Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу

Досліджується задача синтезу оптимального керування об’єктами, що описуються системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь при різних видах зворотного зв’язку за виходом і на різних класах зональних керуючих функцій при неточно заданій інформації про значення параметрів об’єкта. Отримано фо...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Айда-заде, К.Р., Кулиев, С.З.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207883
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 52-66. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207883
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078832025-10-16T00:03:15Z Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу Синтез зональних керувань для нелінійних систем з нелінійним зворотним зв'язком за виходом Zonal control synthesis for nonlinear systems under nonlinear output feedback Айда-заде, К.Р. Кулиев, С.З. Оптимальное управление и методы оптимизации Досліджується задача синтезу оптимального керування об’єктами, що описуються системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь при різних видах зворотного зв’язку за виходом і на різних класах зональних керуючих функцій при неточно заданій інформації про значення параметрів об’єкта. Отримано формули для градієнта цільового функціонала, які дозволяють для чисельного визначення значень параметрів синтезованих керувань використовувати ефективні методи скінченновимірної оптимізації першого порядку. Наведено результати чисельних експериментів на прикладі розв’язання модельних задач. A feedback optimal control problem for objects described by the systems of nonlinear ordinary differential equations with different forms of output feedback and on different classes of zonal control actions, under uncertain information on the values of the object’s parameters are investigated. The formulas for the gradient of the target functional, which allow using efficient methods of the first order finite-dimensional optimization for numerical determination of the values of the synthesized controls’ parameters are obtained. The results of numerical experiments carried out on some test problems are given. 2015 Article Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 52-66. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207883 519.7 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i1.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Айда-заде, К.Р. Кулиев, С.З. Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу Проблемы управления и информатики
description	Досліджується задача синтезу оптимального керування об’єктами, що описуються системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь при різних видах зворотного зв’язку за виходом і на різних класах зональних керуючих функцій при неточно заданій інформації про значення параметрів об’єкта. Отримано формули для градієнта цільового функціонала, які дозволяють для чисельного визначення значень параметрів синтезованих керувань використовувати ефективні методи скінченновимірної оптимізації першого порядку. Наведено результати чисельних експериментів на прикладі розв’язання модельних задач.
format	Article
author	Айда-заде, К.Р. Кулиев, С.З.
author_facet	Айда-заде, К.Р. Кулиев, С.З.
author_sort	Айда-заде, К.Р.
title	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
title_short	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
title_full	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
title_fullStr	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
title_full_unstemmed	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
title_sort	синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207883
citation_txt	Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 1. — С. 52-66. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT ajdazadekr sintezzonalʹnyhupravlenijdlânelinejnyhsistemsnelinejnojobratnojsvâzʹûpovyhodu AT kulievsz sintezzonalʹnyhupravlenijdlânelinejnyhsistemsnelinejnojobratnojsvâzʹûpovyhodu AT ajdazadekr sintezzonalʹnihkeruvanʹdlânelíníjnihsistemznelíníjnimzvorotnimzvâzkomzavihodom AT kulievsz sintezzonalʹnihkeruvanʹdlânelíníjnihsistemznelíníjnimzvorotnimzvâzkomzavihodom AT ajdazadekr zonalcontrolsynthesisfornonlinearsystemsundernonlinearoutputfeedback AT kulievsz zonalcontrolsynthesisfornonlinearsystemsundernonlinearoutputfeedback
first_indexed	2025-11-25T23:12:58Z
last_indexed	2025-11-25T23:12:58Z
_version_	1849805912146968576
fulltext	© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, С.З. КУЛИЕВ, 2015 52 ISSN 0572-2691 УДК 519.7 К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев СИНТЕЗ ЗОНАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ  Введение Оперативное управление многими сложными технологическими процессами и техническими средствами воздействия на объекты не может эффективно осуще- ствляться без обратной связи с самим управляемым объектом. Качество управле- ния во многом зависит от самого объекта, определяющего сложность и возмож- ность построения соответствующих адекватных математических моделей, нали- чие возможности получения полной, достоверной и своевременной информации о текущем состоянии объекта. Для линейных объектов сравнительно с небольшими размерностями фазово- го и управляющего векторов разработаны эффективные методы управления с об- ратной связью по состоянию, получившие широкое применение на практике в