Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой
Розглянуто задачу керування зі ступінчастою структурою, що описана системою різницевих та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. За припущенням відкритості області керування отримано необхідні умови оптимальності першого і другого порядку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207906 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой / Р.О. Масталиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 3. — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207906 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2079062025-10-16T00:03:32Z Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой Необхідні умови оптимальності першого і другого порядку в одній ступінчастій задачі оптимального керування з дискретно-неперервною системою Necessary first and second order optimality conditions in one optimal control stepwise problem with discrete-continuous system Масталиев, Р.О. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто задачу керування зі ступінчастою структурою, що описана системою різницевих та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. За припущенням відкритості області керування отримано необхідні умови оптимальності першого і другого порядку. The control problem with stepwise structure, which is described by the system of difference and integro-differential equations of the Volterra type is considered. Under assumption of the control domain openness the necessary optimality conditions of the first and the second orders are obtained. 2015 Article Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой / Р.О. Масталиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 3. — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207906 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i6.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Масталиев, Р.О. Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто задачу керування зі ступінчастою структурою, що описана системою різницевих та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. За припущенням відкритості області керування отримано необхідні умови оптимальності першого і другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Масталиев, Р.О. |
| author_facet |
Масталиев, Р.О. |
| author_sort |
Масталиев, Р.О. |
| title |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| title_short |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| title_full |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| title_fullStr |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| title_full_unstemmed |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| title_sort |
необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207906 |
| citation_txt |
Необходимые условия оптимальности первого и второго порядка в одной ступенчатой задаче оптимального управления с дискретно-непрерывной системой / Р.О. Масталиев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 3. — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT mastalievro neobhodimyeusloviâoptimalʹnostipervogoivtorogoporâdkavodnojstupenčatojzadačeoptimalʹnogoupravleniâsdiskretnonepreryvnojsistemoj AT mastalievro neobhídníumovioptimalʹnostíperšogoídrugogoporâdkuvodníjstupínčastíjzadačíoptimalʹnogokeruvannâzdiskretnoneperervnoûsistemoû AT mastalievro necessaryfirstandsecondorderoptimalityconditionsinoneoptimalcontrolstepwiseproblemwithdiscretecontinuoussystem |
| first_indexed |
2025-11-26T00:42:13Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:42:13Z |
| _version_ |
1849811519602163712 |
| fulltext |
© Р.О. МАСТАЛИЕВ, 2015
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.977
Р.О. Масталиев
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ОДНОЙ СТУПЕНЧАТОЙ ЗАДАЧЕ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМОЙ
*
Введение. Многие процессы практически имеют сложную структуру, буду-
чи ступенчатыми процессами. Они считаются подклассом гибридных систем и
встречаются в следующих задачах: управления химико-технологическими про-
цессами, автоматизированными производственными системами конвейерного
типа, оценки качества состояния воды в бассейне реки в зависимости от выбро-
сов промышленными предприятиями загрязняющих веществ, в литейном произ-
водстве и др. (см., например, [1–3]).
В работах [4–8] изучены задачи оптимального управления, описываемые
интегральными и разностными уравнениями типа Вольтерра, доказаны необхо-
димые условия оптимальности, найдены условия управляемости и др.
Заметим, что задача оптимального управления, описываемая системой ли-
нейных разностных уравнений Вольтерра с квадратичным критерием качества,
изучена в [9, 10].
В [11] рассмотрена ступенчатая задача оптимального управления, описывае-
мая системой разностных уравнений типа Вольтерра. Доказано необходимое ус-
ловие оптимальности в форме дискретного принципа максимума Понтрягина и
исследован особый (в смысле принципа максимума Понтрягина) случай.
