Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния
Досліджуються стійкі безперервні системи, матриця стану яких має спектри кратних власних чисел. Задача вирішується при кратності власних чисел, рівній розмірності вектора стану, причому спочатку розглядається випадок дійсних власних чисел, а потім — випадок комплексно-спряжених. Показано, якщо модул...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208043 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 21-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860150343516553216 |
|---|---|
| author | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. |
| author_facet | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. |
| citation_txt | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 21-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Досліджуються стійкі безперервні системи, матриця стану яких має спектри кратних власних чисел. Задача вирішується при кратності власних чисел, рівній розмірності вектора стану, причому спочатку розглядається випадок дійсних власних чисел, а потім — випадок комплексно-спряжених. Показано, якщо модуль дійсного власного числа менший за одиницю, то в траєкторіях вільного руху системи за нормою її вектора стану спостерігається викид, що змінювався монотонною збіжністю траєкторії до нуля. Встановлено, що величина викиду тим більша, чим менший модуль дійсного власного числа і більша його кратність. Якщо матриця стану безперервної системи має спектр комплексно-спряжених власних чисел, то при значенні дійсної частини комплексно-спряженого власного числа, меншого за одиницю, як і у випадку дійсного спектра власних чисел, спостерігаються викиди траєкторій, величина яких тим більша, чим менший його модуль і більша його кратність.
The stable continuous systems with multiple eigenvalues of state matrices are considered. The multiplicity of the eigenvalues equals to dimension of state vector of the system. There is studied the motion of an autonomous system in the norm of state vector for the cases with multiple real and complex conjugate eigenvalues. It was shown that if the modulus of the real eigenvalue is less than one, then in the trajectories of the system free motion on the norm of the state vector there is observed a deflection, alternating monotone convergence of the trajectory to zero. It was found that the magnitude of deflection of the trajectories from monotone development increases with the approach of multiple eigenvalue to zero and increases in its multiplicity.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.А. ВУНДЕР, А.В. УШАКОВ, 2015
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 21
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
Н.А. Вундер, А.В. Ушаков
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
ПРОЦЕССОВ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ,
ПОРОЖДАЕМЫХ ФАКТОРОМ
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
ИХ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ
Введение
Исследуются устойчивые непрерывные системы, матрица состояния которых
имеет спектры кратных собственных чисел. Задача решается при кратности собствен-
ных чисел, равной размерности вектора состояния, причем сначала рассматривается
случай вещественных собственных чисел, а затем — случай комплексно-сопряжен-
ных. Показано, что если модуль вещественного собственного числа меньше единицы,
то в траекториях свободного движения системы по норме ее вектора состояния на-
блюдается выброс, сменяющийся монотонной сходимостью траектории к нулю. Ус-
тановлено, что величина выброса тем больше, чем меньше модуль вещественного
собственного числа и больше его кратность. Если матрица состояния непрерывной
системы обладает спектром комплексно-сопряженных собственных чисел, то при
значении вещественной части комплексно-сопряженного собственного числа, мень-
шего единицы, как и в случае вещественного спектра собственных чисел, наблюда-
ются выбросы траекторий, величина которых тем больше, чем меньше его модуль и
больше его кратность. Особое внимание уделяется ситуации, когда модуль вещест-
венной части собственного числа больше единицы, а само собственное число харак-
теризуется «слабой демпфированностью». Слабая демпфированность проявляется
выбросами в траекториях свободного движения по норме вектора состояния уже сис-
темы второго порядка. Обнаружилось, что в случае кратных комплексно-сопряжен-
ных собственных чисел этот эффект многократно усиливается.
Постановка задачи
Ставится задача исследования свободного движения устойчивой линейной
непрерывной многомерной динамической системы по норме ее вектора состояния
в целях изучения влияния на поведение системы кратности собственных чисел
ее матрицы состояния и значения их модуля в случае вещественного спектра собст-
венных чисел, а в случае комплексно-сопряженного спектра собственных чисел —
их «демпфированности». Предполагается, что кратность собственного числа равна
размерности вектора состояния в случае вещественного спектра собственных чисел и
половине размерности в случае комплексно-сопряженного спектра. Первоначально
задача решается применительно к представлению матрицы состояния в канонической
жордановой форме [1], затем исследования переносятся на произвольный случай.
22 ISSN 0572-2691
Аналитическое исследование свободного движения непрерывной
многомерной апериодической системы для случая кратных
вещественных собственных значений ее матрицы состояния
Рассмотрим линейную гурвицеву непрерывную многомерную динамическую
систему, задаваемую [1–3] в векторно-матричной форме
),0()(),()(
0
xtxtFxtx
t
(1)
где x(0), x(t) — векторы соответственно начального и текущего состояний сис-
темы; F — ее матрица состояния; x(0), x(t) .; nnn RFR Матрица системы F,
заданная в произвольном базисе, такова, что ее характеристический полином
)(D имеет представление
.0)(:;)1()()λ(det)(
1
JmCFID inii
n
i
n
i
nn (2)
Такая ситуация может возникнуть, когда при синтезе методами модального
управления [3] матрица состояния F системы задается во фробениусовой форме,
сопровождающей характеристический полином )(D , в котором i
nC — число соче-
таний из n по .i Дополним условие (2) наличия в алгебраическом спектре собст-
венных чисел },1;:]0)λ(det[arg{}{ niFIF ii матрицы F един-
ственного вещественного элемента кратности )(dim xn условием, накла-
дываемым на дефект характеристической матрицы )λ( FI [1] матрицы ,F
который должен принимать единичное значение.
