О нестационарной игровой задаче управления движением

Для дослідження нестаціонарних конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовуються ідеї двоїстості у опуклому аналізі, зокрема, апарат спряжених функцій. Наведено приклад, де ключову роль відіг...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2015
Main Author:	Чикрий, Ал.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208044
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О нестационарной игровой задаче управления движением / Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 37-45. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860259394261876736
author	Чикрий, Ал.А.
author_facet	Чикрий, Ал.А.
citation_txt	О нестационарной игровой задаче управления движением / Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 37-45. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Для дослідження нестаціонарних конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовуються ідеї двоїстості у опуклому аналізі, зокрема, апарат спряжених функцій. Наведено приклад, де ключову роль відіграє узагальнена відстань. An analytic approach, based on the method of resolving functions, is suggested to study nonstationary conflict–controlled processes with terminal payoff. It employs the duality ideas of convex analysis, in particular the apparatus of conjugate functions. An example is provided with generalized distance playing a key role.
first_indexed	2025-12-07T18:53:20Z
format	Article
fulltext	© Ал.А. ЧИКРИЙ, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 37 УДК 517.977 Ал.А. Чикрий О НЕСТАЦИОНАРНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ Рассматривается аналитический метод решения нестационарных квазилинейных игровых задач с терминальной функцией платы на основе метода разрешающих функ- ций. При этом используются идеи двойственности в выпуклом анализе, аппарат со- пряженных функций и многозначных отображений. Даны достаточные условия за- вершения игры за некоторое гарантированное время, установлена связь c функцией обобщенного расстояния в качестве платы и основной схемой метода разрешающих функций. Статья примыкает к работам [1–12] и продолжает исследования [13]. Пусть движение объекта в конечномерном вещественном евклидовом про- странстве nR описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений ),,,()( vutztAz  ,)( 00 ztz  ,00  tt (1) где )(tA — матричная функция порядка ,n элементы которой являются измери- мыми по Лебегу функциями и суммируемы на любом конечном интервале ],,[ 0 Tt .0  Tt Параметры управления игроков u и v выбираются из областей управления )(tU и ),(tV причем эти отображения компактнозначны и измеримы по ,t ).,[ 0  tt Блок управления ),,,( vutφ ,RRR),[: 0 nnntφ  есть функ- ция Каратеодори (измерима по t и непрерывна по совокупности )),,( vu причем ),,[),(),()(),,( 0  tttVvtUutavut (2) здесь )(ta — суммируемая на любом конечном интервале функция. Кроме того, задано терминальное множество )(* tM цилиндрического вида ),()( 0 * tMMtM  ),,[ 0  tt (3) где 0M — линейное подпространство из ,Rn а )(tM — измеримое компактно- значное отображение, образы которого принадлежат ортогональному допол- нению L к 0M в .Rn Цель первого игрока )(u — вывести траекторию (1) на множество (3) за кратчайшее время, второй игрок )(v этому припятствует. Приняв сторону первого игрока, будем считать, что в игре он использует ква- зистратегии [8], т.е. выбирает свое управление в виде )),(,,,()( 00  tvtztutu где ]}.,0[),()(:)({)( tssVsvsvvt  При этом допустимыми управлениями игроков являются измеримые функции со значениями из соответствующих областей управления. Рассмотрим задачу сближения (1)–(3). При этом заметим, что конец игры насту- пает тогда, когда )()( tMtz  или ),()( tMtz  где  — ортопроектор, .R: Ln  38 ISSN 0572-2691 Если допустить, что отображение ),(tM ,0tt  выпуклозначно, то предыдущие включения можно выразить через опорные функции в форме линейных неравенств n tMMtM RppWpWpWtzp   )()()())(,( )()( 0 или .0)](),[(sup),( )( Rp n    pWzpzt tM (4) Поскольку       ,,0 ,, )( 0 Lp Lp pWM 0)()( pW tM при ,0Mp то       .),( ,, )( )( )(* LppW Lp pW tM tM В свою очередь, из выражения (4) вытекает, что функция ),( )(,0 )(, )(,0 )(, ),( * * zt tMz tMz tMz tMz zt               является индикаторной функцией многозначного отображения ).