Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех

Розглянуто проблему оцінки стану системи за наближеними даними, отриманими при непрямих вимірюваннях. Вважається, що рівняння, які зв’язують вектор стану з вектором вимірювань, відомі. Вивчається перевизначений випадок, коли розмірність вектора вимірювань більша, ніж розмірність вектора стану. Голов...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Губарев, В.Ф., Мельничук, С.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы идентификации и адаптивного управления
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207894
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 26-34. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207894
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2078942025-10-16T00:04:25Z Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех Алгоритми гарантованого оцінювання стану лінійних систем за наявності обмежених перешкод Guaranteed state estimation algorithms for linear systems in the presence of bounded noise Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто проблему оцінки стану системи за наближеними даними, отриманими при непрямих вимірюваннях. Вважається, що рівняння, які зв’язують вектор стану з вектором вимірювань, відомі. Вивчається перевизначений випадок, коли розмірність вектора вимірювань більша, ніж розмірність вектора стану. Головна мета — запропонувати різні способи вирішення задачі оцінювання стану та встановити їх можливості та особливості. Для цього використано інтервальний аналіз і процедуру рандомізації. System state estimation problem using approximate data obtained under indirect measurements is considered. Observation equations that link state vector and measurement vector are studied when dimension of measurement vector is larger than dimension of the state vector. The main goal is to propose different techniques of the estimation problem solution and to study their possibilities and peculiarities. Interval analysis and randomization procedure are used for this purpose. 2015 Article Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 26-34. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207894 519.2, 519.61, 519.71 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i3.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто проблему оцінки стану системи за наближеними даними, отриманими при непрямих вимірюваннях. Вважається, що рівняння, які зв’язують вектор стану з вектором вимірювань, відомі. Вивчається перевизначений випадок, коли розмірність вектора вимірювань більша, ніж розмірність вектора стану. Головна мета — запропонувати різні способи вирішення задачі оцінювання стану та встановити їх можливості та особливості. Для цього використано інтервальний аналіз і процедуру рандомізації.
format	Article
author	Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В.
author_facet	Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
title_short	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
title_full	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
title_fullStr	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
title_full_unstemmed	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
title_sort	алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207894
citation_txt	Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 26-34. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gubarevvf algoritmygarantirovannogoocenivaniâsostoâniâlinejnyhsistemprinaličiiograničennyhpomeh AT melʹničuksv algoritmygarantirovannogoocenivaniâsostoâniâlinejnyhsistemprinaličiiograničennyhpomeh AT gubarevvf algoritmigarantovanogoocínûvannâstanulíníjnihsistemzanaâvnostíobmeženihpereškod AT melʹničuksv algoritmigarantovanogoocínûvannâstanulíníjnihsistemzanaâvnostíobmeženihpereškod AT gubarevvf guaranteedstateestimationalgorithmsforlinearsystemsinthepresenceofboundednoise AT melʹničuksv guaranteedstateestimationalgorithmsforlinearsystemsinthepresenceofboundednoise
first_indexed	2025-11-26T20:45:25Z
last_indexed	2025-11-26T20:45:25Z
_version_	1849887231273074688
