Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Запропоновано схему методу скінченних елементів з вибором базисних функцій для еліптичних крайових задач. Головною особливістю даної схеми є те, що базисні функції, які формують наближене рішення, знаходяться поряд з вузловими параметрами, а не задаються наперед. Обчислювальний експеримент продемонс...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2015
Main Authors: Литвин, О.М., Носов, К.В., Баранова Т.А.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Series:Проблемы управления и информатики
Subjects:
Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208031
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона / О.М. Литвин, К.В. Носов, Т.А. Баранова // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 44-63. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208031
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2080312025-10-19T00:04:49Z Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона Реалізація методу скінченних елементів з оптимальним вибором базисних функцій для задачі Диріхле для рівняння Пуассона Realization of the finite element method with optimal choice of basic functions for Dirichlet problem for Poisson equation Литвин, О.М. Носов, К.В. Баранова Т.А. Оптимальное управление и методы оптимизации Запропоновано схему методу скінченних елементів з вибором базисних функцій для еліптичних крайових задач. Головною особливістю даної схеми є те, що базисні функції, які формують наближене рішення, знаходяться поряд з вузловими параметрами, а не задаються наперед. Обчислювальний експеримент продемонстрував, що дана схема має значно вищу точність в порівнянні з класичними схемами, у яких базисні функції фіксовані. The paper deals with the scheme of the finite element method with choice of basic functions for elliptic boundary value problems. The main feature of this scheme is that the basic functions forming an approximate solution are not fixed in advance, but should be calculated along with values of nodes parameters. Computational experiment demonstrated that the scheme has a much higher accuracy compared with conventional schemes, for which the basic functions are fixed. 2015 Article Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона / О.М. Литвин, К.В. Носов, Т.А. Баранова // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 44-63. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208031 519.63 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i9.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Оптимальное управление и методы оптимизации
Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle Оптимальное управление и методы оптимизации
Оптимальное управление и методы оптимизации
Литвин, О.М.
Носов, К.В.
Баранова Т.А.
Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Проблемы управления и информатики
description Запропоновано схему методу скінченних елементів з вибором базисних функцій для еліптичних крайових задач. Головною особливістю даної схеми є те, що базисні функції, які формують наближене рішення, знаходяться поряд з вузловими параметрами, а не задаються наперед. Обчислювальний експеримент продемонстрував, що дана схема має значно вищу точність в порівнянні з класичними схемами, у яких базисні функції фіксовані.
format Article
author Литвин, О.М.
Носов, К.В.
Баранова Т.А.
author_facet Литвин, О.М.
Носов, К.В.
Баранова Т.А.
author_sort Литвин, О.М.
title Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
title_short Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
title_full Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
title_fullStr Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
title_full_unstemmed Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона
title_sort реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи дирихле для уравнения пуассона
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2015
topic_facet Оптимальное управление и методы оптимизации
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208031
citation_txt Реализация метода конечных элементов с оптимальным выбором базисных функций для задачи Дирихле для уравнения Пуассона / О.М. Литвин, К.В. Носов, Т.А. Баранова // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 44-63. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT litvinom realizaciâmetodakonečnyhélementovsoptimalʹnymvyborombazisnyhfunkcijdlâzadačidirihledlâuravneniâpuassona
AT nosovkv realizaciâmetodakonečnyhélementovsoptimalʹnymvyborombazisnyhfunkcijdlâzadačidirihledlâuravneniâpuassona
AT baranovata realizaciâmetodakonečnyhélementovsoptimalʹnymvyborombazisnyhfunkcijdlâzadačidirihledlâuravneniâpuassona
AT litvinom realízacíâmetoduskínčennihelementívzoptimalʹnimviborombazisnihfunkcíjdlâzadačídiríhledlârívnânnâpuassona
AT nosovkv realízacíâmetoduskínčennihelementívzoptimalʹnimviborombazisnihfunkcíjdlâzadačídiríhledlârívnânnâpuassona
AT baranovata realízacíâmetoduskínčennihelementívzoptimalʹnimviborombazisnihfunkcíjdlâzadačídiríhledlârívnânnâpuassona
AT litvinom realizationofthefiniteelementmethodwithoptimalchoiceofbasicfunctionsfordirichletproblemforpoissonequation
AT nosovkv realizationofthefiniteelementmethodwithoptimalchoiceofbasicfunctionsfordirichletproblemforpoissonequation
AT baranovata realizationofthefiniteelementmethodwithoptimalchoiceofbasicfunctionsfordirichletproblemforpoissonequation
first_indexed 2025-11-26T19:49:55Z
last_indexed 2025-11-26T19:49:55Z
_version_ 1849883729230561280