(* tM Таким образом, опорная функция )( )(* pW tM многозначного отображения )(* tM и его индикаторная функция ),( zt взаимно сопряжены [14], т.е. .)(),( 0)( * * ttpWpt tM  Учитывая это обстоятельство, вместо игровой задачи (1)–(3) рассмотрим процесс (1), (2) и измеримую по t собственную выпуклую замкнутую огра- ниченную снизу по z при фиксированном t функцию ),,( zt ,RR: 11  n значения которой на траекториях процесса (1) определяют момент окончания игры. Если ),(tz ,0tt  — траектория системы (1), то игру будемо считать за- конченной в момент ,1t ,01 tt  если .0))(,( 11  tzt (5) Цели игроков такие же, как и в задаче сближения (1)–(3) с той лишь разницей, что вместо попадания траектории )(tz на множество )(tM  должно выполняться не- равенство (5). При фиксированном t согласно определению сопряженной функции и с уче- том теоремы Фенхеля–Моро [14] имеем ,)],(),[(sup),( * ptzpzt nRp   где .)],(),[(sup),(* ztzppt nRz   (6) Функция ),(* pt собственная, замкнутая и выпуклая [14–16]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 39 Эффективное множество функции ),(* pt зависит от t и имеет вид }.),(:{dom **  ptRp n t В силу ограниченности снизу собственной функции ),( zt при каждом ,t ,0tt  и соотношения (6) ),,(inf)0,( ztt nRz    является ограниченной, а зна- чит, .dom0 0ttt   Пусть L — линейная оболочка (пересечение всех линейных подпро- странств), содержащая множества ,dom t ,0tt  и не зависит от .t Тогда она яв- ляется линейным подпространством. Обозначим  оператор ортогонального проектирования из nR на .L Справедливо соотношение ,),(),( 0ttztzt   .nRz Введем многозначные отображения ),),(,(),(),,( vUtvtW   ),,,(),( )( vtWtW Vv      ,0tt  ),(Vv где ),(  t — матрица Коши однородной системы (1). Условие Понтрягина. Многозначное отображение ),(  tW имеет непустые образы при .0  tt В измеримом замкнутозначном отображении ),(  tW согласно теореме из- меримого выбора [15] выберем и зафиксируем измеримый селектор ),(  t и по- ложим .),(),()),(,,,( 0 0000    t t dtzttttzt Введем в рассмотрение многозначное отображение          )),(),,(),(,[(supinf:0),,( dom)( tvutpvt tpUu A }0)]],())),(,,,(,[( * 00   ptttztp (7) и его опорную функцию в направлении 1 )},,,(:{sup),,( vtvt   A ,0tt  ),(Vv которая в данном случае выполняет роль разрешающей функции [8]. Из условия Понтрягина и включения ),(),(   tWt непосредственно вы- текает неравенство ,0)),(),,(),(,(maxmin 0 dom)( tttvutp tpUu     ).(Vv Если выполнено условие Понтрягина, то неравенство в соотношении (7) име- ет место по крайней мере при нулевом значении . Заметим также, что при 0))),(,,,(,( 0   ttztt 0 в силу неравенства Фенхеля [14] ),,0[),,(  vtA ,0tt  ),(Vv и функция  ),,( vt для ),(Vv .0tt  40 ISSN 0572-2691 Рассмотрим множество .1))(,,(inf:)),(,,( 0 )( 000              dvtttztT t t v E (8) Здесь E — совокупность измеримых функций ),(tv ),,[ 0  tt со значе- ниями из V. Из выражения (7) вытекает, что многозначное отображение ),,( vt A явля- ется BL -измеримым по совокупности ),,( v ),(Vv ],,[ 0 tt для любого .t Поэтому из теоремы об опорной функции получим, что функция ),,( vt  также BL -измерима по совокупности ),,( v а значит, суперпозиционно измеримый и интеграл в соотношении (8) имеет смысл. Теорема. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) с терминаль- ным функционалом ),,( zt который является ограниченной измеримой по ,t ,0tt  и собственной выпуклой замкнутой ограниченной снизу по z при фикси- рованном t функцией, выполнено условие Понтрягина. Тогда, если для заданного начального состояния ),( 00 zt существует такой измеримый по  селектор ),,(  t ,0  tt многозначного отображения ),,(  tW что  )),(,,( 00 ztT и ,)),(,,( 00   ztTT то игра может быть закончена в момент T с использованием управления, которое назначается некоторой квазистратегией. Доказательство. Пусть )(v — произвольный измеримый селектор много- значного отображения ),(V ].,[ 0  Tt Укажем способ выбора управления пре- следователем. Для этого рассмотрим сначала случай ,0))),(,,,(,( 00   TTztT введя контрольную функцию .))