В настоящей работе рассматривается одна из ступенчатых задач оптимально-
го управления, описываемая разностными и интегро-дифференциальными урав-
нениями типа Вольтерра.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о минимуме функционала
))(())((),( 1 TytxvuS (1)
при ограничениях
)).(()(
],,[,))(),(,,()(
,)(
},1...,,2,1,{)),(),(,,()1(
11
12
00
10001
1
0
txGty
TtTtdvytgty
xtx
ttttTtuxtftx
t
t
t
t
(2)
*
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азер-
байджанской Республики. Грант № EIF/GAM-2-2013-2(8)-25/06/1.
6 ISSN 0572-2691
Здесь 010 ,,, xTtt заданы, причем разность 01 tt — натуральное число, ),(x
)(y — заданные, дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции,
),,,,( uxtf )),,,(( vytg — заданная n (m)-мерная вектор-функция, непрерывная
по совокупности переменных вместе с частными производными по ),( ux ),( vy
до второго порядка включительно, )(xG — заданная, дважды непрерывно диффе-
ренцируемая m-мерная вектор-функция, )(tu — r-мерный вектор управляющих
воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого
множества ,U )(tv — r-мерный кусочно-непрерывный на 2T вектор управляю-
щих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и откры-
того множества ),(V т.е.
.,)(
,,)(
2
1
TtRVtv
TtRUtu
q
r
(3)
Пару ))(),(( tvtu с приведенными выше свойствами назовем допустимым
управлением, а соответствующий процесс ))(),(),(),(( tytxtvtu — допустимым
процессом.
Цель публикации — вывод необходимых условий оптимальности первого и
второго порядка в рассматриваемой задаче.
2. Первая и вторая вариации функционала качества
Считая ))(),(),(),(( tytxtvtu οοοο оптимальным процессом, обозначим )((( tu
),()( tutuο ))()()(),()()(),()()( txtytytxtxtxtvtvtv οοο произ-
вольный допустимый процесс и запишем формулу приращения функционала
)).(())(())(())((),(),(),( 11 TyTytxtxvuSvuSvuS οοοοοο (4)
Ясно, что приращение ))(),(( tytx траектории ))(),(( tytx οο
будет удовле-
творять системе
))],(),(,,())(),(,,([)1(
0
uxtfuxtftx
t
t
(5)
,0)( 0 tx ,1Tt (6)
,))](),(,,())(),(,,([)(
0
dvytgvytgty
t
t
,2Tt (7)
)).(())(()( 111 txGtxGty o (8)
Пусть ))(),(( tpt — неизвестная (nm)-мерная вектор-функция.
Умножив обе части соотношений (5), (7) соответственно на ),(t )(tp ска-
лярно, а затем просуммировав и проинтегрировав полученные тождества по 1T и
,2T будем иметь
))],(),(,,())(),(,,()[()1()(
111 11
0
1
0
tutxtftutxtftxt
t
t
t
tt
t
tt
(9)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 7
.))](),(,,())(),(,,()[()()(
11
dtdtvtytgtvtytgpdttytp
T
t
T
t
T
t
(10)
Ясно, что
),()1()()1()1()(
1
11
1 1
0
1
0
txttxttxt
t
tt
t
tt
.)()()()()()()()(
11
11 dttytptytpTyTpdttytp
T
t
T
t
Отсюда с учетом (8) имеем
.)()()))(())(()(()()()()(
11
111 dttytptxGtxGtpTyTpdttytp
T
t
o
T
t
Принимая во внимание эти тождества, формулу приращения (1) запишем
в виде
dttytptxGtxGtpTytp
tutxtftutxtftxt
txtTyTytxtxvuS
T
t
o
t
t
t
tt
t
tt
οο
)()()))(())(()(()()(
))](),(,,())(),(,,([)()()1(
)()1())(())(())(())((),(
1
11
0
1
0
1112
111
1111
