О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов

О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов

Поставлено і розв’язано задачі керування просторово розподіленим динамічним процесом, описаним лінійною диференціальною моделлю. Вимагається, щоб розв’язок цієї моделі за середньоквадратичним критерієм узгоджувався з неперервно та дискретно визначеними спостереженнями за початково-крайовим станом пр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Проблемы управления и информатики
Datum:2015
1. Verfasser: Стоян, В.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schlagworte:
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208048
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов / В.А. Стоян // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 78-88. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208048
record_format dspace
spelling Стоян, В.А.
2025-10-18T14:03:06Z
2015
О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов / В.А. Стоян // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 78-88. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208048
517.95:519.86
10.1615/JAutomatInfScien.v47.i12.50
Поставлено і розв’язано задачі керування просторово розподіленим динамічним процесом, описаним лінійною диференціальною моделлю. Вимагається, щоб розв’язок цієї моделі за середньоквадратичним критерієм узгоджувався з неперервно та дискретно визначеними спостереженнями за початково-крайовим станом процесу. За цим же критерієм стан системи виводиться в окіл бажаного. Розглянуто випадки керування довільною комбінацією початкового, крайового та розподіленого зовнішньодинамічних збурюючих факторів. Дано оцінку точності отриманих розв’язків, виписано умови їх однозначності.
Problems of control of spatially distributed dynamic process, described by linear differential model are set and solved. The solution of this model for mean square criterion is to be consistent with continuous and discrete definite observations of the initial-boundary state of the process. The same criterion system state is displayed in the vicinity of the desired area. The cases of control of arbitrary combination of the initial, boundary and distributed outer dynamical perturbing factors are considered. The assessment of solutions accuracy is made and conditions of their uniqueness are formulated.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
Про деякі результати математичного моделювання розв'язків задач керування динамікою просторово розподілених процесів
Some results on the mathematical modeling of problems solutions of dynamics of spatially distributed processes control
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
spellingShingle О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
Стоян, В.А.
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
title_short О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
title_full О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
title_fullStr О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
title_full_unstemmed О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
title_sort о некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов
author Стоян, В.А.
author_facet Стоян, В.А.
topic Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
topic_facet Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
publishDate 2015
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про деякі результати математичного моделювання розв'язків задач керування динамікою просторово розподілених процесів
Some results on the mathematical modeling of problems solutions of dynamics of spatially distributed processes control
