О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем
Обґрунтовано властивості максимальної множини зовнішньої практичної стійкості дискретних систем: компактність, необхідні і достатні умови приналежності точки границі і внутрішності. Для лінійної дискретної системи отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максима...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208075 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 30-36. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248840452440064 |
|---|---|
| author | Гаращенко, Ф.Г. Пичкур, В.В. |
| author_facet | Гаращенко, Ф.Г. Пичкур, В.В. |
| citation_txt | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 30-36. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Обґрунтовано властивості максимальної множини зовнішньої практичної стійкості дискретних систем: компактність, необхідні і достатні умови приналежності точки границі і внутрішності. Для лінійної дискретної системи отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максимальної множини, а також критерій приналежності точки її границі. Результати мають алгоритмічну спрямованість.
The properties of maximum set of initial conditions with respect to external practical stability of discrete systems are proved. Based on these properties. Minkowski's function, inverse Minkowski's function, and support function in case of linear discrete systems are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, В.В. ПИЧКУР, 2016
30 ISSN 0572-2691
УДК 517.929.4; 517.962.24
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пичкур
О СВОЙСТВАХ МАКСИМАЛЬНОГО
МНОЖЕСТВА ВНЕШНЕЙ
ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Работы, связанные с дискретными системами, широко представлены в научной
литературе. Это связано с наличием множества математических моделей, построен-
ных в классе дискретных систем в различных прикладных областях (биологические,
социальные, экономические, технические системы) [1–6]. Кроме того, развитие
вычислительных методов позволило получить хорошие приближения для различных
моделей в классе дискретных систем. Поэтому актуальны качественные иc-
следования решений таких соотношений. Результаты по устойчивости можно
найти в работах [3, 7–10]. В частности, в [2, 11–14] получены утверждения относи-
тельно практической устойчивости дискретных систем. При этом используется метод
функций Ляпунова, для внутренней устойчивости исследованы свойства оптималь-
ного множества начальных условий. В данной статье для случая внешней практи-
ческой устойчивости обосновываются такие качества максимального множества
начальных условий, как компактность и условия принадлежности точки к внутрен-
ности и границе. Для линейной дискретной системы получена функция Минковского,
обратная функция Минковского и опорная функция максимального множества,
обоснован критерий принадлежности точки к его границе. Результаты имеют
алгоритмическую направленность. В работе используются следующие обозначения:
nR — евклидово n-мерное пространство, , — скалярное произведение в ,nR
которое порождает евклидову норму , ,intA A — внутренность и граница
множества
nRA соответственно, }1=:{= xRxS n — единичная сфера,
}:{=)( raxRxaK n
r — замкнутый шар радиуса r с центром в точке ,nRa
,,sup=),(
aAc
Aa
nR — опорная функция множества ,nRA )(comp nR
))(conv( nR — совокупность всех непустых компактов (выпуклых компактов) из
,nR }...,1,{0,= NI — множество индексов.
Максимальное по включению множество начальных условий
Рассмотрим дискретную систему
1,...,1,0,=)),((=1)( Nkkxfkx k (1)
где n
k RDf : — n -мерная функция, которая в ограниченной области nRD
удовлетворяет локальному условию Липшица. Это означает следующее: для
произвольной точки Dx существует окрестность )(xU этой точки и
постоянная 0>kC такие, что для произвольного )(xUy имеет место
неравенство
.)()( yxCyfxf kkk (2)
60
1956 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 31
Обозначим ),(=)( 0xkxkx решение системы (1) при условии ,=(0) 0xx
....,1,0,= Nk Из (1), (2) следует
,),(),( 00
*
00 yxCykxxkx k (3)
где ,0>...= 021
* CCCC kkk точки ,0x 0y принадлежат .D Кроме того, имеет
место обратное условие Липшица, а именно, для произвольной точки Dx
существует окрестность )(xU этой точки и постоянная 0>kL такие, что для
произвольного )(xUy справедливо неравенство
.)()( yxLyfxf kkk (4)
Условия (2), (4) можно распространить на произвольный компакт, который
принадлежит области ,D за счет принципа Гейне-Бореля о выборе конечного
подпокрытия компакта. Неравенство (4) обеспечивает инъективность
отображения ),( 0xkx на соответствующем множестве, а также открытость .kf
Это означает, что на любом компакте из области D можно построить такую
функцию ,),( xk что ),(=0 xkx тогда и только тогда, когда .),(= 0xkxx При
этом из (4) следует, что функция ),( xk удовлетворяет условию Липшица по
переменной .x Пусть ,)(comp nRM DM — некоторое множество.
