH R при заданных матри-
цах nnA R и mnK R в замкнутой системе (17) (решая задачу стабилизации
нелинейных систем), так и матрицу K при заданных матрицах A и H (задача на-
блюдения).
Построенную в системе (17) матрицу K надо затем подставить в уравнение
наблюдателя (8), а чтобы замкнуть систему наблюдения, необходимо рассмотреть
общую систему уравнений (8), (16), (1), (2).
4. Решение задачи стабилизации наблюдателей состояния
нелинейных систем методом ускоренного жесткого синтеза НСС
Воспользуемся матричным уравнением Ляпунова, записанным для систе-
мы (17) в случае стационарной функции Ляпунова
.TDxxV (18)
В результате получим
.)()( T DQDDKHAKHAD (19)
Когда матрица H неособенная и имеет обратную, решение задачи стабилиза-
ции наблюдателя осуществляется методом кососимметризации [44] уравне-
ния (19). Тогда получим
.1)(
2
1
HDSQAK (20)
Если же матрица H имеет блочное представление
],,[ 21 HHH (21)
причем ,;rangrang,,/,{: 22121 NRR mnlnmHHHHHHH mmlm
},1
2
H тогда решение этой задачи можно осуществить одним из методов ЖС
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 21
НСС, в частности методом ускоренного жесткого синтеза нелинейных систем
стабилизации (УЖС НСС) [45]. В нем предполагается жестко ограничивать
структуру матриц ,T
**
DDD T
QQQ мультипликативной параметризацией
произвольными (в рассматриваемом случае — «нижними») неособенными ква-
зитреугольными матрицами QD ,* , когда матрицы D, Q в соответствии с усло-
вием (21) приобретают блочный вид
.
,
12111111
T
12222222111111
T
12
12111111111111
221211
T
1211
T
12
121111
DDQDDDQDDQDD
DDQDDQD
Q
DDDDDD
DDD
D
(22)
Структура (21) матрицы H обусловливает также и аналогичный размер бло-
ков в матрицах A, K вида
,
2221
1211
AA
AA
A ,
2
1
K
K
K (23)
где .},,{,,},,{,},,{ 222222111212111111 mmlmmlll KAQAKADAQD RRRR
Блочные представления матриц (22), (23) позволяют записать уравнение Ля-
пунова (19) в виде трех следующих уравнений устойчивости системы (17):
,)()( 11111111
T
11
1
11
1
11
1
11
1
11 DQDDHKAHKAD (24)
,)()( 22222222
T
222
1
222
1
22 DQDDHKAHKAD (24)
,0)()( 22
T
12211
1
1211
1
12
1
11 DHKAHKDAAD (24)
в которых для удобства обозначено
.,
,,,
121221211
1
12212222
1
22121212
1
21121111
1
DHHHKDKK
DAAAADAAADAA
(25)
Используя метод УЖС НСС, найдем в явном виде из уравнения (24), применяя
к нему метод кососимметризации, искомую матрицу .2K Получим выражение
,)(
2
1 1
22222222
1
2
HDSQAK (26)
в котором существование матрицы 1
H обеспечивается наличием в соответст-
вующем обозначении из (25) для H произвольной матрицы .12D
Из уравнения (24) после несложных преобразований с учетом выражений
(25), (26) определим матрицу 1K в виде
,)(
2
1ˆ 1
222212221212
1
1
HDSDQDAK (27)
где
.ˆ,ˆ
,ˆ,)ˆ(ˆ
22
T1
11121222
T1
111212
1
1
22
T
2221
1
1112111212
1
DHDDDDHDDD
HHHDHAADDAAA
22 ISSN 0572-2691
Из этого же уравнения можно предварительно найти
1
22222222
T1
1122
1
1212
1
1
1 )(ˆ
2
1ˆ
HDSQDHDADAK
и затем, исключая его из уравнения (24) и вводя новое обозначение
HADAAA ˆ)ˆ(ˆ
22
1
1212
1
11
1
11
1 ,
получить следующее условие стабилизируемости:
.ˆˆˆˆ
222222
T
11111111
T
11
1
11
1
11 HDQDHDQDDAAD (28)
Проанализируем его. С этой целью, обозначая в (28) ),ˆˆ( 11
T
11
1
11
1
11 DAAD
сведем условие стабилизируемости (28) к условиям Сильвестра положительной
определенности матрицы . Будем иметь
,,,1,0)( mnlljjj (29)
где j — главные диагональные миноры j-го порядка матрицы ; 0 j — не-
которые положительно-определенные функции (положительные константы [46]).
