Об определении параметров синусоид

Розглянуто задачу визначення частот та амплітуд синусоїд у сигналі, що спостерігається. Основною обчислювальною процедурою запропонованого алгоритму є процедура розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь, тобто запропонований алгоритм не пов’язаний, як низка відомих алгоритмів, з інтегруванн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Апостолюк, А.С., Ларин, В.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы идентификации и адаптивного управления
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207881
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об определении параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 31-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207881
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078812025-10-16T00:05:17Z Об определении параметров синусоид Про визначення параметрів синусоїд On determining the parameters of sinusoids Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто задачу визначення частот та амплітуд синусоїд у сигналі, що спостерігається. Основною обчислювальною процедурою запропонованого алгоритму є процедура розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь, тобто запропонований алгоритм не пов’язаний, як низка відомих алгоритмів, з інтегруванням системи диференціальних рівнянь. Детально розглянуто випадок, коли досліджуваний сигнал містить одну синусоїду та постійну складову. Ефективність запропонованого алгоритму ілюструється прикладами. The problem of determining of frequencies and amplitudes of sinusoids in observed signal is considered. The main computational procedure of proposed algorithm is the procedure of solving of a system of linear algebraic equations; i. e. the proposed algorithm is not related with the integration of a system of differential equations as some well-known algorithms are. The case, when the signal being studied contains one sinusoid and steady component, is considered in detail. The efficiency of proposed algorithm is illustrated by examples. 2015 Article Об определении параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 31-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207881 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i2.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Об определении параметров синусоид Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто задачу визначення частот та амплітуд синусоїд у сигналі, що спостерігається. Основною обчислювальною процедурою запропонованого алгоритму є процедура розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь, тобто запропонований алгоритм не пов’язаний, як низка відомих алгоритмів, з інтегруванням системи диференціальних рівнянь. Детально розглянуто випадок, коли досліджуваний сигнал містить одну синусоїду та постійну складову. Ефективність запропонованого алгоритму ілюструється прикладами.
format	Article
author	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_facet	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_sort	Апостолюк, А.С.
title	Об определении параметров синусоид
title_short	Об определении параметров синусоид
title_full	Об определении параметров синусоид
title_fullStr	Об определении параметров синусоид
title_full_unstemmed	Об определении параметров синусоид
title_sort	об определении параметров синусоид
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207881
citation_txt	Об определении параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 31-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT apostolûkas obopredeleniiparametrovsinusoid AT larinvb obopredeleniiparametrovsinusoid AT apostolûkas proviznačennâparametrívsinusoíd AT larinvb proviznačennâparametrívsinusoíd AT apostolûkas ondeterminingtheparametersofsinusoids AT larinvb ondeterminingtheparametersofsinusoids
first_indexed	2025-11-27T16:17:29Z
last_indexed	2025-11-27T16:17:29Z
_version_	1849960962557214720