Тогда каноническая форма матрицы [1], построенная на спектре }{F собствен-
ных чисел матрицы ,F будет представлять собой )( nn -клетку Жордана ),(J
имеющую представление
.
000
1000
010
001
)(
J (3)
Заметим, что матрица в форме Жордана )(J порождает автономную динамическую
систему вида (1), задаваемую в жордановом каноническом базисе
).0(~)(~),(~)()(~
0
xtxtxJtx
t
(4)
Структурное представление системы (4) приведено на рис. 1.
s
1
s
1
s
1
s
1
s
1
s
1
)(~ txn
)(~
1 txn
)(~
4 tx )(~
3 tx )(~
2 tx )(~
1 tx
Рис. 1
В системе вида (4) вектор x~ и матрица )(J состояния связаны с вектором x и
соответственно с матрицей F состояния исходной системы (1) векторно-
матричными соотношениями
.)(,~ FSSJxSx (5)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 23
В (5) S — )( nn -матрица неособого преобразования подобия, допускающая
представление матрицы F в форме
.)( 1 SSJF (6)
В свою очередь жорданова матрица )(J в силу (3) может быть представлена
в аддитивно декомпозированном виде
),0()0(},1;{diag)( JIJniJ i (7)
где )0(J — нильпотентная матрица [1] индекса .ν n
Теперь поставим задачу исследования свободного движения системы (4) по век-
тору ее состояния в скаляризованной форме. Решение системы (4) ))0(~,(~)(~ xtxtx
имеет [1–3] вид
).0(~})(exp{))0(~,(~)(~ xtJxtxtx (8)
Скаляризацию векторного процесса (8) осуществим на основе использования
согласованных [1] векторных и матричных норм, в результате на основе (7)
получим цепочку соотношений
.||)0(~||||})0({exp||||)0(~||||})({exp||||)0(~})({exp||||)(~|| xtJextJxtJtx t (9)
В (9) компонент })0({exp tJ мультипликативной цепи элементов имеет [1–3] при
nμ представление
})0({exp tJ = .
1000
000
])!2μ[(10
])!1μ[()2(1
0000
1000
0100
0010
exp
2μ1
1μ121
t
tt
ttt
t (10)
Из (10) видно, что столбцовая норма ,||})0({exp|| 1tJ определяемая последним
столбцом матричной экспоненты },)0({exp tJ ее строчная норма ,||})0({exp|| tJ
определяемая первой строкой экспоненты, и оценка спектральной нормы
,||})0({exp|| 2tJ задаваемая [4] мажорирующим неравенством 2||})0({exp|| tJ
,}||}0{exp||||}0exp{{|| 21
1 tJtJ совпадают и определяются выражением
).,2,1(,!1!1)μ(1211||})0({exp||
1μ
0
1μ2
ptkttttJ k
k
p
Таким образом, норма матричной экспоненты ||})({exp|| tJ удовлетворяет соот-
ношению
||})({exp|| tJ .)!(1
1μ
0
k
k
t tke
(11)
В целях дальнейших исследований выделим такое },1||)0(~{||arg)0(~ xx для кото-
рого выполняется точное равенство
.)!(1||)0(~||||})({exp||||)(~||
1μ
0
10~
k
k
t
x tkextJtx
(12)
Теперь при фиксированной кратности n собственного числа
поставим задачу оценки знака скорости изменения нормы ||)(~|| tx в момент 0t
24 ISSN 0572-2691
как синдрома характера развития процессов в системе в функции от областей
значений . Дифференцированием по времени выражения (12) получим
.1)!(1)!(1)!(1||)(~||
0
2μ
0
1μ
00
1μ
0
t
k
k
tk
k
t
t
k
k
t tketketke
dt
d
tx
dt
d (13)
Соотношение (13) позволяет сепарировать процессы по их качеству в системе (4)
с матрицей состояния в виде жордановой клетки полной размерности по норме
вектора состояния в функции от значения кратного собственного числа .
Ясно, что при любом отрицательном значении и при любой его кратности
процессы в системе (4) являются сходящимися, потому что мультипликативный
член te в выражении (12) для ||)(~|| tx имеет бесконечное число элементов раз-
ложения по степеням t в то время, как член k
k
tk )!(1
1μ
0
— конечное. Следо-
вательно, всегда найдется такой момент времени , tt с которого начинает
проявляться доминирование экспоненциального сомножителя .te Рассмотрим
следующие ситуации.
Ситуация 1: ,1||,0 0||)(~||,1,0
0
t
tx
dt
d
, процесс
||)(~|| tx сходится к нулю и мажорируется экспонентой в форме ||)(~|| tx
||)0(~||e 1 xt .