сис- темах автоматического управления, регулирования и интеллектуальных измери- тельных системах [1–3]. Важная роль в развитии систем управления с обратной связью и их широкого практического внедрения принадлежит современным тех- ническим средствам измерительной и вычислительной техники, позволяющим в режиме реального времени проводить большой объем измерительной и вычис- лительной работы. В настоящее время приходится сталкиваться в основном с трудностями, име- ющими часто принципиальный характер, возникающими при управлении нели- нейными системами, тем более при нелинейных обратных связях [4–7]. В рабо- тах [8–10] предложен подход для синтеза управляющих воздействий по состоянию для нелинейных систем при полном наблюдении непосредственно фазового состоя- ния. Синтезируемые управляющие воздействия имели зональный характер по фазо- вому пространству, а именно, предполагалось, что множество возможных состоя- ний из фазового пространства разбито на непересекающиеся подмножества — зо- ны, в каждой из которых параметры управляющих воздействий постоянны, а для определения их оптимальных значений были получены необходимые условия оп- тимальности, предложены алгоритмы численного решения. В данной работе, про- должая эти исследования, предложенный ранее подход распространен на случай обратной нелинейной связи по выходу. В предположении локальной вполне на- блюдаемости [11, 12] рассматриваемого объекта предложены формулы для ис- пользования методов первого порядка для определения оптимальных значений параметров зональных управлений. Как и в работах [9, 10], рассмотрены различные классы управляющих воздей- ствий, функционально зависящих от текущих наблюдаемых значений выходных параметров объекта, и разные варианты возможности проведения наблюдений, а именно, непрерывного во времени наблюдения и наблюдения в заданные дис- кретные моменты времени за текущими значениями выхода объекта.  Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда Развития Науки при Президенте Азер- байджанской Республики (Грант № EIF/GAM-2-2013-2(8)-25/06/1). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 53 Приводятся численные результаты решения задачи синтеза управления для нелинейных систем при нелинейной обратной связи с выходом объекта. Проведе- но сравнение полученных результатов с ранее имевшимися результатами решения задачи синтеза при наличии обратной связи по состоянию объекта [9]. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу синтеза управления динамикой объекта, фазовое состоя- ние nRtx )( которого определяется векторным нелинейным дифференциальным уравнением ),),(),(()( ptutxftx  ].,( 0 Ttt (1) Здесь ),,( puxf — заданная n-мерная вектор-функция; Utu )( — r-мерный век- тор кусочно-непрерывных управляющих воздействий, областью допустимых зна- чений которых является замкнутое выпуклое множество ;rRU  p — m-мерный вектор постоянных во времени параметров объекта, точные значения которого не известны, но могут принимать значения из некоторого заранее заданного множе- ства P, причем задана функция плотности (веса) принимаемых значений, опреде- ленная на P: ,1)(,,1)(0   P PP dppPpp (2) T — длительность процесса управления. Будем предполагать, что начальное состояние объекта )( 0tx точно не задано, но известно множество 0X возможных начальных состояний с функцией плотно- сти (веса) ),(0 x X  определенной на :0X .1)(,,1)(0 0 00 0   X XX dxxXxx (3) Множества P и/или 0X могут быть дискретными с заданными соответст- вующими значениями вероятности попадания в каждую дискретную точку соот- ветствующего множества. Для каждой заданной конкретной начальной точки 00 Xx  и значений па- раметров Pp качество управления объектом на отрезке времени ],[ 0 Tt оценим с помощью функционала ),),(()),(),((),,;( 0 00 TTxdtptutxfpxTuI T t   (4) который нужно минимизировать. Здесь ),,,(0 puxf )),(( TTx — заданные функции; ),,;()( 0 upxtxtx  — решение уравнения (1) при начальных условиях ,)( 00 0 Xxtx  управлении Utu )( и значениях параметров .Pp Время завершения процесса T может быть как заданной величиной, как в случае функционала (4), так и оптимизируемой, как, например, в задачах быст- родействия. В случае оптимизации T ясно, что оптимальные значения T будут различны для разных начальных состояний 00 Xx  и параметров ,Pp т.е. имеет место зависимость ),,( 0* pxTT  (5) а аргументы функционала (4) в этом случае следует записать так: ).,;,( 0 pxTuI 54 ISSN 0572-2691 Учитывая, что начальное состояние и значения параметров заданы не точно, а определены с точностью функций плотности на соответствующих множествах, качество управления объектом будем оценивать следующим средним значением функционала (4) по всем возможным начальным состояниям 00 Xx  и значени- ям параметров ,Pp что в случае фиксированного времени завершения процесса запишем ),mesmes(/)()(),,;()( 000 0 0 PXdpdxpxpxTuIuJ X P PX    (6) а для оптимизируемого времени завершения процесса функционал будет сле- дующим: ).mesmes(/)()(),;,(),( 000 0 0 PXdpdxpxpxTuITuJ X P PX    (7) Здесь Ames означает какую-либо принятую меру множества A. Пусть nRX  — множество, включающее в себя всевозможные состояния са- мого объекта, динамика которого описывается системой (1), при различных началь- ных состояниях ,00 Xx  значениях параметров Pp и управлениях Utu )( при ].,( 0 Ttt Как правило, для многих процессов множество возможных состояний объектов бывает известным. Управление динамикой процесса (1) осуществляется с учетом наличия об- ратной связи с текущим состоянием выхода объекта ),(ty определяющегося известной нелинейной функцией его состояния :)(tx )),(()( txGty  ,Ry (8) где -мерная вектор-функция наблюдения )(xG непрерывно-дифференцируема по каждой переменной на множестве X, причем, как правило, .n Будем пред- полагать, что процесс (1), (8) локально вполне наблюдаем, т.