fulltext	© А.С. АПОСТОЛЮК, В.Б. ЛАРИН, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 31 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 517.977.58 А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ СИНУСОИД Введение В современных инженерных задачах важное место занимают вопросы теории колебаний [1–3]. Вероятно, по этой причине задачи определения параметров сину- соидальных сигналов продолжают привлекать внимание исследователей (см. [4–8] и ссылки на литературу). На основе подхода [9] рассмотрена задача определения оценки частот синусоид, присутствующих в сигнале. Кроме того, описана задача определения оценок амплитуд отдельных гармонических компонент сигнала. Ос- новной вычислительной процедурой предлагаемого алгоритма является процедура решения системы линейных алгебраических уравнений. Другими словами, предла- гаемый алгоритм не связан, как, например, алгоритмы [6, 7], с интегрированием системы дифференциальных уравнений. Подробно описан случай, когда исследуе- мый сигнал содержит одну синусоиду и постоянную составляющую. Эффектив- ность предлагаемого алгоритма демонстрируется на примерах. 1. Задача идентификации параметров синусоид [9] Рассмотрим следующую задачу. Наблюдается сигнал , 1 0    n i iyay (1) где ),( sin cos sin 21 iiiiiiii tatatay  ,0a ia ) , ,1( ni  — констан- ты, величина n считается заданной. Нужно оценить неизвестные параметры ,0a } , ,{ iiia  или ,0a }, , ,{ 21 iii aa  основываясь только на измерениях сигнала y. Предположим вначале, что в (1) 00 a (далее это ограничение будет снято). В этом случае функция ),(ty определяемая (1), удовлетворяет дифференциально- му уравнению     n j jn j n ydy 2 1 )2()2( 0 (2) с начальными условиями ),0()0( 2 )2( jn jn xy    .2 , ,1 nj  Характеристическое уравнение для (2) имеет вид .0 2 1 22     n j jn j n d (3) 32 ISSN 0572-2691 Вследствие того, что сигнал (1) является суммой синусоид, коэффициенты jd в (2) при нечетных степенях  будут нулевыми. Другими словами, полином (3) бу- дет полиномом степени n относительно  2 , причем корни этого полинома )( 2 i будут равны .2 i Отметим, что дифференциальное уравнение (3) можно записать в виде сис- темы n2 дифференциальных уравнений первого порядка: ,Axx  ,])0()0()0([)0( T 1210  nxxxx  (4) ,Cxy  ],0001[ C . 0100 0010 12             dd A n     Здесь и далее верхний индекс Т означает транспонирование. 2. Метод Прони [10, 11] Рассмотрим дискретную последовательность значений )( jty сигнала (1) в рав- ноотстоящие моменты времени ,)1( sj Tjt  , 2, ,1 j где sT — заданный (фиксированный) интервал времени. Согласно (4) имеем ).0()( xCety jAt j  (5) Пусть 02 12 1 2   n nn  (6) является характеристическим полиномом матрицы .sAT e Согласно (5), (6) имеем   )()()( 21212 knknkn tytyty  )0()]()()[( 2 12 1 2 xeIeeC kAT n nATnAT sss    ,  ,1 ,0k . (7) Здесь и далее I — единичная матрица соответствующего размера. Поскольку мат- рица sAT e обращает в нуль свой характеристический полином, можно утвер- ждать, что .0 Другими словами, получена система линейных уравнений (7), определяющая коэффициенты i как функции наблюдаемого сигнала ).( jty Отметим, что корни полиномов (3) и (6) i( и j соответственно) связаны соот- ношением .siT j e   (8) Таким образом, исходную задачу определения параметров ,ia ,i i можно разбить на две, а именно: задачу определения коэффициентов полинома (6) из системы линейных уравнений (7), что согласно (8) позволяет определить ;i и задачу определения амплитуд ,1ia 2ia из системы линейных уравнений    n i jiijiij tataty 1 21 ), cos sin ()( . ,1 ,0 j (9) Эта декомпозиция исходной задачи составляет суть метода Прони и построенных на его основе алгоритмов (см. [10, 11] и ссылки на литературу). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 33 3. Модификация метода Прони [9] Как отмечалось выше, характеристический полином (3) является полиномом степени n относительно ,2 а полином (6) имеет степень ,2n причем в общем случае все его коэффициенты ненулевые. В связи с этим целесообразно преобра- зовать (6) следующим образом:    n j j 1 ).( (10) Пусть корни (3) упорядочены так, что ,ii i .1 ii i  Согласно (8) имеем , sin cos sisij TiT  . sin cos1 sisij TiT   (11) Приняв во внимание (11), полином (10) запишем так: ,) cos 2()1 cos 2( 11 2    n n j si n n j si TT (12) , 1   .1 1 n nn    Отметим, что корнями полинома  будут , cos 2 sii T (13) c помощью которых согласно (13) можно найти .i Таким образом, задача состоит в нахождении n коэффициентов i полино- ма . Определив согласно (12) характеристический полином  как функцию ко- эффициентов ,i можно найти, как это было сделано при выводе (7), систему ли- нейных уравнений, определяющих коэффициенты i как функции наблюдаемых значений сигнала ).