Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування для гіперболічної системи. Припускається одночасне використання розподілених і граничних керувань. Автор для цієї задачі запропонував метод множників Лагранжа, причому функція Лагранжа включає в себе не тільки рівняння з частинними похідни...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207882 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 40-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207882 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Копец, М.М. 2025-10-15T12:01:10Z 2015 Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 40-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207882 517.977.56 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i2.40 Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування для гіперболічної системи. Припускається одночасне використання розподілених і граничних керувань. Автор для цієї задачі запропонував метод множників Лагранжа, причому функція Лагранжа включає в себе не тільки рівняння з частинними похідними, але і крайові умови. Для цієї задачі оптимізації отримано необхідні умови оптимальності. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегродиференціальних рівнянь Ріккаті. The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem for hyperbolic system. Simultaneous use of the distributed and boundary controls is supposed. The author for this purpose offers a method of Lagrange multipliers and function of Lagrange includes not only the partial differential equation, but also boundary conditions. For a considered optimization problem the necessary conditions of optimality are received. The analysis of these conditions has given the chance to deduce the system of Riccati integro-differential equations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Оптимальное управление и методы оптимизации Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы Лінійно-квадратична задача оптимального керування для гіперболічної системи Linear-quadratic optimal control problem for hyperbolic system Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| spellingShingle |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы Копец, М.М. Оптимальное управление и методы оптимизации |
| title_short |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| title_full |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| title_fullStr |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| title_full_unstemmed |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| title_sort |
линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы |
| author |
Копец, М.М. |
| author_facet |
Копец, М.М. |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Лінійно-квадратична задача оптимального керування для гіперболічної системи Linear-quadratic optimal control problem for hyperbolic system |
| description |
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування для гіперболічної системи. Припускається одночасне використання розподілених і граничних керувань. Автор для цієї задачі запропонував метод множників Лагранжа, причому функція Лагранжа включає в себе не тільки рівняння з частинними похідними, але і крайові умови. Для цієї задачі оптимізації отримано необхідні умови оптимальності. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегродиференціальних рівнянь Ріккаті.
The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem for hyperbolic system. Simultaneous use of the distributed and boundary controls is supposed. The author for this purpose offers a method of Lagrange multipliers and function of Lagrange includes not only the partial differential equation, but also boundary conditions. For a considered optimization problem the necessary conditions of optimality are received. The analysis of these conditions has given the chance to deduce the system of Riccati integro-differential equations.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207882 |
| citation_txt |
Линейно-квадратическая задача оптимального управления для гиперболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 40-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kopecmm lineinokvadratičeskaâzadačaoptimalʹnogoupravleniâdlâgiperboličeskoisistemy AT kopecmm líníinokvadratičnazadačaoptimalʹnogokeruvannâdlâgíperbolíčnoísistemi AT kopecmm linearquadraticoptimalcontrolproblemforhyperbolicsystem |
| first_indexed |
2025-11-26T01:45:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:45:48Z |
| _version_ |
1850606501109956608 |
| fulltext |
© М.М. КОПЕЦ, 2015
40 ISSN 0572-2691
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 517.977.56
М.М. Копец
ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Введение
Многие математические модели реальных процессов, имеющие существенное
практическое значение, включают в себя дифференциальные уравнения с частными
производными или системы таких уравнений, например, процессы диффузии, массо-
обмена, теплообмена, теплопроводности и т.д. Все перечисленные процессы описыва-
ются дифференциальными уравнениями с частными производными параболического
типа. К другой важной категории относятся колебательные процессы. Они исследуют-
ся в теории механических колебаний, акустике, аэродинамике, электродинамике, тео-
рии упругости и т.д. Все они описываются дифференциальными уравнениями с част-
ными производными гиперболического типа. В эти уравнения или в краевые условия
могут входить некоторые параметры, именуемые управлениями. В общем случае по-
лучаем определенное семейство решений исследуемой краевой задачи. Для оценки ка-
чества процесса, исходя из позиций физики, рассматривается тот или иной функцио-
нал на множестве решений данной краевой задачи. В результате получаем задачу оп-
тимального управления. Существует довольно обширная библиография по теории
оптимального управления колебательными процессами. В качестве примера можно
назвать работу [1]. Настоящая статья посвящена исследованию линейно-квадрати-
ческой задачи оптимального управления для процесса, описываемого системой линей-
ных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа,
Предполагается, что управления являются как распределенными, так и граничными
(посредством граничных условий). С помощью метода множителей Лагранжа для рас-
сматриваемой задачи оптимизации получена система матричных интегродифференци-
альных уравнений Риккати с частными производными, решение которой позволяет
выписать явные формулы для вычисления оптимальных управлений.