е. выполнены сле- дующие условия [12, 13]: ,0)0,0( f ,0)0( G .]))0(())0,0((,...,))0(())0,0((,))0(()0,0(,))0([(rank T1T2TT nGfGfGfG x n xxxxxx   Обратная связь (съем информации о состоянии выхода) может осуществлять- ся как непрерывно при ],( 0 Ttt , так и в дискретно заданные моменты времени ],,[ 0 Ttj  .,...,2,1,0 Nj  Значения управляющих воздействий )(tu в процессе управления будут на- значаться следующим образом. Пусть  RY — множество значений наблюдае- мого выходного вектора y из (8) при различных всевозможных допустимых зна- чениях состояния :Xx }.),(:{ XxxGyRyY   (9) Разобъем множество Y на L непересекающихся открытых подмножеств (зон)  RY i так, что , 1 iL i YY    ,ij YY  ,...,,2,1,, Ljiji  (10) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 55 где i Y — замыкание множества .iY Границы между всякими двумя смежными (имеющими общую границу) подмножествами iY и jY определяются известными непрерывными, почти всюду дифференцируемыми функциями ,0)()(  yhyh jiij причем будем считать, что }0)(:{  yhyY ij i или }.0)(:{  yhyY ji i Значения управляющих воздействий )(tu в текущие моменты времени в процес- се управления динамикой объекта (1) будут назначаться в зависимости от того, како- му из подмножеств iY принадлежит наблюдаемое текущее значение выходного век- тора ).(ty При этом предполагается, что для каждого подмножества ,iY ,,...,2,1 Li  заранее определены назначенные оптимальные зональные значения па- раметров управляющих воздействий. Такие управления будем называть зональными. Задачу назначения каждой зоне ,iY ,,...,2,1 Li  оптимальных в смысле функционала (6) или (7) допустимых значений параметров управляющих воздейст- вий таких, что ,)( Utu  назовем задачей синтеза зональных управлений по выходу. Зональные управления определяются характером обратной связи (непрерыв- ной и дискретной), а также выбранной функциональной зависимостью парамет- ров управления от значений наблюдаемого выхода объекта. Рассмотрим четыре варианта задачи синтеза зональных управлений, отличающихся характером на- блюдения и видом зависимости управления от наблюдаемого выходного вектора. Задача 1. Заданы дискретные моменты времени наблюдения ],,[ 0 Ttj  ,1,...,1,0  Nj ,00  в которые возможно проведение замеров значения со- стояния выхода объекта .))(()( YxGy jj  Частота этих наблюдений должна быть такова, что пока состояние объекта принадлежит какой-либо зоне, прово- дится по меньшей мере одно наблюдение. При невыполнении этого условия зо- нам, через которые не проходила траектория )(ty ни из одной начальной точки, а также зонам, при прохождении через которые не проводилось ни одного замера состояния, не будут назначены значения параметров зональных управлений. По- стоянные при ),[ 1 jjt значения управления )(tu определяются в зависимо- сти от последнего замеренного значения вектора наблюдений за текущим выхо- дом объекта, а именно, в зависимости от того, какому подмножеству (зоне) ,iY ,,...,2,1 Li  пространства Y принадлежало последнее измеренное (наблюденное) состояние выхода. Каждому подмножеству iY соответствует свое постоянное значение управления: ),,[,))(()(,const)( 1 jj i jj i tYxGyvtu (11) ,1,...,1,0,,...,2,1,  NjLiRUv ri .TN  В случае, если наблюденное значение выхода )( jy  принадлежит границе каких-либо зон, используется значение зонального управления той смежной зоны, в которую перешла траектория. Задача 1 заключается в нахождении допустимых зональных значений управле- ния ,,...,2,1, Livi  согласно (11), оптимизирующих значение функционала (6). Раз- мерность оптимизируемого конечномерного вектора в этом случае составляет .rL  56 ISSN 0572-2691 Задача 2. Управляющие воздействия определяются линейными функциями от результатов наблюдения параметров состояния выхода объекта в заданные дискретные моменты времени ,,...,1,0],,[ 0 NjTtj  ,))(()(),,[,)()( 121 i jjjj i j i YxGytKyKtu   (12) ],,[ 0 Ttt .1,...,1,0,,...,2,1  NjLi Здесь iK1 — матрица размерности r и iK2 — r-мерный вектор постоянны при ).,[ 1 jjt Задача 2 заключается в определении допустимых зональных значе- ний ,,...,2,1,, 21 LiKK ii  определяющих параметры синтезируемого управляю- щего воздействия, оптимизирующие значение функционала (6). Количество оп- тимизируемых параметров в задаче в этом случае составляет ).1( Lr Задача 3. Проводятся непрерывные замеры вектора наблюдений за выходом объекта, а управляющие воздействия принимают зональные значения: const,)(  iwtu ,))(()( iYtxGty  ],,[ 0 Ttt (13) .,...,2,1, LiRUw ri  В задаче 3 требуется определить допустимые зональные значения управления ,,...,2,1, Liwi  оптимизирующие значение функционала (6). Размерность опти- мизируемого вектора, как и в задаче 1, составляет .rL  Задача 4. Проводятся непрерывные замеры вектора наблюдений за состояни- ем выхода объекта. Управляющие воздействия определяются линейной функцией от измеренных текущих значений состояния выхода: ,))(()(,)()( 21 iii YtxGtyKtyKtu  ],,[ 0 Ttt (14) .1,...,1,0,,...,2,1  NjLi Здесь iK1 — матрица размерности r и iK2 — r-мерный вектор постоянны для каждой зоны .iY В задаче 4 требуется