Ситуация 2: ,0||)(~||,1
0
t
tx
dt
d
начальная скорость нулевая, но при
0t в силу (13) устанавливается отрицательная скорость, определяемая выражением
.)!1μ(1)!(1)!(1||)(~|| 1μ
1
2μ
0
1μ
0
tetketketx
dt
d tk
k
tk
k
t (14)
Скорость изменения нормы ||)(~|| tx на траекториях системы характеризуется экс-
тремумом, наблюдаемым в момент ,mt определяемым в силу (14) соотношениями
,1μ0)(arg0||)(~||arg 1μ
2
2
te
dt
d
tx
dt
d
t t
m
при этом скорость изменения нормы ||)(~|| tx , будучи отрицательной, составляет
величину
.
)!1μ(
)1μ(
||)(~||max 1μ
1μ
etx
dt
d
t
Процесс ||)(~|| tx сходится к нулю в силу представления (12). Процесс мажо-
рируется экспоненциальной функцией так, что выполняется неравенство
)0(~||)(~|| xetx yt , в котором параметры ),( определяются из условия
&||)0(~||ρ||)(~||minarg),( γ
γρ,
xetx t
.1ρ&
!1)μ(
1)μ(
||)0(~||ρ& 1μ
1μ
1μ
γ
exe
dt
d
t
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 25
Ситуация 3 (предмет статьи): ,1||,0 .0||)(~||
0
t
tx
dt
d
Процесс
||)(~|| tx на начальном отрезке времени расходится, достигая максимума в момент
,Mt определяемый соотношениями
,0)!1)μ(1(α)!1(α)1(arg0)(~arg )1(μ
2μ
0
ttktx
dt
d
t k
k
M (15)
а далее сходится к нулю. Таким образом, процесс ||)(~|| tx на траекториях свобод-
ного движения апериодической системы обнаруживает выброс, численно опреде-
ляемый величиной )1||,0(:α кратного собственного числа и значением μ
его кратности. Очевидно свойство процесса ||)(~|| tx : чем меньше величина 1||
и чем больше его кратность μ , тем больше величина его выброса над уровнем
||)0(~|| x . Для иллюстрации этого результата вычислим момент Mt с помощью (15)
и выброса в кривой ||)(~|| tx апериодической системы для момента Mtt в силу
соотношения (12) для различных значений )1||,0(:α и кратностей μ .
Результаты вычислений приведены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
μ 2 3 4 5 10
Mt
– 0,2 4 8,9 13,9 18,8 43,8
– 0,02 49 99 149 199 449
Таблица 2
μ 2 3 4 5 10
||)(~||||))(~(||max M
t
txtx
– 0,2 2,25 8,35 34,7 151,6 5103,32
– 0,02 18,8 690,4 4102,86 6101,25 14102,72
Вернемся к исходной системе (1) с матрицей состояния ,F заданной в про-
извольном базисе, тогда по аналогии с (8) с использованием (6) можно записать
).0(}α)(exp{)0(}exp{))0(,()( 1xStJSxFtxtxtx (16)
Если в (16) перейти к скаляризованным векторным процессам по норме вектора
состояния системы (1), то с помощью (11) получим цепочку соотношений
||)0(||||||||}α)(exp{||||||||)0(}α)(exp{||||)(|| 11 xStJSxStJStx
,||)0(||!1}{
1μ
0
xtkeSc k
k
t
где ||||||||}{ 1 SSSc — число обусловленности матрицы ,S удовлетворяющее [4]
условию .}{1 Sс Значения ||)(|| tx будут в }{Sc раз превышать значения
||,)(~|| tx сохраняя ту же зависимость от модуля |α| собственного числа α
и его кратности μ.
26 ISSN 0572-2691
Компьютерное исследование свободного движения непрерывной
многомерной апериодической системы для случая кратных вещественных
собственных чисел ее матрицы состояния
Компьютерное исследование процессов по норме ||)(~|| tx как функции собст-
венного числа и его кратности n проводилось в соответствии с соот-
ношением ||)0(~||})(exp{||||)0(~})({exp||||)(~|| xtJxtJtx по его мажорирующей
части в модельной среде пакета Matlab. Результаты моделирования процессов
в форме ||)(~|| tx для единого набора кратностей 10и5;3;2μ n и значений
0,02и0,2;2 представлены на рисунках.
На рис. 2 приведены кривые для случая .2 Процессы ||)(~|| tx схо-
дятся монотонно без выбросов (см. ситуацию 1) . Кривая 1 соответствует случаю
,2μ n кривая 2 — ,3μ n кривая 3 — ,5μ n кривая 4 — 10.μ n
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0
0,1
)(~ tx
1 2 3 4 5 t, c
0,25
0,2
0,15
0,05
0,1
1 1,2 1,4 1,6 1,8
Рис. 2
На рис. 3 показаны четыре кривые для случая :20, рис. 3, а — μ
;2 n рис. 3.б — ;3μ n рис. 3.в — ;5μ n рис. 3, г — .10μ n Процессы
||)(~|| tx обнаруживают выбросы, нарастающие с увеличением nμ (см. ситуацию 3).