(,,(1)( 0    t t dvTth Она неперерывна и согласно выражению (8) существует такой момент ,t ],( 0   Ttt , что .0)(  th Рассмотрим многозначное отображение           )),(),,(),(,[(sup:)(),( dom TvuTpUuv Tp A ,}0]]),()),(,,,(,)[(,( 00   pTTTztpv где . ,0 ),,,( ),( 0          Tt ttvT v В силу свойств параметров процесса (1), функции ),( zt и разрешающей функ- ции отображение ),( vU  является BL -измеримым при ),(Vv .],[ 0  Tt По- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 41 этому по теореме об измеримом выборе в нем существует BL -измеримый селектор ),,( vu  который является суперпозиционно измеримой функцией. Положим управ- ление первого игрока равным )),(,()(   vuu .],[ 0  Tt При 0))),(,,,(,( 00   TTztT управление первого игрока на всем промежутке ],[ 0 Tt выберем в виде измеримой функции )),(,()( 00   vuu где ),(0 vu  — BL -измеримый селектор отображения ),( vU  с нулевой разре- шающей функцией. Покажем, что указанный закон выбора управления преследователем обеспе- чивает при любых управлениях убегающего выполнение неравенства (5) на траек- ториях системы (1) в момент .T Если ,0))),(,,,(,( 00   TTztT то с учетом закона выбора управления первым игроком, из формулы Коши получаем )),,(,,,()( 00   TTztTz от- куда вытекает неравенство (5) в момент .T Пусть .0))),(,,,(,( 00   TTztT Тогда, учитывая равенство   ))(,( TzT )),(,(   TzT формулу Коши и определение сопряженной функции, получаем      ))),(,,,(,[(max))(,( 00 dom * TTztpTzT Tp .),()),())(),(,(),(,( 0 *         T t pTdTvuTp Прибавим и вычтем в квадратных скобках величину .))(,,()],()),(,,,(,[( * 0 * 00    dvTpTTTztp t t Тогда получаем      )()],()),(,,,(,{[(max))(,( * * 00 dom * thpTTTztpTzT Tp    * 0 ))(,,()),())(),(,(),(,[ t t vTTvuTp   dpTTTztp )]],()),(,,,(,[( * 00 .)),())(),(,(),(,( *        dTvuTp T t Отсюда вытекает, что преследователь может гарантировать в момент T выпол- нение неравенства ,0)())),(,,,(,())(,( 00   thTTztTTzT что и завершает доказательство теоремы. 42 ISSN 0572-2691 Рассмотрим в этой же схеме несколько иную задачу. Какое минимальное значение функционала ),( zt может себе гарантировать первый игрок на траек- ториях системы (1) в заданный момент ,T .0tT  Ответ на этот вопрос дает сле- дующее утверждение. Утверждение. Пусть параметры процесса (1) удовлетворяют условию Пон- трягина, а терминальный функционал ),( zt — условиям теоремы. Тогда справедлива оценка для 0tT    ))(,(sup )( TzT Ev . .0)),(,,,)(,(если ],))(,,(inf1[))),(,,,(,( ,0))),(,,,(,(если))),,(,,,)(,(( 00 )( 00 0000 0                  TTztT dvTTTztT TTztTTTztT T t v E Приведем один важный пример функции ),,( zt связанный с обобщенным расстоянием [16]. Пусть ),( tM ,0tt  — выпуклозначное отображение, образы которого замкнуты и принадлежат ,R n а C — выпуклое ограниченное множество в ,Rn причем .int0 C Тогда для всех nz R определена функция обобщенного рас- стояния [16] }.)(:0inf{))(,( CtMztMzdC   (9) Если ,SC  где S — единичный шар с центром в нуле, то ))(,( tMzdS  — расстояние от точки z к множеству )(tM  в момент .t Если },0{)(  tM ,0tt  то )(}:0{inf})0{,( zCzzd CC  — функция Минковского множества .C Справедлива формула [16]   },1)(:)(),{(sup))(,(     pWpWpztMzd CtM Rp C n (10) где ),( )( pW tM  )( pWC — опорные функции соответственно многозначного ото- бражения и множества. Возьмем функцию ))(,( tMzdC  в качестве ).,( zt Она удовлетворяет усло- виям, которые накладывались на функцию ).,( zt Найдем функцию ),,( pt ,Rnp сопряженную по второй переменной к функции обобщенного расстояния. Заметим, что справедлива формула [16]   ).(inf))(,( mztMzd C tMm C    Согласно определению инфимальной конволюции [14 – 16] получим формулу Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 43 )}.()({inf))(())(,( ygyzfzgftMzd t Ry tC n    где  — знак операции инфимальной конволюции, )()( zzf C — калибровоч- ная функция множества ,C а ))(,()( tMyygt  — индикаторная функция ото- бражения ).(tM  На основе двойственности операций суммы и инфинитезимальной конволю- ции получим формулу для сопряженной функции        ,, ,),( )()())(,(),( 0 0 )(***** * Cp CppW pgpftMpdpt tM tC где }1)(:R{0  pWpC C n — поляра множества ,C ),()( 0Cppf  — ин- дикаторная функция поляры множества ,C а )( )( * * pWg tMt  — опорная функция отображения ).