.))](),(,,())(),(,,()[(
1
dtdtvtytgtvtytgp οο
T
t
T
t
(11)
Введем следующие обозначения:
),,,,()())(),(),(,(
11
uxtfttutxtH
t
t
dvytgptptvtytM
T
t
),,,()())(),(),(,( ,
),()1()( 1 xGtpxN
)),(),(),(,(][)),(),(),(,(][ ttutxtHtHttutxtHtH oo
uu
oo
xx
)),(),(),(,(][)),(),(),(,(][ ttutxtHtHttutxtHtH oo
uxux
oo
xxxx
)),(),(),(,(][)),(),(),(,(][ tptvtytMtMtptvtytMtM oo
vv
oo
yy
)),(),(),(,(][)),(),(),(,(][ tptvtytMtMtptvtytMtM oo
vvvv
oo
yyyy
)),(),(,,(],[)),(),(,,(],[ oo
uu
oo
xx uxtftfuxtftf
)).(),(,,(],[)),(),(,,(],[ oo
vv
oo
yy vytgtgvytgtg
8 ISSN 0572-2691
Формулу приращения (11) представим в виде
)()1())(())(())(())((),( 1111 txtTyTytxtxvuS οο
dttytptxNtxNTyTp
ttutxtHttutxtHtxt
T
t
oo
t
tt
t
tt
)()()))(())((()()(
))](),(),(,())(),(),(,([)()1(
1
1
0
1
0
11
11
.))](),(),(,())(),(),(,([
1
dttptvtytMtptvtytM oo
T
t
(12)
Используя формулу Тейлора из (12), после некоторых преобразований
получим
)(][)()(][)(
2
1
)(][)(
2
1
)(][)(][)()1()())(()(
2
1
)())(()())(()(
2
1
)())((),(
111
111
11111
111
111
tuxHtxtutHtutxtHtx
tutHtxtHtxtTyTyTy
TytytxtxtxtxtxvuS
xu
t
tt
uu
t
tt
xx
t
tt
u
t
tt
x
t
tt
t
tt
o
o
y
o
xx
o
x
oo
ooo
ooo
dttytMtydttvtMdttytM
dttytptxtxNtxtxtxNTyTp
yy
T
t
v
T
t
y
T
t
T
t
o
xx
o
x
)(][)(
2
1
)(][][][
)()()())(()(
2
1
)())(()()(
111
1
11111
).,()(][)()(][)(
2
1
11
vudttvtMtydttvtMtv yv
T
t
vv
T
t
(13)
Здесь по определению
))(())(())((),(
2
13
2
2
2
11 txοTyοtxοvu
,))(())((
2
5
2
4
1
1
1
0
dttkοtzο
T
t
t
tt
(14)
где ,),()( uxtz .),()( vytk
Кроме того, величины ),(iο ,5,1i определяются соответственно из раз-
ложений
),)(()())(()(
2
1
)())(())(())((
2
111111111 txοtxtxtxtxtxtxtx xx
ο
x
ο
),)(()())(()(
2
1
)())(())(())((
2
2 TyοTyTyTyTyTyTyTy o
yy
ο
y
o
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 9
),)(()())(()(
2
1
)())(())(())((
2
131111111 txοtxtxNtxtxtxNtxNtxN xx
ο
x
ο
),)(()(][)()(][)(
2
1
)(][)(
2
1
)(][)(][))(),(),(,())(),(),(,(
2
4 tzοtutHtxtutHtutxtHtx
tutHtxtHttutxtHttutxtH
xuuuxx
ux
oο
).)(()(][)()(][)(
2
1
)(][)(][))(),(),(,())(),(),(,(
2
5 tkοtvtMtytytMty
tvtMtytMtptvtytMtptvtytM
yvyy
vy
οο
Если предположить, что вектор-функция ))(),(( tpt является решением задачи
)),(()(
],[)(
)),(())(()1(
],[)1(
111
TyTp
tMtp
txNtxt
tHt
o
y
y
o
x
o
x
x
(15)
то формула приращения (13) примет вид
dttvtMtydttvtMtvdttytMty
tutHtxtutHtutxtHtx
tyTyTytxtxNtxtx
dttvtMtutHvuS
yv
T
t
vv
T
t
yy
T
t
xu
t
tt
uu
t
tt
xx
t
tt
o
yy
oo
xx
T
t
u
t
tt
oo
ooo
o
)(][)(2)(][)()(][)(
)(][)(2)(][)()(][)(
)())(()()())](())(()[(
2
1
)(][)(][),(
111
111
1
1
111
1111
1
).,( vu (16)
Уравнения (15) назовем сопряженной системой в рассматриваемой задаче
управления. Специальное приращение оптимального управления ))(),(( tvtu oo
в силу открытости областей управления VU , можно определить по формуле
.),();(
,),();(
2
1
Tttvtv
Tttutu
(17)
Здесь ,),( Tttu — произвольная r-мерная вектор-функция со значениями из
,rR ,),( Tttv — произвольная кусочно-непрерывная вектор-функция со значе-
ниями из ,qR а — достаточно малое по абсолютной величине число.