( jty Предположим, что в (1) .00 a В этом случае порядок системы (2) и степень характеристического полинома (3) возрастут на единицу, причем характеристиче- ский полином (3) будет иметь один нулевой корень. Соответственно возрастет на единицу степень полинома (6), который будет иметь дополнительный корень, равный единице. Очевидно, что в этом случае характеристический полином  связан с полиномом (6) следующим образом: .)1(  (14) Соотношение (14) позволяет получить систему уравнений, определяющих ,i и в случае, когда .00 a Проиллюстрируем эту процедуру, когда в (1) .1n Имеем ,1 .0)(1 1 223  (15) Выберем из последовательности (5) первые четыре члена, которые обозначим ),1(y (2),y (3),y (4).y В соответствии с (15) получим .0(2))(3)((1)(2)(3)(4) 1  yyyyyy (16) Уравнение (16) позволяет определить 1 и найти 1 из соотношения ,2/ cos 11  sT (17) 34 ISSN 0572-2691 Получив из (17) оценку ,1 можно записать систему (k уравнений), определяю- щую константы ,0a ,11a ,12a которые фигурируют в (1): ),)1(( cos ))1(( sin )( 1121110 ss TiaTiaaiy  , , ,2 ,1 ki  или в матричной форме ,kk bxA  (18) , )1(( cos))1(( sin1 101 11           ss k TkTk A  , 12 11 0          a a a x . )( )1(          ky y bk  Отметим, что выше предполагалось отсутствие погрешностей измерений. Далее рассмотрим вопросы оптимизации оценок с учетом погрешностей измерений. 4. Выбор интервала Ts Очевидно, что величина интервала ,sT с одной стороны, ограничена услови- ем . siT С другой стороны, в соответствии с (13) точность нахождения пара- метров i будет определяться как точностью определения корня ,i так и вели- чиной .sT В результате решения уравнения ,0 коэффициенты i в котором получены с определенной погрешностью, будем иметь некоторые оценки )( i корней ,i которые сопровождаются погрешностями :i .iii  (19) Естественно, что согласно (13) следствием погрешностей i в (19) будут по- грешности )( i определения параметров :i ].)cos[( 2 siii T (20) Предполагая, что в (20) погрешности i и i малы, можно записать соотноше- ние issii TT  )sin( 2 или . )sin( 2 sisi i i i TT      (21) Считая, что погрешность i не зависит от ,sT с учетом (21) можно выбрать ин- тервал ,sT который минимизирует относительную погрешность ./ ii  Руко- водствуясь этими соображениями, можно в первом приближении в качестве оцен- ки оптимального значения sT принять значения, которые максимизируют ),sin( sisi TT  т.е. , siT (22) где 2,028 является корнем уравнения .0 tg  Этому значению  соответ- ствует оптимальное значение * 1 константы ,1 фигурирующей в (15), (16) 0,8842. cos2* 1  (23) Другими словами, соотношение (22) позволяет указать ,sT которому соответст- вует «достаточно хорошая» оценка .i Детализируем процедуры определения 1 и .sT Так, если сигнал регистри- руется с частотой ,f т.е. через промежутки времени ,/1 fd  то задача опреде- ления sT сводится к определению k — числа тактов, которым соответствует ис- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 35 комое значение .kdTs  Таким образом, предполагая, что первое измерение сиг- нала происходит при ,0t соотношение (16) можно записать так: (0).)()2()(3))2()(( 1 ykdykdykdykdykdy  (24) Принимая во внимание, что измерения сигнала сопровождаются погрешностями, для определения оценки 1 целесообразно использовать несколько (s) соотноше- ний, аналогичных (24), а именно: )()()2()(3))2()(( 1 jyjkdyjkdyjkdyjkdyjkdy  , .1 , 2, 1, 0,  sj  Эти соотношения можно записать в матричной форме, аналогичной (18): ,1  (25) , )1(2)1( )(2)(            skdyskdy kdykdy  . )1()1()1(2)1(3 )0()()(2)(3            syskdyskdyskdy ykdykdykdy  Согласно (25) оценка величины 1 определяется следующим соотношением: . T T 1    (26) Отметим, что аналогичные вопросы (оптимизация величины sT ) подробно рассмотрены в (см. [10, 11] и ссылки на литературу). 5. Рекуррентное оценивание амплитуд Вернемся к системе (18). Известно, что решение (18) может быть записано в виде .)( T1T kkkk bAAAx  Однако в данном случае для получения последовательности решений kx можно использовать рекуррентную процедуру. Рассмотрим задачу получения 1k оценки вектора x, следуя п. 3 из [12]. Итак, предположим, что доступно новое 1k измерение сигнала, т.е. систе- ма (18) пополнится еще одним уравнением: ,11   kk bxA ,T1         k k A A . 1 1          k k k z b b Согласно (3.45), (3.46) из [12] оптимальная оценка 1kx вектора x, полученная в результате 1k измерения сигнала, связана с оптимальной оценкой ,kx полу- ченной в результате использования k измерений, следующим образом: ),() ~ ( ~ T 1 12T 1 kkkkkk xzPPxx     (27) , ~ ) ~ ( ~~~ T12T 1 kkkkk PPPPP    где ,)( T1T kkkkk bAAAx  , ~ 2 kk PP .)