О механизме явления рецессии

Доведено теореми, що описують структуру станів економічної рівноваги в моделі економіки обміну. Вивчено структуру векторів власності за заданої структури векторів попиту, за якої заданий ціновий вектор є рівноважним. На цій основі описано загальну структуру станів рівноваги та дано характеристику ст...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы управления и информатики
Дата:	2015
Автори:	Гончар, Н.С., Жохин, А.С., Козырский, В.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Теми:	Экономические и управленческие системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207902
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О механизме явления рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин, В.Г. Козырский // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 113-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860105756545646592
author	Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Козырский, В.Г.
author_facet	Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Козырский, В.Г.
citation_txt	О механизме явления рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин, В.Г. Козырский // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 113-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Доведено теореми, що описують структуру станів економічної рівноваги в моделі економіки обміну. Вивчено структуру векторів власності за заданої структури векторів попиту, за якої заданий ціновий вектор є рівноважним. На цій основі описано загальну структуру станів рівноваги та дано характеристику стану рівноваги, що описує стан рецесії. Наведено застосування розробленої теорії до дослідження стану української економіки. The theorems proved describe the structure of economy equilibrium in the exchange economy model. The structure of property vectors is investigated under given structure of demand vectors at which given price vector is equilibrium one. On this basis, we describe the general structure of the state of equilibrium and give characteristic of equilibrium state describing recession phenomenon. The developed theory is applied to investigate the state of Ukrainian economy.
first_indexed	2025-12-07T17:31:21Z
format	Article
fulltext	© Н.С. ГОНЧАР, А.С. ЖОХИН, В.Г. КОЗЫРСКИЙ, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 113 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 519.86 Н.С. Гончар, А.С. Жохин, В.Г. Козырский О МЕХАНИЗМЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЦЕССИИ * Введение А. Бернс и В. Митчел [1] определили рецессию как период, когда широкий спектр экономических индикаторов падает в течение некоторого периода, например полугода. Первую феноменологическую модель, в которой существуют циклические колебания национального продукта, предложил П.А. Самуэльсон [2]. Теория реаль- ных бизнес-циклов (РБЦ) — класс макроэкономических моделей, в которых флуктуа- ции бизнес-циклов в значительной степени могут быть вызваны реальными техноло- гическими шоками. В отличие от основных теорий бизнес-циклов теория РБЦ понима- ет рецессию и периоды экономического роста как эффективный отклик на внешние изменения в реальном экономическом окружении. Приведем высказывание Саммер- са [3] относительно моделей реальных бизнес-циклов: «С моей точки зрения модель реальных бизнес-циклов, разработанная Кидлендом и Прескотом [4], не объясняет яв- ления цикличности развития экономики, наблюдавшиеся в США и других капитали- стических экономиках мира». Как указано в [3], причиной этого является следующее : 1) Ф. Кидленд и Е. Прескот используют неправильные параметры (одну треть времени домашние хозяйства посвящали деловой активности, а не одну шестую; исторические реальные ставки процента были 4 %, а не 1 %); 2) отсутствие независимого доказательства того, что технологические шоки вызывают флуктуацию бизнес-циклов, и в значительной степени невозможность указать технологические причины наблюдаемых рецессий. 3) в модели Кидленда и Прескота не учитываются цены на товары и предска- зание стоимости активов; 4) модель Кидленда и Прескота игнорирует разрушение механизма обмена (невозможность заводов и фабрик торговать своими товарами в обмен на рабо- чую силу); РБЦ-теория является главной причиной противоречий между макро- экономистами [3]: она категорически отбрасывает кейнсианскую экономику и ре- альную эффективность экономики монетаризма. Во все времена явление рецессии сопровождалось разрушением меха- низма обмена. Впервые такая гипотеза была сформулирована в работе [3]: «Кажется ясным, что центральным аспектом депрессии и, вероятно, более общо, экономических флуктуа- ций, является слом механизма обмена. Прочитайте любой живой счет во время вели- кой депрессии в США. Фирмы производили товары и желали их продавать. Работники готовы были продавать рабочую силу в обмен на товары. Но обмена не происходило». Как математически объяснить разрушение механизма обмена? Для этого используем математическую модель экономического равновесия, предложенную и исследованную в [5, 6] и более подробно в [7], где впервые сделано предположение о математическом * Работа частично поддерживалась программой фундаментальных исследований Отделения физики и астрономии НАН Украины. 