fulltext © О.Н. ЛИТВИН, К.В. НОСОВ, Т.А. БАРАНОВА, 2015 44 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 519.63 О.Н. Литвин, К.В. Носов, Т.А. Баранова РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ОПТИМАЛЬНЫМ ВЫБОРОМ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА Введение История метода конечных элементов (МКЭ) насчитывает несколько десятилетий. Вначале он рассматривался как развитие классических методов строительной механики и применялся, в основном, в этой области. В дальнейшем совместными усилиями математиков, инженеров и программистов данный метод разрабатывался и развивался как разновидность вариационно-разностных методов (методов Ритца, Бубнова–Галеркина и др.). Позднее оба подхода были объединены и в настоящее время рассматриваются как два аспекта одного и того же метода. Общая идея МКЭ, вытекающая из классических методов строительной механики, состоит в расчленении сложной системы на простые элементы с последующим объедине- нием их в единое целое. С реализацией этой простой и очевидной идеи класси- ческих методов строительной механики исследования поведения тела на основе поведения отдельных его частей — конечных элементов — связаны наглядность и физичность метода, простота учета неоднородности материала, граничных условий и изменяемости геометрической формы, что обеспечивает широкое распространение метода. Эту идею дискретной аппроксимации удалось развить и перенести из области задач строительной механики на более сложные классы механических и немеханических задач, сделав тем самым МКЭ универсальным средством решения краевых задач математической физики. Этот метод успешно используется в самых разнообразных задачах. Он был создан для решения сложных уравнений теории упругости и строительной меха- ники и незаменим при учете геометрических особенностей области. В этом случае МКЭ используется не только для решения системы уравнений, но и, в первую очередь, для формулировки и построения дискретных аппроксимаций. При построении схем данного метода возникает задача выбора системы базисных функций, с помощью которых строится приближенное решение. Во многих работах предложено большое количество различных систем базисных функций, большинство из которых представляет собой кусочно-полиномиальные интерпо- лянты, обеспечивающие нужный класс дифференцируемости искомого при- ближенного решения и согласованности этого решения с граничными условиями исходной задачи [1–3]. Из свойств приближенного решения вытекает еще одно важнейшее свойство — порядок сходимости приближенного решения к точному Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 45 в соответствующей норме при дроблении сетки. Несмотря на разнообразие схем МКЭ для эллиптических задач с частными производными, практическое получение приближенного решения с высокой точностью сопряжено с серьезными препятст- виями, связанными со стремительным ростом вычислительных затрат и накопле- нием погрешностей округления при увеличении степеней свободы и увеличении степени используемых интерполянтов. Поэтому разработка вычислительных МКЭ, которые при заданном (как правило, небольшом) числе степеней свободы обеспечивают минимальную ошибку, остается вполне актуальной. Проведенный анализ схем МКЭ показывает, что используемые системы базисных функций учитывают только некоторые свойства краевой задачи (упо- мянутые свойства принадлежности приближенного решения определенному клас- су гладкости, согласованность с граничными условиями задачи) и мало связаны со свойствами дифференциального оператора задачи. Учет последних свойств обеспечивает один из подходов к решению этой проблемы. Схемы МКЭ с выбором базисных функций, оптимальных с точки зрения минимизации функционала энергии вариационной задачи, эквивалентной исходной, впервые предложены в работах [4, 5]. В работах [6, 7] были разработаны различные вычислительные схемы МКЭ с выбором базисных функций. Так, в работе [7] координатные функции приближенного решения строились с использованием сплайнов первой степени, параметры которых определялись из условия минимума функционала энергии с использованием метода Гаусса–Зейделя. В работах [8–10] разработана итерационная схема «flip-flop», согласно которой совокупности узловых параметров и базисные функции вычислялись на отдельных шагах итерационного процесса. Цель данной работы — разработка вычислительной схемы МКЭ с выбором координатных функций, которая является обобщением работ [4–12]. Обобщение касается использования отдельной системы базисных функций для каждого узла разбиения. Вычислительный эксперимент, проведенный для модельной задачи на нескольких областях, подтвердил высокую точность предложенной схемы. 1. Постановка задачи Рассмотрим граничную задачу для самосопряженного дифференциального оператора ,1,0,,0/ ,),,,(),()( 21   msu xxxfxAu ss n x xx  (1) где  — n -мерная область, границы которой состоят из участков гиперплоскостей размерности ,1n параллельных координатным гиперплоскостям; ν — нормаль к , );()( 2  Lf x A — самосопряженный дифференциальный оператор эллиптического типа порядка m2 ),,,,(),)(()1( 21 || || n m uDaDAu     αx α x α x α α (2) где ./, 21 21 || 21 n nn xxxuuD    αα xα Вводится разбиение области  на гиперпараллелепипеды гиперплоскостями ,,1,, kkikk Nixx k  .,1 nk  Приближенное решение краевой задачи (1) строится с использованием узловых параметров в каждой точке разбиения и системы функций, которые обеспечивают нужную степень гладкости решения. 46 ISSN 0572-2691 Введем обозначения ,21 nxdxdxdd x ,,1,, kkk ikikik xx   ,,1 kk Ni  .,1 nk  Гиперпараллелепипед, отвечающий ),,,,( 21 niii i обозначим  i .},1],,[{ 1,, nkxxx kk ikikk  x В i приближенное решение представим в форме ,)(~ , , , ,1,, 1 ,, 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11 q q q q qq n nn r iq iq iqq rq n q rr m r m r xx huu                       iμii x  (3) где использованы обозначения ),,,,( 21 n μ ),,,,( 2211 nniii  μi а функции )(,1,,  pqh i имеют достаточную степень гладкости и обладают свойствами .1,0;1,0;1,0;1,0,)( ,, )( ,1,,   qmpmsh ps s pq i (4) Легко проверяется, что )(~ xiu удовлетворяет условию   n nn iiinii uxxxuD ,, ,,,,2,1 1 121 ),,,(~  α для всех узловых параметров  n nii u ,, ,, 1 1   области . Существенным расширением схемы, предложенной в работе [5], является использование для каждого узлового параметра отдельной системы координатных функций, что и отображено в (1). Приближенное решение находится из условия минимума функционала энергии, отвечающего задаче (1) ,)()(2))()(()( 2 || xxxxx α xα α dufuDauJ m             по координатным функциям )(,1,,  pqh i и узловым параметрам . ,, ,, 1 1  n nii u   Исходя из работы [5], можно показать, что узловые параметры  n nii u ,, ,, 1 1   и координатные функции ),(,1,,  pqh i реализующие минимум функционала энергии, удовлетворяют системе Ритца 0 )~( ,, ,, 1 1     n nii u uJ   по всем узловым параметрам  n nii u ,, ,, 1 1   и системе уравнений, определяющей минимум функционала )~(uJ по системе координатных функций ).