найти допустимые значения ,,...,2,1,, 21 LiKK ii  опти- мизирующие значение функционала (6). Число оптимизируемых параметров, как и в задаче 2, составляет ).1( Lr Таким образом, во всех четырех задачах синтезируемые управления опреде- ляются конечномерными постоянными векторами и матрицами. В постановках сформулированных задач возможно рассмотрение случая, когда время T задано, а также возможно, что время T оптимизируется. Для решения рассматриваемых задач с использованием численных методов, а именно в целях получения формул для компонент градиентов функционалов со- ответствующих задач синтеза, будем предполагать, что вектор-функция ),,( puxf и функция ),,(0 puxf непрерывно-дифференцируемы по первым двум аргумен- там, а функция ),( Tx непрерывно-дифференцируема по x. Для обеспечения па- раметрической устойчивости рассматриваемого процесса (1) будем предполагать, что вектор-функция ),,( puxf непрерывна по параметру .Pp 2. Решение задач 1–4 Рассмотренные выше все четыре постановки задач синтеза зональных управ- лений по выходу приводят к конечномерным задачам оптимизации. Для решения первой и третьей задач в случае простой конструкции множества допустимых Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 57 управлений U (например, параллелепипеда, шара, многогранника и т.п.) эффек- тивно использовать численные методы оптимизации первого порядка: методы проекции градиента или проекции сопряженного градиента. Если же область до- пустимых управлений имеет сложную границу и оператор проектирования на нее не имеет конструктивного влияния, то для решения всех четырех задач можно ис- пользовать методы последовательной безусловной оптимизации (например, мето- ды внутренних и внешних штрафных функций) с применением эффективных ме- тодов безусловной оптимизации первого порядка [14–16]. Для построения итерационных методов на основе вышеназванных методов оптимизации важным является наличие точных формул для компонент градиен- тов целевых функционалов в пространстве оптимизируемых параметров зональ- ных управлений. С этой целью далее приводятся формулы для градиентов функ- ционалов рассматриваемых задач. Вывод этих формул основан на технике вычис- ления приращения целевого функционала, получаемого за счет приращения оптимизируемых параметров [16], а также технике получения необходимых усло- вий оптимальности первого порядка для разрывных систем и систем с перемен- ной структурой [17–20]. Пользуясь этими результатами, можно доказать следую- щие теоремы, в каждой из которых приведены формулы для компонент градиента целевого функционала по оптимизируемым параметрам в задачах 1–4. Теорема 1. Компоненты градиента целевого функционала на классе управле- ний (11) определяются по формулам                      0 0 ),,( 0 0T 00 ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(()( X P upx i i dt u puupxtxf upxt u puupxtxf v uJ ),mesmes(/)()( 00 0 PXdpdxpx PX  где ),,[),,( 1 )),,;((: 0 0    jj YupxxGj i i j upx  ,,...,2,1 Li  функция ),,,;( 0 upxt ],,[ 0 Ttt является решением сопряженной задачи Коши: , )),,,;(( ),,;( 0 0 x TupxTx upxT    . ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(( ),,;( 0 0T 00 0T x puupxtxf upxt x puupxtxf upxt       Теорема 2. Компоненты градиента целевого функционала на классе управле- ний (12) определяются по формулам                   0 0 1 )),,;((: 00 1 ),),,,;(()( X P YupxxGj i i j j j u puupxtxf K uJ         dt u puupxtxf upxt T 0 0T ),),,,;(( ),,;( ),mesmes(/)()()),,;(( 000 0 PXdpdxxpupxxG XPj                    0 0 1 )),,;((: 00 2 ),),,,;(()( X P YupxxGj i i j j j u puupxtxf K uJ 58 ISSN 0572-2691 ),mesmes/()()( ),),,,;(( ),,;( 00 T 0 0T 0 PXdpdxxpdt u puupxtxf upxt XP         где ;,...,2,1 Li  ),,,;( 0 upxt ],,[ 0 Ttt — решение сопряженной задачи Коши: , )),,,;(( ),,;( 0 0 x TupxTx upxT           x puupxtxf upxt x puupxtxf upxt ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(( ),,;( 0 0T 00 0T                        1 1 T 0 0T 001 ),),,,;(( ),,;( ),),,,;((N j j j d u puupxxf upx u puupxxf ).()),,;(( 0 1 jj j tupxxGK  Теорема 3. Компоненты градиента целевого функционала на классе управле- ний (13) определяются по формулам                      0 0 ),,( 0 0T 00 ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(()( X P upx i i dt u puupxtxf upxt u puupxtxf w uJ ),mesmes(/)()( 00 0 PXdpdxxp XP  где },)),,;((:],[{),,( 0 0 0 i i YupxtxGTttupx  };,...,2,1{ Li ),,,;( 0 upxt ],,[ 0 Ttt — решение сопряженной задачи: , )),,,;(( ),,;( 0 0 x TupxTx upxT    , ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(( ),,;( 0 0T 00 0T x puupxtxf upxt x puupxtxf upxt       удовлетворяющее условию скачка на границе раздела зон: , )),,;(())(( ),,;0(),,;0( 0 0T0T ji jijiji jiji x upxtxG G tyh upxtupxt       . ),),,,;(( )),,;(())(( )],),,,;((),),,,;(()[,,;0( 0 0 000T pwupxtxf x upxtxG G tyh pwupxtxfpwupxtxfupxt j ji jijiji i ji j jiji ji       Здесь jit — момент времени, когда значение вектора наблюдений (8) при перехо- де из зоны jY в зону iY попадает на их границу, т.