Условия (29) можно обеспечить, если воспользоваться нелинейной схемой
компромиссов [47] с реализацией через скалярную свертку частных критериев
(29) в виде
D
D min
)(
),(
1
l
j jj
j
s xJ (30)
с ее реализацией путем минимизации нелинейной функции ),( DxJ s на множест-
ве D компонентов соответствующих блоков матрицы D, в частности, симплекс-
методом Нелдера–Мида [48]. При этом компоненты блока 12D полагаются произ-
вольными как по величине, так и по знакам; компоненты же блоков 2211, DD мо-
гут выбираться лишь с сохранением условий положительной определенности этих
блоков.
Справедлива теорема [49]. Если тривиальное решение системы (17) равно-
мерно асимптотически устойчиво по Ляпунову (для этой системы существует по-
ложительно-определенная квадратичная форма V вида (18), допускающая беско-
нечно малый высший предел и полная производная которой по времени есть от-
рицательно-определенная функция), то это решение будет устойчивым при
постоянно действующих возмущениях, поскольку частные производные квадра-
тичной формы (18) по x при этом будут ограничены.
Согласно этой теореме при выполнении условий (5) система (16) будет ус-
тойчивой.
Заключение
При выполнении условий (29), (30) матричный коэффициент K вида (23),
(26), (27) обеспечивает решение задачи наблюдения (8) нелинейного объекта (3)
с нелинейными измерениями (4) и неопределенными помехами (1), (2), (5), при-
чем по построению он гарантирует устойчивость решения матричного уравнения
(16) ошибок наблюдения и пребывания их в -окрестности нуля [49].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 23
С.М. Онищенко
СТАБІЛІЗАЦІЯ СПОСТЕРІГАЧІВ
СТАНУ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
Проаналізовано основні способи розв’язання задач спостереження. Розглянуто
задачу стабілізації спостерігачів стану нелінійних систем в умовах невизначе-
ності та знайдено її розв’язок методом прискореного жорсткого синтезу нелі-
нійних систем стабілізації.
S.M. Onishchenko
STABILIZATION OF NONLINEAR SYSTEMS STATE
OBSERVERS UNDER UNCERTAINTY
There are the main ways of solving problems of observation under analysis. The sta-
bilization problem of nonlinear systems status observer under uncertainty is consid-
ered and its solution with accelerated hard synthesis of nonlinear systems stabiliza-
tion method is proposed.
1. Шмидт Дж. Линейные и нелинейные методы фильтрации // Фильтрация и стохастическое
управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. — М. : Мир, 1980. —
С. 49–73.
2. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. — М. :
Наука, 1975. — 423 с.
3. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М. :
Связь, 1976. — 496 с.
4. Бревер Г. Идентификация характеристик шума в фильтре Калмана // Фильтрация и стохас-
тическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. — М. : Мир, 1980.
— С. 321−376.
5. Стратонович Р.Л. Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и ее применения.
— 1960. — 5, вып. 2. — С. 172−195.
6. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. — М.: Наука, 1982. — 200 с.
7. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления (оптимизация, оценки
и управление). — М. : Мир, 1972. — 544 с.
8. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME, J. Basic
Eng. — 1960. — 82D. — P. 34–45.
9. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory // Ibid. — 1961. —
83D. — P. 34–45.
10. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. — М. : Радио и связь, 1982.
— 392 с.
11. Васильев В.А. Методы оптимальной фильтрации в системах управления космических аппа-
ратов // Вопросы управления космическими аппаратами / Под ред. акад. Б.Н. Петрова. —
М. : Мир, 1975. — С. 58–94.
12. Neal S.R. Nonlinear estimation techniques // IEEE Trans. on Autom. Control. — 1968. — AC-13,
N 6. — P. 705–708.
13. Rhodes I.B. A tutorial introduction to estimation and filtering // Ibid. — 1971. — AC-16, N 6. —
P. 688–706.
14. Соренсон Г. Обзор методов фильтрации и стохастического управления в динамических
системах // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред.
К.Т. Леондеса. — М. : Мир, 1980. — С. 377–403.
15. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наимень-
ших квадратов // Космические исследования. — 1964. — 2, №5. — С. 713–715.