114 ISSN 0572-2691 механизме явления рецессии. В первом разделе настоящей работы выясним математи- ческий механизм разрушения процесса обмена, докажем теоремы, подтверждающие гипотезы, высказанные в [7]. Во второй части строим математическую модель экономического равновесия, адекватно описывающую экономическое равновесие экономики государства. В третьей части применим ее к выявлению рецессии для экономики Украины. О качестве состояний равновесия Рассматривается модель обмена, в которой имеется l потребителей. Каждый i -й потребитель владеет некоторым ненулевым набором товаров ,}{ 1 n kkii bb  .,1,0 nkbki  Всех различных товаров в экономической системе n типов. Если какая-то компонента j вектора ib равна нулю, то i -й потребитель не обладает j -м типом товаров. Если i -й потребитель — физическое лицо, то он обладает та- ким ресурсом, как рабочая сила. Среди потребителей имеются фирмы, предлагающие набор товаров, которые они производят и перепродают. Для функционирования экономической системы необходим обмен товарами между потребителями: фирмам — чтобы приобрести ресурсы у физических лиц для производства товаров, физическим лицам — чтобы приобрести товары для удовлетворения своих нужд. Будем полагать, что i -й потребитель, владея набором товаров ,ib желает произ- вести обмен на некий набор товаров, пропорциональный вектору .}{ 1 n kkii CC  Та- кая модель обмена исследовалась в [5–7], где даны необходимые и достаточные условия существования равновесия и построены алгоритмы их нахождения. В данной работе исследование этой модели продолжено для объяснения и де- тектирования явления рецессии. Полагаем, что совокупное предложение в рас- сматриваемой модели ,,1,0,}{ 1 1 nkb l i kik n kk     первая компонента каж- дого вектора ib является предложением денег, а первая компонента вектора iC — спросом на деньги. Определение 1. Будем говорить, что в модели обмена экономическая система находится в состоянии экономического равновесия [5, 6], если существует нену- левой неотрицательный вектор 0p такой, что справедливы неравенства ,,1, , , 0 0 1 nk pC pb C k i i l i ki      (1) где ,, 0 1 0 s n s sii pbpb    ., 0 1 0 s n s sii pCpC    Постановка задачи Пусть совокупность неотрицательных векторов ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  удовле- творяет следующим условиям: существует непустое подмножество I множества }...,2,1{ nN  такое, что ,0 Ik kiC .,1 li  Задача состоит в описании совокупности неотрицательных векторов ,ib ,,1 li  для которых неотрицательный вектор n iipp 1 0 0 }{  является решением системы уравнений , , , 0 0 1 k i i l i ki pC pb C      ,,1 nk  (2) если компоненты ,0 ip ,Ii вектора n iipp 1 0 0 }{  строго положительны, осталь- ные компоненты ,\,00 JINipi  а совокупность неотрицательных векторов ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  удовлетворяет вышеприведенным условиям. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 115 Теорема 1. Пусть совокупность неотрицательных векторов ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  удовлетворяет условиям: ,0 Ik kiC ,,1 li  где I — непустое подмно- жество ,N а вектор    l i ib 1 = ,}{ 1 n kk  ,0k ,Ik принадлежит положи- тельному конусу, образованному векторами ,}{ 1 n kkii CC  .,1 li  Необходимым и достаточным условием того, что вектор ,}{ 1 0 0 n iipp  ,00 ip ,Ii ,00 ip INJi \ — решение системы уравнений (2), является представление для множества векторов ,ib ,,1 li  , , , 0 0 0 0 0 i I Is s s s Is i s i ii de p p ea p pC yb                    ,,1 li  (3) где вектор ,}{ 1 l iiyy  ,0iy — решение системы уравнений , 1   i l i i yC (4) ,}{ 1 n jijie  ij — символ Кронеккера, ,   Ii iI ee ,1  l Ii i sa ,Is а совокуп- ность векторов ,}{ 1 00 n kkii dd  ,,1 li  удовлетворяет условиям ,00 kid ,Ik ,,1 li     l i id 1 0 .0 Доказательство. Необходимость. Пусть 0p — решение системы уравне- ний (2), удовлетворяющее условиям теоремы 1. Положим , , , 0 0    pC pb y i i i .,1 li  (5) Вектор ,}{ 1 l iiyy  ,0iy удовлетворяет системе уравнений (4). Введем обо- значение , , , 0 0     p pC ybd i iii .,1 li  (6) Тогда ,0, 0  pdi ,,1 li     l i id 1 .0 (7) Совокупность векторов (6), удовлетворяющих условиям (7), можно представить в виде суммы двух векторов ,01 ii dd  где вектор n kkii dd 1 11 }{  таков, что ,01 kid ,Jk а компоненты вектора 0 1 00 }{  kkii dd удовлетворяют условиям ,00 kid ,Ik .,1 li  Из этого представления вытекает, что для совокупности векторов 1 id должны выполняться условия ,0, 0 1  pdi ,,1 li  ,0 1 1   l i id (8) а для совокупности векторов 0 id — условие ,0 1 0   l i id (9) 116 ISSN 0572-2691 поскольку условия ,0, 0 0  pdi ,,1 li  выполняются. Опишем все векторы, удовлетворяющие условиям (8). Рассмотрим совокупность векторов , 0 0 I Is s s ss e p p eg    .Is (10) Векторы ,sg ,Is удовлетворяют условиям ,0, 0  pgs ,Is .0 Is sg (11) Нетрудно показать, что совокупность векторов ,sg ,Is имеет ранг ,1\|\| I где \|\| I — число элементов во множестве .I Поэтому для всякого вектора 1 id спра- ведливо единственное представление . 