Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками
Запропоновано нові моделі систем обслуговування-запасання з обмеженими і необмеженими чергами нетерплячих витрачальних вимог. У них рівень ресурсів системи зменшується лише в моменти завершення обслуговування витрачальних вимог. Розроблено точний та наближений методи розрахунку характеристик запропо...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208068 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 97-111. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860027070730469376 |
|---|---|
| author | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. |
| author_facet | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. |
| citation_txt | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 97-111. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано нові моделі систем обслуговування-запасання з обмеженими і необмеженими чергами нетерплячих витрачальних вимог. У них рівень ресурсів системи зменшується лише в моменти завершення обслуговування витрачальних вимог. Розроблено точний та наближений методи розрахунку характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових експериментів.
New models of queueing-inventory systems with finite and infinite queues of impatient consume customers are proposed. Here level of inventory is reduced after servicing of customers only. Both exact and approximate methods to calculate the characteristics of the proposed models are developed. The results of numerical experiments are shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:50:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, С.А. БАГИРОВА, 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 97
УДК 519.872
А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова
АНАЛИЗ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ-
ЗАПАСАНИЯ С НЕТЕРПЕЛИВЫМИ
РАСХОДУЮЩИМИ ЗАЯВКАМИ
Введение
Системы обеспечения материальными ресурсами одновременно обладают
свойствами систем массового обслуживания (СМО) и систем управления запа-
сами (СУЗ), так как в них канал обслуживания подключен к складу системы
и уровень ресурсов на складе уменьшается лишь в моменты завершения обслу-
живания расходующих заявок (p-заявок). Поэтому при исследовании таких систем
необходимо учитывать эти факторы. Вместе с тем анализ доступной литературы
показал, что зачастую в известных моделях систем обеспечения материальными
ресурсами они полностью не учитываются (см., например, [1–3] и списки литературы
к ним). Как правило, в классических моделях СМО предполагается, что процесс
обслуживания заявок не приводит к уменьшению ресурсов системы; иными
словами, обычно предполагается, что СМО имеют неограниченные ресурсы,
а возможные потери заявок связаны, в основном, с ограничением на число каналов
или количество мест для ожидания в очереди, а также с нетерпеливостью заявок
в очереди. С другой стороны, в классических моделях СУЗ обычно не учитываются
возможности потери и/или образования очереди p-заявок даже при наличии
необходимого количества запасов системы, т.е. в них предполагается, что си-
стема имеет неограниченное число каналов для отпуска требуемых ресурсов.
Кроме того, в моделях СУЗ, как правило, предполагают, что уровень ресурсов
системы уменьшается в моменты поступления p-заявок, а не в моменты завер-
шения их обслуживания.
Следовательно, при построении единой модели системы обеспечения матери-
альными ресурсами наряду с числом p-заявок в системе необходимо учитывать еще
и уровень ее запасов (ресурсов). Такие системы в англоязычной литературе назы-
ваются системами обслуживания-запасания (СОЗ, queueing-inventory systems) [4, 5].
Сразу же отметим, что подобные модели ранее были изучены в работах [6–9], где они
назывались системами обслуживания со встречными потоками [6, 9], а также
системами транспортно-складского типа [7, 8].
Отметим, что модели СОЗ, в которых учитываются указанные выше факторы,
недостаточно исследованы. Исходя из этого, здесь рассматривается модель СОЗ
при достаточно общих предположениях относительно политики пополнения
запасов и поведения p-заявок.
Краткий обзор известных результатов
Исходя из хронологической последовательности, в первую очередь следует
отметить работу [6]. В ней изучена модель СОЗ, в которой с постоянной скоро-
стью (непрерывно) происходит убывание запасов и по пуассоновскому закону их
пополнение порциями, имеющими известную функцию распределения (ф.р.).
В указанной работе получены формулы для нахождения моментов достижения
запасами нулевого или некоторого положительного уровня, времени пребывания
системы на нулевом уровне запасов и т.д.
60
1956 2016
98 ISSN 0572-2691
Отметим, что в данной работе рассматриваются модели СОЗ, в которых убывание
запасов происходит не непрерывно, а лишь после завершения обслуживания
очередной p-заявки. Подобные модели изучены в работах [7–9]. Так, в работе [7]
изучена марковская модель СОЗ с ограниченной очередью терпеливых p-заявок,
в которой при достижении уровнем запасов некоторой критической величины
,10, Sss где S — максимальный объем склада системы, система делает
заказ на вышестоящий склад на поставку ресурсов (здесь и далее модель СОЗ
будем называть марковской, если поток p-заявок пуассоновский, а случайные
времена их обслуживания и выполнения заказов имеют экспоненциальные ф.р.).
Там предполагалось, что заказ выполняется с некоторой случайной задержкой
с известным (постоянным) средним. При этом с вероятностью )(is поступают
ресурсы объема ,0, sSii и допускается, что вероятности )(is — управля-
емые параметры. Решена задача нахождения оптимальных значений этих ве-
роятностей, при которых минимизируются суммарные затраты, связанные
с доставкой и хранением ресурсов, ожиданием p-заявок в очереди и неудовле-
творенным спросом p-заявок. Для этой цели использованы методы теории
марковских процессов принятия решений.
Аналогичная модель изучена в [8], однако, в отличие от [7], в ней предпо-
лагалось, что вероятности )(is постоянные, т.е. не являются управляемыми.
Для описания работы системы построена соответствующая двумерная цепь
Маркова (ЦМ) и найдено совместное распределение уровня ресурсов системы
и числа p-заявок в ней. Здесь решена задача нахождения оптимального значения
критического уровня ресурсов ( s ), при котором минимизируются суммарные
штрафы из-за потери p-заявок, их ожидания в очереди, а также из-за хранения
определенного уровня запасов в единицу времени.