description Поставлено і розв’язано задачі керування просторово розподіленим динамічним процесом, описаним лінійною диференціальною моделлю. Вимагається, щоб розв’язок цієї моделі за середньоквадратичним критерієм узгоджувався з неперервно та дискретно визначеними спостереженнями за початково-крайовим станом процесу. За цим же критерієм стан системи виводиться в окіл бажаного. Розглянуто випадки керування довільною комбінацією початкового, крайового та розподіленого зовнішньодинамічних збурюючих факторів. Дано оцінку точності отриманих розв’язків, виписано умови їх однозначності. Problems of control of spatially distributed dynamic process, described by linear differential model are set and solved. The solution of this model for mean square criterion is to be consistent with continuous and discrete definite observations of the initial-boundary state of the process. The same criterion system state is displayed in the vicinity of the desired area. The cases of control of arbitrary combination of the initial, boundary and distributed outer dynamical perturbing factors are considered. The assessment of solutions accuracy is made and conditions of their uniqueness are formulated.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208048
citation_txt О некоторых результатах математического моделирования решений задач управления динамикой пространственно распределенных процессов / В.А. Стоян // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 78-88. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT stoânva onekotoryhrezulʹtatahmatematičeskogomodelirovaniârešeniizadačupravleniâdinamikoiprostranstvennoraspredelennyhprocessov
AT stoânva prodeâkírezulʹtatimatematičnogomodelûvannârozvâzkívzadačkeruvannâdinamíkoûprostorovorozpodílenihprocesív
AT stoânva someresultsonthemathematicalmodelingofproblemssolutionsofdynamicsofspatiallydistributedprocessescontrol
first_indexed 2025-11-25T22:29:42Z
last_indexed 2025-11-25T22:29:42Z
_version_ 1850564329688006656
fulltext © В.А. СТОЯН, 2015 78 ISSN 0572-2691 УДК 517.95:519.86 В.А. Стоян О НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Введение. Вопросы корректной постановки и решения задач исследования динамики распределенных пространственно-временных процессов являются сложными и актуальными. Сложность проблем увеличивается при решении задач управления такими процессами. Предложенный в [1] и обобщенный в [2, 3] под- ход позволяет решить эти задачи по среднеквадратическому критерию. Важно, что решения при этом строятся без ограничений на количество и качество наблю- дений за начально-краевым состоянием процесса, которые при решении задачи удовлетворяются тоже среднеквадратически. Ниже на основе математических ре- зультатов [2, 3] предлагаются решения задач управления распределенным про- странственно-временным процессом по достижении его функцией состояния дис- кретно и непрерывно заданных значений. Управляющими факторами при этом выступают дискретно и непрерывно распределенные внешнединамические фак- торы, начальное и краевое состояние процесса, как отдельно, так и при их различ- ных комбинациях. Описываются особенности реализации математических реше- ний сформулированных задач в частично ограниченных и неограниченных про- странственно-временных областях. Постановка задачи. Рассмотрим пространственно-временной процесс, функция )(sy состояния которого в пространственно-временной области },0,:),({ 00 TtRSxtxsS nT  (1) пространственно ограниченной контуром ,Г определяется уравнением )()()( susyL s  ),( 0 TSs (2) где )( sL  — линейный дифференциальный оператор, ,(),( 1xtxs  ,),, txn  )(su — функция распределенных внешнединамических возмущений, которые этот процесс сопровождают. Обозначим )(0 xY ),1,( 00 RrSSx  и )(Г sY ],,0[,ГГ( 0 Ttx  ),1 ГR начальные (при )0t и краевые (на контуре )Г возмущения, которые дополнительно влияют на динамику процесса. Предположим, что известны ли- нейные дифференциальные операторы )(0 trL  и ),( xL   такие, что: ,,)()()( 0 00 SxsLxY ttrr   (3) ].,0[Г),()()( ГГ TssyLsY x   (4) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 79 Рассмотрим случай, когда некоторые из функций ),(su )(0 xYr ),,1( 0Rr  )(Г sY ),1(  R известны, а остальные подлежат определению из условия, чтобы ,min))()()(( )( 2 1 sy isi S I i dssYsyL i   (5) ,min))()()(( )( 2 1 sy ittsi X I i dxxYsyL i i     (6) ,min))()()(( 0 )( 2 1     T sy ixxsi I i dttYsyL i (7) ,min))()(( 1 )( 2     I i sy isssi dtYsyL i (8) при ],,0[ Tti  ,0SXx ii  .0 T ii SSs  Как и в [2, 3], функцию )(sy состояния процесса в ограниченной простран- ственно-временной области TS0 представим соотношением ),()()()( Г0 sysysysy   (9) в котором при определенной согласно (2) на  )\(,]0,( 0 Г 0 0 SRSSS n ],0[ T функции )( ssG  [4] ,)()()( 0 sdsussGsy TS   (10) ,)()()( 00 0 sdsussGsy S   (11) .)