1\|\| 1 1 j j j s I s i si ghd     (12) Из условия (8) имеем .0 1\|\| 1 11 1 j j j s I s l i i s l i i ghd       (13) И вследствие линейной независимости векторов , 1sg , 2sg … 1\|\| Isg получаем ,0 1   l i i s j h .1\|\|,1  Is j Поскольку ,0 Is s j j g то, добавив к (12) вектор ,0 1  Is s j j g l получим . 1 ) 1 ( \|\| 1\|\| 1 1 s Is i sss I s i si gag l g l hd Ij j j      Тогда .1 1   l i i sa Тем самым представление для вектора 1 id доказано. Очевидно, что .0 1 1   l i id Необходимость доказана. Достаточность. Пусть справедливо представление (3). Тогда .,, 00  pCypb iii Из условий теоремы ,0, 0  pCi поэтому . , , 0 0    pC pb y i i i Подставив iy в (4), получим нужное утверждение. Теорема доказана. Определение 2. При заданном равновесном ценовом векторе 0p распределе- ние собственности ,ib ,,1 li  в обществе эквивалентно распределению собствен- ности ,ib ,,1 li  если существует совокупность векторов ,id ,,1 li  удовлетво- ряющих условиям ,0, 0  pdi ,,1 li     l i id 1 ,0 а для векторов ,ib ,,1 li  справедливо представление ,iii dbb  .,1 li  Заметим, что в состоянии равновесия эквивалентные распределения собст- венности имеют одну и ту же стоимость, поэтому справедлива теорема 2. Теорема 2. Пусть вектор 0p является равновесным ценовым вектором, удовле- творяющим системе уравнений (2), тогда он является равновесным ценовым вектором для эквивалентного распределения собственности ,ib ,,1 li  удовлетворяющим той же системе уравнений (2) только с векторами собственности ,ib .,1 li  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 117 Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1, а 0p — решение систе- мы уравнений (2), которое имеет положительные компоненты с индексами, при- надлежащими множеству .I Тогда существует совокупность векторов ,0 id ,,1 li  таких, что ,0, 0 0  pdi ,,1 li     l i id 1 0 ,0 а эквивалентное распределе- ние собственности ,0 iii dbb  ,,1 li  является таким, что ранг системы векто- ров ,iii Cyb  ,,1 li  не превосходит .\|\| I Система уравнений , , , 10 0 1      l i ki i i l i ki b pC pb C ,,1 nk  имеет ветвление решения ,0p кратность вырождения которого не меньше \|,\| In где ,}{ 1 n kkii bb  .,1 li  Стоимость товаров, индексы которых попали во множество ,J может быть произвольной. Доказательство. Построим совокупность векторов ,0 id ,,1 li  заявленную в теореме 3. Введем вектор ,}{ 1 0 0 n kk  где ,00 k ,Ik ,0 kk  ,Jk и семейство векторов ,}{ 1 00 n kkii CC  ,00 kiC ,Ik ,0 kiki CC  ,Jk .,1 li  Положим , , , 0 0 0 00 ii i ii Cy p pC yd     .,1 li  Очевидно, что ,0, 0 0  pd i ,,1 li  .0 1 0    l i id Кроме того, ,}{ 1 00 n kkii dd  ,0 0 kid .Ik  На основании теоремы 1 для векторов ,ib ,,1 li  справедливо пред- ставление (3). Построенная нами совокупность векторов ,0 id ,,1 li  является такой, как в теореме 1. Поэтому введем в рассмотрение вектор ,00 iiii ddbb  где вектор 0 id входит в представление для вектора .ib Тогда, учитывая представление (3), получим .,1, , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 liCy p pC ye p p ea p pC yb ii i iI Is s s s Is i s i ii                         Очевидно, что ,0}{ 1   n kkii bb .,1 li  Это вытекает из того, что векторы ,00 ii dd  ,,1 li  имеют нулевые компоненты на множестве индексов .I Поэтому ,0 kiki bb .Ik  Если же ,Jk то .kiiki Cyb  Действительно, поскольку ,0 kk  ,0 kiki CC  ,Jk ,,1 li  то компоненты векторов ,0 0               I Is s s s Is i s e p p ea    0 0 , , p pC y i i 0 0 0 , ,     p pC y i i равны нулю на множестве индексов .J Поэтому для вектора цен n kkpp 1}{  такого, что ,0 kk pp  ,Ik а компоненты ,kp ,Jk являются произвольными неотрицательными числами, будем иметь 118 ISSN 0572-2691    kki Jk iik Jk kik Ik kii pCypbpbpbpb 0 0 ,, k Jk kiiii pCypCy    0, ,, 0             pCypCpCy iik Jk kik Ik kii поэтому . , ,    pC pb y i i i Далее, поскольку ,0 1 0   l i id ,0 1 0   l i id то . 11    l i i l i i bb Отсюда получаем, что вектор p является решением системы уравнений , , , 11      l i ki i i l i ki b pC pb C .,1 nk  Из равенств ,0,  pCyb iii ,,1 li  следует, что число линейно независимых решений последней системы уравнений не меньше \|,\| In  это означает, что кратность вырождения состояния равновесия не меньше .\|\| In  Теорема 3 доказана. Доказанная теорема подтверждает предположение, сделанное в [7], что в со- стоянии равновесия явление рецессии сопровождается вырождением состояния равновесия. Из теоремы 3 следует, что в точке равновесия 0p происходит ветвле- ние решений, т. е. существует \|\| Inr  параметрическое семейство решений, яв- ляющееся семейством равновесных состояний. В этом случае для характеристики таких равновесных состояний введем понятие реальной стоимости единицы нацио- нальной валюты. В рассматриваемой модели считаем, что первая компонента 0 1p равновесного ценового вектора 0p в экономической системе — это номинальная стоимость такого специфического товара, как деньги, которую принимаем равной единице, поскольку равновесный ценовой вектор определяется с точностью до по- ложительного множителя, а первая компонента 1 вектора предложения  — предложение денег в экономической системе. Определим реальную стоимость де- нег для равновесного ценового вектора ,0p положив . 