Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей
Досліджено проблему вибору смуг пропускання з використанням ядерних оцінок щільності розподілу, де замість однієї оптимальної смуги пропускання для кожної оцінки щільності застосовано результати різних мір згладжування для ядерних оцінок щільності. Запропоновано підхід, де замість необроблених експе...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208034 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей / А.А. Галкин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 85-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859828815153332224 |
|---|---|
| author | Галкин, А.А. |
| author_facet | Галкин, А.А. |
| citation_txt | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей / А.А. Галкин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 85-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Досліджено проблему вибору смуг пропускання з використанням ядерних оцінок щільності розподілу, де замість однієї оптимальної смуги пропускання для кожної оцінки щільності застосовано результати різних мір згладжування для ядерних оцінок щільності. Запропоновано підхід, де замість необроблених експериментальних відношень використовується нормальна апроксимація відповідних ймовірностей, а асимптотичні властивості досліджено при відповідних умовах регулярності.
The problem of choosing the bandwidths is investigated using kernel density estimations of distribution, where the results of the various measures are applied for smoothing kernel density estimation instead of using a single optimum bandwidth for each of the density estimations. The approach is proposed where instead of the undeveloped experimental proportionality we use normal approximation of certain probabilities and also asymptotic properties are investigated under appropriate regularity conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:31:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.А. ГАЛКИН, 2015
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 85
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 519.7
А.А. Галкин
ПРИМЕНЕНИЕ МЕР СГЛАЖИВАНИЯ
В НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЯДЕРНЫХ
КЛАССИФИКАТОРАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Введение
На основе результатов современных исследований в области распознавания
образов, а также в результате значительного сдвига ядерные оценки плотности
распределения становятся достаточно масштабными для больших полос пропускания
среднеквадратических интегрированных ошибок [1–3]. Кроме того, коэффици-
ент ошибочной классификации ядерного классификатора )(a достигает мини-
мума и становится почти гладким для широкого диапазона больших значений по-
лосы пропускания .a В данной работе предполагается, что исследуются m эле-
ментов данных выборки каждого множества, а общая полоса пропускания a
используется для различных оценок плотности множества данных. Переменные
)}({ zhla и )(zhla могут рассматриваться соответственно как теоретические и эм-
пирические масштабно-пространственные функции от l-го множества данных для
различных вариаций сглаживающего параметра .a Отметим, что теоретические
масштабно-пространственные функции )}({ zhla являются свертками истинных
функций плотности )(zhl с ядром и полосой пропускания .a Кроме того, дис-
персия ядерной оценки плотности распределения, что является средним значе-
нием множества независимых и одинаково распределенных случайных величин,
уменьшается, и, как следствие, для некоторой фиксированной полосы пропускания a
распределение )(zhla имеет тенденцию к почти вырожденности в )}.({ zhla
Данный результат имеет место, когда размер выборки достаточно большой и имеет
тенденцию к росту. Отметим, что классификатор на основе ядерной оценки
плотности распределения будет относить элемент данных к классу, имеющему
наибольшее значение для теоретической функции масштабируемого пространства,