10 ISSN 0572-2691
Пусть ));(),;(( tytx — специальное приращение оптимальной траектории
)),(),(( tytx οο отвечающее приращению ));(),;(( tvtu управления )).(),(( tvtu οο
Из (5)–(8), используя формулу Тейлора и лемму Гронуолла–Беллмана, по
схеме [5, c. 15–21; 12, c. 22–25; 14, c. 33–38] доказывается справедливость оценок:
,)()()(
,)()(
1
1
0
1
0
dttvtuLty
tuLtx
T
t
t
tt
t
tt
(18)
.0constL
Из (18) с учетом (17) сразу следует, что ;(,;( tytx имеют порядок
малости и, кроме того, для );( tx и );( ty справедливо утверждение.
Лемма. Для специального приращения ));(),;(( tytx управления траек-
тории ))(),(( tvtu справедливо разложение
).;()();(
),;()();(
2
1
totyty
totxtx
(19)
Здесь ))(),(( tytx — вариация траектории, ))(),(( tytx oo
— решение следующей
системы линейных неоднородных разностных и интегро-дифференциальных
уравнений типа Вольтерра:
,0)(
)],(],[)(],[[)1(
0
0
tx
utfxtftx ux
t
t (20)
,)]](],[)(],[[)(
1
dvtgytgty vy
t
t
(21)
).())(()( 111 txtxGty o
z
Следуя, например, [13], (20)–(21) назовем уравнением в вариациях для рас-
сматриваемой задачи.
Принимая во внимание (14), (17)–(19) в (16), покажем справедливость
разложения
)(][)(2)(][)()(][)(
)())(()()())](())(([)(
2
)(][)(][),(),(
111
1111
2
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
tutHtxtutHtutxtHtx
tyTyTytxtxNtxtx
dttvtMtutHvuSvvuuS
xu
t
tt
uu
t
tt
xx
t
tt
o
yy
o
xx
o
xx
v
T
t
u
t
tt
oooo
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 11
).()(][)(2)(][)()(][)( 2
111
οdttvtMtydttvtMtvdttytMty yv
T
t
vv
T
t
yy
T
t
(22)
Из (22) следует, что первая и вторая вариации функционала (1) (в классиче-
ском смысле) имеют соответственно следующий вид:
,)(][)(][),;,(
1
1
0
1
1 dttvtMtutHvuvuS v
T
t
u
t
tt
oo
(23)
dttytMtytutHtx
tutHtutxtHtxtyTyTy
txtxNtxtxvuvuS
yy
T
t
xu
t
tt
uu
t
tt
xx
t
tt
o
yy
o
xx
o
xx
oo
)(][)()(][)(2
)(][)()(][)()())(()(
)()))(())(()((),;,(
1
1
0
1
0
1
0
1
11
1111
2
.)(][)(2)(][)(
11
dttvtMtydttvtMtv yv
T
t
vv
T
t
(24)
3. Необходимые условия оптимальности
Известно (см., например, [13, с. 51–53]), что вдоль оптимального процесса
первая вариация функционала качества равна нулю, а вторая вариация неотрица-
тельна, т.е.