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, С.В. МЕЛЬНИЧУК, 2015 26 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.2, 519.61, 519.71 В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук АЛГОРИТМЫ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕННЫХ ПОМЕХ  Введение При решении многих обратных задач не всегда можно установить условия или количество исходных данных, необходимых для однозначной их разрешимости. Что- бы уйти от этой проблемы, предлагается ставить и решать такие задачи с избыточным числом исходных данных. Иначе говоря, рассматривать переопределенные системы с информативными или «богатыми» данными, при которых не должно возникать проблем с разрешимостью. Как правило, исходные данные для таких задач берутся из непрямых или косвенных измерений. Если эти данные точные, то считается, что пере- определенная система всегда остается совместной и данные не противоречат ма- тематическому описанию. Когда же данные являются приближенными, т.е. содер- жат погрешность, такие переопределенные системы могут стать несовместными, для которых в строгом математическом смысле решение не существует. Тогда переходом к вариационной постановке задач находят обобщенное или приближенное решение, согласованное с погрешностью исходных данных. На практике наиболее часто исполь- зуют для этого метод наименьших квадратов (МНК). В более сложных случаях обрат- ные задачи часто становятся некорректно поставленными. Тогда используют методы регуляризации, которые по своей сути являются обобщением МНК. С переопределенными системами приходится иметь дело также, когда на иссле- дуемом объекте проводятся непрямые измерения его параметров с избыточным коли- чеством датчиков или данных измерений. Возникает естественный вопрос: нельзя ли использовать переопределенность или избыточность исходных зашумленных данных для повышения точности получаемых приближенных решений таких задач? В данной статье представлены результаты исследований, которые в опреде- ленной мере дают ответ на этот вопрос. Рассматривались линейные системы, для которых исследовались гарантированные оценки получаемых решений с помо- щью интервального анализа и рандомизированных алгоритмов. 1. Постановка задачи Многие линейные обратные задачи, например задачи оценивания состояния и идентификации систем, сводятся в конечном итоге к переопределенной системе линейных уравнений следующего вида: ,bAx  (1) где A — матрица размерности nm ),( nm  а векторы x и b имеют размерность n и m соответственно. При точно заданных A и b система (1) совместна, т.е. ,0 bAx  где 0x — точное решение.  Работа выполнена в рамках Целевой комплексной программы НАН Украины по научным кос- мическим исследованиям на 2012–2016 г. Договор 2-02/14. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 27 В задачах оценивания состояния, т.е. вектора x, матрица A задана точно, а вектор b содержит погрешность, в задачах идентификации приближенно заданы и вектор b, и матрица A [1, 2]. Здесь будет рассмотрен первый случай, когда матрица A задана точно, а век- тор b — приближенно, т.е. ,0  bb (2) где  — погрешность задания правой части (1). Компоненты вектора  — слу- чайные величины, о которых известно, что они ограничены неравенством ,,1 miii  (3) где i ),1( mi  априори известны. Кроме (3), никакие другие вероятностные свойства о случайных реализациях i нам неизвестны. Ставится задача: предложить способы решения переопределенной систе- мы (1) и исследовать с учетом (2), (3) доверительные интервалы, которым при- надлежат точные значения компонент вектора x, проанализировать полученные результаты и дать рекомендации по их практическому применению. 2. Способы решения и построения доверительных интервалов Рассмотрим разные возможные способы решения переопределенной систе- мы (1) с возмущенной правой частью. При этом размер доверительного интервала каждой компоненты вектора x будем рассматривать как основной показатель ка- чества получаемого решения. Поэтому каждый способ решения дополняется про- цедурой оценки доверительного интервала. 1. Модифицированный взвешенный МНК. Предлагаемый способ решения по сути является развитием известного обобщенного или взвешенного МНК. Запишем систему (1) в виде ,,1,, msbxa s s  (4) где sa — s-я вектор-строка матрицы A. Согласно обобщенному МНК за оценку x берется элемент, минимизирующий функцию ,0,),( 2 1 )( 2 1    ss s s m s bxaxJ (5) где s — весовые коэффициенты, подлежащие выбору. Необходимое условие экстремума (5) дает квадратную линейную систему уравнений n-го порядка ),,,,(,,1,][, 21 nij bbbbnjiaAbxA   (6) где , 1 s j s is m s ij aaa    s j s i aa , — i- и j-я компоненты вектор-строки ,sa , 1 s s is m s i bab    T — операция транспонирования. Решение (6) можно записать в виде , detdet 1 11111 s s is m s s s iji n j s m s s s is m s ji m j i bab A aA baA A x             (7) где jiA — алгебраическое дополнение к элементу