когда размер выборки m стремится к бесконечности, а апостериорные вероятности
для различных множеств данных равны при фиксированном значении .a Указанные
результаты также имеют место для случая свертки, когда h и ядро являются
сферически-симметричными и строго нисходящими функциями расстояния от
их центров симметрии. В данном случае функции масштабируемого пространства
сохраняют порядок среди начальных плотностей, когда они удовлетворяют модели
локализации смещения для всех значений .a
86 ISSN 0572-2691
Постановка задачи
В данной работе предполагается, что функция является плотностью с модой в
0 и ограничена третьей производной, а функция )(zh такова, что .)(
6
dzzhz
Математическое ожидание и дисперсия )(zha
задаются таким образом:
)](})()0()({)2/1()0([})({ 322 aOZzKZzaaxh h
r
a (1)
и
])()}()0()({[)4(})({ 12142 aOZzKZzDmazhD h
r
a (2)
при .a В данном случае математическое ожидание и дисперсия )(zha
могут
быть записаны как
]}/)({[})({ aZzazh h
r
a (3)
и
].}/)({[})({ 21 aZzDamzhD h
r
a (4)
Выражение }/)({ aZz может быть записано как
kli
kli
XaZzKZaaaZz ,,
,,
322 )6/1(})()0()){(2/1()0(}/)({
(5)
с использованием разложения Тейлора в окрестности 0, где ,0)0( K а
|
)(
))()((
3
,,
kli
kklliikli ZzZzZzX (6)
для некоторого промежуточного вектора между 0 и ./)( aZz
В результате получаем такие равенства:
)()}()0()({)2/1()0(]}/)({[ 322 aOZzKZzaaZz hh (7)
и
),(})()0()({)4/1(
])6/1(})()0()(){2/1[(]}/)({[
524
,,
,,
322
aOZzKZzDa
XaZzKZzaDaZzD
h
kli
kli
hh
(8)
поскольку функция ограничена третьей производной, а .)(
6
dzzhz
Теорема 1. Пусть ah1 и ah2 — ядерные оценки плотности распределения для
двух функций плотности 1h
и 2h соответственно, где функции ,1h 2h и
удовлетворяют условиям (1) и (2). Тогда для ah1 и ah2 имеют место следующие
результаты сходимости:
(а) ,a при0})()({ 21 zhzhP aa если ;21 pp
(б) )1( 0})()({ 21 zhzhP aa при am, в зависимости от )0(2Kz
]})0({})0({[(1/2) <)(})()({ 22
1212
ZKZZKZZZ hhhh при условии
.2/121 pp
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 87
Доказательство. Пусть })({)(),()()( 2211 zXzzhpzhpzX aaaaa и )(2 zwa
}.)({ zXD a
(а) ,0)(/)( 22 zzw aa а )(za остается положительным, когда 21 pp и .a
Поэтому из неравенства Чебышева имеем .0}0)({lim
zXP a
a
(б) В случае, когда ,21 pp из (1) и (2) очевидно следующее:
знаки для )(za и для
]})0({})0({[)2/1()}()(){0( 222
1212
ZKXZKZZZKz hhhh
одинаковы, когда ;a
0)(/)( 22 zzw aa при . , am
Из неравенства Чебышева следует, что
,0)( когда ,
)()(
)(
}0)({
22
2
z
zwz
z
zZP a
aa
a
a
(9)
и
.0)( когда ,
)()(
)(
0)(
22
2
z
zwz
zw
zPZ a
aa
a
a
(10)
В неравенствах (9) и (10) правые части стремятся к 1 и 0 соответственно при
am, . В результате }0)({ zXP a также стремится к 1 и 0.
Теорема доказана.
Средняя вероятность ошибочной классификации при выполнении класси-
фикатора на основе ядерной оценки плотности распределения приближается
к результатам линейного классификатора, который задается таким образом:
}].)0({)2/1()()0([minarg)( 22
. ZKZZKzz
ll hh
l
lin (11)
Данный результат имеет место, когда априорные вероятности равны при
am, , а lh являются функциями плотности, удовлетворяющими условию
dzzhz l )(
6
для всех ....,,2,1 Ll В данном случае ядро является функцией
плотности с модой в 0 и ограничено третьей производной.
Для проверки полученных результатов примем, что
a
ilG — событие, где
0)()( zhzh laia для Lli 1 . Очевидно, что 1)()( a
li
a
il GPGP и
)(
:
a
il
ill
GP
).(min)2(
:
a
il
ilill
a
il GPGPL
Поэтому, для 1,
:
ill
a
ilGPi тогда
и только тогда, когда 1)( a
ilGP для всех .il Ограниченный линейный класси-
фикатор почти эквивалентен классификатору, который относит элемент данных
z к классу ,0l что максимизирует ,)()2/1()( ZZZz
ll hh поскольку )0(2K
является отрицательно-определенной функцией, или минимизирует )(
2
Zz
lh
для .1 Ll Данный вывод имеет место, когда ядро является сферически-
симметричной и строго убывающей функцией нормы ее аргумента [4].
