Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований

Запропоновано метод розробки обчислювальних схем інтегрування рівняння в варіаціях для задачі Коші, записаної для системи звичайних диференційних рівнянь. В методі реалізовано отримання всіх елементів рівняння у варіаціях без проведення аналітичних операцій визначення частинних похідних функцій, що...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2015
Main Author:	Ракушев, М.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Subjects:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208032
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859653408771801088
author	Ракушев, М.Ю.
author_facet	Ракушев, М.Ю.
citation_txt	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано метод розробки обчислювальних схем інтегрування рівняння в варіаціях для задачі Коші, записаної для системи звичайних диференційних рівнянь. В методі реалізовано отримання всіх елементів рівняння у варіаціях без проведення аналітичних операцій визначення частинних похідних функцій, що входять у праву частину вихідної системи диференційних рівнянь. Метод засновано на диференціальних перетвореннях. It is presented a method of development of computational schemes of the integration of the variational equation for the Cauchy problem written for system of ordinary differential equations. Obtaining of all elements of the variational equations is implemented in this method without analytical process of determining the partial derivatives of the functions which are part of the right-hand side of the initial system of differential equations. The method is based on the differential transformations.
first_indexed	2025-12-07T13:36:32Z
format	Article
fulltext	© М.Ю. РАКУШЕВ, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 63 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.6 М.Ю. Ракушев ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Введение Решение многих практических задач, связанных с исследованием динамиче- ских систем, предполагает использование метода малых возмущений для получения уравнения в вариациях для обыкновенного дифференциального уравнения, описы- вающего динамическую систему [1]. К таким задачам относятся, например, опреде- ление характеристик устойчивости динамических систем, анализ и (или) учет влияния различных возмущений на их точностные характеристики, определение параметров динамических систем по проведенным измерениям [2, 3]. В целом получение и интегрирование вышеописанного уравнения в вариациях (а также уравнений, полученных на его основе) в сравнении с дифференциальным уравне- нием, описывающим динамическую систему, является существенно более трудо- емкой операцией [2, 3]. В связи с этим выбору рационального метода получения и интегрирования уравнения в вариациях на практике придается большое значение. Анализ последних исследований Основной сложностью получения уравнения в вариациях (а также уравнений на его основе) является определение матрицы частных производных с помощью операции аналитического дифференцирования правой части обыкновенного диф- ференциального уравнения по его решениям [2]. Провести такую операцию для (громоздкого) векторного нелинейного дифференциального уравнения методически сложно. Следует отдельно отметить, что во многих практических приложениях описанная выше матрица частных производных используется самостоятельно как элемент уравнений, полученных на основе уравнения в вариациях, например, при интегрировании решений стохастических дифференциальных уравнений [3, 4]. В [5, 6] предложен основанный на дифференциальных преобразованиях но- вый метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи Коши, которая за- писана для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Данный метод позволяет разрабатывать вычислительные схемы интегрирования уравнения в ва- риациях и за счет реализации этапа определения уравнения в вариациях (в