В работе [9] изучена марковская модель СОЗ, в которой принимается, что
p-заявки не являются идентичными, а имеют случайные размеры (здесь и в даль-
нейшем под размером p-заявки понимается объем требуемых ею ресурсов). В работе
найдена оптимальная политика пополнения запасов, которая учитывает текущую
ситуацию в системе, при этом ситуация определяется уровнем запасов на складе
и количеством разнотипных p-заявок в системе.
Отметим, что в работах [7–9] предполагалось, что во время выгрузки ресурсов
их отпуск по p-заявкам прекращается (в исследуемых в данной работе моделях это
ограничение снимается).
В [10] изучена марковская модель одноканальной СОЗ с повторными и иден-
тичными по размеру p-заявками и ),( Ss -политикой (схемой) пополнения запасов.
Последнее означает, что когда уровень ресурсов на складе системы становится
меньшим или равным некоторому критическому уровню ,s отправляется заказ
на вышестоящий склад на поставку ресурсов объема .sS Предполагается, что
если в момент поступления некоторой p-заявки в системе отсутствуют необхо-
димые ресурсы, то она не теряется, а поступает в орбит бесконечного размера; из
орбита p-заявки повторяют попытку начать обслуживание после некоторого
случайного времени, которое также имеет экспоненциальную ф.р. В указанной
публикации в качестве математической модели исследуемой системы используется
двумерная ЦМ и найдено условие эргодичности системы, а также найдены явные
формулы для вычисления средних значений характеристик системы: среднего
периода занятости системы, среднего времени ожидания в орбите, среднего уровня
запасов системы и т.д. Кроме того, здесь также решена задача нахождения опти-
мальных значений параметров данной политики пополнения запасов относительно
некоторого экономического (стоимостного) критерия. Эта же модель алгорит-
мическими методами изучена в [11]; она же в случае конечного размера орбита
для абсолютно нетерпеливых p-заявок изучена в [12].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 99
В работе [13] изучены три класса марковских моделей одноканальных СОЗ
с ),( Ss -политикой пополнения запасов. В модели типа I нет буфера для ожидания
p-заявок, при этом если в момент поступления извне p-заявки в системе отсутствуют
ресурсы или канал занят, то эта заявка либо с определенной вероятностью уходит
в орбит, либо с дополнительной вероятностью окончательно покидает систему;
если в момент поступления из орбита p-заявки в системе отсутствуют ресурсы
или канал занят, то она опять либо с некоторой вероятностью возвращается в орбит,
либо с дополнительной вероятностью окончательно уходит из системы. В моделях
типа II и III имеются конечные буфера переменных размеров для ожидания
p-заявок, при этом в модели типа II размер буфера равен текущему уровню запасов
системы, а в модели типа III — максимальному размеру склада системы (т.е. S ).
При этом в моделях последнего типа потеря p-заявок или их поступление в орбит
определяется состоянием буфера. В указанной работе для каждого типа моделей
построены соответствующие трехмерные ЦМ и показано, что все они имеют
трехдиагональную производящую матрицу. Исходя из этого, с использованием
матрично-геометрического метода найдены их стационарные распределения,
а также некоторые характеристики изучаемых моделей СОЗ.
В [14] изучена марковская модель одноканальной СОЗ с бесконечными
очередями терпеливых p-заявок двух типов, при этом используется ),( Ss -по-
литика пополнения запасов; нагрузочные параметры входящих потоков, а также
штрафы за ожидание в очереди одной заявки каждого потока за единицу времени
являются различными. Найдено условие эргодичности изучаемой СОЗ, поставлена
и решена задача нахождения оптимальной дисциплины обслуживания разнотипных
p-заявок, где критерием служит дисконтированный средний штраф за ожидание
в очереди на бесконечном горизонте планирования. Также найдено простое
условие определения типа p-заявки, выбираемой для обслуживания: каждый раз
из очереди необходимо выбирать заявку, для которой величина iic наибольшая,
где i — интенсивность обслуживания p-заявки i-го типа и ic — штраф за ожидание
в очереди одной p-заявки i-го типа за единицу времени, i = 1, 2. Отметим, что это
правило совпадает с известной оптимальной дисциплиной обслуживания в од-
ноканальных СМО с бесконечной очередью. Данная работа также содержит
обзор работ по этому направлению.
В [15] изучена марковская модель одноканальной СОЗ с конечной очередью
терпеливых и высокоприоритетных p-заявок, где кроме этих заявок поступают
и низкоприоритетные. Отличительная особенность низкоприоритетных заявок
заключается в том, что их обслуживание не уменьшает уровень ресурсов системы.
Обслуживание заявок последнего типа осуществляется лишь тогда, когда в мо-
менты их поступления канал системы свободен; иначе они уходят в орбит конеч-
ного размера, при этом в орбите они становятся нетерпеливыми, т.е. после
определенного времени пребывания в орбите они могут покидать систему.
Найдено совместное распределение числа p-заявок в очереди, числа заявок в
орбите и уровня запасов системы.
В [4, 5] получены формулы мультипликативного вида для вычисления совмест-
ного распределения длины очереди и уровня запасов в моделях СОЗ с различными
схемами пополнения запасов, которые описываются марковскими моделями
одноканальных СМО.
В [16, 17] изучены задачи нахождения оптимальной политики пополнения
в марковских моделях СОЗ с конечной и бесконечной очередью соответственно.
Отметим, что в доступной литературе известны также работы, в которых
исследованы модели СОЗ с мгновенной поставкой запасов. Однако они здесь
100 ISSN 0572-2691
не анализируются, так как объектом исследования данной работы являются
СОЗ с запаздывающей поставкой запасов. Модели СОЗ с мгновенной поставкой
запасов изучены в работах [18, 19].
Из анализа литературы следует, что в известных моделях СОЗ, как правило,
предполагают, что p-заявки в очереди абсолютно терпеливы, а время выполнения
заказа не зависит от объема поставки. Вместе с тем в реальных СОЗ p-заявки в очереди
являются нетерпеливыми, при этом вероятность их ухода из очереди зависит
от текущего уровня запасов системы. Кроме того, параметр ф.р. времени вы-
полнения заказа также зависит от объема поставки. Исходя из этого, в данной работе
предложены новые модели, в которых учитываются указанные особенности
реальных СОЗ и предложены методы их точного и асимптотического анализа.