Далее исследуем поведение средней вероятности ошибочной классификации
на основе оценки плотности, когда ., am Предполагается, что функции
88 ISSN 0572-2691
плотности lh удовлетворяют модели сдвига таким образом, что )()( ll zczh
для общей функции плотности c с нулевым средним значением и параметром
локализации l для всех ....,,2,1 Ll
Средняя вероятность ошибочной классификации ядерного классификатора
эквивалентна линейному классификатору для задачи n-класса, если существуют
n-максимумы среди априорных вероятностей, а llll pppp
n
...
21
для всех
}....,,,{ 21 nllll Это возможно, когда классы имеют максимальную априорную
вероятность. Кроме того, средний показатель ошибочной классификации приближа-
ется к элементарному классификатору, который относит все данные к множеству ,0l
если существует такое ,0l что ll pp
0
для всех .0ll Средний показатель оши-
бочной классификации также демонстрирует поведение такого линейного клас-
сификатора, как
,]2/})0({)0([minarg)( 22
. lll
l
lin KKzz (12)
если ....21 lppp Итак, для ,ji ,)()( lihh ZZ
li
а 2( KZ
ih
,)0()0())0(())0( 222
lliih KKZKZZ
l
поскольку функции плот-
ности множеств данных удовлетворяют модели локального сдвига с параметром
локализации l для l-класса.
Теорема 2. Пусть ядро является симметричным в окрестности 0
с ,)(
3
dxxx а функция плотности h ограничена третьей производной.
Тогда, при ,a математическое ожидание и дисперсия )(zha задаются таким
образом:
,)()()}({ 2aOzhzha (13)
})()({)(})({ 21 aOzhmazhD r
a (14)
при a и .)(2 dxx
Доказательство. Для некоторого промежуточного вектора между z и
axz имеет место следующее равенство:
,])!3/(})({)2/()}({)([)()
()()(}/)({]}/)({[})({
,,
,,
322 dxXaxzhKxazKhxazhxdxax
zhxdZZhaZzaaZzazh
kli
kli
rd
ha
(15)
где
=t
3
,, |
)(
kli
klikli
h
xxxX .
Поэтому
),()()(})({
2
)(})({ 222
2
aOzhaodxxzhKx
a
zhzha (16)
а также, учитывая, что ,)(2 dxx получаем следующее равенство:
)].()([])3/(})({)2/(
})({)([)(}]/){([
2
,,
,,
322
222
aOzhadxXaxzhKxa
zKhxazhxaaZza
r
kli
kli
rr
h
(17)
В результате из приведенных выше соображений следует, что
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 89
}.)()({})/)(({})({ 211 aOzhamaZzaDmzhD rr
ha (18)
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть функции плотности jhhh ...,,, 21 и ядро удовлетворяют
условиям, указанным в теореме 2. Для каждого }...,,2,1{ Ll и M предполага-
ется, что 0
lma и 0/ limm Vaa
il
для всех i, ,r
ml
l
am а / ll Mm такое,
что .10 i Определим ,...,, 21 LZZZ которые являются независимыми нормально
распределенными величинами, где
)}({)( zhppZ
imim iaiiaii (19)
и
})({)( 22 zhpDwpZD
im
im
iaiiaii (20)
для некоторого .rRz Тогда для произвольного значения z получаем
.0)1всех для(,)(lim 1
11
1
1
im
imm
iai
iaia
i
i
M wp
pp
iZZP (21)
Доказательство. Для всех 1i
,)()(c }{}{
11
1
im
im
im
im
iai
iai
i
c
iai
iai
i
ii
wp
pz
Fdzzc
wp
pz
FdzzzZPZZP (22)
где )(c — вероятностная функция плотности от .1Z Если принять, что )(zM
,
1
im
im
iai
iai
i wp
pz
а также использовать разложение Тейлора в окрестности
,
1
11 map выражение )(zM может быть определено как
zpz
maMM ()()(
1̀
11 )()
1̀
11 Mam
p для некоторого значения , что на-
ходится между
1
11 map и .z
Итак,
),()()( 1
1
11
2
11
lm
lm
m
m la
lal
aL
l
Ma
wp
pz
pz (23)
где .)(
,1 :
lkk kak
kak
lal
lal
la
km
km
lm
lm
lm wp
p
F
wp
p
f
В результате получаем
,
)(
22/1
2
2
1
2
2
122/1
2
11
2/11111
11
1
1
1
lm
lm
ml
m
lm
lm
lm
m
lm
lm
lm
m
lm
m
m
lal
lal
la
a
llal
lal
lal
a
lal
lal
lal
a
la
lal
a
wp
p
f
w
w
p
p
wp
p
f
wp
pz
wp
p
f
wp
pz
wp
pz
(24)
где 1.)( F
90 ISSN 0572-2691
Как следует из теоремы 2, 2
1
1ma
W и 2
lmla
w сходятся к 0 при ,M но
22
1
/
1 lmm laa
ww сходится к положительной постоянной величине [5].