(,1,,  pqh i Если выполнено условие ],1,0[)( 2 2,1,, m pq Wh i последняя система представляет собой краевую задачу для системы обыкновенных нелинейных интегро- дифференциальных уравнений ,0)~( ,1,,   uJ qrqqh i где  — вариация функционала )~(uJ по функциям ).(,1,,  qq rqh i Каждая такая вариация представляет собой обыкновенное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Краевые условия, накладываемые на неизвестные функции ),(,1,,  qq rqh i входящие в эти уравнения, определяются условиями (4). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 47 2. Модельная задача — краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона Детально исследуем схему построения приближенного решения для модель- ной задачи — задачи Дирихле для уравнения Пуассона .),(,0),( ,),(),,(),( 2 Gyxyxu RGyxyxfyxu   (5) Учитывая предположения относительно области ,G можно разбить ее прямыми ,ixx  ,,0 xni  ,jyy  ,,0 ynj  на прямоугольные элементы :),{(, yxji  }; 11   jjii yyyxxx . В соответствии со схемой с каждым узлом разбиения связывается система из четырех базисных функций. Приближен- ное решение в прямоугольнике ji, представляется в виде                                             j j ji i i jiji j j ji i i jiji yy H xx hu yy H xx huyxu ,2 ,1,1 ,1 ,1,0,1 ,2 ,,1 ,1 ,,1,),(~ . ,2 1,1,0 ,1 1,1,01,1 ,2 1,,0 ,1 1,,11,                                            j j ji i i jiji j j ji i i jiji yy H xx hu yy H xx hu (6) Считаем, что функции ),(,,1 jih ),(,,0 jih ),(,,1 jiH )(,,0 jiH имеют вторую производную, интегрируемую в квадрате, и удовлетворяют следующим гранич- ным условиям: .1)1(,0)0( ,0)1(,1)0( ,1)1(,0)0( ,0)1(,1)0( ,,0,,0 ,,1,,1 ,,0,,0 ,,1,,1     jiji jiji jiji jiji HH HH hh hh Согласно изложенной схеме, приближенное решение ),(~ yxu ищем из усло- вия минимизации функционала энергии ,)),(2)()(()( 22 ydxdyxfuuuJ yx    (7) соответствующего задаче (1), по функциям ),(,,1 jih ),(,,0 jih ),(,,1 jiH ).(,,0 jiH В дальнейшем, если не оговорено иное, весь набор узловых параметров jiu , обозначим },{ , jiu а обозначение jiu , применим для узлового параметра, соответ- ствующего узлу сетки ).,( ji yx Аналогично )(,,1 jih обозначим функцию, форми- рующую приближенное решение в прямоугольнике ,, ji а )}({ ,,1 jih — всю со- вокупность данных функций (это распространяется и на функции ),(,,0 jih ),(,,1 jiH )).(,,0 jiH В зависимости от выбора классов базисных функций )},({ ,,1 jih )},({ ,,0 jih )},({ ,,1 jiH )},({ ,,0 jiH возможны различные подходы к построению решения за- 48 ISSN 0572-2691 дачи (5). Опишем два возможных подхода, отличающихся условиями гладкости базисных функций. 2.1. Базисные функции из класса 1).(0,1),(0, 2 1,0 2 0,1 DD Следуя [8], обозна- чим ),(2 , baD  класс функций из ],,[2 baC удовлетворяющих условиям ,)( af .)( bf Считаем, что функции )},({ ,,1 jih )}({ ,,1 jiH принадлежат классу ),1,0(2 0,1D а )},({ ,,0 jih )}({ ,,0 jiH — классу ).1,0(2 1,0D Теорема 1. Если базисные функции )},({ ,,1 jih )},({ ,,0 jih )},({ ,,1 jiH )}({ ,,0 jiH принадлежат указанным выше классам, то необходимыми условиями экстремума функционала на наборе узловых параметров }{ , jiu и наборе функций )},({ ,,1 jih )},({ ,,0 jih )},({ ,,1 jiH )}({ ,,0 jiH являются ,0 )})({)},({)},({)},({},({ }{}{ , ,,0,,1,,0,,1, ,,     jiji uu ji jijijijiji u HHhhuJ ,0)})({)},({)},({)},({},({ )()(,,0,,1,,0,,1,)( ,,1,,1,,1   jijiji hhjijijijijih HHhhuJ ,0)})({)},({)},({)},({},({ )()(,,0,,1,,0,,1,)( ,,0,,0,,0   jijiji hhjijijijijih HHhhuJ ,0)})({)},({)},({)},({},({ )()(,,0,,1,,0,,1,)( ,,1,,1,,0   jijiji HHjijijijijiH HHhhuJ .0)})({)},({)},({)},({},({ )()(,,0,,1,,0,,1,)( ,,0,,0,,1   jijiji HHjijijijijiH HHhhuJ Доказательство можно получить, повторяя с очевидными изменениями выкладки теоремы 2.1 [8], основанной на теореме о полном дифференциале для производной Фреше [13]. Для нахождения приближенного решения используем следующую итера- ционную схему. Считаем функции )},({ ,,  jih )}({ ,,  jiH известными (например, на первом шаге положим, что это — линейные функции, удовлетворяющие соответ- ствующим краевым условиям), находим неизвестные }{ , jiu из системы Ритца .0/)( ,  jiuuJ Используем обозначения )}({ ][ ,,  k jih для функций )},({ ,,  jih най- денных на шаге k итерационного процесса, аналогично )}({ ][ ,,  k jiH — k-я итерация функции )}.({ ,,  jiH Таким образом, начальные приближения функций )}({ ,,  jih и )}({ ,,  jiH обозначим )}({ ]0[ ,,  jih и )}.({ ]0[ ,,  jiH Обозначим },{ , jiu найденные на этом шаге, как },{ ]0,0[ , jiu где верхний индекс соответствует номеру итерации для ба- зисных функций ( )}({ ]0[ ,,  jih и )}),({ ]0[ ,,  jiH используемых для нахождения }.{ ]0,0[ , jiu Затем, используя найденные узловые параметры }{ ]0,0[ , jiu и считая функции )}({ ]0[ ,,  jiH фиксированными, из условия 0)~()(,,   uJ jih ,1,0(  по всем ), ji найдем систему функций )},({ ,,  jih которую обозначим )}.({ ]1[ ,,  jih Из системы Рит- ца, считая )}({ ]1[ ,,  jih и )}({ ]0[ ,,  jiH известными, находим узловые параметры },{ , jiu Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 49 которые обозначим }.{ ]0,1[ , jiu Аналогично из условия 0)~()(,,   uJ jiH ,1,0(  по всем ), ji находим систему функций )},({ ]1[ ,,  jiH после чего алгоритм повторяется. Последовательность начальных итераций для нахождения узловых параметров и координатных функций представим условной схемой },{)}({)},({ ]0,0[ , ]0[ ,, ]0[ ,, jijiji uHh   )},({)}({},{ ]1[ ,, ]0[ ,, ]0,0[ ,   jijiji hHu  },{)}({)},({ ]0,1[ , ]0[ ,, ]1[ ,, jijiji uHh   )},({)}({},{ ]1[ ,, ]1[ ,, ]0,1[ ,   jijiji Hhu  }.{)}({)},({ ]1,1[ , ]1[ ,, ]1[ ,, jijiji uHh   Аналогично шаг k итерационного процесса задается схемой }.