,0),;,(1 vuvuS oo (25)
0),;,(2 vuvuS oo
(26)
для всех ,,)( 1TtRtu r .,)( 2TtRtv r
Из тождества (25) с учетом (23) в силу произвольности и независимости ва-
риаций ),(tu )(tv управляющих воздействий получаем, что
,,0][
,,0][
2
1
TM
TH
v
u
(27)
— произвольная точка непрерывности управления ).(tv
Сформулируем полученный результат.
Теорема 1 (аналог уравнения Эйлера). Для оптимальности допустимого
управления ))(),(( tvtu oo
в задаче (1), (2) необходимо, чтобы выполнялись соот-
ношения (27).
Аналог уравнения Эйлера является необходимым условием оптимальности
первого порядка. Используя неравенство (26), удается получить необходимые ус-
ловия оптимальности второго порядка, непосредственно выраженные параметра-
ми задачи (1), (2).
Поскольку (20) и (21) — соответственно линейные неоднородные разностные
и интегральные уравнения типа Вольтерра относительно ),(tx ),(ty то их ре-
шения (см., например, [15–18]) можно представить в виде
12 ISSN 0572-2691
),(),()( 1
1
0
sustFtx
t
ts
(28)
).())((),()(),()( 1112
1
txtxGttQdssvstFty ο
x
t
t
(29)
Здесь по определению
,],[),1(),(
1
1 sftRstF u
t
s
,],[),(),(2 dsgtQstF v
t
s
где ),( tR и ),( tQ — матричные функции соответствующих размерностей, яв-
ляющихся решениями задач
,),(
],,[),()1,(
1EttR
sftRstR x
t
s
,),(
,)(],[),(),(
2EttQ
dsysgtQtQ v
t
s
s
где 1E и 2E — единичные матрицы соответствующих размерностей.
Далее формулу (29) с учетом (28) запишем
).(),())((),()(),()( 11
1
112
1
01
sustFtxGttQdssvstFty
t
ts
ο
x
t
t
(30)
С помощью выражений (28), (30) получим необходимые условия оптималь-
ности второго порядка.
Из (24), (26) следует, что вдоль оптимального управления ))(),(( tvtu oo вы-
полняются соотношения
)(][)()(][)()())(()(
)()))(())(()(()0,;,(
11
1111
2
1
0
1
0
tutHtutxtHtxtyTyTy
txtxNtxtxuvuS
uu
t
tt
xx
t
tt
o
yy
o
xx
o
xx
0)(][)()(][)(2
1
1
0
1
dttytMtytutHtx yy
T
t
xu
t
tt
(31)
для всех ,)( rRtu ;1Qt
dttytMtytyTyTyvvuS yy
T
t
o
yy )(][)()())(()(),0;,(
1
2
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 13
0)(][)(2)(][)(
11
dttvtMtydttvtMtv yv
T
t
vv
T
t
(32)
для всех ,)( qRtv .2Tt
В случае, когда ,0)( tv ,1Tt (29) принимает вид
).(),())((),()( 11
1
11
1
0
sustFtxGttQty
t
ts
ο
x
(33)
С помощью (28), (33) убеждаемся в справедливости следующих тождеств:
)()))(())(()(( 1111 txtxNtxtx o
xx
o
xx
),(),()))(())(()(,()( 111111
11 1
0
1
0
utFtxNtxtFtu o
xx
o
xx
t
t
t
t
(34)
))((),()()())(()( 11
11 1
0
1
0
txGtTQutyTyTy ο
x
t
t
t
t
o
yy
),(),())((),())((),( 111111 utFtxGtTQTytF ο
x
o
yy (35)
),(),(][),()()(][)( 11
1
),max(
111 11
0
1
0
1
0
utFtHtFutxtHtx xx
t
t
t
t
t
t
t
tt
xx (36)
),(),(][)()(][)( 1
111 1
0
1
0
1
0
sustFtHututHtx xu
t
ts
t
tt
xu
t
tt
(37)
dttytMty yy
T
t
)(][)(
1
.)())((),(),(][),())((),()( 112111
11 1
0
1
01
dtutxGttQtFtMtFtxGttQu ο
xyy
ο
x
t
t
t
t
T
t
(38)