(* tM Здесь использован тот факт, что калибровочная функция множества C является опорной функцией поляры 0C [14], а также двойствен- ность индикаторной и опорной функций выпуклого замкнутого множества [14–16]. Если обозначить })(:{ )()(   pWRpK tM n tM барьерный конус многозначного отображения ),(tM  то          ., ,),( ),( )( 0 )( 0 )(* * tM tMtM KCp KCppW pt Таким образом, с учетом формулы (10) имеем ,))(,(dom )( 0 tMC KCtMpd  )].(),[(max))(;( )(0 pWzptMzd tM Cp C    Отсюда вытекает следующее утверждение. Лемма. Пусть Z — компакт из ,R n M — выпуклое замкнутое множество, а C — выпуклый компакт, причем .int0 C Тогда для того, чтобы ,MZ необходимо и достаточно, чтобы .0)](),[(maxmin 0   pWzp M CpZz Если же Z — выпуклый компакт, то минимум и максимум можна переставить. Воспользуемся леммой, чтобы установить связь между случаем терминального функционала в виде обобщенного расстояния и случаем цилиндрического терминаль- ного множества. Для этого будем считать, что многозначное отображение ),(tM  ко- торое фигурирует в формуле (9), имеет вид (3) ),()( 0 tMMtM  ),,[ 0  tt где 0M — линейное подпространство из ,Rn ),(co)( LKtM  т.е. выпуклый компакт пространства ,L ,0tt  а  0ML — ортогональное дополнение к 0M в .Rn Учи- 44 ISSN 0572-2691 тывая структуру терминального множества ),(tM  получаем его баръерный конус . )( LK tM  Тогда вследствие предыдущих расчетов выражение для многозначного отображения ),,,( vt A определенного формулой (7), имеет вид         )),(),,(),(,([maxmin:0),,( 0)( tvutpvt LCpUu A }.0)]]())),(,,,(,[( )(00   pWttztp tM Здесь 0C — поляра множества ,C описанного перед введением обобщен- ного расстояния (9). Заметим, что как и в лемме, так и в данном выражении множества C и 0C не влияют на величину множества ).,,( vt A Необхо- димо только выполнение анонсированных свойств. Проще всего выбрать }.1:{  zzSC Тогда и .0 SC  В силу леммы многозначное отображение ),,( vt A совпадает с отображением },))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00  ttzttMtvtWvt A если ),,(),(  tt ),(co)( tMtM  ,0tt  а значит, и соответствующие разре- шающие функции совпадают [8]. Предложенный подход может быть использован в задачах о поочередном и групповом сближении, о мягкой посадке и в игровых задачах для функционально- дифференциальных систем [17–21]. О.А. Чикрій ПРО НЕСТАЦІОНАРНУ ІГРОВУ ЗАДАЧУ КЕРУВАННЯ РУХОМ Для дослідження нестаціонарних конфліктно-керованих процесів з терміналь- ною функцією плати запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовуються ідеї двоїстості у опукло- му аналізі, зокрема, апарат спряжених функцій. Наведено приклад, де ключову роль відіграє узагальнена відстань. Al.A. Chikrii ON NONSTATIONARY GAME PROBLEM OF MOTION CONTROL An analytic approach, based on the method of resolving functions, is suggested to study nonstationary conflict–controlled processes with terminal payoff. It employs the duality ideas of convex analysis, in particular the apparatus of conjugate func- tions. An example is provided with generalized distance playing a key role. 1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М. : Наука, 1988. — 2. — 576 с. 2. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траекто- риями. –– Киев : Наук. думка, 2005. –– 220 с. 3. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные конфликтно–управляемые процессы // При- кладная математика и механика. –– 1993. –– 57, № 3 –– С. 3–14. 4. Чикрий А.А., Дзюбенко К.Г. Билинейные марковские процессы поиска движущихся объек- тов // Проблемы управления и информатики. –– 1997. –– № 1. –– С. 92–106. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 45 5. Eidelman S.D., Chikrii A.A. Dynamic game problems of approach for fractional–order equations // Ukrainian mathematical journal. –– 2000. –– 52, N 11. –– P. 1787–1806. 6. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math., Game Theory and Algebra, Nova Science Publ., Inc. — 1988. — 7, N 2/3. — P. 81–94. 7. Чикрий А.А., Белоусов А.А. О линейных дифференциальных играх с интегральными огра- ничениями // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2009. — 15, № 4. — С. 290–301. 8. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Chikrii K.A. Multivalued mappings and their selectors in the theory of conflict-controlled processes // Cybernetics and Systems Analysis. — 2007. — 43, N 5. — P. 719–730. 9. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем с дробными производными Римана–Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. –– 2001. — № 6. — С. 66–99. 10. Чикрий G.Ts. On one problem of approach for damped oscillations // Journal of Automation and Information Sciences. — 2009. — 41, N 10. — P. 1–9. 11. Сhikriy V.K. Mean approach time for games problems with random perturbations // Ibid. — 2015. — 47, N 8. — P. 74–84. 12. Chikriy A.A, Matichin I.I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann–Liouville, Caputo and Miller–Ross // Ibid. — 2008. — 40, N 6. — P. 1–11. 13. Раппопорт И.С., Чикрий Ал.А. О гарантированном результате в игровых задачах управле- ния с терминальной функцией платы // Проблемы управления и информатики. — 1995. — № 1. — С. 34–43. 14. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 470 с. 15. Aubin J.–P., Frankowska H. Set–valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. — 461 p. 16. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М. : Наука, 1980. — 320 с. 17. Chikriy A.A, Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object // Cy- bernetics and Systems Analysis. — 1987. — 23, N 4. — P. 437–445. 18. Chikriy A.A. Multivalued mappings and their selections in game control problems // Journal of Automation and Information Sciences. — 1995. — 27, N 1. — P. 27–38. 19. Chikriy A.A., Eidelman S.D. Generalized Mittag-Leffler matrix function in game problems for evolutionary equations of fractional order // Cybernetics and Systems Analysis. — 2000. — 36, N 3. — P. 315–338. 20. Albus J., Meystel A., Chikrii A.A., Belousov A.A., Kozlov A.I. Analytical method for solution of the game problem of soft landing for moving objects // Ibid. — 2001. — 37, N 1. — P. 75–91. 21. Chikriy A.A., Eidelman S.D.. Game problems for fractional quasilinear systems // Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — 44. — P. 835–851. Получено 15.05.2015
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208044
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:53:20Z
publishDate	2015
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Чикрий, Ал.А. 2025-10-18T13:48:43Z 2015 О нестационарной игровой задаче управления движением / Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 37-45. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208044 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i11.60 Для дослідження нестаціонарних конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовуються ідеї двоїстості у опуклому аналізі, зокрема, апарат спряжених функцій. Наведено приклад, де ключову роль відіграє узагальнена відстань. An analytic approach, based on the method of resolving functions, is suggested to study nonstationary conflict–controlled processes with terminal payoff. It employs the duality ideas of convex analysis, in particular the apparatus of conjugate functions. An example is provided with generalized distance playing a key role. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О нестационарной игровой задаче управления движением Про нестаціонарну ігрову задачу керування рухом On nonstationary game problem of motion control Article published earlier
spellingShingle	О нестационарной игровой задаче управления движением Чикрий, Ал.А. Проблемы динамики управляемых систем
title	О нестационарной игровой задаче управления движением
title_alt	Про нестаціонарну ігрову задачу керування рухом On nonstationary game problem of motion control
title_full	О нестационарной игровой задаче управления движением
title_fullStr	О нестационарной игровой задаче управления движением
title_full_unstemmed	О нестационарной игровой задаче управления движением
title_short	О нестационарной игровой задаче управления движением
title_sort	о нестационарной игровой задаче управления движением
topic	Проблемы динамики управляемых систем
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208044
work_keys_str_mv	AT čikriiala onestacionarnoiigrovoizadačeupravleniâdviženiem AT čikriiala pronestacíonarnuígrovuzadačukeruvannâruhom AT čikriiala onnonstationarygameproblemofmotioncontrol

О нестационарной игровой задаче управления движением

Institution

Similar Items