()()( sdsussGsy S     (12) Здесь и далее )(),( Г0 susu — функции, с помощью которых по среднеквадратиче- скому критерию моделируются известные начальные и краевые внешнединамиче- ские возмущения. Эти функции, как и составляющие )(0 sy и ),(sy которые че- рез них определяются, будут отсутствовать, если нет ограничений по временному интервалу )],(( Tt  и размеру пространственной области ).( nRx Задачи управления с дискретно определенным желаемым состоянием. Основываясь на результатах работ [2, 3], приведем решения задачи (8) по дости- жении функцией )(sy состояния процесса дискретно определенных значений iY ),1( Ii  для различных пространственно-временных областей и различных ком- бинаций управляющих внешнединамических факторов. Задача 1. Управление процессом (2)–(4) по достижении согласно (8) значений ),1( IiYi  выполняется функцией )(su при известных начально-краевых возму- щениях ),()( 0 0000 SxxYY llrrl  ),,1,,1( 00 LlRr  )( ГГГ ll sYY   )],0[Г( Г Tsl  ).,1,,1( ГГ LlR  80 ISSN 0572-2691 Определенная согласно (8) динамика процесса описывается соотношения- ми (9)–(12), в которых вектор-функция управляюще-моделирующих факторов )))((),)((),)(((col)( 0 00    SssuSssuSssusu T (13) определяется из условия )( *1Г1101 minФФФФ sy  при ,)((Ф 2 0 0 0 11 10 0 00               rl хх ttr L l R r YsyL l ,))()((Ф 2ГГ 11 Г1 Г ГГ lssх L l R YsyL l     2 1 *1 ))()((Ф . isssi I i YsyL i     в результате среднеквадратического обращения системы интегральных уравнений YdssusA   )()( )( (14) (здесь и далее знаком )( обозначено интегрирование по области изменения ар- гумента ),s ;0 *                Y Y Y Y , )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()( )( 33 0 32031 23 0 22021 13 0 12011                      SssASssASssA SssASssASssA SssASssASssA sA T T T (15) ),,1,(col* IiYY i  ),,1),,1,((col 00 00 RrLlYY rl  (16) ),,1 ),,1,((col ГГ Г RLlYY l    ),,1,)()((col)(1 IissssGLsA i sii   ),,1),,1,)()(((col)( 00 0 0 2 0 RrLlssGLsA t xxtri l    (17) ),1),,1,)()(((col)( Г3       RρLl ss ssGLsA l xi TSs 0(  при 0,1 Ssi  при ,2i ],0[ Ts  при ).3i Решением системы (14), таким, что ,min)()( )( 2 )( su YdssusA   будет [2, 3] Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 81 ),()()()( 1 T sAYPsAsu    (18) где при произвольных интегрируемых в 0 0 , SST и S функциях и )(sv )),)((),)((),)(((col)( 0 00    SssvSssvSssvsv T ,)()( )( dssvsAAv    а знаком «+» обозначена операция псевдообращения матрицы .)()( T 1 )( 1 dssAsAP    При этом ,Фminmin 2 11 )( 1 )(  susy а .11 TT2 1 YPPYYY  (19) Задача 2. Управляющим фактором при решении задачи (8) для системы (2)–(4) являются функции )(0 xYr ),1( 0Rr  начальных возмущений. Функции )(su и )(sY  ),1(  R известны. Решение задачи получим согласно (3) при ),(sy определенном соотноше- ниями (9)–(12), (18), в которых , *             Y Y Y , )()( )()( )( 3332 1312          sAsA sAsA sA (20) а ),,1),)()(((col * IisyLYY isssii   ).,1),,1),)()()((((col           RLlsyLsYY iss xl При этом точность решения оценивается величиной .)Ф(min)ФФ(min 2 1*1Г1 ),1()( *1Г1 )( 0 0   RrxYsy r (21) Задача 3. Аналогично находится и решение задачи (8) для системы (2)–(4) в случае, когда при известных )(su и )(0 xYr ),1( 0Rr  управляющим фактором является )(sY   ).,1(  R Управляющие краевые внешнединамические возмущения )(sY   ),1( ГR находятся согласно (4), (9)–(12), (18), однако, в отличие от (20), , 0 *            Y Y Y , )()( )()( )( 2322 1312          sAsA sAsA sA (22) ),1),,1,)()()(((col 000 0000 0 RrLlsyLxYY lxx ttrlr              . 82 ISSN 0572-2691 С учетом этих изменений величиной )ФФ(min)ФФ(min *110 ),1(),( *110 )( 2 1      RtxYsy определяется и точность полученного решения. Задача 4. С точностью YPPYYY RtxY RrxYsy r        11 TT *1 ),1(),( ),1()( *1 )( 2 1 0 0 minФmin соотношениями (3), (4), (9)–(12), (18) решается задача (8) и при известной функ- ции ( )u s и управляющих начально-краевых возмущениях. Однако при этом , * YY  ).)