Описание моделей СОЗ
Схема изучаемой одноканальной СОЗ с ограниченной очередью p-заявок
показана на рис. 1. Система имеет склад ограниченного объема .S В эту систему
поступает пуассоновский поток p-заявок с интенсивностью . Для простоты
изложения предположим, что каждая p-заявка требует ресурса единичного
размера. Время обслуживания p-заявок — случайная величина, имеющая экспо-
ненциальную ф.р. с параметром . По завершении обслуживания p-заявки уровень
ресурсов на складе системы уменьшается на единицу.
Выход
Расходующие
заявки
Потери из-за
переполнения
буфера
Канал системы
Склад системы
Потери из-за
нетерпеливости
заявок
Вышестоящий склад
N … 2 1
Рис. 1
Рассматривается два класса моделей СОЗ: системы с ограниченной и неограни-
ченной очередью p-заявок. Предполагается, что в моменты поступления в систему
p-заявки не имеют информации об уровне ресурсов на складе системы, т.е. в модели
с ограниченной очередью максимальная длина очереди p-заявок может быть равна N;
иными словами, если p-заявка поступила в момент, когда в очереди уже имеется N
таких заявок, то независимо от уровня ресурсов на складе системы она теряется
с вероятностью 1. Вместе с тем в модели с неограниченной очередью любая
поступившая p-заявка независимо от уровня запасов системы принимается
с вероятностью 1.
Нетерпеливость p-заявок проявляется в период ожидания в очереди: допусти-
мые времена ожидания в очереди p-заявок, когда уровень запасов системы равен
,m являются независимыми случайными величинами, имеющими экспоненци-
альные ф.р. со средними ).(1 m Иными словами, нетерпеливая p-заявка теряется
из очереди, если до окончания допустимого интервала ожидания не освобождается
канал обслуживания; при этом допустимое время пребывания в очереди зависит
от текущего уровня запасов системы.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 101
P-заявки не обслуживаются, если в системе отсутствуют ресурсы, т.е. отпуск
ресурсов по p-заявкам продолжается, пока склад системы не станет пустым. По-
полнения склада системы ресурсами осуществляются с помощью снабжающих за-
явок (с-заявки) согласно политике ).,( Ss Таким образом, когда уровень запасов си-
стемы становится меньшим некоторой пороговой (критический уровень запасов) ве-
личины s или равным ей, отправляется заказ на вышестоящий склад на поставку
ресурсов объема .sS При этом требуется, чтобы после выполнения заказа
уровень ресурсов на складе системы был не меньше указанной величины .s Следо-
вательно, для предотвращения случаев многократных заказов ресурсов необхо-
димо выполнение соотношения ;2/Ss иными словами, возможными значениями
s являются числа ,1
2
,...,1,0
S
s где ][a — целая часть .a
Сделанный заказ выполняется с некоторой задержкой с-заявок, вызванной до-
ставкой и выгрузкой ресурсов на склад данной системы, т.е. время выполнения заказа
не может быть нулевым. Если принято, что критический уровень запасов равен ,s то
указанное время имеет экспоненциальную ф.р. с параметром ),(mv который в общем
случае зависит от текущего уровня m ресурсов на складе системы, ....,,1,0 sm
Обслуживания с- и p-заявок осуществляются на различных каналах, и эти
процессы не зависят один от другого. Иными словами, допускается отпуск ресур-
сов p-заявкам во время их выгрузки на склад системы (т.е. во время обслуживания
с-заявок).
Задача состоит в определении совместного распределения уровня запасов си-
стемы и длины очереди p-заявок. Решение этой задачи позволит определить
также усредненные характеристики изучаемой СОЗ: средний уровень ресурсов
на складе ),( avQ среднюю длину очереди p-заявок )( avL и вероятность потери
p-заявок probability of Blocking ).(PB
Методы расчета характеристик СОЗ
Сначала рассмотрим модель СОЗ с ограниченной очередью. Функциони-
рование данной СОЗ описывается двумерной ЦМ с состояниями вида ),,( nm
где m — уровень ресурсов на складе, n — число p-заявок в очереди. Эта
цепь конечна, и ее фазовое пространство состояний (ФПС) определяется так:
}...,,1,0;...,,1,0:),({ NnSmnmE . (1)
Рассмотрим задачу определения элементов производящей матрицы
(Q-матрицы) данной двумерной ЦМ. Интенсивность перехода из состояния
Enm ),( 11 в состояние Enm ),( 22 обозначим )),(),,(( 2211 nmnmq .