Поэтому, используя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем
0)()(00
1
11
22
Ma
lal
lal
lal
lal
m
lm
lm
lm
lm
pz
wp
p
f
wp
p
f (25)
при .M
Теорема доказана.
Для работы с большими выборками необходима нормальная аппроксимация
распределения ядерных оценок плотности. Поскольку ядерные оценки плотности
распределения являются средним арифметическим независимых и одинаково рас-
пределенных случайных величин, в такой аппроксимации не будет значительной
потери точности. Если принять среднее значение и дисперсию )(z
lla и )(2 zw
lla
для ,...,,2,1),( Llzh
lla соответственно, средняя вероятность ошибочной клас-
сификации может быть аппроксимирована следующей функцией:
,)(})(),(,{
)(
)(
1)...,,,(
1
21
dzzhdgzwpzpgf
zwp
zpg
Fpaaa
llallal
iai
iai
li
l
L
l
L
ll
i
i
(26)
где ),,( wf — функция плотности вероятностей нормального распределения со
средним значением и стандартным отклонением ,w а )(F — кумулятивная
функция стандартного нормального распределения [6].
Теорема 4. Пусть функции плотности Lhhh ...,,, 21 имеют ограниченные
третьи производные, а ядро является ограниченным и симметричным относи-
тельно 0, что удовлетворяет условию .)(23
dxxx Для каждого значения
}...,,2,1{ Ll предполагается, что 0
lma и 0/ limm Vaa
il
для всех ,i
r
ml l
am и ll Mm / такое, что 10 l ( M ).
Тогда
,0)...,,,()...,,,(
2121
2121
LmmmLmmm LL aaaοaaa (27)
а )...,,,(
21
21
Lmmm Laaa и )...,,,(
21
21
Lmmm Laaaο демонстрируют поведение, соответ-
ствующее оптимальному байесовскому риску при .M
Доказательство. Поскольку )(
`
zp
l
mlal и )(22
`
zwp
l
mlal — среднее значение
и дисперсия для ),(zhp
imial выражение )...,,,( 21 mLmm aaaο задается таким образом:
.)(})(),(,{
)(
)(
1)...,,,(
1
21
dzzhdgzwpzpgf
zwp
zpg
Fpaaaο
llallal
iai
iai
li
l
L
l
mLmm
lmlm
im
im
(28)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 91
Для всех l
,0
)(
)()(
)}(),(,{
)(
)(
zwp
zpzp
F
dgzwpzpgf
zwp
zpg
F
im
imlm
lmlm
im
im
iai
iailal
li
lallal
iai
iai
li
(29)
поскольку .M Данный результат следует из теоремы 3. Также для каждого l
случае, противном в,0
,всех для )()( если,1
)(
)()( lizhpzhp
zwp
zpzp
F
iill
iai
iailal
li im
imlm
(30)
поскольку .M Данный результат следует из теоремы 2. Из теоремы Лебега о ма-
жорируемой сходимости следует, что ,)(1)...,,,(
1
21 dzzhpaaaο l
lihh
l
L
l
mLmm
il
что является оптимальным байесовским риском [7].