jia матрицы ,A . det1 s i ji n j s i a A A a    28 ISSN 0572-2691 Каждый элемент s ia является дробно-рациональной функцией ,s причем в числителе и знаменателе стоят однородные функции от .s При неточно задан- ных компонентах вектора b (7) дает приближенную оценку ix̂ ).,1( ni  Для фиксированного набора s ),1( ms  и погрешностей ,i удовлетво- ряющих (2), (3), гарантированные интервалы принадлежности точных значе- ний компонент вектора ix на основе (7) и с учетом (3) будут определяться со- отношениями ],ˆ,ˆ[ iiii xx  , 1 s s is m s i a    .,1 ni  (8) Очевидно, что )( ii ( — вектор с компонентами ).s Получить в явном виде выражение s ia от  достаточно сложно. Поэтому на практике часто берут ,/1 ss  что продиктовано стремлением уравновесить плохие и более точные измерения. Однако, принимая во внимание дробно- рациональную зависимость s ia от  , такой выбор s является все же грубым. Можно, рассматривая i как функцию от  ),( ii поставить задачу мини- мизации i по аргументу  , т.е. находить opt из решения следующей задачи: .,1],1,0[множестве наmin 1 msa ss s is m s   (9) При больших m это довольно сложная задача. Однако ограниченность допус- тимого множества и достаточная гладкость дробно-рациональных функций по- зволяют при современных вычислительных возможностях применять методы многомерной стохастической оптимизации с использованием значений целевой функции в конечном числе точек без использования значений ее производных. Заметим, что решение задачи (9) для каждого i целесообразно находить неза- висимо, т.е. для каждого ix получать свой оптимальный вектор .opt При точном векторе b получим точное значение ix при любом  . А поскольку гарантирован- ный интервал (8) содержит точное значение при любом  , можно для каждого ix брать такое  , при котором этот гарантированный интервал минимален, т.е. яв- ляется решением задачи (9). При этом сохраняется гарантированность всех реше- ний с разными .opt 2. Рандомизированный алгоритм оценивания. Данный алгоритм состоит из последовательности следующих действий. Сначала из (4) формируем множест- во невырожденных квадратных систем уравнений, которых может быть меньше или равно .n mС Множество таких систем запишем в виде ,,,1, n m jj CMMjbxA  (10) причем .0det jA Решение каждой из них может быть представлено как ,,1,,1, det 1 1 niMjbA A x j s j si n s j j i    (11) где j siA — алгебраическое дополнение к элементу матрицы ,jA стоящему в s-й строке и i-м столбце. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 29 Для приближенных ,j sb содержащих погрешность ,s удовлетворяющую условию (3), получим оценку j ix̂ точного значения .ix При этом точное j ix для разных j будет гарантировано принадлежать интервалу ,,1,,1],ˆ,ˆ[ niMjxx j i j i j i j i  (12) где j i определяется из выражения . det 1 1 s j si n s j j i A A    (13) Каждому Mj ,1 будет соответствовать своя оценка j ix̂ и доверительный интервал (12). Этот гарантированный результат получен для самых неблагопри- ятных реализаций  в измерениях. Однако в реальности вероятность такого со- бытия мала и следует ожидать более благоприятных реализаций помехи. Учесть особенности реальной помехи можно с помощью следующей процедуры. Найдем пересечение множеств (12) с одинаковыми i и разными j. Получим .,1],ˆ,ˆ[ 1 nixx j i j i j i j i M j    (14) В результате за счет рандомизированных оценок j ix̂ и процедуры (14) будем иметь для каждой компоненты i вектора x минимально возможные гарантирован- ные множества принадлежности точных значений .ix В качестве оценки ix̂ ,,1 ni  можно взять середину этих доверительных интервалов и указать соответ- ствующую им точность оценивания, аналогичную (3). 3. Комбинированный способ оценивания. Он комбинирует два способа, описанные выше. Задается число ,1m удовлетворяющее неравенству ,1 mmn  и формируются все невырожденные комбинации переопределенных систем ви- да (5) с числом уравнений 1m и ,,1 1Mj  где .1 1 m mСM  Для каждой из полу- ченных таким образом 1M переопределенных систем находим описанным в п. 1 взвешенным МНК решение для opt и строим покомпонентно гарантированные интервалы принадлежности. Далее с помощью рандомизированной процедуры, описанной в п. 2, найдем пересечение доверительных множеств с одинаковыми i и разными j. В результате получим для каждого i наименьший гарантированный ин- тервал принадлежности точного значения .ix В качестве оценки ix̂ берем среднее значение наименьшего доверительного интервала, полученного путем пересечения. В определенных случаях данный способ может быть более предпочтитель- ным по сравнению с первыми двумя. Прежде всего это относится к случаю, когда n mС очень велико и для реализации рандомизированного алгоритма потребуется перебор очень большого числа квадратных систем. Тогда с помощью комбиниро- ванного способа можно существенно уменьшить количество квадратных систем, не снижая существенно точности оценивания. В принципе эту задачу можно усложнить, если добавить возможность варьи- рования величины 1m в пределах .1 mmn  Приближая 1m к ,m приходим к способу 1, а приближая 1m к n, решение должно стремиться к тому, которое по- лучается способом 2. 