В общем случае переходы между состояниями ФПС (1) связаны со следую-
щими событиями: (i) с поступлением p-заявок, (ii) с завершением обслуживания
p-заявок, (iii) с уходом p-заявок из очереди из-за их нетерпеливости и (iv) с по-
ступлением ресурсов из вышестоящего склада. Исходя из принятой политики по-
полнения запасов, необходимо различать случаи при определении исходного со-
стояния Enm ),( 11 : 1) ;1 sm 2) .1 sm
Сначала рассмотрим случай .1 sm Здесь выходы из данного состояния
),( 11 nm
из-за событий типа (iv) невозможны, так как в таких состояниях склад
не может пополняться ресурсами. Если поступает некоторая p-заявка (события
типа (i)), то она присоединяется к очереди при выполнении условия ;1 Nn
102 ISSN 0572-2691
иными словами, осуществляется переход из данного состояния в состояние
.)1,( 11 Enm Интенсивность такого перехода равна . Если в исходном состоянии
выполняется условие ,1 Nn то поступившая p-заявка теряется. По завершении
обслуживания p-заявки (события типа (ii)) в исходном состоянии ,),( 11 Enm
,01 n осуществляется переход в состояние .)1,1( 11 Enm Интенсивность
такого перехода равна . Если некоторая p-заявка уходит из очереди необслу-
женной (события типа (iii)), то происходит переход из данного состояния в состояние
.)1,( 11 Enm Интенсивность такого перехода равна ).( 11 mn Следовательно,
для случаев sm 1 указанные выше элементы Q-матрицы определяются так:
случаях.остальныхв0
,0,1,если),(
,0,1,1если,
,1,1,если,
)),(),,((
1121211
11212
11212
2211
nnnmmmn
nnnmm
Nnnnmm
nmnmq (2)
Пусть теперь в исходном состоянии Enm ),( 11 выполняется условие .1 sm
В этом состоянии интенсивности переходов для указанных выше событий типа (i)–(iii)
определяются аналогично соотношениям (2). Вместе с тем в момент поступления
заказа из вышестоящего склада объемом sS происходит переход из этого
состояния в состояние );,( 11 nsSm интенсивность такого перехода равна ).( 1mv
Следовательно, для случаев sm 1 указанные выше элементы Q-матрицы
определяются так:
случаях.остальныхв0
,,,если),(
,0,1,если),(
,0,1,1если,
,1,1,если,
)),(),,((
121211
1121211
11212
11212
2211
nnsSmmsmmv
nnnmmmn
nnnmm
Nnnnmm
nmnmq (3)
С учетом соотношений (2), (3) заключаем, что все состояния этой конечной
двумерной ЦМ являются сообщающимися, следовательно, в этой системе существует
стационарный режим.
Пусть ),( nmp — стационарная вероятность состояния .),( Enm Эти веро-
ятности удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), которая составляется
на основе соотношений (2), (3). В матричной форме она записывается так:
0,Qp (4)
где p — вектор-строка )),(:),(( Enmnmp p размерности E ( E — количе-
ство элементов множества E ), а 0 — нулевой вектор-столбец такой же размер-
ности. К этой СУР добавляется условие нормировки:
.1),(
),(
nmp
Enm
(5)
После нахождения совместного распределения уровня ресурсов на складе си-
стемы и длины очереди p-заявок можно вычислить усредненные характеристики ис-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 103
следуемой СОЗ. Так, средняя длина очереди p-заявок )( avL и средний уровень
ресурсов на складе )( avS определяются как математические ожидания соот-
ветствующих случайных величин. Иными словами, эти параметры определя-
ются из следующих формул:
);,(
01
nmpnL
S
m
N
nav
(6)
),(
01
nmpmS
N
n
S
mav
. (7)
Потери p-заявок происходят либо из-за переполненности буфера для ожидания
p-заявок, либо из-за их нетерпеливости. Иными словами, p-заявки теряются
в следующих случаях: в момент поступления такой заявки в очереди отсутствует
свободное место либо до окончания допустимого интервала ожидания не осво-
бождается канал обслуживания. Следовательно, для вычисления вероятности
потери p-заявок )(PB получим следующую формулу:
),(),(),(
100
nmPnmpNmpPB l
N
n
S
m
S
m
, (8)
где ),( nmPl означает вероятность того, что в состоянии ),( nm p-заявка теряется
из-за нетерпеливости. Эта величина определяется так:
NnImImn
mn
nmPl
)1()(
)(
),( , (9)
где )(AI — индикаторная функция события .A
Относительно решения СУР (4), (5), отметим, что, к сожалению, из-за сложной
структуры ее матрицы не удается найти ее аналитическое решение. Более того,
изучаемая двумерная ЦМ не является хотя бы квазипроцессом размножения и
гибели, для расчета которой существуют эффективные численные методы [20, 21]
(напомним, что двумерная ЦМ называется квазипроцессом размножения и гибели,
если Q-матрица одномерной цепи, которая получается в результате соответ-
ствующей перенумерации состояний исходной двумерной цепи, трехдиагональ-
ная). Поэтому для ее расчета приходится использовать известные (стандарт-
ные) численные методы теории марковских процессов [22, 23]. Однако извест-
ные методы работоспособны лишь для моделей малой и умеренной размерности и
бесполезны для моделей большой и сверхбольшой размерности. Заметим также,
что реальные СОЗ являются именно большими системами.
Здесь используется приближенный метод для расчета стационарного распре-
деления двумерных ЦМ [24], позволяющий осуществить асимптотический анализ
характеристик данной модели СОЗ при больших размерностях склада системы
и объема буферного накопителя для ожидания p-заявок. При этом принимается,
что СОЗ работает в условиях большой нагрузки, т.е. интенсивность поступления
p-заявок намного превосходит интенсивность их обслуживания. Ранее этот метод
успешно применялся для анализа различных моделей СМО [24–27].
При выполнении этого допущения рассмотрим следующее расщепление ФПС (1):
,,0,
0 2121
S
m mmm mmEEEE
(10)
где }....,,1,0:),({ NnEnmEm
Расщепление (10) означает, что класс состояний mE содержит те состояния
),( nm из исходного ФПС (1), в которых уровень ресурсов равен m независимо от
длины очереди р-заявок. Далее в исходном ФПС (1) определяется следующая
функция укрупнения:
104 ISSN 0572-2691
,),( mnmU (11)
где m — укрупненное состояние, которое объединяет в себе класс состояний
....,,1,0, SmEm Обозначим }....,,1,0:{ Smm
Стационарное распределение исходной модели приближенно определяется
следующим образом (см. [24]):
)()(),( mnnmp m , (12)
где )(nm — вероятность состояния ),( nm внутри расщепленной модели с про-
странством состояний ,mE а )( m — вероятность укрупненного состояния
m .
Из расщепления (10) видно, что во всех состояниях внутри расщепленной
модели с ФПС mE первая компонента постоянная, и потому все состояния из этого
класса определяются лишь второй компонентой. При этом из соотношений (2),
(3) получаем, что стационарные вероятности состояний внутри расщепленной
модели с ФПС mE вычисляются как вероятности состояний классической модели
Эрланга M/M/N/0 c нагрузкой ),(/ mm т.е.
,...,,1,0,)0(
!
)( Nm
n
n m
n
m
m
(13)
где .