{)}({)},({ )},({)}({},{ },{)}({)},({ )},({)}({},{ },{)}({)},({ ]1,1[ , ]1[ ,, ]1[ ,, ]1[ ,, ]1[ ,, ],[ , ],1[ , ][ ,, ]1[ ,, ]1[ ,, ][ ,, ],[ , ],[ , ][ ,, ][ ,,                     kk ji k ji k ji k ji k ji kk ji kk ji k ji k ji k ji k ji kk ji kk ji k ji k ji uHh Hhu uHh hHu uHh      (8) Рассмотрим каждый тип итераций данной схемы. Нахождение очередной итерации узловых параметров (решение системы Ритца) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, так как поставленная задача минимизации функционала по узловым параметрам }{ , jiu квадратична. Из квадратичности следует единственность решения системы Ритца при произ- вольных координатных функциях )},({ ,,  jih )},({ ,,  jiH удовлетворяющих указанным условиям. Для решений систем ,0)~()(,,   uJ jih 0)~()(,,   uJ jiH используется теорема. Теорема 2. Пусть ,,mi ,1,  mi , Mi, — прямоугольные элементы, удовлетворяющие таким условиям: • стороны },),{( 1 mii yyxxxyx   и },),{( 11   Mii yyxxxyx элементов mi, и Mi, соответственно принадлежат .G • ни одна из сторон },,),{( 1 jii yyxxxyx   ,,1 Mmj  элементов ji, не принадлежит .G В данном случае вариации функционала )~(uJ по функциям ),(,,1 jih ,,1 Mmj  представляют краевую задачу для системы обыкновенных диффе- ренциальных уравнений 50 ISSN 0572-2691       ,)1(,)0( ),()()( 01 hhhh Chh ttBtA (9) где , )( )( )( )( ,,1 2,,1 1,,1                    th th th t Mi mi mi  h , 0 0 0 0                   h , 1 1 1 1                   h ,A B — трехдиагональные матрицы , 0000 000 0000 0000 000 0000 ,1, ,11,12,1 1,22,2 3,32,3 3,22,21,2 2,11,1                                  MMMM MMMMMM MMMM mmmm mmmmmm mmmm aa aaa aa aa aaa aa A        , 0000 000 0000 0000 000 0000 ,1, ,11,12,1 1,22,2 3,32,3 3,22,21,2 2,11,1                                  MMMM MMMMMM MMMM mmmm mmmmmm mmmm bb bbb bb bb bbb bb B        где ,))()(( 2 ,,1,2 2 ,,01,2 1 0,1 2 , , dttHtH u a jijjij i ji jj     ,,1 Mmj  ,)()( ,,11,,0 1 0,1 1,,,2 ,11, dttHtH uu aa jiji i jijij jjjj        ,1,1  Mmj , ))(())(( ,2 2 ,,1 1,2 2 ,,0 1 0,1 2 , , dt tHtHu b j ji j ji i ji jj                  ,,1 Mmj  ,)()( ,,11,,0 1 0,2 1,,,1 ,11, dttHtH uu bb jiji j jijii jjjj         ,1,1  Mmj , )( )( )( )( 2 1                    tc tc tc t M m m  C   dHHutc jijjijijij ))()((2)( ,,1,2,,01,2 1 0 ,1, Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 51                     d HHHH uuth j jiji j jiji ijijiji ,2 ,1,1,,1 1,2 ,1,0,,0 1 0 ,1,1,,1,0 )()()()( )( .)()()( ))()()()(()( )()()( )()()( )()()( ,,11,1,0 1 0,2 ,1 1,1,1,1,0 ,1,0,,1,2,1,0,,01,2 1 0,1 ,1, ,1,0 1,1,0,,0 1 0,1 1,2 1,1,1,1,0 1,1,1,,0 1 01,2 ,1 1,1,1,1,0 ,,11,1,0 1 0,2 ,1 1,1,1,1,0                                    dHHuuth dHHHH uu th dHHuuth dHHuuth dHHuuth jiji j i jijiji jijijjijij i jiji ji jiji i j jijiji jiji j i jijiji jiji j i jijiji Доказательство основано на приравнивании 0 вариаций функционала энергии по соответствующим функциям. Теорема 3. Обобщенное решение краевой задачи (9) существует и является единственным. Доказательство. Воспользуемся хорошо известным результатом [14, с. 89], гарантирующим существование обобщенного решения операторного уравнения f в гильбертовом пространстве в случае, если  — положительно-определенный оператор. Перейдем в (9) к новым искомым функциям, удовлетворяющим одно- родным граничным условиям. Заменим ,1)()( ~ ,,1,,1  jiji hh .,1 Mmj  Тогда ,)( 2 0,0,,1 Dh ji  поскольку ).1,0()( 2 0,1,,1 Dh ji  Обозначим . )( ~ )( ~ )( ~ )( ~ ,,1 2,,1 1,,1                    th th th t Mi mi mi  h Тогда краевая задача (9) приводится к виду        , ~ )1( ~ , ~ )0( ~ ),( ~ )( ~ )( ~ 01 hhhh Chh ttBtA (10) что эквивалентно (9). В (10) входят те же матрицы ,, BA что и в (9). Для сокращения записи не приводим ).( ~ tC Введем линейное пространство .)1,0()1,0()1,0( 2 0,0 2 0,0 2 0,0     N DDDH  Пусть ,))(,),(),(( 21 Hxxx N  x ,))(,),(),(( 21 Hyyy N  y тогда скаляр- ное произведение в H можно задать следующим образом: 52 ISSN 0572-2691 .)()(),( 1 01 dttytx ii N i   yx Рассмотрим дифференциальный оператор , который действует в простран- стве H по правилу ),()( tBtA hhh  где .)( Hh Покажем положительную определенность . Докажем, что для матриц BA, выполнены неравенства 22 ),(,),( zzzzzz BA BA  (11) для некоторых .0,  BA Здесь ,NRz скалярное произведение и норма берутся в евклидовом пространстве .NR Докажем, например, первое неравенство. Покажем, что матрица A является матрицей Грама некоторой независимой системы функций. Известно, что для произвольной матрицы Грама G в евклидо- вом пространстве выполняется 2 ),( zzz A для некоторого .0 Введем функции                                           ],,[,0 ,, ,, )( 11 1 1,2 1 ,,0 ,1 , 1 ,2 ,,1 ,1 , jj jj j j ji i ji jj j j ji i ji j yy yy y H u yy y H u .,1 Mmj  Несложно показать, что матрица A представляет собой матрицу Грама сис- темы функций ).( j Вычисляя скалярное произведение функций )(),(  jj в пространстве ),,( 12 Mm yyL получим ,))()(( ))(),(( 2 ,,01,2 2 ,,1,2 1 0,1 2 , 1,2 12 ,,0 ,2 2 ,,1 ,1 2 , 1 1 dttHtH u d y Hd y H u jijjij i ji y y y y j j ji j j ji i ji jj j j j j                                               что совпадает с ., jja Аналогично скалярное произведение функций )(),( 1  jj будет равно                                             1 0 1,,,0,,1 ,1 1,, ,2 ,2 ,,0 ,2 ,,1 ,1 1,, 1 .)()( ))(),(( 1 jjjiji i jiji j y y j j ji j j ji i jiji jj adttHtH uu d y H y H uu j j Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 53 Очевидно, что )( j ( Mmj ,1 ) — линейно независимая система функций (это — функции-«крышки» с образующими ),(,,0 jiH зависящими от )).(,,1 jiH Аналогично устанавливается, что B — матрица Грама линейно независимой системы функций. Неравенства (11) доказаны. Теперь докажем, что для H)(h выполняется ,)())(),(( 2 HH  hhh .)