Множество достижимости }:),({=),( 00 MxxkxMkx системы (2) принад-
лежит )(comp nR и имеет следующие свойства: ,),(=),( MkxMkx =)int,( Mkx
.),(intx Mk Кроме того, также выполняются равенства ,),(=),( MkMk
.),(int=)int,( MkMk Эти свойства являются следствием соотношений (2)–(4).
Предположим, что ,0 DE Dk )( — множество фазовых ограничений,
,)(int0 k ,Ik ,0=(0)kf .1...,1,0, Nk Итак, ,0=)(kx ,Ik является
решением системы (1), и это решение называется невозмущенным. Введем
следующее определение.
Определение 1. Невозмущенное решение системы (1) называется внешне
}0,),(,{ 0 NkE -устойчивым, если для произвольного 00 Ex существует номер
Ik такой, что .)(),( 0 kxkx Множество всех начальных условий ,0x для
которых существует Ik такое, что ,)(),( 0 kxkx назовем максимальным (по
включению) множеством внешней практической устойчивости системы (1)
и обозначим .*E
Рассмотрим свойства множества .*E
Теорема 1. Максимальное по включению множество удовлетворяет равенству
)),(,(=
0=
* kkE
N
k
где }.)(),,(=:{=))(,( 00 kxxkxxkk
Доказательство. По определению максимального множества *0 Ex тогда и
только тогда, когда существует Ik и точка )(kz такие, что .),(= 0xkxz
Последнее эквивалентно равенству .))(,(),(=0 kkzkx
Теорема доказана.
32 ISSN 0572-2691
Теорема 2. Максимальное по включению множество *E является компактом.
Доказательство. Компактность *E следует из того, что ))(,( kk является
компактом, ,Ik конечное объединение компактов — компактное множество и
по теореме 1.
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть точка .*0 Ex Тогда существует ,Ik для которого
,)(),( 0 kxkx при этом )(int),( 0 sxsx для всех .Is
Доказательство. Предположим, что .*0 Ex Следовательно, существует
Ik такое, что .)(),(= 0 kxkxz Предположим, что .)(int kz Следовательно,
существует открытая окрестность )(zU точки z такая, что .)()( kzU
Отсюда ))(,( zUk — открытое множество, которое содержится в *E вместе с
точкой .0x Это означает, что .int *0 Ex Получили противоречие.
Теорема доказана.
Теорема 4. Предположим, что компакт )(k является замыканием открытых
односвязных множеств, .Ik Пусть для точки Dx 0 существует ,Ik для
которого ,)(),( 0 kxkx при этом )(int),( 0 sxsx для всех .Is Тогда
.*0 Ex
Доказательство. Рассмотрим ,)(int/(0)=)( kKk r где ,(0) DKr
,(0)),( DKkx r .Ik Кроме того, для некоторого 0> имеет место оценка
,))(,(max> *EKkxr
Ik
где — норма множества. Эта оценка возможна в силу непрерывной
зависимости дискретной системы от начальных условий, а также в силу того, что
D — открытое множество. Граница множества )(k содержится в границе
множества ,)(k .Ik По условию теоремы 4 и теоремы о свойстах граничных
точек максимальных множеств внутренней практической устойчивости точка
,*0 Gx где *G — максимальное множество внутренней практической
устойчивости системы (1) при фазовых ограничениях ,)(k Ik [13]. Внутрен-
ность множества *G не пуста и не пересекается со множеством ,*E так как по
оперделению внутренней практической устойчивости ,)(),( 0 kzkx ,Ik
*0 intGz [13]. Таким образом, .**0 EGx Поскольку )(k — замыкание
открытых односвязных множеств, то )(k — также замыкание открытых
односвязных множеств, .Ik Так как
)),(,(=
0=
* kkG
N
k
то совокупность *G можно представить как замыкание открытого односвязного