Постановка задачи
Пусть управляемый процесс описывается следующей системой дифференци-
альных уравнений с частными производными:
),,(),(
),(),(),(
2
2
2
2
xtxt
x
xt
x
xt
t
xt
DuCz
z
B
z
A
z
(1)
где ,A ,B C — заданные квадратные матрицы размера ,nn D — известная пря-
моугольная матрица размера ,mn )(),( 2 nLxtz и )(),( 2 mLxtu — соответст-
венно n- и m-мерная вектор-функции состояния и управления, подлежащие определе-
нию, множество имеет вид ]},,0[],,[:),{( 10 lxtttxt ),(
),(
2
nL
t
xtz
),(
),(
22
2
nL
t
xtz
),(
),(
2
nL
x
xtz
).(
),(
22
2
nL
x
xtz
Для системы уравнений (1)
заданы начальные условия
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 41
),(),( 0 xxt fz )(
),( 0 x
t
xt
g
z
(2)
и граничные условия
),()0,(
)0,(
tt
x
t
FvEz
z
).(),(
),(
tlt
x
lt
HwGz
z
(3)
Здесь ,E G — заданные квадратные матрицы размера ,nn ,F H — заданные
прямоугольные матрицы размеров 1mn и 2mn соответственно, ),,0()( 2 lLx nf
),,0()( 2 lLx ng ),()( 102
1 ttLt
m
v — 1m -мерная вектор-функция и ),()( 102
2 ttLt
m
w —
2m -мерная вектор-функция (граничные управления), их также необходимо найти.
Переменная t обозначает время ),( 10 ttt x — пространственная переменная
),0( lx действительные числа ,00 t 01 t и 0l заданы. Рассмотрим
функционал
dtttttI
t
t
)]()()()([
2
1
),,,( TT
1
0
LwwKvvzwvu
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
1
),()(),(
2
1 11
T
0
11
T
0
z
N
z
zMz
,)],(),(),(),(),(),([
2
1 TT
0
1
0
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
uQuzPz (4)
где ,K L — заданные квадратные симметрические положительно определенные мат-
рицы размеров 11 mm и 22 mm соответственно, ),(xM )(xN и ),( xtP — извест-
ные квадратные симметрические неотрицательно определенные матрицы размера
,nn ),( xtQ — заданная квадратная симметрическая положительно определенная
матрица размера .mm Функции ),(),( 2 mLxtu ),,()( 102
1 ttLt
m
v ),()( 102
2 ttLt
m
w
называются допустимыми управлениями. Для фиксированных допустимых управле-
ний под решением краевой задачи (1)–(3) понимаем ее обобщенное решение. Задача
оптимального управления (1)–(4) состоит в определении тройки допустимых управле-
ний ),,( xtu ),(tv )(tw и соответствующего им решения ),( xtz задачи (1)–(3), на ко-
торых функционал (4) принимает наименьшее возможное значение.