!
)0(
1
0
n
n
mN
nm
Интенсивность перехода из укрупненного состояния 1m в другое укрупненное
состояние 2m обозначим 2121 ,),,( mmmmq . С учетом (2), (3) и (13)
после определенных математических преобразований получаем граф переходов
между состояниями укрупненной модели (рис. 2):
1 0
y1
s
y2
s+1 S-s S-s+1
ys
… … … S
x0 x1 x s
Рис. 2
,случаяхостальныхв0
,1,1 если,
,,0 если,
),( 121
121
21 1
1
mmSmy
sSmmsmx
mmq m
m
(14)
где ).)0(1(),(
111 1 mmm ymvx
Из соотношений (14) удается выразить все вероятности состояний через
вероятность )1( s следующим образом (здесь промежуточные преобразования
также опускаются):
.1если),1(
,1если),1(
,0если),1(
)(
SmsSs
sSmss
sms
m
m
m
m
(15)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 105
Здесь и далее приняты следующие обозначения:
ii
s
sSmi
m
m
m
s
m
ii
is
mim x
yy
y
y
yx
y
1
;;0:, 1
0
11
1
1
. (16)
Вероятность )1( s находится из условия нормировки, т.е.
.)1(
1
110
m
S
sSmm
sS
smm
s
m
s (17)
Тогда с учетом соотношений (12)–(17) находится совместное распределение
уровня ресурсов на складе системы и длины очереди p-заявок. Далее с исполь-
зованием (6)–(8) получаем следующие формулы для приближенного расчета ха-
рактеристик системы обслуживания-запасания с ограниченной очередью:
)()(
01
mnnL m
S
m
N
nav ; (18)
;)(
1
S
mav mmS (19)
),()()()()(
100
nmPmnmNPB lm
N
n
S
mm
S
m
. (20)
Теперь рассмотрим модель СОЗ с неограниченной очередью. Функционирование
данной системы также описывается двумерной, в данном случае бесконечной
ЦМ с состояниями вида ,),( nm где m — уровень ресурсов в складе, n — число
p-заявок в очереди, т.е. ФПС этой модели бесконечномерно и задается так:
....},1,0;...,,1,0:),({ nSmnmE (21)
Замечание 1. Здесь и далее в целях упрощения изложения для обоих типов
моделей используются одинаковые обозначения для ФПС, стационарных распреде-
лений и характеристик системы. Однако из контекста ясно, о каких именно моделях
будет идти речь.
Элементы Q-матрицы данной двумерной ЦМ определяются аналогично (2) и (3).
Средняя длина очереди p-заявок и средний уровень ресурсов на складе также опреде-
ляются аналогично (6) и (7), но при этом следует иметь в виду, что в указанных фор-
мулах параметр N принимается равным бесконечности, т.е. в них необходимо
положить N . Относительно определения вероятности потери p-заявок отметим,
что в данной модели отсутствует первое слагаемое в формуле (10), так как очередь
для p-заявок имеет бесконечную длину. Следовательно, в данной модели для
вычисления вероятности потери p-заявок получим следующую формулу:
s
m ln
nmPnmpPB
0 1
),(),( . (22)
Замечание 2. Здесь следует иметь в виду, что при определении функции
nmPl , в правой части формулы (9) 1 NnI для любого ....,2,1n
В данной модели нахождение стационарного распределения соответствующей
бесконечномерной ЦМ становится еще более сложной проблемой, чем для модели
с ограниченной очередью. Здесь для этой цели не удается использовать соответ-
ствующую СУР для стационарных вероятностей состояний, поскольку невозможно
найти аналитические выражения для их вычисления или разработать другие
эффективные численные процедуры. Использование для этой цели метода
двумерных производящих функций сопровождается известными вычислитель-
ными
106 ISSN 0572-2691
и методологическими трудностями. Поэтому для нахождения стационарного
распределения этой бесконечномерной ЦМ используется достаточно подробно
описанный выше приближенный метод. Специфика его применения для данной
модели в краткой форме излагается ниже.
Рассматривается аналогичное (10) расщепление ФПС (21) и соответствующим
образом строится функция укрупнения (11).
В данном случае стационарные вероятности состояний внутри расщепленной
модели с ФПС mE вычисляются как вероятности состояний модели M/M/
c нагрузкой m , т.е.
....,2,1,0,
!
)(
ne
n
n m
n
m
m (23)
Интенсивности переходов между состояниями укрупненной модели определяются
аналогично (14), но следует иметь в виду, что в этом случае )1( 1
1
meym
.
Далее вероятности состояний укрупненной модели вычисляются в соответствии
с формулами (15)–(17).
Средний уровень ресурсов также определяется с помощью формулы (19).
С учетом (23) из (18) при N получим следующую простую формулу для
вычисления средней длины очереди в модели СОЗ с неограниченной очередью:
m
S
mav mL
)(
0
. (24)
Вероятность потери p-заявок из-за нетерпеливости в данной модели
определяется так:
.),(
!10
nmP
n
mePB l
n
m
n
S
m
m
(25)
Численные результаты
Разработанные алгоритмы позволяют изучить поведение характеристик (6)–(8)
исследуемых моделей СОЗ относительно изменения как структурных параметров
системы (т.е. S и N ), так и критического уровня запасов (т.е. s ), при котором
делается заказ на поставку ресурсов. Для конкретности изложения предположим,
что нагрузочные параметры p-заявок (т.е. и ) фиксированны, а критический
уровень запасов поддается управлению. Исходя из последних допущений, здесь
изучается поведение характеристик (6)–(8) относительно изменения критического
уровня запасов.
