Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем

Досліджено один з аспектів теорії лінійних динамічних систем, пов’язаний з вивченням спектральних характеристик оператора згортки на кінцевому інтервалі часу. Прикладне значення отриманих результатів в тому, що сингулярні функції оператора згортки мають ряд екстремальних властивостей та можуть бути...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Балонин, Н.А., Суздаль, В.С., Соболев, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208028
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем / Н.А. Балонин, В.С. Суздаль, А.В. Соболев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 13-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208028
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2080282025-10-19T00:04:57Z Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем Дискретні частотні характеристики неперервних лінійних систем The discrete frequency responses of continuous linear systems Балонин, Н.А. Суздаль, В.С. Соболев, А.В. Проблемы динамики управляемых систем Досліджено один з аспектів теорії лінійних динамічних систем, пов’язаний з вивченням спектральних характеристик оператора згортки на кінцевому інтервалі часу. Прикладне значення отриманих результатів в тому, що сингулярні функції оператора згортки мають ряд екстремальних властивостей та можуть бути корисні при вирішенні задач оптимального керування. One aspect of linear dynamical system theory with the study of the spectral responses of the convolution operator on a finite time interval is considered. The practical significance of the result is that singular functions of the convolution operator have extreme properties and may be useful for solving optimal control problems. 2015 Article Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем / Н.А. Балонин, В.С. Суздаль, А.В. Соболев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 13-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208028 519.71:681.5 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i9.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Балонин, Н.А. Суздаль, В.С. Соболев, А.В. Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем Проблемы управления и информатики
description	Досліджено один з аспектів теорії лінійних динамічних систем, пов’язаний з вивченням спектральних характеристик оператора згортки на кінцевому інтервалі часу. Прикладне значення отриманих результатів в тому, що сингулярні функції оператора згортки мають ряд екстремальних властивостей та можуть бути корисні при вирішенні задач оптимального керування.
format	Article
author	Балонин, Н.А. Суздаль, В.С. Соболев, А.В.
author_facet	Балонин, Н.А. Суздаль, В.С. Соболев, А.В.
author_sort	Балонин, Н.А.
title	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
title_short	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
title_full	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
title_fullStr	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
title_full_unstemmed	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
title_sort	дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208028
citation_txt	Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем / Н.А. Балонин, В.С. Суздаль, А.В. Соболев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 13-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT baloninna diskretnyečastotnyeharakteristikinepreryvnyhlinejnyhsistem AT suzdalʹvs diskretnyečastotnyeharakteristikinepreryvnyhlinejnyhsistem AT sobolevav diskretnyečastotnyeharakteristikinepreryvnyhlinejnyhsistem AT baloninna diskretníčastotníharakteristikineperervnihlíníjnihsistem AT suzdalʹvs diskretníčastotníharakteristikineperervnihlíníjnihsistem AT sobolevav diskretníčastotníharakteristikineperervnihlíníjnihsistem AT baloninna thediscretefrequencyresponsesofcontinuouslinearsystems AT suzdalʹvs thediscretefrequencyresponsesofcontinuouslinearsystems AT sobolevav thediscretefrequencyresponsesofcontinuouslinearsystems
first_indexed	2025-11-26T23:10:44Z
last_indexed	2025-11-26T23:10:44Z
_version_	1849896360873033728