( 1T  kkk AAP 36 ISSN 0572-2691 Отметим, что эти соотношения, по сути, описывают алгоритм дискретного фильтра Калмана. Таким образом, соотношения (27) позволяют улучшать оценку амплитуд по мере поступления новых измерений. Итак, можно сформулировать следующий алгоритм определения параметров синусоидального сигнала, содержащего постоянную составляющую. 1. Задавая значение s в (25), находим величину k (значение sT ), при которой константа ,1 вычисляемая в (26), мало отличается от значения ,* 1 определяемо- го (23). 2. Согласно (17) находим соответствующую оценку .1 Используя (27), находим оценки амплитуд, соответствующих наблюдаемому сигналу. Проиллюстрируем этот алгоритм на примере. Пример 1. Как и в примере 2 [7], принимаем ,41  ,2110  aa .012 a Сигнал регистрируется в течение 30 с через 0,02d c. Шумы регистрации модели- руются последовательностью равномерно распределенных случайных чисел с нуле- вым математическим ожиданием и дисперсией 0,252  (процедура rand.m пакета MATLAB). Фрагмент такого «зашумленного» сигнала приведен на рис. 1. Принимаем, что в (25) .20s Находим согласно (26) оценки .1 Так, при 26k — 0,982;1  при 25k — 0,82.1  Очевидно, что значение 1 при 25k является оптимальным (ближайшим к ).* 1 Этому значению 1 соответствует (согласно (17)) оценка частоты 3,9868.1  Используя процеду- ру (27), получим оценку вектора kx при 1500k . 0,3939 1,9601 2,0077         kx Точное (принятое) значение этого вектора . 0 2 2 12 11 0 0                   a a a x Таким образом, погрешности полученных оценок можно определить сле- дующим образом: 0,0132.40,3960; 10  xxn kx (28) Здесь и далее  означает спектральную матричную норму. График изменения третьей компоненты вектора kx приведен на рис. 2. Судя по этому графику, погрешность оценки имеет тенденцию к росту. Это может быть обусловлено недостаточной точностью оценки ,1 которая была использована для формирования матрицы .kA В связи с этим целесообразно модифицировать алгоритм таким образом, чтобы вместе с оценкой вектора kx происходило уточнение оценки частоты .1 Другими словами, рассматривая полученное решение как первое приближение, необходимо построить следующее (второе) приближение. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 37 0 0,2 0,4 t 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 1 0 1 2 3 4 y Рис. 1 6. Уточнение оценок Рассмотрим возможность уточнения полученных выше оценок амплитуд (вектора )kx и круговой частоты .1 Итак, искомое (уточненное) решение будем искать в виде ,~ xxx  ,~ 11  (29) где вектор x и скаляр  считаются малыми величинами. Переписав систему (18) в виде ,bAx  (30) отметим, что в (30) матрица A зависит от .1 Найдем уравнения второго приближения. Подставив (29) в (30), имеем ,))(( bxxBA  . 1   A B Отбрасывая член xB (как величину второго порядка малости), имеем .bBxxAAx  (31) Таким образом, согласно (31) первое приближение (вектор x) определяется урав- нением .bAx  (32) Далее поправки x и  определяются уравнением , ~~ b x A       (33) ,][ ~ BxAA  . ~ Axbb  Таким образом, второе приближение определяется соотношениями (29) и решением системы (32), (33). Существенно, что если для решения (32) можно ис- пользовать рекуррентный алгоритм, определяемый (27), то для построения второ- го приближения применение такого рода процедуры становится проблематичным. Дело в том, что в соотношениях (33) как матрица , ~ A так и вектор b ~ изменяются на каждом такте работы алгоритма в результате изменения вектора x. Проиллюстрируем предлагаемую процедуру уточнения первого приближе- ния на примере. 0 5 t 10 15 20 0,05 0,1 0,15 0,2 a12 25 0,25 0,3 0,35 Рис. 2 38 ISSN 0572-2691 Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1, однако на каждом такте бу- дем уточнять оценки вектора x и круговой частоты ,1 используя соотноше- ния (29), (33). В результате использования этой процедуры были получены следующие оценки вектора x и круговой частоты 1 при :1500k , 0,0105 2,0399 2,0060 ~         x 3,9998.