1 2 0 1 0      n i iip p Если кратность вырождения состояния равновесия 0p равна ,1r то реальная стои- мость денег определяется однозначно. В этом случае деньги будут служить как средством обмена, так и средством, сохраняющим стоимость. При 1r заданному распределению благ в экономической системе отвечает семейство равновесных со- стояний. В этом случае деньги будут иметь размытую стоимость, поскольку последняя формула будет давать целое семейство значений. Если колебание реальной стоимости денег незначительное при заданном значении ,r то и в этом случае деньги будут выполнять как функцию обмена, так и приблизительно функцию стоимости. В проти- воположной ситуации, т. е. когда критичность станет такой, что деньги частично поте- ряют свою функцию стоимости в экономической системе, произойдет девальвация на- циональной валюты и, как мы видим, причиной этого является несоответствие струк- туры предложения в экономической системе структуре спроса. В такой экономической системе необходимы реформы структуры распределения благ, т. е. структурная перестройка экономики. Ниже приводим теорему, доказанную в [7], необходимую для изучения структуры общего равновесия. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 119 Теорема 4. Пусть выполняются условия ,0 1   n k kiC ,,1 li  ,0 1   l i kiC .,1 ni  Необходимым и достаточным условием существования равновесия в мо- дели обмена являются следующие условия: существуют ненулевой неотрицательный вектор l iiyy 1}{  и ненулевой неотрицательный вектор n kk 1}{  такие, что , 1 i l i iCy   (14) а для векторов ib справедливо представление ,iii dbb  , , , 0 0     p pC yb i ii ,,1 li  ,0 1   l i id ,0,0  idp ,,1 li  (15) где 0p — ненулевой неотрицательный вектор, удовлетворяющий условиям: ,,, 00  pp  0, pCi ,0 ,,1 li  . (16) Рассмотрим теперь вопрос существования равновесия в самой общей форме. Теорема 5. Пусть справедливы условия теоремы 4, а n iipp 1 0 0 }{  — равно- весный ценовой вектор такой, что ,, , , 0 0 1 Ik pC pb C k i i l i ki      (17) ., , , 0 0 1 Jk pC pb C k i i l i ki      (18) Тогда ,00 ip ,Ji где ,JIN  , JI  — пустое множество, а I — непустое подмножество .N Доказательство этой теоремы дано в [5, 6]. В следующей теореме будет изучена структура общего равновесия и постро- ен вектор , фигурирующий в теореме 4. Теорема 6. Пусть справедливы условия теоремы 4, а n iipp 1 0 0 }{  — равно- весный ценовой вектор, удовлетворяющий условиям теоремы 5. Тогда существует эквивалентное распределение собственности ,ib ,,1 li  такое, что ,0 iii dbb  ,0, 0 0  pdi    l i id 1 0 ,0 ,,1 li  и для которого вектор 0p является равновес- ным ценовым вектором, ,,1, , , 0 0 1 nk pC pb C k i i l i ki      (19) где , 1    l i ib ,}{ 1 n kk  ,}{ 1 n kkii bb  ,,1 li  а вектор  удовлетворяет ус- ловиям теоремы 4. Доказательство. Если n iipp 1 0 0 }{  — равновесный ценовой вектор, удовле- творяющий условиям теоремы 5, то ,00 ip .Ji Положим , , , 0    pC pb y i i i ,,1 li  и введем совокупность векторов ,}{ 1 n kkii bb  ,,1 li  положив ,kiki bb  ,Ik ,kiiki Cyb  ,Jk .,1 li  Тогда если положить , 1    l i ib то вектор 120 ISSN 0572-2691 n iipp 1 0 0 }{  является решением системы уравнений (19). Обозначив ,0 iii bbd  получим, что ,0, 0 0  pdi ,,1 li     l i id 1 0 ,0 а вектор 0p является решением и системы уравнений .,1, , , 0 0 1 nk pC pb C k i i l i ki      (20) Кроме того, , .,, 00  pp Теорема доказана. Смысл этой теоремы в том, что в состоянии равновесия существует такое эквива- лентное распределение собственности, при котором для тех товаров, индексы которых попали во множество ,J спрос такой же, как и предложение, т.е. компоненты векторов ib и iiCy для индексов, попавших во множество ,J совпадают. Из этого вытекает, что стоимость таких товаров не определяется из условия равновесия. И, как указыва- лось выше, в этом случае деньги частично перестают выполнять функцию обмена и стоимости. Кратность вырождения состояния равновесия в этом случае не меньше .\|\| J И если это состояние значительно дестабилизирует экономику, то неминуемо происходит девальвация национальной валюты и все с этим связанные проблемы: уве- личение безработицы, обесценивание вкладов. Из качества этого состояния равновесия следует, что дополнительное увеличение предложения денег даже по довольно низкой процентной ставке без изменения структуры инвестирования не приведет к экономи- ческому росту. Нужно кардинальное изменение структуры экономики и инвестирова- ние в новые прогрессивные сектора экономики, создание новых рабочих мест в этих секторах. Итак, состояние рецессии — это такое состояние равновесия, при котором значительная часть производимых товаров не находит сбыта, что, в свою очередь, ве- дет к спаду многих индикаторов состояния экономики. Качество этого равновесия та- ково, что имеет место разрушение механизма обмена. В двух последующих теоремах даны достаточные условия существования равновесия, при котором спрос равен предложению. Теорема 7. Пусть для матрицы ,\|\| , 1,1 ln ikkibB   столбцами которой являются векторы ,}{ 1 n kkii bb  ,,1 li  справедливо представление ,1CBB  где матрица l ikkibB 1, 1 1 \|\|  неотрицательна и неразложима, а матрица ln ikkiCC , 1,1 \|\|   со- ставлена из столбцов ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  и такова, что ,0 1   n k kiC .,1 li  Тогда существует строго положительное решение задачи , 1 1 ssk l k ks dydb   ,,1 ls  (21) относительно вектора ,}{ 1 l kkdd  где . 