Необходимые условия оптимальности
Одним из возможных методов для нахождения решения сформулированной
выше задачи оптимального управления (1)–(4) является метод множителей Ла-
гранжа [2, с. 31]. Сущность его состоит в замене функционала (4) следующим
вспомогательным функционалом:
dtttttJ
t
t
)]()()()([
2
1
),,,,( TT
1
0
LwwKvvzwvup
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
1
),()(),(
2
1 11
T
0
11
T
0
z
N
z
zMz
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
)],(),(),(),(),(),([
2
1 TT
0
1
0
uQuzPz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
lt
t
2
2
2
2
T
0
),(
),(),(
),(),(
),(
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
42 ISSN 0572-2691
,)(),(
),(
),()()0,(
)0,(
)0,(
1
0
1
0
T dttlt
x
lt
ltdttt
x
t
t T
t
t
t
t
HwGz
z
ApFvEz
z
Ap (5)
где ),( xtp — неизвестная n-мерная вектор-функция (множитель Лагранжа). В ре-
зультате такой замены задача на условный экстремум (1)–(4) сводится к задаче
минимизации функционала (5) с учетом условий (2). Затем находим выраже-
ние J для приращения функционала (5)
).,,,,(),,,,( zwvupzzwwvvuupp JJJ
Соотношение (5) приводит к следующему выражению:
dtttttttttJ
t
t
)]]()([)]()([)]()([)]()([[
2
1 TTTT
1
0
wwLwwvvKvv
dxxtxtxxtxt
l
)],(),()[()],(),([
2
1
111
T
1
T
0
zzMzz
dx
t
xt
t
xt
x
t
xt
t
xt
l
),(),(
)(
),(),(
2
1 111
T
1
T
0
zz
N
zz
)],(),()[,()],(),([[
2
1 TT
0
1
0
xtzxtxtxtxt
lt
t
zPzz
dxdtxtxtxtxtxt ]]),(),()[,()],(),([ TT
uuQuu
x
xt
x
xt
x
xt
x
xt
xtxt
lt
t
),(),(),(),(
)],(),([
2
2
2
2
TT
0
1
0
zz
B
zz
App
dxdt
t
xt
t
xt
xtxtxtxt
2
2
2
2 ),(),(
)],(),([)],(),([
zz
uuDzzC
x
t
x
t
tt
t
t
)0,()0,(
)]0,()0,([ TT
1
0
zz
App
x
lt
x
lt
ltltdttttt
t
t
),(),(
)],(),([)]()([)]0,()0,([ TT
1
0
zz
AppvvFzzE
dtttttdtttltlt
t
t
)]()()()([
2
1
)]()([)],(),([ TT
1
0
LwwKvvwwHzzG
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
1
),()(),(
2
1 11
T
0
11
T
0
z
N
z
zMz
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
]),(),(),(),(),(),([
2
1 TT
0
1
0
uQuzPz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
lt
t
2
2
2
2
T
0
),(
),(),(
),(),(
),(
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
.)(),(
),(
),()()0,(
)0,(
)0,( TT
1
0
1
0
dttlt
x
lt
ltdttt
x
t
t
t
t
t
t
HwGz
z
ApFvEz
z
Ap (6)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 43
Выполнив элементарные преобразования, вместо соотношения (6) получим сле-
дующее выражение:
dtttttdtttttJ
t
t
t
t
)]()()()([
2
)]()()()([
2
TTTT
1
0
1
0
LwwwLwKvvvKv
dxxtxxtxtxxt
l
)],()(),(),()(),([
2
11
T
11
T
0
zMzzMz
dx
t
xt
x
t
xt
t
xt
x
t
xt
l
),(
)(
),(),(
)(
),(
2
11
T
11
T
0
z
N
zz
N
z
),(),(),(),(),(),(),(),(),([
2
TT
0
T
1
0
xtxtxtxtxtxtxtxtxt
lt
t
uQuzPzzPz
x
xt
x
xt
xtdxdtxtxtxt
lt
t
),(),(
),()],(),(),(
2
2
T
0
T
1
0
z
B
z
ApuQu
x
xt
x
xt
xtdxdt
t
xt
xtxt
lt
t
),(),(
),(
),(
),(),(
2
2
T
0
2
2 1
0
z
B
z
Ap
z
uDzC
dttt
x
t
tdxdt
t
xt
xtxt
t
t
)()0,(
)0,(
)0,(
),(
),(),( T
2
2 1
0
vFzE
z
Ap
z
DuCz
dttlt
x
lt
ltdttt
x
t
t
t
t
t
t
)(),(
),(
),()()0,(
)0,(
)0,( TT
1
0
1
0
wHzG
z
ApFvEz
z
Ap
dtttttdttlt
x
lt
lt
t
t
t
t
)]()()()([
2
)(),(
),(
),( TT
2
T
1
0
1
0
wLwvKvHwGz
z
Ap
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
),()(),(
2
11
T
0
2
11
T
0
2 z
N
z
zMz
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
)],(),(),(),(),(),([
2
TT
0
2 1
0
uQuzPz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
lt
t
2
2
2
2
T
0
2 ),(
),(),(
),(),(
),(
1
0
z
uDzC
z
B
z
Ap
dttt
x
t
t
t
t
)()0,(
)0,(
)0,(T2
1
0
vFzE
z
Ap
.)(),(
),(
),(T2
1
0
dttlt
x
lt
lt
t
t
wHzG
z
Ap (7)
Дальше соотношение (7) можно упростить следующим образом. Так как имеет
место равенство
x
xt
x
xt
x
xt
x
xt ),(),(),(),(
2
2
2
2
zz
B
zz
A
,
),(),(
)],(),([)],(),([
2
2
2
2
0
zz
uuDzzC
t
xt
t
xt
xtxtxtxt
44 ISSN 0572-2691
то с учетом уравнения (1) получим соотношение
.