30 ISSN 0572-2691 3. Вычислительные эксперименты Для исследования свойств и особенностей рассмотренных способов ре- шения системы (1), а также для их сравнительного анализа были проведены вычислительные эксперименты. Находились гарантированные и другие оцен- ки интервалов принадлежности, содержащие точное решение, которые были получены различными способами. Основным показателем качества системы наблюдения (1) является число обусловленности матрицы A. Именно оно су- щественно влияет на оценку x независимо от того, каким способом находи- лось решение. 1. Постановка вычислительных экспериментов. Наиболее всесторонние исследования были проведены для систем с 3n и варьируемым значением m, а также некоторых других параметров. Чтобы иметь возможность контролировать число обусловленности матрицы ),(cond A ее векторы-строки формировались специальным образом. Векторы sa выбирались так, что их концы находились на сфере единичного радиуса. Это соответствовало тому, что в каждом уравнении (4) вектор sa нормировался на единицу путем деления соответствующего уравнения на .sa Для упорядочения по обусловленности концы этих векторов располага- лись на окружности, получаемой при пересечении сферы с плоскостью cx  в декартовой системе координат ),(Oxyz начало которой помещалось в центре сферы. Пересечение было, когда .10  c Тогда 0c и 1c соответствовало вырожденному случаю с числом обуслов- ленности, равным бесконечности. На каж- дом таком контуре выбиралась тройка векто- ров, совпадающих с боковыми ребрами рав- нобедренной треугольной пирамиды. При этом число обусловленности квадратной сис- темы (1) было минимальным, зависящим от величины c. График этой зависимости пока- зан на рис. 1. По оси ординат откладывает- ся число обусловленности )(cond)( ΑΑ  c 3m для указанного выше выбора тройки векторов .sa Минимальное значение 1 достигается при /3,3с что соответствует ортонормированному расположению векторов, т.е. пирамиде с прямыми уг- лами в боковых гранях при ее вершине. Если зафиксировать c и добавить новые векторы, то число обусловленности  с увеличением m будет сохра- няться или слабо изменяться (увеличиваться). Всякое иное добавление векто- ров sa может приводить только к более существенному увеличению  . На- пример, если их расположить равномерно на эллипсе , вписанном в круговой контур или описанном вокруг него, число обусловленности будет равно про- изведению отношения длин его полуосей (большей к меньшей) на число обу- словленности кругового контура. Таким образом, описанная процедура позволяла контролировать и управлять числом обусловленности при варьировании m. После формирования матрицы A с контролируемым числом обусловленности задавались точные значения вектора x и находился соответствующий ему вектор b так, что переопределенная система (1) всегда оставалась совместной. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 010 110 210 310 Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 31 Задавались значения m ,,, 21  и генерировались случайные последо- вательности ,i удовлетворяющие (3). При этом для каждого i выбиралось два распределения их вероятностей на интервалах (3): равномерное и так на- зываемое «boundary visiting» (BV), ко- торые показаны на рис. 2 кривыми 1 и 2 соответственно. Кривая 3 на рис. 2 соответствует распределению с малой дисперсией. В предельном случае BV соответствует бинарной случайной последовательности со значениями i . Выбранные распределения вероятностей больше всего под- ходят для гарантированного оценивания. Следует заметить, что равномерное рас- пределение по отношению к другим было одним из наиболее неблагоприятных. 