~ 1  Погрешности новых оценок можно определить соотношениями, аналогичны- ми (28): .10,9114~~ 0,0417;~~ 4 10 - x xxn  (34) Сравнивая (28) и (34), можно констатировать, что использование процедур второго приближения существенно (на порядок) повышает точность оценок. Для полноты сравнения на рис. 3 приведен график изменения оценки третьей компо- ненты вектора x~ (аналог графика, приведенного на рис. 2). Сравнивая эти графики, можно отметить существенную разницу в характере изменений оценок, полученных при использовании алгоритма первого прибли- жения (рис. 2) и алгоритма второго приближения (рис. 3). И еще, как от- мечено в [6], в аналогичном приме- ре алгоритм [6], связанный с интегри- рованием системы дифференциаль- ных уравнений, не обеспечивает сходимость процесса при уровне по- мех 0,012  (см. рис. 5 [6]). В то же время рассмотренный выше алгоритм обеспечивает достаточно высокую точность оценок (см. (34)) при 0,25.2  Заключение Приведен алгоритм определения параметров (частот и амплитуд) синусои- дальных сигналов, имеющих постоянную составляющую. Этот алгоритм бази- руется на результатах [9]. Он не связан, как, например, алгоритмы [6, 7], с ин- тегрированием систем дифференциальных уравнений. Основной вычислительной процедурой предлагаемого алгоритма является процедура решения системы ли- нейных алгебраических уравнений. Подробно рассмотрен случай, когда исследуе- мый сигнал содержит одну синусоиду и постоянную составляющую. На примерах демонстрируется эффективность предлагаемого алгоритма. О.С. Апостолюк, В.Б. Ларін ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ СИНУСОЇД Розглянуто задачу визначення частот та амплітуд синусоїд у сигналі, що спо- стерігається. Основною обчислювальною процедурою запропонованого алго- ритму є процедура розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь, тобто запропонований алгоритм не пов’язаний, як низка відомих алгоритмів, з інтег- 0 5 t 10 15 20 1 0 0,1 0,2 0,3 a12 25 0,4 0,5 0,6 0,7 Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 39 руванням системи диференціальних рівнянь. Детально розглянуто випадок, ко- ли досліджуваний сигнал містить одну синусоїду та постійну складову. Ефек- тивність запропонованого алгоритму ілюструється прикладами. A.S. Apostolyuk, V.B. Larin ON DETERMINING THE PARAMETERS OF SINUSOIDS The problem of determining of frequencies and amplitudes of sinusoids in observed signal is considered. The main computational procedure of proposed algorithm is the procedure of solving of a system of linear algebraic equations; i. e. the proposed al- gorithm is not related with the integration of a system of differential equations as some well-known algorithms are. The case, when the signal being studied contains one sinusoid and steady component, is considered in detail. The efficiency of pro- posed algorithm is illustrated by examples. 1. Gulgazaryan G.R., Gulgazaryan R.G., Khachanyan A.A. Vibrations of an orthotropic cylindrical panel with various boundary conditions // Int. Appl. Mech. — 2013. — 49, N5. — Р. 534–554. 2. Gulyaev V.I., Lugovoi P.Z., Borshch E.I. Self-excited vibrations of a drillstring bit // Ibid. — 2013. — 49, N 3. — Р. 350–359. 3. Kubenko V.D., Yanchevskii I.V. Vibrations of a nonclosed two-layer spherical electroelastic shell under impulsive electromechanical loading // Ibid. — 2013. — 49, N 3. — P. 303–314. 4. Нuа Y., Sarkar Т.K. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped / undamped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. — 1990. — 38, N 5. — P. 814–824. 5. Frazho A.E., Yagci B., Sumali H. On sinusoid estimation in nonstationary noise // IEEE Trans. Automat. Control. — 2004. — 49, N 5. — P. 777–781. 6. Hou M. Parameter identification of sinusoids // Ibid. — 2012. — 57, N 2. — P. 467–472. 7. Fedele G., Ferrise A. Non adaptive second order generalized integrator for identification of a biased sinusoidal signal // Ibid. — 2012. — 57, N 7. — P. 1838–1842. 8. Fedele G., Ferrise A. Biased sinusoidal disturbance compensation with unknown frequency // Ibid. — 2013. — 58, N 12. — P. 3207–3212. 9. Apostolyuk A.S., Larin V.B. Modification of Prony’s method in the problem of determining the parameters of sinusoids // Journal of Automation and Information Sciences. — 2012. — 44, N 9. — P. 43–50. 10. Apostolyuk A.S., Larin V.B. Identification problems of linear stationary systems. Part I. Prony’s method // Ibid. — 2011. — 43, N 8. — P. 1–18. 11. Apostolyuk A.S., Larin V.B. Identification problems of linear stationary systems. Part II. Generali- zation of Prony’s method // Ibid. — 2011. — 43, N 9. — P. 1–19. 12. Lee R.C.K. Optimal estimation, identification, and control. Research monograph. N 28. — Cam- bridge (Massachusetts) : M.I.T. Press, 1964. — 176 p. Получено 10.02.2014

Об определении параметров синусоид

Institution

Ähnliche Einträge