0
1
)(~ tx
2
20 40 60 80 t, c
0
4
)(~ tx
2
20 40 60 80 t, c
6
8
а б
0
100
)(~ tx
150
20 40 60 80 t, c
50
0
2
)(~ tx
3
50 100 150 t, c
1
510
в г
Рис. 3
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 27
На рис. 4 приведены четыре кривые для случая :20,0 рис. 3, а —
;2μ n рис. 3, б — ;3μ n рис. 3, в — ;5μ n рис. 3, г — .10μ n
Процессы ||)(~|| tx имеют заметные выбросы, нарастающие с увеличением
nμ (см. ситуацию 3).
0
10
)(~ tx
15
200 400 600 t, c
5
0
400
)(~ tx
600
200 400 600 t, c
200
а б
0
5
)(~ tx
10
200 400 600 t, c
510
0
2
)(~ tx
500 1000 t, c
1
510
в г
Рис. 4
На рис. 5 приведены кривые постоянных значений ||))(~(||max tx
t
const)( Mtx (в %) на плоскости « λμ », иллюстрирующих возможность
«обмена» кратности на значение кратного собственного числа в решаемой задаче.
0
1
– 0,9
2 3 4
400
600
1000
200
150
100
50
20
10
– 0,8
– 0,7
– 0,6
– 0,5
– 0,4
– 0,3
– 0,2
– 0,1
Рис. 5
28 ISSN 0572-2691
На рис. 6 изображены кривые при 20, для случая системы (1), в кото-
рой матрица F задана в сопровождающей строчной форме, и системы (4). Про-
цессы ||)(|| tx (кривая 1) имеют характер кривых ||)(~|| tx (кривая 2), но в каждый
момент в }{Sc раз превышают их.
)(tx
0
с,t
20
2
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90
40
60
80
100
120
140
160
)(~ tx
Рис. 6
Завершая рассмотрение влияния фактора кратности собственных чисел
на качество процессов в апериодических системах, следует отметить, что ес-
ли спектр собственных чисел матрицы F имеет несколько кратных чисел
,μ;,1;μ,1:}{σ
1
nqjiF j
q
j
jji то каноническое представле-
ние F в жордановой форме будет содержать q жордановых клеток размерности
)μμ( jj каждая. Тогда для такого случая соотношение (9) принимает вид
||)0(~||||})0(exp{||||)0(~},1};)({exp{diag||||)(~|| μμ xtJexqjtJtx t
j
, (17)
где }.,1;μ{maxμ};,1;1|α|&0α:α{maxα qjqj j
j
jjj
j
Конструирование канонического «квазижорданова» представления
матрицы состояния непрерывной системы с кратными
комплексно-сопряженными собственными числами
Рассмотрим линейную гурвицеву непрерывную многомерную динамическую
систему вида (1), где матрица системы ,F заданная в произвольном базисе, такова,
что ее алгебраический спектр }{σ F собственных чисел удовлетворяет условию
}.2,1;:]0)λ(det[arg{}{ ;212;212 nijβFIF iiii (18)
Из (18) следует, что матрица F имеет единственную пару комплексно-
сопряженных собственных чисел кратности ,2n где .dim xn Допол-
ним (18) условием, накладываемым на геометрический спектр собственных
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 29
подпространств в виде значения дефекта характеристической матрицы [2] матри-
цы ,F записываемым в форме .2)λ(def FI Тогда каноническая форма матри-
цы, построенная на спектре }{F собственных чисел матрицы ,F будет пред-
ставлять собой )( nn -«квазижорданову» клетку .β)α,(
~
J При конструировании
«квазижордановой» клетки β)α,(
~
J потребуем выполнения условия
α)(}β)α,(
~
{lim
0β
JJ
. (19)
Нетрудно видеть, что условиям (18) и (19) будет удовлетворять система
,)0(~)(~),(~),(
~
)(~
0
xtxtxJtx
t
(20)
структурное представление которой получается из структурной схемы рис. 1, в кото-
ром пары интеграторов, примыкающих один к другому, охвачены обратной связью с
коэффициентом передачи « 2β »так, что получается схема, приведенная на рис. 7.