),(
),(),(
),(),(
2
2
2
2
0
z
uDzC
z
B
z
A
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
(8)
Подобным образом убеждаемся в справедливости равенств
,)()0,(
)0,(
0vFzE
z
tt
x
t
.)(),(
),(
0wHzG
z
tlt
x
lt
(9)
После двукратного применения формулы интегрирования по частям с учетом со-
отношений (9) находим
dt
x
t
tdt
x
lt
ltdxdt
x
xt
xt T
t
t
t
t
lt
t
)0,(
)0,(
),(
),(
),(
),(
1
0
1
0
1
0
T
2
2
T
0
z
Ap
z
Ap
z
Ap
dttltdtltltdxdt
x
xt
x
xt
t
t
t
t
lt
t
)(),(),(),(
),(),( TT
T
0
1
0
1
0
1
0
wAHpzAGp
z
A
p
dtlt
x
lt
dtttdttt
t
t
t
t
t
t
),(
),(
)()0,()0,()0,(
T
TT
1
0
1
0
1
0
zA
p
vAFpzAEp
dttltdxdtxt
x
xt
dtt
x
t
t
t
lt
t
t
t
)(),(),(
),(
)0,(
)0,( T
0
2
T2T 1
0
1
0
1
0
wAHpzA
p
zA
p
dtlt
x
lt
ltdttt
t
t
t
t
),(
),(
),()()0,(
T
TT
1
0
1
0
zA
p
AGpvAFp
.),(
),(
)0,(
)0,(
)0,(
2
T2
0
T
T
1
0
1
0
dxdtxt
x
xt
dtt
x
t
t
lt
t
t
t
zA
p
zA
p
AEp
(10)
Аналогично после однократного применения формулы интегрирования по частям
имеем
dxdtltltdxdt
x
xt
xt
t
t
lt
t
),(),(
),(
),( T
0
T
1
0
1
0
zBp
z
Bp
.),(
),(
)0,()0,(
0
T
T
1
0
1
0
dxdtxt
x
xt
dxdttt
lt
t
t
t
zB
p
zBp
(11)
Поскольку ,)()(),( 0 0ffz xxxt ,)()(
),( 0 0gg
z
xx
t
xt
то таким же спо-
собом приходим к следующему равенству:
dx
t
xt
xtdx
t
xt
xtdxdt
t
xt
xt
lllt
t
),(
),(
),(
),(
),(
),( 0
0
T
0
1
1
T
0
2
2
T
0
1
0
z
p
z
p
z
p
dxxt
t
xt
dx
t
xt
xtdxdt
t
xt
t
xt
lllt
t
),(
),(),(
),(
),(),(
1
1
T
0
1
1
T
0
T
0
1
0
z
pz
p
zp
dx
t
xt
xtdxxt
t
xt
dxxt
t
xt
lll
),(
),(),(
),(
),(
),( 1
1
T
0
2
T2
0
0
0
T
0
z
pz
p
z
p
.),(
),(
),(
),(
2
T2
0
1
1
T
0
dxxt
t
xt
dxxt
t
xt
ll
z
p
z
p
(12)
Кроме того, очевидны такие равенства:
),,()(),(2),()(),(),()(),( 11
T
11
T
11
T xtxxtxtxxtxtxxt zMzzMzzMz (13)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 45
,
),(
)(
),(
2
),(
)(
),(),(
)(
),( 11
T
11
T
11
T
t
xt
x
t
xt
t
xt
x
t
xt
t
xt
x
t
xt
z
N
zz
N
zz
N
z
(14)
),,(),(),(2),(),(),(),(),(),( TTT xtxtxtxtxtxtxtxtxt zPzzPzzPz (15)
),,(),(),(2),(),(),(),(),(),( TTT xtxtxtxtxtxtxtxtxt uQuuQuuQu (16)
),()(2)()()()( TTT tttttt vKvKvvvKv (17)
).()(2)()()()( TTT tttttt wLwLwwwLw (18)
С учетом соотношений (8)–(18) выражение (7) примет вид
dttltttttJ
t
t
t
t
)(]),()([)(])0,()([ TTTT
1
0
1
0
wAHpLwvAFpKv
dx
t
xt
xtx
t
xt
dxxt
t
xt
xxt
ll
),(
),()(
),(
),(
),(
)(),( 1
1
T1
T
0
1
1
T
1
T
0
z
pN
z
z
p
Mz
),(
),(),(),(
),(),(),(
2
T2
2
T2T
TT
0
1
0
xt
t
xt
x
xt
x
xt
xtxtxt
lt
t
z
p
A
p
B
p
CpPz
dxdtxtxtxtxt )],(]),(),(),([ TT
uDpQu
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
lt
t
2
2
2
2
T
0
),(
),(),(
),(),(
),(