Следует ожидать, что функции ,...,,1,0),( Smm и ,...,,1,0),( smmv
убывающие. Действительно, логично предположить, что если p-заявки имеют ин-
формацию о текущем уровне запасов системы, то с уменьшением этого уровня
интенсивность потери p-заявок из-за нетерпеливости будет расти, а интенсив-
ность пополнения запасами должна увеличиваться (т.е. чем меньше запасов си-
стемы, тем быстрее они должны пополняться). Вместе с тем для общности анали-
за здесь рассматривается два варианта изменения функций ,...,,1,0),( Smm а
именно, в первом (оптимистическом) варианте предполагается, что эти функции
убывающие, а во втором (пессимистическом) они возрастают относительно уров-
ня запасов. Для конкретности изложения принимается, что в первом варианте
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 107
,11)( mm а во втором ,21)( mmm ....,,1,0 Sm Для простоты
изложения принимается, что во всех вариантах 1)( mv для любого ....,,1,0 sm
Исходные данные гипотетической модели с ограниченной очередью p-заявок
выбирались таким образом: .5,0,5,100,50 NS Приведенный ниже
анализ основан исключительно на этих данных.
Результаты выполненных численных экспериментов показаны на рис. 3–5,
где o — τ(m) = (m+1)/(m+2); x — τ(m) = 1/(m+1). На рис. 3 отображена зависимость
вероятности потери р-заявок от параметра s в модели с ограниченной очередью,
на рис. 4 — зависимость среднего числа р-заявок в очереди от параметра s в модели
с ограниченной очередью, на рис. 5 — зависимость среднего уровня запасов от
параметра s в модели с ограниченной
очередью. Из рис. 3 видно, что в оп-
тимистическом варианте изменения
функций ,...,,1,0),( Smm вероят-
ность потери p-заявок больше, чем
в пессимистическом варианте. На
первый взгляд эти результаты кажут-
ся нелогичными, так как в оптимисти-
ческом варианте p-заявки покидают
очередь с меньшей интенсивностью,
чем в пессимистическом варианте, и
потому следовало ожидать, что
в первом варианте вероятность потери p-заявок также должна быть меньше по
сравнению со вторым вариантом. Однако в первом варианте p-заявки покидают
очередь с меньшей интенсивностью, что приводит к увеличению длины очереди, и
тем самым растет вероятность потери p-заявок из-за переполнения буфера; во
втором варианте p-заявки покидают очередь с большой интенсивностью, что
приводит к уменьшению длины очереди, и тем самым уменьшаются потери
p-заявок из-за переполнения буфера. Поскольку вероятность потери p-заявок
определяется как сумма двух величин, определяющих вероятности потери от
переполненности буфера для ожидания p-заявок и от их нетерпеливости (см. фор-
мулы (8)), то конечное значение функции PB определяется скоростями изме-
нения этих составляющих. Так, для выбранных исходных данных вероятность
потери из-за переполнения буфера в пессимистическом варианте практически
равна нулю, а в оптимистическом эта величина плавно меняется в пределах 0,042
и 0,2; вместе с тем вероятность потери из-за нетерпеливости p-заявок в пессими-
стическом варианте практически постоянна и приближенно равна 0,4, а в оптими-
стическом варианте эта величина плавно меняется в пределах 0,3198 и 0,4225.
В результате этого графики функции PB имеют вид, показанный на рис. 3. Отме-
тим, что в обоих вариантах функция PB изменяется с очень малыми скоростями, а
именно, в пессимистическом варианте она почти постоянна относительно изме-
нения критического уровня ресурсов (приблизительно равна 0,4085), в оптимистиче-
ском же варианте ее минимальное значение равно 0,4645 (достигается при s = 0), а
максимальное — 0,5184 (достигается при s = 7). Иными словами, значения функ-
ции PB в различных вариантах изменения функций ,...,,1,0),( Smm почти не от-
личаются.
0,1
0
PB
0,5
0,4
0,3
0,2
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Рис. 3
108 ISSN 0572-2691
Вместе с тем значения функции Lav в различных вариантах изменения
функций ,...,,1,0),( Smm существенно отличаются (рис. 4). При этом в оптими-
стическом варианте ее значения становятся заметно большими, чем при использо-
вании пессимистического варианта для поведения p-заявок в очереди. Этого
следовало ожидать, так как в оптими-
стическом варианте p-заявки покидают
очередь с меньшей интенсивностью
по сравнению с пессимистическим вари-
антом. Отметим, что максимальная сред-
няя длина очереди (примерно 95 заявок)
в оптимистическом варианте наблюдается
при s = 13, а минимальная средняя длина
очереди (примерно 61 заявка) в этом
варианте имеет место при s = 0; в пес-
симистическом варианте эта функция
почти постоянна и ее значение при-
мерно равно 3.
Из рис. 5 видно, что средний уровень
ресурсов в системе почти не зависит от
характера поведения p-заявок в очереди,
так как в обоих вариантах его значения
почти совпадают. При этом интересным
является резкое увеличение значения
этой функции при начальных значениях
параметра s; так, при s = 0 имеем Sav = 25,
а уже при s = 1 значение этой функции
Sav = 41. Далее эта функция растет мед-
ленно, достигает максимального значе-
ния 46,13 в точке s = 5 и потом плавно
убывает.
Теперь рассмотрим результаты
численных экспериментов для той же
гипотетической модели с неограниченной
очередью p-заявок, т.е. принимается,
что .5,0,5,,50 NS
Из рис. 6, где показана зависимость
вероятности потери р-заявок от пара-
метра s в модели с неограниченной очередью; o — τ (m) = (m+1)/(m+2); x —
τ = 1/(m+1), видно, что вероятности потери p-заявок в обоих вариантах почти
постоянны. При этом, в отличие от модели с ограниченной очередью, здесь в опти-
мистическом варианте изменения функций ,...,,1,0),( Smm вероятности по-
тери p-заявок оказываются существенно меньшими, чем в пессимистическом вари-
анте. Этого также следовало ожидать, так как в этой модели потери p-заявок проис-
ходят только из-за их нетерпеливости, и поэтому с ростом терпеливости p-заявок
уменьшается вероятность их потери из очереди.