()()(()()(( ))(()())()(( )())()()(()())( )(()()()()( )()())(()()(( )()())(( )())()(( )())()()(( )())()(()())( )(()())()()(( )())()(())(),(( 222 1 1 0 22 1 1 0 2 1 1 0 ,11, 11,,1,1 1 2 122,1 11,1,11, 11, 2 ,1,1 1 2 212,1 2 11,1 1 0 ,11, 11,,1,1 1 2 122,111,, 11,11,,1,1 1 2 122,111,1 1 0 HBAmi M ml BAmi M ml B mi M ml AmMmMMMmMMM mimiiimiiimiii M mi mm mmmMmMMMmMmMMM mimiiimiiimimiii M mi mmmm mMmMMMmMMM mimiiimiiimiii M mi mmmmmMmMMM mMMMmimiiimiiimiii M mi mmmmH dtthdtth dtthdtththbthb ththbthbthbththb thbththaththa ththathaththa ththatha dtththbthb ththbthbthb ththbthbththa thaththathatha ththatha                                                                 h hh При преобразованиях использовалось интегрирование по частям и неравен- ство В.А. Стеклова [15, c. 346]. Из положительной определенности  следует, что обобщенное решение краевой задачи (10), а значит и задачи (9), существует и является единственным. Заметим при этом, что введенное пространство H может оказаться слишком узким для существования решения, но это пространство и положительно-определенный оператор  всегда могут быть расширены [14, с. 88]. Теорема 3 доказана. 2.2. Базисные функции из класса кусочно-линейных функций. Рассмот- рим задачу (5) с приближенным решением в виде (6). В отличие от случая в разд. 2, считаем, что базисные функции ),(,,  jih ),(,,  jiH ,1,0 являются кусочно- линейными. Определим эти функции следующим образом. Пусть yx NN , — целые числа больше 1. Считаем, что функции ),(,,  jih ,1,0 являются линейными на 54 ISSN 0572-2691 интервалах ],/)1(,/[ xx NkNk  ,1,0  xNk аналогично )(,,  jiH — линейные на .1,0],/)1(,/[  yyy NkNkNk Кроме того, выполнено ,0,1,...,,1,0,)/( ,,,10,,,1,,,1,,1  xNjijixkjixji hhNkhNkh ,1,0,...,,1,0,)/( ,,,00,,,0,,,0,,0  xNjijixkjixji hhNkhNkh ,0,1,...,,1,0,)/( ,,,10,,,1,,,1,,1  yNjijiykjiyji HHNkHNkH .1,0,...,,1,0,)/( ,,,00,,,0,,,0,,0  yNjijiykjiyji HHNkHNkH В соответствии с этими определениями, каждая базисная функция )(,,  jih и )(,,  jiH имеет соответственно 1xN и 1yN свободных параметров (степе- ней свободы). Очевидно, при таком определении функций ),(,,1 jih ),(,,0 jih ),(,,1 jiH )(,,0 jiH выполняется равенство jiji uyxu ,),(~  для всех внутренних точек ),( ji yx раз- биения области. Приближенное решение ),(~ yxu находим из условия минимизации функцио- нала энергии (7). Минимизацию осуществляем по узловым параметрам jiu , и свободным парамет- рам функций ,,,,1 kjih kjih ,,,0 ),1,0(  xNk ,,,,1 kjiH kjiH ,,,0 )1,0(  yNk min)~( uJ (по ,, jiu ,,,,1 kjih ,,,,0 kjih ,,,,1 kjiH ).,,,0 kjiH Минимизацию проводим с помощью следующего итерационного процесса. В качестве начального приближения для параметров ,,,,1 kjih ,,,,0 kjih ,,,,1 kjiH kjiH ,,,0 выберем следующие: ,/)( ]0[ ,,,1 xxkji NkNh  ,/ ]0[ ,,,0 xkji Nkh  ,1...,,2,1  xNk ,/)( ]0[ ,,,1 yykji NkNH  ,/ ]0[ ,,,0 ykji NkH  .1...,2,1  yNk . Верхний индекс [0] означает начальное приближение. Подставляя , ]0[ ,,,1 kjih ]0[ ,,,0 kjih ),1,1(  xNk , ]0[ ,,,1 kjiH ]0[ ,,,0 kji H )1,1(  yNk в ),,(~ yxu получаем зада- чу минимизации  uJ ~ по узловым параметрам ., jiu Эта задача сводится к систе- ме Ритца   0 ~ ,    jiu uJ по всем внутренним узлам ),( ji yx и решается однозначно. Обозначим ]0,0[ , jiu узловые параметры, найденные на этом шаге. Верхний индекс [0, 0] означает, что при вычислении jiu , использовались начальные при- ближения параметров ,,,,1 kjih ,,,,0 kjih ,,,,1 kjiH .,,,0 kjiH Подставим параметры ]0[ ,,,0 kjih ),1,1(  xNk , ]0[ ,,,1 kjiH ]0[ ,,,0 kji H )1,1(  yNk в ),(~ yxu и найдем минимум функционала )~(uJ по параметрам kjih ,,,1 ...,2,1( k ).1..., xN Найденные таким образом параметры kjih ,,,1 обозначим , ]1[ ,,,1 kjih где [1] означает первое приближение. Подставим ]1[ ,,,1 kjih ),1,1(  xNk , ]0[ ,,,1 kjiH Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 55 ]0[ ,,,0 kjiH )1,1(  yNk и ]0,0[ , jiu в ),(~ yxu и найдем минимум функционала )~(uJ по параметрам kjih ,,,0 ).1...,,2,1(  xNk Как и на начальном шаге, подставим ]1[ ,,,0 kjih ),1,1(  xNk , ]0[ ,,,1 kjiH ]0[ ,,,0 kjiH )1,1(  yNk в ),,(~ yxu минимизируем )~(uJ по ,, jiu найденные таким образом узловые параметры обозначим . ]0,1[ , jiu После подстановки , ]0,1[ , jiu , ]1[ ,,,1 kjih ]1[ ,,,0 kjih )1...,,2,1(  xNk и ]0[ ,,,0 kji H )1,1(  yNk в ),(~ yxu получаем задачу минимизации )~(uJ по .,,,1 kjiH Найден- ные параметры обозначим ]1[ ,,,0 kjiH ).1,1(  yNk Теперь подставляем в ),(~ yxu параметры , ]0,1[ , jiu , ]1[ ,,,1 kjih ]1[ ,,,0 kjih ),1,1(  xNk ]1[ ,,,1 kjiH )1,1(  yNk и миними- зируем )~(uJ по . ]0[ ,,,0 kji H Найденные значения обозначим . ]1[ ,,,0 kji H Аналогично описанному выше способу после подстановки , ]1[ ,,,1 kjih , ]1[ ,,,0 kjih , ]1[ ,,,1 kjiH ]1[ ,,,0 kjiH в ),(~ yxu находим минимальное значение )~(uJ по ,, jiu най- денные узловые параметры обозначим . ]1,1[ , jiu Этот итерационный процесс на начальном шаге можно представить следую- щей схемой ,{ ]0[ ,,,1 kjih , ]0[ ,,,0 kjih , ]0[ ,,,1 kjiH } ]0[ ,,,0 kjiH  , ]0,0[ , jiu ,{ ]0,0[ , jiu , ]0[ ,,,0 kjih , ]0[ ,,,1 kjiH } ]0[ ,,,0 kjiH  , ]1[ ,,,1 kji h ,{ ]0,0[ , jiu , ]1[ ,,,1 kjih , ]0[ ,,,1 kjiH } ]0[ ,,,0 kjiH  , ]1[ ,,,0 kjih ,{ ]1[ ,,,1 kji h , ]1[ ,,,0 kjih , ]0[ ,,,1 kjiH } ]0[ ,,,0 kjiH  , ]0,1[ , jiu ,{ ]0,1[ , jiu , ]1[ ,,,1 kjih , ]1[ ,,,0 kjih } ]0[ ,,,0 kjiH  , ]1[ ,,,1 kjiH ,{ ]0,1[ , jiu , ]1[ ,,,1 kjih , ]1[ ,,,0 kjih } ]1[ ,,,1 kjiH  , ]1[ ,,,0 kjiH ,{ ]1[ ,,,1 kji h , ]1[ ,,,0 kjih , ]1[ ,,,1 kjiH } ]1[ ,,,0 kji H  . ]1,1[ , jiu Соответственно, на шаге n схема имеет вид ,{ ][ ,,,1 n kjih , ][ ,,,0 n kjih , ][ ,,,1 n kjiH } ][ ,,,0 n kjiH  , ],[ , nn jiu ,{ ],[ , nn jiu , ][ ,,,0 n kjih , ][ ,,,1 n kjiH } ][ ,,,0 n kjiH  , ]1[ ,,,1 n kjih ,{ ],[ , nn jiu , ]1[ ,,,1 n kjih , ][ ,,,1 n kjiH } ][ ,,,0 n kjiH  , ]1[ ,,,0 n kjih ,{ ]1[ ,,,1 n kjih , ]1[ ,,,0 n kjih , ][ ,,,1 n kjiH } ][ ,,,0 n kjiH  , ],1[ , nn jiu  ,{ ],1[ , nn jiu  , ]1[ ,,,1 n kjih , ]1[ ,,,0 n kjih } ][ ,,,0 n kjiH  , ]1[ ,,,1 n kjiH 56 ISSN 0572-2691 ,{ ],1[ , nn jiu  , ]1[ ,,,1 n kjih , ]1[ ,,,0 n kjih } ]1[ ,,,1 n kjiH } , ]1[ ,,,0 n kjiH ,{ ]1[ ,,,1 n kjih , ]1[ ,,,0 n kjih , ]1[ ,,,1 n kjiH } ]1[ ,,,0 n kjiH  . ]1,1[ ,  nn jiu Нахождение jiu , из системы Ритца не представляет трудностей. Опишем нахождение параметров ,,,,1 kjih ,,,,0 kjih ,,,,1 kjiH .,,,0 kjiH Пусть ,,mi ,1,  mi , Mi, — совокупность