fulltext	© Н.А. БАЛОНИН, В.С. СУЗДАЛЬ, А.В. СОБОЛЕВ, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 13 УДК 519.71:681.5 Н.А. Балонин, В.С. Суздаль, А.В. Соболев ДИСКРЕТНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Введение В теории сигналов давно практикуется разложение сигналов в непрерывный и дискретный спектры, в первом случае привлекается аппарат интегрального исчисления, во втором — суммы ряда гармонических функций Фурье. В теории непрерывных динамических систем дискретная форма спектральной характеристики системы не сложилась, понятие дискретной частотной харак- теристики (ДЧХ) отсутствует. Пояснить данное обстоятельство можно тем, что на ограниченном интервале времени элементарные гармоники, проходящие через систему, помимо вынужденной составляющей, возбуждают функции сво- бодного движения системы. Таким образом, выходной сигнал системы, если его разложить по тем же самым гармоникам, что и входной, не обнаруживает простой преемственности, свойственной описаниям действия гармонических сигналов на бесконечном или полубесконечном интервалах. Выход из этого положения, для систем, описываемых оператором свертки, предложен в работах [1, 2]. В них показано, что для любого наперед заданного интервала времени ),0( T, можно указать не гармонику, а некоторые алгебраиче- ские суммы гармоник (полигармонический сигнал), отличающиеся от прочих сигналов тем, что возбуждаемые компонентами набора свободные составляющие компенсируют один другого. Частоты дискретны, поскольку компенсация воз- можна только при определенных частотах. У каждой системы — свой набор частот. Отмеченное качество реализуется и наглядно видно в примерах, если рас- сматривать входной или выходной сигналы системы в инверсном времени. Такая сумма гармоник может интерпретироваться как аналог гармоничного сигнала, действующего на конечном интервале времени. Настоящая статья посвящена изучению спектральных характеристик опера- тора свертки на конечном интервале времени ).0( T, Предпочтение отдается час- тотному подходу в сочетании с предложенным в [1] флип-методом. Расчет дискретной частотной характеристики Реакция линейной динамической системы при нулевом векторе начального состояния описывается линейным оператором свертки S. Он характеризует ото- бражение множества входных сигналов, воздействующих на систему на интерва- ле времени ),0( T, во множество выходных сигналов, рассматриваемых на том же интервале. Такой оператор отвечает режиму работы систем в реальном времени, типичному для большинства задач теории автоматического управления и теории электрических цепей. С помощью оператора свертки S линейный стационарный объект описывается выражением ,)()()()( 0   t dutqtSuty (1) где )(tq — импульсная весовая функция; ),(tu ),0()( 2 TLty  — входные и вы- ходные скалярные сигналы, определенные на ограниченном интервале ).(0, Tt 14 ISSN 0572-2691 Для непрерывной импульсной весовой функции возможна процедура пере- хода к ганкелевому оператору, для которого сингулярные числа и собственные векторы (пара Шмидта) определяют его частотные характеристики. В дискретной матричной форме выражение (1) представим ее дискретной аппроксимацией ,Quy  где векторы T 10 )](...,),(),([)( Ntutututu  и T 10 )](...,),(),([)( Ntytytyty  (2) содержат выборки входного и выходного сигналов, взятые с шагом ,00 t ./, NTTtN  Ненулевые элементы матрицы Сильвестра Q пропорциональны отсчетам импульсной весовой функции )(tq . )((( 0)()( 00)( 0)1) 01 0                    tqtqtq tqtq tq Q NN     (3) В этом случае оператор свертки представлен нижнетреугольной матрицей Q с оди- наковыми элементами на каждой из диагоналей. Тем самым матрица Q является теплицевой. Метод расчета ДЧХ базируется на том, что оператор свертки в дискретной матричной форме имеет теплицеву структуру и легко симметрируется инверсией входного или выходного сигнала во времени. Инверсия не нарушает линейности, зато оператор системы преобразуется к ганкелевому виду. Здесь особо подчерк- нем, что собственные числа ганкелевой матрицы равны по модулю сингулярным числам связанной с ней теплицевой матрицы [2, 5]. Собственные числа ганкеле- вой матрицы — это и есть ДЧХ. Заметим, что знаки собственных значений для ДЧХ играют роль фазовой характеристики. Ганкелев оператор никоим образом не связан с разделением интервалов вре- мени подачи воздействия и реакции на него [3]. Спектр такого ганкелева операто- ра дискретен, но не ограничен порядком динамической системы, его можно найти тривиальным обращением к процедуре поиска собственных значений [4]. Соот- ветствующие представления для оператора свертки в дискретной матричной фор- ме (3) имеют следующий вид [1]: ,21 FHFHQ  (4) где 1H и 2H — симметричные операторы ганкелева типа, F — флип-матрица. Таким образом, технически реализацию указанных ганкелевых операторов можно осуществить, добавляя к входу или к выходу динамической системы блок, реализующий оператор зеркального отображения функции во времени относительно середины временного интервала ).(0, T Этот блок — флип-матрица F [1, 4]. Флип-матрица обладает рядом специальных свойств: она симметрична , FF ортогональна 1  FF и инвoлютивна ,2 EF  где E — тождествен- ный оператор. Отсюда вытекает, что собственные числа флип-матрицы вещест- венны и по модулю равны единице, т.