1 1    l s ksk by Если вектор d принадлежит внутренности конуса, образованного векторами ,}{ 1 l kik T i CC  ,,1 ni  то суще- ствует решение задачи (2), являющееся решением задачи , 1 ik l k ki dpC   .,1 li  (22) Доказательство. Сопряженная задача к задаче (21) , 1 1 kks l s ks ryrb   ,,1 lk  (23) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 121 имеет решение .}1...,,1{ lRr  Вследствие неотрицательности и неразложимо- сти матрицы 1B задача , 1 1 ks l s k ks rr y b   ,,1 lk  (24) имеет единственное с точностью до постоянного множителя решение. Поэтому существует строго положительное решение сопряженной задачи , 1 1 sk l k k ks dd y b   ,,1 ls  на основании теоремы Перрона–Фробениуса. Положим . 1 l kk k y d d           Тогда вектор d является строго положительным решением (21). Вследствие предпо- ложений теоремы существует строго положительное решение n iipp 1 0 0 }{  за- дачи (22). Подставив вектор d в (21) и, учитывая (22), получим, что вектор n iipp 1 0 0 }{  является решением задачи ,0)( 0 1   iiss n i is pCyb .,1 ls  Последнее означает, что вектор n iipp 1 0 0 }{  является строго положительным решением системы уравнений (2). Теорема 8. Пусть матрица ln ikkiCC , 1,1 \|\|   состоит из столбцов ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  и такова, что ,0 1   n k kiC ,,1 li  а для матрицы ,\|\| , 1,1 ln ikkibB   столбцами которой являются векторы ,}{ 1 n kkii bb  ,,1 li  справедливо представление ,1CBB  где матрица l ikkibB 1, 1 1 \|\|  такова, что ,0 1 1    l s ksk by ,0 1 1    l k kjj by .,1, lkj  Если вектор l jjyy 1}{  является решением задачи , 1   i l i i yC (25) а вектор lRe  }1...,,1,1{ принадлежит внутренности конуса, образованного век- торами ,}{ 1 l kik T i CC  ,,1 ni  то существует строго положительный равновес- ный вектор ,}{ 1 0 0 n iipp  являющийся решением задачи (2). Доказательство. Поскольку ,,, 1 1    l i ijij bpCpb то будем требовать выполнения равенства , , , j j j y pC pb    ,,1 lj  или .,, 1 1 jjij l i i ypCbpC   Для того чтобы удовлетворить последнему равенству, следует положить ,1,  pCi .,1 li  (26) 122 ISSN 0572-2691 Но система уравнений (26) имеет строго положительное решение в соответствии с предположением теоремы. Теорема 8 доказана. Следствие. Если матрица 1B в теореме 8, кроме того, симметрична, то тогда вектор ,y фигурирующий в теореме 8, является решением системы уравнений (25). Экономическое равновесие при агрегированном описании экономики Пусть в экономике, как и прежде, производится n типов товаров и имеется l потребителей. Будем говорить, что описание экономики агрегировано в m чис- тых отраслей, если множество }...,,2,1{ nN  является объединением непустых подмножеств ,iN ,,1 mi  таких, что , 1  m i iNN   ,ji NN  ,ji   — пустое множество и задано отображение U множества nR во множество mR правилом ,Uxxu  где ,}{ 1 n iixx  ,}{ 1 m i u i u xx  ,   kNs s u k xx .,1 mk  Если l потребителей, как и в предыдущем разделе, характеризовать вектора- ми собственности n kkii bb 1}{  и векторами спроса ,}{ 1 n kkii CC  ,,1 li  то при агрегированном описании каждому потребителю будут соответствовать агрегиро- ванные характеристики: векторы собственности m k u ki u i bb 1}{  и векторы спроса ,}{ 1 m k u ki u i CC  .,1 li  Пусть экономическая система находится в состоянии эко- номического равновесия с равновесным ценовым вектором ,}{ 1 0 0 n iipp  тогда ,,1, , , 0 0 1 nk pC pb C k i i l i ki      где ,, 0 1 0 s n s sii pbpb    ,, 0 1 0 s n s sii pCpC    .,1,0,}{ 1 1 nkb l i kik n kk     Последнюю систему неравенств можно переписать в агрегированном виде .,1, , , 0 0 1 mk pC pb C u k i i l i u ki      (27) Определение 3. Будем говорить, что агрегирование в m чистых отраслей в экономической системе согласовано с равновесным состоянием в экономической системе, описываемой дезагрегировано, если существует агрегированный равно- весный вектор m i u i u pp 1}{  такой, что ,,1, , , 1 mk pC pb C u kuu i uu i l i u ki      (28) и, кроме того, равенства в (27) и (28) выполняются для одних и тех же индексов .,1 mk  Далее строим математическую модель экономического равновесия для эко- номики на государственном уровне. Полагаем, что экономика государства описы- вается m чистыми отраслями, каждая из которых производит один тип товара. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 123 Структура производства описывается продуктивной матрицей прямых затрат Ле- онтьева: .