е. ,0))(( jiji tyh }.,...,2,1{, Lji  Теорема 4. Компоненты градиента целевого функционала на классе управле- ний (14) определяются по формулам                       dt u puupxtxf upxt u puupxtxf K uJ X P upx i i T 0 0T ),,( 00 1 ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(()( 0 0 ),mesmes(/)()()),,;(( 000 0 PXdpdxxpdtupxtxG XP  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 59                       0 0 ),,( T 0 0T 00 2 ),),,,;(( ),,;( ),),,,;(()( X P upx i i dt u puupxtxf upxt u puupxtxf K uJ ),mesmes(/)()( 00 0 PXdpdxxp XP  где },)),,;((:],[{),,( 0 0 0 i i YupxtxGTttupx  };,...,2,1{ Li ),,,;( 0 upxt ],,[ 0 Ttt — решение сопряженной задачи Коши: , )),,,;(( ),,;( 0 0 x TupxTx upxT        x puupxtxf upxt ),),,,;(( ),,;( 00 0T            u puupxtxf x puupxtxf upxt ),),,,;((),),,,;(( ),,;( 000 0T , ))((),),,,;(( ),,;( 1 T 0 0T x txG K u puupxtxf upxt i          при ,)),,;(( 0 iYupxtxG  удовлетворяющей условию скачка на границе раздела зон: , )),,;(())(( ),,;0(),,;0( 0 0T0T ji jijiji jiji x upxtxG G tyh upxtupxt        . ),),,,;(( )),,;(())(( )],),,,;((),),,,;(()[,,;0( 0 0 000T pKupxtxf x upxtxG G tyh pKupxtxfpKupxtxfupxt j ji jijiji i ji j jiji ji       Величина jit здесь имеет тот же смысл, что и в теореме 3. Теорема 5. Для классов синтезирующих управлений (11)–(14) в случае, если время завершения процесса ),( 0 PXTT  оптимизируется, то производная функ- ционала (7) по времени определяется формулой             0 ),,;()),(),,,;(( )),,,;((),( 0T00 0 x P upxTpTuupxTxf T TupxTx T TuJ ),mesmes(/)()()),(),,,;(( 000 0 PXdpdxxppTuupxTxf XP       где ),,;( 0 upxt — решение сопряженной задачи, соответствующей случаю рас- сматриваемого класса синтезирующих управлений. Отметим, что для доказательства теорем 3, 4 используется техника получе- ния необходимых условий оптимальности первого порядка для разрывных систем [19, 20], а для доказательства теорем 1 и 2 используется техника получения необходимых условий оптимальности первого порядка на классе кусочно-по- стоянных и кусочно-линейных функций [8, 21]. Для доказательства теоремы 5 60 ISSN 0572-2691 можно использовать, например, схему, примененную в работе [22] для задач с нефиксированной величиной времени завершения процесса управления. На качество системы управления объектом с применением зональных управ- ляющих воздействий существенно влияет структура разбиения всего множества возможных значений выходов Y на зоны .,...,2,1, LiY i  Ясно, что увеличение числа зон за счет их измельчения, с одной стороны, может приводить к уменьше- нию значения функционала, с другой стороны, управляющие воздействия могут чаще во времени изменять свои значения. Следовательно, ухудшается свойство робастности системы управления, а также быстро изнашиваются и выходят из строя исполнительные механизмы. И наоборот, увеличение размеров зон, т.е. уменьшение их числа, с одной стороны, ухудшает свойство управляемости объек- та, при каком-то малом их числе объект может стать вообще неуправляемым. С другой стороны, при этом увеличивается значение целевого функционала, т.е. ухудшается качество управления. Учитывая сказанное, важную роль играет выбор как количества, так и кон- кретно самих зон .,...,2,1, LiY i  Рекомендуется следующий подход к выбору рационального количества зон и определения самих зон .,...,2,1, LiY i  С этой целью выбирается начальное значение L и назначаются какие-либо зоны ,iY ,,...,2,1 Li  удовлетворяющие условиям (10). Решив задачу синтеза управляю- щих воздействий для какой-либо стратегии организации управления, проведем сравнительный анализ полученных значений параметров управляющих воздейст- вий по всем соседним зонам. Если параметры управляющих воздействий в каких- либо смежных зонах отличаются на достаточно малую величину, то эти зоны можно объединить в одну, уменьшив число L. Если же управляющие воздействия в смежных зонах существенно различаются, то следует разбить каждую из этих смежных зон, например, на две зоны, т.е. увеличить число L и снова решить зада- чу синтеза параметров управляющих воздействий. Количество зон следует увели- чивать до тех пор, пока значение целевого функционала не перестанет сущест- венно меняться (уменьшаться). 3. Результаты численных экспериментов Применим полученные формулы к построению рассмотренных вариантов синтезированных управлений на примере регулирования процессом, описывае- мым следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [11]: ),()()(sin)(),()( 21221 tutxptxtxtxtx   ,0t (15) где .]1,1[Uu Размерности рассматриваемых векторов следующие: ,2n ,1r ,1m т.е. ,),( 2 21 Rxxx  RUu  и .RPp  За состоянием выхода объекта )(ty ведется наблюдение, которое задается следующей нелинейной функцией: )()()()())(()( 2121 txtxtxtxtxGty  , .)( Rty  (16) Из (15), (16) видно, что задача удовлетворяет требуемым условиям вполне ло- кальной наблюдаемости в окрестности начала координат фазовой плоскости. Пусть множество P состоит из трех равновероятных значений },1,1;0,1;9,0{P а множество 0X — из 80 равновероятных начальных состояний в точках ,20 Rx j  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 61 ,80,...,2,1j равномерно распределенных на окружности радиуса 2 с центром в начале координат, а функции 1)),(),((0 ptutxf , ,]0)0,0001;),,;(),,;([min()),,,;(( 202 2 02 1 0  upxTxupxTxRTupxTx где R — достаточно большое положительное число. Тогда подлежащий миними- зации целевой функционал (7), усредненный по всем возможным значениям па- раметров Pp и начальным точкам ,00 Xx  для рассматриваемой задачи будет иметь следующий вид:      80 1 00 3 1 .))