е. ее спектр сосредоточен в точках .1 Известно, что на множестве линейных систем системы 1S и 2S изометриче- ски эквивалентны, если их операторные нормы совпадают [1]. Введенное таким образом отношение обладает свойствами симметричности, рефлексивности и транзитивности, т.е. является отношением эквивалентности .2121 SSSS  Например, в силу своей изометричности флип-матрица не меняет энергии преоб- разуемых сигналов, а также их классических норм. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 15 Системы с операторами 1H и 2H изометрически эквивалентны системе S в смысле любой из операторных р-норм как в конечномерном пространстве ,nR так и бесконечномерных пространствах ., ,21 HLL Более того, поскольку действие флип-матрицы сохраняет форму непрерывных сигналов с точностью до зеркаль- ного отображения, у этих трех операторов будут совпадать и входные сигналы, на которых достигаются эти нормы. Это означает, что для решения задач, связанных с отысканием норм операторов и экстремальных сигналов, на которых достигают- ся нормы, можно вместо оператора свертки S использовать симметричные опера- торы ,1H ,2H более просто устроенные с точки зрения классической теории операторов. Изометрическая эквивалентность операторов ,1H 2H и S свиде- тельствует о том, что сингулярные числа оператора свертки совпадают с собст- венными числами cимметрированных операторов [5]. С другой стороны, в линейной алгебре и теории операторов существуют мультипликативная и аддитивная процедуры выделения симметричных частей линейных операторов [6]. В них используется представление оператора в виде суммы симметричной и кососимметричной составляющих, а также полярное раз- ложение. Наиболее глубокие результаты теории операторов получены для само- сопряженных систем. Это объясняется тем, что они обладают высокой степенью симметрии, характеризуемой равенством . AA Многие операторы, возникающие при исследовании линейных динамических систем, не являются симметричными в указанном классическом смысле. Мультипликативный подход к выделению симметричной части линейного оператора опирается на известное полярное разложение операторов согласно формуле ,2211 HOOHA  (5) где A — исходный оператор, 1O и 2O — ортогональные операторы. Указанные операторы могут быть найдены из соотношений ;*2 1 AAH  ;2 2 AAH  ;1 11 AHO  .1 22  AHO (6) Среди различных полярных разложений теплицевых матриц есть одно осо- бенно простое. Структура его ясна из следующего утверждения [1]. Утверждение. Любая вещественная теплицева матрица может быть пред- ставлена в виде произведения ганкелевой (симметричной) и перестановочной матриц, причем ганкелева получается вращением теплицевой на 90, а перестано- вочная — вращением единичной на 90. Алгоритм, определяемый этим утверждением, будем использовать при рас- чете ДЧХ непрерывной линейной динамической системы. Пример. Рассмотрим систему второго порядка (консервативное звено) с пе- редаточной функцией ).1/(1)( 2  ppW Рассчитаем для этого звена ДЧХ, используя матричную форму (3) для опера- тора свертки и полярное разложение (4)–(6) его теплицовой матрицы. Алгоритм расчета ДЧХ заключается в нахождении спектра (собственные числа) ганкелевого представления теплицевой матрицы .Q В дальнейшем под собственной функцией (вектором) будем понимать вход- ной сигнал, проходящий через флип с передаточной функцией )( pF [1] и систе- му с передаточной функцией )( pW без искажения, сохраняясь с точностью до масштабного коэффициента  собственного числа. Для получения собственных функций скалярной системы можно использовать несколько подходов. Первый подход справедлив для разнесенных интервалов времени 16 ISSN 0572-2691 управления и реакции [3]. Алгоритм включает операции вычисления матрицы ,0WWW c ее собственных векторов и моделирования свободного движения иссле- дуемой системы при различных начальных условиях; cW — грамиан управляемости, 0W — грамиан наблюдаемости. Второй подход (более универсальный относительно выбора интервалов) основывается на моделировании в реальном масштабе времени с помощью флип-метода на основе итерационного алгоритма, описанного в [4]. Рассмотрим метод математического моделирования для совмещенных интервалов. Мультигармонический входной сигнал образуется взвешенной суммой гармоник с частотами — основной и сопряженной, отвечающими сечению амплитудно- частотной характеристики (АЧХ), линиями одинаковой высоты на уровне коэффи- циента усиления . Гармоники проходят с равным коэффициентом усиления, их частоты образуют искомые точки на оси частот, при которых входной сигнал проходит с входа на выход не искажаясь. Каждая точка на частотной характеристике отвечает своей гармонике. Точке на комплексной оси  jp отвечает, например, круговая гармоника вида ).cos()sin( tbta  Для звена второго порядка основная и сопряженная частоты для  опреде- ляются формулами ,)λ/11( 2/1 1  .)