\|\| 1, m kiikaA  Пусть вектор валового выпуска в экономической системе ,}{ 1 m iixx  где ix — валовый выпуск i -й чистой отрасли экономики. Полагаем, что в открытой экономической системе имеет место межотраслевой баланс , 1 kk f kj m j kjk iecxax    ,,1 mk  где m i f k f cc 1}{  — вектор конечного потребления, состоящий из суммы векторов конечного потребления домашних хозяйств и вектора валового накопления и смены запасов, m kkee 1}{  — вектор экспорта, m kkii 1}{  — вектор импорта. Пусть m iipp 1}{  — вектор цен, где ip — цена единицы товара, созданного в i -й отрасли. Чистая i -я отрасль экономики государства формирует спрос на ресурсы, которыми владеют домашние хозяйства, определяемый вектором ,}{ 1 m kkiii axC  .,1 mi  Вектор предложения i -й отрасли ,}{ 1 m kkiki xb  где ik — символ Кронеккера. Стоимость созданного в i -й отрасли валового продукта ,, iii pxpb  а созданная новая в i -й отрасли стоимость равна , 1           m s ssiii papx .,1 mi  Домашние хозяйства i -й отрасли для обеспечения производства создадут предложение ресурсов , 1 1 m k j m j kjikim xab              стоимость которых равна ,, 1 j m j ijiim xappb     .,1 mi  Если m ii 1}{  — вектор налогообложения [5, 6], то полагаем, что только часть но- вой созданной стоимости            m s ssiiii papx 1 идет на производство товаров конечно- го потребления, товаров для расширения производства и товаров на экспорт, а часть            m s ssiiii papx 1 )1( созданной в i -й отрасли стоимости будет использована на социальное потребление, возобновление основных фондов, капитализацию, развитие инфраструктуры, коммунального хозяйства и т. п. Будем предполагать, что на рынке товаров конечного потребления домашние хозяйства i -й отрасли сформируют спрос, пропорциональный стоимости реализованных ресурсов и части отчисленной из отрас- ли стоимости для потребления товаров конечного потребления, приобретение основ- ных фондов, капитализацию, развитие инфраструктуры, т.е. , , ],)1[( 11 1 1 1 m j n k m i m s ssiiikm f jim m s ssiiii im papxpb cpbpapx C                                              .,1 mi  Наконец, внешнеэкономический агент создаст на рынке государства предложение товаров m kkm iib 112 }{   — вектор импорта, сформировав при этом спрос на товары, производимые в государстве, m kkm eeC 112 }{   — вектор экспорта. Тогда равновесный вектор цен определится из условия: спрос не превышает предложения 124 ISSN 0572-2691                   m s s f s m i j m j iji m i m s ssiiii f k ssi m s i m s ssiiii ki m i i pc xappapx c pax papx ax 1 1 11 1 1 1 1 )()1()( ,,1, 1 1 mkix pe pi e kk s m s s s m s s k      или                   s m s s s m s s km s s f s m i jj m j iji m i iii f k ssi m s i iii ki m i i pe pi e pc xappx c pax px ax 1 1 1 1 11 1 1 )1( .,1, 1 mkxaix ii m i kikk    (29) Следующая теорема дает достаточные условия существования экономического равновесия. Теорема 9. Пусть неотрицательный вектор 2 1}{   m iiyy является решением системы неравенств ,, 1 21 1 Ikxaixyeycyax ii m i kikkmkm f kiki m i i      (30) ,, 1 21 1 Jkxaixyeycyax ii m i kikkmkm f kiki m i i      (31) где I — непустое подмножество },...,2,1{ mM  ,MJI  и является таким, что число Фробениуса матрицы m ji j jij ya yA 1, ),(    равно единице. Если m iipp 1}{  — неотрицательное решение системы уравнений ,,1, 1 mippay iissi m s i   (32) такое, что , )1( 1 1 11 1 s m s f s m i jj m j iji m i iii m pc xappx y          , 1 1 2 s m s s s m s s m pe pi y       ,0 1   s m s f s pc ,0 1   s m s s pe ,0 1   m s ssi pa ,,1 mi  то m iipp 1}{  — равновесный ценовой вектор. Если J — пустое подмножество, то в этом случае спрос равен потреблению. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 125 Доказательство этой теоремы очевидно. Действительно, вектор ,xAix  где ,}{ 1 m iii xx  принадлежит внутренности конуса, образованного векторами-столб- цами матрицы ,\|\| 2. 1,   mm ikkiCC где ,ikiki xaC  ,,1, mik  ,1, f kmk cC  ,,1 mk  ,2, kmk eC  ,,1 mk  поскольку справедливо равенство ,0 xAixCy  где ,}{ 2 1 00   m iiyy ,10 iiy  ,,1 mi  .10 2 0 1   mm yy Если ранг матрицы C равен ,mr  то в соответствии с теоремой 6.1.3 из [5, 6] существует совокупность 12  rm линейно независимых неотрицательных решений ,...,, 2,1  mrr yyy системы уравнений ,xAixCy  относительно вектора 2 1}{   m iiyy таких, что произвольное неотрицательное решение 2 1}{   m iiyy этой системы уравнений можно представить в виде , 2 i m ri i yy     где ,0 i .2,  mri Поэтому система уравне- ний (30) имеет неотрицательное решение. И если оно таково, что удовлетворяются не- равенства (31) и спектральный радиус матрицы )(yA равен единице, то существует ненулевой ценовой вектор, являющийся решением системы уравнений (32), который и будет равновесным ценовым вектором. Заметим, что компоненты равновесного векто- ра ,}{ 1 m iipp  индексы которых попали во множество ,J равны нулю. Качеством равновесия и будет определяться, насколько экономическая система близка к состоянию рецессии. После умножения на kp k -е неравенство и введения обозначений ,ikikki xapX  ,,1, mik  ,kkk pxX  ,k f k f k pcC  ,kkk peE  ,kkk piI  ,,1 mk  в стоимостных показателях (29) перепишется в виде .,1 , )1( 1 1 1 1 1 11 1 1 mk XIX E I E C XX C X X X m i ikikkm s s m s s km s f s m i m j jiji m i i f km s si ii m i ki                     (33) Определение 4. Будем говорить, что экономическая система, описываемая агреги- ровано, находится в состоянии равновесия, если имеют место неравенства (33). Исследование украинской экономики Применим к исследованию украинской экономики модель, исследованную в предыдущих разделах. Известно, что