},,;((),({ 240 1 ),( j ijij i upxTxpxTTuJ (17) Здесь функция ),( 0 pxT определяет время, отпущенное на приведение объекта из точки 00 Xx  в заданную -окрестность начала координат при Pp и Uu );01,0(  )),,;(( 0 upxTx ij — функция штрафа за недостижение -окрестности начала координат траекторией )(tx с начальной точкой 0 jx при управлении Uu и значении параметра Ppi  в момент времени T. За множество всевозможных значений выхода )(ty выбран отрезок ],5,5;5,5[ установленный в результате численных экспериментов по расчету со- стояния системы (15) для различных допустимых значений ,00 Xx  Pp и .Uu Ниже приведем численные результаты решения задачи, когда множество все- возможных значений выхода Y было разбито на 112L зон. Зоны получаются раз- биением множества Y точками },110,...,2,1,0,1,05,5{  iiyi т.е. iY ).1,05,5),1(1,05,5( ii  Для минимизации функционала (17) использовался метод проекции сопряженного градиента [16]. Начальные значения параметров управляющих воздействий во всех зонах были взяты равными нулю. Значение пара- метра штрафа R последовательно увеличивалось от 210 до .106 Значения параметров применяемых численных методов были выбраны следующими: точность по функ- ционалу для одномерной минимизации ,10 5 2  для многомерной минимизации ,10 4 1  для решения задач Коши относительно системы (15) использовался метод Рунге–Кутта четвертого порядка с шагом .01,0h Параметр  в задачах 1 и 2 при проведении численных экспериментов варьировался. Результаты решения всех рас- смотренных выше четырех задач приведены на рис. 1 и в табл. 1. Результаты решения задачи 1. В каждой зоне вектор управления )(tu прини- мает постоянное значение. Таким образом, оптимизируемыми в задаче являются по- стоянные векторы T11221 ),...,,( vvvv  и .),...,,( T 8021 TTTT  Наблюдения за значе- нием функции )(ty проводятся в заранее заданные моменты времени ,1  ii const.,...,2,1 i Полученные при различных значениях параметра  опти- мальные значения времен попадания траекторий в круг радиуса 0,01 приведены во 2-, 4- и 6-й колонках таблицы. На рис. 1, а изображены оптимальные траекто- рии системы. 62 ISSN 0572-2691 60 30 0 330 300 270 240 210 180 150 120 90 0,5 1,5 1 2 60 30 0 330 300 270 240 210 180 150 120 90 0,5 1,5 1 2 а б 60 30 0 330 300 270 240 210 180 150 120 90 0,5 1,5 1 2 60 30 0 330 300 270 240 210 180 150 120 90 0,5 1,5 1 2 в г Рис. 1 Таблица Траек- тория 2,0 1,0 05,0 Задача 1 Задача 2 Задача 1 Задача 2 Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3,7216 3,3399 3,6258 3,5713 3,1455 3,6586 2,9613 3,5049 2 3,3203 3,0611 3,2933 2,4063 2,5792 2,4311 2,5816 2,3882 3 4,0280 3,7056 3,9052 3,8905 3,4514 3,1483 4,0345 3,2096 4 3,2351 3,0212 3,3700 2,2060 2,7949 2,2055 3,7336 2,5004 5 4,0267 3,8063 3,9530 5,0657 3,7840 3,2021 3,7747 3,8650 6 3,5241 3,3441 3,5404 4,4526 3,5213 3,1337 1,9628 2,7058 7 4,0321 3,7388 3,7902 3,8766 3,7303 3,2831 4,1448 4,0203 8 3,5571 3,6075 3,7583 3,3652 3,1528 3,1913 2,7407 3,2216 9 3,9359 3,7110 3,7457 4,1814 4,0711 3,1787 3,8241 3,9291 10 3,5793 3,7714 3,9049 3,5731 3,7446 3,5546 2,7729 3,0781 11 3,8500 3,7449 3,2496 3,6354 3,8409 3,2902 3,3717 4,0174 12 3,7119 4,0782 4,0396 4,5754 3,9239 3,9347 3,0031 3,1396 13 3,2905 3,6568 3,2089 3,4313 4,1666 3,3126 3,5772 3,6060 14 3,7397 3,8587 4,1443 3,3708 3,6260 3,8283 3,3654 3,9831 15 3,2021 3,7047 3,2254 3,4278 3,7880 3,2636 4,3940 3,1700 16 3,8278 3,8512 4,2064 3,9914 4,7604 3,9290 3,9833 3,4947 17 3,1098 3,6900 3,2528 3,5205 3,8754 3,1428 3,3747 3,0709 18 3,8427 3,7902 4,3059 4,2815 4,7423 4,3107 3,3102 3,3226 19 3,0380 3,4679 3,3090 4,1937 3,8168 3,3396 3,5776 3,6889 20 3,9186 3,8800 4,3741 4,3918 4,8579 4,4203 3,5641 3,9639 21 2,9758 3,3349 3,3366 4,1767 3,5077 3,4524 3,8169 3,4777 22 3,9318 3,8364 4,5010 4,2742 4,6233 4,3007 4,0467 3,6493 23 4,2489 3,2254 3,5894 3,6240 3,6804 3,5275 3,5653 3,4924 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 63 Продолжение таблицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 3,9905 3,9920 4,6057 4,0821 4,4865 4,5846 3,6925 3,6441 25 4,6561 3,2426 3,7458 3,2200 3,5131 3,4586 3,3863 3,3560 26 4,0417 3,9693 4,6170 3,9641 4,2039 4,4596 3,9107 3,4924 27 4,6969 3,2577 3,8704 3,2284 3,5228 3,4645 3,7775 4,1214 28 4,2092 4,1587 4,2525 3,6639 4,3552 4,4847 3,6798 3,4296 29 5,3570 3,3418 3,9481 3,1374 3,6951 3,5105 3,3852 3,4868 30 4,3759 4,2599 3,9553 3,5787 4,2657 4,1979 3,7782 3,4934 31 5,4071 3,7795 3,9919 3,4963 3,6740 3,5747 3,5385 3,2494 32 4,5669 4,3392 3,7446 4,8271 4,0678 3,9059 4,0653 3,6676 33 5,4260 3,8325 3,9861 4,4816 3,7737 3,5011 3,7037 2,9182 34 4,7081 4,1565 3,8283 4,2186 4,1590 3,8774 4,1189 3,7906 35 5,3970 3,6283 3,9685 4,5035 3,8243 3,4766 4,1433 3,2390 36 4,8377 4,1301 3,9515 4,8316 3,9296 4,0774 4,3050 3,4382 37 5,3438 3,4243 4,0371 4,2933 3,7396 3,5176 4,1343 3,9497 38 4,2433 4,1167 4,0810 4,0418 3,9083 4,1398 4,1783 4,1400 39 5,3407 3,3992 3,9643 4,3928 3,3284 3,7943 4,2625 3,5433 40 4,1870 4,1911 4,2039 4,1240 3,9840 4,0797 4,7467 4,1169 41 5,3819 4,5196 3,8544 4,4031 3,3899 3,5022 4,2539 3,2863 42 4,1904 4,2625 4,3274 4,5198 4,0166 4,1088 4,5388 3,3625 43 5,4284 5,0281 3,8289 4,3142 3,5643 3,5740 4,3174 3,3268 44 4,2347 4,3010 4,4537 4,4257 4,1804 4,1008 5,1988 3,4275 45 5,4068 5,0854 3,8825 4,4921 3,4173 3,6645 4,1745 3,0530 46 4,3103 4,4038 4,5665 4,5250 4,2761 4,2098 5,7471 3,7844 47 5,4039 5,3731 3,8851 4,8834 3,3446 3,6849 4,1009 3,2373 48 4,3960 4,4746 4,6778 4,8113 4,3220 4,2785 5,3809 3,6791 49 5,2917 5,1844 3,8733 4,4012 3,3991 3,6118 4,0278 3,7512 50 4,4885 4,6220 4,7874 4,6310 4,4287 4,3660 4,2930 3,6346 51 5,3523 5,0346 3,8990 4,2055 3,5070 3,6336 3,8602 3,1758 52 4,5748 4,6853 4,8955 4,5342 4,5281 4,4842 4,7085 3,8772 53 5,3758 5,3730 4,4121 4,5750 3,4640 3,6572 3,9721 3,1964 54 4,6714 4,7934 