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
dtltltlt
x
lt
t
t
),(),(),(
),( TT
T1
0
zBpAGpA
p
dtttt
x
t
t
t
)0,()0,()0,(
)0,( TT
T1
0
zBpAEpA
p
dttt
x
t
t
t
t
)()0,(
)0,(
)0,(T
1
0
FvEz
z
p
dttlt
x
lt
ltdttt
x
t
t
t
t
t
t
)(),(
),(
),()()0,(
)0,(
)0,( TT
1
0
1
0
HwGz
z
pFvEz
z
p
dttttt
t
t
)]()()()([
2
TT
2 1
0
wLwvKv
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
),()(),(
2
11
T
0
2
11
T
0
2 z
N
z
zMz
.)],(),(),(),(),(),([
2
TT
0
2 1
0
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
uQuzPz
(19)
На основании соотношения (19) можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1. Единственная тройка оптимальных управлений ),,( xtu )(tv и )(tw
определяются из системы соотношений
),,(),(
),(),(),(
2
2
2
2
xtxt
x
xt
x
xt
t
xt
DuCz
z
B
z
A
z
(20)
46 ISSN 0572-2691
),(),( 0 xxt fz ),(
),( 0 x
t
xt
g
z
(21)
),()0,(
)0,(
tt
x
t
FvEz
z
),(),(
),(
tlt
x
lt
HwGz
z
(22)
),,(),(),(
),(),(),( TT
2
2
T
2
2
xtxtxt
x
xt
x
xt
t
xt
zNpC
p
B
p
A
p
(23)
,
),(
)(),( 1
1
t
xt
xxt
z
Np ),,()(
),(
1
1 xtx
t
xt
zM
p
(24)
,),(][
),(
,)0,(][
)0,(
TTTT
TTTT
0pBAG
p
A
0pBAE
p
A
lt
x
lt
t
x
t
(25)
,),(),(),( T
0pDuQ xtxtxt (26)
,)0,()( TT
0pAFKKv tt .),()( TT
0pAHLw ltt (27)
Доказательство. Поскольку необходимым условием экстремума функциона-
ла (5) является равенство нулю его первой вариации, то такое условие будет вы-
полнено, если коэффициенты при ),(tv ),(tw ),,( 1 xtz ),,( xtz ),,( xtu
),,(T xtp ),0,(T tp ),,(T ltp )0,(tz и ),( ltz равны нулю одновременно. Если
присоединить к этим равенствам начальные условия (2) и граничные условия (3),
то получим систему соотношений (20)–(27). В случае выполнения этих соотноше-
ний выражение (19) примет вид
dtttttJ
t
t
)]()()()([
2
TT
2 1
0
wLwvKv
dx
t
xt
x
t
xt
dxxtxxt
ll
),(
)(
),(
2
),()(),(
2
11
T
0
2
11
T
0
2 z
N
z
zMz
.)],(),(),(),(),(),([
2
TT
0
2 1
0
dxdtxtxtxtxtxtxt
lt
t
uQuzPz
(28)
При условии, что ),,( xtu ),(tv )(tw не равны нулю одновременно, в силу
свойств матриц ,K ,L ),( xtQ имеем .0J Это означает, что на управлениях
),,( xtu )(tv и )(tw реализуется минимум функционала (4). Затем предположим,
что управления ),,(),(),( xtxtxt uuu )()()( ttt vvv и )()()( ttt www
также являются оптимальными управлениями. Тогда они тоже должны удовле-
творять соотношению (19) и, кроме того, должно выполняться равенство .0J
Но тогда из выражения (28) следует, что это равенство возможно только в том
случае, когда одновременно ,),( 0u xt 0v )(t и .)( 0w t Отсюда следует,
что ),,(),( xtxt uu )()( tt vv и )()( tt ww , и теорема 1 полностью доказана.