прямоугольных элементов, для которых границы },),{( 1 mii yyxxxyx   и },),{( 11   mii yyxxxyx элементов mi, и Mi, соответственно принадлежат G и ни одна из границ },,),({ 1 jii yyxxxyx   ,,1 Mmj  не принадлежит .G Это означает, что область ],[],[ 11   mmii yyxx (за исключением границы) лежит в .G Как следует из представленной итерационной процедуры, на шаге n при фиксированных значениях , ],[ , nn jiu , ][ ,,,1 n kjiH ][ ,,,0 n kjiH (здесь индексы ji, такие, что параметры , ],[ , nn jiu , ][ ,,,1 n kjiH ][ ,,,0 n kjiH )1,1(  yNk определяют значение ),(~ yxu в ],[],[ 11   mmii yyxx ) в со- ответствии с данной процедурой могут быть найдены параметры , ]1[ ,,,0 n kjih ]1[ ,,,1 n kjih ).1,1(  xNk При этом в соответствии со структурой приближенного решения нахождение ]1[ ,,,0 n kjih и ]1[ ,,,1 n kjih можно производить в каждой области  ],[ 1ii xx ],,[ 1 mm yy удовлетворяющей указанному выше условию. Предположим, что область ],,[],[ 11   mmii yyxx удовлетворяющая на- званным выше условиям, выделена. Приведем формулы для нахождения ]1[ ,,,1 n kjih ,1...,,2,1(  xNk ),1 Mmj  при фиксированных , ],[ , nn jiu , ][ ,,,0 n kjih , ][ ,,,1 n kjiH . ][ ,,,0 n kjiH Ниже для сокращения записи верхние индексы в обозначениях этих параметров опустим. Значения kjih ,,,1 находим как решение системы уравнений 0 )~( ,,,1    kjih uJ ( 1,1(  xNk , ),,1 Mmj  Gyx ji ),( . Имеет место следующая теорема. Теорема 4. Пусть все узлы ),( ji yx при Mmmj ,,2,1  являются внут- ренними для области :G Gyx ji ),( . Тогда система уравнений 0 )~( ,,,1    kjih uJ для ,1,,2,1  xNk  Mmmj ,,2,1  представляет систему линейных уравнений ,FAh  где A — матрица ),)(1())(1( mMNmMN xx  F — вектор размерности ).)(1( mMN x  Матрица A имеет блочно-трехдиагональную структуру: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 57 , ,1, ,11,12,1 1,22,2 3332 232221 1211                             mMmMmMmM mMmMmMmMmMmM mMmMmMmM AA AAA AA AA AAA AA A 0000 000 0000 0000 000 0000        где ijA — блоки размером ),1()1(  xx NN 0 — нулевые блоки размером ).1()1(  xx NN Каждый блок ijA является трехдиагональной матрицей: . 000 000 000 00 000 1,1,2,1, 1,2,2,2, 3,3,2,3, 3,2,2,2,1,2, 2,1,1,1,                            xxxx xxxx NNijNNij NNijNNij ijij ijijij ijij ij aa aa aa aaa aa A       Блоки iiA , ,,1 mMi  являются симметричными матрицами, а для блоков ,ijA ,ji  выполняется равенство T ijij AA  . Следовательно, вся матрица A является симметричной. Доказательство осуществляется путем подстановки решения ),(~ yxu в функ- ционал энергии и нахождения производных 0 )~( ,,,1    kjih uJ для ,1,,2,1  xNk  .,,2,1 Mmmj  Приведем значения некоторых коэффициентов блоков .ijA .1,1 )),)()2( )(( 1 ))()2( )(( 1 (4 2 1',,,0 2 1,2 22 ,1 2 1',,,0',,,0 2 ,2 22 1,2 2 2 ',,,0 2 1,2 22 ,1 2 1 1'1,2,1 2 1',,,1 2 ,2 22 ,1 2 1',,,1',,,1 2 ,1 22 ,2 2 2 ',,,1 2 ,2 22 ,1 2 1 1',2,1 2 ,,,                   x jjijxiyjjijjiiyjx jjijxiy N jjiyx jjijxiyjjijjiiyjx jjijxiy N jjiyx jikkjj Nk HNNHHNN HNN NN HNNHHNN HNN NN ua y y 58 ISSN 0572-2691 .2,1 )),)2()(2 )2(( 3 1 ))2()(2 )2(( 3 1 2 1',,,0 2 1,2 22 ,1 2 1',,,0',,,0 2 ,1 22 1,2 2 2 ',,,0 2 1,2 22 ,1 2 1 1' 2 , 1,2,1 2 1',,,1 2 ,2 22 ,1 2 1',,,1',,,1 2 ,2 22 ,1 2 2 ',,,1 2 ,2 22 ,1 2 1 1' 2 , ,2,1 1,,                    x jjijxiyjjijjiiyjx jjijxiy N j ji jiyx jjijxiyjjijjijxiy jjijxiy N j ji jiyx kkjj Nk HNNHHNN HNNu NN HNNHHNN HNNu NN a y y Для правой части системы коэффициенты, соответствующие блоку с номе- ром ,j равны )).)2(2 )2(())2( )(2(( 3 )( 1',,1,1 2 ,1 22 ,2 2 1',,1,1 2 ,1 22 ,2 2 1',,,1'1,1,1,1 2 ,1 22 ,2 2 ',,1,1 2 ,2 22 ,1 2 ',,,1',,1,0 1 1' ,1,1 ,1, 1',,,1',,,1 1 1' , ,2,1                    jjiiyjx jjiiyjxjjijjiiyjx jjijxiyjjijji N j jiyx jiji jjijji N j ji yx ji j HNN HNNHHNN HNNHh NN uu HHu NN F y y Аналогичные результаты имеют место и для других шагов итерационного про- цесса, т.е. при решении систем ,0 )~( ,,,0    kjih uJ ,0 )~( ,,,1    kjiH uJ .0 )~( ,,,0    kjiH uJ В соответствии со свойствами блочных 3-диагональных матриц матрица А невырождена. 3. Вычислительный эксперимент С модельной задачей — двумерной граничной задачей Дирихле для уравне- ния Пуассона с постоянной правой частью ,),(,0),( ,),(,1),( Gyxyxu Gyxyxu   (12) для трех областей: Г-образной ),]2,0[]1,0[()]1,0[]2,0[((  обозначается как область а), Z-образной ( ),]3,2[]3,2[()]2,1[]3,0[()]1,0[]1,0[((  область б), П-образной ),]2,1[]3,2[()]2,1[]1,0[()]1,0[]3,0[((  область в) — был прове- ден вычислительный эксперимент. Выбрано равномерное разбиение 2/1 yx (для удобства используем обозначения yx  , вместо 21 ,2,1 , ii  соответствен- но). На рисунке представлены используемые в эксперименте области а, б, в с на- несенными сетками, соответствующими разбиению .2/1 yx Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 59 а б в Эксперимент проводился для обоих описанных методов — с базисными функциями из класса )1,0(2 2W и кусочно-линейными базисными функциями. Для метода с базисными функциями из класса )1,0(2 2W проводились итерации до по- лучения решения, представленного набором ,,, ]2,2[ , ]2[ ,, ]2[ ,, jijiji uHh  для метода с ку- сочно-линейными базисными функциями — до получения решения, соответст- вующего набору , ]3[ ,,, kjih , ]3[ ,,, kjiH . ]3,3[ , jiu Общий принцип выбора количества итераций состоит в том, что итерации проводились до тех пор, пока изменение функционала энергии не становилось пренебрежимо малым. Для приближенного решения, получаемого на каждом шаге итерационного про- цесса, вычислялся функционал энергии этого решения и количество степеней свобо- ды классического приближенного решения, при котором точность этого классическо- го решения в энергетической норме не уступает точности решения с выбором базис- ных функций. Под классическим решением здесь подразумевается приближенное решение вида (6) с линейными базисными функциями ,)21()(( ,, tth ji  ,)21()(,, ttH ji  ),1,0 которые фиксировались, а изменялась только сетка разбиения. Близость приближенного решения (как с выбором базисных функций, так и классического) к точному оценивалась по значению функционала энергии при- ближенного решения, которое для эллиптических задач связано с погрешностью следующим образом [14]: ,)( 2 0 2 0 AA uuuuJ  где A  — энергетическая норма, порождаемая оператором A краевой задачи (в нашем случае A — оператор Лапласа). Таким образом, практически выбор количества степеней свободы классиче- ского решения состоял в следующем. После вычисления очередной итерации ре- шения с выбором базисных функций и нахождения значения функционала энер- гии этого решения находилось приближенное классическое решение с макси- мальным шагом разбиения области, при котором значение функционала энергии не превосходило значение функционала решения с выбором базисных функций. Шаг разбиения выбирался равномерным, при этом .yx  В качестве началь- ных базисных функций обоих методов выбирались линейные функции. 