множества .int *G Это означает, что в произвольной окрестности )( 0xU точки
**0 EGx существуют точки из ,int *G которые не пренадлежат .*E Это
значит, что .*0 Ex
Теорема доказана.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 33
Следствие. В условиях теоремы 4 точка *0 intEx тогда и только тогда,
когда существует ,Ik для которого .)(int),( 0 kxkx
Максимальные множества внешней практической устойчивости
линейных дискретных систем
Рассмотрим линейную дискретную систему вида
,)(=1)( kk bkxAkx (5)
где kA — неособая матрица размерности ,nn kb — вектор из ,nR
.1,1,0, Nk Запишем общее решение (5) в виде
,),()(=)( 0 Ikkrxkkx
где ,=...=),(
11 jkjssk AAAsk ,0),(=)( kk ,),(=)( 11
jkj
bjkkr
,=),( nIss ,Ik ,Is nI — единичная матрица размерности .nn Считаем,
что .int0 *E Из следствия теоремы 3 получаем, что ,)()( kkr .Ik Имеет
место следующая теорема.
Теорема 5. Если ,)(conv)( nRk ,Ik то *E — звездное множество.
Доказательство. Выберем произвольную точку *0 Ex и покажем, что
,*0 Ex .1][0, Действительно, так как ,)()()( 0 kkrxk ,)()( kkr
,Ik то
)()()(1))()((=)())(( 00 kkrkrxkkrxk
для произвольного .Ik Это значит, что ,*0 Ex .1][0,
Теорема доказана.
Найдем функцию Минковского, функцию деформации (обратную функцию
Минковского) и опорную функцию оптимального множества .*E Рассмотрим два
случая: система (5) является однородной и неоднородной.
1. Случай однородной системы. Рассмотрим систему (5) при условии ,0=kb
.1,1,0, Nk По определению функции Минковского [16] =)(* xm
.:0>inf *
E
x
При этом .}1)(:{= ** xmRxE n
Для того чтобы ,*
0 E
x
необходимо и достаточно, чтобы существовало
Ik такое, что .)()( 0 k
x
k
Исходя из свойств опорных функций [15],
имеем, что для указанного Ik для любого S ).),((,)( 0
kc
x
k
Отсюда .
)),((
,)( 0
kc
xk
Это значит, что .
)),((
,)(
maxmin
0
kc
xk
SIk
Тогда по
определению функции Минковского
.
)),((
,)(
maxmin=)(
0
0*
kc
xk
xm
SIk
(6)
34 ISSN 0572-2691
Запишем функцию деформации множества .*E По определению функции
деформации (обратной функции Минковского) ,}:0>sup{=)( ** Elld где
Sl [16]. Тогда .}],)(0,[:{= ** SlldkklE
Точка *0 Ex тогда и только тогда, когда существует Ik такое, что
).()( 0 kxk
По свойствам опорной функции [15, 16] для любого S
).),((,)( 0 kcxk
Так как ,)(int0 k то ,0>)),(( kc .nR Обозначим :{)( SkP
}.0>,)( 0 xk Таким образом, существует Ik такое, что для любого
)(kP
.
,)(
)),((
0
xk
kc
Это выражение является необходимым и достаточным условием того, что
.*0 Ex Таким образом,
.
,)(
)),((
minmax=)(
0)(
0*
xk
kc
xd
kPIk
(7)
Найдем опорную функцию множества .*E Условие *0 Ex является
необходимым и достаточным для того, чтобы существовало Ik такое, что
.)()(=)( 0 kxkkx По свойствам опорной функции для всех nR
).),((,)( 0 kcxk
Отсюда следует )),(()(, *
0 kckx и при *))((= k получим
).))((),((, 1*
0 kkcx
Здесь * — знак транспонирования. Отсюда .),))((),((max, 1*
0
n
Ik
Rkkcx
По теореме о представлении выпуклой оболочки множества с помощью опорной
функции [15]
.),))((),((max=),( 1*
*
n
Ik
RkkcEc
(8)
Таким образом, выпуклую оболочку множества *E можно получить из равенства
.}),(,:{= ** EcxRxcoE n
S
Следует подчеркнуть, что опорная функция дает только внешнюю оценку
оптимального множества *E в классе выпуклых компактов. Рассмотрим пример.