Вывод системы матричных интегродифференциальных
уравнений Риккати
Исходя из равенств
t
xt
xxt
),(
)(),( 1
1
z
Np и ),()(
),(
1
1 xtx
t
xt
zM
p
, пред-
полагаем существование зависимости между ),( xtp и :),( xtz
,
),(
),,(),(),,(
),(
12
0
11
0
yd
t
yt
yxtydytyxt
t
xt
ll
z
RzR
p
(29)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 47
,
),(
),,(),(),,(),( 22
0
21
0
yd
t
yt
yxtydytyxtxt
ll
z
RzRp (30)
где матричнозначные функции ,2,1,2,1),,,( jiyxtijR требуется найти. Диф-
ференцируя равенство (30) по переменной t, приходим к соотношению
yd
t
yt
yxtyt
t
yxt
t
xt
l
),(
),,(),(
),,(),(
21
21
0
z
Rz
Rp
.
),(
),,(
),(),,(
2
2
22
22
0
yd
t
yt
yxt
t
yt
t
yxt
l
z
R
zR
Используя равенства (20), (26) и (30), последнее соотношение преобразуем сле-
дующим:
t
yt
t
yxt
t
yt
yxtyt
t
yxt
t
xt
l
),(),,(),(
),,(),(
),,(),( 22
21
21
0
zRz
Rz
Rp
),(),,(
),(
),,(
),(
),,( 22222
2
22 ytyxt
y
yt
yxt
y
yt
yxt CzR
z
BR
z
AR
dsstsytytyxt
l
),(),,(),(),,( 21
0
T1
22 zRDDQR
.
),(
),,(),(),,( 22
0
T1
22 ydds
t
st
sytytyxt
l
z
RDDQR (31)
После двукратного применения формулы интегрирования по частям находим
y
t
xt
y
lt
lxtyd
y
yt
yxt
l
)0,(
)0,,(
),(
),,(
),(
),,( 22222
2
22
0
z
AR
z
AR
z
AR
)],()([),,(
),(),,(
22
22
0
lttlxtyd
y
yt
y
yxt
l
GzHwAR
z
A
R
)0,(
)0,,(
),(
),,(
)]0,()([)0,,( 2222
22 t
y
xt
lt
y
lxt
ttxt Az
R
Az
R
EzFvAR
)(),,(),(
),,(
222
22
2
0
tlxtydyt
y
yxt
l
AHwRAz
R
)()0,,(),(),,(
),,(
2222
22 txtltlxt
y
lxt
AFvRzAGRA
R
.),(
),,(
)0,()0,,(
)0,,(
2
22
2
0
22
22 ydyt
y
yxt
txt
y
xt
l
Az
R
zAERA
R
(32)
Подобным образом приходим к соотношению
),(),,(
),(
),,( 2222
0
ltlxtyd
y
yt
yxt
l
BzR
z
BR
.),(
),,(
)0,()0,,( 22
0
22 ydyt
y
yxt
txt
l
Bz
R
BzR
(33)
Затем в двойном интеграле ydsdstsytytyxt
ll
),(),,(),(),,( 21
0
T1
22
0
zRDDQR
снача-
ла меняем порядок интегрирования, после чего переобозначаем переменные ин-
тегрирования y на s и, наоборот, s на y. В результате получим
48 ISSN 0572-2691
ydsdstsytytyxt
ll
),(),,(),(),,( 21
0
T1
22
0
zRDDQR
ydsdstsytytyxt
ll
),(),,(),(),,( 21
T1
22
90
zRDDQR
.),(),,(),(),,( 21
T1
22
00
ydytdsyststsxt
ll
zRDDQR
(34)
Аналогично находим
ydsd
t
st
sytytyxt
ll
),(
),,(),(),,( 22
0
T1
22
0
z
RDDQR
ydsd
t
st
sytytyxt
ll
),(
),,(),(),,( 22
T1
22
90
z
RDDQR
.
),(
),,(),(),,( 22
T1
22
00
yd
t
yt
dsyststsxt
ll
z
RDDQR (35)
Поскольку
,
),(
),0,(),(),0,()0,( 22
0
21
0
yd
t
yt
ytydytytt
ll
z
RzRp
,
),(
),,(),(),,(),( 22
0
21
0
yd
t
yt
yltydytyltlt
ll
z
RzRp
на основании равенств )0,()( TT1 tt pAFKv
и ),()( TT1 ltt pAHLw
имеем
yd
t
yt
ytydytytt
ll
),(
),0,(),(),0,()( 22
0
TT1
21
0
TT1 z
RAFKzRAFKv
yd
t
yt
yltydytyltt
ll
),(
),,(),(),,()( 22
0
TT1
21
0
TT1 z
RAHLzRAHLw
соответственно. С учетом этих замечаний получим такие соотношения:
ydytytxttxt
l
),(),0,()0,,()()0,,( 21
TT1
22
0
22 zRAFAFKRAFvR
,
),(
),0,()0,,( 22
TT1
22
0
yd
t
yt
ytxt
l
z
RAFAFKR (36)
ydytyltlxttlxt
l
),(),,(),,()(),,( 21
TT1
22
0
22 zRAHAHLRAHwR
.