экономика Украины в 2010 г. находилась в состоянии рецессии. Наше объяснение явления рецессии основывается на меж- отраслевом балансе 2010 г. В отличие от работы [4], где основными параметрами модели являются макроэкономические показатели: валовый национальный продукт, инвестиции домохозяйств, потребление, а явление рецессии объясняется технологи- ческим шоком, наше описание рецессии основывается на качестве равновесного состояния и учитывает структуру производства, потребления, инвестирование и структуру цен. В состоянии рецессии происходит слом механизма обмена, прояв- ляющийся в том, что в состоянии равновесия спрос на товары, для которых сово- купный спрос меньше предложения, полностью отсутствует. Из-за этого практиче- ски не происходит покупки этой группы товаров. Равновесные цены на такую группу товаров могут опускаться как угодно низко. Из-за этого и происходит девальвация национальной валюты, увеличение безработицы, обесценивание вкладов, падение стоимости активов. Количественный анализ на основе формулы (33) и межотраслевого баланса [8] дал следующие результаты. Экономика Украины в 2010 г. не находилась в состоянии 126 ISSN 0572-2691 равновесия. Далее приводим падение спроса по сравнению с предложением в миллионах гривень, не указывая их возле цифр. Спрос в стоимостных показателях (млн гривень) упал по сравнению с предложением в 14 отраслях украинской экономики. В лесном хозяйстве и связанных с ним услугами спрос был меньше предложения на 642 при валовом продукте в этой отрасли 5 086. В отрасли добычи угля, лигнита и торфа, урановой и ториевых руд спрос был ниже предложения на 26 582 при валовом продукте отрасли 50 706 и импорте 3 512. Известно, что эта отрасль была дотационной, дотация в которую составила 6 861. В отрасли добычи углеводородов и связанных с ней услугах спрос был меньше предложения на 86 254 при валовом выпуске 28 986 и импорте 109 950. В отрасли полезных ископаемых, кроме энергетических, спрос на продукцию был меньше предложения на величину 38 262 при валовом продукте 63 386 и импорте 11 270. Спрос на продукцию обработки древесины и производства изделий из древесины, целюлозно-бумажного произ- водства, издательской деятельности упал на 11 304 при валовом продукте 51 454 и импорте 16 739. В отрасли производства кокса, ядерных материалов спрос упал по сравнению с предложением на 21 976 при валовом продукте 30 038 и импорте 809. В химической и нефтехимической промышленности спрос на продукцию упал на 23 072 в сравнении с предложением при валовом продукте 224 366 и импорте 110 223. Спрос на продукцию металургического производства был меньше предложения на 78 621 при валовом выпуске 251 401 и импорте 39 995. В отрасли производства иной неметаллической минеральной продукции спрос уменьшился по сравнению с предло- жением на 22 931 при валовом выпуске 46 023 и импорте 9 287. Спрос на продукцию электроэнергетики упал по отношению к предложению на 19 917 при валовом выпуске 73 520 и импорте 48. В отрасли производства и распределения газа спрос был меньше предложения на 1 411 при валовом производстве 7 066 и импорте 2. Спрос в отрасли торговли, ремонта автомобилей, бытовых изделий и предметов личного потребления уменьшился в сравнении с предложением на 199 020 при валовом продукте 294 920 и импорте 880. В отрасли транспорта спрос на услуги упал на 24 607 относительно предложения при валовом выпуске 170 415 и импорте 36 875. И наконец, в отрасли недвижимого имущества спрос был меньше на 1 089 в сравнении с предложением при валовом выпуске 93 275 и импорте 1 205. Таким образом, расчеты на основе статистических данных подтвеждают, что экономика Украины в 2010 г. находилась в состоянии глубокого спада вследствие падения спроса на основные виды производимой продукции. Патологическое падение спроса на производство газа связано с высокими ценами импорта этого продукта. Важным индикатором того, что экономика Украины находилась в состоянии рецессии, является значительное падение спроса в торговле. Заключение В настоящей работе доказаны теоремы, описывающие структуру состояний экономического равновесия в модели экономики обмена. При заданной структуре векторов спроса изучена структура векторов собственности, для которых задан- ный ценовой вектор является равновесным. Введено важное понятие эквивалент- ного распределения собственности, на основании которого доказано, что в состоянии экономического равновесия существует такое эквивалентное распределение собст- венности, при котором кратность вырождения состояния равновесия не меньше значения, указанного в теореме 3. В теореме 6 описана структура состояний равно- весия, для которого на группу товаров спрос строго меньше предложения и которое количественно характеризуется снижением реальной стоимости национальной валю- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 2 127 ты. Если группа товаров, на которые совокупный спрос строго меньше предложения, становится критичной, то происходит девальвация национальной валюты, увеличение безработицы, обесценивание банковских вкладов, падение стоимости активов. Это состояние равновесия и является состоянием рецессии. В теоремах 7, 8 даны доста- точные условия существования равновесия, при котором спрос равен предложению. В теореме 9 модель экономики государства при наличии производства адаптирована к рассмотренной модели, в которой указаны достаточные условия существования эконо- мического равновесия. В последнем разделе рассмотрено приложение этой модели к анализу состояния украинской экономики. М.