s
1
s
1
s
1
s
1
s
1
s
1
)(~ txn
)(~
1 txn
)(~
4 tx )(~
3 tx )(~
2 tx )(~
1 tx
2
2
2
Рис. 7
Если учесть, что на непосредственном входе i -го интегратора наблюдается
переменная ),(~ txi
то со структурной реализации (рис. 7) системы (20) может быть
«списана» матрица β),α,(
~
J которая получает представление
αβ0000
1α0000
00αβ00
001α00
0001αβ
00001α
β)α,(
~
2
2
2
J . (21)
Нетрудно видеть, что «квазижорданова» матрица β)α,(
~
J вида (21) допускает
аддитивную декомпозицию в виде
β),0(
~
0β0000
100000
000β00
001000
00010β
000010
},1;{diagβ)α,(
~
2
2
2
JIniJ i
. (22)
30 ISSN 0572-2691
Исследование свободного движения непрерывной многомерной системы
для случая кратных комплексно-сопряженных собственных чисел
ее матрицы состояния
Поставим задачу исследования свободного движения системы (20) по вектору
ее состояния в скаляризованной форме. Решение системы (20) ))0(~,(~)(~ xtxtx
c использованием представления (22) приобретает [1–3] вид
)0(~}β)0,(
~
{exp)0(~}β)α,(
~
{exp))0(~,(~)(~ α xtJextJxtxtx t . (23)
Скаляризацию векторного процесса (23) осуществим на основе использования согла-
сованных [1] векторных и матричных норм, в результате получим цепочку соот-
ношений
.||)0(~||||}β),0(
~
{exp||||)0(~}β),0(
~
{exp||||)0(~}β),0(
~
{exp||||)(~|| ααα xtJextJextJetx ttt (24)
Заметим, что в отличие от случая вещественных кратных собственных значений,
для которого матричная экспонента })0(
~
{exp}β),0(
~
{exp
0
tJtJ
имеет прозрач-
ную алгоритмическую основу для формирования ее представления, матричная экспо-
нента }β),0(
~
{exp tJ таким свойством не обладает. Поэтому в дальнейшем матричную
экспоненту }β),0(
~
{exp tJ вычислим для достаточно репрезентативной системной
ситуации, характеризующейся .6n 32 n . В итоге получим цепочку равенств
на основе вычисления обратного преобразования Лапласа от резольвенты
}))β,0(
~
{(}β,0
~
exp{ 11 JsILtJ
.
]βcos,βsinβ,βsin)β2(,)βcosββsin()β2(
,)βcosββsin()β8(,)βcosβ3βsin))β(3(()β8([
,]ββsin,βcos,)βcosββsin()β2(,βsin)β2(
,)βcosββsin))β(1(()β8(,)βcosββsin()β8([
,]0,0,βcos,βsinβ,βsin)β2(,)βcosββsin()β2[(
,]0,0,βsinβ,βcos,)βcosββsin(β)2(,βsinβ)2[(
,]0,0,0,0,βcos,βsinβ[,]0,0,0,0,βsinβ,β[cos
row
T1113
13215
T11
21313
T1113
T11
T1T
ttttttt
tttttttt
ttttttt
tttttttt
ttttttt
ttttttt
tttt
(25)
Из (25) видно, что столбцовая норма 1||}β),0(
~
{exp|| tJ , определяемая последним
столбцом матричной экспоненты },β),0(
~
{exp tJ ее строчная норма ,||}β),0(
~
{exp|| tJ
определяемая первой строкой экспоненты, и оценка спектральной нормы
,||}β),0(
~
{exp|| 2tJ задаваемая [4] мажорирующим неравенством 2||}β),0(
~
{exp|| tJ
,}||}β),0(
~
{exp||||}β),0(
~
{exp||{ 21
1 tJtJ совпадают и вычисляются как норма
вектора
.
βcos,
β
βsin
,
β2
βsin
,
β2
βcosββsin
,
β8
)βcosββ(sin
,
β8
βcosβ3β)sin)β(3(
)β,α,(
T
3
35
2
t
tttttt
tttttttt
tv (26)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 31
Следует заметить, что требование (19) к «квазижордановой» форме β)α,(
~
J кано-
нического вещественнозначного представления матрицы состояния с кратными
комплексно-сопряженными собственными числами выполняется и для нормы
матричной экспоненты в форме нормы вектора (26). Действительно, при 0β
с использованием «замечательного предела» 1ββsinlim
0β
и правила Лопиталя [5]
доказываются следующие предельные сходимости:
1) ;1))cos(β(lim
0β
t 2) ;
β
)β(sin
lim)β(sin
β
1
lim
0β0β
t
t
t
tt
3) ;
2β
)β(sin
lim
2
)β(sin
2β
1
lim
2
0β
2
0β
t
t
tt
tt
4)
ttt βcosββsin
2β
1
lim
30β
;
!3β
)(βsin
lim
6β3
)(βsinβ)(βcos)(βcos
lim
2
1 3
0β
3
2
2
0β
t
t
tttttttt
5)
2
2
0β30β β3
)(βsinβ)(βcos)(βcos
lim
8
))(βcosβ)(β(sin
8β
lim
ttttttt
ttt
t
;
!4β
)(βsin
lim
24
4
0β
4 t
t
tt
6)
))β(cosβ3)β(sin)β3((
β8
lim 22
50β
tttt
t
.
!5β
)(βcosβ)(βsin3
lim
480
β
)(βsinβ)(βcosβ)(βsin
lim
160β
)(βcosβ)(βsinβ
lim
40
5
0β
4
3
22
0β
2
4
2
0β
2
ttttt
tttttttttt
Таким образом, оказываются справедливыми предельные переходы:
,||))0((exp||||)β),0(
~
(exp||lim
0β
pp tJtJ
.||))((exp||||)β),(
~
(exp||lim
0β
pp tJtJ
В разд. 2 показано, что для случая вещественных кратных собственных чисел
матрицы )(J гурвицевой системы такой, что }1||0{arg кратно-
сти , в сходящихся траекториях свободного движения по норме вектора со-
стояния обнаруживаются выбросы, величина которых тем больше, чем больше
кратность и меньше модуль .1|| Ниже ставятся и решаются две задачи. Первая
состоит в оценке влияния значения β мнимой части собственного кратного ком-
плексного числа βα j при сохранении условия }1||0{arg на ве-
личину выбросов в траекториях системы (20) по норме вектора )).0(~,(~)(~ xtxtx
Вторая — в оценке возможности появления выбросов в траекториях системы (20)
по норме вектора ))0(~,(~)(~ xtxtx при условии }1||0{arg и влия-
ния значения β мнимой части собственного кратного комплексного числа
βα j на величину этих выбросов.