Пример 1. Найдем функцию Минковского, функцию деформации и опорную
функцию множества *E в случае, если множество фазовых ограничений имеет
вид шара радиуса kt с центром в начале координат, а именно ,(0)=)( 1Ktk k
.Ik Используя соотношения (6)–(8), для этого случая получаем
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 2 35
,
)(
max=)(,
)(
min=)(
0
0*
0
0*
xk
t
xd
t
xk
xm k
IkkIk
.,))((max=),( 1*
*
n
k
Ik
RktEc
2. Случай неоднородной системы (5). Предположим, что .intE0 * При этом
,0>),()),(( krkc .S Найдем функцию Минковского максимального
множества внешней практической устойчивости .*E Совершая преобразования
аналогичные предыдущему (однородному) случаю, получим
.
),()),((
,)(
maxmin=)(
0
0*
krkc
xk
xm
SIk
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 6. Для того чтобы ,*0 Ex необходимо и достаточно, чтобы
1.=
),()),((
,)(
maxmin
0
krkc
xk
SIk
Доказательство этого утверждения является следствием свойств функции
Минковского и теорем 1–3. Используя свойства опорных функций и определение
функции деформации, имеем
,
,)(
),()),((
minmax=)(
0)(
0*
xk
krkc
xd
kPIk
где }.0>,)(:{=)( 0 xkSkP Опорная функция множества *E в этом слу-
чае имеет вид
.,)))((),()))((),(((max=),( 1*1*
*
n
Ik
RkkrkkcEc
Она может быть получена по аналогии с формулой (8).
Пример 2. Найдем функцию Минковского, функцию деформации и опорную
функцию множества *E в случае, если множество фазовых ограничений имеет
вид эллипсоида радиуса kt с центром в начале координат, при этом матрица
эллипсоида известна. Таким образом,
},,:{=)(0,=)( 21
kk
n
kkt
txxBRxBEk
где kB — nn -положительно-определенная симметрическая матрица, .Ik
В этом случае получим соответствующие формулы:
,
),(,
,)(
maxmin=)(
0
0*
krB
xk
xm
kSIk
,
,)(
),(,
minmax=)(
0)(
0*
xk
krB
xd
k
kPIk
.,)))((),(,))(())(((max=),( 1*1*1
*
n
k
Ik
RkkrkBkEc
36 ISSN 0572-2691
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ПРО ВЛАСТИВОСТІ МАКСИМАЛЬНОЇ
МНОЖИНИ ЗОВНІШНЬОЇ ПРАКТИЧНОЇ
СТІЙКОСТІ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
Обґрунтовано властивості максимальної множини зовнішньої практичної стій-
кості дискретних систем: компактність, необхідні і достатні умови приналеж-
ності точки границі і внутрішності. Для лінійної дискретної системи отримано
функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію
максимальної множини, а також критерій приналежності точки її границі. Ре-
зультати мають алгоритмічну спрямованість.
F.G. Garashchenko, V.V. Pichkur
ON PROPERTIES OF MAXIMAL SET OF EXTERNAL
PRACTICAL STABILITY OF DISCRETE SYSTEMS
The properties of maximum set of initial conditions with respect to external practical
stability of discrete systems are proved. Based on these properties. Minkowski's func-
tion, inverse Minkowski's function, and support function in case of linear discrete
systems are obtained.
1. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та оптимі-
зація. — Київ : Вид-во Київського нац. ун-ту ім. Т. Шевченка, 2008. — 383 с.
2. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация и
устойчивость динамики пучков. — Киев : Наук. думка, 1985. — 304 с.
3. Galor O. Discrete dynamical systems. — Berlin : Springer, 2007. — 158 p.
4. Hsieh Y. The phenomenon of unstable oscillation in population models // Math. Comput.
Model. — 1988. — 10, N 6. — P. 429–435.