),(
),,(),,( 22
TT1
22
0
yd
t
yt
yltlxt
l
z
RAHAHLR (37)
С учетом соотношений (32)–(37), равенство (31) можно переписать следующим
образом:
t
yt
t
yxt
t
yt
yxtyt
t
yxt
t
xt
l
),(),,(),(
),,(),(
),,(),( 22
21
21
0
zRz
Rz
Rp
),(),,(),(
),,(
),(
),,(
22
22
2
22
2
ytyxtyt
y
yxt
yt
y
yxt
CzRBz
R
Az
R
),(),0,()0,,( 21
TT1
22 ytytxt zRAFAFKR
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 49
t
yt
ytxt
),(
),0,()0,,( 22
TT1
22
z
RAFAFKR
),(),,(),,( 21
TT1
22 ytyltlxt zRAHAHLR
t
yt
yltlxt
),(
),,(),,( 22
TT1
22
z
RAHAHLR
),(),,(),(),,( 21
T1
22
0
ytdsyststsxt
l
zRDDQR
yd
t
yt
dsyststsxt
l
),(
),,(),(),,(
0
22
T1
22
z
RDDQR .
)0,()0,,()0,,(
)0,,(
2222
22 txtxt
y
xt
zAERBRA
R
).,(),,(),,(
),,(
2222
22 ltlxtlxt
y
lxt
zAGRBRA
R
(38)
Сравнивая соотношения (29) и (38), получаем
),,(),,(
),,(),,(),,(
1122
22
2
22
2
21 yxtyxt
y
yxt
y
yxt
t
yxt
RCRB
R
A
RR
),,(),,(),0,()0,,( 21
TT1
2221
TT1
22 yltlxtytxt RAHAHLRRAFAFKR
,),,(),(),,( 21
T1
22
0
0RDDQR
dsyststsxt
l
(39)
),0,()0,,(),,(),,(
),,(
22
TT1
222112
22 ytRxtyxtyxt
t
yxt
AFAFKRRR
R
),0,(),,( 22
TT1
22 ytlxt RAHAHLR
,),,(),(),,( 22
T1
22
0
0RDDQR
dsyststsxt
l
(40)
,)0,,()0,,(
)0,,(
2222
22 0AERBRA
R
xtxt
y
xt
(41)
.),,(),,(
),,(
2222
22 0AGRBRA
R
lxtlxt
y
lxt
(42)
Дифференцируя равенство (29) по переменной t и выполняя аналогичные преоб-
разования, приходим к таким соотношениям:
x
yxt
y
yxt
x
yxt
t
yxt ),,(),,(),,(),,( 21T
2
12
2
2
21
2
T11 R
BA
RR
A
R
),0,()0,,()0,,(),,(
),,(
21
TT1
121221
T12 ytxtxtyxt
x
yxt
RAFAFKRCRRCC
R
),,(),,( 21
TT1
12 yltlxt RAHAHLR
,),()(),,(),(),,( 21
T1
12
0
0NRDDQR
ytyxdsyststsxt
l
(43)
50 ISSN 0572-2691
),,(),,(
),,(),,(),,(
1121
T22T
2
22
2
T12 yxtyxt
x
yxt
x
yxt
t
yxt
RRC
R
B
R
A
R
),,(),,(),0,()0,,( 22
T11
1222
T11
12 yltlxtytxt RAHAHLRRAFAFKR
,),,(),(),,( 22
T1
12
0
0RDDQR
dsyststsxt
l
(44)
,)0,,()0,,(
)0,,(
1212
12 0AERBRA
R
xtxt
y
xt
(45)
.),,(),,(
),,(
1212
12 0AGRBRA
R
lxtlxt
y
lxt
(46)
Из сопоставления соотношений (24), (29) и (30) получаем следующие дополни-
тельные условия:
).()(),,(,),,(
,),,(),()(),,(
122121
112111
yyxyxtyxt
yxtyyxyxt
NR0R
0RMR
(47)
Изложенные выше рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2. Матричнозначные функции ,2,1,2,1),,,( jiyxtijR удовле-
творяют системе матричных интегродифференциальных уравнений (39), (40),
(43), (44), краевым условиям (41), (42), (45), (46) и дополнительным услови-
ям (47). Если известны функции ,2,1,2,1),,,( jiyxtijR то для нахождения
оптимальных управлений ),,( xtu )(tv и )(tw имеем следующие формулы:
,
),(
),,(),(),,(),(),( 2221
0
T1 yd
t
yt
yxtytyxtxtxt
l
z
RzRDQu
,
),(
),0,(),(),0,()( 2221
0
TT1 yd
t
yt
ytytytt
l
z
RzRAFKv
,
),(
),,(),(),,()( 2221
0
TT1 yd
t
yt
yltytyltt
l
z
RzRAHLw
где функция ),( ytz является решением краевой задачи
),(
),(),(),(
2
2
2
2
yt
y
yt
y
yt
t
yt
Cz
z
B
z
A
z
,
),(
),,(),(),(),,(),( 22
0
T1
21
0
T1 ds
t
st
sytytdsstsytyt
ll
z
RDDQzRDDQ
),(),( 0 xxt fz ),(
),( 0 x
t
xt
g
z
,
),(
),0,(),(),0,()0,(
)0,(
2221
0
TT1 yd
t
yt
ytytytt
x
t
l
z
RzRAFFKEz
z
.
),(
),,(),(),,(),(
),(
2221
0
TT1 yd
t
yt
yltytyltlt
x
lt