()(()( 1312 sAsAsA  (23) Задача 5. Управление рассматриваемым процессом по достижении его функ- цией состояния значений iY ( 1, )i I выполняется начальными и распределен- ными в 0 TS возмущениями. Определенное согласно (8) управление ( )u s найдем из (18), полагая , 0 *          Y Y Y . )()()( )()()( )( 333231 131211          sAsAsA sAsAsA sA (24) С учетом записанных соотношением (18) )(0 su и )(su из (3), (9)–(12) най- дем и выражения для управляющих функций )(0 xYr ).,1( 0Rr  Как и ранее, оп- ределенное согласно (8) среднеквадратическое отклонение найденного решения от желаемого определяется величиной ,2 1 записанной с учетом принятых в (24) обозначений. Задача 6. Аналогично решается рассматриваемая задача и для случая, когда управление выполняется совместным действием распределенных в TS0 и сосредо- точенных на контуре пространственной области управляющих факторов )(su и )(sY   соответственно. В этом случае при , 0 *          Y Y Y          )()()( )()()( )( 232221 131211 sAsAsA sAsAsA sA (25) из (18) определим управления ( )u s и моделирующие функции ),(0 su ).(su С учетом соотношений (4), (9)–(12) найдем функции ),(sY   а с учетом (25) легко запишем и определенную выше величину .2 1 Задача 7. Рассмотрим случай, когда управляющими факторами при решении задачи (8) являются все внешнединамические факторы — начальные, краевые и распределенные пространственно-временные возмущения. Вектор управляюще- моделирующих функций ),(su )(0 su и )(su найдем из (18) при ,*YY  ).)()()(()( 131211 sAsAsAsA  (26) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 83 Функции )(0 xYr ),1( 0Rr  и )(sY   ),1(  R найдем из (3), (4) с уче- том (9)–(12). При определенных согласно (26) векторе Y и матричной функции )(sA вели- чиной 2 1 оценим и точность решения задачи. Заметим, что решения рассмотренных выше задач будут иметь место как в условиях неограниченности пространственной области ,0S так и при установив- шемся характере динамического процесса (временной интервал не ограничен сле- ва). В первом случае отсутствуют моделирующая функция )(su и блоки )(3 sA i )3,1( i в выражениях (15), (20), (24) для матричной функции ).(sA Аналогично и для второго случая. Здесь будут отсутствовать моделирующая функция )(0 su и бло- ки )(2 sA i )3,1( i в выражениях (15), (22) и (25) для матричной функции ).(sA Задачи управления при непрерывно определенном желаемом состоянии. Остановимся на постановке и результатах решения задачи (5) [2, 3] (на задачах (6) и (7) останавливаться не будем — это частные случаи задачи (5)) по управлению сис- темой (2) с целью получения функцией )(sy состояния системы значений, сред- неквадратически близких к функциям )(sYi ).,1( Ii  В отличие от рассмотренно- го выше, непрерывно определенными будем считать начально-краевые внешне- динамические возмущения )(0 xYr ),1( 0Rr  и )(sY   ),1(  R в задачах, где они принимаются во внимание. Моделирование этих возмущений выполняется векторами ),1),((col 0 0 0 00 Mmsuuu mm  )( 00 Ssm  и ),1),((col      Mmsuuu mm )(  Ssm значений моделирующих функций )(0 su и ).(su Вектором ),1),((col* Mmsuuu mm  )( 0 T m Ss  определяется распределенное внешнединамическое возмущение )(su для случаев, когда оно является управляющим. С учетом этого составляющие ),(sy )(0 sy и )(sy в представлении (9) функции )(sy системы (2) запишем в виде ,)()( 00 1 0 0 mm M m ussGsy    (27) ,)()( 1       mm M m ussGsy (28) mm M m ussGsy )()( 1     (29) (для случая, когда функция )(su управляющая). Приведем решения задачи (5) [2, 3] для системы (2)–(4) при различных ком- бинациях управляющих факторов. 84 ISSN 0572-2691 Задача 8. Задача (5) по среднеквадратическому приближению функции )()( syL si  к функции )(sYi ),1( Ii  решается при известных начально-краевых возмущениях )(0 xYr ),1( 0Rr  , ( )Y s  ),1(  R с управляющим вектором .*u Вектор ),,(col Г0* uuuu  значений управляюще-моделирующих функций ),(su )(0 su и )(Г su , через кото- рый соотношениями (9), (27)–(29) определяется состояние ( )y s системы, найдем из условия )( *2Г2202 minФФФ sy  (30) при ,))()()((Ф 20 0 0 1 20 0 dxxYsyL rttr S R r     ,))()()((Ф 2ГГ ],0[Г1 Г2 Г dssYsyL x T R     dssYsyL isi S I i T 2 1 *2 ))()()((Ф 0     или, что эквивалентно [2, 3], .min))()(( 2 )(1 u I i dssYusB   (31) Как и выше, интегрирование в (30) выполняется по области изменения аргумента s в векторной и матричной функциях )(sY и ),(sB определяемых соотношениями , ]),0[()( )()( )()( )( 0 0 0 *                    TssY SxxY SssY sY