32 ISSN 0572-2691
Результаты решения первой задачи в форме ,||))0(~,(~||
10~ x
xtx вычислен-
ной в силу соотношения (24), на примере системной ситуации, характеризующей-
ся ,6n ,32 n βα j : β и.20α — var, сведены в табл. 3.
Таблица 3
36;; nj
2,0
β 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,25 1,375
1| |)0(~| |
||))0(~,(~||max
xt
xtx
150 110 42 10,6 3,9 9,2 16,8
||))0(~,(~||maxarg xtxt
t
M
20 17 10,5 7 7,5 9,2 9,25
β 1,5 1,75 2 3 3,5 5 10
1| |)0(~| |
||))0(~,(~||max
xt
xtx
30 86 220 3700 11000 13*104 17*106
||))0(~,(~||maxarg xtxt
t
M
9,3 9,35 9,4 9,56 9,6 9,72 9,93
Вторую задачу, состоящую в оценке возможности появления выбросов в
траекториях системы (4) по норме вектора ))0(~,(~)(~ xtxtx при условии
}1||0{arg и влияния значения β мнимой части на величину выбросов,
начнем с графической иллюстрации известных [6] рекомендаций по секторному
ограничению локализации комплексно-сопряженных собственных чисел матрицы
состояния ячейки системы (20), представленной на рис. 2 в виде двух последова-
тельно соединенных интеграторов, охваченной отрицательной обратной связью с
коэффициентом « 2β », гарантирующей отсутствие перерегулирования в пере-
ходных процессах (рис. 8).
Свяжем траектории, порождаемые веще-
ственной частью α и мнимой части β
соотношением .α3βγ2Tγ пt
Отсюда получаем, что при )3(γβ
будут отсутствовать перерегулирования,
если γ составит величину, удовлетво-
ряющую условию 0,25,γ в противном
случае перерегулирование, а следова-
тельно и выброс в кривой процессов по
норме вектора свободного движения,
будет иметь место. Выделенная i -я
)2,1( ni двумерная ячейка задается
моделью )0(~,)](~),(~[]},β[],1,α{[col)](~),(~[)(~ T
212
2T
212 iiiiii xtxtxαtxtxtx
.)]0(~),0(~[ T
212 ii xx Движение в ячейке описывается выражением txi
~
),0(~}])(βcos),(βsinβ)[(,])(βsin)β1(,)[cos(β{col)(αexp ixttttt для которого по
норме ||)(~|| txi при 1||)0(~|| ix справедливо покрытие )α(exp||})(~{||roof ttxi
.}]1,β)[(,)]β1(,1[{col
Т/8
)(tx
Т/4
Т/2
1)0( x
)0()exp( xat
nt
)sin( t
Рис. 8
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 33
Одновременно при 3γβ справедливо непрерывное мажорирующее
покрытие процессов, задаваемых нормой вектора (26), использующего, как и выше,
замены )cos(β t на 1, )βsin( t на 1 так, что это покрытие может быть задано в виде
нормы вектора
.1,
β
1
,
β2
,
β2
β1
,
β8
β1
,
β8
β3)β(3
β,α,ˆ
T
335
2
tttttt
tv
Исследование нормы вектора tv β,α,ˆ как функции времени обнаруживает домини-
рование в ее значении первого члена этого вектора. Это позволяет построить аналити-
ческое представление покрытия (roof) процесса ||}β),0(
~
{exp|| tJ в форме евклидовой
нормы вектора ,]0,0,0,0,0),8β()β3)β3(([,β,α~ 52
tttv которое принимает
вид .}])β8()β3))β(3(({[||}}β),0(
~
{exp{||roof 21252 tttJ В силу последнего выра-
жения справедливо представление покрытия процесса ||}β),α(
~
{exp|| tJ в форме
.}])8β()β3))β(3(({[||}}β),α(
~
{exp{||roof 21252 ttetJ t (27)
Форма (27) не содержит разрывно дифференцируемых функций типа модульных в
случае использования абсолютной векторной нормы, что позволяет применять ее
для исследования на экстремумы нормы матричной экспоненты }β),α(
~
{exp tJ
.}β),0(
~
{expα tJe t Действительно, вычисление ||}}β),α(
~
{exp{||maxarg tJt
t
M из
условия 0||}}}β),α(
~
{exp{||roof{ tJ
dt
d
порождает алгебраическое уравнение
для вычисления Mt :
.0
αβ
βα9
αβ
α183β
αβ
β9α3
αβ
β2α6
43
2
2
34
MMMM tttt (28)
Результаты вычислений Mt с помощью (28) приведены в табл. 4.