Полагая
dttxGttQtFtMtFtxGttQ
tFtHtF
tFtxGtTQTytFtxGtTQ
tFtxNtxtFK
ο
xyy
ο
x
T
t
xx
t
t
ο
x
o
yy
ο
x
o
xx
o
xx
))((),(),(][),())((),(
),(][),(
),())((),())((),())((),(
),()))(())(()(,(),(
112111
11
1
),max(
11111111
1111111
1
1
и принимая во внимание тождества (34)–(38), неравенство (31) приведем к виду
)(),(][)(2)(),()( 1
1111 1
0
1
0
1
0
1
0
sustFtHtuuKu xu
t
ts
t
tt
t
t
t
t
14 ISSN 0572-2691
.0)(][)(
11
0
tutHtu uu
t
tt
(39)
Теперь предположим, что ,0)( tu ,1Tt а ,0)( tv .2Tt Тогда из (28),
(32) следует, что
,0)( tx ,1Tt
,)(),()( 2
1
dssvstFty
t
t
.2Tt (40)
Далее, используя (40), получаем следующие выражения:
T
t
o
yy
T
t
o
yy ddvTFTyTFvtyTyTy
1 1
,)(),())((),()()())(()( 22 (41)
dttytMty yy
T
t
)(][)(
1
,)(),(][),()( 22
),max(11
ddvdttFtMtFv yy
TT
t
T
t
(42)
.)(][),()()(][)( 2
111
dtdtvtMtFvdttytMty yv
t
t
t
t
yv
T
t
(43)
Положим
.),(][),(),())((),(),( 22
),max(
222 dttFtMtFTFTyTFK yy
T
o
yy
(44)
Учитывая (44), с помощью (41)–(43) неравенство (32) приведем к виду
dttvtMtvdtduKu vv
T
t
T
t
T
t
)(][)()(),()(
111
2
.0)(][),()(
2
11
dtdtvtMtFv yv
t
t
T
t
(45)
Проанализируем полученный результат.
Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления ))(),(( tvtu oo
в за-
даче (1), (2) необходимо, чтобы неравенства (39) и (45) выполнялись для всех
),(tu ,1Tt ,)( qRtv ,2Tt соответственно.
Учитывая довольно общий характер теоремы 3 и используя различные
специальные вариации управления, можно получить ряд легко проверяемых
необходимых условий оптимальности, в частности аналог условия Лежан-
дра–Клебша.
Аналог условия оптимальности Лежандра–Клебша [13, 20] для рассматри-
ваемой задачи вытекает из полученного критерия оптимальности (теорема 2).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 3 15
Следствие (аналог условия Лежандра–Клебша). Вдоль оптимального управ-
ления ))(),(( tvtu oo выполняются соотношения
0][ uHu uu для всех rRu и ,T
0][ vMv vv для всех qRv и .\2 TT
Для доказательства следствия достаточно в неравенствах (38) и (45) вариа-
цию ),(tu )(tv определить соответственно по формуле
,,0
,,
)(
1
1
Tt
Ttu
tu
.\,0
,),[,
)(
TTt
Ttv
tv
Здесь — достаточно малое произвольное число, 1T )( 2T — произвольная
точка непрерывности управления ),(tv а ,u v — произвольный вектор.
Заключение. С помощью модификации метода приращений вычислены пер-
вая и вторая вариации терминального функционала в ступенчатых задачах опти-
мального управления, описываемые системой разностных и интегро-дифферен-
циальных уравнений типа Вольтерра.
Доказано необходимое условие оптимальности первого порядка в форме ана-
лога уравнения Эйлера. С помощью второй вариации получено условие опти-
мальности второго порядка.
Наконец, определены необходимые условия оптимальности второго порядка
в форме условия оптимальности типа Лежандра–Клебша.