T , 3,1]),,0[)(( 3,1),)(( 3,1),)(( )( 3 02 01                   iTssB iSxxB iSssB sB i i T i (32) в которых ),,1),((col)(* IisYsY i  ),,1),((col)( 0 00 RrxYxY r  (33) ),,1),,((col)(      RtxYsY ),,1),,1),()((str(col)(11 IiMmssGLsB msi  ),,1),,1),()((str(col)( 0 0 12 IiMmssGLsB msi  ),,1),,1),()((str(col)(13 IiMmssGLsB msi    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 85 ),,1),,1,)()((str(col)( 00 0 21 RrMmssGLxB tmtr   ),,1),,1,)()((str(col)( 000 00 22 RrMmssGLxB tmtr   (34) ),,1),,1,()((str(col)( 00 0 23 RrMmssGLxB tmtr    ),,1),,1),()((str(col)(31     RMmssGLsB mx ),,1),,1),()((str(col)( 0 0 32     RMmssGLsB mx ).,1),,1),()((str(col)(33     RMmssGLsB mx Решением задачи (31) будет [2, 3] ,222 vPPvBPu Y   (35) где при произвольных ,MRv ,0 0 M Rv   M Rv ),,,(col 0  vvvv ,)()(T 2 dssBsBP  .)()(T dssYsBBY  Здесь, как и выше, знаком «+» обозначена операция псевдообращения матрицы. При этом .)()(min 2 22 TT )( 2     YY u BPBdssYsY (36) Задача 9. Среднеквадратическое согласно (5) приближение функции )()( syL si  к функции )(sYi ),1( Ii  выполняется начальными возмущениями )(0 xYr при из- вестных краевых и распределенных внешнединамических возмущениях )(sY  ),1(  R и )(su соответственно. Управляющие функции )(0 xYr ),1( 0Rr  полу- чим из (3) при ),(sy определенном соотношениями (9), (10), (27), (28), в которых , )( )( )( *           sY sY sY , )()( )()( )( 3332 1312          sBsB sBsB sB (37) ))()()((col)(* sysiLsiYsY  ),,1( Ii  ))()()((col)( syLsYsY x       ).,1(  R Точность решения задачи определяется величиной ).Ф(min)ФФ(min *2Г2 ),1()( *2Г2 )( 2 2 0 0   Rrx r Ysy (38) 86 ISSN 0572-2691 Задача 10. Задача (5) решается при известных )(0 xYr ),,1( 0Rr  )(su и управляющих )(sY  ).,1(  R Искомые )(sY  найдем из (4), (9), (10), (27), (28), полагая , )( )( )( 0           xY sY sY , )()( )()( )( 2322 1312          xBxB sBsB sB (39) )))()()(((col)( 0 000   t trr syLxYxY ).,1( 0Rr  При этом ,)Ф(min)ФФ(min 2 2*220 ),1)(,( *220 )(      RtxYsy где 2 2 определено в (36). Задача 11. При известной функции )(su и управляющих начально-крае- вых возмущениях )(0 xYr ),1( 0Rr  и )(sY  ),1(  R определенное согласно (9), (10), (27), (28) состояние системы будет решением задачи (5), если )(0 xYr ),1( 0Rr  и )(sY  ),1(  R определить соотношениями (3), (4), (9), (10), (27), (28), в которых ),()( sYsY  ).)(),(()( 1312 sBsBsB  (40) Как и выше, при этом .minФmin *2 ),1(),( ),1()( *2 )( 2 2 0 0       RtxY RrxYsy r Задача 12. Рассмотрим случай, когда задача (5) решается при известных крае- вых возмущениях. Управляющий вектор *u и моделирующие векторы ,0u u най- дем из (34), полагая , )( )( )(            sY sY sY . )()()( )()()( )( 333231 131211          sBsBsB sBsBsB sB (41) Соответствующие этим векторам управляющие начальные возмущения опреде- ляются соотношениями (3) с учетом (9), (27)–(29). Подстановкой (41) в (36) най- дем и точность решения задачи .2 2 Задача 13. Аналогично решается и задача управления рассматриваемым про- цессом при известных начальных возмущениях. Здесь, как и выше, управляюще- моделирующий вектор u определяется согласно (35) при , )( )( )( 0 *            xY sY sY . )()()( )()()( )( 232221 131211          xBxBxB sBsBsB sB (42) С учетом (35) и (42) соотношением (4) определим и управляющие функции )(sY  ).,1(  R Подстановкой (42) в (36) найдем .2 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 87 Задача 14. Для случая, когда при решении задачи (5) все внешнединамиче- ские факторы являются управляющими, вектор *u найдем из (35), а функции )(0 xYr ),1( 0R и )(sY  ),1(  R — из (3), (4), полагая при этом );()( * sYsY  ).)(),(),(()( 131211 sBsBsBsB  (43) С учетом (43) соотношением (36) определим и величину .2 2 Заметим, что, как и при решении задач 1–7, расчетные формулы упрощаются в случае неограниченности пространственной и временной областей. Если нет ог- раничений на пространственную область, в расчетных соотношениях отсутствуют моделирующий вектор u и блоки )(3 sB i ).3,1( i Если не введены начальные условия, отсутствуют вектор ,0u который их моделирует, и блоки )(2 xB i в выра- жениях для матричных функций ).