λ/11( 2/1 2  Собственные функции этого звена находим по выражению ),sin()sin()sin()sin()( 221112 Qtttf  (7) где фазы ,2/)( 11 T 2/22 T учитывают условие нулевого начального состояния (выходной сигнал и его производная в стартовый момент равны нулю). Если спектральные точки ДЧХ размещаются ниже статического коэффици- ента усиления, младшие собственные функции, помимо круговой гармоники, со- держат гиперболические составляющие, для поиска которых потребуется срез комплексной частотной характеристики вдоль вещественной оси. Потребность в них невелика, поскольку точек ДЧХ — бесконечное множество, и наибольший интерес представляет главная собственная функция, описываемая заметно проще и зависящая, наравне с соседними младшими собственными функциями, от пар- ных частот. Отметим, что главное собственное значение (выделяющееся по ам- плитуде ) может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Знак зависит от протяженности интервала, он может меняться. В табл. 1 приведены сопряженная n и основная n (одна из частот выбра- на опорной) и частоты для ряда собственных чисел динамической системы, отве- чающих интервалу времени (0, 10) с. Таблица 1  3,914 3,221 1,311 1,143 n 0,863 0,831 0,486 0,351 n 1,121 1,145 1,321 1,371 В табл. 2 приведены амплитуды ,nA определяемые модулями собственных значений, и соответствующие им частоты (основные частоты n ) десяти первых точек ДЧХ для интервала времени (0, 10) с. Таблица 2 nA 3,914 3,221 1,311 1,143 0,796 n 1,121 1,145 1,321 1,371 1,502 nA 0,466 0,304 0,215 0,161 0,125 n 1,773 2,071 2,376 2,685 3,000 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 17 На рис. 1 приведен нанесенный на АЧХ дискретный частотный спектр кон- сервативного звена с сопряженными точками на резонансном пике (данные из табл. 1 и 2). Из рисунка видно, что на конечном интервале длительностью 10 с на резонансном пике имеется ряд сложносоставных гармоник. 4 3,5 3 2 1 0 2,5 1,5 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 А м п л и ту д а Частота Рис. 1 Главному собственному значению (первой колонке таблиц) отвечает мак- симальный амплитудный коэффициент усиления 3,914, достижимый динами- ческой системой на интервале в 10 с. Как видно, такой расчет заметно конкретнее и точнее абстрактной оценки, получаемой для бесконечного или полубеско- нечного интервала времени. Таким образом, опираясь на ДЧХ, мы можем давать реальную оценку, каче- ственно и количественно отличающуюся от результатов прежней теории в луч- шую, более прагматичную сторону. При этом первые четыре собственные функции динамической системы предпочтительнее прочих своим более простым описанием, и среди них главная — собственная функция, соответствующая максимальному , представляющая собой альтернативу импульсной и весовой характеристик звена для конкретного интервала времени. Вид неискажаемого входного сигнала (сплошная кривая), отвечающего мак- симальному собственному числу, приведен на рис. 2. Для проверки рядом вычис- лена и приведена реакция (главная собственная функция (7)) на входной сигнал (штриховая линия). Реакция совпадает с входным сигналом по форме, но инверс- на ему во времени. Напомним, что на флип ,F предшествующий динамической системе, поступает неинвертированный сигнал (7), как раз инверсия во времени и входит в его основное предназначение. Уменьшим в нашем исследовании временной интервал до 5 с и вычислим ДЧХ для этого интервала. На рис. 3 и 4 приведены соответственно ДЧХ и главная собственная функция консервативного звена для этого интервала времени. ДЧХ оценивают последствия сокращения времени и способствуют осмыс- ленному описанию резонансов. Сформулируем общий вывод: собственные значения линейной динамической системы, равные cингулярным числам оператора свертки [1], образуют для рас- сматриваемого интервала длительности Т дискретное множество, точки которого, взятые по амплитуде, расположены на классической непрерывной АЧХ. Чем про- тяженнее интервал T, тем плотнее линии ДЧХ. Указанная закономерность нетривиальна и не повторяет во всех деталях соотношения дискретного и непрерывного спектров сигналов, известного в теории преобразования Фурье. В отличие от теории сигналов при переходе от беско- нечного интервала времени к конечному спектр хотя и становится дискретным, но его отсчеты на оси частот изначально неравномерны и определяются спецификой звена (передаточной функцией). 