l
z
RzRAHHLGz
z
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 51
Заключение
В статье исследована задача минимизации квадратического функционала на
множестве решений линейной гиперболической системы. Особенностью пробле-
мы является одновременное использование распределенных и граничных управ-
лений. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия
оптимальности. Эти условия позволили составить систему интегродифферен-
циальных уравнений Риккати, решение которой дает возможность выписать яв-
ные формулы для оптимальных управлений. Следует отметить целесообразность
обобщения полученных в данной работе результатов на случай систем с дробны-
ми производными [3, 4] с помощью метода разрешающих функций [5–7].
М.М. Копець
ЛІНІЙНО-КВАДРАТИЧНА ЗАДАЧА
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНОЇ СИСТЕМИ
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування для гіперболіч-
ної системи. Припускається одночасне використання розподілених і граничних
керувань. Автор для цієї задачі запропонував метод множників Лагранжа, при-
чому функція Лагранжа включає в себе не тільки рівняння з частинними похід-
ними, але і крайові умови. Для цієї задачі оптимізації отримано необхідні умо-
ви оптимальності. Аналіз цих умов дав можливість вивести систему інтегроди-
ференціальних рівнянь Ріккаті.
М.М. Kopets
LINEAR-QUADRATIC OPTIMAL CONTROL
PROBLEM FOR HYPERBOLIC SYSTEM
The paper is devoted to the linear-quadratic optimal control problem for hyperbolic
system. Simultaneous use of the distributed and boundary controls is supposed. The
author for this purpose offers a method of Lagrange multipliers and function of La-
grange includes not only the partial differential equation, but also boundary condi-
tions. For a considered optimization problem the necessary conditions of optimality
are received. The analysis of these conditions has given the chance to deduce the sys-
tem of Riccati integro-differential equations.
1. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих
систем. — М. : Мир, 1975 — 158 с.
2. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М. : Наука,
1977 — 480 с.
3. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных системам
с дробными производными Римана–Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. — 2011.
— № 6. — С. 66–99.
4. Эйдельман С.Д., Чикрий А.А. Динамические игровые задачи сближения для уравнений
дробного порядка // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 11. — С. 1566–1583.
5. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Chikrii K.A. Multivalued mapping and their selectors in the theory
of conflict-controlled processes // Cybernetics and Systems Analysis. — 2007. — 43, N 5. —
P. 719–730.
6. Сhikrii A.A., Dzyubenko K.G. Bilinear Markovian processes of search for moving objects //
Problemy Upravlenia i Informatiki. — 1997. — N 1. — P. 92–107.
7. Pilipenko Yu.V., Chikrij A.A. The oscillation processes of conflict control // Prikladnaya Mate-
matika i Mekhanika. — 1993. — 57, N 3. — P. 3–14.
Получено 14.02.2014
|