чис- ленно-аналитическом виде в области дифференциальных спектров) не имеет не- достатка — методической сложности реализации. Однако в вычислительной схеме этого метода уравнение в вариациях определяется как единое целое — в области дифференциальных спектров правая часть дифференциального уравнения 64 ISSN 0572-2691 дифференцируется по начальным условиям и входящим в нее параметрам. А для некоторых приложений необходимо раздельное определение элементов такого уравнения в вариациях — матриц частных производных правой части обыкновен- ного дифференциального уравнения по его решениям и параметрам. При этом вы- деление описанных элементов из дифференциального спектра вариационного урав- нения требует проведения дополнительных операций, что значительно усложняет результирующую вычислительную схему [4]. Проведенный анализ показывает, что один из возможных подходов к получению и интегрированию уравнения в вариациях — использование дифференциальных преобразований. Однако известные подходы для решения такой задачи недостаточно эффективно обеспечивают нахождение основного элемента такого уравнения — матрицы частных производных правой части обыкновенного дифференциального уравнения по его решениям и (или) параметрам. Таким образом, цель статьи — получение метода разработки вычислитель- ных схем интегрирования уравнения в вариациях для задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе дифференциальных преобразований. Уравнение в вариациях для задачи Коши Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид [1] ,)(,),,,( 000 xtxttxtf dt dx  (1) где x — вектор-функция размером ;n t — независимая переменная; 0x — вектор начальных условий размером ;n  — вектор параметров размером ;m ),,( xtf — заданная вектор-функция, которая удовлетворяет условиям гладко- сти, позволяющим определять для нее производные по x и  до второго порядка включительно размером .n Пусть x — известное решение задачи (1), полученное для заданного значения вектора , тогда уравнение в вариациях для задачи Коши (1) будет иметь вид [1] ),0()(, ),),,(0(),,( 0 0 mnnn nn Etx x x x x xtqxxtgx td d                 (2) где x — известная вектор-функция размером ;n  — заданный вектор пара- метров размером ;m y — блочный вектор размером ;mn  x — матричная функция (матрица частных производных решения задачи Коши (1) по начальным условиям и параметрам) размером );( mnn  )( 0tx — блочная матрица началь- ных условий для уравнения в вариациях; nnE  — единичная матрица размером ;nn ,0 nn mn0 — нулевые матрицы размером nn и mn соответственно; xxtfxtg   /),,(),,( — матричная функция размером ;nn  ),,( xtq   /),,( xtf — матричная функция размером .mn Основная сложность получения (2) из (1) — необходимость аналитического опре- деления матриц ),,( xtg и ).,,( xtq Эта операция при сложной функции ),,( xtf методически сложная. Избавиться от этого недостатка можно за счет применения дифференциальных преобразований. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 65 Мерность применяемых дифференциальных преобразований определяется коли- чеством одновременно рассматриваемых независимых переменных. В задаче (2) (для определения ),,( xtg и )),,( xtq их общее количество равно :1 mn одна — t и mn — составляющие векторов 0x и . Однако целесообразно расчет матриц ),,( xtg и ),,( xtq проводить по столбцам [4, 5], при этом переменные рассматри- ваются попарно (одна — t и поочередно каждый из элементов векторов 0x и ). Тогда громоздкое 1 mn -мерное дифференциальное преобразование распадается на mn простых двумерных (одна — t и поочередно каждый из элементов векторов 0x и ). Дифференциальные преобразования Двумерными дифференциальными преобразованиями называют функцио- нальные преобразования (без потери общности дальнейших выкладок рассмотрим дифференциально-тейлоровские (ДТ) преобразования) [7] вида , ),( !! ),( w ww kk kk w k w k w wt wtz kk hh kkZ      (3) .),( )()( ),( 00                 wk k k k kk kkZ h ww h tt