5. Rondoni L. Autocatalytic reactions as dynamical systems on the interval // J. Math. Phys. —
1993. — 34, N 11. — P. 5238–5251.
6. Sedaghat H. A class of nonlinear second order difference equations from macroeconomics // Non-
linear Anal. Theory, Methods, Appl. — 1997. — 29, N 5. — P. 593–603.
7. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М. : Мир, 1971. —
309 с.
8. Hespanha J., Liberzon D, Teel A. Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive
systems // Automatica — 2008. — 44, N 11. — P. 2735–2744.
9. Martynyuk A.A. Stability analysis of discrete systems // International Applied Mechanics —
2000. — 36, N 7. — P. 3–34.
10. Michel A, Hou L, Liu D. Stability of dynamical systems. — Boston : Birkhäuser, 2008. — 515 p.
11. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н. Анализ сходимости итерационных процедур на основе ме-
тодов практической устойчивости // Проблемы управления и информатики. — 1999. —
№ 2. — С. 15–25.
12. Гаращенко Ф.Г., Куценко И.А. Практическая устойчивость дискретных процесов, оценки и
их оптимизация // Там же. — 1997. — № 5. — С. 50–61.
13. Bashnyakov A.N., Pichkur V.V., Khitko I.V. On maximal initial data set in problems of practical
stability of discrete system // Journal of Automation and Information Sciences. — 2011. — 43,
N 3. — P. 1–8.
14. Башняков О.М., Пічкур В.В., Хітько І.В. Умови практичної стійкості дискретних систем і
функції Ляпунова // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2012. — № 3. —
С. 125–133.
15. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высш. шк., 2001. — 239 с.
16. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 383 с.
Получено 14.12.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208075 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:32Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гаращенко, Ф.Г. Пичкур, В.В. 2025-10-19T09:45:58Z 2016 О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем / Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пичкур // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 30-36. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208075 517.929.4; 517.962.24 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.50 Обґрунтовано властивості максимальної множини зовнішньої практичної стійкості дискретних систем: компактність, необхідні і достатні умови приналежності точки границі і внутрішності. Для лінійної дискретної системи отримано функцію Мінковського, обернену функцію Мінковського та опорну функцію максимальної множини, а також критерій приналежності точки її границі. Результати мають алгоритмічну спрямованість. The properties of maximum set of initial conditions with respect to external practical stability of discrete systems are proved. Based on these properties. Minkowski's function, inverse Minkowski's function, and support function in case of linear discrete systems are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Проблемы динамики управляемых систем О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем Про властивості максимальної множини зовнішньої практичної стійкості дискретних систем On properties of maximal set of external practical stability of discrete systems Article published earlier |
| spellingShingle | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем Гаращенко, Ф.Г. Пичкур, В.В. Проблемы динамики управляемых систем |
| title | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| title_alt | Про властивості максимальної множини зовнішньої практичної стійкості дискретних систем On properties of maximal set of external practical stability of discrete systems |
| title_full | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| title_fullStr | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| title_full_unstemmed | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| title_short | О свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| title_sort | о свойствах максимального множества внешней практической устойчивости дискретных систем |
| topic | Проблемы динамики управляемых систем |
| topic_facet | Проблемы динамики управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208075 |
| work_keys_str_mv | AT garaŝenkofg osvoistvahmaksimalʹnogomnožestvavnešneipraktičeskoiustoičivostidiskretnyhsistem AT pičkurvv osvoistvahmaksimalʹnogomnožestvavnešneipraktičeskoiustoičivostidiskretnyhsistem AT garaŝenkofg provlastivostímaksimalʹnoímnožinizovníšnʹoípraktičnoístíikostídiskretnihsistem AT pičkurvv provlastivostímaksimalʹnoímnožinizovníšnʹoípraktičnoístíikostídiskretnihsistem AT garaŝenkofg onpropertiesofmaximalsetofexternalpracticalstabilityofdiscretesystems AT pičkurvv onpropertiesofmaximalsetofexternalpracticalstabilityofdiscretesystems |