2. Результаты исследований. Прежде всего представляет интерес, как соот- носятся между собой доверительные интервалы, получаемые описанными спосо- бами. При 1)(cond Α и одинаковой ошибке ,,101,0 mii  на рис. 3 показаны гарантированные интервалы, полученные разными способами для .5m Резуль- таты приведены для одной из компонент вектора x, которые получены методом Монте-Карло для 30 испытаний. Случайные реализации с равномерным распреде- лением дали результат, который показан на рис. 3, а, а с BV — на рис. 3, б. Оптимально взвешенный МНК (ОВМНК) (пунктирная прямая) дал, естест- венно, лучший результат, чем обычный МНК (штрихпунктирная прямая). Как и ожидалось, доверительные интервалы, полученные рандомизированным алгорит- мом (сплошная кривая), имели наилучшую оценку, которая стала зависимой от конкретной реализации погрешности в испытаниях. Те же результаты, но для ,15m представлены на рис. 4. 0 5 10 15 20 25 30 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 1 0 5 10 15 20 25 30 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 1 а б Рис. 3 0 5 10 15 20 25 30 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 1 0 5 10 15 20 25 30 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 1 а б Рис. 4 1 i 1 3 2 Рис. 2 32 ISSN 0572-2691 Видно, что при использовании МНК оценка хоть и незначительно, но ухудша- лась, а ОВМНК и рандомизированный алгоритм показали лучший результат. Особен- но заметное улучшение было при использовании рандомизации для BV-реализаций. Аналогичные результаты получались и для других компонент вектора x. Для сравнительной оценки доверительных интервалов, получаемых разными способами, были проведены вычислительные эксперименты с числом испыта- ний .104 Это позволило для рандомизи- рованного алгоритма получить среднее значение доверительного интервала, т.е. его математическое ожидание. Зависи- мость от m всех доверительных интерва- лов, полученных МНК (штрихпунктирная прямая), ОВМНК (пунктирная кривая) и рандомизированным алгоритмом с ус- реднением (сплошная кривая для равно- мерного и штриховая для ВV), показаны на рис. 5. Результаты приведены для одной из компонент x, а для других они были аналогичными. При любом способе построения доверительных интервалов наиболее сущест- венное влияние на их оценку оказывало значение числа обусловленности систе- мы (1). Методом Монте-Карло с фиксированным 20m и варьируемым )(cond)( ΑΑ  были построены кривые средних значений отношений ii  / в зависимости от  для разных способов решения. Рис. 6, a соответствует ,5m а 6, б — ,20m где штрихпунктирная кривая соответствует МНК, пунктирная — ОВМНК и сплошная — рандомизированному алгоритму. Как следует из рис. 6, ошибка оценивания растет при увеличении  практи- чески с одинаковой скоростью для всех рассмотренных способов. При разных m такое поведение сохраняется. При этом, как и в предыдущих случаях, рандомизи- рованный алгоритм остается наиболее эффективным способом оценивания. Исследовалось также влияние разных значений ограничений ),1( mii  на ширину доверительных интервалов. В случае МНК равномерному распределению i между max и min соответствовало равномерное распределение i между max (получаемому при mii ,1,max  ) и min (получаемому при ,mini ).,1 mi  Для ОВМНК и рандомизированного алгоритма равномерное распреде- ление i трансформировалось в монотонно убывающее распределение i между min и max , сильно тяготеющее к .min         E 1 3,16 10 10 0 10 1 10 2 31,6 100         E 1 3,16 10 10 0 10 1 10 2 31,6 100 а б Рис. 6 3 5 12 24 m 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 1 Рис. 5 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 33 Методом численного моделирования исследовался также комбинирован- ный способ решения системы (1). Было показано, что доверительные интерва- лы, полученные комбинированным способом, описанным в разд. 2, п. 3 и ран- домизированным алгоритмом, описанным в разд. 2, п. 2, практически совпали. Однако если в рандомизированном алгоритме просто отбросить квадратные системы, имеющие наихудшую обусловленность, так чтобы систем осталось ровно столько, сколько их было в способе, описанням в разд. 2, п. 3, то гаран- тированные оценки в этом случае несколько ухудшаются. Таким образом, дан- ный способ дает хорошую оценку при меньшем переборе квадратных систем, что может оказаться важным при практической реализации этого способа для решения задач в реальном времени. Заключение В настоящей работе показано, что основным показателем качества измери- тельной системы с непрямыми наблюдениями, является обусловленность системы уравнений, описывающих ее. Если число обусловленности очень большое или равно  (ненаблюдаемая система), то наблюдение осуществляется неэффективно или вообще