С. Гончар, А.С. Жохін, В.Г. Козирський ПРО МЕХАНІЗМ ЯВИЩА РЕЦЕСІЇ Доведено теореми, що описують структуру станів економічної рівноваги в моделі економіки обміну. Вивчено структуру векторів власності за заданої структури векторів попиту, за якої заданий ціновий вектор є рівноважним. На цій основі описано загальну структуру станів рівноваги та дано характеристику стану рівноваги, що описує стан рецесії. Наведено застосування розробленої теорії до дослідження стану української економіки. N.S. Gonchar, A.S. Zhokhin, W.H. Kozyrski ON MECHANISM OF RECESSION PHENOMENON The theorems proved describe the structure of economy equilibrium in the exchange economy model. The structure of property vectors is investigated under given structure of demand vectors at which given price vector is equilibrium one. On this basis, we describe the general structure of the state of equilibrium and give characteristic of equilibrium state describing recession phenomenon. The developed theory is applied to investigate the state of Ukrainian economy. 1. Burns A. F., Mitchell W. C. Measuring business cycles. — New York: National Bureau of Eco- nomic Research. — 1946. — 256 p. 2. Samuelson P. A. Interactions between the multiplier analysis and the principle of acceleration // Review of Economic Statistics. — 1939. — 21 — P. 75–78. 3. Summers L.H. Some skeptical observations on real business cycle theory // Federal Reserve Bank of Minneapolis Quaterly Review. — 1986. — 10, N 4. — P. 23–27. 4. Kydland F. E., Prescott E. C. Time to build and aggregate Fluctuations // Econometrica — 1982. — 50(6). — P. 1345–1370. 5. Gonchar N.S. Mathematical foundations of information economics. — Kiev : Inst. of theoretical Physics, 2008. — 468 p. 6. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки. — Київ : Інститут теоретичної фізики, 2007. — 464 с. 7. Гончар Н.С., Жохин А.С. Критические состояния в динамической модели обмена и явление рецессии // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и ин- форматики». — 2013. — № 1. — С. 126–134. 8. Таблиця «витрати-випуск» України за 2010 рік в цінах споживачів: Стат. зб. — Київ : Дер- жавна служба статистики України, 2012. — 47 с. Получено 15.07.2014
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207902
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:31:21Z
publishDate	2015
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Козырский, В.Г. 2025-10-15T15:27:27Z 2015 О механизме явления рецессии / Н.С. Гончар, А.С. Жохин, В.Г. Козырский // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 2. — С. 113-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207902 519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i6.30 Доведено теореми, що описують структуру станів економічної рівноваги в моделі економіки обміну. Вивчено структуру векторів власності за заданої структури векторів попиту, за якої заданий ціновий вектор є рівноважним. На цій основі описано загальну структуру станів рівноваги та дано характеристику стану рівноваги, що описує стан рецесії. Наведено застосування розробленої теорії до дослідження стану української економіки. The theorems proved describe the structure of economy equilibrium in the exchange economy model. The structure of property vectors is investigated under given structure of demand vectors at which given price vector is equilibrium one. On this basis, we describe the general structure of the state of equilibrium and give characteristic of equilibrium state describing recession phenomenon. The developed theory is applied to investigate the state of Ukrainian economy. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы О механизме явления рецессии Про механізм явища рецесії On mechanism of recession phenomenon Article published earlier
spellingShingle	О механизме явления рецессии Гончар, Н.С. Жохин, А.С. Козырский, В.Г. Экономические и управленческие системы
title	О механизме явления рецессии
title_alt	Про механізм явища рецесії On mechanism of recession phenomenon
title_full	О механизме явления рецессии
title_fullStr	О механизме явления рецессии
title_full_unstemmed	О механизме явления рецессии
title_short	О механизме явления рецессии
title_sort	о механизме явления рецессии
topic	Экономические и управленческие системы
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207902
work_keys_str_mv	AT gončarns omehanizmeâvleniârecessii AT žohinas omehanizmeâvleniârecessii AT kozyrskiivg omehanizmeâvleniârecessii AT gončarns promehanízmâviŝarecesíí AT žohinas promehanízmâviŝarecesíí AT kozyrskiivg promehanízmâviŝarecesíí AT gončarns onmechanismofrecessionphenomenon AT žohinas onmechanismofrecessionphenomenon AT kozyrskiivg onmechanismofrecessionphenomenon

О механизме явления рецессии

Репозитарії

Схожі ресурси