4,9987 4,9220 4,7317 4,5611 3,7658 4,0113 55 5,2625 5,4426 4,8096 4,3858 4,2734 4,3534 4,1615 4,1951 56 4,7628 4,8687 5,0935 4,8269 4,6687 4,6235 2,5813 3,9529 57 5,0972 5,3942 4,9233 4,5792 4,5029 4,6582 4,6573 4,7321 58 4,8325 4,9629 5,1927 4,8318 4,7524 4,6919 4,0040 4,0677 59 4,8583 5,4430 4,7101 3,5084 4,3725 4,7037 3,7492 4,8881 60 4,9250 5,0376 5,2829 4,7312 4,8349 4,7738 3,9835 4,0146 61 4,7499 5,4239 4,3597 4,5684 4,3639 4,7076 3,7143 3,1274 62 4,9995 5,1183 5,3675 5,2185 4,9354 4,8372 3,1636 4,1632 63 4,3736 5,1284 3,7609 3,5313 3,9507 4,5921 3,9574 4,3189 64 5,0713 5,2106 5,4561 4,9245 5,0172 4,9167 3,1779 4,2355 65 3,8279 4,5983 2,9647 3,6883 3,6827 4,2042 4,0347 2,3172 66 5,1367 5,2744 5,5308 5,1129 5,0983 4,9609 3,3595 4,2217 67 2,9575 4,0892 2,7904 2,3326 3,2994 3,7033 3,9620 2,9097 68 5,2072 5,3357 5,5932 5,1384 5,1189 5,0584 3,9859 4,2429 69 3,2671 3,3777 3,0862 2,9818 2,9435 3,2831 2,4950 3,0497 70 5,2558 5,3951 5,6526 5,4248 5,1322 5,0759 4,0071 4,1745 71 3,6169 3,3514 3,2675 2,9308 3,2394 3,2569 2,3801 2,9986 72 5,2904 5,4342 5,7000 5,2377 5,2081 5,1222 4,1742 4,4179 73 3,9088 3,5989 3,4481 2,9419 3,6341 3,3740 2,5889 3,1850 74 5,3194 5,4518 5,7304 5,2289 5,2478 5,1423 3,9837 4,4765 75 4,1870 3,7344 3,6198 3,7201 3,8299 3,5102 3,1915 3,3149 76 5,3197 5,4218 5,7273 5,5257 5,2087 5,1647 3,9790 4,4165 77 4,4324 4,4464 3,7726 3,9379 4,3868 3,7215 3,3756 3,6894 78 5,2664 5,3951 5,6834 5,1366 5,1455 5,1034 4,1651 4,4697 79 4,6356 4,7490 5,0756 4,1317 4,5780 4,4839 3,9068 3,6505 80 5,0001 5,1321 5,4329 4,6293 4,9257 4,8464 3,5944 3,8793 Функ- ционал 4,4313 4,2801 4,2095 4,1553 4,0568 3,9682 3,7871 3,6187 64 ISSN 0572-2691 Результаты решения задачи 2. В каждой зоне управление )(tu линейно за- висит от значения выхода )(ty в последний замеренный момент времени. Опти- мизируемы в задаче являются постоянные векторы ,),...,,( T112 1 2 1 1 11 KKKK  2K T112 2 2 2 1 2 ),...,,( KKK и .),...,,( T 8021 TTTT  За значением функции )(ty проводи- лись наблюдения в моменты времени const.,...,2,1,1   iii Получен- ные при 1,0 оптимальные значения времен попадания траекторий в круг ра- диуса 0,01 приведены в 3-й и 5-й колонках таблицы. На рис. 1, б изображены оп- тимальные траектории системы. Результаты решения задачи 3. В каждой зоне управление )(tu принимает постоянное значение. Таким образом, в задаче оптимизируются векторы T11221 ),...,,( wwww  и .),...,,( T 8021 TTTT  За значением функции )(ty проводи- лись непрерывные наблюдения. Полученные оптимальные значения времен по- падания траекторий в круг радиуса 0,01 приведены в 8-й колонке таблицы. На рис. 1, в показаны оптимальные траектории системы. Результаты решения задачи 4. В каждой зоне управление )(tu линейно зависит от значения выхода )(ty в текущий момент времени. В задаче оптими- зируются постоянные векторы ,),...,,( T112 1 2 1 1 11 KKKK  T112 2 2 2 1 22 ),...,,( KKKK  и .),...,,( T 8021 TTTT  За значением выхода )(ty проводились непрерывные на- блюдения. Полученные оптимальные значения времен попадания траекторий в круг радиуса 0,01 приведены в 9-й колонке таблицы. На рис. 1, г показаны оп- тимальные траектории системы. Представляет интерес сравнение решений задачи синтеза зональных управ- лений при обратной связи по выходу объекта, рассмотренной выше, и при обрат- ной связи по состоянию, рассмотренной в работе [9]. В обеих задачах объект опи- сывался одной и той же системой (15) при одном и том же целевом функциона- ле (17). Как видно из рис. 1, а–г и рисунков, приведенных в работе [9], оптимальные траектории во всех задачах достаточно одинаковы, но тем не менее практически для всех возможных начальных точек 00 Xx  различаются времена приведения объекта в окрестность начала координат фазовой плоскости. Отличают- ся и значения целевых функционалов, причем для синтезированных зональных управлений по выходу значения функционалов превышают значения функционалов при обратной связи по состоянию для всех вариантов классов управляющих функ- ций примерно на 10–15 %. Нельзя не отметить, конечно, что значения параметров зональных управляющих функций по выходу и состоянию совершенно различны, как и сами выбранные зоны (подмножества) ,iY ,,...,2,1 Li  множества возмож- ных значений выхода Y и зоны (подмножества) ,iX ,,...,2,1 Li  из пространства возможных состояний X. Заключение В настоящей работе получены формулы для градиента целевого функционала в задаче синтеза зонального оптимального управления при обратной связи с вы- ходом объекта, описываемого системой с сосредоточенными параметрами, на различных классах синтезирующих функций при неточно заданной информации о значениях параметров объекта. Полученные формулы позволили применить ко- нечномерные методы оптимизации первого порядка для численного решения рас- сматриваемых задач. Учитывая простоту технической реализации управляющих Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 1 65 воздействий, предложенный подход к решению задачи синтеза оптимального управления может найти широкое применение в автоматизированных и автомати- ческих системах управления и регулирования. Оптимальные значения зональных параметров управляющих воздействий и са- ми значения воздействий зависят от способа организации обратной связи. Отметим, что величина шага дискретизации времен наблюдения существенно влияет на оп- тимальные значения параметров зональных управляющих воздействий и на значе- ния времени приведения системы в заданную окрестность начала координат. Чис- ленные эксперименты показали, как и следовало ожидать, что из рассмотренных классов управляющих воздействий и организации наблюдений наилучшие резуль- таты получаются при непрерывном слежении за состоянием выхода объекта и ли- нейной функциональной зависимости управления от его значения. Выбор рациональной организации наблюдения, вида управления, количества зон и самих зон для каждого конкретного случая должен производиться на осно- вании предложенных выше схем расчетов и анализа полученных результатов чис- ленных экспериментов с учетом характера самого объекта. К.