3.1. Приближенное решение с базисными функциями из класса 1).(0, 2 2W В табл. 1 приведены результаты численного эксперимента, в котором строились приближенные решения с базисными функциями из класса ).1,0(2 2W Использова- ны такие обозначения: aprN — число степеней свободы (число узловых парамет- 60 ISSN 0572-2691 ров) приближенного решения с выбором базисных функций, «Итерации» — набо- ры базисных функций и узловых параметров с номерами итераций в верхних ин- дексах, результаты по которым занесены в табл. 1. Таблица 1 Область aprN Итерации )~(uJ clsN a 5 ]0,0[ , ]0[ ,, ]0[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 0,63502358 5 ]1,1[ , ]1[ ,, ]1[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 0,84889878 465 ]2,2[ , ]2[ ,, ]2[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 0,85337245 1365 б 9 ]0,0[ , ]0[ ,, ]0[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,18308396 9 ]1,1[ , ]1[ ,, ]1[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,58127760 768 ]2,2[ , ]2[ ,, ]2[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,59033727 2508 в 9 ]0,0[ , ]0[ ,, ]0[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,18308396 9 ]1,1[ , ]1[ ,, ]1[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,54836798 204 ]2,2[ , ]2[ ,, ]2[ ,, ),(),( jijiji uHh   – 1,58509504 1185 В табл. 1 представлены характеристики приближенных решений с базисными функциями из класса )1,0(2 2W для областей a, б, в, где )~(uJ — значение функциона- ла энергии для приближенного решения с выбором базисных функций, clsN — число степеней свободы классического приближенного решения, не уступающего по точности приближенному решению с выбором базисных функций. Промежуточные итерации из схемы (8) для краткости в табл. 1 опущены. Результаты в табл. 1 демонстрируют высокую точность схемы МКЭ с выбо- ром базисных функций из ).1,0(2 2W Так, для области а приближенное решение с выбором базисных функций с 5-ю степенями свободы имеет точность, сопоста- вимую с точностью классического приближенного решения с 1365 степенями свободы (отношение степеней свободы равно 273). Для областей б и в это отно- шение равно 279 и 132 соответственно. 3.2. Приближенное решение с кусочно-линейными базисными функциями. В табл. 2 приведены результаты численного эксперимента для приближенного реше- ния на основе кусочно-линейных базисных функций для областей a, б, в. Итерации проведены до получения набора , ]3[ ,,,1 kjih , ]3[ ,,,0 kjih , ]3[ ,,,1 kjiH , ]3[ ,,,0 kjiH , ]3,3[ , jiu парамет- ры которого и приведены в табл. 2. Все промежуточные итерации опущены. Исполь- зованы следующие обозначения: yx NN , — число свободных параметров функций ),(,,1 jih )(,,0 jih и ),(,,1 jiH )(,,0 jiH соответственно; aprN — число степеней свободы приближенного решения с кусочно-линейными базисными функциями (определяется как сумма свободных узловых параметров в точках ),( ji yx и сво- бодных параметров, связанных с каждой базисной функцией); )~(uJ — значение функционала энергии для приближенного решения с выбором базисных функций; clsN — число степеней свободы классического приближенного решения, не усту- пающего по точности приближенному решению с выбором базисных функций. Кро- ме характеристик, приведенных в табл. 1, вычислялись числа обусловленности мат- риц, возникающих в эксперименте. Именно для приближенного решения с выбором базисных функций вычислялись числа обусловленности матриц A (теорема 2), кото- рые используются при нахождении очередных итераций функций ),(,,1 jih ),(,,0 jih Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 61 матриц, используемых при нахождении очередных итераций функций ),(,,1 jiH ),(,,0 jiH и матриц системы Ритца. Максимальное из этих чисел обозначено в табл. 2 как .aprC Число обусловленности матрицы Ритца, которая используется при нахож- дении приближенного классического решения, не уступающего по точности прибли- женному решению с выбором базисных функций, обозначено .clsC Таблица 2 Область yx NN , aprN )~(uJ aprC clsN aprC a 3 45 – 0,82331608 5,958283062 85 28,37214130 4 65 – 0,83372808 15,24330663 120 38,26283431 6 105 – 0,84117916 33,80613231 208 64,15706082 8 145 – 0,84378994 59,89769215 261 78,79849508 10 185 – 0,84499888 93,39351449 320 95,57584792 б 3 77 – 1,53294644 5,980329834 146 28,78790660 4 113 – 1,55226254 15,29992224 204 38,96902391 6 185 – 1,56608490 33,9319599 352 65,15460070 8 261 – 1,57092803 60,12059305 441 80,22556185 10 333 – 1,57317067 93,74114592 441 80,22556185 в 3 77 – 1,53298431 5,812306887 146 28,78790660 4 113 – 1,55230296 14,9642479 204 38,96902391 6 185 – 1,56612779 33,26700182 352 65,15460070 8 261 – 1,57097193 58,95094945 441 80,22556185 10 333 – 1,57321507 91,93987362 441 80,22556185 Из табл. 2 следует, что использование схемы с кусочно-линейными базисны- ми функциями имеет заметные преимущества только для небольших значений ., yx NN Например, для области а при ,3xN 3yN приближенное решение с кусочно-линейными базисными функциями и классическое приближенное реше- ние, имеющие сопоставимую точность в энергетической норме, характеризуются тем, что отношение степеней свободы данных решений (классического к реше- нию с выбором базисных функций) равно примерно 1:2, а отношение