не дает результата. Если же  близко к единице, имеем высокоэф- фективную измерительную систему. Таким образом, целесообразно проверять по числу обусловленности эффективность измерительной системы. При плохой обу- словленности рекомендуется, манипулируя параметрами датчиков или конфигу- рацией измерений, попытаться сделать его как можно ближе к единице. После окончательного выбора матрицы A и ее размерности рекомендуется из всех рас- смотренных способов оценивания использовать рандомизированный алгоритм, который, как показали исследования, проведенные численным моделированием, дал наилучший результат по всем характеристикам. Отметим при этом, что оценка доверительного интервала, получаемая рандо- мизированным алгоритмом, никогда не превышала значения доверительного ин- тервала, получаемого ОВМНК. Кроме того, хотя в рандомизированном алгоритме учитывались случайные реализации ,i нигде не использовались априорные зна- чения их вероятностных характеристик. Они могли быть произвольными, бело- шумовыми с нулевым или смещенным средним, одинаково или неодинаково рас- пределенными для разных i. Безусловно, рандомизированный алгоритм в определенных случаях потребу- ет большего объема вычислений, но благодаря распараллеливанию и использова- нию проблемно-ориентированных процессоров с современной элементной базой ПЛИС (программируемая логическая интегральная схема) можно обеспечить его реализацию в реальном времени. Для этого, например, может использоваться сле- дующий алгоритм. Предварительно из (1) или (4) формируются M квадратных сис- тем (10). При этом если M достаточно большое, то можно отбросить не только вырожденные системы, но и плохо обусловленные. Для каждой оставшейся квад- ратной системы вычисляются векторы ;,1,,1, det ,, det , det 21 niMj A A A A A A a j j ni j j i j j ij i            интервальные оценки j i ,,1,,1 niMj  определяемые (13), которые заносятся в память вычислителя. Из компонент вектора измерений b формируются M векторов ,jb которые за- тем независимо используются в параллельных вычислениях. Векторы j ia сорти- 34 ISSN 0572-2691 руются по одинаковым i, что дает еще одно распараллеливание вычислительного процесса. Таким образом, компоненты вектора j ix ,,1,,1 niMj  вычисляются параллельно как скалярное произведение двух векторов ,,  jj i j i bax где j ia вычислен заранее, а jb определяется из текущих измерений. После этого для каж- дого i независимо находятся )(max j i j i j x  и ).(min j i j i j x  Текущая оценка ix̂ определяется соотношением )),(min)(max( 2 1 ˆ j i j i j j i j i j i xxx  т.е. выбирается в центре полученного гарантированного интервала. В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук АЛГОРИТМИ ГАРАНТОВАНОГО ОЦІНЮВАННЯ СТАНУ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ЗА НАЯВНОСТІ ОБМЕЖЕНИХ ЗАВАД Розглянуто проблему оцінки стану системи за наближеними даними, отрима- ними при непрямих вимірюваннях. Вважається, що рівняння, які зв’язують век- тор стану з вектором вимірювань, відомі. Вивчається перевизначений випадок, коли розмірність вектора вимірювань більша, ніж розмірність вектора стану. Головна мета — запропонувати різні способи вирішення задачі оцінювання стану та встановити їх можливості та особливості. Для цього використано ін- тервальний аналіз і процедуру рандомізації. V.F. Gubarev, S.V. Melnychuk GUARANTEED STATE ESTIMATION ALGORITHMS FOR LINEAR SYSTEMS IN THE PRESENCE OF BOUNDED NOISE System state estimation problem using approximate data obtained under indirect measurements is considered. Observation equations that link state vector and meas- urement vector are studied when dimension of measurement vector is larger than di- mension of the state vector. The main goal is to propose different techniques of the estimation problem solution and to study their possibilities and peculiarities. Interval analysis and randomization procedure are used for this purpose. 1. Губарев В.Ф. Математические проблемы в задачах интерпретации измерений // Праці між- народної конференції «50 років Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН Украї- ни». — Київ : Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. — 2008. — С. 136–143 2. Mzyk G. Combined parametric — nonparametric identification of Block–Oriented Systems. — New-York; Dordrecht; London : Springer Cham Heidelberg, 2014. — 454 p. Получено 14.11.2014

Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных систем при наличии ограниченных помех

Institution

Ähnliche Einträge