wtz w w w (4) Здесь ),( wtz — скалярная функция, имеющая производные необходимого поряд- ка (является дифференцированной необходимое количество раз); ,t w, ,t w — аргументы, по которым проводится преобразование, и их значения, при которых оно проводится, соответственно; ,h wh — отрезки аргументов, на которых функция ),( wtz представляется рядом Тейлора по t и w соответственно; ,k wk — целочис- ленные аргументы 0, 1,…; ),( wkkZ — дискретная функция по аргументам ,k .wk Прямое преобразование (3) позволяет по оригиналу ),( wtz найти изобра- жение ).,( wkkZ Обратное преобразование (4) — восстанавливает оригинал ),( wtz в виде отрезка двумерного ряда Тейлора. ДТ-изображение ),( wkkZ на- зывают Т-спектром, а значение функции ),( wkkZ при конкретных значениях ,k wk — Т-дискретами [7]. Одна из основных характеристик ДТ-преобразований — возможность рекур- рентного вычисления Т-дискрет для любой сложной функции. По сути это коэф- фициенты многомерного ряда Тейлора. При этом такой расчет реализуется мето- дически просто в виде рекуррентных алгебраических зависимостей, что избавляет от методической сложности проведения аналитических операций (взятия соответ- ствующих производных в явном виде), заменяя ее на вычислительную сложность рекуррентных зависимостей. Исходя из свойств ДТ-преобразований, для получения (расчета) Т-спектра сложной функции необходимо первоначально определить (предварительно за- дать) Т-спектры всех ее аргументов. При этом мерность определяемого (задавае- мого) Т-спектра аргументов должна совпадать с необходимой мерностью полу- чаемого (рассчитываемого) Т-спектра сложной функции [7]. Применим ДТ-преобразования (3), (4) при  ,,1,0 k и 0wk к диффе- ренциальному уравнению (1) при значении независимой переменной уравнения .0tt  Данная операция широко изложена в литературе по ДТ-преобразованиям (по сути это получение ДТ-модели задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе одномерных ДТ-преобразований) [7–9]: 66 ISSN 0572-2691 ),0(),,1,0(),0,( 1 )0,1(    wkkkF k h kX  (5) )),0,(),0,(),0,(()0,( kkXkTFkF  (6) ),,1(),( !! )0,( 0 wpwp k kk kk w k w k kkhkkt wt t kk hh kT w w ww                 (7) ),()0,0(  txX (8) ),,( !! )0,( 0 wp k kk kk w k w k kk wtkk hh k w w ww                 (9) ,)0,( )( )( 0                kX h tt tx k k k (10) где ),,( wkkX ),,( wkkF ),,( wkkT ),( wkk — двумерные Т-спектры функций ,x ),,,( xtf переменной t и параметра  соответственно; h — отрезок аргумента по переменной ;t ),( wp kk — двумерная тейлоровская единица [7], например,        ).()(,0 ),()(,1 ),( bkak bkak bkak w w wp (11) Уравнения (5)–(10) являются ДТ-моделью для задачи Коши (1) [7–9]. Рассмотрим матрицу ),,(  xtg в (2), для нее в соответствии со свойствами производных сложных функций выполняется соотношение                                                  xx tt xx tt xx tt x xtf x t t xtf x x x xtf xtg ),,(),,(),,( ),,( .0,0,, ),,( ),,( nmnn xx t E x x x xtf xtg                  (12) В первом слагаемом (12) второй множитель равен единичной матрице, а по- следние два слагаемых равны нулю, так как вторые множители в них нулевые. Расширим ДТ-модель (5)–(10) при  ,,1,0 k и 1wk для вычисления Т-спектра функции ).,,( xtf При этом Т-спектры функции ,x t и параметра  определим (зададим) специальным образом исходя из «расширенного» рассмот- рения расчета матрицы (12). Данная операция с учетом свойств ДТ-преобразо- ваний [5, 7] будет иметь вид: ),1(),,1,0()),,(),,(),,(()1,(  wwww kkkkkkXkkTFkF  (13) ,0 !! )1,( 1                w w ww k kk kk w k w k xt t kk hh kT (14) ),1,( !! )1,( 1                 wpnnw k kk kk w k w k kkEh xt x kk hh kX w w ww (15) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 67 ,0 !! )1,( 1 nm k kk kk w k w k w w ww xtkk hh k                 (16) где wh — отрезок аргумента по элементам вектора ;x ),( wp kk — двумерная тейлоровская единица (11). Рассмотрим обратное двумерное ДТ-преобразование (4) для функции ),,( xtf (6), (13) на ],[ hthtt   при значении приращения по элементам вектора ,x равном .wh Учтем, что в (5)–(10), (13)–(16) Т-спектр ),( wkkF рассчи- тан только для :1,0wk                   ),( )( ),,( 00 wk k kk w kkF h tt hxtf w (17)                                ),( )( ),( )( ),,( 020 1 0 wk k kk wk k kk w kkF h tt kkF h tt hxtf ww (18) ),(),( )( ),,( 2 0 1 0 wwk k kk w hOkkF h tt hxtf w                 (19) где )(O — величина соответствующего порядка малости. Из последнего выражения, пренебрегая величинами высшего порядка малости, с учетом прямого ДТ-преобразования (3) получим                 ),( )( ),,( 0 1 0 wk k kk w kkF h tt hxtf w (20)                              )1,( )( )0,( )( ),,( 00 kF h tt kF h tt hxtf k k k k k k w                  0 1 0 ),,( ! )(),,( ! )( ),,( k k kk w k k kk w xt xtf k tt h t xtf k tt hxtf ).,,(),,( ),,( !1 ),,(),,(        xtghxtf x xtfh xtfhxtf w w w (21) Для получения матрицы ),,(  xtg необходимо продифференцировать (21) по .wh Такую операцию, исходя из тождественности (20) и (21), запишем                         ),( )( ),,( 0 1 0 wk k kk k kkF h tt Dxtg w w ,)1,( )(1 ),,( 0                kF h tt h xtg k k kw (22) где ][ wkD — операция дифференцирования в области Т-спектров [7–9]. Вследствие того, что введенный в прямом ДТ-преобразовании в (15) отрезок аргумента wh при дифференцировании в (22) сокращается (см. (21) и (22)), можно положить .1wh (23) 68 ISSN 0572-2691 Из сравнения вида функциональной зависимости для обратного ДТ-преобра- зования (4) и выражения (22) при условии (23) видно, что рассчитанный на осно- вании ДТ-модели (5)–(10), (13)–(16), при (23) Т-спектр )1,( wkkF — одномер- ный (только по переменной )t Т-спектр матрицы ).,,(  xtg Таким образом, имеет место тождество ),1,( ),,( ! )( kF dt xtgd k h kG xk kk     (24) где )(kG — одномерный Т-спектр матрицы );,,(  xtg )1,(kFx — Т-спектр функций ),,,( xtf рассчитанный на основании (5)–(10), (13)–(16), при (23). Рассмотрим матрицу ),,(  xtq в (2), для нее согласно свойствам производ- ных сложных функций выполняется соотношение                                                  xx tt xx tt xx tt xtft t xtfx x xtf xtq ),,(),,(),,( ),,( .,0,0, ),,( ),,( mmmn E txxtf xtq                  (25) В последнем слагаемом (25) второй множитель равен единичной матрице, а первые два слагаемых равны нулю, так как вторые множители в них нулевые. Расширим ДТ-модель (5)–(10) при  ,,1,0 k и 1wk для вычисления Т-спектра функции ).,,( xtf При этом Т-спектры функции ,x t и параметра  определим (зададим) специальным образом исходя из «расширенного» рассмот- рения расчета матрицы (25). Данная операция с учетом свойств ДТ-преобразо- ваний [5, 7] имеет вид: ),1(),,1,0()),,(),,(),,(()1,(  wwww kkkkkkXkkTFkF  (26) ,0 !! )1,( 1                w w ww k kk kk w k w k t t kk hh kT (27) ,0 !! )1,( 1 mn k kk kk w k w k w w ww t x kk hh kX                 (28) ),1,( !! )1,(                wpmmw k kk kk w k w k kkEh tkk hh k w w ww (29) где ),( wp kk — двумерная тейлоровская единица (11). Проведя для функции ),,( xtf (6), (26) выкладки в соответствии с (17)–(23), можно показать, что рассчитанный на основании ДТ-модели (4)–(10), (26)–(29) при (23) Т-спектр )1,( wkkF является одномерным Т-спектром матрицы ),,,(  xtq следовательно, ),1,( ),,( ! )( kF dt xtgd k h kQ k kk      (30) где )(kQ — одномерный Т-спектр матрицы );,,(  xtq )1,(kF — Т-спектр функций ),,,( xtf рассчитанный на основании (5)–(10), (26)–(29) при (23). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 69 Анализ выражений (13)–(16) и (26)–(29) показывает, что они отличаются только Т-спектрами )1,0(  wkkX и )1,0(  wkk . Для совместного (после- довательного) использования их можно записать в виде: ),1,()0()1,(   wpmnnn kkEkX (31) ).1,()0()1,(   wpmmnm kkEk (32) Применение ДТ-преобразований (3), (4) с использованием соотношений (24) и (30) к уравнению в вариациях (2) позволяет получить ДТ-модель уравнения в вариациях. Данная операция обстоятельно изложена в литературе по ДТ-преобра- зованиям (это получение ДТ-модели задачи Коши на основе одномерных ДТ-пре- образований) [7–9]. Метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи Коши на основе дифференциальных преобразований На основании обобщения всех полученных ДТ-моделей с учетом (31), (32) запи- шем ДТ-модель уравнения в вариациях (2) для задачи Коши (1) в следующем виде. 1. Прямое двумерное ДТ-преобразование задачи Коши (1) — последователь- ное, сначала при wk 0 для k 0,1,…, определение Т-спектра ),0,(kX затем для каждого столбца из блочных матриц )1,(kX и ),( wkk при wk 1 для  ,,1,0 k — определение двумерного Т-спектра )1,(kF и заполнение одно- мерного Т-спектра )(kG и :)(kQ                            )).1,()1,(()0)1,((:)1,()( ),0)1,(())1,()1,((),1,()( ),0(),,1,0(),0,( 1 )0,1( ),1,0(),,1,0()),,(),,(),,((),( ),1,()0(),(),( ),,1(),(),( ),1,()0()1,(),()0,0( wpmmmn nmwpnn w wwwww wpmmnmwpw wpwpw wpmnnn kkEkkXkFkQ kkkEkXkFkG kkkF k h kX kkkkkkXkkTFkkF kkEkkkk kkhkktkkT kkEkXtxX   (33) Здесь ),,( wkkX ),,( wkkF ),,( wkkT ),( wkk — двумерные Т-спектры функций ,x ),,,( xtf переменной t и параметра  соответственно; h — отрезок аргу- мента по ;t  — заданное значение вектора ; ),( wp kk — двумерная тейлоров- ская единица (11); ),(kG )(kQ — одномерные Т-спектры матриц ),,(  xtg и ),,(  xtq соответственно. 2. Прямое одномерное ДТ-преобразование уравнения в вариациях (2) — последовательное для k 0, 1, … определение Т-спектра )(kX            ,,,1,0)),)(0()()(( 1 )1( ),()0( kkQkXkG k h kX txX nn (34) где )(kX — одномерный Т-спектр функции ;x  — операция одномерной алгебраической свертки, например )).()(()()( 0 skZsYkZkY k s    (35) 3. Обратное одномерное ДТ-преобразование ,)0,( )( )( 0                kX h tt tx k k k .)( )( )( 0                kX h tt tx k k k (36) 70 ISSN 0572-2691 В полученной ДТ-модели уравнения в вариациях для задачи Коши (33)–(36), определение всех элементов уравнения в вариациях (2) проводится в численно- аналитическом виде без проведения аналитических операций определения частных производных функции, входящей в правую часть системы обыкновенных диффе- ренциальных уравнений (1). Это характеризует методическую простоту предлагае- мого подхода. На основании ДТ-модели (33)–(36) с использованием обстоятельно изложенных в литературе по ДТ-преобразованиям подходов можно разрабатывать различные вычислительные схемы совместного интегрирования (1), (2): явные, неявные, смещенные, адаптивные [7–11]. Так, явная (самая простая) вычисли- тельная схема интегрирования (1), (2) на основе (38)–(41) будет иметь вид:                                     )),1,()1,(()0)1,((),1,()( ),0)1,(())1,()1,((),1,()( ),0()1,,1,0(),0,( 1 )0,1( )},1()1,,1,0{()}0()1,,1,0{( )),,(),,(),,((),( ),1,()0(),(),( ),,1(),(),( ),1,()0()1,( ),(,)0,0(, max maxmax 001 wpnmmn nmwpnn w ww wwww wpmmnmwpw wpwpiw wpmnnn iii kkEkkXkFkQ kkkEkXkFkG kkkkF k h kX kkkkkk kkkkXkkTFkkF kkEkkkk kkhkktkkT kkEkX txxxXtth   (37)           ,1,,1,0)),)(0()()(( 1 )1( ),0(,)0( max 0 kkkQkXkG k h kX ExxX nn mnnni  (38) ),0,( max 0 1 kXx k k i     ).( max 0 1 kXx k k i     (39) Здесь ,ix ix — сеточные функции, принимаемые за решения (1) и (2) соответст- венно; ,0x )( 0tx — вектор и блочная матрица начальных условий соответствен- но; maxk — максимальные номера Т-дискрет, учитываемых при расчете ix и ;ix maxk — максимальные номера Т-дискрет, учитываемых при расчете Т-спектра функций ),,( ixtg и );,,( ixtq h — шаг интегрирования; i — номер узла вычислительной сетки. Исходя из свойств ДТ-преобразований, при реализации (37)–(39) необходимо выполнять условие .maxmax  kk Значения maxk и maxk определяют порядок точности вычислительных схем интегрирования при расчете ix и ix соответст- венно [12]. Для вычисления различных блоков матрицы )//( 0  xxxx значение maxk также можно задавать различным. Таким образом, (33)–(36) является новым методом разработки вычислительных схем интегрирования уравнения в вариациях для задачи Коши, записанной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе дифференци- альных преобразований. В разработанном методе каждое из составляющих вариа- ционного уравнения определяется раздельно в численно-аналитическом виде в области Т-спектров, а не аналитически, как в традиционном подходе, что характе- ризует математическую простоту предлагаемого метода. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 71 Пример. Рассчитать для t 1 решение уравнения в вариациях для задачи Коши: ,10,40)5,0(,5,0,)( 2  xttx dt dx (40) где x — искомая функция; t — независимая переменная; 0x — начальное усло- вие ;n  — значение параметра, при котором производится расчет. Уравнение в вариациях для задачи Коши (40) имеет вид ),01()5,0(,),)(20()(2 0              x x x x xttxxtxx dt d (41) где x — искомая матричная функция (матрица частных производных реше- ния (40) по начальным условиям и параметрам); )( 0tx — блочная матрица начальных условий (41). Явная вычислительная схема интегрирования (40), (41) на основе разрабо- танного метода (33)–(36) на равномерной вычислительной сетке (с постоянным шагом интегрирования) согласно (37)–(39) имеет вид                                    )),1,()1,(()0)1,((),1,()( )),0)1,(())1,()1,((),1,()( ),0()1,1,0(),0,( 1 )0,1( )},1()1,,1,0{()}0()1,,1,0{( ),,(),(),( ),,(),(),(),( ),1,()10(),(),( ),,1(),(),( ),1,()01()1,( ,10,40,)0,0(,5,0 max maxmax 2/121 2/1 0 wp wp w ww www wwww wpwpw wpwpiw wp ii kkkkXkFkQ kkkkXkFkG kkkkF k h kX kkkkkk kkFkkFkkF kkTkkkkXkkF kkkkkk kkhkktkkT kkkX xxXiht   (42)          ,1,,1,0)),)(0()()(( 1 )1( ),01(,)0( max 0 kkkQkXkG k h kX xxX i  (43) ),0,( max 0 1 kXx k k i     ).( max 0 1 kXx k k i     (44) Здесь ,ix ix — численное решение (40) и (41) соответственно; ),,( wkkX ),,(2/1 wkkF ),,( wkkF ),,( wkkT ),( wkk — двумерные Т-спектры функций ,x ,tx  ,)( 2 tx переменной t и параметра  соответственно; )(kX — од- номерный Т-спектр функции ;x h — шаг интегрирования; ,max Xk Xk max — порядки точности вычислительных схем интегрирования при расчете ix и ix соответственно; ),(kG )(kQ — одномерные Т-спектры функции )(2 tx  и матрицы ))(20( ttx  соответственно; ),( wp kk — двумерная тейлоровская единица (11);  — операция алгебраической свертки для одномерных Т-спектров вида (35), а для двумерных Т-спектров вида      w w k s www k s ww skskZssYkkZkkY 0 0 )).,(),((),(),( 72 ISSN 0572-2691 В (42) Т-спектр ),(2/1 wkkF функции tx  вводится для упрощения прове- дения прямого ДТ-преобразования для сложной функции [7–9]. Результаты расчета на основе (42)–(44) и методом Рунге-Кутта приведены в таблице, где ),1(x ,/)1( 0xx   /)1(x — значения решения задачи Коши (40) и уравнения в вариациях (41) соответственно; h — шаг интегрирования; ,maxk maxk — порядки точности вычислительных схем интегрирования; ,RKS DTS — оценка вычислительной сложности схем, приведенная в количестве вычислений правой части дифференциального уравнения (40) для метода Рунге- Кутта и разработанного метода соответственно. За эталон принято аналитиче- ское решение (40), (41). Таблица Метод Характеристики вычислительных схем (40), (41) Рунге-Кутта 4-го порядка h 0,02 0,01 0,005 )1(x – 6,597156 – 6,596277 – 6,596285 0/)1( xx  0,0006448 0,0007867 0,007868  /)1(x – 0,870823 – 0,8708234 – 0,8708227 RKS 400 800 1600 Разработанный (42)–(44) h 0,02 0,01 0,005 maxk 4 4 4 maxk 3 2 3 1 2 )1(x – 6,547739 – 6,595026 – 6,595026 – 6,596237 – 6,596579 0/)1( xx  0,0077658 0,0008546 0,0008995 0,0008027 0,0007878  /)1(x – 0,8709423 – 0,870884 – 0,870864 – 0,870827 – 0,870826 DTS 1375 1950 2750 2700 3900 RKDT SS / 3,4 2,4 3,4 1,7 2,4 Эталон )1(x = – 6,596287; 0/)1( xx  = 0,0007867;  /)1(x = – 0,870823 Из приведенных в таблице результатов видно, что предлагаемая вычисли- тельная схема интегрирования позволяет производить численное решение урав- нения в вариациях для задачи Коши, которая записана для системы обыкновен- ных