Замечание 3. В этом случае для расчета вероятности потери p-заявок не уда-
ется получить удобную для вычисления формулу (формулу вида (25)), так как
сюда входит бесконечная сумма. Для выхода из такой ситуации здесь использован
10
0
Lav
90
80
70
20
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
30
40
50
60
Рис. 4
5
0
Sav
25
20
15
10
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
30
35
45
40
Рис. 5
0,1
0
PB
0,3
0,4
0,2
0,15
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0,05
0,25
0,35
Рис. 6
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 109
метод отсечения хвоста распределения, т.е. верхняя (бесконечная) граница суммы
заменяется достаточно большой (конечной) величиной, далее она постепенно уве-
личивается, и эта процедура продолжается до тех пор, пока значения функции
PB практически перестают изменяться.
Интересно отметить, что поведение функции Lav в данной модели идентично
ее поведению в модели с ограниченной очередью, при этом ее значения в песси-
мистическом случае почти совпадают с ее значениями в модели с ограниченной
очередью (рис. 7, где показана зависимость среднего числа р-заявок в очереди
от параметра s в модели с ограниченной очередью; o — τ (m) = (m+1)/(m+2); x —
τ (m) = 1/(m+1)); максимальная средняя длина очереди (примерно 75 заявок)
в оптимистическом варианте наблюдается при s = 16, а минимальная средняя
длина очереди (примерно 52 заявки) имеет место при s = 0.
Как и в случае модели с ограни-
ченной очередью, в данной модели
средний уровень ресурсов в системе
почти не зависит от характера поведе-
ния p-заявок в очереди (рис. 8, где
отображена зависимость среднего
уровня запасов от параметра s в модели с
неограниченной очередью; o — τ (m) = =
(m+1)/(m+2); x — τ (m) = =1/(m+1)). При
этом здесь значения функции Sav при
начальных значениях параметра s рас-
тут достаточно плавно и достигают
максимального значения Sav = 36,51
в точке s = 12; далее эта функция
медленно убывает.
Численные эксперименты показали,
что характеристики изучаемой модели
СОЗ существенным образом зависят от
значений ее структурных (объем склада
системы и размер буфера для ожидания
p-заявок в очереди) и нагрузочных (ин-
тенсивности поступления и обслужи-
вания p-заявок и задержки выполнения
заказа) параметров. В каждом конкретном случае следует проводить вычисления
на основе предложенных соответствующих алгоритмов.
Заключение
В данной работе предложены новые модели систем обслуживания-запасания
с нетерпеливыми расходующими заявками, которые могут образовывать очередь
конечной или бесконечной длины. В них интенсивность потери расходующих за-
явок из очереди из-за нетерпеливости, а также время выполнения заказа зависят
от текущего уровня запасов системы. Политика пополнения запасов относится
к классу политик двух уровней. Разработаны точный и приближенный методы
для определения их характеристик. Точный метод эффективен для систем с умерен-
ными значениями объема склада системы и длины очереди расходующих заявок.
Вместе с тем в реальных системах указанные величины принимают достаточно
большие значения, и в связи с этим размерности изучаемых моделей чрезмерно
большие. В результате точное вычисление стационарных распределений соот-
10
0
Lav
50
40
30
20
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
60
70
Рис. 7
10
0
Sav
5
35
30
20
s 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
15
25
Рис. 8
110 ISSN 0572-2691
ветствующих двумерных ЦМ оказывается сложной проблемой. Поэтому здесь
предложен приближенный метод для асимптотического анализа характеристик
изучаемых моделей СОЗ при высоких нагрузках расходующих заявок. Он основан
на алгоритмах фазового укрупнения состояний двумерных ЦМ.
Предложенные формулы позволяют проанализировать характеристики пред-
ложенных моделей СОЗ любой размерности, а также решить практически важные
задачи по оптимизации их характеристик. Последние задачи являются предметами
специальных исследований.
А.З. Меліков, Л.А. Пономаренко, С.А. Багірова
АНАЛІЗ СИСТЕМ ОБСЛУГОВУВАННЯ-
ЗАПАСАННЯ З НЕТЕРПЛЯЧИМИ
ВИТРАЧАЛЬНИМИ ВИМОГАМИ
Запропоновано нові моделі систем обслуговування-запасання з обмеженими
і необмеженими чергами нетерплячих витрачальних вимог. У них рівень
ресурсів системи зменшується лише в моменти завершення обслуговування
витрачальних вимог. Розроблено точний та наближений методи розрахунку
характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових
експериментів.
A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, S.A. Bagirova
ANALYSIS OF QUEUEING-INVENTORY SYSTEMS
WITH IMPATIENT CONSUME CUSTOMERS
New models of queueing-inventory systems with finite and infinite queues of
impatient consume customers are proposed. Here level of inventory is reduced after
servicing of customers only. Both exact and approximate methods to calculate the
characteristics of the proposed models are developed. The results of numerical
experiments are shown.
1. Прабху Н. Методы теории массового обслуживания и управления запасами (изучение ос-
новных случайных процессов). — М. : Машиностроение, 1969. — 356 с.
2. Прабху Н. Стохастические процессы теории запасов. — М. : Мир, 1984. — 184 с.
3. Математические модели управления запасами / В.А. Шуенкин, В.С. Донченко, С.Н. Кон-
стантинов, В.Ю. Шапировский. — Киев : ООО «Международное финансовое агентство»,
1997. — 302 с.
4. Schwarz M., Daduna H. Queuing systems with inventory management with random lead times
and with backordering // Mathematical Methods of Operations Research. — 2006. — 64, N 3. —
P. 383–414.
5. Schwarz M., Sauer C., Daduna H., Kulik R., Szekli R. M/M/1 queuing systems with inventory //
Queuing systems. Theory and applications. — 2006. — 54, N 1. — P. 55–78.
6. Постан М.Я. Применение марковских процессов для моделирования систем обслуживания
встречных транспортных потоков. — Киев, 1989. — 14 с. (Препр. / НАН Украины. Ин-т
кибернетики им. В.М. Глушкова; 89–6).