Р.О. Масталієв
НЕОБХІДНІ УМОВИ ОПТИМАЛЬНОСТІ
ПЕРШОГО І ДРУГОГО ПОРЯДКУ
В ОДНІЙ СТУПІНЧАСТІЙ ЗАДАЧІ
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
З ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕРВНОЮ СИСТЕМОЮ
Розглянуто задачу керування зі ступінчастою структурою, що описана систе-
мою різницевих та інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. За при-
пущенням відкритості області керування отримано необхідні умови оптималь-
ності першого і другого порядку.
R.O. Mastaliyev
NECESSARY FIRST AND SECOND ORDER
OPTIMALITY CONDITIONS IN ONE OPTIMAL
CONTROL STEPWISE PROBLEM
WITH DISCRETE-CONTINUOUS SYSTEM
The control problem with stepwise structure, which is described by the system of dif-
ference and integro-differential equations of the Volterra type is considered. Under
assumption of the control domain openness the necessary optimality conditions of the
first and the second orders are obtained.
16 ISSN 0572-2691
1. Батурин В.А., Лемперт А.А. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оп-
тимального управления // Вычислительные технологии. — 2003. — 8. — C. 103–108.
2. Лемперт А.А., Урбанович Д.Е. Оптимизация сбросов загрязняющих веществ в бассейне ре-
ки при экологических ограничениях // География и природные ресурсы. Спец. выпуск. —
2004. — C. 212–215.
3. Монастырский М.А. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными
уравнениями Вольтерра // Автоматика и телемеханика. — 1975. — № 1. — С. 29–36.
4. Мансимов К.Б., Абдуллаев А.А. Исследование особых управлений в одной задаче управле-
ния двумерными интегральными уравнениями типа Вольтерра // Автоматика и вычисли-
тельная техника. — 2006. — № 4. — С. 72–81.
5. Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах,
описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. — Баку : Элм, 2013.
— 224 с.
6. Абдуллаев А.А. Об одной задаче управления, описываемой системой интегральных урав-
нений типа Вольтерра // Изв. АН Азербайджана. Сер.физ.-техн. и мат. наук. — 1995. —
№ 5-6. — С. 46–49.
7. Mansimov K.B., Mastaliyev R.O. Necessary first and second order optimality conditions in prob-
lems of control described by a system of Volterra difference equations // Journal Automatic Con-
trol and Computer Sciences. — 2008. — 42, N 2. — P. 71–76.
8. Мансимов К.Б., Масталиев Р.О. Об оптимальности квазиособых управлений в задаче
управления описываемых системой разностных уравнений Вольтерра // Доклады АН Азер-
байджана. — 2007. — № 5. — С. 42–46.
9. Дымков М.П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления: Авто-
реф. дис… д-ра физ.-мат. наук. — Минск, 1997. — 40 с.
10. Дымков М.П. Оптимальное управление дискретной системой Вольтерра по квадратичному
функционалу // Докл. АН Беларуси. — 1997. — 41, № 3. — С. 10–16.
11. Масталиев Р.О. Об одной ступенчатой задаче оптимального управления дискретными сис-
темами // Вестник Бакинского ун-та. Сер. физ.-мат. наук. — 2010. — № 1. — С. 33–39.
12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. —
Минск : Наука и техника, 1974. — 274 с.
13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. — М. : Наука, 1973. —
256 с.
14. Мансимов К.Б. Дискретные системы. — Баку : Изд-во БГУ, 2002. — 114 с.
15. Колмановский В.Б. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем
Вольтерра // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 42–51.
16. Колмановский В.Б. Об асимптотической эквивалентности решений некоторых разностных
уравнений // Там же. — 2001. — № 4. — С. 47–55.
17. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. — М. : Изд-во МГУ, 1989. — 550 с.
18. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Сер. Математи-
ческий анализ. — 1977. — 15. — С. 131–198.
19. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М. : Наука, 1979.
— 432 с.
20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. — М. : Факториал, 2001. — 824 с.
Получено 26.09.2014
|