18 ISSN 0572-2691 1 0,8 0,6 0,2 -0,2 0 0,4 -0,6 -0,4 1 2 3 4 5 6 7 8 А м п л и ту д а Частота -0,8 -1 0 9 10 Рис. 2 3 2 1 0 2,5 1,5 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 А м п л и ту д а Частота Рис. 3 -0,4 0,8 0,6 0,2 1 0 0,4 -0,8 -0,6 1 2 3 4 5 А м п л и ту д а Частота -0,2 -1 0 Рис. 4 Заключение Классическая теория линейных динамических систем в значительной степени ориентирована на бесконечный или полубесконечный интервалы времени. Это каса- ется аппарата частотных характеристик, преобразования Лапласа, фильтров Калмана, анализа устойчивости и других областей, где получено много полезных результатов. Однако на практике такой подход применим лишь для динамических систем, время работы которых значительно больше длительности переходных процессов. Вместе с тем реальные системы часто работают на конечных интервалах времени, соизмеримых со временем переходных процессов системы. В таких ус- ловиях многие результаты классической теории перестают быть справедливыми или вообще теряют смысл. Это касается, например, вопросов устойчивости сис- тем на конечном интервале времени, а также той роли, которые играют синусои- дальные гармонические сигналы в частотном анализе. Поэтому представляется важным изучение, во-первых, тех результатов и положений классической теории, которые сохраняются и на конечных интервалах времени (возможно, с частичной модификацией), во-вторых, изучение новых эффектов и свойств, которые здесь появляются. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 19 В статье исследован один из аспектов этой теории, связанный с изучением спектральных характеристик оператора свертки на конечном интервале времени. Сингулярные функции оператора свертки совпадают с собственными векторами cимметрированных операторов, которые изометрически эквивалентны оператору свертки. Они постулируются как собственные векторы (функции) динамической системы и могут быть получены набором разнообразных методов для каждого элементарного звена. В настоящей работе использован метод математического моделирования для расчета спектральных характеристик, имеющих общие черты с частотным синте- зом систем автоматического управления по АЧХ и ФЧХ. Исследована система второго порядка. Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что сингулярные функции оператора свертки обладают рядом экстремальных свойств и могут быть полезны при решении задач оптимизации, например в спор- те для решения задачи оптимизации техники движений [7]. Для поддержки работ и ознакомления с практикой и теорией динамических систем, работающих на конечном интервале времени, авторы создали ресурсы Интернет [7, 8]. М.О. Балонін, В.С. Суздаль, О.В. Соболєв ДИСКРЕТНІ ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРЕРВНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ Досліджено один з аспектів теорії лінійних динамічних систем, пов’язаний з вивченням спектральних характеристик оператора згортки на кінцевому інтервалі часу. Прикладне значення отриманих результатів в тому, що сингулярні функції оператора згортки мають ряд екстремальних властивостей та можуть бути корисні при вирішенні задач оптимального керування. N.A. Balonin, V.S. Suzdal, A.V. Sobolev THE DISCRETE FREQUENCY RESPONSES OF CONTINUOUS LINEAR SYSTEMS One aspect of linear dynamical system theory with the study of the spectral responses of the convolution operator on a finite time interval is considered. The practical sig- nificance of the result is that singular functions of the convolution operator have ex- treme properties and may be useful for solving optimal control problems. 1. Балонин Н.А. Компьютерные методы анализа линейных динамических систем: Дис. … д-ра техн. наук. — СПб: — 2008. — 400 с. 2. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Спектральные характеристики линейных систем на огра- ниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 6. — С. 3–22. 3. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their L-error bounds // Intern. J. Control. — 1984. — 39, N 6. — P. 1115–1193. 4. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Флип-метод определения сингулярных функций ганкелева оператора и оператора свертки // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 11. — С. 3–18. 5. Балонин Н.А. Сингулярные функции линейных динамических систем. — Lambert: Academic Publishing, 2011. — 112 с. 6. Балонин Н.А. Линейные операторы динамической системы // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 11. — С. 57–68. 7. Balonin N.A. Finite time interval dynamic system, available at. — http://mathscinet.ru/ sys- tems/finitetime/ (accessed 5 november 2014). 8. Балонин Н.А., Суздаль В.С. Эмулятор системы Чохральского. http://mathscinet.ru/crystalls/ czochralski / (accessed 5 november 2014). Получено 28.01.2015 После доработки 20.04.2015 http://mathscinet.ru/ http://mathscinet.ru/crystalls/%20czochralski http://mathscinet.ru/crystalls/%20czochralski

Дискретные частотные характеристики непрерывных линейных систем

Institution

Ähnliche Einträge