(sB Однозначность решения задачи (5) для системы (2)–(4) вытекает из одно- значности )0(  решения задачи (31). Условием же этого будет .0det 2 P Заключение. Резюмируя изложенное выше, скажем, что закончено иссле- дование проблем управления динамикой распределенного в заданной про- странственной области динамического процесса, физическая природа которого описана линейной дифференциальной математической моделью, допускающей заданное количество внешнединамических наблюдений за ним. Предполагает- ся, что эти наблюдения являются линейными преобразованиями функции со- стояния процесса, которая фиксируется непрерывно или дискретно в части пространственной области, ее контура и временного интервала, на котором процесс рассматривается. Количество таких наблюдений, а также области и точки, в которых они выполняются, не связаны с дифференциальным поряд- ком математической модели процесса. Поставлены и решены задачи управле- ния любой из допустимых комбинаций внешнединамических возмущающих факторов, которая по среднеквадратическому критерию выводит функцию со- стояния процесса в окрестности значений, заданных непрерывно или дискрет- но в рассматриваемой пространственно-временной области. Постановки задач носят практически направленный характер, а их количество позволяет удовле- творить любому исследователю-прикладнику. Для решения задач использован классический аппарат линейной псевдо- инверсной алгебры и его обобщения, полученные в предыдущих публикациях автора. В силу этого конечные математические результаты по решению по- ставленных задач оказались простыми и доступными для инженерных прило- жений. Для каждой из таких задач определена среднеквадратическая точность, с которой точное аналитическое решение математической модели процесса согласуется с пространственно-временными наблюдениями за ним. Рассмот- ренные примеры проиллюстрировали, что предложенная методика решения практически важных но некорректно сформулированных задач дает положи- тельные результаты по решению задач управления пространственно распреде- ленным динамическим процессом даже при минимальном количестве инфор- мации о начально-краевых наблюдениях за ним. 88 ISSN 0572-2691 В.А. Стоян ПРО ДЕЯКІ РЕЗУЛЬТАТИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ЗАДАЧ КЕРУВАННЯ ДИНАМІКОЮ ПРОСТОРОВО РОЗПОДІЛЕНИХ ПРОЦЕСІВ Поставлено і розв’язано задачі керування просторово розподіленим дина- мічним процесом, описаним лінійною диференціальною моделлю. Вимага- ється, щоб розв’язок цієї моделі за середньоквадратичним критерієм узго- джувався з неперервно та дискретно визначеними спостереженнями за по- чатково-крайовим станом процесу. За цим же критерієм стан системи виводиться в окіл бажаного. Розглянуто випадки керування довільною комбінацією початкового, крайового та розподіленого зовнішньодинаміч- них збурюючих факторів. Дано оцінку точності отриманих розв’язків, ви- писано умови їх однозначності. V.A. Stoyan SOME RESULTS ON THE MATHEMATICAL MODELING OF PROBLEMS SOLUTIONS OF DYNAMICS OF SPATIALLY DISTRIBUTED PROCESSES CONTROL Problems of control of spatially distributed dynamic process, described by linear differential model are set and solved. The solution of this model for mean square criterion is to be consistent with continuous and discrete definite observations of the initial-boundary state of the process. The same criterion system state is dis- played in the vicinity of the desired area. The cases of control of arbitrary com- bination of the initial, boundary and distributed outer dynamical perturbing fac- tors are considered. The assessment of solutions accuracy is made and condi- tions of their uniqueness are formulated. 1. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Про- блемы управления и информатики. — 1998. — № 1. — С. 79–86. 2. Скопецький В.В., Стоян В.А., Зваридчук В.Б. Математичне моделювання динаміки розподі- лених просторово-часових процесів. — Київ : Сталь, 2008. — 316 с. 3. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних систем. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2011. — 320 с. 4. Стоян В.А., Двірничук К.В. До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціаль- них моделей // Доп. НАН України. — 2012. — № 9. — С. 36–43. Получено 20.05.2015 Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.

Ähnliche Einträge