Р. Айда-заде, С.З. Кулієв СИНТЕЗ ЗОНАЛЬНИХ КЕРУВАНЬ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З НЕЛІНІЙНИМ ЗВОРОТНИМ ЗВ’ЯЗКОМ ЗА ВИХОДОМ Досліджується задача синтезу оптимального керування об’єктами, що опису- ються системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь при різних видах зворотного зв’язку за виходом і на різних класах зональних керуючих функцій при неточно заданій інформації про значення параметрів об’єкта. Отримано формули для градієнта цільового функціонала, які дозволяють для чисельного визначення значень параметрів синтезованих керувань використо- вувати ефективні методи скінченновимірної оптимізації першого порядку. На- ведено результати чисельних експериментів на прикладі розв’язання модельних задач. K.R. Aida-zade, S.Z. Guliyev ZONAL CONTROL SYNTHESIS FOR NONLINEAR SYSTEMS UNDER NONLINEAR OUTPUT FEEDBACK A feedback optimal control problem for objects described by the systems of nonline- ar ordinary differential equations with different forms of output feedback and on dif- ferent classes of zonal control actions, under uncertain information on the values of the object’s parameters are investigated. The formulas for the gradient of the target functional, which allow using efficient methods of the first order finite-dimensional optimization for numerical determination of the values of the synthesized controls’ parameters are obtained. The results of numerical experiments carried out on some test problems are given 1. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 3: Синтез регуляторов систем автоматического управления. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 616 с. 2. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть 1: Теория линейных систем авто- матического управления. — М. : Высш. шк., 1986. — 367 с. 3. Antsaklis P.J., Michel A.N. Linear systems. — Boston : Birkhauser, 2005. — 670 p. 66 ISSN 0572-2691 4. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. — М. : Наука, 1988. — 256 с. 5. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть 2: Теория нелинейных и специ- альных систем автоматического управления. — М. : Высш. шк., 1986.— 504 с. 6. Isidori A. Nonlinear control systems // Springer Series in Communications and Control Engineer- ing, 1995. — 549 p. 7. Feedback control of linear and nonlinear systems / Ed. by D. Hinrichsen, A. Isidori // Proceedings of the Joint Workshop on Feedback and Synthesis of Linear and Nonlinear Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. — 2013 — 39. — 287 p. 8. Aida-zade K.R., Guliyev S.Z. A task for nonlinear system control synthesis // Automatic Control and Computer Sciences. — 2005. — 39, N 1. — P. 15–23. 9. Guliyev S.Z. Synthesis of control in nonlinear systems with different types of feedback and strate- gies of control // Journal of Automation and Information Sciences. — 2013. — 45, N 7. — P. 74–86. 10. Aida-zade K.R., Guliyev S.Z. Zonal control of lumped systems on different classes of feedback functions / III International Conference on Optimization Methods and Applications “Optimization and Applications” (OPTIMA-2012), 23–30 September, 2012, Costa da Caparica, Portugal. — P. 153–156. 11. Lee E.B., Markus L. Foundations of optimal control theory. — Malabar : Krieger Pub. Co., 1986. — 576 p. 12. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М. : Наука, 2002.— 303 с. 13. Егоров А.И. Основы теории управления. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 504 с. 14. Nocedal J., Wright S. Numerical optimization // Springer Series in Operations Research and Fi- nancial Engineering. — 2000. — 636 p. 15. Gill Ph.E., Murray W., Wright M.H. Practical optimization. — Emerald Group Publishing Ltd., 1982. — 418 p. 16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 с. 17. Stewart D.E., Anitescu M. Optimal control of systems with discontinuous differential equations // Numerishe Mathematik. — 2010. — 114, N 4. — P. 653–695. 18. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. — М. : Наука, 1967. — 336 с. 19. Aida-zade K.R., Guliyev S.Z. A class of inverse problems for discontinuous systems // Cybernetics and Systems Analysis. — 2008. — 44, N 6. — P. 915–924. 20. Aida-zade K.R., Guliyev S.Z. On numerical solution of one class of inverse problems for discon- tinuous dynamic systems // Journal of Automation and Remote Control. — 2012. — 73, N 5. — P. 786–796. 21. Aida-zade K.R., Handzel A.V. An approach to lumped control synthesis in distributed systems // Applied and Computational Mathematics. — 2007. — 6, N 1. — P. 69–79. 22. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценки и управление. — М. : Мир, 1972. — 544 с. Получено 10.02.2014 После доработки 02.06.2014

Синтез зональных управлений для нелинейных систем с нелинейной обратной связью по выходу

Репозитарії

Схожі ресурси