Условие Линдеберга для многомерной центральной граничной теоремы
имеет место для ,
)(
)()(
...,,
)(
)()(
,
)(
)()(
2
22
1
11
2
22
1
11
zw
zzh
zw
zzh
zw
zzh
mL
mLmL
m
mm
m
mm
La
LaLa
a
aa
a
aa
если учитывать асимптотические порядки })({ zh
lmla и )},({ zhD
lmla полученные
в теореме 2.
Таким образом, используя результаты по равномерной сходимости к многомер-
ным нормальным вероятностям для выпуклых множеств с границами, которые имеют
нулевую меру Лебега [8], получаем следующую сходимость для всех :li
0})(),(,{
)(
)(
} )()({
dgzwpzpgf
zwp
zpg
FzhpzhpP
lmlm
im
im
il lallal
iai
iai
li
iailal (31)
при .M В результате, поскольку ,M
0)...,,,()...,,,( 2121 mLmmmLmm aaaaaa (32)
при использовании теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
Теорема доказана.
Таким образом, при соответствующих условиях регулярности, если проводится
минимизация )...,,,( 21 Laaaο относительно ,...,,, 21 Laaa можно получить правило
классификации на основе ядерной оценки плотности распределения с асимптотиче-
ской средней вероятностью ошибочной классификации, которая эквивалентна
оптимальному байесовскому риску.
Заключение
В настоящей работе предложен метод выбора полос пропускания с использо-
ванием ядерных оценок плотности распределения, где вместо использования
одной оптимальной полосы пропускания для каждой оценки плотности применены
результаты различных мер сглаживания для ядерных оценок плотности. Разработан
математический аппарат и проведен теоретический анализ проблемы сглаживания
в непараметрических методах статистического анализа для решения задач распо-
знавания образов. Один из основных выводов заключается в том, что в зависимости
от того, являются ли априорные вероятности для различных множеств данных
равными, средняя вероятность ошибочной классификации демонстрирует абсо-
лютно разное поведение для различных вариантов выбора параметра полосы
пропускания. Установлено, что когда все априорные вероятности равны, в зави-
симости от природы функций плотности и ядра, большие полосы пропускания
92 ISSN 0572-2691
могут приводить к почти оптимальным коэффициентам ошибочной классификации.
Дополнительно установлено, что для больших полос пропускания средний коэф-
фициент ошибочной классификации для классификатора на основе ядерной оценки
плотности распределения асимптотически стремится к соответствующему коэф-
фициенту ошибочной классификации для линейного правила решения и является
оптимальным при некоторых предположениях относительно базовой плотности
распределения. Вместо необработанных экспериментальных отношений, предло-
женный метод выбора полосы пропускания использует нормальную аппроксима-
цию определенных вероятностей, а его асимптотические свойства исследованы
при соответствующих условиях регулярности.
О.А. Галкін
ЗАСТОСУВАННЯ МІР ЗГЛАДЖУВАННЯ
В НЕПАРАМЕТРИЧНИХ ЯДЕРНИХ
КЛАСИФІКАТОРАХ З ВИКОРИСТАННЯМ
НОРМАЛЬНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Досліджено проблему вибору смуг пропускання з використанням ядерних
оцінок щільності розподілу, де замість однієї оптимальної смуги пропускання
для кожної оцінки щільності застосовано результати різних мір згладжування
для ядерних оцінок щільності. Запропоновано підхід, де замість необроблених
експериментальних відношень використовується нормальна апроксимація ві-
дповідних ймовірностей, а асимптотичні властивості досліджено при відповідних
умовах регулярності.