Таблица 4
β
2 3 5 10 20
– 0,2 9,4 9,56 9,72 9,86 9,93
– 2 0,913 0,88 0,9 0,938
– 8 0,236 0,22
Mt
Компьютерное исследование свободного движения непрерывной системы
при кратных комплексно-сопряженных числах ее матрицы состояния
Компьютерное исследование процессов по норме ||)(~|| tx как функции собст-
венного кратного комплексно-сопряженного числа βα j проводилось на
примере системы (20), характеризующейся размерностью 6n и кратно-
стью β,α j равной 2n =3, в модельной среде пакета Matlab в целях ви-
зуализации результатов, полученных в предыдущем разделе. Визуализировались
результаты для трех системных ситуаций.
Первая системная ситуация состоит в оценке влияния значения β мнимой
части собственного кратного комплексного числа β,α j при сохранении
условия ,}1||0{arg на величину выбросов в траекториях системы (20)
по норме вектора )).0(~,(~)(~ xtxtx Результаты визуализации этой ситуации для
)рис. (5β,рис.2β,рис.1β ,рис.0,01βпри 2,0 гвба при-
34 ISSN 0572-2691
ведены на рис. 9. Кривые полностью соответствуют данным таблицы 3 и ха-
рактеризуются резким ростом величины выбросов с ростом значения мнимой
части β в области β > 1.
0
50
)(~ tx
100
5 10 15 20 t, c 25 0
60
)(~ tx
80
5 10 15 20 t, c 25
40
20
а б
0
150
)(~ tx
200
5 10 15 20 t, c 25
100
50
0
)(~ tx
5 10 15 20 t, c 25
10
5
510
в г
Рис. 9
Вторая системная ситуация состоит в оценке возможности появления вы-
бросов в траекториях системы (20) по норме вектора ))0(~,(~)(~ xtxtx при усло-
вии }1||0{arg и влияния значения β мнимой части собственного
кратного комплексного числа βα j на величину и характер этих выбросов.
Исследование этой системной ситуации авторы сочли целесообразным начать с
рассмотрения тех же проблем для i -й )2,1( ni двумерной ячейки с вектором
состояния
T
212 )](~),(~[)(~ txtxtx iii . Результаты визуализации этой ситуации
приведены на рис. 10 для 8 при 1β (рис. а), 5β (рис. б), 20β (рис. в),
50β (рис. г).
0
0,5
;)(roof txi
1
0,2 0,4 0,6 0,8 t, c
)(~ txi
0
2
;)(roof txi
1
0,2 0,4 0,6 0,8 t, c
)(~ txi
3
4
а б
0
10
;)(roof txi
5
0,2 0,4 0,6 0,8 t, c
)(~ txi
15
0
20
;)(roof txi
10
0,2 0,4 0,6 0,8 t, c
)(~ txi
30
40
в г
Рис. 10
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 35
Слабая демпфированность комплексно-сопряженных собственных чисел про-
является выбросами в траекториях свободного движения по норме вектора со-
стояния двумерной ячейки. Следует ожидать, что в случае кратных комплексно-
сопряженных собственных чисел этот эффект многократно усилится, несмотря
на выполнение условия }1||0{arg . Результаты визуализации этой
ситуации для 8 при 1β (рис. а), 5β (рис. б), 20β (рис. в), 50β (рис. г)
показаны на рис. 11.
0
0,6
)(~ tx
1
0,5 1 1,5 t, c
0,4
0,2
0,8
0
0,6
)(~ tx
1
0,5 1 1,5 t, c
0,4
0,2
0,8
а б
0
1,5
)(~ tx
0,5 1 1,5 t, c
1
0,5
2
610
0
10
)(~ tx
0,5 1 1,5 t, c
5
810
в г
Рис. 11
Кривые при сходимости их к нулю с течением времени обнаруживают нали-
чие заметных выбросов, величина которых растет по мере роста значения мнимой
части β.
Заключение
Исследования показали, что кратность собственных чисел матриц состояния
устойчивых непрерывных систем оказывается важным системным фактором, на-
деляющим динамические процессы в системе весьма специфическими свойства-
ми, которые могут приводить к нежелательным последствиям вырождающего [7]
и даже разрушительного характера.
Н.О. Вундер, А.В. Ушаков
ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАЛЬНИХ
ПРОЦЕСІВ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ,
ПОРОДЖЕНИХ ФАКТОРОМ КРАТНОСТІ
ВЛАСНИХ ЧИСЕЛ ЇХ МАТРИЦЬ СТАНУ
Досліджуються стійкі безперервні системи, матриця стану яких має спектри
кратних власних чисел. Задача вирішується при кратності власних чисел, рівній
розмірності вектора стану, причому спочатку розглядається випадок дійсних
власних чисел, а потім — випадок комплексно-спряжених. Показано, якщо мо-
дуль дійсного власного числа менший за одиницю, то в траєкторіях вільного руху
36 ISSN 0572-2691
системи за нормою її вектора стану спостерігається викид, що змінювався мо-
нотонною збіжністю траєкторії до нуля. Встановлено, що величина викиду тим
більша, чим менший модуль дійсного власного числа і більша його кратність.