7. Melikov A.Z., Molchanov A.A. Stock optimization in transport/storage systems // Cybernetics and
Systems Analysis. — 1992. — 28, N 3. — P. 484–487.
8. Меликов А.З. Марковская модель процесса накопления в системах транспортно-складского
типа // Электронное моделирование. — 1996. — 18, № 6. — С. 79–83.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 111
9. Меликов А.З., Фаталиева М.Р. Управление запасами систем обслуживания разнотип-
ных встречных потоков с учетом текущей ситуации // Там же. — 1997. — 19, № 6. —
С. 106–115.
10. Ushakumari P.V. On (s, S) inventory system with random lead time and repeated demands //
Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2006. — Article ID 81508. — 22 p.
11. Artalejo J.R., Krishnamoorthy A., Lopez-Herrero M.J. Numerical analysis of (s, S) inventory
system with repeated attempts // Annals of Operations Research. — 2006. — 141. — P. 67–83.
12. Lopez-Herrero M.J. Waiting time and other first-pasage time measures in an (s, S) inventory
system with repeated attempts and finite retrial group // Computers & Operations Research. —
2010. — 37. — P. 1256–1261.
13. Krishnamoorthy A., Jose K.P. Comparision of inventory systems with service, positive lead-time,
loss, and retrial of customers // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2007.
— Article ID 37848. — 23 p.
14. Zhao N., Lian Z. A queueing-inventory system with two classes of customers // Journal of
Production Economics. — 2011. — 129. — P. 225–231.
15. Yadavalli V.S.S., Anbazhaga N., Jeganathan K. A retrial inventory system with impatient
customers // Applied Mathematics and Information Science. — 2015. — 9, N 2. — P. 637–650.
16. Berman O., Supna K.P. Optimal control of service for facilities holding inventory // Computers &
Operations Research. — 2001. — 28, N 3. — P. 429–441.
17. Berman O., Kim E. Dynamic inventory strategies for profit maximization in a service facilities
with stochastic service, demand and lead time // Mathematical Methods of Operations Research.
— 2004. — 60, N 3. — P. 497–521.
18. Berman O., Kim E. Stochastic models for inventory management at service facilities // Stochastic
Models. — 1999. — 15, N 4. — P. 695–718.
19. Berman O., Supna K.P. Inventory management at service facilities for systems with arbitrary dis-
tributed service times // Ibid. — 2000. — 16, N 3-4. — P. 343–360.
20. Servi L.D. Algorithmic solutions to two-dimensional birth-death processes with applications to
capacity planning // Telecommunication Systems. — 2001. — 21, N 2–4. — P.205–212.
21. Baumann H., Sandmann W. Numerical solution of level dependent quasi-birth-and-death process-
es // Proceeding Computer Science. — 2010. — 1. — P. 1555–1563.
22. Philippe B., Saad Y., Stewart W.J. Numerical methods in Markov chains modelling // Operations
Research. — 1992. — 40, N 6. — P. 1156–1179.
23. Stewart W.J. Introduction to the numerical solution of Markov chains. — Princeton: University
Press, 1994. — 539 р.
24. Ponomarenko L., Kim C.S., Melikov A. Performance analysis and optimization of multi-traffic on
communication networks. — Heidelberg; Dortrecht; London; New York: Springer, 2010. — 208 p.
25. Liang C., Luh H. Cost estimation queuing model for large-scale file delivery service // Interna-
tional Journal of Electronic Commerce Studies. — 2011. — 2, N 1. — P. 19–34.
26. Liang C., Luh H. Optimal services for content delivery based on business priority // Journal of the
Chinese Institute of Engineers. — 2013. — 36, N 4. — P. 422–440.
27. Liang C., Luh H. Efficient method for solving a two-dimensional Markov chain model for call
centers // Industrial Management & Data Systems. — 2015. — 115, N 5. — P. 901–922.
Получено 27.10.2015
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины Чикрием А.А.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208068 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:50:51Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. 2025-10-19T08:16:24Z 2016 Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 97-111. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208068 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i1.70 Запропоновано нові моделі систем обслуговування-запасання з обмеженими і необмеженими чергами нетерплячих витрачальних вимог. У них рівень ресурсів системи зменшується лише в моменти завершення обслуговування витрачальних вимог. Розроблено точний та наближений методи розрахунку характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових експериментів. New models of queueing-inventory systems with finite and infinite queues of impatient consume customers are proposed. Here level of inventory is reduced after servicing of customers only. Both exact and approximate methods to calculate the characteristics of the proposed models are developed. The results of numerical experiments are shown. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками Аналіз систем обслуговування-запасання з нетерплячими витрачальними вимогами Analysis of queueing-inventory systems with impatient consume customers Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. Методы обработки информации |
| title | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| title_alt | Аналіз систем обслуговування-запасання з нетерплячими витрачальними вимогами Analysis of queueing-inventory systems with impatient consume customers |
| title_full | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| title_fullStr | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| title_full_unstemmed | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| title_short | Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| title_sort | анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками |
| topic | Методы обработки информации |
| topic_facet | Методы обработки информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208068 |
| work_keys_str_mv | AT melikovaz analizsistemobsluživaniâzapasaniâsneterpelivymirashoduûŝimizaâvkami AT ponomarenkola analizsistemobsluživaniâzapasaniâsneterpelivymirashoduûŝimizaâvkami AT bagirovasa analizsistemobsluživaniâzapasaniâsneterpelivymirashoduûŝimizaâvkami AT melikovaz analízsistemobslugovuvannâzapasannâzneterplâčimivitračalʹnimivimogami AT ponomarenkola analízsistemobslugovuvannâzapasannâzneterplâčimivitračalʹnimivimogami AT bagirovasa analízsistemobslugovuvannâzapasannâzneterplâčimivitračalʹnimivimogami AT melikovaz analysisofqueueinginventorysystemswithimpatientconsumecustomers AT ponomarenkola analysisofqueueinginventorysystemswithimpatientconsumecustomers AT bagirovasa analysisofqueueinginventorysystemswithimpatientconsumecustomers |