числа обу- словленности — 1 :5. С увеличением параметров yx NN , эти отношения убыва- ют. Это говорит о том, что сопоставимые по точности приближенные решения сближаются по этим двум важным характеристикам. Такая же особенность харак- терна и для областей б, в и, видимо, является общим свойством данной схемы. Заключение В данной работе предложено дальнейшее расширение вычислительных схем МКЭ с выбором оптимальных базисных функций для эллиптических краевых за- дач для дифференциальных уравнений в частных производных. Схема отличается от ранее использованных новым вычислительным алгоритмом нахождения ло- кальной системы базисных функций, связанных с каждым узлом, в отличие от общей системы функций, предложенной ранее. Можно сказать, что данная схема повышает адаптивность вычислительной схемы и приводит, как показывает вы- числительный эксперимент, к значительному повышению точности приближен- ных решений, полученных согласно схеме. Предложенная схема применена к модельной задаче, для которой разработаны итерационные методы построения приближенного решения. Эти методы включают итерации двух видов: решение системы Ритца и нахождение системы базисных функций. Если решение системы Ритца не представляет затруднений и является клас- сической процедурой МКЭ, нахождение системы базисных функций зависит от вы- бранного класса этих функций (теоремы 1, 4). На основе этих результатов проведен вычислительный эксперимент, который показал преимущества метода на модельной задаче для трех относительно несложных областей. Для метода с кусочно-линейными 62 ISSN 0572-2691 базисными функциями схема демонстрирует высокую эффективность только для ба- зисных функций с небольшим числом свободных параметров. Отметим, что решение граничных задач с помощью данной схемы оптимального метода конечных элементов позволяет использовать алгоритмы с распараллеливанием вычислений, так как нахождение базисных функций в отдельных подобластях (в нашей модельной задаче — в области, составленной из конечных элементов) происходит независимо. Эта особенность схемы может оказаться важной при реше- нии задач для областей сложной конфигурации или задач высокой размерности. О.М. Литвин, К.В. Носов, Т.А. Баранова РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ З ОПТИМАЛЬНИМ ВИБОРОМ БАЗИСНИХ ФУНКЦІЙ ДЛЯ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПУАССОНА Запропоновано схему методу скінченних елементів з вибором базисних функ- цій для еліптичних крайових задач. Головною особливістю даної схеми є те, що базисні функції, які формують наближене рішення, знаходяться поряд з вузло- вими параметрами, а не задаються наперед. Обчислювальний експеримент про- демонстрував, що дана схема має значно вищу точність в порівнянні з класич- ними схемами, у яких базисні функції фіксовані. О.N. Lytvyn, К.V. Nosov, Т.А. Baranova REALIZATION OF THE FINITE ELEMENT METHOD WITH OPTIMAL CHOICE OF BASIC FUNCTIONS FOR DIRICHLET PROBLEM FOR POISSON EQUATION The paper deals with the scheme of the finite element method with choice of basic functions for elliptic boundary value problems. The main feature of this scheme is that the basic functions forming an approximate solution are not fixed in advance, but should be calculated along with values of nodes parameters. Computational experi- ment demonstrated that the scheme has a much higher accuracy compared with con- ventional schemes, for which the basic functions are fixed. 1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М. : Мир, 1980. — 512 с. 2. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производны- ми. — М. : Мир, 1981. — 216 с. 3. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. — Butterworth-Heinemann, 2003. — 756 p. 4. Литвин О.Н. К вопросу о построении оптимальных схем МКЭ // Тезисы докл. 2-й Респ. конференции «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрес- се». — Киев : Институт кибернетики АН УССР. — 1978. — C. 21–22. 5. Литвин О.Н. Оптимальные координатные функции в методе конечных элементов // Диф- ференциальные уравнения. — 1984. — 20, № 4. — С. 677–688. 6. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові глави. — Київ : Наук. думка, 2005. — 333 с. 7. Баранова Т.А., Литвин О.М., Федько В.В. Про чисельну реалізацію оптимального методу скінченних елементів (задача Діріхле для рівняння Пуассона, прямокутні елементи) // Віс- ник Львівської політехніки. –– 1998. –– 2, № 337. –– С. 294–297. 8. Носов К.В. Метод скiнченних елементiв з вибором координатних функцiй при моделюваннi фiзичних процесiв: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук: 01.05.02. — Харкiв, 2005. — 145 с. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 63 9. Литвин О.Н., Носов К.В. Некоторые аспекты численной реализации оптимального метода конечных элементов на примере бигармонической задачи с краевыми условиями второго рода // Кибернетика и системный анализ. — 1999. — № 1. –– С. 178–187. 10. Литвин О.М., Носов К.В. Деякі оцінки ітераційного процесу в методі оптимальних скінчен- них елементів // Матеріали Х міжнародної наукової конференції імені академіка М. Крав- чука. –– К. : Задруга, 2004. — С. 436. 11. Баранова Т.А. Аналітичний вигляд базисних функцій в оптимальному методі скінченних елементів // Праці Міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО- ХХХІІІ)», присвяченого 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. — Київ : Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2007. — C. 34–35. 12. Баранова Т.А., Литвин О.М., Носов К.В. Обчислювальна схема методу скінченних елемен- тів з вибором оптимальних координатних функцій для еліптичних крайових задач // Вісник Харківського національного університету. — 2011. — № 977. — С. 35–49. 13. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 204 с. 14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М. : Наука, 1970. — 512 С. 15. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М. : Гос. изд- во технико-теоретической лит-ры. — 1952. — 696 с. Получено 06.08.2013 После доработки 20.04.2015

Similar Items