дифференциальных уравнений. При этом, изменяя характеристики вычисли- тельной схемы: шаг интегрирования и порядок точности, можно получить решение с необходимой точностью. Порядок точности схемы для интегрирования исходной задачи Коши и уравнения в вариациях допускается задавать различным. Сравнение разработанной схемы с методом Рунге-Кутта 4-го порядка, пока- зывает: при повышении требований к точности расчета, за счет численно- аналитических свойств ДТ-преобразований, вычислительная эффективность раз- работанной схемы возрастает; основным достоинством разработанной схемы яв- ляется отсутствие аналитических выкладок при получении из (40) уравнения в ва- риациях (41), что характеризует ее методическую простоту. Заключение Отличительной особенностью предлагаемого метода разработки вычислительных схем интегрирования уравнения в вариациях для задачи Коши, записаной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, является дополнительное расширение многомерных дифференциальных спектров решения дифференциального уравнения и параметров, входящих в его правую часть. Это позволяет отдельно получить диффе- ренциальный спектр матрицы частных производных правой части обыкновенного дифференциального уравнения по его решениям и (или) параметрам, входящим в нее. Таким образом предлагаемый в статье метод разработки вычислительных схем интегрирования за счет проведения в численно-аналитическом виде в облас- ти дифференциальных спектров методически сложных аналитических выкладок по получению уравнения в вариациях избавляется от главного недостатка этого метода — методической сложности реализации. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 73 М.Ю. Ракушев ЧИСЛОВИЙ МЕТОД ІНТЕГРУВАННЯ РІВНЯННЯ В ВАРІАЦІЯХ ДЛЯ ЗАДАЧІ КОШІ НА ОСНОВІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ Запропоновано метод розробки обчислювальних схем інтегрування рівняння в варіаціях для задачі Коші, записаної для системи звичайних диференційних рі- внянь. В методі реалізовано отримання всіх елементів рівняння у варіаціях без проведення аналітичних операцій визначення частинних похідних функцій, що входять у праву частину вихідної системи диференційних рівнянь. Метод за- сновано на диференціальних перетвореннях. M.Yu. Rakushev NUMERICAL METHOD OF THE INTEGRATION OF THE VARIATIONAL EQUATION FOR THE CAUCHY PROBLEM BASED ON DIFFERENTIAL TRANSFORMATIONS It is presented a method of development of computational schemes of the integration of the variational equation for the Cauchy problem written for system of ordinary dif- ferential equations. Obtaining of all elements of the variational equations is imple- mented in this method without analytical process of determining the partial deriva- tives of the functions which are part of the right-hand side of the initial system of dif- ferential equations. The method is based on the differential transformations. 1. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и ос- новы вариационного исчисления. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1986. — 272 с. 2. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. — М. : Сов. ра- дио, 1978. — 384 с. 3. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М. : Связь, 1976. — 496 с. 4. Ракушев М.Ю. Численный метод интегрирования решения стохастического дифференциаль- ного уравнения на основе дифференциальных преобразований // Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 6. — С. 68–78. 5. Ковбасюк С.В., Ракушев М.Ю. Метод решения вариационного уравнения для задачи Коши на основе дифференциальных преобразований // Электронное моделирование. — 2008. — 30, № 6. — С. 59–70. 6. Ракушев М.Ю., Тіщенко М.Г. Спосіб реалізації обчислювальних схем розрахунку матриці Якобі рішення диференціального рівняння на основі багатовимірних диференціальних пе- ретворень // Сучасні інформаційні технології у сфері безпеки та оборони. — 2014. — № 1(19). — С. 77–83. 7. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физиче- ских процессов. — Киев : Наук. думка, 1986. — 159 с. 8. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. — Киев: Наук. думка, 1990. — 184 с. 9. Баранов Г.Л., Баранов В.Л., Жуков І.А., Алексєєва Л.О. Диференціальні перетворення для комп’ютерного моделювання. — Киев : Нац. авиац. ун-т, 2002. — 106 с. 10. Ронто Н.И. О неявных схемах интегрирования, основанных на дифференциальных преоб- разованиях // Электронное моделирование. — 1986. — 8, № 4. — С. 44–50. 11. Ракушев М.Ю. Вычислительная схема интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе дифференциально-тейлоровского преобразования с автоматическим выбором шага и порядка // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 6. — С. 87–96. 12. Ракушев М.Ю. Вычислительная схема интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе дифференциально-тейлоровского преобразования с автоматическим выбором шага и порядка // Космічна наука і технологія. — 2010. — 16, № 6. — С. 51–56. Получено 12.01.2015 После доработки 19.05.2015
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208032
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:36:32Z
publishDate	2015
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Ракушев, М.Ю. 2025-10-18T10:16:33Z 2015 Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208032 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i9.60 Запропоновано метод розробки обчислювальних схем інтегрування рівняння в варіаціях для задачі Коші, записаної для системи звичайних диференційних рівнянь. В методі реалізовано отримання всіх елементів рівняння у варіаціях без проведення аналітичних операцій визначення частинних похідних функцій, що входять у праву частину вихідної системи диференційних рівнянь. Метод засновано на диференціальних перетвореннях. It is presented a method of development of computational schemes of the integration of the variational equation for the Cauchy problem written for system of ordinary differential equations. Obtaining of all elements of the variational equations is implemented in this method without analytical process of determining the partial derivatives of the functions which are part of the right-hand side of the initial system of differential equations. The method is based on the differential transformations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований Числовий метод інтегрування рівняння у варіаціях для задачі Коші на основі диференціальних перетворень Numerical method of the integration of the variational equation for the Cauchy problem based on differential transformations Article published earlier
spellingShingle	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований Ракушев, М.Ю. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
title	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
title_alt	Числовий метод інтегрування рівняння у варіаціях для задачі Коші на основі диференціальних перетворень Numerical method of the integration of the variational equation for the Cauchy problem based on differential transformations
title_full	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
title_fullStr	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
title_full_unstemmed	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
title_short	Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
title_sort	численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208032
work_keys_str_mv	AT rakuševmû čislennyimetodintegrirovaniâuravneniâvvariaciâhdlâzadačikošinaosnovedifferencialʹnyhpreobrazovanii AT rakuševmû čisloviimetodíntegruvannârívnânnâuvaríacíâhdlâzadačíkošínaosnovídiferencíalʹnihperetvorenʹ AT rakuševmû numericalmethodoftheintegrationofthevariationalequationforthecauchyproblembasedondifferentialtransformations

Численный метод интегрирования уравнения в вариациях для задачи коши на основе дифференциальных преобразований

Institution

Similar Items