А.A. Galkin
APPLICATION OF SMOOTHING MEASURES IN
NONPARAMETRIC KERNEL CLASSIFIERS USING
NORMAL APPROXIMATION OF PROBABILITIES
The problem of choosing the bandwidths is investigated using kernel density estimations
of distribution, where the results of the various measures are applied for smoothing kernel
density estimation instead of using a single optimum bandwidth for each of the density
estimations. The approach is proposed where instead of the undeveloped experimental
proportionality we use normal approximation of certain probabilities and also asymptotic
properties are investigated under appropriate regularity conditions.
1. Vardi Y., Zhang C.H. The multivariate on L1-median and associated data depth // Proc. of the
National Academy of Sciences (USA). — 2000. — 97. — P. 1423–1426.
2. Godtliebsen F., Marron J.S., Chaudhuri P. Significance in scale space for bivariate density esti-
mation // Journal of Computational and Graphical Statistics. — 2002. — 11. — P. 1–22.
3. Holmes C.C., Adams N.M. A probabilistic nearest neighbor method for statistical pattern recogni-
tion // Journal of the Royal Statistical Society. — 2002. — 64. — P. 295–306.
4. Hall P. Large sample optimality of least squares cross validations in density estimation // The
Annals of Statistics. — 1983. — 11. — P. 1156–1174.
5. Zuo Y., Serfling R. Structural properties and convergence results for contours of sample statistical
depth functions // Ibid. — 2000. — 28. — P. 483–499.
6. Mosler K. Multivariate dispersions, central regions and depth. — New York: Springer-Verlag,
2002. — P. 1–14.
7. Lachenbruch P., Mickey M. Estimation of error rates in discriminant analysis // Technometrics. —
1968. — 10. — P. 1–11.
8. Silverman B.W. Density estimation for statistics and data analysis. — London: Chapman and
Hall, 1986. — P. 1–7.
Получено 22.05. 2015
Статья представлена к публикации чл.-корр. НАН Украины А.В. Анисимовым.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208034 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:31:19Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Галкин, А.А. 2025-10-18T10:27:33Z 2015 Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей / А.А. Галкин // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 85-92. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208034 519.7 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i10.60 Досліджено проблему вибору смуг пропускання з використанням ядерних оцінок щільності розподілу, де замість однієї оптимальної смуги пропускання для кожної оцінки щільності застосовано результати різних мір згладжування для ядерних оцінок щільності. Запропоновано підхід, де замість необроблених експериментальних відношень використовується нормальна апроксимація відповідних ймовірностей, а асимптотичні властивості досліджено при відповідних умовах регулярності. The problem of choosing the bandwidths is investigated using kernel density estimations of distribution, where the results of the various measures are applied for smoothing kernel density estimation instead of using a single optimum bandwidth for each of the density estimations. The approach is proposed where instead of the undeveloped experimental proportionality we use normal approximation of certain probabilities and also asymptotic properties are investigated under appropriate regularity conditions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей Застосування мір згладжування в непараметричних ядерних класифікаторах з використанням нормальної апроксимації ймовірностей Application of smoothing measures in nonparametric kernel classifiers using normal approximation of probabilities Article published earlier |
| spellingShingle | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей Галкин, А.А. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| title | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| title_alt | Застосування мір згладжування в непараметричних ядерних класифікаторах з використанням нормальної апроксимації ймовірностей Application of smoothing measures in nonparametric kernel classifiers using normal approximation of probabilities |
| title_full | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| title_fullStr | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| title_full_unstemmed | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| title_short | Применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| title_sort | применение мер сглаживания в непараметрических ядерных классификаторах с использованием нормальной аппроксимации вероятностей |
| topic | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| topic_facet | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208034 |
| work_keys_str_mv | AT galkinaa primeneniemersglaživaniâvneparametričeskihâdernyhklassifikatorahsispolʹzovaniemnormalʹnoiapproksimaciiveroâtnostei AT galkinaa zastosuvannâmírzgladžuvannâvneparametričnihâdernihklasifíkatorahzvikoristannâmnormalʹnoíaproksimacííimovírnostei AT galkinaa applicationofsmoothingmeasuresinnonparametrickernelclassifiersusingnormalapproximationofprobabilities |