Якщо матриця стану безперервної системи має спектр комплексно-спряжених
власних чисел, то при значенні дійсної частини комплексно-спряженого влас-
ного числа, меншого за одиницю, як і у випадку дійсного спектра власних чи-
сел, спостерігаються викиди траєкторій, величина яких тим більша, чим мен-
ший його модуль і більша його кратність.
N.A. Vunder, A.V. Ushakov
INVESTIGATION OF CONTINUOUS SYSTEMS
OSCILLATORY PROCESSES CREATED
WITH THE MULTIPLICITY FACTOR
OF THE EIGENVALUES OF THE STATE MATRICES
The stable continuous systems with multiple eigenvalues of state matrices are con-
sidered. The multiplicity of the eigenvalues equals to dimension of state vector of the
system. There is studied the motion of an autonomous system in the norm of state
vector for the cases with multiple real and complex conjugate eigenvalues. It was
shown that if the modulus of the real eigenvalue is less than one, then in the trajecto-
ries of the system free motion on the norm of the state vector there is observed a de-
flection, alternating monotone convergence of the trajectory to zero. It was found that
the magnitude of deflection of the trajectories from monotone development increases
with the approach of multiple eigenvalue to zero and increases in its multiplicity.
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1973. — 575 с.
2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, — 1976. —
424 с.
3. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории
управления: аппарат метода пространства состояний / Под ред. А.В. Ушакова. — СПб:
СПбГУ ИТМО, 2008. — 323 с.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с.
5. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Сов. эн-
циклопедия, 1988. — 847 с.
6. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. — СПб:
Профессия, 2003. — 752 с.
7. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Матричный формализм контроля вырождения сложных не-
прерывных динамических систем при конечномерных экзогенных воздействиях // Между-
народный научно–технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011.
— № 3. — С. 93–101.
Получено 17.02.2015
После доработки 23.06.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208043 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:39Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. 2025-10-18T13:45:32Z 2015 Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 21-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208043 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i11.20 Досліджуються стійкі безперервні системи, матриця стану яких має спектри кратних власних чисел. Задача вирішується при кратності власних чисел, рівній розмірності вектора стану, причому спочатку розглядається випадок дійсних власних чисел, а потім — випадок комплексно-спряжених. Показано, якщо модуль дійсного власного числа менший за одиницю, то в траєкторіях вільного руху системи за нормою її вектора стану спостерігається викид, що змінювався монотонною збіжністю траєкторії до нуля. Встановлено, що величина викиду тим більша, чим менший модуль дійсного власного числа і більша його кратність. Якщо матриця стану безперервної системи має спектр комплексно-спряжених власних чисел, то при значенні дійсної частини комплексно-спряженого власного числа, меншого за одиницю, як і у випадку дійсного спектра власних чисел, спостерігаються викиди траєкторій, величина яких тим більша, чим менший його модуль і більша його кратність. The stable continuous systems with multiple eigenvalues of state matrices are considered. The multiplicity of the eigenvalues equals to dimension of state vector of the system. There is studied the motion of an autonomous system in the norm of state vector for the cases with multiple real and complex conjugate eigenvalues. It was shown that if the modulus of the real eigenvalue is less than one, then in the trajectories of the system free motion on the norm of the state vector there is observed a deflection, alternating monotone convergence of the trajectory to zero. It was found that the magnitude of deflection of the trajectories from monotone development increases with the approach of multiple eigenvalue to zero and increases in its multiplicity. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния Дослідження коливальних процесів неперервних систем, породжених фактором кратності власних чисел їх матриць стану Investigation of continuous systems oscillatory processes created with the multiplicity factor of the eigenvalues of the state matrices Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния Вундер, Н.А. Ушаков, А.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| title_alt | Дослідження коливальних процесів неперервних систем, породжених фактором кратності власних чисел їх матриць стану Investigation of continuous systems oscillatory processes created with the multiplicity factor of the eigenvalues of the state matrices |
| title_full | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| title_fullStr | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| title_full_unstemmed | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| title_short | Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| title_sort | исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208043 |
| work_keys_str_mv | AT vunderna issledovaniekolebatelʹnostiprocessovnepreryvnyhsistemporoždaemyhfaktoromkratnostisobstvennyhčiselihmatricsostoâniâ AT ušakovav issledovaniekolebatelʹnostiprocessovnepreryvnyhsistemporoždaemyhfaktoromkratnostisobstvennyhčiselihmatricsostoâniâ AT vunderna doslídžennâkolivalʹnihprocesívneperervnihsistemporodženihfaktoromkratnostívlasnihčiselíhmatricʹstanu AT ušakovav doslídžennâkolivalʹnihprocesívneperervnihsistemporodženihfaktoromkratnostívlasnihčiselíhmatricʹstanu AT vunderna investigationofcontinuoussystemsoscillatoryprocessescreatedwiththemultiplicityfactoroftheeigenvaluesofthestatematrices AT ušakovav investigationofcontinuoussystemsoscillatoryprocessescreatedwiththemultiplicityfactoroftheeigenvaluesofthestatematrices |