16. Лидов. М.Л., Матасов А.И. Об одном обобщении задачи о «наихудшей корреляции» // Там
же. — 1989. — 27, №3. — С. 454–456.
17. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности
и адаптация информационных систем. — М. : Сов. радио, 1977. — 432 с.
18. Knoll A., Edelstein M. Estimation of local vertical and orbital parameters for an Earth satellite
using horizon sensor measurement // AJAA J. — 1965. — 3, N 2. — P. 338–345.
24 ISSN 0572-2691
19. Оэп Р.Ф., Стабберуд А.Р. Адаптивное оценивание с минимальной дисперсией в дискрет-
ных линейных системах // Фильтрация и стохастическое управление в динамических сис-
темах / Под ред. К.Т. Леондеса. — М. : Мир, 1980. — С. 377−403.
20. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. — М. : Наука, 1970. — 252 с.
21. Ватсэл С. Определение ориентации КЛА с помощью нелинейного фильтра второго поряд-
ка // Аэрокосмич. техника. — 1988. — № 7. — С. 100–108.
22. Пугачев В.С. Оценивание состояния и параметров непрерывных нелинейных систем // Ав-
томатика и телемеханика. — 1979. — № 6. — С. 63–79.
23. Силуянова И.Д. Оценивание состояния и параметров нелинейных систем при помехе в на-
блюдениях, отличной от белого шума // Там же. — 1980. — № 10. — С. 61–69.
24. Дашевский М.Л., Силуянова И.Д. К расчету коэффициентов уравнений условно оптималь-
ных фильтров // Там же. — 1984. — № 10. — С. 66–69.
25. Волосов В.В., Одинцова Е.А. Исследование сходимости алгоритмов одного вида наблюда-
телей состояния дискретных динамических систем с использованием функций Ляпунова //
Там же. — 1990. — № 12. — С. 41–51.
26. Мук Д.Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем // Аэрокосмич.
техника. — 1990. — № 2. — С. 44–53.
27. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
28. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М. : Наука,
1977. — 392 с.
29. Лидов. М.Л. Игровая задача оценивания с немоделируемыми ускорениями и алгоритм ее
решения // Космические исследования. — 1986. — 24, №2. — С. 246–276.
30. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984. — 304 с.
31. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления
летальных аппаратов — М. : Машиностроение, 1989. — 302 с.
32. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М. : Наука,
1988. — 320 с.
33. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М. : Наука, 1968. — 476 с.
34. Лебедев Д.В., Ткаченко А.И. Системы инерциального управления. Алгоритмические аспек-
ты. — Киев : Наук. думка. — 1991. — 208 с.
35. Богуславский И.А. Робастный алгоритм рекуррентной фильтрации // Докл. АН СССР. —
1988. — 300, № 6. — С. 1329–1332.
36. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям // Фильтрация
и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. — М. :
Мир, 1980. — С. 253–320.
37. Колобов М.Г. Оценивание состояния динамической системы при наличии неопределенных
составляющих в шумах состояния и измерения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. —
1991. — № 1. — С. 108–114.
38. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Там же. —
1985. — № 6. — С. 108−112.
39. Емельянов С.В., Живоглядов В.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Асимптотика допустимых
параметрических возмущений в задаче стабилизации неопределенной дискретной системы
// Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 7. — С. 41–52.
40. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конечный алгоритм построения программного решения не
полностью определенной линейной задачи оптимального управления // Там же. — 1991. —
№ 7. — С. 33–41.
41. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука, 1976. —
424 с.
42. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М. : Высш. шк., 1989. — 263 с.
43. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир, 1977.
— 650 с.
44. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: методы жест-
кого синтеза // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 2. — С. 5–12.
45. Онищенко С.М. Жесткая оптимальная стабилизация нелинейных динамических систем //
Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». —
2014. — № 4. — С. 32–46.
46. Яковлев О.С. Эргатические системы стабилизации // Технические эргатические системы /
Под общ. ред. В.В. Павлова. — Киев : Вища шк., 1977. — С. 178–259.
47. Воронин А.Н. Методы оценки технических эргатических систем // Там же. — С. 101–140.
48. Банди Б. Методы оптимизации. — М. : Радио и связь, 1988. — 128 с.
49. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М. : Наука, 1966. — 532 с.
Получено 13.08.2014
|